平方差公式和完全平方公式复习和拓展 (3)ppt课件
平方差公式与完全平方公式(复习)
专题一平方差公式与完全平方公式（复习）学习目标掌握平方差公式和完全平方公式的特征，并能运用两个公式进行化简和运算。
学习重点利用平方差公式、完全平方公式进行化简和运算学习难点利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解。
学习过程一、知识回顾1、识记两个公式平方差公式：。
文字叙述：两个数的与这两个数的等于完全平方公式：。
文字叙述：两数和的平方等于这两个数的加上2、因式分解的定义公因式确定：（1）（2）（3）因式分解的方法：（1）提法（2）套法因式分解的步骤：把一个多项式因式分解，一般先，再。
进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到注：怎样验证因式分解的正确性？练习：请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解。
24a，2)9b(yx ，1，2二、典型例题例1：计算（1）(2m-3)(2m+3)（2）（a－2b＋3c）（a＋2b+3c）．（3）20052-2006×2004例2：因式分解（1）16－4a 4 （2）42242y y x x +-（3）22341ab b a a -+- （4）222224)(b a b a -+例3：已知，8=+n m ，15=mn 求22n mn m +-的值三：达标测试（一、选择题）1、下列两个多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ）A 、)32)(32(b a b a ++-B 、)32)(32(b a b a --+-C 、)32)(32(b a b a --+D 、)32)(32(b a b a ---2、下列运算正确的是（ ）A 、a b a b a 2)(222++=+B 、222)(b a b a -=-C 、6)2)(3(2+=++x x xD 、22))((n m n m n m +-=+-+3、下列四个多项式是完全平方式的是（ ）A 、22y xy x ++B 、222y xy x --C 、22424n mn m ++D 、2241b ab a ++ 4、若22169y mxy x ++是完全平方式，则m =（ ）A 、12B 、24C 、±12D 、±245、已知5-=+y x ，6=xy ，则22y x +的值为（ ）A 、12B 、13C 、37D 、16（二、填空题）6、分解因式： x 2+y 2-2xy=7、已知x +y =1，那么221122x xy y ++的值为_______. 8、在多项式4x 2+1中添加 ，可使它是完全平方式（填一个即可），然后将得到的三项式分解因式是（三、计算）9、)53)(53(y x y x -+ 10、4(x+1)2-(2x+5)(2x-5)11、2275.7275.82⨯-⨯ 12、121211222112+⨯-（四、分解因式）13、2)2()2(---a a a 14、2241y x +-15、6xy 2-9x 2y-y 3 16、(2a-b)2+8ab17、先化简，再求值：223(2)()()a b ab b b a b a b --÷-+- 其中112a b ==-，．。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展-2022年学习资料
5.完全平方式-1已知，x2+ax+16是完全平方式，-则a=8-己知，4x2-ky+25y2是完全平方式 -则k=-±20-3x2+12x+m是完全平方式，则m=36-4请把4x4+1添加一项后是完全平方式，-可 添加-±4x2或-1或-4x4或4x8或
4x±4x2+1=2x2±1}-2x}+4x+1=2x+1y-6自2r-”1-4x4+1-1=4x4-4x +1-4x4=1
拓展与迁移-1、若不论x取何值，多项式x3-2x2.4x-1-与x+1x2+mx+n都相等，求m、n的值。 =x3+m+1x2+m+nx+n-由题意得-m+1=-2,-1=n-∴.m=-3,n=-1
2、求使x2+px+8x23x+q的积中-不含x2与x3项p、q的值-x2+px+8Xx2-3x+g-=x -3x3+qx2+px3-3px2+pqx+8x2-24x+8q-=x4+-3+px3+g-3p+8x2+ q-24x+8q-由题意--3+p=0,q-3p+8=0-∴.p=3,9=1
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6、化简求值：-1x+32-x-1x-2,其中x=-1-2a+b2-a+ba-b-2b2-其中a=3,b= 19x+7-22ab
7证明：x,y不论是什么有理数，-多项式x2+y2-4x+8y+25的值-总是正数。并求出它的最小值。-= 2-2x2+2+y2+2y4+4+5-=x-2+y+4+5
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
冀教版初中七年级数学下册公式法
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(2)学生尝试解答
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例4
把下列各式分解因式：
(2)(x+y)2-4(x+y)+4;
(1)ax2+2a2x+a3;
解：(1)ax2+2a2x+a3 解：(2)(x+y)2-4(x+y)+4
=a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2.
=(x+y)2·2(x+y)·2+22 =(x+y-2)2.
公式法
运用公式法
把乘法公式反过来用，可以把符合公式 特点的多项式因式分解，这种方法叫公式法.
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) (2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
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平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²-b²
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完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
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请补上一项，使下列多项式成为 完全平方式.
1 x 2 2 12ab 2 4a 9b _______ 2 2 4 xy 3 x ______ 4 y
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完全平方公式
ab a 2ab b ab a 2ab b
2
2 2
2
2
2
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a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
第03讲 平方差和完全平方公式(知识解读+真题演练+课后巩固)-2023-2024学年八版)(原卷版
第03讲 平方差和完全平方公式1. 掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )22()()a b a b a b +-=-b a ,=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z2知识点3：完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc =+++++（a+b+c ） 222112a a a±=+±（a ）；；；.【题型1 平方差公式运算】【典例1】（2023春•渭南期中）计算（3a +2）（3a ﹣2）＝ ． 【变式1-1】（2023春•蕉城区校级月考）若a +b ＝1，a ﹣b ＝2022，则a 2﹣b 2＝ ． 【变式1-2】（2023春•双峰县期末）（4a +b ）（﹣b +4a ）＝ ． 【变式1-3】（2023春•埇桥区期末）计算：（2x ﹣3y ）（3y +2x ）＝ ． 【典例2】（2023春•佛冈县期中）19992﹣1998×2002．【变式2-1】（2023•皇姑区校级开学）简便运算：20222﹣2020×2024．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【变式2-2】（2023春•安乡县期中）计算：20222﹣2021×2023．【变式2-3】（2023春•渭滨区期末）用整式乘法公式计算：899×901+1．【题型2 平方差公式的逆运算】【典例3】（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是．【变式3-1】（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于．【变式3-2】（2023春•广饶县期中）已知实数a，b满足a2﹣b2＝40，a﹣b＝4，则a+b的值为．【变式3-3】（2023春•甘州区校级期末）若m2﹣n2＝6，m+n＝3，则＝．【题型3 平方差公式的几何背景】【典例4】（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成垄一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②计算：；【变式4-1】（2023春•高明区月考）乘法公式的探究及应用．（1）如图1到图2的操作能验证的等式是．（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2+ab＝a（a+b）C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）当4m2＝12+n2，2m+n＝6时，则2m﹣n＝；（3）运用你所得到的公式，计算下列各题：①20232﹣2022×2024；②2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）+1．【变式4-2】（2023春•清远期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：（选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a2+ab＝a（a+b）；C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：（1）计算：2022×2024﹣20232；（2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【变式4-3】（2023春•屏南县期中）乘法公式的探究及应用：如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．（1）通过计算左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：；（2）利用上述乘法公式计算：①1002﹣98×102；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）．【题型4 完全平方公式】【典例5】（2023春•砀山县校级期末）计算：（x+4）2﹣x2＝．【变式5-1】（2023春•威宁县期末）已知x2+y2＝10，xy＝2，则（x﹣y）2＝．【变式5-2】（2023春•东港市期中）若（2x﹣m）2＝4x2+nx+9，则n的值为．【变式5-3】（2023春•未央区校级月考）计算：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）．【题型5 完全平方公式下得几何背景】【典例6】（2023秋•绿园区校级月考）为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积：＝；方法一：S小正方形方法二：S＝；小正方形（2）（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系为；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a﹣＝1，求：的值．【变式6-1】（2023春•甘州区校级期中）图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于．（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：；方法2：．（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝4，xy＝3，则（x﹣y）2＝．【变式6-2】（2023•永修县校级开学）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）．方法一：；方法二：．（2）根据（1）的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b ＝6，ab＝5，求a﹣b的值．【变式6-3】（2023春•湖州期中）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b．则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80．解决问题：（1）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020．求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x．分别以FC、CE为边在矩形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若矩形CEPF的面积为160平方单位，求图中阴影部分的面积和．【题型6 完全平方公式的逆运算】【典例7】（2023春•永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：（1）ab的值；（2）（a﹣b）2的值；（3）a4+b4的值．【变式7-1】（2023春•都昌县期末）已知实数m，n满足m+n＝6，mn＝﹣3．（1）求（m+2）（n+2）的值；（2）求m2+n2的值．【变式7-2】（2023春•周村区期末）若x+y＝2，且（x+3）（y+3）＝12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【变式7-3】（2022秋•大安市期末）已知m﹣n＝6，mn＝4．（1）求m2+n2的值．（2）求（m+2）（n﹣2）的值．1．（2023•深圳）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．4ab﹣ab＝4C．（a+1）2＝a2+1D．（﹣a3）2＝a62．（2022•赤峰）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（）A．13B．8C．﹣3D．5 3．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b24．（2022•兰州）计算：（x+2y）2＝（）A．x2+4xy+4y2B．x2+2xy+4y2C．x2+4xy+2y2D．x2+4y2 5．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是．6．（2023•雅安）若a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值为．7．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝．8．（2022•遵义）已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为．9．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝．10．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．11．（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为．12．（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝．13．（2023•兰州）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．14．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M．（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积；（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．1．（2023春•市南区校级期中）下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．（x+1）（﹣x﹣1）C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）2.（2022秋•睢阳区期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）3．（2022秋•嵩县期末）已知x+y＝8，xy＝12，则x2﹣xy+y2的值为（）A．42B．28C．54D．66 4．（2022秋•海口期末）等式（﹣a﹣1）（）＝a2﹣1中，括号内应填入．A．a+1B．﹣1﹣a C．1﹣a D．a﹣1 5．（2022秋•离石区期末）若二次三项式x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（）A．4B．﹣4C．±2D．±4 6．（2023春•攸县期末）若x2﹣y2＝3，则（x+y）2（x﹣y）2的值是（）A．3B．6C．9D．18 7．（2022秋•邹城市校级期末）已知x2+2（m﹣1）x+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．4B．4或﹣2C．±4D．﹣2 8．（2022秋•渝北区校级期末）化简：（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）．9．（2023春•渭滨区期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201；例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391．（1）9992；（2）20222﹣2021×2023．10．（2022秋•龙湖区期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14．求：①a+b的值；②a2﹣b2的值．11．（2022秋•高安市期末）已知a+b＝7，ab＝﹣2．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．12．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：（1）（x﹣）2；（2）x4+．13．（2022秋•阳城县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：．14．（2023春•威海期中）利用简便方法计算：（1）501×499+1；（2）0.125×104×8×104．15．（2022秋•南昌期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）求图2中的阴影部分的正方形的周长；（2）观察图2，请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．16．（2022秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac ＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
(3)（5m2 +n)2
(4) 972
25m4 10m2n n2
9409
3、填空题：
(1)（3a-2b)(_3_a_+2b)=9a2-4b2
(2) (x-6)2=x2+_(-_1_2_x_) +36
（3）x2-4x+__4__=(x-__2__)2
4、选择题
c (1)下列各式中，是完全平方公式的是（ ）
则a _±__8____。
（2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，
则k __±__2_0______。
(3)x2 12x m是完全平方式,则m _36____
(4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式，
可以添加__4_x_2或__-1_或_-_4x_4_或_4.x8或
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (a b)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (a b)2 _2_ab___ (3)(a b)2 (a b)2 _4_a_b____
4.公式变形的应用：((aa+-bb))22
平方差公式和完全平方公式复习和拓展-2022年学习资料
2、运用完全平方公式计算：-13x-229x2-12x+42-2n-5216y2-1-35m2+n2-49 2-25m4+10m2n+1n2-9409-3、填空题：-13a-2b3a+2b=9a2-4b2-2x-6 =x2+-12x+36-3x2.4x+4=X-22
4、选择题-1下列各式中，是完全平方公式的是-C-AX2-X+1-B4x2+1-CX2+2X+1-Dx2+ x-1-2如y2+ay+9是完全平方公式，则a的值等于D-A3-B-6-C6-D6或-6-3下列计算正确的 C-A.X-2y2y-x）=4y2-x2-B.-x-1X+1=x2.1-C.m-n-m-n）=-m2+n2 D.x2+2y-2y=x3-4y2
小试牛刀-2.下列计算中正确的是（D-A.（x+22=x2+2x+4-B.（-3-x（3+x=9-x2-C （-3-x3+x=-x2-9+6x-D.（2x-3y2=4x2+9y2-12xy
小试牛刀-3.x2+kx+81是一个完全平方式，则k是（D-A.9-B.-9-C.±9-D.±18
小试牛刀-15+3q2;-25+30q+9q1-2-2a-52.4a2+20a+25-32x+32（2x2;16x4-72x2+81-4x+y-4x+y+4;x2+2xy+y2-16-5a-1a+1a2-1.a -2a2+1
5.完全平方式-1已知，x2+ax+16是完全平方式，-则a=8-己知，4x2-ky+25y2是完全平方式 -则k=-±20-3x2+12x+m是完全平方式，则m=36-4请把4x4+1添加一项后是完全平方式，-可 添加-±4x2或-1或-4x4或4x8或
平方差公式与完全平方公式(二)精选教学PPT课件
《完全平方公式》PPT课件
a2 2a 1
（2）不对。 (2x 1)2 (2x)2 12 2 • 2x •1 4x2 1 4x
（3）不对。 (2a b)2 (2a)2 2 • (2a) • b b2
4a2 4ab b2
例2 运用完全平方公式计算：
( a － b)2 = a 2 — 2 · a · b + b 2.
( 2x - y )2 = ( 2x )2 －2 ·(2x）·y + y 2 = 4x2－4xy+y2
归纳
我们把
(a+b)2=a2+2ab+b2， (a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
两个公式可合并为一个 公式： (a b)2 a2 2ab b2
做一做
(a - b )2 = ？ 把( a + b )2= a2+ 2ab + b2 中的“b”换做 “-b”，试试看.
(a - b)2 =[a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 = a2 - 2ab + b2 .
问、能用(a-b)2=a2-2ab+b2来计算 (a b)2 吗？
3、该怎样计算（a+b）（a+b） 即( a + b)2 ？
我们用乘法对加法的分配律来推导一般情况
( a + b)2 =( a + b )( a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 .
动脑筋
能否利用（a+b）（ a+b）的计算结果，即
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。
完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。
平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。
公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。
这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
完全平方公式ppt课件
(1) (2x+3y)2 (2) (2x-3y)2 (3) (-2x+3y)2 (4) (-2x-3y)2
小结:当所给的二项式 中两项符号相同时,一 般选用“和”的完全 平方公式;
当所给的二项式 中两项的符号相反时, 一般选用“差”的完 全平方差公式.
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
本节课你学到了什么?
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同． 完全平方公式的结果 是三项， 结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
运用公式计算: 1.(a-b)(a+b)(a2+b2) 2.(2-1)(2+1)(22+1) (24+1)…… (232+1)+1
本标准适用于已投入商业运行的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
1.(2x+y-z)(2x-y+z) 2.(a+2b-1)2
右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
做一做 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
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4
4 2 4x4 1 2x4 1 2
4x4
1
1 16x
4
2x2
1 4x2
2
4x4 11 4x4 4x4 1 4x4 1
12
6、化简求值：
（1）(x 3)2 (x 1)(x 2),其中x 1 (2)(a b)2 (a b)(a b) 2b2 其中a 3,b 1
平方差公式和完全平 方公式复习和拓展
1
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
2
1、对应练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)(x+3)(x－3)=x2－3； (2)(－3a－5)(3a－5)=9a2－25.
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
5
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
6
1、对应练习：
(1)(2x+1)2
(2)(1-m)2
4x2 4x 1
（3）( y 1)2 y 2 23 y 1 39
（1）已知a b 1, ab 2,
则a2 b2 __5______。
（2）已知x y 9, xy 8,
则x2 y2 __97______。
（3）已知(x y)2 25, (x y)2 16,
则xy
9
___4_____
。
10
5.完全平方式 （1）已知，x2 ax 16是完全平方式，
(5)(x-４)2
1 2m m2
(4)(2-y)2
44y y2
(6) (2 x 3)2
x2 8x 16 4x2 12x 9
(7) (2x + y)2
(8) (a -2b)2
4x2 4xy y2 a2 4ab 4b2
(9)1032 10609
7
2.利用公式进行计算：
(1)(x 2 y)(x 2 y) x2 4y2 (2)(a 2b)(2b a) 4b2 a2 (3)(2a 3b)2 4a2 12ab 9b2 (4)(2x y)2 4x2 4xy y2
则a _±__8____。
（2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，
则k __±__2_0______。
(3)x2 12x m是完全平方式,则m _36____
(4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式，
可以添加__4_x_2或__-1_或_-_4x_4_或_4.x8或
1 16x
2、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a) ；√
（3）(－a+b)(a－b)；
（4）(x2－y)(x+y2)；
（5）(－a－b)(a－b)；√ （6）(c2－d2)(d2+c2). √
3、利用平方差公式计算：
(1)(5+6x)(5－6x);
（8） (a-2b+c)(a+2b-c) a2 4b2 4bc c2 （9） (x+5)2-(x-2)(x-3) 15x 19
（10） (x+2y-z)2
x2 4y2 z2 4xy 2xz 4yz
19
当堂检测
1、运用平方差公式计算
(1)(4y+1)(4y-1)
16 y2 1
(2)(a+9b)(-9b+a)
25
36
x
2
(2)(x－2y)(x+2y);
x2 4y2
(3)(－m+n)(－m－n). m2 n2
3
完全平方公式:
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方， 尾平方， 2倍乘积在中央
4
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
3
(1)9x+7 -2 (2)2ab -2
13
7.证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2 +y2 4x 8y 25的值 总是正数。并求出它的最小值。
x2 y2 4x 8y 25 (x2 2 x2 22) (y2 2 y4 42) 5 (x 2)2 ( y 4)2 5
(4) 972
25m4 10m2n n2
9409
3、填空题：
(1)（3a-2b)(_3_a_+2b)=9a2-4b2
(2) (x-6)2=x2+_(-_1_2_x_) +36
（3）x2-4x+__4__=(x-__2__)2
21
4、选择题
c (1)下列各式中，是完全平方公式的是（ ）
（A）x2-x+1
（B）4x2+1
（C）x2+2x+1
（D）x2+2x-1
(2)如y2+ay+9是完全平方公式，则a的值等于（ D ）
(A) 3
(B)-6
(C) 6
(D)6或-6
（3）下列计算正确的是( C )
A.(x-2y)(2y-x) =4y2-x2 B.(-x-1)(x+1)=x2-1
C.(m-n)(-m-n) =-m2+n2
a2 81b2
(3)(y-x)(-x-y)
x2 y2
1
1
(5) (a- 2 )(a+ 2)
a2 1
4
(4) (m2+2)(m2- 2)
m4 4
（6）105×95
9975
20
2、 运用完全平方公式计算:
(1) (3x-2)2 9x2 12x 4 (2) (-2n-5)2 16 y2 1
(3)（5m2 +n)2
8
3.在横线上添上适当的代数式，使等 式成立
(1)a2 b2 (a b)2 _2_a_b__ (2)a2 b2 (a b)2 _2_ab___ (3)(a b)2 (a b)2 _4_a_b____
9
4.公式变形的应用：((aa+-bb))22
= =
a2+b2+2ab a2+b2-2ab
14
小试牛刀
D
15
小试牛刀
D
16
小试牛刀
D
17
小试牛刀
25 30q 9q2
4a2 20a 25
16x4 72x2 81
x2 2xy y2 16 a4 2a2 1
18
(6)
x 2
5
2
x 2
5
2
10x
(7) (x+1)2(x-1)2(x2+1)2(x4+1)2 x16 2x8 1