概率论公式总结-都琳
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中的一门重要分支，用于研究随机事件的发生概率和规律性。
下面是概率论中的一些常用公式和定理，供参考：1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的情况数，n(S)表示样本空间中所有事件发生的情况数。
2.加法定理：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B发生的概率。
3.乘法定理：P(A∩B)=P(B，A)×P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4.互斥事件的概率：若事件A和事件B互斥（即不能同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B) 5.条件概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
6.贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=∑[P(A∩B_i)]其中，事件B_1,B_2,...,B_n互斥且构成样本空间，P(B_i)不为0，P(A∩B_i)表示事件A和事件B_i同时发生的概率。
8.期望值：E(X)=∑[x_i×P(X=x_i)]其中，X为随机变量，x_i为随机变量X的取值，P(X=x_i)为随机变量X取值为x_i的概率。
9.方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，X为随机变量。
10.协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) × (Y - E(Y))]其中，X和Y为两个随机变量。
11.独立事件的概率：若事件A和事件B独立，即P(A∩B)=P(A)×P(B)12.独立随机变量的期望值：E(XY)=E(X)×E(Y)其中，X和Y为独立随机变量。
概率论公式大全
1、随机变量的分布函数
文 （1）离散型随机变量的分布率
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取
度 各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
F (+∞) = lim F (x) = 1； x→+∞ 4° F (x + 0) = F (x) ，即 F (x) 是右连续的；
百 P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
（1） pk ≥ 0 ， k = 1,2,Λ ，
x
∫ F(x) = −∞ f (x)dx ，
∞
∑ pk = 1
（2） k =1
。
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函 数或密度函数，简称概率密度。 f (x) 的图形是一条曲线，
称为密度（分布）曲线。
（2）分布函数
对于非离散型随机变量，通常有 P(X = x) = 0 ，不可 能用分布率表达。例如日光灯管的寿命 X ，P( X = x0) = 0 。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) > 0 ，则有
P(B | A) = P( AB) = P( A)P(B) = P(B)
P( A)
P( A)
所以这与我们所理解的独立性是一致的。
若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、A 与 B 、
A 与 B 也都相互独立。（证明） 由定义，我们可知必然事件 Ω 和不可能事件 Ø 与任
b)。
分布函数为
0，
x<a，
x−a, b−a
a≤x≤b
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
考研数学知识点-概率统计
∫x
F (x) = f (x)dx = −∞ 1，
概率论计算公式总结
概率论计算公式总结概率论是研究随机事件发生的可能性的数学分支，它在各个领域都有广泛的应用。
在概率论中，有一些重要的计算公式，它们能够帮助我们计算出某个事件发生的概率。
本文将总结一些常用的概率论计算公式，并解释其应用场景和计算方法。
1. 概率的定义概率是用来描述某个事件发生的可能性的数值。
在概率论中，概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个随机事件A来说，其概率记为P(A)。
2. 加法法则加法法则是计算两个事件之和的概率的公式。
对于两个互斥事件A 和B来说，它们不能同时发生，因此它们的概率之和等于各自概率的和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
3. 乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
对于两个独立事件A和B来说，它们的概率之积等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
4. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 全概率公式全概率公式是一种利用已知条件概率来计算事件A的概率的方法。
假设有一系列互斥且穷尽的事件B1、B2、...、Bn，那么事件A的概率可以表示为P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + ... + P(A|Bn) × P(Bn)。
6. 贝叶斯公式贝叶斯公式是一种利用条件概率来计算事件B的概率的方法。
根据条件概率的定义，可以得到贝叶斯公式为P(B|A) = P(A|B) × P(B) / P(A)。
其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A发生的概率。
概率论与数理统计公式总结
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ)分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义●E(a)=a ，其中a 为常数●E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数●E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式)()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P kn kk n=-==-，1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badxx f b X a P)()(∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k kkPx X E )(⎰+∞∞-⋅=dxx f x X E )()(∑=kkk p x g X g E )())((∑∑=ijiji p x X E )(dxdyy x xf X E ⎰⎰=),()(∑∑=ijijj i p yx XY E )()()('x f x F =方差定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P 一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章卡方分布t 分布F 分布正态总体条件下样本均值的分布：样本方差的分布：)()()(Y E X E Y X E +=+dxdyy x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y EX E XY E Y X Cov -=[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P (1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P )(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若())(~1),,(~21222n Y N Y ni iχμσσμ∑=-则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ),(~2nN X σμ)1,0(~/N n X σμ-)1(~)1(222--n S n χσ)1(~/--n t ns X μ则若),(~),1,0(~2n Y N X χ)(~/n t nY X两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计似然函数均值的区间估计——大样本结果正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤1根据具体问题提出原假设H0和备择假设H12根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率与统计学公式集锦整理速查
概率与统计学公式集锦整理速查以下是概率与统计学领域中常见的公式集锦，方便您在需要时进行查阅和使用。
1. 概率公式1.1 事件的概率：P(A) = n(A) / n(S)1.2 互斥事件的概率：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)1.3 两独立事件的概率：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)1.4 随机事件的和：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)1.5 随机事件的差：P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)1.6 互补事件的概率：P(A') = 1 - P(A)2. 统计学公式2.1 定义方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]2.2 方差的性质：Var(aX) = a^2 × Var(X)2.3 协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]2.4 相关系数：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (√(Var(X)) × √(Var(Y)))2.5 二项分布期望：E(X) = n × p2.6 二项分布方差：Var(X) = n × p × (1 - p)2.7 正态分布的标准差：Var(X) = σ^23. 概率函数与密度函数3.1 二项分布概率函数：P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k)3.2 二项分布累积概率函数：P(X ≤ k) = Σ(i=0 to k) C(n, i) × p^i × (1 - p)^(n - i)3.3 正态分布概率密度函数：f(x) = (1 / (σ × √(2π))) × exp(-(x - μ)^2 / (2σ^2))3.4 正态分布累积概率函数：P(X ≤x) = Φ((x - μ) / σ)4. 估计与假设检验4.1 样本均值的抽样分布：X ～N(μ, σ^2/n)，其中 X 为样本均值，μ 为总体均值，σ 为总体标准差，n 为样本容量。
考研必备-概率论与数理统计公式大全
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A Y B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
概率论与数理统计核心公式汇总
概率论与数理统计核心公式汇总本文将介绍概率论与数理统计中的核心公式，这些公式在统计学和数据分析中起到至关重要的作用，帮助我们理解和处理各种随机现象和数据集。
通过掌握这些公式，我们可以更好地进行数据分析、推断和预测。
概率论核心公式1. 事件的概率计算公式事件的概率定义为：$P(A)=\\frac{n(A)}{n(S)}$，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间S中的总次数。
2. 条件概率公式条件概率的计算公式为：$P(A|B)=\\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$，表示事件B发生的条件下事件A发生的概率。
3. 贝叶斯定理贝叶斯定理表示为：$P(A|B)=\\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$，用于在给定相关事件的条件下计算其余事件的概率。
数理统计核心公式1. 样本均值和总体均值的关系样本均值$\\bar{X}=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}$，总体均值$\\mu=\\frac{\\sum_{i=1}^{N}X_i}{N}$。
当样本容量足够大时，样本均值接近于总体均值。
2. 样本方差和总体方差的关系样本方差$s^2=\\frac{\\sum_{i=1}^{n}(X_i-\\bar{X})^2}{n-1}$，总体方差$\\sigma^2=\\frac{\\sum_{i=1}^{N}(X_i-\\mu)^2}{N}$。
样本方差用于估计总体方差。
3. 中心极限定理中心极限定理表明，样本容量足够大时，样本均值的分布近似服从正态分布，不论总体分布是什么形式。
总结概率论与数理统计中的核心公式为我们提供了处理和分析数据的重要工具。
通过合理运用这些公式，我们可以更准确地理解数据背后的规律并做出有效的决策。
希望本文所介绍的核心公式对您有所帮助。
概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--例：证明：成立。
得证。
成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-⋃-⋃-==-=-⋃--)).) 2、对偶率：.----⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ； 3、概率性率： 1)()()(212121A P A P A A P A A +=⋃为不相容事件，则、有限可加：2)()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：特别，3)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ⋃-===--求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=⋃-=⋃==-+=⋃=-=-∴===+∴=+---B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB 又即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22nC n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率称为无条件概率。
的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(B P B A A P AB P A B P =B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：)|()()(i i A B P A P B P i∑=全概率公式：)|()()|()()()()|(j j ji i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==贝叶斯公式：例：有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑4个球,3号装有2红2黑4个球,某人随机从其中一罐,再从该罐中任取一个球,1求取得红球的概率；2如果取得是红球,那么是从第一个罐中取出的概率为多少.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。
概率论公式总结
概率论公式总结概率论与数理统计第 1 章随机事件及其概率加法公式减法公式乘法公式独立性P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝ 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时， P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时， P( B )=1- P(B)乘法公式： P( AB)P( A) P(B / A)更一般地，对事件A1， A2，? A n，若 P(A1A2?A n-1 )>0 ，则有P( A1A2? A n)P( A1)P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) ?? P( A n | A1 A2? A n 1) 。
①两个事件的独立性设事件 A、 B 满足P(AB)P( A) P( B)，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且P( A) 0 ，则有P( AB)P( A)P( B)P(B | A)P( B)P( A)P( A)②多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C ）全概公式贝叶斯公式P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2)P(B n )P( A | B n) 。
P( B i / A) nP( B i ) P( A / B i )，2，? n。
， i=1P(B j ) P( A / B j )j 1此公式即为贝叶斯公式。
P( B i ) ，（i1 ，2，?，n），通常叫先验概率。
P(B i / A) ，（i1 ，2，?，n），通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
第二章随机变量及其分布连续型设F ( x)是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数f ( x)，对任意实数 x ，有随机变x量的分 F ( x) f (x)dx ，则称 X 为连续型随机变量。
概率论与统计学公式总结【已整理 可直接打印】
概率论与统计学公式总结【已整理可直接打印】1. 概率公式概率 P(A) = n(A) / n(S)，其中 n(A) 表示事件 A 发生的次数，n(S) 表示样本空间中所有可能事件发生的次数。
2. 条件概率公式事件 B 在事件 A 已经发生的条件下发生的概率，表示为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
3. 独立事件公式如果事件 A 和事件 B 相互独立，则事件 A 发生与否不会对事件 B 发生的概率产生影响，表示为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
4. 期望值公式离散型随机变量 X 的期望值E(X) = ΣxP(X=x)，其中 x 表示可能的取值，P(X=x) 表示 X 取值为 x 的概率。
5. 方差公式离散型随机变量 X 的方差Var(X) = Σ(x-E(X))^2 * P(X=x)，其中 x 表示可能的取值，E(X) 表示随机变量 X 的期望值。
6. 正态分布公式正态分布的概率密度函数为f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x-µ)^2 / (2σ^2))，其中 µ表示均值，σ 表示标准差。
7. 中心极限定理对于一个总体中的任意样本，样本均值的分布接近正态分布，当样本容量足够大时，均值的分布越接近正态分布。
8. 置信区间公式无偏样本的均值x的置信水平为 1-α 的置信区间为 [x - Z * (σ/√n), x + Z * (σ/√n)]，其中x表示样本均值，Z 表示标准正态分布的分位数，σ 表示总体标准差，n 表示样本容量。
9. 假设检验公式在给定总体参数假设的条件下，进行样本均值的假设检验，计算统计量的值，与临界值进行比较，判断是否拒绝原假设。
10. 线性回归公式通过最小二乘法确定线性回归方程，表示为y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，其中 y 表示因变量，x₁, x₂, ..., xₙ 表示自变量，β₀, β₁, β₂, ..., βₙ 表示回归系数。
概率论的公式大全
概率论的公式大全1.基本概率公式：对于一个随机事件A，它发生的概率（记作P(A)）等于A包含的元素数目除以样本空间中元素的总数目。
P(A)=个数(A)/个数(样本空间)2.条件概率公式：对于两个事件A和B，如果B已经发生，则A发生的概率记作P(A，B)。
P(A，B)=P(A交B)/P(B)3.全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(A)=Σ(P(A，Bi)*P(Bi))，i=1到n4.贝叶斯定理：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(Bi，A)=(P(A，Bi)*P(Bi))/Σ(P(A，Bj)*P(Bj))，j=1到n5.独立事件公式：对于两个事件A和B，如果它们相互独立（即A的发生与B的发生没有任何关系），则它们的联合概率等于它们的乘积。
P(A交B)=P(A)*P(B)6.乘法公式：对于一系列独立事件A1，A2，...，An，它们的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
P(A1交A2交...交An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)7.加法公式：对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于各个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率。
P(A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)8.期望值公式：对于一个随机变量X和它的概率分布P(X)，它的期望值可以表示为：E(X)=Σ(Xi*P(Xi))9.方差公式：对于一个随机变量X和它的期望值E(X)，它的方差可以表示为：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 * P(Xi))，i为X的取值范围内的索引10.协方差公式：对于两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))11.相关系数公式：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以表示为：Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差12.大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，当n趋向于无穷大时，它们的算术平均值逐渐接近它们的期望值。
概率论与数理统计公式精选常用公式一览
概率论与数理统计公式精选常用公式一览为了帮助读者更好地掌握概率论与数理统计的知识，本文将为大家整理并介绍一些常用的公式。
这些公式是在学习和应用概率论与数理统计过程中必备的工具，相信对大家的学习和研究具有重要的参考价值。
一、概率论常用公式1. 概率公式在概率论中，我们经常需要计算事件发生的概率。
以下是几个常用的概率公式：（1）加法公式设A和B为两个事件，则A与B的和事件概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
（2）乘法公式设A和B为两个独立事件，则A与B的积事件概率为P(A∩B) =P(A) * P(B)。
2. 条件概率公式条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
以下是条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示A与B的交事件的概率，P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率。
3. 贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中非常重要的公式，它用于根据已知条件，计算一个事件的后验概率。
贝叶斯公式如下所示：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的先验概率。
二、数理统计常用公式1. 期望和方差在数理统计中，我们经常需要计算一组数据的期望和方差。
以下是期望和方差的计算公式：（1）期望的计算公式设X为一个离散型随机变量，其取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，则X的期望为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn。
（2）方差的计算公式设X为一个离散型随机变量，其取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，则X的方差为：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn。
大学概率论必背公式
P(Bj )P(A | Bj ) ,
n
P(Bi )P(A | Bi )
i 1
(j 1,..., n)
注：贝叶斯公式应用范围 随机试验可以看成分两阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，但第二个阶段的某 个结果是已知的，我们需要求的是第二阶段的这个结果为第一阶段某一个结果所 引起的概 率，这时候用贝叶斯公式
P(AB ) P(A | B )P(B )
P(ABC)＝ P(C|AB)P(B|A)P(A)
3. 全概率公式： 设 B1，…, Bn 是 的一个划分，且 P(Bi )>0，
(i＝1，…，n)，则对任何事件 A，有
n
n
P(A)＝ P(ABi ) P(Bi )P(A | Bi )
i 1
i 1
三个特性：
i. 其图形关于直线 x = 对称；
参数 0 , 2 1 的正态分布称为标准正态分布，
其密度函数表示为
(x )
1
x2
e 2 , x .
2
N(0, 1)的性质：
4. 联合分布函数 设(X , Y )是二维随机变量，(x , y ) R^2, 则称
lim
n
C nk
pnk (1
pn
)n
k＝
k k!
e
,
查表
（ 5 ） 二 维 离 散 型 随 机 变 量 (X, Y ) 的 分 布 律 ， 或 随 机 变 量 X 与 Y 的 联 合 分 布律：
4. 边缘分布律： 若随机变量 X 与 Y 的联合分布律为
则称
为(X, Y )关于 X 的边缘分布律；
0,
x a
F(x )
最新概率论与数理统计完整公式以及各知识点梳理
若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称
为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
xi
pi1
…
…
这里pij具有下面两个性质：
（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；
（2）
连续型
对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
《概率论与数理统计》公式汇总(全)
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L()
（10）加法 公式
（11）减法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
n
A Bi
2°
i1 ，
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
C Pn(k)
k n
pk qnk
，
k
0,1,2,, n
。
第二章 随机变量及其分布
（1）离散 型随机变 量的分布 律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事
概率论的公式大全
概率论的公式大全一、基本概率公式：1.定义概率公式：对于任意事件A，概率P(A)的范围是[0,1]。
2.互补事件概率公式：对于任意事件A，概率P(A')=1-P(A)。
3.空集概率公式：对于空集Φ，概率P(Φ)=0。
二、条件概率公式：4.定义条件概率公式：对于事件A和B，当P(B)>0时，条件概率P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
5.乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B)=P(A，B)·P(B)。
三、独立事件公式：6.独立事件公式：对于事件A和B，当P(A)>0且P(B)>0，事件A和事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)·P(B)。
7.乘法公式（多个独立事件）：对于事件A1，A2，...，An，P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)·P(A2)·...·P(An)。
四、加法公式：8.加法公式（两个互不相容事件）：对于事件A和B，当A和B互不相容（即A∩B=Φ）时，P(A∪B)=P(A)+P(B)。
9.加法公式（两个一般事件）：对于事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
五、全概率公式：10.全概率公式：对于任意一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(A)=Σ[P(A，Bi)·P(Bi)]，其中Σ表示求和。
六、贝叶斯公式：11.贝叶斯公式：对于事件A和一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)·P(Bi)/[Σ[P(A，Bj)·P(Bj)]]，其中Σ表示求和。
七、期望与方差公式：12.期望公式：对于随机变量X的概率分布函数P(x)，它的期望E(X)定义为E(X)=Σ[x·P(x)]，其中Σ表示求和。
概率论公式总结
概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。
在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。
本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。
对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。
2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。
对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。
3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。
对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。
对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。
概率论常用公式整理
则有
h g ( x, y) f ( x, y)dxdy h( z ) p( z )dz ，
f Z ( z ) p( z ), z
随机变量的数字特征
数学期望： E ( X ) 性质： (1) (2)
xf ( x)dx
E ( Y ) E ( g ( X ) )
(5) 收缩性： E ( X ) E ( X ) (6) 马尔可夫不等式： P( X c)
E( X ) c
(7) 若 E ( X ) 0 ，则 P( X 0) 1 几种常见分布的期望： 1)
X ~ B(n, p) E( X ) np
2) 3)
X ~ N ( , 2 ) E( X )
随机变量的函数分布：已知随机变量 X 的概率密度 f X x ，则随机变量 Y g X 的概率 密度的求法： (1)
' fY y f X h y h y , a y b ，其中 x h y 为y g x 的反函数
(2) （积分转化法）h(x)为任意有界连续函数， 则有 fY ( y) p( y), y
h g ( x) f X ( x)dx h( y) p( y )dy ，
(3) 假设 g(X)是单调递增函数， FY ( y) P( g ( X ) y) P( X h( y)) FX (h( y))
概率论 D 常用公式整理
条件概率
乘法公式： P( AB) P( B) P( A | B)
全概率公式：
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第一章 随机事件及其概率随机事件A ，样本空间Ω，概率空间F ，A A ⊂Ω∈，F 一、随机事件间的关系和运算1、 包含：A ⊂B ，表示A 发生必有事件B 发生2、 相等： 若A ⊂B 且B ⊃A ，即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。
3、 互不相容（或互斥）：A ∩B=Ф，表示A 与B 不可能同时发生。
对立一定互斥。
4、 对立（或互逆）: A =Ω-A 。
表示A 不发生的事件。
互斥未必对立。
5、和事件/并：A ∪B ，或者A+B （A ∩B=Ø），表示A 、B 中至少有一个发生的事件。
6、 差事件：A B A AB AB −=−=,表示A 发生而B 不发生的事件。
7、 积事件/交：A ∩B 或者AB ，表示 A 、B 同时发生的事件。
二、运算定律1、交换律：A ∪B=B ∪A ；A ∩B =B ∩A 。
2、 结合律：A ∪（B ∪C ）=（A ∪B ）∪C ；A ∩（B ∩C ）=（A ∩B ∩ C3、分配律：A ∪（B ∩C ）=（A ∪ B ）∩（A ∪C ）； ()()()A B C A B A C =∩∪∩∪∩。
4、德摩根律（对偶率）：B A ∪=A ∩B ；B A ∩=A ∪B ；。
z 常用结论：A A =Φ； A ∪A =Ω； ()()AB A B AB A B B A AB =+−=−+−+∪第二章 随机变量及其分布一、一维随机变量及其分布 1、分布函数:(){}F x P X x =≤ 分布函数性质:(1)0()1,;F x x R ≤≤∈(2)()F x 是单调不减的；(3)()lim ()0;x F F x →−∞−∞==()lim ()1;x F F x →+∞+∞==(4)()F x 为右连续，即000lim ()(),.x x F x F x x R +→=∈分布函数重要公式:(1){}();P X b F b ≤=(2){}()();P a X b F b F a <≤=−(3){}1();P X a F a >=−(4){}();P X b F b −<=(5)()()(),.P X b F b F b b R −==−∈ 2、离散型随机变量: (){}{}()k kx xF x P X x P X x x R ≤=≤==∈∑¾ 典型离散型随机变量的分布：(1) 退化分布(单点分布)：()1P X C == (2) 两点分布B (1,p ) ：1{}(1)(0,1)k k P X k p p k −==−=(3) 离散型均匀分布：1{}(1,2,,)k P X x k n n=== (4) 二项分布(,)B n p ：{}(1)k k n k n P X k C p p −==− (5) 泊松分布()P λ：{}e (0,1,)!kP X k k k λλ−===(6) 几何分布：1{}(1)(1,2,)k P X k p p k −==−=(7) 超几何分布：{}(0,1,2,,min{,})k n k M N MnNC C P X k k M n C −−=== 3、连续型随机变量：()()d xF x p t t −∞=∫¾ 密度函数的性质：(1)()0,;p x x R ≥∈(2)()d 1;p x x +∞−∞=∫(3){}()()()d ;baP a X b F b F a p x x <≤=−=∫ (4){}0.P X c ==¾ 典型连续性随机变量的分布： (1) 均匀分布 X ~ U [a ,b ]1,,()0,,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=−⎨⎪⎩其它; 0,,(),,1,.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪≥⎪⎩1{}{}0;P X a P X b <=>= 性质：2{}.d cP c X d b a−≤<=− (2) 正态分布 2~(,)X N μσ22()2(),.xμσp x x−−=−∞<<∞;22()2()dtμxσF x e t−−−∞=∫(3)标准正态分布~(0,1)X N22()xxφ−=;22()d.txx t−Φ=∫(1)()1(),x xΦ−=−Φ性质：(0)0.5Φ=；22(2)xe dx+∞−−∞=∫(4)指数分布~()X Expλ,0,()0,0.xe xp xxλλ−⎧>=⎨≤⎩;1,0,()0,0.xe xF xxλ−⎧−>=⎨≤⎩二、 二维随机变量及分布：1、联合分布函数：(,)F x y{,}P X x Y y=≤≤2、二维离散型随机变量的分布：{,},i j ijP X x Y y p===(,) ,i jijx x y yF x y p≤≤=∑∑3、二维连续型随机变量的分布：(,)(,)d dx yF x y p u v u v−∞−∞=∫∫¾联合密度函数性质：(1)(,)0;p x y≥(2)(,)d d(,)1;p x y x y F+∞+∞−∞−∞=+∞+∞=∫∫2(,)(3)(,)(,),(,);F x yp x y x y p x yx y∂=∂∂若在连续则有(4){(,)}(,)d d.GP X Y G p x y x y∈=∫∫¾典型二维随机变量的分布：(1) 均匀分布：1,(,),(,)0,.x y Dp x y S⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它(2) 二维正态分布221212(,)~(,,,,)X Y Nμμσσρ：2211222221212()2()()()12(1)(,)xμρxμyμyμσσρσσp x y⎡⎤−−−−−−+⎢−⎢⎥⎣⎦=(,),x y−∞<<∞−∞<<∞4、边缘分布：()(,){,}{}XF x F x P X x Y P X x=+∞=<≤+∞=≤；()(,){,}{}YF y F y P X Y y P Y y=+∞=<+∞≤=≤(1) 离散型随机变量：边缘分布函数 1()(,),i X ij x x j F x F x p ∞≤==+∞=∑∑1()(,).j Y ijy y i F y F y p ∞≤==+∞=∑∑边缘分布律 1{},1,2,,i ij i j p p P X x i ∞•=====∑ 1{},1,2,,j ij j i p p P Y y j ∞•=====∑(2) 连续型随机变量：边缘分布函数 {}()(,)(,)d d xX F x F x p x y y x +∞−∞−∞=+∞=∫∫边缘密度 ()(,)d ;X p x p x y y +∞−∞=∫()(,)d Y p y p x y x +∞−∞=∫(3) 结论：二元正态分布的边缘分布是一元正态分布．221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ即若，则221122~(,),~(,).X N Y N μσμσ5、独立性：(,)()().X Y X Y F x y F x F y ⇔=和相互独立(1):{,}{}{}i j i j X Y P X x Y y P X x P Y y ⇔=====、离散型与相互独立(2):(,)()()X Y X Y p x y p x p y ⇔=、连续型与相互独立常用结论：(1)()().X Y f X g y 若和相互独立，则与也相互独立 1212(2)(,),,X Y N u u σσρ∼（,,），0X Y ρ⇔=与相互独立 6、条件分布（1）离散型：条件分布律{;}{|};{}i j ij i j j j P X x Y y p P X x Y y P Y y p ⋅======= {,}{|}{}i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x P X x p ⋅=======（2）连续型：条件概率密度 (,)();()X Y Y p x y p x y p y =|(x,)(|)()Y X X p y p y x p x = 条件分布函数 ||(|)(|)d (x,)/()d xx X Y X Y Y F x y p x y x p y p y x −∞−∞==∫∫||(|)(|)d y Y X Y X F y x p y x y −∞=∫(x,)/()d yX p y p x y −∞=∫（3）常用结论：二元正态分布的条件分布仍为正态分布。
三、 随机变量的函数及其分布1、一维随机变量函数的分布 ()Y f X =（1）离散型：{}{()}k k P Y y P f X y ===()k i i y f x p ==∑（2）连续型：方法一：分布函数法：()(){}{()}()d ()().Y X f x yY F y P Y y P f X y p x xx F y Y ≤=≤=≤=−∞<<∞∫再对求导得到的密度函数方法二：公式法：11[()][()],,() 0, .X Y p f y f y y p y αβ−−⎧′<<⎪=⎨⎪⎩注意条件其它常用结论：(1) 随()~[0,1]X F x U 机变量的分布函数(2) 若22~(,)~~(,()).X N μσY aX b N a μb a σ=++，则 2、二维随机变量函数的分布 (,)Z f X Y =（1）和的分布Z X Y =+()(,)d Z p z p z y y y +∞−∞=−∫(,)d p x z x x +∞−∞=−∫；X Y 当与独立，()()()d Z X Y p z p z y p y y +∞−∞=−∫()()d X Y p x p z x x +∞−∞=−∫（2）差的分布Z X Y =−()(,)d Z p z p z y y y +∞−∞=+∫(,)d p x x z x +∞−∞=−∫；X Y 当与独立，()()()d Z X Y p z p z y p y y +∞−∞=+∫()()d X Y p x p x z x +∞−∞=−∫（3）商的分布XZ Y=()||(,)d Z p z y p yz y y +∞−∞=∫；X Y 当与独立，()||()()d Z X Y p z y p yz p y y +∞−∞=∫ （4）极值分布max{,},M X Y =min{,}.N X Y =的分布X Y 当，相互独立,()()()M X Y F z F z F z =；()1[1()][1()]N X Y F z F z F z =−−− X Y 当，相互独立且同分布,2()()M F z F z =；2()1[1()]N F z F z =−−3、常用结论(1) 若1122121212~(),~(),~()X P X P X X X X P λλλλ⇒++且相互独立2211222,~(,),~(,)X Y X N Y N μσμσ（）相互独立且，221212~(,)Z X Y N μμσσ=+++则(3) 若,~(0,1),~(0,1)/X Y X N Y N Z X Y =相互独立且，则服从柯西分布：211()1Z p z z π=+。