吉林省中考数学试题及详细答案
精品解析：2024年吉林省长春市中考数学试题(解析版)
2024年长春市初中学业水平考试数学本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 根据有理数加法法则，计算()23+−过程正确的是（ ）A. ()32++B. ()32+−C. ()32−+D. ()32−−【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答． 【详解】解：()()2332+−−−=． 故选D ．2. 南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．A. 主视图B. 俯视图C. 左视图D. 右视图【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图． 故选B ．3. 在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（ ）A. 54oB. 60C. 70D. 72【答案】D 【解析】【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：(52)180180725α−⨯︒∠=︒−=︒，故选：D ．4. 下列运算一定正确的是（ ） A. 236a a a ⋅= B. 236a a a ⋅=C. ()222ab a b =D. ()235a a =【答案】C 【解析】【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A ；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B ；根据积的乘方运算法则计算并判断C ；根据幂的乘方运算法则计算并判断D ． 【详解】解：A ．2236a a a ⋅=，故本选项不符合题意； B ．235a a a ⋅=，故本选项不符合题意；C ．()222ab a b =，故本选项符合题意；D ．()236a a =，故本选项不符合题意；故选：C ．5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，a 、b 分别表示两位同学的身高，c 表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）A. 若a b >，则a c b c +>+B. 若a b >，b c >，则a c >C. 若a b >，0c >，则ac bc >D. 若a b >，0c >，则a b c c> 【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：a b >，由右图可知：a c b c +>+，即A 选项符合题意． 故选：A ．6. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL 为（ ）A. sin a θ千米B.sin aθ千米 C. cos a θ千米D.cos aθ千米 【答案】A 【解析】【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意得：sin AL ALAR aθ== ∴sin AL a θ=千米 故选：A7. 如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ； ②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ； ③以点F圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（ ）A. AOM B ∠=∠B. 180OMC C ∠+∠=C. AM CM =D. 12OM AB =【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出AOM B ∠=∠，根据平行线的判定得出OM BC ∥，根据平行线的性质得出180OMC C ∠+∠=，根据平行线分线段成比例得出1AM AOCM OB==，即可得出AM CM =． 【详解】解：A ．根据作图可知：AOM B ∠=∠一定成立，故A 不符合题意； B ．∵AOM B ∠=∠， ∴OM BC ∥，∴180OMC C ∠+∠=一定成立，故B 不符合题意； C ．∵O 是边AB 的中点， ∴AO BO =， ∵OM BC ∥，为∴1AM AOCM OB==， ∴AM CM =一定成立，故C 不符合题意； D ．12OM AB =不一定成立，故D 符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点()4,2A 在函数()0,0ky k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数()0,0ky k x x=>>的图象交于点C ．若BC =B 的坐标是（ ）A. (B. ()0,3C. ()0,4D. (【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，先根据点A 坐标计算出sin OAE ∠、k 值，再根据平移、平行线的性质证明DBC OAE ∠=∠，进而根据sin sin CDDBC OAE BC∠==∠求出CD ，最后代入反比例函数解析式取得点C 的坐标，进而确定2CD =,4OD =，再运用勾股定理求得BD ，进而求得OB 即可解答．【详解】解：如图，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，则AE y ∥轴，∵()4,2A ，∴4OE =，OA =∴sinOE OAE OA ∠===． ∵()4,2A 在反比例函数的图象上， ∴428k =⨯=．∴将直线OA 向上平移若干个单位长度后得到直线BC ， ∴OA BC ∥， ∴OAE BOA ∠=∠， ∵AE y ∥轴， ∴DBC BOA ∠=∠， ∴DBC OAE ∠=∠，∴sin si n CD DBC OAE BC ∠===∠=2CD =，即点C 的横坐标为2， 将2x =代入8y x=，得4y =， ∴C 点的坐标为()2,4， ∴2CD =,4OD =，∴1BD ==，∴413OB OD BD =−=−=, ∴()0,3B 故选：B ．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9. 单项式22a b −的次数是_____． 【答案】3 【解析】【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式22a b −的次数是：213+=， 故答案为：3．10.=____．【解析】【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．==【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 11. 若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是________． 【答案】14c > 【解析】【分析】本题主要考查了抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点问题，掌握抛物线2y ax bx c =++与x 轴没有交点与20x x c −+=没有实数根是解题的关键．由抛物线与x 轴没有交点，运用根的判别式列出关于c 的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线2y x x c =−+与x 轴没有交点， ∴20x x c −+=没有实数根，∴2141140c c ∆=−⨯⨯=−<，14c >． 故答案为：14c >． 12. 已知直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，且y 随x 的增大而减小，则b 的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出1k b =+，由y 随x 的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出0k <，若代入1k =−，求出b 值即可．【详解】解：∵直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1， ∴1k b =+．∵y 随x 的增大而减小， ∴0k <，当1k =−时，11b =−+， 解得：2b =， ∴b 的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）13. 一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放，边AB 与直线l 重合，12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，则点A 经过的路径长至少为________cm ．（结果保留π）【答案】203π【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键．由旋转的性质可得60ABC A BC '∠=∠=︒,即120A BA '∠=︒，再根据点A 经过的路径长至少为以B 为圆心，以AB 为半径的圆弧的长即可解答．【详解】解：∵将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上， ∴60ABC A BC '∠=∠=︒,即120A BA '∠=︒， ∴点A 经过的路径长至少为12010201803ππ︒⋅⋅=︒．故答案为：203π． 14. 如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①ABD DAC ∠=∠； ②AF FG =；③当2DG =，3GB =时，2FG =；④当2BD AD =，6AB =时，DFG 上述结论中，正确结论的序号有________．【答案】①②③ 【解析】【分析】如图：连接DC ，由圆周角定理可判定①；先说明BDE AGD ∠=∠、ADE DAC ∠=∠可得DF FG =、AF FD =，即AF FG =可判定②；先证明∽ADG BDA 可得AD GDBD AD=,即AD GDDG BG AD=+,代入数据可得AD =，然后运用勾股定理可得AG =AF FG =即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，易得60AOD DOC ∠=∠=︒，从而证明,AOD ODC 是等边三角形，即ADCO 是菱形，然后得到30DAC OAC ∠=∠=︒，再解直角三角形可得DG =ADGS =④．【详解】解：如图：连接DC ，∵D 是AC 的中点， ∴AD DC =,∴ABD DAC ∠=∠，即①正确； ∵AB 是直径， ∴90ADB ∠=︒，∴90DAC AGD ∠+∠=︒， ∵DE AB ⊥ ∴90BDE ABD??,∵ABD DAC ∠=∠， ∴BDE AGD ∠=∠， ∴DF FG =， ∵90BDE ABD??，90BDE ADE ∠+∠=︒,∴ADE ABD ∠=∠， ∵ABD DAC ∠=∠， ∴ADE DAC ∠=∠， ∴AFFD =，∴AF FG =,即②正确； 在ADG △和BDA △,90ADG BDA DAG DBA ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∴∽ADG BDA ， ∴AD GD BD AD =,即AD GDDG BG AD=+,∴223AD AD=+，即AD =∴AG ==∵AF FG =，∴122FG AG ==，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ， ∵2BD AD =，6AB =，D 是AC 的中点， ∴1,3AD DC AB ==∴60AOD DOC ∠=∠=︒， ∵OA OD OC ==，∴,AOD ODC 是等边三角形，∴6OA AD CD OC OD =====，即ADCO 是菱形， ∴1302DAC OAC DAO ∠=∠=∠=︒， ∵90ADB ∠=︒，∴tan tan 30DG DAC AD ∠=︒=，即36DG=，解得：DG =∴11622ADGSAD DG =⋅=⨯⨯= ∵AF FG = ∴1332DFGADGSS ==故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．三、解答题：本题共10小题，共78分．15. 先化简，再求值：32222x xx x−−−，其中x=【答案】2x，2【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可．【详解】解：原式()23222222x xx xx x x−−===−−∵x=，∴原式2=16. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A、B、C三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．【答案】1 3【解析】【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可．【详解】解：列表如下：共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为31 93 =．17. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱 【解析】【分析】设共x 人合伙买金，金价为y 钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设共x 人合伙买金，金价为y 钱，依题意得：4003400300100x yx y −=⎧⎨−=⎩，解得：339800x y =⎧⎨=⎩．答：共33人合伙买金，金价为9800钱．【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18. 如图，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，O 是边AB 的中点，AOD BOC ∠=∠．求证：四边形ABCD 是矩形．【答案】证明见解析． 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用SAS 可证明AOD BOC ≌△△，得出AD BC =，根据90A B ∠=∠=︒得出AD BC ∥，即可证明四边形ABCD 是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形ABCD 是矩形．【详解】证明：∵O 是边AB 的中点， ∴OA OB =，在AOD △和BOC 中，90A B OA OB AOD BOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AOD BOC ≌△△， ∴AD BC =， ∵90A B ∠=∠=︒， ∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵90A B ∠=∠=︒， ∴四边形ABCD 是矩形．19. 某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．高中部20名学生所评分数频数分布直方图如下图：（数据分成4组：67x ≤<，78x ≤<，89x ≤<，910x ≤≤）b ．高中部20名学生所评分数在89x ≤<这一组的是：8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8c ．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：根据以上信息，回答下列问题：的（1）表中m 的值为________；（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a 、b ，则a ________b ；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数． 【答案】（1）8.3（2）①>；②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人 【解析】【分析】（1）由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.42m +=，计算求解即可；（1）①利用中位数进行决策即可；②根据4580020+⨯，计算求解即可． 【小问1详解】解：由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.48.32m +==， 故答案为：8.3； 【小问2详解】①解：由题意知，初中部评分的中位数为8.5，高中部评分的中位数为8.3， ∴a b >， 故答案为：>； ②解：∵4580036020+⨯=， ∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体是解题的关键．20. 图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．（1）在图①中，四边形ABCD面积为2；（2）在图②中，四边形ABCD面积为3；（3）在图③中，四边形ABCD面积为4．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形ABCD即可．（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形ABCD即可．（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形ABCD即可．【小问1详解】解：如图①：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．【小问2详解】解：如图②：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．【小问3详解】解：如图③：四边形ABCD 即为所求；（不唯一）．21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y （千米）与在此路段行驶的时间x （时）之间的函数图象如图所示．（1）a 的值为________； （2）当112x a ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1）15（2）11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（3）没有超速 【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．（1）由题意可得：当以平均时速为100/千米时行驶时，a 小时路程为20千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶112小时的速度，据此即可解答． 【小问1详解】解：由题意可得：10020a =，解得：15a =． 故答案为：15． 【小问2详解】 解：设当11125x ≤≤时，y 与x 之间函数关系式为()0y kx b k =+≠， 则：11761205k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：902k b =⎧⎨=⎩，∴11902125y x x ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭．【小问3详解】 解：当112x =时，19029.512y =⨯+=， ∴先匀速行驶112小时的速度为：19.5114/12÷=（千米时）， ∵114120＜，∴辆汽车减速前没有超速． 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边ABC 中，3AB =，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，且AM CN =，试探究线段MN 长度的最小值．的【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：AM MP =；（2）CAP ∠的大小为 度，线段MN 长度的最小值为________． 【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，ABC 是等腰三角形，四边形BCDE 是矩形，2AB AC CD ===米，30ACB ∠=︒．MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M 在AC 上，点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM DN =．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，32；方法应用：线段MN 长度的最小值为2米 【解析】【分析】（1）过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明30CAPMPA ??，根据垂线段最短求出最小值；（3）过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，求出15MAH ?，进而得45DAH ∠=︒，利用垂线段最短求出即可．【详解】解：问题解决：（1）证明：过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，∴四边形MNCP 是平行四边形，NC MP MN PC \==，AM NC =AM MP ∴=；（2）在等边ABC 中，60ACB ∠=︒，MP CN ∥60PMC ACB \???AM MP =30CAP MPA \???；当CP AP ⊥时，CP 最小，此时MN 最小， 在Rt ACP 中，3,30AC CAP=??13322CP \=?， ∴线段MN 长度的最小值为32； 方法应用：过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，∴四边形MNDH 是平行四边形，,ND MH MN DH MH ED \==，∥AM ND =AM MH ∴=，四边形BCDE 是矩形，,90BC ED BCD \??∥ BC MH \∥ 30ACB CMH\???AM MH = 15MAH \??3m,120AC CD ACD ACB BCD ==????30DAC ∴∠=︒45DAH ∴∠=︒∴当DH AH ⊥时，DH 最小，此时MN 最小，作CR AD ⊥于点R ，在Rt ACR 中，3,30AC CAR =??13322CR \=?，2AR \=2AD AR \==在Rt ADH中，45AD DAH=??2DH AH \==∴线段MN【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．23. 如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =．点D 是边BC 上的一点（点D 不与点B 、C 重合），作射线AD ，在射线AD 上取点P ，使AP BD =，以AP 为边作正方形APMN ，使点M 和点C 在直线AD 同侧．的（1）当点D 是边BC 的中点时，求AD 的长；（2）当4BD =时，点D 到直线AC 的距离为________； （3）连结PN ，当PN AC ⊥时，求正方形APMN 的边长；（4）若点N 到直线AC 的距离是点M 到直线AC 距离的3倍，则CD 的长为________．（写出一个即可）【答案】（1）4 （2）85（3）177（4）256或259 【解析】【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设AP x =，则BD x =，6CD x =−，过点D 作DHAC ⊥于Q，根据AQ CQ AC +=，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，M ，N 在AC 异侧时，设MQ m =，3NQ m =，则4AN m =，证明CDE ANQ ∽，得到CE CDNQ AQ=，即可求解；第二种情况，当M ，N 在AC 同侧，设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯，求得3345525x x +⨯=，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：根据题意可知：5AB AC ==，ABC ∴为等腰三角形，故点D 是边BC 的中点时，AD BC ⊥；在Rt ADC 中，4AD ====；【小问2详解】根据题意作DH AC ⊥，如图所示；当4BD =时，则2CD =，设点D 到直线AC 的距离为DH h =，1124522ACDSh =⨯⨯=⨯⨯， 解得：85h =； 【小问3详解】如图，当NP AC ⊥时，点M 落在AC 上，设AP x =，则BD x =，6CD x =−， 过点D 作DH AC ⊥于Q 则()33655CQ CD x ==−，()44655DQ CD x ==− ()44655AQ DQ CD x ===−，AQ CQ AC +=，()()3466555x x ∴−+−= 解得：177x = 故177=AP ， 所以正方形APMN 的边长为177； 【小问4详解】如图，M ，N 在AC 异侧时；设MQ m =，3NQ m =，则4AN m =ANQ ∴三边的比值为3:4:5，AQN C ∴∠=∠，CAD C ∴∠=∠，∴CDE ANQ ∽CE CDNQ AQ= ∴5525326CD =⨯= 当M ，N 在AC 同侧设MQ m =，则3AN AP m ==，2PQ m =，APO ∴三边比为，AQD ∴三边比为设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯3345525x x ∴+⨯= 解得：259CD x ==综上所述：CD 的长为256或259 24. 在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线22y x x c =++（c 是常数）经过点()2,2−−．点A 、B 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m 、m −，点C 的横坐标为5m −，点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，连结AB 、AC ．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求证：当m 取不为零的任意实数时，tan CAB ∠的值始终为2；（3）作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D ，以AD 为边、AC 为对角线作菱形ADCE ，连结DE ． ①当DE 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE 的面积；②当此抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）222y x x =+−（2）见详解 （3）①9ADCE S =菱形；②3m ≤−或10m −≤<或04m <≤ 【解析】【分析】（1）将()2,2−−代入22y x x c =++，解方程即可；（2）过点B 作BH AC ⊥于点H ，由题意得()()22,22,,22A m m m B m m m +−−−−，则4A B BH y y m =−=，2A B AH x x m =−=，因此tan 2BHCAB AH∠==； （3）①记,AC DE 交于点M ， ()25,22C m m m −+−，而对称轴为直线=1x −，则512m m−+=−，解得：12m =，则32AM =，3AC =，由tan 232DM DMCAB AM∠===，得3DM =，则6DE =，因此9ADCE S =菱形；②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F ，则()1,3F −−，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，符合题意；当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意， 过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，由CAD FCQ ∠=∠，得到()()2223215m m m +−−−=−−−，解得：4m =4m =+（舍），故04m <≤，当4m >时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当0m <时，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =−，故10m −≤<；当m 继续变小，直线AE 经过点F 时，也符合题意， 过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，()222321m m m+−−−=−−，解得：3m =−或1m =−（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，因此3m ≤−，故m 的取值范围为：3m ≤−或10m −≤<或04m <≤． 【小问1详解】解：将()2,2−−代入22y x x c =++， 得：442c −+=−， 解得：2x =−，∴抛物线表达式为：222y x x =+−； 【小问2详解】解：过点B 作BH AC ⊥于点H ，则90AHB ∠=︒，由题意得：()()22,22,,22A m m m B m m m +−−−−，∴4A B BH y y m =−=，2A B AH x x m =−=， ∴在Rt AHB △中，4tan 22mBH CAB AH m∠===； 【小问3详解】解：①如图，记,AC DE 交于点M ，由题意得，()25,22C m m m −+−，由2122b a −=−=−， 得：对称轴为直线：=1x − ∵四边形ADCE 是菱形，∴点A 、C 关于DE 对称，2,2AC AM DE DM ==， ∵DE 与此抛物线的对称轴重合， ∴512m m−+=−， 解得：12m =， ∴12A x =， ∴()13122AM =−−=∴3AC =， ∵tan 232DM DMCAB AM∠===， ∴3DM =，则6DE =， ∴192ADCE S DE AC =⨯=菱形； ②记抛物线顶点为点F ，把=1x −代入222y x x =+−，得：=3y −，∴()1,3F −−，∵抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大， ∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线， 当0m >时，如图，符合题意，当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ， ∵四边形ADCE 是菱形， ∴DA DC =， ∴CAD FCQ ∠=∠， ∴tan tan 2FQFCQ CAD CQ∠=∠==， ∴()()2223215m m m +−−−=−−−，解得：4m =4m =+（舍），∴04m <≤，当4m >当0m <时，如图，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =−，符合题意，如图：∴10m −≤<；当m 继续变小，直至直线AE 经过点F 时，也符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，tan 2FQFAQ AQ∠==， ∴()222321m m m+−−−=−−，解得：3m =−或1m =−（舍）， 当m 继续变小时，仍符合题意，如图：∴3m ≤−，综上所述，m 的取值范围为：3m ≤−或10m −≤<或04m <≤．【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．。
2024年吉林四平中考数学试题及答案
2024年吉林四平中考数学试题及答案数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A．2B．1C．0D．1-2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A．102.0410⨯B．92.0410⨯C．820.410⨯D．100.20410⨯3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同D．主视图、左视图与俯视图都相同4．下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．()221x -=-B．()220x -=C．()221x -=D．()222x -=5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A．()4,2--B．()4,2-C．()2,4D．()4,26．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A．50︒B．100︒C．130︒D．150︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7．当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为．8．因式分解：a 2﹣3a=．9．不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为．10．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是．11．正六边形的每个内角等于°．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为．13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为．14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为2m （结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．Y中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求17．如图，在ABCD证：AE BC=．18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，，只用无刻O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的O度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．的切线．(2)在图②中，画出经过点E的O20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．21．中华人民共和国20192023-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．根据以上信息回答下列问题：(1)20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？(2)直接写出20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数．(3)下列判断合理的是______（填序号）．①20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．②20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．22．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）五、解答题（每小题8分，共16分）23．综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的y，记录如下：宽度为mmx16.519.823.126.429.7以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mmy115.5132148.5165181.5凳面的宽度/mm【分析数据】如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．(2)当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A 出发，/s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．(1)直接写出k ，a ，b 的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．1/281．D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D．2．B【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：92040000000 2.0410⨯=故选B．3．A【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A．4．B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A、()2210x -=-<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B、()220x -=，解得：122x x ==，故本选项符合题意；C、()221x -=，21x -=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D、()222x -=，2x -=，解得1222x x ==故选：B．5．C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C．6．C【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C．7．0（答案不唯一）【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得10x +>，则1x >-，据此可得答案．【详解】解：∵分式11x +的值为正数，∴10x +>，∴1x >-，∴满足题意的x 的值可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．8．a（a﹣3）【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a（a﹣3）．故答案为a（a﹣3）．9．23x <<##32x >>【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10．两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11．120【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7201206︒=︒，故答案为：12012．12【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，∵点E 是OA 的中点，∴12OE OA =，∵45FEO ∠=︒，∴EF AD ∥，∴OEF OAD △∽△，∴12EF OE AD OA ==，即12EF BC =，故答案为：12．13．()22220.5x x +=+【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14．11π【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．【详解】解：由题意得：()224010111360S ππ-==阴影，故答案为：11π．15．22a ，6【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：原式2211a a =-++22a =，当a =原式22=⨯6=．16．13【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A 、B 、C ，可画树状图为：由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率3193P ==．17．证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18．白色琴键52个，黑色琴键36个【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴白色琴键：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．19．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；易证明四边形ABCD 是矩形，且E 、F 分别为AB CD ，的中点；（2）解：如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求；易证明四边形OGTH 是正方形，点E 为正方形OGTH 的中心，则OE GH ⊥．20．(1)36I R=(2)12A 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当3R =Ω时I 的值即可得到答案．【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为()0U I U R=≠，把()94，代入()0U I U R=≠中得：()409U U =≠，解得36U =，∴这个反比例函数的解析式为36I R =；（2）解：在36I R =中，当3R =Ω时，3612A 3I ==，∴此时的电流I 为12A ．21．(1)8485元(2)35128元(3)①【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【详解】（1）解：39218307338485-=元，答：20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．（2）解：20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；（3）解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22．218.3m【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．先解Rt GAD 得到873tan DG AG DG EAD===∠，再解Rt GAC △，tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，即可求解CD ．【详解】解：延长DC 交AE 于点G ，由题意得873m AB DG ==，90DGA ∠=︒在Rt GAD 中，45EAD ∠=︒，∴873tan DG AG DG EAD===∠，在Rt GAC △中，37EAC ∠=︒，∴tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，∴873654.75218.3m CD DG CG =-=-≈，答：吉塔的高度CD 约为218.3m ．23．(1)在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+(2)36mm【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【详解】（1），解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；（2）解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24．（1）2，（2）4，（3）152，12EFGH ab S =四边形，证明见详解，（4）10【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据菱形的面积公式计算即可；（3）结合图形有，EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，即可得()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，问题随之得解；（4）先证明MNK △是直角三角形，由作图可知：MKN MPQ ∠=∠，即可证明KM PQ ⊥，再结合（3）的结论直接计算即可．【详解】（1）∵在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，2CD =，∴2AD CD ==，∴4AC =，∴122ABC S AC BD =⨯⨯=V ，故答案为：2；（2）∵在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，∴142A B C D S B D A C ''''''''=⨯⨯=菱形，故答案为：4；（3）∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵5EG =，3FH =，∴11522EFGH S EG FH =⨯⨯=四边形，故答案为：152，猜想：12EFGH ab S =四边形，证明：∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵EG a =，FH b =，∴12EFGH ab S =四边形；（4）根据尺规作图可知：QPM MKN ∠=∠，∵在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，∴222MK KN MN =+，∴MNK △是直角三角形，且90MNK ∠=︒，∴90NMK MKN ∠+∠=︒，∵QPM MKN ∠=∠，∴90NMK QPM ∠+∠=︒，∴MK PQ ⊥，∵4PQ KN ==，5MK =，∴根据（3）的结论有：1102MPKQ S MK PQ =⨯⨯=四边形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．25．(1)等腰三角形，AQ t=(2)32t =(3))2223,04232421,242S t t S t t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩【分析】（1）过点Q 作QH AD ⊥于点H ，根据“平行线+角平分线”即可得到QA QP =，由QH AP ⊥，得到122HA AP t ==，解Rt AHQ △得到AQ t =；（2）由PQE V 为等边三角形得到QE QP =，而QA QP =，则QE QA =，故223AE AQ t ===，解得32t =；（3）当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE V ，过点P 作PG QE ⊥于点G，122PG AP t ==，则2124S QE PG t =⋅=，此时302t <≤；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC，此时)tan 23CF CE E t =⋅∠=-，因此()212322FCE S CE CF t =⋅=-，故可得2PQE FCE S S S t =-=+△△322t <<；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，此时PD =-)1PC CD PD t =+-，解直角三角形得31tan 3PC QC PC t PQC ===-∠，故()213122S QC PC t =⋅=-，此时24t ≤<，再综上即可求解．【详解】（1）解：过点Q 作QH AD ⊥于点H ，由题意得：3AP t=∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=︒，∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=︒，∴PAQ APQ =∠∠，∴QA QP =，∴APQ △为等腰三角形，∵QH AP ⊥，∴1322HA AP t ==，∴在Rt AHQ △中，cos AHAQ t PAQ ==∠；（2）解：如图，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =，∴QE QA =，即223AE AQ t ===，∴32t =；（3）解：当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE V ，过点P 作PG QE ⊥于点G ，∵30PAQ ∠=︒，∴122PG AP t ==，∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ t ===，∴2124S QE PG t =⋅=，由（2）知当点E 与点C 重合时，32t =，∴23042S t t ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC ，如图，∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而23CE AE AC t =-=-，∴)tan 23CF CE E t =⋅∠=-，∴())()211232323222FCE S CE CF t t t =⋅=-⨯-=- ，∴()22223424PQE FCE S S S t t t t =---=-+当点P 与点D 重合时，在Rt ADC 中，cos AC AD AP DAC ====∠，∴2t =，∴23242S t ⎫=-+-<⎪⎭；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，如图，∵30DAC ∠=︒90DCA ∠=︒，由上知DC =∴AD =∴此时PD -，∴)1PC CD PD t =+-，∵PQE V 是等边三角形，∴60PQE ∠=︒，∴1tan 3PC QC PC t PQC ===-∠，∴()21122S QC PC t =⋅=-，∵30B BAD ∠=∠=︒，∴DA DB ==∴当点P 与点BAD DB =+=解得：4t =，∴)()2124S t t -≤<，综上所述：)2223,0233,221,24S t S t t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．26．(1)1,1,2k a b ===-(2)Ⅰ：0x ≤或1x ≥；Ⅱ：2t <或11t ≥；Ⅲ：10m -≤≤或12m ≤≤【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．（1）先确定输入x 值的范围，确定好之后将x ，y 的值代入所给的y 关于x 的函数解析式种解方程或方程组即可；（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+，当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，故1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，故0x ≤时，y 随着x 的增大而增大；Ⅱ：问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，考虑两个临界状态，当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，因此当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，11y =，故当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，因此当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即方程230ax bx t ++-=无解；Ⅲ：可求点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，2y =最小值，当0x =时，3y =最大值，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，3y =，=1x -时，2y =，故①当12m >，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，则12m ≤≤；②当12m <，由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．【详解】（1）解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；（2）解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解；Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，∴()1122m m +-+=，∴点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，1232y =-+=最小值，当0x =时，3y =最大值，∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，3y =，=1x -时，2y =，∴①当12m >，如图：由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。
2023年吉林省中考数学真题试卷及答案
2023年吉林省中考数学真题试卷一、选择题（本大题共8小题,每小题3分,共24分）1. 实数a ,b ,c ,d 伍数轴上对应点位置如图所示,这四个数中绝对值最小的是（ ）A. aB. bC. cD. d2. 长春龙嘉国际机场T3A 航站楼设计创意为“鹤舞长春”,如图所示,航站楼的造型如仙鹤飞翔,蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的,其中38000000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 80.3810⨯B. 63810⨯C. 83810⨯D. 73.810⨯ 3. 下列运算正确的是（ ）A. 32a a a -=B. 23a a a ⋅=C. ()325a a =D. 623a a a ÷= 4. 下图是一个多面体的表面展开图,每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③,则多面体的上面是（ ）A. 面③B. 面③C. 面③D. 面③5. 如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳,卡钳交叉点O 为AA '、BB '的中点,只要量出A B ''的长度,就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两余直线被一组平行线所截,所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短6. 学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面,如图所示．已彩旗绳与地面形成25︒角（即25BAC ∠=︒）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即32AC =米）,则彩旗绳AB 的长度为（ ）A. 32sin 25︒米B. 32cos 25︒米C. 32sin 25︒米D. 32cos 25︒米 7. 如图,用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是（ ）A. AD AE =B. AD DF =C. DF EF =D. AF DE ⊥8. 如图,在平面直角坐标系中,点A ,B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上,分别以A ,B 为圆心,1为半径作圆,当A 与x 轴相切,B 与y 轴相切时,连结AB ,AB =则k 的值为（ ）A. 3B.C. 4D. 6二、填空题（本大题共6小题,每小题3分,共8分）9. 分解因式：21a -=____．10. 若关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是_________．11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑,某同学参加了7.5公里健康跑项目,他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟,此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x 的代数式表示）12. 如图,ABC 和A B C '''是以点O 为位似中心的位似图形,点A 在线段OA '上．若12OA AA '=::,则ABC 和A B C '''的周长之比为__________．13. 如图,将正五边形纸片ABCDE 折叠,使点B 与点E 重合,折痕为AM ,展开后,再将纸片折叠,使边AB 落在线段AM 上,点B 的对应点为点B ',折痕为AF ,则AFB '∠的大小为__________度．14. 2023年5月8日,C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图③,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图③,当两辆消防车喷水口A,B 的水平距离为80米时,两条水柱在物线的顶点H 处相遇,此时相遇点H 距地面20米,喷水口A,B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A ',B '到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H '距地面__________米．三、解答题（本大题共10小题,共78分）15. 先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-,其中3a =．16. 班级联欢会上有一个抽奖活动,每位同学均参加一次抽奖,活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上,每个杯子内放入一个彩蛋,彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子,记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面,重新打乱杯子的摆放位置,再从中随机选中一个杯子,记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖,颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法,求某同学获一等奖的概率．17. 某工厂计划制作3000个玩偶摆件,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍,结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？18. 将两个完全相同的含有30 角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ,E ,B ,D 依次在同一直线上,连结AF ,CD ．（1）求证：四边形AFDC 是平行四边形;（2）己知6cm BC ,当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．19. 近年来,肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前,国际上常用身体质量指数（Body Mass Indcx ,缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是22kg BMI=m 体重（单位：）身高（位置：）例如：某人身高1.60m ,体重60kg ,则他的260BMI 23.41.60=≈． 中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦;18.5BMI 24≤<为正常;24BMI 28≤<为偏胖;BMI 28≥为肥胖．某公司为了解员工的健康情况,随机抽取了一部分员工的体检数据,通过计算得到他们的BMI 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图;（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数;（3）基于上述统计结果,公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m ,BMI 值为27,他想通过健身减重使自己的BMI 值达到正常,则他的体重至少需要减掉_________kg ．（结果精确到1kg ）20. 图③,图③,图③均是55⨯的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点．点A,B 均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作ABC ,点C 在格点上．（1）在图③中,ABC 的面积为92; （2）在图③中,ABC 的面积为5（3）在图③中,ABC 是面积为52的钝角三角形． 21. 甲、乙两个相约登山,他们同时从入口处出发,甲步行登山到山顶,乙先步行15分钟到缆车站,再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y （米）与甲登山的时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当1540x ≤≤时,求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式;（2）求乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．22. 【感知】如图③,点A ,B,P 均在O 上,90AOB ∠=︒,则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图③,O 是等边三角形ABC 的外接圆,点P 在AC 上（点P 不与点A,C 重合）,连结PA ，PB ，PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现,延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE .通过证明PBC EBA ≌△△,可推得PBE 是等边三角形,进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE四边形ABCP 是O 的内接四边形180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒BCP BAE ∴∠=∠． ABC 是等边三角形．BA BC ∴=(SAS)PBC EBA ∴≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③,O 是ABC 的外接圆,90ABC AB BC ∠=︒=，,点P 在O 上,且点P 与点B 在AC 的两侧,连结PA ,PB ,PC ．若PB =,则PB PC 的值为__________． 23. 如图③．在矩形ABCD ．35AB AD ==，,点E 在边BC 上,且2BE =．动点P 从点E 出发,沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动,作90PEQ ∠=︒,EQ 交边AD 或边DC 于点Q ,连续PQ ．当点Q 与点C 重合时,点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）（1）当点P 和点B 重合时,线段PQ 的长为__________;（2）当点Q 和点D 重合时,求tan PQE ∠;（3）当点P 在边AD 上运动时,PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图③．请说明理由; （4）作点E 关于直线PQ 的对称点F ,连接PF ,QF ,当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时,直接写出t 的取值范围．24. 在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ,点B 在该抛物线上,横坐标为1m -．其中0m <．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标;（2）当点B 在x 轴上时,求点A 的坐标;（3）该抛物线与x 轴的左交点为P ,当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时,求m 的值．（4）当点B 在x 轴上方时,过点B 作BC y ⊥轴于点C ,连结AC ,BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点）,设这两个交点分别为点E ,点F ,线段BO 的中点为D ．当以点C ,E ,O ,D （或以点C ,F ,O ,D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时,直接写出所有满足条件的m 的值．2023年吉林省中考数学真题试卷答案一、选择题.1. B2. D3. B4. C5. A6. D7. B8. C解：如图所示,过点A B ，分别作y x ，轴的垂线,垂足分别为E D ，,AE BD ，交于点C .依题意,B 的横坐标为1,A 的纵坐标为1,设(),1A k ,()1,B k③()1,1C .则1,1AC k BC k =-=-.又③90ACB ∠=︒,AB =③()()(22211k k -+-= ③13k -=（负值已舍去）解得：4k =.故选：C ． 二、填空题.9. ()()11a a +-．10. 1m <11. ()7.510x -12. 1:313. 45解：③正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒. 将正五边形纸片ABCDE 折叠,使点B 与点E 重合,折痕为AM . 则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=︒. ③将纸片折叠,使边AB 落在线段AM 上,点B 的对应点为点B ',折痕为AF . ③11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=︒,108AB F B '∠=∠=︒. 在AFB '中,1801801082745AFB B FAB ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒. 故答案为：45．14. 19解：由题意可知：()40,4A -,()40,4B ,()0,20H .设抛物线解析式为：220y ax =+.将()40,4A -代入解析式220y ax =+. 解得：1100a =-. 220100x y ∴=-+. 消防车同时后退10米,即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米. 平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+.令0x =,解得：19y =.故答案为：19． 三、解答题.15. 31a +1 16. 4917.原计划平均每天制作200个摆件．解：设原计划平均每天制作x 个,根据题意得. 3000300051.5x x=+ 解得：200x =经检验,200x =是原方程的解,且符合题意. 答：原计划平均每天制作200个摆件． 18. （1）见解析;（2）18【小问1详解】证明：由题意可知ACB DFE △≌△. AC DF =∴,30CAB FDE ∠=∠=︒. DF AC //∴四边形AFDC 地平行四边形;【小问2详解】如图,在Rt ACB △中,90ACB ∠=︒,30CAB ∠=︒,6cm BC . 212cm AB BC ∴==,60ABC ∠=︒. 四边形AFDC 是菱形.AD ∴平分CDF ∠.30CDA FDA ∴∠=∠=︒.ABC CDA BCD ∠=∠+∠.603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒. BCD CDA ∴∠=∠.6cm BC BD ∴==.18cm AD AB BD ∴=+=.故答案为：18．19. （1）见解析 （2）110人（3）9【小问1详解】抽取了735%20÷=人.属于偏胖的人数为：202738---=.补全统计图如图所示.【小问2详解】8320011020+⨯=（人） 【小问3详解】设小张体重需要减掉kg x .依题意,227241.70x -< 解得：8.67x >答：他的体重至少需要减掉9kg.故答案为：9．20. 【小问1详解】解：如图所示.以3AB =为底,设AB 边上的高为h . 依题意得：19·22ABC SAB h == 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可.答案不唯一;【小问2详解】由网格可知.AB =以10AB 为底,设AB 边上的高为h .依题意得：1·52ABC S AB h ==解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90︒,过线段的另一个端点作AB 的平行线,与网格格点的交点即为点C . 答案不唯一.【小问3详解】如图所示. 作5BD AB ==,过点D 作CD AB ∥,交于格点C .由网格可知.BD AB ==,AD =③ABD △是直角三角形,且AB BD ⊥③CD AB ∥ ③15·22ABC S AB BD ==． 21. （1）12180y x =-（2）180【小问1详解】解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+,将()15,0,()40,300代入得. 15040300k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得：12180k b =⎧⎨=-⎩. ③12180y x =-()1540x ≤≤【小问2详解】设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤将点()()25,16060,300，代入得.11112516060300k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：11460k b =⎧⎨=⎩. ③460y x =+()2560x ≤≤;联立12180460y x y x =-⎧⎨=+⎩解得：30180x y =⎧⎨=⎩ ③乙乘坐缆车上升过程中,和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米22. 感知：45;探究：见解析;应用：3． 【详解】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB ∠=∠=︒. 故答案为：45;探究： 证明：延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE . 四边形ABCP 是O 的内接四边形.180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒.BCP BAE ∴∠=∠． ABC 是等边三角形．BA BC ∴=.(SAS)PBC EBA ∴≌.③PB EB =,PBC EBA ∠=∠.60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒. PBE ∴是等边三角形.PB PE ∴=.PB PE PA AE PA PC ∴==+=+.即PB PA PC =+;应用：延长PA 至点E ,使AE PC =,连结BE .四边形ABCP 是O 的内接四边形.180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒.BCP BAE ∴∠=∠．AB CB =.(SAS)PBC EBA ∴≌.③PB EB =,PBC EBA ∠=∠.90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒. PBE ∴是等腰直角三角形.222PB BE PE ∴+=.222PB PE ∴=.即PE =.PE PA AE PA PC =+=+.PA PC ∴+=. 2PB =.4PA PC PA ∴+==. 3PC PA ∴=.33PB PC PA ∴==.故答案为：3．23. （1（2）32（3）见解析（4）0t <≤176t =或7t =【小问1详解】解：如图所示,连接BQ .③四边形ABCD 是矩形③90BAQ ABE ∠=∠=︒③90PEQ ∠=︒.③四边形ABEQ 是矩形.当点P 和点B 重合时.③3QE AB ==,2BE =在Rt QBE △中,BQ ===【小问2详解】如图所示.③90PEQ ∠=︒,90PBE ECD ∠=∠=︒. ③1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒.③13∠=∠③PBE ECD ∽. ③PE BE DE CD=. ③2BE =,3CD AB ==. ③2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===; 【小问3详解】如图所示,过点P 作PH BC ⊥于点H .③90PEQ ∠=︒,90PHE ECQ ∠=∠=︒. ③1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒.则四边形ABHP 是矩形.③PH AB =3=又③523EC BC BE =-=-=③PH EC =.③PHE ECQ ≌③PE QE =③PQE 是等腰直角三角形;【小问4详解】③如图所示,当点P 在BE 上时.③3,2QE QF AQ BE ====.在Rt AQF △中,AF ===则3BF =③PE t =,则2BP t =-,PF PE t ==. 在Rt PBF 中,222PF PB FB =+.③(()22232t t =-+-解得：t =当92t -<时,点F 在矩形内部,符合题意.③902t -<≤符合题意.③当P 点在AB 上时,当,F A 重合时符合题意,此时如图.则2PB t BE t =-=-,PE =()325AP AB PB t t =-=--=-. 在Rt PBE △中,222PE PB BE =+()()222522t t -=-+. 解得：176t =. ③当点P 在AD 上,当,F D 重合时,此时Q 与点C 重合,则PFQE 是正方形,此时2327t =++=综上所述,0t <≤或176t =或7t =． 24. （1）222y x x =-++;顶点坐标为()1,3（2）()A（3）1m =-或2m =-或m =或12m =（4）2m =-+2m =-或12m =- 【小问1详解】解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =-++,得. 2422b =-++解得：2b =③抛物线解析式为222y x x =-++;③222y x x =-++()213x =--+.③顶点坐标为()1,3.【小问2详解】解：由222y x x =-++.当0y =时,2220x x -++=.解得：1211x x ==.③抛物线上的点B 在x 轴上时,横坐标为1m -．其中0m <． ③1m 1->③11m -=解得：m =③点A 的坐标为(,0)m .③()A ;【小问3详解】③如图所示,当1113m <-<+,即30m -<<时.抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点,最低点为点P .③顶点坐标为()1,3,()1P则纵坐标之差为303-=依题意,32m =-解得：1m =-;③当11m -≥+即m ≤.③()()()21,1212B m m m ---+-+,即()21,3B m m --+. 依题意,()2332m m --+=-.解得：2m =-或1m =（舍去）. ③当1311m -<-<,即03m <<时.则232m m -+=-.解得：12m =或12m -=（舍去）.③当11m -≤-即m ≥.则()2032m m --+=-.解得：m =m =.综上所述,1m =-或2m =-或m =或m = 【小问4详解】解：如图所示.③B 在x 轴的上方.③111m <-<③m <<③以点C ,E ,O ,D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半,线段BO 的中点为D ③BCD COD S S =③AOBC AOC BOC S S S =+,BOC BCD COD S S S =+③当E 是AC 的中点,如图所示则2AOBC CEOD S S =. ③23,22m m E ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入222y x x =-++. 即22322222m m m -+⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭.解得：2m =（舍去）或2m =-③同理当F 为AO 的中点时,如图所示,ACF CFO SS =,BCD COD S S =,则点C ,F ,O ,D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半.③12m =解得：2m =-.③如图所示,设BOC S S =,则12DBC S S =. ③以点C ,E ,O ,D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半,线段BO 的中点为D ③12CDF FDB AOC S S S S +=+ 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=-+ ③12AOC CDF S S = ③CF AO =.③()2,3F m m --+.③,B F 关于1x =对称.③112m m -+-=. 解得：12m =-.综上所述,2m =-或2m =-12m =-．。
2023年吉林省长春市中考数学真题(解析版)
2023年长春市初中学业水平考试数学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分20分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 实数a 、b 、c 、d 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（ ）A. aB. bC. cD. d【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的意义即可判断出绝对值最小的数.【详解】解：由图可知，3a >，01b <<，01c <<，23d <<，比较四个数的绝对值排除a 和d ，根据绝对值的意义观察图形可知，c 离原点的距离大于b 离原点的距离，<b c \，\这四个数中绝对值最小的是b .故选：B 【点睛】本题考查了绝对值意义，解题的关键在于熟练掌握绝对值的意义，绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，离原点越近说明绝对值越小.2. 长春龙嘉国际机场T3A 航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（）.的A. 80.3810´ B. 63.810´ C. 83.810´ D. 73.810´【答案】D【解析】【分析】根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为：10n a ´，1<10a £，n 为整数的位数减1．【详解】解：738000000 3.810=´，故选：D ．【点睛】本题考查了科学记数法；解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．3. 下列运算正确的是（ ）A. 32a a a-= B. 23a a a ×= C. ()325a a = D. 623a a a ¸=【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．【详解】A. 3a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B. 23a a a ×=，故该选项正确，符合题意；C. ()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D. 624a a a ¸=，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．4. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（ ）A. 面①B. 面②C. 面⑤D. 面⑥【答案】C【解析】【分析】根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C ．【点睛】本题考查了长方体的表面展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．5. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ¢、BB ¢的中点，只要量出A B ¢¢的长度，就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短【答案】A【解析】【分析】根据题意易证()SAS AOB A OB ¢¢V V ≌，根据证明方法即可求解．【详解】解：O 为AA ¢、BB ¢的中点，OA OA \¢=，OB OB ¢=，AOB A OB ¢¢Ð=ÐQ （对顶角相等），\在AOB V 与A OB ¢¢△中，OA OA AOB A OB OB OB =ìïÐ=Ðíï=¢¢î¢，()SAS AOB A OB ¢¢\△≌△，AB A B ¢¢\=，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．6. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成25°角（即25BAC Ð=°）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即32AC =米），则彩旗绳AB 的长度为（ ）A. 32sin 25°米B. 32cos 25°米C. 32sin 25°米D. 32cos 25°米【答案】D【解析】【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.【详解】解：Q AC 表示的是地面，BC 表示是图书馆，AC BC \^，ABC \V 为直角三角形，32cos 25cos 25AC AB \==°°（米）.故选：D .【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.7. 如图，用直尺和圆规作MAN Ð的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）A. AD AE= B. AD DF = C. DF EF = D. AF D E^【答案】B 【解析】【分析】根据作图可得,AD AE DF EF ==，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；∴,A F 在DE 的垂直平分线上，∴AF D E ^，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，分别以A 、B 为圆心，1为半径作圆，当A e 与x 轴相切、B e 与y 轴相切时，连结AB ，AB =k 的值为（ ）A. 3B.C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】过点,A B 分别作,y x 轴的垂线，垂足分别为,E D ，,AE BD 交于点C ，得出B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ，则1,1AC k BC k =-=-，根据AB =【详解】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为ED ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =-=-，又∵90ACB Ð=°，AB =，∴()()(22211k k -+-=∴13k -=（负值已舍去）解得：4k =，故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9. 分解因式：21a -=____．【答案】()()11a a +-．【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．10. 若关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．【答案】1m <【解析】【分析】根据根的判别式求出2(2)41440m m D =--´´=->，再求出不等式的解集即可．【详解】解：Q 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，2(2)41440m m \D =--´´=->解得：1m <，故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：已知一元二次方程20ax bx c ++=(,,a b c 为常数，0)a ¹，①当240b ac D =->时，方程有两个不相等的实数根，②当240b ac D =-=时，方程有两个相等的实数根，③当24<0b ac D =-时，方程没有实数根．11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x 的代数式表示）【答案】()7.510x -【解析】【分析】根据题意列出代数式即可．【详解】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为()7.510x -．故答案为：()7.510x -．【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．12. 如图，ABC V 和A B C ¢¢¢V 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA ¢上．若12OA AA ¢=::，则ABC V 和A B C ¢¢¢V 的周长之比为__________．【答案】1:3【解析】【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：12OA AA ¢=Q ::，:1:3OA OA ¢\=，设ABC V 周长为1l ，设A B C ¢¢¢V 周长为2l ，ABC QV 和A B C ¢¢¢V 是以点O 为位似中心的位似图形，1213l OA l OA \==¢．12:1:3l l \=．ABC \V 和A B C ¢¢¢V 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．13. 如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，展开后，再将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B ¢，折痕为AF ，则AFB ¢Ð的大小为__________度．【答案】45【解析】【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为()5218101508-´°=°，根据折叠的性质求得,,BAM FAB ¢ÐÐ在AFB ¢V 中，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵正五边形的每一个内角为()5218101508-´°=°，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，则111085422BAM BAE Ð=Ð=´°=°，∵将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B ¢，折痕为AF ，∴11542722FAB BAM ¢Ð=Ð=´°=°，108AB F B ¢Ð=Ð=°，在AFB ¢V 中，1801801082745AFB B FAB ¢¢Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．14. 2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A ¢、B ¢到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H ¢距地面__________米．【答案】19【解析】【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令0x =求平移后的抛物线与y 轴的交点即可．【详解】解：由题意可知：()40,4A -、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+，将()40,4A -代入解析式220y ax =+，解得：1100a =-，220100x y \=-+，消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15. 先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-，其中a =【答案】31a +1【解析】【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：2(1)(1)a a a ++-2221a a a a =+++-31a =+当a =311==【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．16. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．【答案】49【解析】【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有4种，则某同学获一等奖的概率为：49，答：某同学获一等奖的概率为49．【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．17. 随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？【答案】原计划平均每天制作200个摆件．【解析】【分析】设原计划平均每天制作x 个，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设原计划平均每天制作x 个，根据题意得，3000300051.5x x=+解得：200x =经检验，200x =是原方程的解，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．18. 将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ，E ，B ，D 依次在同一直线上，连结AF 、CD ．（1）求证：四边形AFDC 是平行四边形；（2）已知6cm BC =，当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．【答案】（1）见解析；（2）18【解析】【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF =，30CAB FDE Ð=Ð=°即AC DF ∥，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；（2）如图，在Rt ACB △中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC ==，60ABC Ð=°；由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA Ð=Ð=°，再由三角形外角和易证BCD CDA Ð=Ð即可得6cm BC BD ==，最后由AD AB BD =+求解即可．【小问1详解】证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE Ð=Ð=°，AC DF \∥，\四边形AFDC 地平行四边形；【小问2详解】如图，在Rt ACB △中，90ACB Ð=°，30CAB Ð=°，6cm BC =，212cm AB BC \==，60ABC Ð=°，四边形AFDC 是菱形，AD \平分CDF Ð，30CDA FDA \Ð=Ð=°，ABC CDA BCD Ð=Ð+ÐQ ，603030BCD ABC CDA \Ð=Ð-Ð=°-°=°，BCD CDA \Ð=Ð，6cm BC BD \==，18cm AD AB BD \=+=，故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．19. 近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是22kg BMI=m 体重（单位：）身高（位置：）例如：某人身高1.60m ，体重60kg ，则他的260BMI 23.41.60=»．中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5BMI 24£<为正常；24BMI 28£<为偏胖；BMI 28³为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m ，BMI 值为27，他想通过健身减重使自己的BMI 值达到正常，则他的体重至少需要减掉_________kg ．（结果精确到1kg ）【答案】（1）见解析（2）110人（3）9【解析】【分析】（1）根据属于正常的人数除以占比得出抽取的人数，结合条形统计图求得属于偏胖的人数，进而补全统计图即可求解；（2）用属于偏胖和肥胖的占比乘以200即可求解；（3）设小张体重需要减掉kg x ，根据BMI 计算公式，列出不等式，解不等式即可求解．小问1详解】抽取了735%20¸=人，属于偏胖的人数为：202738---=，补全统计图如图所示，【【小问2详解】8320011020+´=（人）【小问3详解】设小张体重需要减掉kg x ，依题意，227241.70x -<解得：8.67x >,答：他的体重至少需要减掉9kg ，故答案为：9．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，一元一次不等式的应用，根据统计图表获取信息是解题的关键．20. 图①、图②、图③均是55´的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作ABC V ，点C 在格点上．（1）在图①中，ABC V 的面积为92；（2）在图②中，ABC V 的面积为5（3）在图③中，ABC V 是面积为52的钝角三角形．【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得19·22ABC S AB h ==V ，解得3h =，即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可；（2）由网格可知，AB ==AB AB 边上的高为h ，依题意得1·52ABC S AB h ==V ，解得h =，将AB 绕A 或B 旋转90°，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ；（3）作BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，连接A 、B 、C 即可．【小问1详解】解：如图所示，以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：19·22ABC S AB h ==V 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可，答案不唯一；【小问2详解】由网格可知，AB ==以AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：1·52ABC S AB h ==V解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90°，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ，答案不唯一，【小问3详解】如图所示，作BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，由网格可知，BD AB ===，AD =，∴ABD △是直角三角形，且AB BD^∵CD AB∥∴15·22ABC S AB BD ==V ．【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y （米）与甲登山的时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当1540x ££时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式；（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．【答案】（1）12180y x =-（2）180【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）求得甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为460y x =+()2560x ££，联立12180y x =-()1540x ££，即可求解．【小问1详解】解：设乙距山脚垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将()15,0，()40,300代入得，15040300k b k b +=ìí+=î，解得：12180k b =ìí=-î，∴12180y x =-()1540x ££；【小问2详解】设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ££将点()()25,16060,300，代入得，11112516060300k b k b +=ìí+=î解得：11460k b =ìí=î，∴460y x =+()2560x ££；联立12180460y x y x =-ìí=+î解得：30180x y =ìí=î∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．22. 【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O e 上，90AOB Ð=°，则锐角APB Ð的大小为__________度．的【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O e 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，Q 四边形ABCP 是O e 的内接四边形，180BAP BCP \Ð+Ð=°．180BAP BAE Ð+Ð=°Q ，BCP BAE \Ð=Ð．ABC QV 是等边三角形．BA BC \=，(SAS)PBC EBA \V V ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O e 是ABC V 的外接圆，90ABC AB BC Ð=°=，，点P 在O e 上，且点P 与点B 在AC 的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =，则PB PC 的值为__________．【答案】感知：45【解析】【分析】感知：由圆周角定理即可求解；探究：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明(SAS)PBC EBA V V ≌，可推得PBE 是等边三角形，进而得证；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明(SAS)PBC EBA V V ≌得，可推得PBE 是等腰直角三角形，结合PE PA PC =+与PE =可得3PC PA =，代入PB PC即可求解．【详解】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB Ð=Ð=°，故答案为：45；探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，Q 四边形ABCP 是O e 的内接四边形，180BAP BCP \Ð+Ð=°．180BAP BAE Ð+Ð=°Q ，BCP BAE \Ð=Ð．ABC QV 是等边三角形．BA BC \=，(SAS)PBC EBA \V V ≌，∴PB EB =，PBC EBA Ð=Ð，60EBA ABP PBC ABP ABC \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，PBE \V 是等边三角形，PB PE \=，PB PE PA AE PA PC \==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，Q 四边形ABCP 是O e 的内接四边形，180BAP BCP \Ð+Ð=°．180BAP BAE Ð+Ð=°Q ，BCP BAE \Ð=Ð．AB CB =Q ，(SAS)PBC EBA \V V ≌，∴PB EB =，PBC EBA Ð=Ð，90EBA ABP PBC ABP ABC \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，PBE \V 是等腰直角三角形，222PB BE PE \+=，222PB PE \=，即PE =，PE PA AE PA PC =+=+Q ，PA PC \+=，PB =Q ，4PA PC PA \+==，3PC PA \=，PB PC \==．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA V V ≌，进行转换求解．23. 如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==，，点E 在边BC 上，且2BE =．动点P 从点E 出发，沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动，作90PEQ Ð=°，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连续PQ ．当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）（1）当点P 和点B 重合时，线段PQ 的长为__________；（2）当点Q 和点D 重合时，求tan PQE Ð；（3）当点P 在边AD 上运动时，PQE V 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；（4）作点E 关于直线PQ 的对称点F ，连接PF 、QF ，当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t 的取值范围．【答案】（1（2）23（3）见解析（4）0t <£176t =或7t =【解析】【分析】（1）证明四边形ABEQ 是矩形，进而在Rt QBE △中，勾股定理即可求解．（2）证明PBE ECD V V ∽，得出2tan 3PE BE PQE DE CD Ð===；（3）过点P 作PH BC ^于点H ，证明PHE ECQ V V ≌得出PE QE =，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P 在BE 上时，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE Ð=Ð=°∵90PEQ Ð=°，∴四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ==，2BE =在Rt QBE △中，BQ ===，．【小问2详解】如图所示，∵90PEQ Ð=°，90PBE ECD Ð=Ð=°，∴1290,2390Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴13Ð=Ð∴PBE ECD V V ∽，∴PE BE DE CD=，∵2BE =，3CD AB ==，∴2tan 3PE BE PQE DE CD Ð===；【小问3详解】如图所示，过点P 作PH BC ^于点H ，∵90PEQ Ð=°，90PHE ECQ Ð=Ð=°，∴1290,2390Ð+Ð=°Ð+Ð=°，则四边形ABHP 是矩形，∴PH AB =3=又∵523EC BC BE =-=-=∴PH EC =，∴PHE ECQV ≌∴PE QE=∴PQE V 是等腰直角三角形；【小问4详解】①如图所示，当点P 在BE 上时，∵3,2QE QF AQ BE ====，在Rt AQF △中，AF ===则3BF =∵PE t =，则2BP t =-，PF PE t ==，Rt PBF V 中，222PF PB FB =+，∴(()22232t t =+-解得：t =当t <F 在矩形内部，符合题意，∴0t <£符合题意，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，在则2PB t BE t =-=-，PE =()325AP AB PB t t =-=--=-，在Rt PBE △中，222PE PB BE =+()()222522t t -=-+，解得：176t =，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t =++=综上所述，0t <£或176t =或7t =．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．24. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；（3）该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．（4）当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ^轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．【答案】（1）222y x x =-++；顶点坐标为()1,3（2）()A（3）1m =-或2m =-（4）2m =-+或2m =-或12m =-【解析】【分析】（1）将点(2,2)代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；（2）当0y =时，2220x x -++=，求得抛物线与x 轴的交点坐标，根据抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m -．其中0m <，得出m =，即可求解；（3）①如图所示，当111m <-<，即0m <<时，②当11m -³m £时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为2m -，建立方程，解方程即可求解；（4）根据B 在x 轴的上方，得出m <<E 是AC 的中点，②同理当F 为AO 的中点时，③12AOC CDF S S =V V ，根据题意分别得出方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =-++，得，2422b =-++解得：2b =∴抛物线解析式为222y x x =-++；∵222y x x =-++()213x =--+，∴顶点坐标为()1,3，【小问2详解】解：由222y x x =-++，当0y =时，2220x x -++=，解得：1211x x =-=+，∵抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m -．其中0m <．∴1m 1->∴11m -=+解得：m =，∵点A 的坐标为(,0)m ，∴()A ；【小问3详解】①如图所示，当111m <-<+，即0m <<时，抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点，最低点为点P ，∵顶点坐标为()1,3，()1P 则纵坐标之差为303-=依题意，32m=-解得：1m =-；②当11m -³+m £时，∵()()()21,1212B m m m ---+-+，即()21,3B m m --+，依题意，()2332m m --+=-，解得：2m =-或1m =（舍去），综上所述，1m =-或2m =-；【小问4详解】解：如图所示，∵B 在x 轴的上方，∴111m -<-<+∴m <<∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴BCD CODS S =V V ∵AOBC AOC BOC S S S =+V V ,BOC BCD CODS S S =+V V V ①当E 是AC 的中点，如图所示则2AOBC CEOD S S =，∴23,22m m E æö-+ç÷èø代入222y x x =-++，即22322222m m m -+æö=-+´+ç÷èø，解得：2m =-（舍去）或2m =-+；②同理当F 为AO 的中点时，如图所示，ACF CFO S S =V V ，BCD COD S S =V V ，则点C 、F 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴12m =-，解得：2m =-，③如图所示，设BOC S S =V ，则12DBC S S =V ，∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D∴12CDF FDB AOC S S S S +=+V V V 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=-+V V V ∴12AOC CDF S S =V V ， ∴CF AO =，∴()2,3F m m --+，∵,B F 关于1x =对称，∴112m m -+-=，解得：12m =-，综上所述，2m =-或2m =-或12m =-．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
吉林省2023年中考数学试卷(及参考答案)
吉林省2023年中考数学试卷一、单选题1．月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（）A．B．C．D．2．图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（）A．B．C．D．3．下列算式中，结果等于的是（）A．B．C．D．4．一元二次方程根的判别式的值是（）A．33B．23C．17D．5．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（）A．B．C．D．6．如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（）A．B．C．D．二、填空题7．计算：8．不等式的解集为．9．计算：．10．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是．11．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为度．12．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为．13．如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为．（结果保留）14．如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为．三、解答题15．下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．例先化简，再求值：，其中．解：原式……16．2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．17．如图，点C在线段上，在和中，．求证：．18．2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．20．笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f（）101550波长（m）30206（1）求波长关于频率f的函数解析式．（2）当时，求此电磁波的波长．21．某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角．测出眼睛到地面的距离．测出所站地方到古树底部的距离．．．．【步骤四】计算古树高度．（结果精确到）（参考数据：）请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．22．为了解年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：2年吉林省粮食总产量及其增长速度（以上数据源于《年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）注：．根据此统计图，回答下列问题：（1）年全省粮食总产量比年全省粮食总产量多万吨．（2）年全省粮食总产量的中位数是万吨．（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出年吉林省粮食总产量约为万吨．结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”①年全省粮食总产量增长速度最快的年份为年，因此这年中，年全省粮食总产量最高．（）②如果将年全省粮食总产量的中位数记为万吨，年全省粮食总产量的中位数记为万吨，那么．（）23．甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示．（1）甲组比乙组多挖掘了天．（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．24．（1）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是．（2）【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．（3）【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为．25．如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）（1）的长为，的长为．（用含x的代数式表示）（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．（3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．答案1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】58．【答案】9．【答案】10．【答案】三角形具有稳定性11．【答案】5512．【答案】13．【答案】14．【答案】15．【答案】解：由题意，第一步进行的是通分，∴，∴，原式，当时，原式．16．【答案】解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．17．【答案】证明：在和中，∴∴．18．【答案】解：设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，由题意得：，解得，答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．19．【答案】解：如图所示，如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形，如图②，，，则，则是等腰直角三角形，如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形，20．【答案】（1）解：设波长关于频率f的函数解析式为，把点代入上式中得：，解得：，；（2）解：当时，，答：当时，此电磁波的波长为．21．【答案】解：测角仪显示的度数为，∴，∵，，，∴，∴四边形是矩形，，在中，，∴．22．【答案】（1）（2）（3）解：①×②√23．【答案】（1）30（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，将和两个点代入，可得，解得，∴（3）解：10天24．【答案】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，又，∴四边形是平行四边形，∴，∴平行四边形是菱形；（3）8025．【答案】（1）；（2）解：当时，点在上，由（1）可得，同理可得，∵，，则；当时，如图所示，则，，，∴；综上所述，；（3）或26．【答案】（1）解：∵抛物线经过点．∴∴抛物线解析式为；（2）解：∵，顶点坐标为，∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为∴，解得：；（3）解：①轴时，点关于对称轴对称，，∴，则，，∴，∴点与点的纵坐标的差为；②当轴时，则关于直线对称，∴，则∴，；∴点与点的纵坐标的差为；综上所述，点与点的纵坐标的差为或；（4）或。
吉林省2022年中考数学真题试题(含解析)
吉林省2022年中考数学真题试题(含解析) 2022年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每题2分，共12分）1.计算（-1）的正确结果是（）。
A。
1B。
2C。
-1D。
-2答案】A解析】考点：有理数的乘方。
2.如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）。
A。
B。
C。
D。
答案】B解析】试题解析：正六棱柱的俯视图为正六边形。
应选B。
考点：简单几何体的三视图。
3.以下计算正确的选项是（）。
A。
a+a=aB。
a×a=aC。
[a]=aD。
[ab]=ab答案】C解析】试题解析：A。
a与a不是同类项，故A错误；B。
原式=a，故B错误；D。
原式=ab，故D错误。
应选C。
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。
4.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的选项是（）。
A。
B。
C。
D。
答案】A解析】考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。
5.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD。
假设∠B=40°，∠C=36°，那么∠DAC的度数是（）。
A。
70°B。
44°C。
34°D。
24°答案】C解析】试题解析：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°。
应选C。
考点：三角形内角和定理。
6.如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C。
假设AB=12，OA=5，那么BC的长为（）。
A。
5B。
6C。
7D。
8答案】D解析】考点：切线的性质。
二、填空题（每题3分，共24分）7.2022年我国资助各类家庭困难学生超过84,000,000人次。
将84,000,000这个数用科学记数法表示为（）。
答案】8.4×10^7解析】试题解析：84,000,000=8.4×10^7.考点：科学记数法——表示较大的数。
2022年吉林省中考数学试卷(解析版)
2022年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．2．（2分）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷3．（2分）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0B．y﹣2＜0C．y﹣2≥0D．y﹣2≤04．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定5．（2分）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行6．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）﹣的相反数是．8．（3分）计算：a•a2＝．9．（3分）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要元．（用含m的代数式表示）10．（3分）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为．11．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为度．（写出一个即可）12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．14．（3分）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．16．（5分）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．解：m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝．17．（5分）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．18．（5分）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．20．（7分）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．21．（7分）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）22．（7分）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是℃．24．（8分）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM ＝90°．∴AE∥．∴△AEM∽．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以P A为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P 的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为cm．（用含x的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．2022年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．【分析】由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．【解答】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，由松花砚的示意图可得其俯视图为C．故选：C．【点评】本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．2．（2分）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．【解答】解：当填入加号时：﹣1+3＝2；当填入减号时﹣1﹣3＝﹣4；当填入乘号时：﹣1×3＝﹣3；当填入除号时﹣1÷3＝﹣，∵2＞﹣＞﹣3＞﹣4，∴这个运算符号是加号．故选：A．【点评】本题考查的是有理数的运算及有理数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．3．（2分）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0B．y﹣2＜0C．y﹣2≥0D．y﹣2≤0【分析】不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．4．（2分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定【分析】由数轴上b在a的右侧可得b与a的大小关系．【解答】解：∵b＞0，a＜0，∴a＜b，故选：B．【点评】本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．5．（2分）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．【点评】本题考查平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定方法．6．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．5【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3＜r＜5，故选：C．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）﹣的相反数是．【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变﹣前面的符号，即可得﹣的相反数．【解答】解：﹣的相反数是．故答案为：．【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．8．（3分）计算：a•a2＝a3．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n＝a m+n 计算即可．【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．故答案为：a3．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．9．（3分）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元．（用含m的代数式表示）【分析】根据题意直接列出代数式即可．【解答】解：篮球队要买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元，故答案为：10m．【点评】本题主要考查了通过实际问题列出代数式，理解题意是解答本题的关键．10．（3分）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为．【分析】根据题意列出二元一次方程组即可．【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，由题意得：，故答案为：．【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，找等量关系是列方程组的关键和难点．11．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为60（答案不唯一）．度．（写出一个即可）【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．【解答】解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故答案为：60（答案不唯一）．【点评】本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正六边形的中心角是解题的关键．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（2，0）．【分析】由图象可得OB与圆的直径重合，由BO⊥AC及垂径定理求解．【解答】解：由图象可得OB与直径重合，∵BO⊥AC，∴OA＝OC，∵A（﹣2，0），∴C（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．14．（3分）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．【分析】由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．【解答】解：∵∠BAE＝65°，∴∠BOE＝130°，∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，∴+的长度＝×2π×1＝，故答案为：π．【点评】本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系，掌握计算弧长的方法．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．【分析】由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD ＝CD．【解答】证明：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．16．（5分）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．【分析】根据题意合并同类项即可．【解答】解：由题知，m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝m2﹣6，∵m2+6m＝m（m+6），∴A为：m+6，故答案为：m2﹣6．【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．17．（5分）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．【分析】根据题意作图得出概率即可．【解答】解：由题意作树状图如下：由图知，两人都决定去长白山的概率为．【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键．18．（5分）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，四边形ABCE为平行四边形．【解答】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，连接ABCE，AE∥BC 且AE＝BC，∴四边形ABCE为平行四边形，符合题意．【点评】本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．【分析】设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据时间相等列方程求解即可．【解答】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据题意列方程，得，即135x＝120（x+20），解得x＝160，经检验x＝160是原方程的解，答：李婷每分钟跳绳160个．【点评】本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．20．（7分）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）将V＝10代入函数解析式求解．【解答】解：（1）设ρ＝，将（4，2.5）代入ρ＝得2.5＝，解得k＝10，∴ρ＝．（2）将V＝10代入ρ＝得ρ＝1．∴该气体的密度为1kg/m3．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．21．（7分）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】由AB，BC的长度求出AC长度，然后根据sin∠BCD＝求解．【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．22．（7分）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是62.71%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是①（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．【分析】（1）将2017﹣2021年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数．（2）根据城镇化率＝×100%可得2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%（万人）．‘（3）由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%，∴中为数是62.71%，故答案为：62.71．（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，∴常住人口为141260×64.72%（万人），故答案为：141260×64.72%．（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．故答案为：①．【点评】本题考查数据的收集与整理，解题关键是掌握中位数的概念，读懂折线图．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是20℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是65℃．【分析】（1）由图象x＝0时y＝20求解．（2）通过待定系数法求解．（3）由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入（2）中解析式求解．【解答】解：（1）由图象得x＝0时y＝20，∴加热前水温是20℃，故答案为：20．（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝x+20．（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80＝℃/s，∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷＝120s，将x＝120代入y＝x+20得y＝65，故答案为：65．【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．24．（8分）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝BC•h．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM ＝90°．∴AE∥DF．∴△AEM∽△DFM．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．【分析】（1）由S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′即可证明．（2）由AE∥DF可得△AEM∽△DFM，再由相似三角形的性质可得＝，然后结合【探究】（1）结论可得＝．（3）作DK∥AC交l2于点K，由【探究】（1）（2）可得＝，进而求解．【解答】（1）证明：∵S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′，∴＝．（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．∵AE∥DF，∴△AEM∽△DFM，∴＝，由【探究】（1）可知＝，∴＝．故答案为：DF，△DFM，．（3）作DK∥AC交l2于点K，∵DK∥AC，∴△ACE∽△DKE，∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，∴＝＝，由【探究】（2）可得＝＝．故答案为：．【点评】本题考查图形的探究题型，解题关键是掌握三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定及性质．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以P A为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为2x cm．（用含x的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【分析】（1）作PE⊥AC于点E，由含30°角的直角三角形可得AE的长度，再由等腰三角形的性质可得PQ的长度．（2）作出点M落在边BC上的图象，由AP+PN+NB＝AB求解．（3）分类讨论0≤x≤1，1＜t≤，＜x≤3并作出图象求解．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠APQ＝120°，∴∠AQP＝30°，∴PQ＝AP＝2x．故答案为：2x．（2）如图，∵∠APQ＝120°，∴∠MNB＝∠PQB＝60°，∵∠B＝60°，∴△MNB为等边三角形，∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，∴3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，∵∠A＝30°，AQ＝2x，∴QF＝AQ＝x，∵PN＝PQ＝AP＝2x，∴y＝PN•QF＝2x•x＝2x2．当1＜t≤时，QM，NM交BC于点H，K，∵AB＝6cm，∠A＝30°，∴AC＝AB＝3cm，∴CQ＝AC﹣AQ＝3﹣2x，∴QH＝CQ＝（3﹣2x）＝6﹣4x，∴HM＝QM﹣QH＝2x﹣（6﹣4x）＝6x﹣6，∵△HKM为等边三角形，∴S△HKM＝HM2＝9x2﹣18x+9，∴y＝2x2﹣（9x2﹣18x+9）＝﹣7x2+18x﹣9．当＜x≤3时，重叠图形△PQM为等边三角形，PQ＝PB＝AB﹣AP＝6﹣2x，∴y＝PB2＝（6﹣2x）2＝x2﹣6x+9．综上所述，y＝．【点评】本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解．（3）①分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值．②根据m的值，作出等腰直角三角形求解．【解答】解：（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣4x+3．（2）令x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），∵抛物线开口向上，∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方．（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，当m＞2时，抛物线顶点为最低点，∴﹣1＝2﹣m，解得m＝3，当m≤2时，点P为最低点，将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，∴m2﹣4m+3＝2﹣m，解得m1＝（舍），m2＝．∴m＝3或m＝．②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2，∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1），∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意．当m＝时，如图，∠QP A＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF 于点E，∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠P AF＝90°，∴∠QPE＝∠P AF，又∵∠QEP＝∠PF A＝90°，QP＝P A，∴△QEP≌△PF A（AAS），∴QE＝PF，即2﹣m＝m2﹣4m+3，解得m1＝（舍），m2＝．∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣，∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝，∴点Q坐标为（2，）．综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2，）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．。
吉林省中考数学试卷【含答案及解析】
吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2 分，共12 分）1．（2 分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣12．（2 分）如图，由6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A． B．C．D．3．（2 分）若a 为实数，则下列各式的运算结果比a 小的是（）A．a+1 B．a﹣1 C．a×1 D．a÷14．（2 分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°5．（2 分）如图，在⊙O 中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P 为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2 分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线二、填空题（每小题3 分，共24 分）7．（3 分）分解因式：a2﹣1＝．8．（3 分）不等式3x﹣2＞1 的解集是．9．（3 分）计算：•＝．10．（3 分）若关于x 的一元二次方程（x+3）2＝c 有实数根，则c 的值可以为（写出一个即可）．11．（3 分）如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝°．12．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为．13．（3 分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为m．14．（3 分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝90°．D，E 分别是半径OA，OB 上的点，以OD，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．三、解答题（每小题5 分，共20 分）15．（5 分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．16．（5 分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．17．（5 分）已知y 是x 的反比例函数，并且当x＝2 时，y＝6．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x＝4 时，求y 的值．18．（5 分）如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．四、解答题（每小题7 分，共28 分）19．（7 分）图①，图②均为4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D 均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF，且E，F 为格点；（2）在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H 为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．20．（7 分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5 个山楂，还剩余4 个山楂；如果每根竹签串8 个山楂，还剩余7 根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂．若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．21．（7 分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm，花洒AC 的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD 为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）22．（7 分）某地区有城区居民和农村居民共80 万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为人；②统计图中人数最多的选项为；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．五、解答题（每小题8 分，共16 分）23．（8 分）甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地．甲、乙两车距B 地的路程y （km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．（1）m＝，n＝；（2）求乙车距B 地的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当甲车到达B 地时，求乙车距B 地的路程．24．（8 分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，∠ACB＝120 °，则底边AB 与腰AC 的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH 中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH 上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．六、解答题（每小题10 分，共20 分）25．（10 分）如图，在矩形ABCD 中，AD＝4cm，AB＝3cm，E 为边BC 上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q 从点A 同时出发，点P 以cm/s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2cm/s 的速度沿折线AD﹣DC 向终点C 运动．设点Q 运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当PQ＝cm 时，直接写出x 的值．26．（10 分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k 与x 轴相交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C（0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h＝9 时，直接写出△BCP 的面积．2019 年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2 分，共12 分）1．（2 分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．【点评】本题考查了数轴、根据数轴﹣1 是解题关键．2．（2 分）如图，由6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）A． B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（2 分）若a 为实数，则下列各式的运算结果比a 小的是（）A．a+1 B．a﹣1 C．a×1 D．a÷1【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1 等于本身，除以1 也等于本身，逐一进行比较便可．【解答】解：A．a+1＞a，选项错误；B．a﹣1＜a，选项正确；C．a×1＝a，选项错误；D．a÷1＝a，选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1，减1，乘1，除以1，值的大小变化规律．基础题．4．（2 分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30° B．90° C．120° D．180°【分析】根据图形的对称性，用360°除以3 计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5．（2 分）如图，在⊙O 中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P 为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为（）A．30° B．45° C．55°D．60°【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB 的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2 信倍．6．（2 分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选：A．【点评】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．二、填空题（每小题3 分，共24 分）7．（3 分）分解因式：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（3 分）不等式3x﹣2＞1 的解集是 x＞1 ．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2 再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：∵3x﹣2＞1，∴3x＞3，∴x＞1，∴原不等式的解集为：x＞1．故答案为x＞1．【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．9．（3 分）计算：•＝．【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．【解答】解：•＝，故答案为：．【点评】本题考查了分式的乘除法，熟记法则是解题的关键．10．（3 分）若关于x 的一元二次方程（x+3）2＝c 有实数根，则c 的值可以为 5（答案不唯一，只有c≥0 即可）（写出一个即可）．【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于c 的不等式，解不等式就可以求出c 的取值范围．【解答】解：一元二次方程化为x2+6x+9﹣c＝0，∵△＝36﹣4（9﹣c）＝4c≥0，解上式得c≥0．故答为5（答案不唯一，只有c≥0 即可）．【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，关键在于求出c 的取值范围．11．（3 分）如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝60 °．【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED＝∠C＝50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B 的度数．【解答】解：∵ED∥BC，∴∠CED＝∠C＝50°，又∵∠BAC＝70°，∴△ABC 中，∠B＝180°﹣50°﹣70°＝60°，故答案为：60．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．12．（3 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝10，BD⊥AD．若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为 20 ．【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到DE＝BE＝AB＝5，再根据折叠的性质，即可得到四边形BCDE 的周长为5×4＝20．【解答】解：∵BD⊥AD，点E 是AB 的中点，∴DE＝BE＝AB＝5，由折叠可得，CB＝BE，CD＝ED，∴四边形BCDE 的周长为5×4＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．13．（3 分）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为 54 m．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴＝，解得h＝54（m）．故答案为：54．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．14．（3 分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝90°．D，E 分别是半径OA，OB 上的点，以OD，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是 25π﹣48 （结果保留π）．【分析】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE 是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE 是平行四边形，∴▱ODCE 是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（每小题5 分，共20 分）15．（5 分）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a2﹣2a+1+a2+2a＝2a2+1，当时，原式＝5．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（5 分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．【分析】画出树状图，共有4 种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1 种可能，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如下：共有4 种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1 种结果，则取出的扇子和手绢都是红色的概率为．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（5 分）已知y 是x 的反比例函数，并且当x＝2 时，y＝6．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x＝4 时，求y 的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）直接利用x＝4 代入求出答案．【解答】解：（1）y 是x 的反例函数，所以，设，当x＝2 时，y＝6．所以，k＝xy＝12，所以，；（2）当x＝4 时，y＝3．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．18．（5 分）如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】证明：由题意可得：AE＝FC，在平行四边形ABCD 中，AB＝DC，∠A＝∠C在△ABE 和△CDF 中，，所以，△ABE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．四、解答题（每小题7 分，共28 分）19．（7 分）图①，图②均为4×4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D 均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF，且E，F 为格点；（2）在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H 为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°．【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：（1）如图，菱形AEBF 即为所求．（2）如图，四边形CGDH 即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（7 分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5 个山楂，还剩余4 个山楂；如果每根竹签串8 个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂．若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的是（2）（填写序号）．（1）bc+d＝a；（2）ac+d＝b；（3）ac﹣d＝b．【分析】问题解决设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得出方程组：，解方程组即可；反思归纳由每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，得出ac+d＝b 即可．【解答】问题解决解：设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得：，解得：，答：竹签有20 根，山楂有104 个；反思归纳解：∵每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则ac+d＝b，故答案为：（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．21．（7 分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm，花洒AC 的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD 为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）【分析】过C 作CF⊥AB 于F，于是得到∠AFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过C 作CF⊥AB 于F，则∠AFC＝90°，在Rt△ACF 中，AC＝30，∠CAF＝43°，∵cos∠CAF＝，∴AF＝AC•cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，∴CE＝BF＝AB+AF＝170+21.9＝191.9≈192（cm），答：花洒顶端C 到地面的距离CE 为192cm．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．22．（7 分）某地区有城区居民和农村居民共80 万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．其中最具有代表性的一个方案是方案三；（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民人数为 1000 人；②统计图中人数最多的选项为手机；③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；②从统计图中找出人数最多的选项即可；③用80×该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的人数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，故答案为：方案三；（2）①这次接受调查的居民人数为260+400+150+100+90＝1000 人；②统计图中人数最多的选项为手机；③80×＝52.8 万人，答：该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数52.8 万人．故答案为：1000，手机．【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；也考查了用样本估计总体．五、解答题（每小题8 分，共16 分）23．（8 分）甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地，乙车立即以原速原路返回到B 地．甲、乙两车距B 地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．（1）m＝ 4 ，n＝ 120 ；（2）求乙车距B 地的路程y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当甲车到达B 地时，求乙车距B 地的路程．【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）运用待定系数法解得即可；（3）把x＝3 代入（2）的结论即可．【解答】解：（1）根据题意可得m＝2×2＝4，n＝280﹣280÷3.5＝120；故答案为：4；120；（2）设y 关于x 的函数解析式为y＝kx（0≤x≤2），因为图象经过（2，120），所以2k＝120，解得k＝60，所以y 关于x 的函数解析式为y＝60x，设y 关于x 的函数解析式为y＝k1x+b（2≤x≤4），因为图象经过（2，120），（4，0）两点，所以，解得，所以y 关于x 的函数解析式为y＝﹣60+240（2≤x≤4）；（3）当x＝3.5 时，y＝﹣60×3.5+240＝30．所以当甲车到达B 地时，乙车距B 地的路程为30km．【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．24．（8 分）性质探究如图①，在等腰三角形ABC 中，∠ACB＝120°，则底边AB 与腰AC 的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4，则它的面积为 4 ；（2）如图②，在四边形EFGH 中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH 上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN 的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 2sinα（用含α的式子表示）．【分析】性质探究作CD⊥AB 于D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性质得出AD＝BD，∠A＝∠ B＝30°，由直角三角形的性质得出AC＝2CD，AD＝CD，得出AB＝2AD＝2CD，即可得出结果；理解运用（1）同上得出则AC＝2CD，AD＝CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，得出AB＝4，由三角形面积公式即可得出结果；（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，得出∠EFG+∠EHG ＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH 即可；②连接FH，作EP⊥FH 于P，由等腰三角形的性质得出PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，由四边形内角和定理求出∠FEH＝120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH＝30°，由直角三角形的性质得出PE＝EF＝5，PF＝PE＝5 ，得出FH＝2PF ＝10 ，证明MN 是△FGH 的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作AD⊥BC 于D，由等腰三角形的性质得出BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，由三角函数得出BD＝AB×sinα，得出BC＝2BD＝2AB×sinα，即可得出结果．【解答】性质探究解：作CD⊥AB 于D，如图①所示：则∠ADC＝∠BDC＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴AD＝BD，∠A＝∠B＝30°，∴AC＝2CD，AD＝CD，∴AB＝2AD＝2CD，∴＝＝；故答案为：；理解运用（1）解：如图①所示：同上得：AC＝2CD，AD＝CD，∵AC+BC+AB＝8+4，∴4CD+2CD＝8+4，解得：CD＝2，∴AB＝4，∴△ABC 的面积＝AB×CD＝×4 ×2＝4 ；故答案为：4（2）①证明：∵EF＝EG＝EH，∴∠EFG＝∠EGF，∠EGH＝∠EHG，∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH；②解：连接FH，作EP⊥FH 于P，如图②所示：则PF＝PH，由①得：∠EFG+∠EHG＝∠FGH＝120°，∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵EF＝EH，∴∠EFH＝30°，∴PE＝EF＝5，∴PF＝PE＝5，∴FH＝2PF＝10，∵点M、N 分别是FG、GH 的中点，∴MN 是△FGH 的中位线，∴MN＝FH＝5 ；类比拓展解：如图③所示：作AD⊥BC 于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝α，∵sinα＝，∴BD＝AB×sinα，∴BC＝2BD＝2AB×sinα，∴＝＝2sinα；故答案为：2sinα．【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．六、解答题（每小题10 分，共20 分）25．（10 分）如图，在矩形ABCD 中，AD＝4cm，AB＝3cm，E 为边BC 上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q 从点A 同时出发，点P 以cm/s 的速度沿AE 向终点E 运动；点Q 以2cm/s 的速度沿折线AD﹣DC 向终点C 运动．设点Q 运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q 经过的路线与线段PQ 围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝ 3 cm，∠EAD＝45 °；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当PQ＝cm 时，直接写出x 的值．【分析】（1）由勾股定理可求AE 的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD 的度数；（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，∴AE＝＝3cm，∠BAE＝∠BEA＝45°∵∠BAD＝90°∴∠DAE＝45°故答案为：3，45（2）当0＜x≤2 时，如图，过点P 作PF⊥AD，∵AP＝x，∠DAE＝45°，PF⊥AD∴PF＝x＝AF，∴y＝S△PQA＝×AQ×PF＝x2，（2）当2＜x≤3 时，如图，过点P 作PF⊥AD，∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4∴DF＝4﹣x，∴y＝x2+（2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x2+8x﹣8当3＜x≤时，如图，点P 与点E 重合．∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm∴y＝（1+4）×3﹣（7﹣2x）×1＝x+4 （3）当0＜x≤2 时∵QF＝AF＝x，PF⊥AD∴PQ＝AP∵PQ＝cm∴x＝∴x＝当2＜x≤3 时，过点P 作PM⊥CD∴四边形MPFD 是矩形∴PM＝DF＝4﹣2x，MD＝PF＝x，∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x∵MP2+MQ2＝PQ2，∴（4﹣2x）2+（4﹣x）2＝∵△＜0∴方程无解当3＜x≤时，∵PQ2＝CP2+CQ2，∴＝1+（7﹣2x）2，∴x＝综上所述：x＝或【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26．（10 分）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k 与x 轴相交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C（0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h＝9 时，直接写出△BCP 的面积．【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k 即可；（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值；）①当0＜m≤1 时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2 时，h＝﹣1（3）﹣（﹣4）＝1；当m＞2 时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9 时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m 无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P （4，5），△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1 或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P 位于抛物线顶点时，△ABP 的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m≤1 时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2 时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；当m＞2 时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9 时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m 无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，∴P（4，5），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．。
2024年吉林省中考真题数学试卷含答案解析
2024年吉林省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（ ）A ．102.0410⨯B ．92.0410⨯C ．820.410⨯D ．100.20410⨯3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（ ）A ．()4,2--B ．()4,2-C ．()2,4D ．()4,2【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题7．当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为 ．8．因式分解：a 2﹣3a=．【答案】a （a ﹣3）【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9．不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为 ．【答案】23x <</32x >>【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．【答案】两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11．正六边形的每个内角等于°．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为 ．13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为 ．【答案】()22220.5x x +=+【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为 2m （结果保留π）．三、解答题15．先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率17．如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴黑色琴键由：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．19．图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；，的中点；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB CD、，作直线GH，则直线GH即为所求；（2）解：如图所示，取格点G H⊥．易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE GH20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21．中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？(1)20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数．(2)直接写出20192023(3)下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，②201920232020年全国居民人均可支配收入最低．【答案】(1)8485元(2)35128元(3)①【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【详解】（1）解：39218307338485-=元，答：20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．（2）解：20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；（3）解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）在Rt GAD 中，45EAD ∠=∴873tan DG AG DG EAD===∠在Rt GAC △中，37EAC ∠=∴tan 873CG AG EAC =⋅∠=∴873654.75CD DG CG =-=-23．综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mm x 16.519.823.126.429.7凳面的宽度/mm y 115.5132148.5165181.5【分析数据】如图③，小组根据表中x ，y 的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．(2)当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+(2)36mm【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【详解】（1），解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；（2）解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．25．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P从点A /s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．∵90C ∠=︒，30B ∠=∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=∴PAQ APQ =∠∠，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =∴QE QA =，即22AE AQ t ==∵30PAQ ∠=︒，∴1322PG AP ==∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ ===∴12S QE PG =⋅=∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而CE AE AC =-∴tan CF CE =⋅∠∴1S CE CF =⋅∵30DAC ∠=︒DCA ∠=由上知3DC =，∴23AD =，∴此时323PD t =-26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．(1)直接写出k ，a ，b 的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．【详解】（1）解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；（2）解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y 当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程2ax +Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。
2023年吉林省中考数学真题(解析版)
吉林省2023年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1. 月球表面的白天平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作（ ）A. +150C° B. 150C -° C. +276C ° D. 276C-°【答案】B【解析】【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．【详解】解：平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作150C -°，故选：B ．【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图．【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，故选A ．【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．3. 下列各式计算结果为a 5的是（ ）A. 32a a +B. 32a a ×C. ()32aD. 102a a ¸【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项逐项计算即可求解．【详解】解：A. 3a 与2a 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B. 32a a ×5a =，故该选项符合题意；C. ()32a 6a =，故该选项不符合题意；D. 122a a ¸10a =，故该选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项是解题的关键．4. 一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（ ）A. 33B. 23C. 17D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用一元二次方程根的判别式24b ac =-△求出答案．【详解】解：∵1a =，=5b -，2c =，∴()224541172b ac =-=-´´-=V ．故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．5. 如图，在ABC V 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．若23AD BD ==，，则AE AC的值是（ ）A. 25 B. 12 C. 35 D. 23【答案】A【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AE AD AC AB=，即可求解．【详解】解：∵ABC V 中，DE BC ∥，∴AE AD AC AB =，∵23AD BD ==，∴22235AE AD AC AD BD ===++，故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．6. 如图，AB ，AC 是O e 弦，OB ，OC 是O e 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC Ð=°，则BPC Ð的度数可能是（ ）A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°【答案】D【解析】【分析】根据圆周角定理得出2140BOC BAC Ð=Ð=°，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵ BCBC =，70BAC Ð=°，∴2140BOC BAC Ð=Ð=°，∵140BPC BOC PCO Ð=Ð+г°，的∴BPC Ð的度数可能是155°故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7. .．【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．．8. 不等式480x ->的解集为__________．【答案】2x >【解析】【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：480x ->48x >解得：2x >，故答案为：2x >．【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．9. 计算：(3)a b +=_________．【答案】3ab a+【解析】【分析】根据单项式乘多项式的运算法则求解．【详解】解：(3)3a b ab a +=+．故答案为：3ab a +．【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键．10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．【答案】三角形具有稳定性【解析】【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．11. 如图，在ABC V 中，AB AC =，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两孤交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若=110BAC а，则BAE Ð的大小为__________度．【答案】55【解析】【分析】首先根据题意得到AD 是BAC Ð的角平分线，进而得到1552BAE CAE BAC Ð=Ð=Ð=°．【详解】∵由作图可得，AD 是BAC Ð的角平分线∴1552BAE CAE BAC Ð=Ð=Ð=°．故答案为：55．【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x 人，可列方程为__________．【答案】54573x x +=+【解析】【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可．【详解】解：设合伙人数为x 人，根据题意列方程54573x x +=+；故答案为：54573x x +=+．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．13. 如图①，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A ，B 是圆上的两点，圆心角120AOB Ð=°，则 AB 的长为_________m ．（结果保留π）【答案】10π【解析】【分析】利用弧长公式π180n r l =直接计算即可．【详解】∵半径15m OA =，圆心角120AOB Ð=°，∴AB l n 120π1510π180´´==，故答案为：10π．【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式π180n r l =，并规范计算是解题的关键．14. 如图，在Rt ABC △中，90C BC AC Ð=°<，．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将BDE V 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ¢．若点B ¢刚好落在边AC 上，303CB E CE ¢Ð=°=，，则BC 的长为__________．【答案】9【解析】【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出26B E BE CE ¢===，即可求解．【详解】解：∵将BDE V 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ¢．点B ¢刚好落在边AC 上，在Rt ABC △中，90C BC AC Ð=°<，，303CB E CE ¢Ð=°=，，∴26B E BE CE ¢===，∴369BC CE BE =+=+=，故答案为：9．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（每小题5分，共20分）15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式．请写出单项式M ，并将该例题的解答过程补充完整．例 先化简，再求值：211a a aM -++，其中100a =．解：原式()()2111a a a a a =-++……【答案】M a =，11a -，99100，过程见解析【解析】【分析】先根据通分的步骤得到M ，再对原式进行化简，最后代入100a =计算即可．【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，∴()()2111M a a a a a M a a ×==+++，∴M a =，原式()()2111a a a a a =-++()211a a a -=+()()()111a a a a +-=+1a a-=11a=-，当100a =时，原式1991100100=-=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．16. 2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A ，B ，C ，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．【答案】13【解析】【分析】分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率．【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P ==．解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：AB C AAA BA CA B AB BB CB C AC BC CC 由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率3193P ==．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．17. 如图，点C 在线段BD 上，在ABC V 和DEC V 中，A D AB DE B E Ð=Ð=Ð=Ð，，．求证：AC DC =．【答案】证明见解析【解析】【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在ABC V 和DEC V 中，A D AB DEB E Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA ABC DEC ≌V V ∴AC DC =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．18. 2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A ，B 两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A 种鱼和2箱B 种鱼需花费1300元：如果购买2箱A 种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A 种鱼和每箱B 种鱼的价格．【答案】每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【解析】【分析】设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．【详解】解：设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，由题意得：21300232300x y x y +=ìí+=î，解得700300x y =ìí=î，答：每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．四、解答题（每小题7分，共28分）19. 图①、图②、图③均是55´的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB 为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．【答案】见解析【解析】【分析】根据勾股定理可得AB =【详解】解：如图所示，如图①，AC AB ===，则ABC V 是等腰三角形，且ABC V 是锐角三角形，如图②，AD AB ===，BD ==，则222AD AB BD +=，则ABD △是等腰直角三角形，如图③，AE AB ===ABE V 是等腰三角形，且ABE V 是钝角三角形，【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长l （单位：m ）会随着电磁波的频率f （单位：MHz ）的变化而变化．已知波长l 与频率f 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f （MHz ）101550波长l （m ）30206（1）求波长l 关于频率f 的函数解析式．（2）当75MHz f =时，求此电磁波的波长l ．【答案】（1）300f l =； （2）4m【解析】【分析】（1）设解析式为k fl =()0k ¹，用待定系数法求解即可；（2）把75MHz f =值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长l ．【小问1详解】解：设波长l 关于频率f 的函数解析式为k f l =()0k ¹，把点()10,30代入上式中得：3010k =，解得：300k =，300fl \=；【小问2详解】解：当75MHz f =时，300475l ==，答：当75MHz f =时，此电磁波的波长l 为4m ．【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．21. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告 时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角a ．测出眼睛到地面的距离AB ．测出所站地方到古树底部的距离BD ．a =________．1.54m AB =．10m BD =．【步骤四】计算古树高度CD ．（结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 400.643cos 400.766tan 400.839°=°=°=，，）请结合图①、图④和相关数据写出a 的度数并完成【步骤四】．【答案】40°，9.9mCD =【解析】【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得a 的度数，证明四边形ABDE 是矩形得到DE AB =，再解直角三角形求得CE 的度数，即可求解．【详解】解：测角仪显示的度数为50°，∴905040a =°-°=°，∵AB BD ^，ED BD ^，CE AE ^，∴90ABD EDB AED Ð=Ð=Ð=°，∴四边形ABDE 是矩形，10m AE BD ==， 1.54mED AB ==在Rt CAE △中，tan 8.39m CE AE a ==，∴8.39 1.549.939.9m CD CE ED =+=+=»．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．22. 为了解20182022-年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：20182022-年吉林省粮食总产量及其增长速度（以上数据源于《2022年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）注：-=100%´本年粮食总产量去年粮食总产量增长速度去年粮食总产量．根据此统计图，回答下列问题：（1）2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多__________万吨．（2）20182022-年全省粮食总产量的中位数是__________万吨．（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨．结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”①20182022-年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总产量最高．（ ）②如果将20182022-年全省粮食总产量的中位数记为a 万吨，20172022-年全省粮食总产量的中位数记为b 万吨，那么a b <．（ ）【答案】（1）161.3（2）3877.9（3）①×；②√【解析】【分析】（1）根据条形统计图，可知2021年全省粮食总产量4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，作差即可求解．（2）根据中位数定义，即可求解．（3）①根据统计图可知2019年全省粮食总产量不是最高；②根据中位数定义可得3877.94039.23877.92b +=>，即可求解．【小问1详解】解：根据统计图可知，2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为3877.9，∴2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多4039.23877.9161.3-=（万吨）；故答案为：161.3．【小问2详解】将20182022-年全省粮食总产量从小到大排列为：3632.7,3803.2,3877.9,4039.2,4080.8；∴20182022-年全省粮食总产量的中位数是3877.9万吨故答案为：3877.9．【小问3详解】①20182022-年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，但是在这5年中，2019年全省粮食总产量不是最高．故答案为：×．②依题意，3877.9a =，3877.94039.23877.92b +=>∴b a >，故答案为：√．【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，中位数的计算，从统计图中获取信息是解题的关键．五、解答题（每小题8分，共16分）23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和()m y 与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示．为的的（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．（2）求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．【答案】（1）30（2）()312060y x x =+30<£（3）10天【解析】【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；（2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x 的取值范围；（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a ，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．【小问1详解】解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，603030-=（天）∴甲组比乙组多挖掘了30天，故答案为：30；【小问2详解】解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，将()30,210和()60,300两个点代入，可得2103030060k b k b =+ìí=+î，解得3120k b =ìí=î，∴()312060y x x =+30<£【小问3详解】解：甲组每天挖30021036030-=-（米）甲乙合作每天挖210730=（米）∴乙组每天挖734-=（米），乙组挖掘的总长度为304120´=（米）设乙组己停工的天数为a ，则()330120a +=，解得10a =，答：乙组已停工的天数为10天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．24. 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN ．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN 总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD 和EFGH （AB BC <，FG BC £），其中AB EF =，B FEH Ð=Ð，将它们按图②放置，EF 落在边BC 上，FG EH ，与边AD 分别交于点M ，N ．求证：EFMN Y 是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD 不动，将平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移，且EF 始终在边BC 上．当MD MG =时，延长CD HG ，交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，4sin 5EFG Ð=（EFG Ð为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），8【解析】【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；（探究提升），证明四边形ABEN 是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；（结论应用），证明四边形ECPH 是菱形，求得其边长为10，作GQ BC ^于Q ，利用正弦函数的定义求解即可．【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，∴MN EF ∥，NE MF ∥，∴四边形EFMN 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），∵MN EF ∥，NE MF ∥，∴四边形EFMN 是平行四边形，∵B FEH Ð=Ð，∴NE AB ∥，又AN BE ∥，∴四边形ABEN 是平行四边形，∴EF AB NE ==，∴平行四边形EFMN 是菱形；（结论应用），∵平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移，∴MD GP ∥，PD MG ∥，∴四边形MNHG 、CDMF 、PGMD 是平行四边形，∵MD MG =，∴四边形PGMD 是菱形，∵四边形EFMN 是菱形，∴四边形ECPH 是菱形，∵四边形ECPH 的周长为40，∴10FH GF ==，作GQ BC ^于Q ，∵4sin 5EFG Ð=，∴45GQ GF =，∴8GQ =，∴四边形ECPH 的面积为10880´=．故答案为：80．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．六、解答题（每小题10分，共20分）25. 如图，在正方形ABCD 中，4cm AB =，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD -向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA AB -于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<），四边形PQMN 的面积为y （2cm ）（1）BP 的长为__________cm ，CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．【答案】（1）()4x -；x（2）()()2412160241624x x x y x x ì-+<£ï=í-+<£ïî（3）43x =或83x =【解析】【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出,OM OP OQ ON ==，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明ANP CQM V V ≌即可；（2）分02x <£，24x <£两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【小问1详解】解：依题意，1AP x x =´=()cm ，则()4PB AB AP x cm =-=-，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB DCB Ð=Ð=°∥，∵点O 是正方形对角线AC 的中点，∴,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ PN =，MQ NP ∥，∴PNQ MQN Ð=Ð，又AD BC ∥，∴ANQ CQN Ð=Ð，∴ANP MQC Ð=Ð，在,ANP CQM V V 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ANP CQM V V ≌，∴()cm MC AP x ==故答案为：()4x -；x ．【小问2详解】解：当02x <£时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM V V ≌，同理可得PBQ MDN V V ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =-==，42QC x =-，则222MCQ BPQ y AB S S =--V V ()()164242x x x x =--´--241216x x =-+；当24x <£时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==-=-，()244PN AP AN x x x =-=--=-+，∴()44416y x x =-+´=-+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x ì-+<£ï=í-+<£ïî；【小问3详解】依题意，①如图，当四边形PQMN 是矩形时，此时90PQM Ð=°，∴90PQB CQM Ð+Ð=°，∵90BPQ PQB Ð+Ð=°，∴BPQ CQM Ð=Ð，又B BCD Ð=Ð，∴~BPQ CQM V V ，∴BP BQ CQ CM=，即4242x x x x-=-，解得：43x =，当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =，∴()()()22224242x x x x -+=+-，解得：0x =（舍去）；②如图所示，当PB CQ =时，四边形PQMN 是轴对称图形，424x x -=-，解得83x =，当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ ==，即44x -+=，解得：0x =（舍去），综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，43x =或83x =．【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y xx c =-++经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．（3）当PAQ Ð的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m -=时，直接写出m 的值．【答案】（1）221y x x =-++（2）12m = （3）点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8（4）13m =或54m =【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点Q 的横坐标为2m ，即可求解；（3）分AQ x ∥轴时，AP x ∥轴时分别根据抛物线的对称性求得Q 的横坐标与P 的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；（4）分四种情况讨论，①如图所示，当,P Q 都在对称轴1x =的左侧时，当,P Q 在对称轴两侧时，当点P 在1x =的右侧时，当P 的纵坐标小于1时，分别求得12,h h ，根据21h h m -=建立方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y xx c =-++经过点(0,1)A ．∴1c =∴抛物线解析式为221y x x =-++；【小问2详解】解：∵221y x x =-++()212x =--+，顶点坐标为()1,2，∵点Q 与此抛物线顶点重合，点Q 的横坐标为2m∴21m =，解得：12m =；【小问3详解】①AQ x ∥轴时，点,A Q 关于对称轴1x =对称，22Q x m ==，∴1m =，则212112-+´+=，222211-+´+=，∴()1,2P ，Q ()2,1∴点P 与点Q 的纵坐标的差为211-=；②当AP x ∥轴时，则A P ，关于直线1x =对称，∴2P x m ==，24Q x m ==则242417-+´+=-∴()2,1P ，()4,7Q -；∴点P 与点Q 的纵坐标的差为()178--=；综上所述，点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8；【小问4详解】①如图所示，当P Q ，都在对称轴1x =的左侧时，的则021m <<∴102m <<∵()2,21P m m m -++，()()()22,2221Q m m m -++即()22,441Q m m m -++∴()21211P A h y y m m =-=-++-22m m =-+；222441144Q A h y y m m m m=-=-++-=-+∵21h h m-=∴22442m m m m m-++-=解得：13m =或0m =（舍去）；②当,P Q 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，则211m m ³£，，即112m ££，则2122,211h m m h =-+=-=，∴212m m m +-=，解得：m =；③当点P 在1x =的右侧且在直线0y =上方时，即12m <<，1211h =-=，()2222441441h m m m m =--++=-+∴24411m m m-+-=解得：54m =或0m =（舍去）；④当P 在直线1y =上或下方时，即2m ³，，()22122121h m m m m =--++=-+，()2222441441h m m m m =--++=-+，()2244121m m m m m\-+--+=解得：1m =（舍去）或0m =（舍去）综上所述，13m =或54m =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
2022年吉林省中考数学试题及答案解析
2022年吉林省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12分）1.吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为( )A.B.C.D.2.要使算式(−1)□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为( )A. +B. −C. ×D. ÷3.y与2的差不大于0，用不等式表示为( )A. y−2>0B. y−2<0C. y−2≥0D. y−2≤04.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为( )A. a>bB. a<bC. a=bD. 无法确定5.如图，如果∠1=∠2，那么AB//CD，其依据可以简单说成( )A. 两直线平行，内错角相等B. 内错角相等，两直线平行C. 两直线平行，同位角相等D. 同位角相等，两直线平行6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.−√2的相反数是______．8.计算：a⋅a2=______．9.篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要______元．(用含m的代数式表示)10.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛，音ℎú，是古代一种容量单位)，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为______．11.第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α(0°<α<360°)后能够与它本身重合，则角α可以为______度．(写出一个即可)12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为______．13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AC，连接EF.边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=14若AC=10，则EF=______．14.如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE.若∠BAE=65°，∠COD=70°，则BC⏜与DE⏜的长度之和为______(结果保留π)．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD.求证：BD=CD．16.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m(A)−6(m+1)．解：m(A)−6(m+1)=m2+6m−6m−6=______ ．17.长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．18.图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．(1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；(2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．19.刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．20.密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式．(2)当V=10m3时，求该气体的密度ρ．21.动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1cm).(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)22.为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：(以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》)×100%.例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万注：城镇化率=城镇常住人口总人口人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：(1)2017−2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是______%.(2)2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为______万人．(只填算式，不计算结果)(3)下列推断较为合理的是______(填序号)．①2017−2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．23.李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y(℃)与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：(1)加热前水温是______℃.(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．(3)当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是______℃.24.下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1//l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为ℎ，则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．∴S△ABC=S△DBC．【探究】(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为ℎ，ℎ′，则S△ABCS△DBC=ℎℎ′．证明：∵S△ABC=______．(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则S△ABCS△DBC =AMDM．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°．∴AE//______．∴△AEM∽______．∴AEDF =AMDM．由【探究】(1)可知S△ABCS△DBC=______，∴S△ABCS△DBC =AMDM．(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E.若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则S△ABCS△DBC的值为______．25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm.动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ=120°，另一边PQ与折线AC−CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x(s)，菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2).(1)当点Q在边AC上时，PQ的长为______cm.(用含x的代数式表示)(2)当点M落在边BC上时，求x的值．(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)经过点A(1,0)，点B(0,3).点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2−m．①求m的值．②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点答案解析1.【答案】C【解析】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，由松花砚的示意图可得其俯视图为C．故选：C．由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．本题考查物体的三视图，解题关键是掌握物体的三视图的有关概念．2.【答案】A【解析】解：当填入加号时：−1+3=2；当填入减号时−1−3=−4；当填入乘号时：−1×3=−3；，当填入除号时−1÷3=−13>−3>−4，∵2>−13∴这个运算符号是加号．故选：A．分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．本题考查的是有理数的运算及有理数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：根据题意得：y−2≤0．故选：D．不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．4.【答案】B【解析】解：∵b>0，a<0，故选：B．由数轴上b在a的右侧可得b与a的大小关系．本题考查实数与数轴，解题关键是掌握数轴的定义．5.【答案】D【解析】解：∵∠1=∠2，∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)，故选：D．由平行的判定求解．本题考查平行线的判定与性质，解题关键是掌握平行线的判定方法及平行线的性质．6.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√AB2−BC2=4，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3<r<5，故选：C．由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．7.【答案】√2【解析】解：−√2的相反数是√2．故答案为：√2．根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变−√2前面的符号，即可得−√2的相反数，再与每个选项比较得出答案．本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．8.【答案】a3【解析】解：a⋅a2=a1+2=a3．故答案为：a3．根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m⋅a n=a m+n计本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．9.【答案】10m【解析】解：篮球队要买10个篮球，每个篮球m 元，一共需要10m 元， 故答案为：10m ．根据题意直接列出代数式即可．本题主要考查了通过实际问题列出代数式，理解题意是解答本题的关键．10.【答案】{5x +y =3x +5y =2【解析】解：设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y 斛， 由题意得：{5x +y =3x +5y =2，故答案为：{5x +y =3x +5y =2．根据题意列出二元一次方程组即可．本题考查的是二元一次方程组的应用，找等量关系是列方程组的关键和难点．11.【答案】72(答案不唯一)．【解析】解：360°÷5=72°，则这个图案绕着它的中心旋转72°后能够与它本身重合， 故答案为：72(答案不唯一)．先求出正五边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正五边形的中心角是解题的关键．12.【答案】(2,0)【解析】解：由图象可得OB 与直径重合， ∵BO ⊥AC ， ∴OA =OC ， ∵A(−2,0)， ∴C(2,0)， 故答案为：(2,0)．由图象可得OB 与圆的直径重合，由BO ⊥AC 及垂径定理求解．本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．13.【答案】52【解析】解：在矩形ABCD中，AO=OC=12AC，AC=BD=10，∵AF=14AC，∴AF=12AO，∴点F为AO中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF=12OD=14BD=52．故答案为：52．由AF=14AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．本题考查矩形的性质，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．14.【答案】13π【解析】解：∵∠BAE=65°，∴∠BOE=130°，∴∠BOC+∠DOE=∠BOE−∠COD=60°，∴BC⏜+DE⏜的长度=60360×2π×1=13π，故答案为：13π.由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆心角与圆周角的关系，掌握计算弧长的方法．15.【答案】证明：在△ABD与△ACD中，{AB=AC∠BAD=∠CAD AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD=CD．【解析】由AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD= CD．本题考查全等三角形的判定及性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性质．16.【答案】m2−6【解析】解：由题知，m(A)−6(m+1)=m2+6m−6m−6=m2−6，∵m2+6m=m(m+6)，∴A为：m+6，故答案为：m2−6．根据题意合并同类项即可．本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．17.【答案】解：由题意作树状图如下：．由图知，两人都决定去长白山的概率为19【解析】根据题意作图得出概率即可．本题主要考查概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键．18.【答案】解：(1)作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．(2)将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，连接ABCD，AD//BC且AD= BC，∴四边形ABCD为矩形，符合题意．【解析】(1)作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．(2)将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点D，四边形ABCD为平行四边形．本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．19.【答案】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据题意列方程，得135x+20=120x，即135x=120(x+20)，解得x=160，经检验x=160是原方程的解，答：李婷每分钟跳绳160个．【解析】设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据时间相等列方程求解即可．本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．20.【答案】解：(1)设ρ=kV，将(4,2.5)代入ρ=kV 得2.5=k4，解得k=10，∴ρ=10V．(2)将V=10代入ρ=10V得ρ=1．∴该气体的密度为1kg/m3．【解析】(1)通过待定系数法求解．(2)将V=10代入函数解析式求解．本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．21.【答案】解：∵AB =34cm ，BC =70cm ，∴AC =AB +BC =104cm ， 在Rt △ACE 中，sin∠BCD =AEAC ，∴AE =AC ⋅sin∠BCD =104×0.85≈88cm ． 答：点A 到CD 的距离AE 的长度约88cm ．【解析】由AB ，BC 的长度求出AC 长度，然后根据sin∠BCD =AEAC 求解． 本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．22.【答案】62.71 141260×64.72% ①【解析】解：(1)∵2017−2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%， ∴中为数是62.71%， 故答案为：62.71．(2)∵2021年年末城镇化率为64.72%， ∴常住人口为141260×64.72%(万人)， 故答案为：141260×64.72%．(3)∵2017−2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升， ∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%． 故答案为：①．(1)将2017−2021年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数． (2)根据城镇化率=城镇常住人口总人口×100%可得2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%(万人).‘(3)由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．本题考查数据的收集与整理，解题关键是掌握中位数的概念，读懂折线图．23.【答案】20 65【解析】解：(1)由图象得x =0时y =20， ∴加热前水温是20℃， 故答案为：20．(2)设乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y =kx +b ， 将(0,20)，(160,80)代入y =kx +b 得{20=b80=160k +b，解得{k=38b=20，∴y=38x+20．(3)甲水壶的加热速度为(60−20)÷80=12℃/s，∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为(80−20)÷12=120s，将x=120代入y=38x+20得y=65，故答案为：65．(1)由图象x=0时y=20求解．(2)通过待定系数法求解．(3)由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入(2)中解析式求解．本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．24.【答案】12BC⋅ℎDF△DFM AEDF73【解析】(1)证明：∵S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ′，∴S△ABCS△DBC =ℎℎ′．(2)证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM= 90°．∵AE//DF，∴△AEM∽△DFM，∴AEDF =AMDM，由【探究】(1)可知S△ABCS△DBC =AEDF，∴S△ABCS△DBC =AMDM．故答案为：DF，△DFM，AEDF．(3)作DK//AC交l2于点K，∵DK//AC ， ∴△ACE∽△DKE ，∵DE =1.5，AE =5−1.5=3.5， ∴AE DE =3.51.5=73， 由【探究】(2)可得S △ABCS △DBC=AE DE =73．故答案为：73．(1)由S △ABC =12BC ⋅ℎ，S △DBC =12BC ⋅ℎ′即可证明．(2)由AE//DF 可得△AEM∽△DFM ，再由相似三角形的性质可得AE DF =AMDM ，然后结合【探究】(1)结论可得S △ABCS△DBC=AE DF．(3)作DK//AC 交l 2于点K ，由【探究】(1)(2)可得S △ABCS △DBC=AEDE ，进而求解．本题考查图形的探究题型，解题关键是掌握三角形的面积公式，掌握相似三角形的判定及性质．25.【答案】2√3x【解析】解：(1)作PE ⊥AC 于点E ，在Rt △APE 中，cos30°=AEAP ， ∴AE =AP ⋅cos30°=√3x ， ∵∠APQ =120°，∴∠AQP=180°−120°−30°=30°，∴AP=PQ，∴点E为AQ中点，∴AQ=2√3x(cm)，故答案为：2√3x.(2)如图，∵∠APQ=120°，∴∠MNB=∠PQB=60°，∵∠B=60°，∴△MNB为等边三角形，∴AP=PQ=PN=MN=NB，即AP+PN+NB=3AP=AB，∴3×2x=6，解得x=1．(3)当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，∵∠A=30°，AQ=2√3x，AQ=√3x，∴QF=12∵PN=PQ=AP=2x，∴y=PN⋅QF=2x⋅√3x=2√3x2．当1<t≤3时，QM，NM交BC于点H，K，2∵AB =6cm ，∠A =30°， ∴AC =√32AB =3√3cm ，∴CQ =AC −AQ =3√3−2√3x ， ∴QH =2√3CQ =2√3(3√3−2√3x)=6−4x ，∴HM =QM −QH =2x −(6−4x)=6x −6， ∵△HKM 为等边三角形， ∴S △HKM =√34HM 2=9√3x 2−18√3x +9√3，∴y =2√3x 2−(9√3x 2−18√3x +9√3)=−7√3x 2+18√3x −9√3． 当32<x ≤3时，重叠图形△PQM 为等边三角形，PQ =PB =AB −AP =6−2x ， ∴y =√34PB 2=√34(6−2x)2=√3x 2−6√3x +9√3．综上所述，y ={ 2√3x 2(0≤x ≤1)−7√3x 2+18√3x −9√3(1<x ≤32)√3x 2−6√3x +9√3(32<x ≤3)．(1)作PE ⊥AC 于点E ，由含30°角的直角三角形可得AE 的长度，再由等腰三角形的性质可得AQ 的长度．(2)作出点M 落在边BC 上的图象，由AP +PN +NB =AB 求解． (3)分类讨论0≤x ≤1，1<t ≤32，32<x ≤3并作出图象求解．本题考查图形的综合题，解题关键是掌握解直角三角形的方法，掌握菱形的性质，通过分类讨论求解．26.【答案】解：(1)将(1,0)，(0,3)代入y =x 2+bx +c 得{0=1+b +c 3=c，解得{b =−4c =3，∴y =x 2−4x +3． (2)令x 2−4x +3=0， 解得x 1=1，x 2=3，∴抛物线与x 轴交点坐标为(1,0)，(3,0)， ∵抛物线开口向上，∴m <1或m >3时，点P 在x 轴上方． (3)①∵y =x 2−4x +3=(x −2)2−1， ∴抛物线顶点坐标为(2,−1)，对称轴为直线x =2， 当m >2时，抛物线顶点为最低点， ∴−1=2−m ， 解得m =3，当m ≤2时，点P 为最低点，将x =m 代入y =x 2−4x +3得y =m 2−4m +3， ∴m 2−4m +3=2−m ， 解得m 1=3+√52(舍)，m 2=3−√52．∴m =3或m =3−√52．②当m =3时，点P 在x 轴上，AP =2， ∵抛物线顶点坐标为(2,−1)， ∴点Q 坐标为(2,−1)或(2,1)符合题意．21 当m =3−√52时，如图，∠QPA =90°过点P 作y 轴平行线，交x 轴于点F ，作QE ⊥PF 于点E ，∵∠QPE +∠APF =∠APF +∠PAF =90°，∴∠QPE =∠PAF ，又∵∠QEP =∠PFA =90°，QP =PA ， ∴△QEP≌△PFA(AAS)，∴QE =PA ，即2−m =m 2−4m +3，解得m 1=3+√52(舍)，m 2=3−√52．∴PF =2−3−√52，AF =PE =1−3−√52， ∴EF =PF +PE =2−3−√52+1−3−√52=√5， ∴点Q 坐标为(2,√5). 综上所述，点Q 坐标为(2,−1)或(2,1)或(2,√5).【解析】(1)通过待定系数法求解．(2)令y =0，求出抛物线与x 轴交点坐标，结合图象求解．(3)①分类讨论点P 在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P 为最低点时m 的值．②根据m 的值，作出等腰直角三角形求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．。
2022年吉林省中考数学试题及参考答案(word解析版)
2022年吉林省中考数学试题及参考答案(word解析版) 2022年吉林省中考数学试题及参考答案解析一、选择题〔本大题共6小题，每题2分，总分值12分〕 1．计算〔﹣1〕×〔﹣2〕的结果是〔〕 A．2B．1C．﹣2 D．﹣32．如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是〔〕A． B．C．〔a2〕3C．D．〔﹣a2〕3D．3．以下计算结果为a6的是〔〕 A．a2?a3 B．a12÷a2 数至少是〔〕4．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b 平行，木条a旋转的度A．10° B．20° C．50° D．70°5．如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，假设AB=9，BC=6，那么△DNB的周长为〔〕A．12B．13C．14D．156．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼〞问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．〞设鸡x只，兔y只，可列方程组为〔〕 A．??x?y?35?x?y?35?x?y?35?x?y?35 B．? C．? D．??2x?2y?94?4x?2y?94?4x?4y?94?2x?4y?94二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，总分值24分〕 7．计算：16? ．18．买单价3元的圆珠笔m支，应付元． 9．假设a+b=4，ab=1，那么a2b+ab2= ．10．假设关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，那么m的值为． 11．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕，B〔0，3〕，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，那么点C坐标为．12．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= m．?，假设∠AOB=58°13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，?，那么∠BDC= 度． AB?BC14．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值〞，记作k，假设k=1，那么该等腰三角形的顶角为度． 2三、解答题〔本大题共12小题，总分值84分〕15．〔5分〕某同学化简a〔a+2b〕﹣〔a+b〕〔a﹣b〕出现了错误，解答过程如下：原式=a2+2ab﹣〔a2﹣b2〕〔第一步〕 =a2+2ab﹣a2﹣b2〔第二步〕 =2ab ﹣b2 〔第三步〕〔1〕该同学解答过程从第步开始出错，错误原因是；〔2〕写出此题正确的解答过程．16．〔5分〕如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．217．〔5分〕一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图〔或列表〕的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率． 18．〔5分〕在平面直角坐标系中，反比例函数y?k〔k≠0〕图象与一次函数y=x+2图象的一个交x点为P，且点P的横坐标为1，求该反比例函数的解析式．19．〔7分〕如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．根据以上信息，解答以下问题．〔1〕冰冰同学所列方程中的x表示，庆庆同学所列方程中的y表示；〔2〕两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；〔3〕解〔2〕中你所选择的方程，并答复老师提出的问题．20．〔7分〕如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按以下步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．〔1〕请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；〔2〕所画图形是对称图形；〔3〕求所画图形的周长〔结果保存π〕．21．〔7分〕数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度．数学活动方案活动时间：2022年4月2日活动地点：学校操场填表人：林平课题活动目的测量学校旗杆的高度运用所学数学知识及方法解决实际问题 3 方案示意图测量步骤〔1〕用测得∠ADE=α；〔2〕用测得BC=a米，CD=b米．计算过程 22．〔7分〕为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为400g奶粉的情况，质检员进行了抽样调查，过程如下，请补全表一、表二中的空白，并答复提出的问题．收集数据：从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10袋，测得实际质量〔单位：g〕如下：甲：400，400，408，406，410，409，400，393，394，395 乙：403，404，396，399，402，402，405，397，402，398 整理数据：表一质量〔g〕频数种类甲乙分析数据：表二种类甲乙得出结论：包装机分装情况比拟好的是〔填甲或乙〕，说明你的理由．23．〔8分〕小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y〔m〕与各自离开出发地的时间x 〔min〕之间的函数图象如下图〔1〕家与图书馆之间的路程为 m，小玲步行的速度为 m/min；〔2〕求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；〔3〕求两人相遇的时间．平均数 401.5 400.8 中位数 402 众数 400 方差 36.85 8.56 3 0 0 1 0 5 1 3 0 393≤x＜396 396≤x＜399 399≤x＜402 402≤x＜405 405≤x＜408 408≤x ＜41124．〔8分〕如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶4点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．〔1〕求证：四边形ADEF为平行四边形；〔2〕当点D为AB中点时，?ADEF的形状为；〔3〕延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，假设AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．25．〔10分〕如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是23cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作?PQMN．设运动的时间为x〔s〕，?PQMN 与矩形ABCD重叠局部的图形面积为y〔cm2〕〔1〕当PQ⊥AB时，x= ；〔2〕求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；〔3〕直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两局部时，直接写出x的值．26．〔10分〕如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a〔a＜0〕与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．〔1〕当a=﹣1时，抛物线顶点D的坐标为，OE= ；〔2〕OE的长是否与a 值有关，说明你的理由；〔3〕设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；〔4〕以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P〔m，n〕，直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．5参考答案与解析一、选择题〔本大题共6小题，每题2分，总分值12分〕 1．计算〔﹣1〕×〔﹣2〕的结果是〔〕 A．2B．1C．﹣2 D．﹣3【知识考点】有理数的乘法．【思路分析】根据“两数相乘，同号得正〞即可求出结论．【解答过程】解：〔﹣1〕×〔﹣2〕=2．应选：A．【总结归纳】此题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘〞是解题的关键．2．如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是〔〕A． B． C． D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答过程】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最右边有一个正方形．应选：B．【总结归纳】此题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．以下计算结果为a6的是〔〕 A．a2?a3 B．a12÷a2C．〔a2〕3D．〔﹣a2〕3【知识考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法那么逐一计算可得．【解答过程】解：A、a2?a3=a5，此选项不符合题意； B、a12÷a2=a10，此选项不符合题意； C、〔a2〕3=a6，此选项符合题意； D、〔﹣a2〕3=﹣a6，此选项不符合题意；应选：C．【总结归纳】此题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法那么．4．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b 平行，木条a旋转的度数至少是〔〕6参考答案与解析一、选择题〔本大题共6小题，每题2分，总分值12分〕 1．计算〔﹣1〕×〔﹣2〕的结果是〔〕 A．2B．1C．﹣2 D．﹣3【知识考点】有理数的乘法．【思路分析】根据“两数相乘，同号得正〞即可求出结论．【解答过程】解：〔﹣1〕×〔﹣2〕=2．应选：A．【总结归纳】此题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘〞是解题的关键．2．如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是〔〕A． B． C． D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答过程】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最右边有一个正方形．应选：B．【总结归纳】此题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．以下计算结果为a6的是〔〕 A．a2?a3 B．a12÷a2C．〔a2〕3D．〔﹣a2〕3【知识考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法那么逐一计算可得．【解答过程】解：A、a2?a3=a5，此选项不符合题意； B、a12÷a2=a10，此选项不符合题意； C、〔a2〕3=a6，此选项符合题意； D、〔﹣a2〕3=﹣a6，此选项不符合题意；应选：C．【总结归纳】此题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法那么．4．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b 平行，木条a旋转的度数至少是〔〕6。
吉林省中考数学试题含答案
吉林省中考数学试题含答案2024年吉林省中考数学试题及答案一、选择题1、在下列四个数中，数值最大的是（）。
A. π B. 2π C. 3π D. 4π2、若方程 x² + mx + 2 = 0 的两个实数根分别为 x1 和 x2 ，且 x1³ + x2³ = 7，则 m 的值为（）。
A. -1 B. 1 C. -2 D. 23、等边三角形 ABC 的边长为 4，点 D 在边 AB 上，且∠ADC = 120°，则 AD 的长为（）。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 54、若点 P 在直线 y = x 上，且到原点的距离为√5，则 P 点的坐标为（）。
A. (2,2) B. (-2,-2) C. (2,2)或(-2,-2) D. (1,1)或(-1,-1)二、填空题5、已知实数 a，b，c 满足 a² + b² = c²，且 a > b > c，则 |a|+|b|-|c| 的值为________。
51、在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB = 5，一条直角边的长为2，则另一条直角边的长为________。
511、若 x + y = 5，则 (x² + y²) / 5 的值为________。
三、解答题8、已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象经过点 A(0,3)，且对称轴为 x = -2，点 B 在抛物线上。
若 AB = 4√5，求点 B 的坐标。
81、在四边形 ABCD 中，∠A = 90°，∠B = 60°，AD = AB = 4，CD = 3。
求四边形 ABCD 的面积。
811、求根号下 (4 - sin²80°) 的值。
四、附加题11、在平面直角坐标系中，O 为原点，A(-3,0)，B(0,4)，C(3,0)，D 为第一象限内一点，且∠DAO + ∠DCO = α，求 tanα的值。
2023年吉林省中考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年吉林省中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 月球表面的白天平均温度零上126℃记作+126℃夜间平均温度零下150℃应记作( )A. +150℃B. −150℃C. +276℃D. −276℃2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场.图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是( )A. B.C. D.3. 下列各式运算结果为a5的是( )A. a2+a3B. a2a3C. (a2)3D. a10÷a24. 一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是( )A. 33B. 23C. 17D. √ 175.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE//BC，交AC点E.若AD=2，BD=3，则AE的值是( )ACA. 25B. 12C. 35D. 236.如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC=70°，则∠BPC的度数可能是( )A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7. |−√ 5|=______ ．8. 不等式4x−8>0的解集为______ ．9. 计算：a(b+3)=______ ．10.如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是______ ．11. 如图，在△ABC中，AB=AC.分别以点B和点C为圆心，大于1BC的长为半径作弧，两弧2交于点D，作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110°，则∠BAE的大小为______ 度.12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为______ ．13. 如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢.图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°，则AB−的长为______ m.(结果保留π)14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC.点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB′E=30°，CE=3，则BC的长为______ ．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。
吉林省吉林市中考数学试卷及答案
吉林省吉林市中考数学试卷及答案一、填空题（每题2分，共20分） 1. 32-的相反数是 ； 2. 函数2-=x y 的自变量x 的取值范围是 ； 3. 不等式组⎩⎨⎧<-<-0120x x 的解集是 ；4. 已知一元二次方程0652=--x x 的两个根分别为x 1，x 2，则2221x x +＝ ；5. 点A （1，6）在双曲线xk y =上，则k ＝ ； 6. 如图，∠1十∠2十∠3十∠4＝ 度．7. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则x ＝ 度。
8. 某商品的标价是1100元，打八折（按标价的80％）出售，仍可获利10％，则此商品的进价是 元．9. 小明的身高是1．6米，他的影长是2米．同一时刻古塔的影长是18米，则古塔的高 是 米．10. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是 2cm ．二、选择题（每题3分，共18分）把下列各题中惟一正确答案的序号填在题后的括号内．11. 下列计算正确的是（ ）．（A ）a ·3a ＝3a （B ）2a ·3a ＝6a（C ） ()32a ＝5a （D ） 5a ＋5a ＝25a12. 今年6月1日，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，26台机组年发电量将达到84 700 000000千瓦时，用科学记数法应表示为（ ）．（A ）8．47×1010千瓦时 （B ）8．47 ×810千瓦时（C ）8．47×910千瓦时 （D ）8．47 ×1110千瓦时 13. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元．如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（ ）。
（A ）10％ （B ）15％ （C ）20％ （D ） 25％14. 关于x 的一元二次方程()02222=+--m x m x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）．（A ）m>1 （B ）m<1 （C ）m ＞l （D ）m ＜－l15. 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 6 m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）．（A ）312m （B ）20m （C ）22m （D ）24m 16. 如图,⊙O 的弦AB 垂直于直径MN 为垂足．若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成立的是（ ）．（A ）AB ＝12cm （B ）OC ＝6cm （C ）MN ＝8cm （D ）AC ＝2．5cm三、（每题5分，共20分）17. 下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形 ；理由是 ：18. 化简并求值：1111222---++a a a a （其中，a ＝12+）；19. 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连结AC、BD．⑴求证：△AOC≌△BOD；⑵若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．20. 如图，①是某城市三月份1至10日的最低气温随时间变化的图象．⑴根据图①提供的信息，在图②中补全直方图；⑵这10天最低气温的众数是℃，最低气温的中位数是℃，最低气温的平均数是℃．四、（每题6分，共18分）21. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：；⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：；22. 如图，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°．已知山坡的坡角为15°，求树 AB的高（精确到0．l 米，已知 sin10°≈0．17，cos10°≈0．98，tan10°≈0．18，sin15°≈ 0．26，cos15°≈0．97，tan15°≈0．27）．23. 如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0．5千米．由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟．问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？五、（每题8分，共24分）24. 如图AB 是半圆O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动（不与点M 重合），点Q 在半圆 O 上运动，且总保持PQ ＝PO ，过点Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C 。
吉林省中考数学试卷含解析(Word版)
2021 年吉林省中考数学试卷一、选择题〔共 6 小题，每题 2 分，总分值 12 分〕1．〔2.00 分〕计算〔﹣ 1〕×〔﹣ 2〕的结果是〔〕A．2B．1C．﹣ 2 D．﹣ 32〔．2.00 分〕如图是由 4 个同样的小正方体构成的立体图形，它的主视图是〔〕A．B．C．D．3．〔2.00 分〕以下计算结果为a6的是〔〕． 2 312÷a2．〔2〕3．〔﹣2〕3A a ?a B．a C a Da4．〔2.00 分〕如图，将木条 a，b 与 c 钉在一同，∠ 1=70°，∠2=50°，要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数起码是〔〕A．10°B．20°C．50°D．70°5．〔2.00 分〕如图，将△ ABC折叠，使点 A 与 BC边中点 D 重合，折痕为 MN，假定 AB=9，BC=6，那么△ DNB的周长为〔〕A．12 B．13 C．14D．156．〔2.00 分〕我国古代数学著作?孙子算经?中有“鸡兔同笼〞问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．〞设鸡 x 只，兔 y 只，可列方程组为〔〕A．B．C．D．二、填空题〔共8 小题，每题 3 分，总分值 24 分〕7．〔分〕计算：=．8．〔分〕买单价 3 元的圆珠笔 m 支，对付元．9．〔分〕假定 a+b=4，ab=1，那么 a2b+ab2=．10．〔3.00 分〕假定对于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值为．11．〔 3.00 分〕如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕，B〔0，3〕，以点 A 为圆心， AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C，那么点 C 坐标为．12．〔 3.00 分〕如图是丈量河宽的表示图，AE与 BC订交于点 D，∠ B=∠C=90°，测得 BD=120m， DC=60m， EC=50m，求得河宽 AB=m．13．〔 3.00 分〕如图， A，B，C，D 是⊙ O 上的四个点，=，假定∠ AOB=58°，那么∠ BDC=度．14．〔 3.00 分〕我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特点值〞，记作 k，假定 k=，那么该等腰三角形的顶角为度．三、解答题〔共12 小题，总分值 84 分〕15．〔 5.00 分〕某同学化简a〔a+2b〕﹣〔 a+b〕〔 a﹣ b〕出现了错误，解答过程以下：原式 =a2+2ab﹣〔 a2﹣b2〕〔第一步〕=a2+2ab﹣a2﹣b2〔第二步〕=2ab﹣b2〔第三步〕〔 1〕该同学解答过程从第步开始犯错，错误原由是；〔 2〕写出本题正确的解答过程．16．〔 5.00 分〕如图，在正方形A BCD中，点 E， F 分别在 BC， CD上，且 BE=CF，求证：△ ABE≌△ BCF．17．〔 5.00 分〕一个不透明的口袋中有三个小球，上边分别标有字母A， B， C，除所标字母不一样外，其余完整同样，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图〔或列表〕的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母同样的概率．18．〔 5.00 分〕在平面直角坐标系中，反比率函数y= 〔 k≠0〕图象与一次函数y=x+2 图象的一个交点为P，且点 P 的横坐标为 1，求该反比率函数的分析式．19．〔 7.00 分〕如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的依据以上信息，解答以下问题．〔 1〕冰冰同学所列方程中的x 表示，庆庆同学所列方程中的y 表示；（2〕两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；（3〕解〔 2〕中你所选择的方程，并回复老师提出的问题．20．〔7.00 分〕如图是由边长为1的小正方形构成的8× 4 网格，每个小正方形的极点叫做格点，点A，B，C，D 均在格点上，在网格中将点 D 按以下步骤挪动：第一步：点 D 绕点 A 顺时针旋转180°获取点 D1；第二步：点 D1绕点 B 顺时针旋转90°获取点 D2；第三步：点 D2绕点C 顺时针旋转°回到点．90D〔 1〕请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；〔 2〕所绘图形是对称图形；〔 3〕求所绘图形的周长〔结果保留π〕．21．〔 7.00 分〕数学活动小组的同学为丈量旗杆高度，先拟订了以下丈量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平达成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆 AB 的高度．数学活动方案活动时间： 2021 年 4 月 2 日活动地址：学校操场填表人：林平课题丈量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实质问题方案表示图丈量步〔 1〕用测得∠ ADE=α；骤〔2〕用测得 BC=a米，CD=b米．计算过程22．〔7.00 分〕为了检查甲、乙两台包装机分装标准质量为400g 奶粉的状况，质检员进行了抽样检查，过程以下，请补全表一、表二中的空白，并回复提出的问题．采集数据：从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10 袋，测得实质质量〔单位： g〕如下：甲： 400，400， 408，406，410，409， 400，393，394， 395乙： 403，404， 396，399，402，402， 405，397，402， 398整理数据：表一质量〔 g〕≤≤399≤x≤≤≤393 x396 x402 x405 x408 x 频数＜ 396＜399＜402＜405＜408＜ 411种类甲30013乙0150剖析数据：表二种类均匀数中位数众数方差甲400乙402得出结论：包装机分装状况比较好的是〔填甲或乙〕，说明你的原由．23．〔 8.00 分〕小玲和弟弟小东分别从家和图书室同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步半途改为步行，抵达图书室恰巧用30min．小东骑自行车以300m/min 的速度直接回家，两人离家的行程y〔m〕与各自走开出发地的时间x 〔 min〕之间的函数图象以下列图〔 1〕家与图书室之间的行程为m，小玲步行的速度为m/min ；（2〕求小东离家的行程 y 对于 x 的函数分析式，并写出自变量的取值范围；（3〕求两人相遇的时间．24．〔 8.00 分〕如图①，在△ ABC中， AB=AC，过 AB 上一点 D 作 DE∥ AC交BC 于点 E，以 E 为极点， ED为一边，作∠ DEF=∠ A，另一边 EF交 AC 于点 F．〔 1〕求证：四边形ADEF为平行四边形；〔 2〕当点 D 为 AB 中点时， ?ADEF的形状为；（3〕延伸图①中的 DE到点 G，使 EG=DE，连结 AE，AG，FG，获取图②，假定AD=AG，判断四边形 AEGF的形状，并说明原由．25．〔 10.00 分〕如图，在矩形 ABCD中， AB=2cm，∠ ADB=30°．P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P 沿折线 AB﹣ BC运动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC 上的速度是 2 cm/s；点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动，过点 P 作PN⊥AD，垂足为点 N．连结 PQ，以 PQ，PN 为邻边作 ?PQMN．设运动的时间为x〔s〕， ?PQMN 与矩形 ABCD重叠局部的图形面积为y〔cm2〕〔 1〕当 PQ⊥AB 时， x=；（2〕求 y 对于 x 的函数分析式，并写出 x 的取值范围；（3〕直线 AM 将矩形 ABCD的面积分红 1：3 两局部时，直接写出 x 的值．26．〔 10.00 分〕如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a〔a＜0〕与x 轴订交于 A，B 两点，与 y 轴订交于点 C，极点为 D，直线 DC与 x 轴订交于点E．〔 1〕当 a=﹣1 时，抛物线极点 D 的坐标为，OE=；（2〕 OE的长能否与 a 值相关，说明你的原由；（3〕设∠ DEO=β，45°≤β≤60°，求 a 的取值范围；（4〕以 DE 为斜边，在直线 DE的左下方作等腰直角三角形 PDE．设 P〔m， n〕，直接写出 n 对于 m 的函数分析式及自变量 m 的取值范围．2021 年吉林省中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题〔共 6 小题，每题 2 分，总分值 12 分〕1．〔2.00 分〕计算〔﹣ 1〕×〔﹣ 2〕的结果是〔〕A．2B．1C．﹣ 2 D．﹣ 3【剖析】依据“两数相乘，同号得正〞即可求出结论．【解答】解：〔﹣ 1〕×〔﹣ 2〕=2．应选： A．【评论】本题考察了有理数的乘法，切记“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘〞是解题的重点．2〔．2.00 分〕如图是由 4 个同样的小正方体构成的立体图形，它的主视图是〔〕A．B．C．D．【剖析】找到从正面看所获取的图形即可，注意全部的看到的棱都应表此刻主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最右侧有一个正方形．应选： B．【评论】本题考察了三视图的知识，主视图是从物体的正面看获取的视图．3．〔2.00 分〕以下计算结果为a6的是〔〕2 312÷a2．〔2〕3．〔﹣2〕3A．a ?a B．a C a D a【剖析】分别依据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法那么逐个计算可得．【解答】解： A、a2?a3=a5，此选项不切合题意；B、a12÷a2=a10，此选项不切合题意；C、〔a2〕3=a6，此选项切合题意；D、〔﹣ a2〕3=﹣a6，此选项不切合题意；应选： C．【评论】本题主要考察幂的运算，解题的重点是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法那么．4．〔2.00 分〕如图，将木条 a，b 与 c 钉在一同，∠ 1=70°，∠2=50°，要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数起码是〔〕A．10°B．20°C．50°D．70°【剖析】依据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠ 2 的同位角的度数，而后用∠1 减去即可获取木条 a 旋转的度数．【解答】解：如图．∵∠ AOC=∠2=50°时， OA∥b，∴要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数起码是 70°﹣50°=20°．应选： B．【评论】本题考察了旋转的性质，平行线的判断，依据同位角相等两直线平行求出旋转后∠ 2 的同位角的度数是解题的重点．5．〔2.00 分〕如图，将△ ABC折叠，使点 A 与 BC边中点 D 重合，折痕为 MN，假定 AB=9，BC=6，那么△ DNB的周长为〔〕A．12 B．13 C．14D．15【剖析】由 D 为 BC中点知 BD=3，再由折叠性质得 ND=NA，进而依据△ DNB 的周长 =ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD 可得答案．【解答】解：∵ D 为 BC的中点，且 BC=6，∴BD= BC=3，由折叠性质知 NA=ND，那么△ DNB 的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12，应选： A．【评论】本题主要考察翻折变换，解题的重点是掌握翻折变换的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．6．〔2.00 分〕我国古代数学著作?孙子算经?中有“鸡兔同笼〞问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．〞设鸡 x 只，兔 y 只，可列方程组为〔〕A．B．C．D．【剖析】依据题意能够列出相应的方程组，进而能够解答本题．【解答】解：由题意可得，，应选： D．【评论】本题考察由实质问题抽象出二元一次方程组，解答本题的重点是明确题意，列出相应的方程组．二、填空题〔共8 小题，每题 3 分，总分值 24 分〕7．〔3.00 分〕计算：= 4．【剖析】依据算术平方根的观点去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵ 42=16，∴=4，故答案为 4．【评论】本题主要考察了算术平方根的定义，算术平方根的观点易与平方根的观点混杂而致使错误．8．〔3.00 分〕买单价 3 元的圆珠笔 m 支，对付3m元．【剖析】依据总价 =单价×数目列出代数式．【解答】解：依题意得： 3m．故答案是： 3m．【评论】本题考察列代数式，解答本题的重点是明确题意，列出相应的代数式．9．〔3.00 分〕假定 a+b=4，ab=1，那么 a2b+ab2= 4．【剖析】直接利用提取公因式法分解因式，再把代入求出答案．【解答】解：∵ a+b=4，ab=1，∴a2b+ab2=ab〔a+b〕=1×4=4．故答案为： 4．【评论】本题主要考察了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题重点．10．〔3.00 分〕假定对于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值为﹣1．【剖析】因为对于 x 的一元二次方程x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，可知其鉴别式为 0，据此列出对于m 的不等式，解答即可．【解答】解：∵对于 x 的一元二次方程x2+2x﹣m=0 有两个相等的实数根，∴△ =b2﹣4ac=0，即： 22﹣4〔﹣ m〕=0，解得： m=﹣1，应选答案为﹣ 1．【评论】本题考察了根的鉴别式，解题的重点是认识根的鉴别式怎样决定一元二次方程根的状况．11．〔 3.00 分〕如图，在平面直角坐标系中， A〔4，0〕，B〔0，3〕，以点 A 为圆心， AB 长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 C，那么点 C 坐标为〔﹣ 1， 0〕．【剖析】求出 OA、OB，依据勾股定理求出 AB，即可得出 AC，求出 OC长即可．【解答】解：∵点 A，B 的坐标分别为〔 4，0〕，〔 0， 3〕，∴OA=4，OB=3，在 Rt△AOB中，由勾股定理得： AB==5，∴AC=AB=5，∴OC=5﹣ 4=1，∴点 C 的坐标为〔﹣ 1，0〕，故答案为：〔﹣ 1，0〕，【评论】本题考察了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解本题的重点是求出OC的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．12．〔 3.00 分〕如图是丈量河宽的表示图， AE与 BC订交于点 D，∠B=∠C=90°，测得 BD=120m， DC=60m， EC=50m，求得河宽 AB= 100 m．【剖析】由两角对应相等可得△ BAD∽△ CED，利用对应边成比率可得两岸间的大概距离 AB．【解答】解：∵∠ ADB=∠EDC，∠ ABC=∠ECD=90°，∴△ ABD∽△ ECD，∴，，解得： AB=〔米〕．故答案为： 100．【评论】本题主要考察了相像三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相像；相像三角形的对应边成比率．13．〔 3.00 分〕如图， A，B，C，D 是⊙ O 上的四个点，=，假定∠ AOB=58°，那么∠ BDC= 29度．【剖析】依据∠ BDC= ∠ BOC求解即可；【解答】解：连结 OC．∵= ，∴∠ AOB=∠BOC=58°，∴∠ BDC= ∠BOC=29°，故答案为 29．【评论】本题考察圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的重点是娴熟掌握根本知识，属于中考常考题型．14．〔 3.00 分〕我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特点值〞，记作 k，假定 k= ，那么该等腰三角形的顶角为 36 度．【剖析】依据等腰三角形的性质得出∠ B=∠ C，依据三角形内角和定理和得出5∠A=180°，求出即可．【解答】解：∵△ ABC中， AB=AC，∴∠ B=∠ C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特点值〞，记作 k，假定 k= ，∴∠ A：∠ B=1： 2，即 5∠A=180°，∴∠ A=36°，故答案为： 36．【评论】本题考察了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能依据等腰三角形性质、三角形内角和定理和得出 5∠ A=180°是解本题的重点．三、解答题〔共12 小题，总分值 84 分〕15．〔 5.00 分〕某同学化简 a〔a+2b〕﹣〔 a+b〕〔 a﹣ b〕出现了错误，解答过程以下：原式 =a2+2ab﹣〔 a2﹣b2〕〔第一步〕=a2+2ab﹣a2﹣b2〔第二步〕=2ab﹣b2〔第三步〕〔 1〕该同学解答过程从第二步开始犯错，错误原由是去括号时没有变号；（2〕写出本题正确的解答过程．【剖析】先计算乘法，而后计算减法．【解答】解：〔 1〕该同学解答过程从第二步开始犯错，错误原由是去括号时没有变号；故答案是：二；去括号时没有变号；（2〕原式 =a2+2ab﹣〔 a2﹣ b2〕=a2+2ab﹣a2+b2=2ab+b2．【评论】考察了平方差公式和实数的运算，去括号规律：①a+〔b+c〕 =a+b+c，括号前是“+〞号，去括号时连同它前面的“+〞号一同去掉，括号内各项不变号；②a﹣〔b﹣c〕=a﹣ b+c，括号前是“﹣〞号，去括号时连同它前面的“﹣〞号一同去掉，括号内各项都要变号．16．〔 5.00 分〕如图，在正方形A BCD中，点 E， F 分别在 BC， CD上，且 BE=CF，求证：△ ABE≌△ BCF．【剖析】依据正方形的性质，利用SAS即可证明；【解答】证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ ABE=∠BCF=90°，在△ ABE和△ BCF中，，∴△ ABE≌△ BCF．【评论】本题考察正方形的性质全等三角形的判断等知识，解题的重点是娴熟掌握根本知识，属于中考常考题型．17．〔 5.00 分〕一个不透明的口袋中有三个小球，上边分别标有字母A， B， C，除所标字母不一样外，其余完整同样，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图〔或列表〕的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母同样的概率．【剖析】列表得出全部等可能的状况数，再找出两次摸出的小球所标字母同样的状况数，即可求出其概率．【解答】解：列表得：A B CA〔，〕〔，〕〔，〕A AB AC AB〔A，B〕〔B，B〕〔C，B〕C〔A，C〕〔B，C〕〔C，C〕由列表可知可能出现的结果共 9 种，此中两次摸出的小球所标字母同样的状况数有3种，因此该同学两次摸出的小球所标字母同样的概率= =．【评论】本题考察的是用列表法或树状图法求概率．列表法能够不重复不遗漏的列出全部可能的结果，合适于两步达成的事件；树状图法合适两步或两步以上达成的事件；解题时要注意本题是放回实验仍是不放回实验．用到的知识点为：概率 =所讨状况数与总状况数之比．18．〔 5.00 分〕在平面直角坐标系中，反比率函数y= 〔 k≠0〕图象与一次函数y=x+2 图象的一个交点为 P，且点 P 的横坐标为 1，求该反比率函数的分析式．【剖析】先求出 P 点的坐标，再把 P 点的坐标代入反比率函数的分析式，即可求出答案．【解答】解：∵把 x=1 代入 y=x+2 得： y=3，即 P 点的坐标是〔 1， 3〕，把 P 点的坐标代入 y=得：k=3，即反比率函数的分析式是y=．【评论】本题考察了用待定系数法求反比率函数的分析式和函数图象上点的坐标特点，能求出 P 点的坐标是解本题的重点．19．〔 7.00 分〕如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．依据以上信息，解答以下问题．〔 1〕冰冰同学所列方程中的 x 表示甲队每日修路的长度，庆庆同学所列方程中的 y 表示甲队修路 400 米所需时间；（2〕两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；（3〕解〔 2〕中你所选择的方程，并回复老师提出的问题．【剖析】〔1〕依据两人的方程思路，可得出： x 表示甲队每日修路的长度； y 表示甲队修路 400 米所需时间；〔 2〕依据题意，可找出：〔冰冰〕甲队修路 400 米所用时间 =乙队修路 600 米所用时间；〔庆庆〕乙队每日修路的长度﹣甲队每日修路的长度 =20 米；（3〕选择两个方程中的一个，解之即可得出结论．【解答】解：〔1〕∵冰冰是依据时间相等列出的分式方程，∴ x 表示甲队每日修路的长度；∵庆庆是依据乙队每日比甲队多修 20 米列出的分式方程，∴ y 表示甲队修路 400 米所需时间．故答案为：甲队每日修路的长度；甲队修路 400 米所需时间．（2〕冰冰用的等量关系是：甲队修路 400 米所用时间 =乙队修路 600 米所用时间；庆庆用的等量关系是：乙队每日修路的长度﹣甲队每日修路的长度=20 米〔选择一个即可〕．〔 3〕选冰冰的方程：=，去分母，得： 400x+8000=600x，移项， x 的系数化为 1，得： x=40，查验：当 x=40 时， x、x+20 均不为零，∴x=40．答：甲队每日修路的长度为 40 米．选庆庆的方程：﹣=20，去分母，得： 600﹣400=20y，将 y 的系数化为 1，得： y=10，经验：当 y=10 时，分母 y 不为 0，∴ y=10，∴=40．答：甲队每日修路的长度为40 米．【评论】本题考察了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的重点．20．〔7.00 分〕如图是由边长为 1 的小正方形构成的 8× 4 网格，每个小正方形的极点叫做格点，点 A，B，C，D 均在格点上，在网格中将点 D 按以下步骤挪动：第一步：点 D 绕点 A 顺时针旋转 180°获取点 D1；第二步：点 D1绕点 B 顺时针旋转 90°获取点 D2；第三步：点 D2绕点 C 顺时针旋转 90°回到点 D．（1〕请用圆规画出点 D→D1→D2→D经过的路径；（2〕所绘图形是轴对称对称图形；（3〕求所绘图形的周长〔结果保留π〕．【剖析】〔1〕利用旋转变换的性质画出图象即可；（2〕依据轴对称图形的定义即可判断；（3〕利用弧长公式计算即可；【解答】解：〔1〕点 D→D1→D2→D经过的路径以下列图：（2〕察看图象可知图象是轴对称图形，故答案为轴对称．〔 3〕周长 =4×=8π．【评论】本题考察作图﹣旋转变换，弧长公式、轴对称图形等知识，解题的重点是理解题意，正确画出图形，属于中考常考题型．21．〔 7.00 分〕数学活动小组的同学为丈量旗杆高度，先拟订了以下丈量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平达成方案内容，用含a，b，α的代数式表示旗杆 AB 的高度．数学活动方案活动时间： 2021 年 4 月 2 日活动地址：学校操场填表人：林平课题丈量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实质问题方案表示图丈量步〔 1〕用 测角仪 测得∠ ADE=α；骤〔2〕用 皮尺 测得 BC=a 米，CD=b米．计算过程【剖析】 在 Rt △ ADE 中，求出 AE ，再利用 AB=AE+BE 计算即可；【解答】 解：〔1〕用 测角仪测得∠ ADE=α；〔2〕用 皮尺测得 BC=a 米， CD=b 米．（ 3〕计算过程：∵四边形 BCDE 是矩形，∴ DE=BC=a ， BE=CD=b ，在 Rt △ADE 中， AE=ED?tan α=a?tan α，∴ AB=AE+EB=a?tan α+b ．【评论】本题考察解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题， 解题的重点是学会增添常用协助线，结构直角三角形解决问题．22．〔7.00 分〕为了检查甲、乙两台包装机分装标准质量为 400g 奶粉的状况，质检员进行了抽样检查，过程以下，请补全表一、表二中的空白，并回复提出的问题．采集数据：从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取 10 袋，测得实质质量〔单位： g 〕如下：甲： 400，400， 408，406，410，409， 400，393，394， 395 乙： 403，404， 396，399，402，402， 405，397，402， 398 整理数据： 表一质量〔 g 〕≤≤ 399≤ x ≤ ≤ ≤393 x 396 x 402 x 405 x 408 x 频数 ＜ 396＜399＜402＜405＜408＜ 411种类甲303013乙031510剖析数据：表二种类均匀数中位数众数方差甲400400乙402402得出结论：包装机分装状况比较好的是乙〔填甲或乙〕，说明你的原由．【剖析】整理数据：由题干中的数据联合表中范围确立个数即可得；剖析数据：依据众数和中位数的定义求解可得；得出结论：依据方差的意义，方差小分装质量较为稳固即可得．【解答】解：整理数据：表一质量〔 g〕≤≤399≤x≤≤≤393 x396 x402 x405 x408 x 频数＜ 396＜399＜402＜405＜408＜ 411种类甲303013乙031510剖析数据：将甲组数据从头摆列为： 393、394、395、400、400、400、406、408、409、410，∴甲组数据的中位数为 400；乙组数据中 402 出现次数最多，有 3 次，∴乙组数据的众数为402；表二种类均匀数中位数众数方差甲400400乙402402得出结论：表二知，乙包装机分装的奶粉质量的方差小，分装质量比较稳固，因此包装机分装状况比较好的是乙．故答案为：乙．【评论】本题考察了众数、中位数以及方差，掌握众数、中位数以及方差的定义及数据的整理是解题的重点．23．〔 8.00 分〕小玲和弟弟小东分别从家和图书室同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步半途改为步行，抵达图书室恰巧用30min．小东骑自行车以300m/min 的速度直接回家，两人离家的行程y〔m〕与各自走开出发地的时间x 〔 min〕之间的函数图象以下列图〔 1〕家与图书室之间的行程为4000 m，小玲步行的速度为200m/min ；（2〕求小东离家的行程 y 对于 x 的函数分析式，并写出自变量的取值范围；（3〕求两人相遇的时间．【剖析】〔1〕仔细剖析图象获取行程与速度数据；〔 2〕采纳方程思想列出小东离家行程y 与时间 x 之间的函数关系式；〔 3〕两人相遇其实是函数图象求交点．【解答】解：〔1〕联合题意和图象可知，线段 CD为小玲行程与时间函数图象，折现 O﹣A﹣B 为为小东行程与时间图象那么家与图书室之间行程为 4000m，小玲步行速度为 2000÷ 10=200m/s故答案为： 4000，200（2〕∵小东从离家 4000m 处以 300m/min 的速度返回家，那么 xmin 时，∴他离家的行程 y=4000﹣300x自变量 x 的范围为 0≤x≤（3〕由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度以前∴ 4000﹣ 300x=200x解得 x=8∴两人相遇时间为第8 分钟．【评论】本题是一次函数实质应用问题，考察了对一次函数图象代表意义的剖析和从方程角度解决一次函数问题．24．〔 8.00 分〕如图①，在△ ABC中， AB=AC，过 AB 上一点 D 作 DE∥ AC交BC 于点 E，以 E 为极点， ED为一边，作∠ DEF=∠ A，另一边 EF交 AC 于点 F．〔 1〕求证：四边形ADEF为平行四边形；〔 2〕当点 D 为 AB 中点时， ?ADEF的形状为菱形；（3〕延伸图①中的 DE到点 G，使 EG=DE，连结 AE，AG，FG，获取图②，假定AD=AG，判断四边形 AEGF的形状，并说明原由．【剖析】〔1〕依据平行线的性质获取∠ BDE=∠A，依据题意获取∠ DEF=∠BDE，依据平行线的判断定理获取 AD∥EF，依据平行四边形的判断定理证明；〔 2〕依据三角形中位线定理获取DE= AC，获取 AD=DE，依据菱形的判断定理证明；（3〕依据等腰三角形的性质获取 AE⊥EG，依占有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【解答】〔1〕证明：∵ DE∥AC，∴∠ BDE=∠A，∵∠ DEF=∠A，∴∠ DEF=∠BDE，∴AD∥EF，又∵ DE∥AC，∴四边形 ADEF为平行四边形；〔2〕解：?ADEF的形状为菱形，原由以下：∵点 D 为 AB 中点，∴AD= AB，∵DE∥AC，点D 为AB 中点，∴ DE= AC，∵AB=AC，∴AD=DE，∴平行四边形 ADEF为菱形，故答案为：菱形；〔 3〕四边形 AEGF是矩形，原由以下：由〔 1〕得，四边形 ADEF为平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE，∵ EG=DE，∴AF∥DE，AF=GE，∴四边形AEGF是平行四边形，∵ AD=AG， EG=DE，∴AE⊥EG，∴四边形 AEGF是矩形．【评论】本题考察的是平行四边形、矩形、菱形的判断，掌握它们的判断定理是解题的重点．25．〔 10.00 分〕如图，在矩形 ABCD中， AB=2cm，∠ ADB=30°．P，Q 两点分别从 A，B 同时出发，点 P 沿折线 AB﹣ BC运动，在 AB 上的速度是 2cm/s，在 BC上的速度是 2 cm/s；点 Q 在 BD 上以 2cm/s 的速度向终点 D 运动，过点 P 作PN⊥AD，垂足为点 N．连结 PQ，以 PQ，PN 为邻边作 ?PQMN．设运动的时间为x〔s〕， ?PQMN 与矩形 ABCD重叠局部的图形面积为 y〔cm2〕〔 1〕当 PQ⊥AB 时， x= s ；（2〕求 y 对于 x 的函数分析式，并写出 x 的取值范围；（3〕直线 AM 将矩形 ABCD的面积分红 1：3 两局部时，直接写出 x 的值．【剖析】〔1〕当 PQ⊥ AB时， BQ=2PB，由此建立方程即可解决问题；（2〕分三种情况分别求解即可解决问题；（3〕分两种情况分别求解即可解决问题；【解答】解：〔1〕当 PQ⊥AB 时， BQ=2PB，∴2x=2〔2﹣2x〕，∴ x= s．故答案为s．〔 2〕①如图 1 中，当 0＜x≤时，重叠局部是四边形PQMN．y=2x×x=2x2．②如图②中，当＜x≤ 1 时，重叠局部是四边形PQEN．y=〔2﹣x+2tx×x= x2+ x③如图 3 中，当 1＜ x＜ 2 时，重叠局部是四边形PNEQ．y=〔﹣〕×[ x﹣ 2〔﹣〕] =2﹣ 3 x+4 ；2 x+2x 1x综上所述， y=．〔 3〕①如图 4 中，当直线 AM 经过 BC中点 E 时，知足条件．那么有： tan∠EAB=tan∠QPB，∴=，解得 x= ．②如图 5 中，当直线 AM 经过 CD的中点 E 时，知足条件．此时 tan∠DEA=tan∠QPB，∴=，解得 x= ，综上所述，当 x= s 或时，直线AM将矩形ABCD的面积分红1：3两局部．【评论】本题考察四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的重点是学会用分类议论的思想思虑问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．26．〔 10.00 分〕如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a〔a＜0〕与x 轴订交于 A，B 两点，与 y 轴订交于点 C，极点为 D，直线 DC与 x 轴订交于点E．〔 1〕当 a=﹣1 时，抛物线极点 D 的坐标为〔﹣1，4〕，OE=3；（2〕 OE的长能否与 a 值相关，说明你的原由；（3〕设∠ DEO=β，45°≤β≤60°，求 a 的取值范围；（4〕以 DE 为斜边，在直线 DE的左下方作等腰直角三角形 PDE．设 P〔m， n〕，直接写出 n 对于 m 的函数分析式及自变量 m 的取值范围．【剖析】〔1〕求出直线 CD的分析式即可解决问题；（2〕利用参数 a，求出直线 CD 的分析式求出点 E 坐标即可判断；（3〕求出落在特别情况下的 a 的值即可判断；（4〕如图，作 PM⊥对称轴于 M，PN⊥AB 于 N．两条全等三角形的性质即可解决问题；【解答】解：〔1〕当 a=﹣1 时，抛物线的分析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴极点 D〔﹣ 1，4〕， C〔 0， 3〕，∴直线 CD的分析式为 y=﹣x+3，∴E〔3，0〕，∴ OE=3，故答案为〔﹣ 1，4〕， 3．（2〕结论： OE的长与 a 值没关．原由：∵ y=ax2+2ax﹣3a，∴ C〔 0，﹣ 3a〕，D〔﹣ 1，﹣ 4a〕，∴直线 CD的分析式为 y=ax﹣3a，当 y=0 时， x=3，∴E〔3，0〕，∴ OE=3，∴ OE的长与 a 值没关．（3〕当β=45时°，OC=OE=3，∴﹣ 3a=3，∴a=﹣1，当β=60时°，在 Rt△ OCE中， OC= OE=3，∴﹣ 3a=3，∴a=﹣，∴ 45°≤β≤ 60°， a 的取值范围为﹣≤a≤﹣1．〔 4〕如图，作 PM⊥对称轴于 M ，PN⊥AB 于 N．∵PD=PE，∠ PMD=∠PNE=90°，∠ DPE=∠MPN=90°，∴∠ DPM=∠EPN，∴△ DPM≌△ EPN，∴ PM=PN，PM=EN，∵D〔﹣ 1，﹣ 4a〕， E〔3， 0〕，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣ 1，当极点 D 在 x 轴上时， P〔1，﹣ 2〕，此时 m 的值 1，∵抛物线的极点在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣ 1〔 m＜1〕．【评论】本题考察二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判断和性质、解直角三角形等知识，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会增添常用协助线，结构全等三角形解。
2024年吉林省中考数学试题含答案
2024年吉林省中考数学试题含答案2024年吉林省中考数学试题及答案一、选择题1、若实数a、b、c满足a²+b²=2，ab=﹣2，则代数式a³b+2a²b²+ab ³的值等于（） A. ﹣4 B. 0 C. 4 D. 82、若将一个长为8，宽为6的长方形连续对折两次后，所得的矩形和原长方形相似，则对折的这条直线两点的距离为（） A. 1 B. 2 C.3 D. 43、把一根长80cm，宽和高均为20cm的矩形木条加工成一个体积最大的长方体木块，则该木块的体积为（） A. 64000cm³ B. 160000cm ³ C. 72000cm³ D. 320000cm³4、在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限5、若一个三角形的三边长分别为1，√5，2，则它的面积为（） A. √5 B. 2√5 C. √5/2 D. √5/4二、填空题6、若分式方程1/x﹣3 + 2/x+3 = k/x²﹣9 有增根，则k的值为．61、若一次函数y=﹣2x+m与两坐标轴所围成的三角形面积为4，则m 的值为．611、在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3）关于原点的对称点B的坐标为．6111、等边三角形ABC的边长为3，将△ABC绕其中心O旋转至△A′B′C′的位置，则旋转角度θ的度数为．61111、在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=√5，一条直角边c=1，则另一条直角边的长b为．三、解答题11、先化简，再求值：2a﹣b﹣（a+2b），其中a=﹣1，b=﹣2．111、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，求AC和BD的长．1111、一个不透明的袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同．已知摸到白球的概率是2/5，已知绿色球有20个，请通过计算说明这种统计结果是否正确．11111、如图所示，在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAC=90°，AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．答案：一、选择题1、正确答案是：A. ﹣4。
吉林省年中考数学试卷和标准答案
吉林省年中考数学试卷和答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：吉林省2017年中考数学真题试卷、答案一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．计算（﹣1）2的正确结果是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6D．（ab）2=ab24．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°6．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O 于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（每小题3分，共24分）7．2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为．8．苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克元（用含x的代数式表示）．9．分解因式：a2+4a+4=．10．我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是．11．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3．矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B 的对应点B'落在边CD 上，则B'C 的长为 ．12．如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB 的高度，使用长为2m 的竹竿CD 作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O 处重合，测得OD=4m ，BD=14m ，则旗杆AB 的高为 m ．13．如图，分别以正五边形ABCDE 的顶点A ，D 为圆心，以AB 长为半径画BE ̂，CE ̂．若AB=1，则阴影部分图形的周长为 （结果保留π）．14．我们规定：当k ，b 为常数，k ≠0，b ≠0，k ≠b 时，一次函数y=kx +b 与y=bx +k 互为交换函数．例如：y=4x +3的交换函数为y=3x +4．一次函数y=kx +2与它的交换函数图象的交点横坐标为 ．三、解答题（每小题5分，共20分）15．某学生化简分式1x+1+2x 2−1出现了错误，解答过程如下：原式=1(x+1)(x−1)+2(x+1)(x−1)（第一步）=1+2(x+1)(x−1)（第二步）=3x2−1．（第三步）（1）该学生解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是；（2）请写出此题正确的解答过程．16．被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．17．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．18．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．四、解答题（每小题7分，共28分）19．某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：月份销售额人员第1月第2月第3月第4月第5月甲7.29.69.67.89.3乙 5.89.79.8 5.89.9丙4 6.28.59.99.9（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）统计值数值人员甲9.39.6乙8.2 5.8丙7.78.5（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．20．图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．Array（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．21．如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与函数y=kx（x ＞0）的图象交于点A（m ，2），B （2，n ）．过点A 作AC 平行于x 轴交y 轴于点C ，在y 轴负半轴上取一点D ，使OD=12OC ，且△ACD 的面积是6，连接BC ．（1）求m ，k ，n 的值； （2）求△ABC 的面积．五、解答题（每小题8分，共16分）23．如图①，BD 是矩形ABCD 的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD 沿射线BD 方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD 中点，连接AB'，C'D ，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D 是菱形； （2）四边形ABC'D′的周长为 ；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．24．如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．26．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣43经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y 随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．答案一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．A．2．B．3．C4．A．5．解：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．6．D．二、填空题（每小题3分，共24分）7．8.4×107．8．0.8x．9．（a +2）2．10．同位角相等，两直线平行．11．解：由旋转的性质得到AB=AB′=5，在直角△AB′D 中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，所以B′D=√AB′2−AD 2=√52−32=4，所以B′C=5﹣B′D=1．故答案是：1．12．解：∵OD=4m ，BD=14m ，∴OB=OD +BD=18m ，由题意可知∠ODC=∠OBA ，且∠O 为公共角，∴△OCD ∽△OAB ，∴OD OB =CD AB ，即418=2AB，解得AB=9， 即旗杆AB 的高为9m ．13．解：∵五边形ABCDE 为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴BE ̂=CE ̂=108°180°•πAB=35π， ∴C 阴影=BÊ+CE ̂+BC=65π+1． 14．1．三、解答题（每小题5分，共20分）15．解：（1）一、分式的基本性质用错；（2）原式=x−1(x+1)(x−1)+2(x+1)(x−1) =x+1(x+1)(x−1) =1x−116．解：设隧道累计长度为xkm ，桥梁累计长度为yk ，根据题意得：{x +y =3422x =y +36， 解得：{x =126y =216．答：隧道累计长度为126km ，桥梁累计长度为216km ．17．解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况，∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为49． 18．证明：∵BE=FC ，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）∴∠A=∠D．四、解答题（每小题7分，共28分）19．解：（1）x甲=15（7.2+9.6+9.6+7.8+9.3）=8.7（万元）把乙按照从小到大依次排列，可得5.8，5.8，9.7，9.8，9.9；中位数为9.7万元．丙中出现次数最多的数为9.9万元．故答案为：8.7，9.7，9.9；（2）我赞同甲的说法．甲的平均销售额比乙、丙都高．20．解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；（2）如图③所示，▱ABCD即为所求．21．解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．在Rt △AOC 中，∵tan34°=OA OC， ∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km ，在Rt △BOC 中，∠BCO=45°，∴OB=OC=5km ，∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km ，答：求A ，B 两点间的距离约为1.7km ．22．解：（1）∵点A 的坐标为（m ，2），AC 平行于x 轴，∴OC=2，AC ⊥y 轴，∵OD=12OC ， ∴OD=1，∴CD=3，∵△ACD 的面积为6，∴12CD•AC=6， ∴AC=4，即m=4，则点A 的坐标为（4，2），将其代入y=k x可得k=8， ∵点B （2，n ）在y=8x的图象上， ∴n=4；（2）如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，则BE=2，∴S△ABC =12AC•BE=12×4×2=4，即△ABC的面积为4．五、解答题（每小题8分，共16分）23．解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，∴AD∥B'C'∴四边形AB'C'D是平行四边形，∵B'为BD中点，∴Rt△ABD中，AB'=12BD=DB'，又∵∠ADB=60°，∴△ADB'是等边三角形，∴AD=AB'，∴四边形AB'C'D是菱形；（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，∴AB ∥C'D'，∴四边形ABC'D'是平行四边形，由（1）可得，AC'⊥B'D ，∴四边形ABC'D'是菱形，∵AB=√3AD=√3，∴四边形ABC'D′的周长为4√3，（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：∴矩形周长为6+√3或2√3+3．24．解：（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm ，12秒后水槽内高度变化趋势改变，故正方体的棱长为10cm ；（2）设线段AB 对应的函数解析式为：y=kx +b ，∵图象过A （12，0），B （28，20），∴{12k +b =1028k +b =20，解得：{k =58b =52， ∴线段AB 对应的解析式为：y=58x +52（12≤x ≤28）；（3）∵28﹣12=16（cm ），∴没有立方体时，水面上升10cm ，所用时间为：16秒，∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．六、解答题（每小题10分，共20分）25．解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ ⊥AB ，∴∠AQP=45°，∴PQ=AP=2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ=x ，故答案为：x ；（2）如图①，延长FE 交AB 于G ，由题意得AP=2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ=x ，∴GP=2x ，∴2x +x +2x=4，∴x=45；（3）如图②，当0＜x ≤45时，y=S 正方形DEFQ =DQ 2=x 2， ∴y=x 2；如图③，当45＜x ≤1时，过C 作CH ⊥AB 于H ，交FQ 于K ，则CH=12AB=2， ∵PQ=AP=2x ，CK=2﹣2x ，∴MQ=2CK=4﹣4x ，FM=x ﹣（4﹣4x ）=5x ﹣4，∴y=S 正方形DEFQ ﹣S △MNF =DQ 2﹣12FM 2， ∴y=x 2﹣12（5x ﹣4）2=﹣232x 2+20x ﹣8， ∴y=﹣232x 2+20x ﹣8； 如图④，当1＜x ＜2时，PQ=4﹣2x ，∴DQ=2﹣x ，∴y=S △DEQ =12DQ 2， ∴y=12（2﹣x ）2， ∴y=12x 2﹣2x +2； （4）当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，即2x=2，∴x=1，当Q 为BC 的中点时，BQ=√2，PB=1，∴AP=3，∴2x=3，∴x=32， ∴边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围为：1＜x ＜32．26．解：【问题】∵抛物线y=a （x ﹣2）2﹣43经过原点O ， ∴0=a （0﹣2）2﹣43，a=13， 故答案为：13；【操作】：如图①，抛物线：y=13（x ﹣2）2﹣43， 对称轴是：直线x=2，由对称性得：A （4，0），沿x 轴折叠后所得抛物线为：y=﹣13（x ﹣2）2+43如图②，图象G 对应的函数解析式为：y={13(x −2)2−43(x ≤0或x ≥4)−13(x −2)2+43(0＜x ＜4)；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，13（x ﹣2）2﹣43=0， 解得：x 1=2+√7，x 2=2﹣√7，∴C （2﹣√7，1），F （2+√7，1），当y=1时，﹣13（x ﹣2）2+43=0， 解得：x 1=3，x 2=1，∴D （1，1），E （3，1），由图象得：图象G 在直线l 上方的部分，当1＜x ＜2或x ＞2+√7时，函数y 随x 增大而增大；【应用】：∵D （1，1），E （3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S △PDE =12DE•h ≥1， ∴h ≥1；①当P 在C 的左侧或F 的右侧部分时，设P [m ，13(m −2)2−43]， ∴h=13（m ﹣2）2﹣43﹣1≥1， （m ﹣2）2≥10，m ﹣2≥√10或m ﹣2≤﹣√10，m ≥2+√10或m ≤2﹣√10，②如图③，作对称轴交抛物线G 于H ，交直线CD 于M ，交x 轴于N ，∵H （2，43）， ∴HM=43﹣1=13＜1， ∴当点P 不可能在DE 的上方；③∵MN=1，且O （0，0），a （4，0），∴P 与O 或A 重合时，符合条件，∴m=0或m=4；综上所述，△PDE 的面积不小于1时，m 的取值范围是：m=0或m=4或m ≤2﹣√10或m ≥2+√10．。
2024年吉林白山中考数学试题及答案
2024年吉林白山中考数学试题及答案数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（ ）A ．102.0410⨯B ．92.0410⨯C ．820.410⨯D ．100.20410⨯3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．主视图、左视图与俯视图都相同4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（ ）A ．()4,2--B ．()4,2-C ．()2,4D ．()4,26．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7．当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为 ．8．因式分解：a 2﹣3a= ．9．不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为 ．10．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．11．正六边形的每个内角等于 °．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC的值为 ．13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为 ．14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为 2m （结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．Y中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E，求17．如图，在ABCD证：AE BC=．18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，，只用无E，O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD，图②中已画出以OE为半径的O刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．的切线．(2)在图②中，画出经过点E的O20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．21．中华人民共和国20192023-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．根据以上信息回答下列问题：(1)20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？(2)直接写出20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数．(3)下列判断合理的是______（填序号）．①20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．②20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．22．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）五、解答题（每小题8分，共16分）23．综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的y，记录如下：宽度为mmx16.519.823.126.429.7以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mmy115.5132148.5165181.5凳面的宽度/mm【分析数据】如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．(2)当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A /s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．(1)直接写出k ，a ，b 的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．1．D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2．B【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：92040000000 2.0410⨯=故选B ．3．A【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4．B【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．【详解】解：A 、()2210x -=-<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B 、()220x -=，解得：122x x ==，故本选项符合题意；C 、()221x -=，21x -=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x -=，2x -=，解得1222x x ==故选：B ．5．C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6．C【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．7．0（答案不唯一）【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得10x +>，则1x >-，据此可得答案．【详解】解：∵分式11x +的值为正数，∴10x +>，∴1x >-，∴满足题意的x 的值可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．8．a （a﹣3）【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a（a﹣3）．故答案为a （a﹣3）．9．23x <<##32x >>【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10．两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11．120【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7201206︒=︒，故答案为：12012．12【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，∵点E 是OA 的中点，∴12OE OA =，∵45FEO ∠=︒，∴EF AD ∥，∴OEF OAD △∽△，∴12EF OE AD OA ==，即12EF BC =，故答案为：12．13．()22220.5x x +=+【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14．11π【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．【详解】解：由题意得：()224010111360S ππ-==阴影，故答案为：11π．15．22a ，6【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：原式2211a a =-++22a =，当a =原式22=⨯6=．16．13【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A 、B 、C ，可画树状图为：由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率3193P ==．17．证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18．白色琴键52个，黑色琴键36个【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴白色琴键：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．19．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；易证明四边形ABCD 是矩形，且E 、F 分别为AB CD ，的中点；（2）解：如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求；易证明四边形OGTH 是正方形，点E 为正方形OGTH 的中心，则OE GH ⊥．20．(1)36I R=(2)12A 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求求出当3R =Ω时I 的值即可得到答案．【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为()0U I U R=≠，把()94，代入()0U I U R=≠中得：()409U U =≠，解得36U =，∴这个反比例函数的解析式为36I R =；（2）解：在36I R =中，当3R =Ω时，3612A 3I ==，∴此时的电流I 为12A ．21．(1)8485元(2)35128元(3)①【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【详解】（1）解：39218307338485-=元，答：20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．（2）解：20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；（3）解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22．218.3m【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．先解Rt GAD 得到873tan DG AG DG EAD===∠，再解Rt GAC △，tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，即可求解CD ．【详解】解：延长DC 交AE 于点G ，由题意得873m AB DG ==，90DGA ∠=︒在Rt GAD 中，45EAD ∠=︒，∴873tan DG AG DG EAD===∠，在Rt GAC △中，37EAC ∠=︒，∴tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，∴873654.75218.3m CD DG CG =-=-≈，答：吉塔的高度CD 约为218.3m ．23．(1)在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+(2)36mm【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【详解】（1），解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；（2）解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24．（1）2，（2）4，（3）152，12EFGH ab S =四边形，证明见详解，（4）10【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；（2）根据菱形的面积公式计算即可；（3）结合图形有，EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，即可得()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，问题随之得解；（4）先证明MNK △是直角三角形，由作图可知：MKN MPQ ∠=∠，即可证明KM PQ ⊥，再结合（3）的结论直接计算即可．【详解】（1）∵在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，2CD =，∴2AD CD ==，∴4AC =，∴122ABC S AC BD =⨯⨯=V ，故答案为：2；（2）∵在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，∴142A B C D S B D A C ''''''''=⨯⨯=菱形，故答案为：4；（3）∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵5EG =，3FH =，∴11522EFGH S EG FH =⨯⨯=四边形，故答案为：152，猜想：12EFGH ab S =四边形，证明：∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵EG a =，FH b =，∴12EFGH ab S =四边形；（4）根据尺规作图可知：QPM MKN ∠=∠，∵在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，∴222MK KN MN =+，∴MNK △是直角三角形，且90MNK ∠=︒，∴90NMK MKN ∠+∠=︒，∵QPM MKN ∠=∠，∴90NMK QPM ∠+∠=︒，∴MK PQ ⊥，∵4PQ KN ==，5MK =，∴根据（3）的结论有：1102MPKQ S MK PQ =⨯⨯=四边形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．25．(1)等腰三角形，AQ t=(2)32t =(3))2223,023221,24S t S t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩【分析】（1）过点Q 作QH AD ⊥于点H ，根据“平行线+角平分线”即可得到QA QP =，由QH AP ⊥，得到12HA AP ==，解Rt AHQ △得到AQ t =；（2）由PQE V 为等边三角形得到QE QP =，而QA QP =，则QE QA =，故223AE AQ t ===，解得32t =；（3）当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE V ，过点P 作PG QE ⊥于点G，12PG AP ==，则212S QE PG =⋅=，此时302t <≤；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC，此时)tan 23CF CE E t =⋅∠=-，因此)21232FCE S CE CF t =⋅=-，故可得2PQE FCE S S S =-=+△△322t <<；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，此时PD =-)1PC CD PD t =+==-，解直角三角形得1tan PC QC t PQC ===-∠，故)2112S QC PC t =⋅=-，此时24t ≤<，再综上即可求解．【详解】（1）解：过点Q 作QH AD ⊥于点H ，由题意得：AP =∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=︒，∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=︒，∴PAQ APQ =∠∠，∴QA QP =，∴APQ △为等腰三角形，∵QH AP ⊥，∴12HA AP ==，∴在Rt AHQ △中，cos AH AQ t PAQ==∠；（2）解：如图，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =，∴QE QA =，即223AE AQ t ===，∴32t =；（3）解：当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE V ，过点P 作PG QE ⊥于点G ，∵30PAQ ∠=︒，∴12PG AP ==，∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ t ===，∴212S QE PG =⋅=，由（2）知当点E 与点C 重合时，32t =，∴2302S t ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC ，如图，∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而23CE AE AC t =-=-，∴)tan 23CF CE E t =⋅∠=-，∴()))21123232322FCE S CE CF t t t =⋅=--=- ，∴)22223PQE FCE S S S t =-=-=+当点P 与点D 重合时，在Rt ADC 中，cos AC AD AP DAC ====∠，∴2t =，∴2322S t ⎫=+<<⎪⎭；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，如图，∵30DAC ∠=︒90DCA ∠=︒，由上知DC =∴AD =∴此时PD =-，∴)1PC CD PD t =+==-，∵PQE V 是等边三角形，∴60PQE ∠=︒，∴1tan PC QC t PQC ===-∠，∴)2112S QC PC t =⋅=-，∵30B BAD ∠=∠=︒，∴DA DB ==∴当点P 与点BAD DB =+=解得：4t =，∴)()2124S t t =-≤<，综上所述：)2223,023221,24S t S t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=+<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．26．(1)1,1,2k a b ===-(2)Ⅰ：0x ≤或1x ≥；Ⅱ：2t <或11t ≥；Ⅲ：10m -≤≤或12m ≤≤【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．（1）先确定输入x 值的范围，确定好之后将x ，y 的值代入所给的y 关于x 的函数解析式种解方程或方程组即可；（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+，当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，故1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，故0x ≤时，y 随着x 的增大而增大；Ⅱ：问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，考虑两个临界状态，当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，因此当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，11y =，故当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，因此当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即方程230ax bx t ++-=无解；Ⅲ： 可求点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，2y =最小值，当0x =时，3y =最大值，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，3y =，=1x -时，2y =，故①当12m >，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，则12m ≤≤；②当12m <，由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．【详解】（1）解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；（2）解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解；Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，∴()1122m m +-+=，∴点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，1232y =-+=最小值，当0x =时，3y =最大值，∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，3y =，=1x -时，2y =，∴①当12m >，如图：由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。
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2017年吉林省中考数学试题
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1.计算2
(1)-的正确结果是（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
2.下图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.下列计算正确的是（ ）
A ．235a a a +=
B ．236a a a =g
C ．236()a a =
D ．22
()ab ab = 4.不等式12x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ． C. D ．
5.如图，在ABC ∆中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 于点D ,连接AD .若40B ∠=o ,
36C ∠=o ,则DAC ∠的度数是（ ）
A ．70o
B ．44o C. 34o D ．24o
6.如图，直线l 是O e 的切线，A 为切点，B 为直线l 上一点，连接OB 交O e 于点C ．若12,5A
B O A ==，则B
C 的长为（ ）
A ．5
B ．6 C.7 D ．8
二、填空题（每小题3分，共24分）
7.2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为 ．
8.苹果原价是每千克x 元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克 元（用含x 的代数式表示）．
9.分解因式：2
44a a ++= ．
10.我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线//a b 的根据是 ．
11.如图，在矩形ABCD 中，5,3AB AD ==.矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB C D '''.若点B 的对应点B '落在边CD 上,则B C '的长为 ．
12.如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB 的高度，使用长为2m 的竹竿CD 作为测量工具.移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O 处重合, 测得4,14OD m BD m ==，则旗杆AB 的高为 m ．
13.如图，分别以正五边形ABCDE 的顶点,A D 为圆心,以AB 长为半径画弧BE ,弧CE ．若1AB =,则阴影部分图形的周长和为 （结果保留π）．
14.我们规定：当,k b 为常数，0,0,k b k b ≠≠≠时，一次函数y kx b =+与y bx k =+互为交换函数．例如：43y x =+的交换函数为34y x =+．―次函数2y kx =+与它的交换函数图象的交点横坐标为 ．
三、解答题 （每小题5分，共20分）
15．某学生化简分式
21211x x ++-出现了错误，解答过程如下： 原式12(1)(1)(1)(1)
x x x x =++-+- （第一步） 12(1)(1)
x x +=+- （第二步） 231
x =-． （第三步） （1）该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________；
（2）请写出此题正确的解答过程.
16.被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km ，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km .求隧道累计长度与桥梁累计长度.
17.在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字1，2,3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率.
18.如图,点,E F 在BC 上, ,,BE CF AB DC B C ==∠=∠.求证：A D ∠=∠.
四、解答题（每小题7分，共28分）
19.某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：
（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：
（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．
20.图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB 的端点在格点上.
（1）在图①、图2中，以AB 为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等．）
（2）在图③中，以AB 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
21.如图，一枚运载火箭从距雷达站C 处5km 的地面O 处发射,当火箭到达点,A B 时,在雷达站C 处测得点,A B 的仰角分别为34,45o o ,其中点,,O A B 在同一条直线上.求,A B 两点间的距离（结果精确到0.1km ）． （参考数据：sin 340.56,cos340.83,tan 340.67===o o o
．）
22.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与函数(0)k y x x
=>的图象交于点(,2),(2,)A m B n ．过点A 作AC 平行于x 轴交y 轴于点C ，在y 轴负半轴上取一点D ，使12
O D O C =,且ACD ∆的面积是6,连接BC .
（1）求,,m k n 的值；
（2）求ABC ∆的面积.
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图①，BD 是矩形ABCD 的对角线, 30,1ABD AD ∠==o
.将BCD ∆沿射线BD 方向平移到B C D '''∆的位置，使B '为BD 中点, ,,,AB C D AD BC '''',如图②.
（1）求证：四边形AB C D ''是菱形；
（2）四边形ABC D ''的周长为___________；
（3）将四边形ABC D ''沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长.
24．如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s 时注满水槽．水槽内水面的高度()y cm 与注水时间()x s 之间的函数图象如图②所示．
（1）正方体的棱长为__________cm ；
（2）求线段AB 对应的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）如果将正方体铁块取出，又经过()t s 恰好将此水槽注满，直接写出t 的值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,4ACB A AB cm ∠=∠==o o
．点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿边AB 向终点B 运动.过点P 作PQ AB ⊥交折线ACB 于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ .设正方形DEFQ 与ABC ∆重叠部分图形的面积是2()y cm ，点P 的运动时间为()x s ．
（1）当点Q 在边AC 上时，正方形DEFQ 的边长为___________cm （用含x 的代数式表示）；
（2）当点P 不与点B 重合时,求点F 落在边BC 上时x 的值；
（3）当02x <<时，求y 关于x 的函数解析式；
（4）直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．
26．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线24(2)3
y a x =--
经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，则a =_________________.
【操作】将图①中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G ，如图②.直接写出图象G 对应的函数解析式.
【探究】在图2中,过点(0,1)B 作直线l 平行于x 轴,与图象G 的交点从左至右依次为点,,,C D E F ,如图③.求图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 增大而增大时x 的取值范围.
【应用】P 是图③中图象G 上―点，其横坐标为m ，连接,PD PE .直接写出PDE ∆的面积不小于1时m 的取值范围.。