中考数学 专题19 成都中考B24压轴题专版(解析版)
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∴△APF∽△CAG,
������������ ������������ ∴������������ = ������������,
2������ 1
8
∴ 8
+
������
=
,解得 2
t
=
, 3
85
在 Rt△BCG 中,BC =
5t =
, 3
56 8 5 综上所述,当△PAB 是等腰三角形时,线段 BC 的长为 8,15, 3 ,
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MN 的长,即 m﹣n 的长. 【解答】解:由题意得:AB=b﹣a=2 设 AM=x,则 BM=2﹣x x2=2(2﹣x) x=﹣1± 5 x1=﹣1 + 5,x2=﹣1 ‒ 5(舍) 则 AM=BN = 5 ‒ 1 ∴MN=m﹣n=AM+BN﹣2=2( 5 ‒ 1)﹣2=2 5 ‒ 4 故答案为:2 5 ‒ 4. 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和黄金分割的定义及一元二次方程,做好此题的关键是能正确表 示数轴上两点的距离:若 A 表示 xA、B 表示 xB,则 AB=|xB﹣xA|;同时会用配方法解一元二次方程,理 解线段的和、差关系. 【典例 5】(2015•成都)如图,在半径为 5 的⊙O 中,弦 AB=8,P 是弦 AB 所对的优弧上的动点,连接
M,B(如图),若 AM2=BM•AB,BN2=AN•AB,则称 m 为 a,b 的“大黄金数”,n 为 a,b 的“小黄
金数”,当 b﹣a=2 时,a,b 的大黄金数与小黄金数之差 m﹣n= 2 5 ‒ 4 .
【点拨】设 AM=x,根据 AM2=BM•AB 列一元二次方程,求出 x,得出 AM=BN = 5 ‒ 1,从而求出
∴FP=8,
∵∠PAF=∠ABP=∠CBG,∠AFP=∠CGB=90°,
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∴△PFB∽△CGB, ������������ ������������ 2
∴������������ = ������������ = 1, 设 BG=t,则 CG=2t,
∵∠PAF=∠ACG,∠AFP=∠AGC=90°,
专题 19 成都中考 B24 压轴题专版
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【典例 1】(2019•成都)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,将△ABD 沿射线 BD 的方向 平移得到△A'B'D',分别连接 A'C,A'D,B'C,则 A'C+B'C 的最小值为 3 .
【点拨】根据菱形的性质得到 AB=1,∠ABD=30°,根据平移的性质得到 A′B′=AB=1,A′B′ ∥AB,推出四边形 A′B′CD 是平行四边形,得到 A′D=B′C,于是得到 A'C+B'C 的最小值=A′ C+A′D 的最小值,根据平移的性质得到点 A′在过点 A 且平行于 BD 的定直线上,作点 D 关于定直线 的对称点 E,连接 CE 交定直线于 A′,则 CE 的长度即为 A'C+B'C 的最小值,求得 DE=CD,得到∠E =∠DCE=30°,于是得到结论. 【解答】解:∵在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°, ∴AB=CD=1,∠ABD=30°, ∵将△ABD 沿射线 BD 的方向平移得到△A'B'D', ∴A′B′=AB=1,A′B′∥AB, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠BAD=120°, ∴A′B′=CD,A′B′∥CD, ∴四边形 A′B′CD 是平行四边形, ∴A′D=B′C, ∴A'C+B'C 的最小值=A′C+A′D 的最小值, ∵点 A′在过点 A 且平行于 BD 的定直线上, ∴作点 D 关于定直线的对称点 E,连接 CE 交定直线于 A′, 则 CE 的长度即为 A'C+B'C 的最小值, ∵∠A′AD=∠ADB=30°,AD=1,
11 P′(������,������)称为点 P 的“倒影点”,直线 y=﹣x+1 上有两点 A,B,它们的倒影点 A′,B′均在反比
������
4
例函数
y
=
的图象上.若 ������
AB=2
2,则
k=
‒
. 3
11
11
【点拨】(方法一)设点 A(a,﹣a+1),B(b,﹣b+1)(a<b),则 A′(������,1 ‒ ������),B′(������,1 ‒ ������
【点拨】根据题意,在 N 的运动过程中 A′在以 M 为圆心、AD 为直径的圆上的弧 AD 上运动,当 A′ C 取最小值时,由两点之间线段最短知此时 M、A′、C 三点共线,得出 A′的位置,进而利用锐角三
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角函数关系求出 A′C 的长即可.
【解答】解:如图所示:∵MA′是定值,A′C 长度取最小值时,即 A′在 MC 上时,
性质,正确地理解题意是解题的关键.
4 【典例 2】(2018•成都)如图,在菱形 ABCD 中,tanA = 3,M,N 分别在边 AD,BC 上,将四边形 AMNB
������������
2
沿
MN
翻折,使
AB
的对应线段
EF
经过顶点
D,当
EF⊥AD
时, 的值为 .
������������
7
【点拨】首先延长 NF 与 DC 交于点 H,进而利用翻折变换的性质得出 NH⊥DC,再利用边角关系得出 BN,CN 的长进而得出答案. 【解答】解:延长 NF 与 DC 交于点 H, ∵∠ADF=90°, ∴∠A+∠FDH=90°, ∵∠DFN+∠DFH=180°,∠A+∠B=180°,∠B=∠DFN, ∴∠A=∠DFH,
{ ������ = ������ + 2
∴
������
=
1 ������(1 ‒
������)
=
1 ������(1 ‒
, ������)
4
解得:k
=‒
. 3
(方法二)∵直线 y=﹣x+1 上有两点 A、B,且 AB=2 2,
11
∴设点
A
的坐标为(a,﹣a+1),则点
B
的坐标为(a+2,﹣a﹣1),点
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则 AB=BP=BC=8,即线段 BC 的长为 8. 1
②当 AB=AP 时,如图 1,延长 AO 交 PB 于点 D,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,则 AD⊥PB,AE = 2AB =4,
∴BD=DP,
在 Rt△AEO 中,AE=4,AO=5,
∴OE=3,
∵∠OAE=∠BAD,∠AEO=∠ADB=90°,
∴△AOE∽△ABD,
������������ ������������ ∴=,
������������ ������������
24
∴BD =
, 5
24
∴BD=PD =
, 5
48 即 PB = 5 ,
∵AB=AP=8,
∴∠ABD=∠P,
∵∠PAC=∠ADB=90°,
∴△ABD∽△CPA,
������������ ������������ ∴ =,
A′的坐标为(������,1
‒
),点 ������
1
1
B′的坐标为(������ + 2, ‒ ������ + 1).
������
∵点
A′,B′均在反比例函数
y
=
的图象上, ������
{1
∴
1 ‒ ������ = ������������ 1
,
‒ ������ + 1 = ������(������ + 2)
{1
解得: ������ =‒ 42. ������ =‒ 3
4
故答案为:
‒
. 3
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离
公式,根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于 k、a、b 的方程组是解题的关键.
【典例 4】(2016•成都)实数 a,n,m,b 满足 a<n<m<b,这四个数在数轴上对应的点分别为 A,N,
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∴∠FDH+∠DFH=90°,
∴NH⊥DC,
设 DM=4k,DE=3k,EM=5k,
∴AD=9k=DC,DF=6k,
4
∵tanA=tan∠DFH
=
, 3
4 则 sin∠DFH = 5,
4 24 ∴DH = 5DF = 5 k,
24 21 ∴CH=9k ‒ 5 k = 5 k,
������������ 3
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11
∴∠ADE=60°,DH=EH
=
2AD
=
, 2
∴DE=1,
∴DE=CD,
∵∠CDE=∠EDB′+∠CDB=90°+30°=120°,
∴∠E=∠DCE=30°, 3
∴CE=2 × 2 CD = 3. 故答案为: 3.
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【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,菱形的性质,矩形的判定和性质,解直角三角形,平移的
56 8 5 AP,过点 A 作 AP 的垂线交射线 PB 于点 C,当△PAB 是等腰三角形时,线段 BC 的长为 8,15, 3 .
【点拨】由于本题的等腰三角形底和腰不确定,所以要分三种情况讨论:①当 BA=BP 时,利用直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半;②当 AB=AP 时,如图 1,延长 AO 交 PB 于点 D,过点 O 作 OE ⊥AB 于点 E,易得△AOE∽△ABD,利用相似三角形的性质求得 BD,PB,然后利用相似三角形的判定 定理△ABD∽△CPA,代入数据得出结果;③当 PA=PB 时,如图 2,连接 PO 并延长,交 AB 于点 F,过点 C 作 CG⊥AB,交 AB 的延长线于点 G,连接 OB,则 PF⊥AB,易得 AF=FB=4,利用勾股定 理得 OF=3,FP=8,易得△PFB∽△CGB,利用相似三角形的性质可求出 CG:BG 的值,设 BG=t, 则 CG=2t,利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG,利用相似三角形的性质得比例关系解得 t, 在 Rt△BCG 中,得 BC 的长. 【解答】解:①当 BA=BP 时,
1 ),
1 ‒ ������
∵AB = (������ ‒ ������)2 + [( ‒ ������ + 1) ‒ ( ‒ ������ + 1)]2 = 2(������ ‒ ������)2 = 2(b﹣a)=2 2,
∴b﹣a=2,即 b=a+2.
������ ∵点 A′,B′均在反比例函数 y = ������的图象上,
∵cosC=cosA
=
������������
=
, 5
5 ∴CN = 3CH=7k,
∴BN=2k,
������������ 2 ∴ =.
������������ 7
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【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形,正确表示出பைடு நூலகம்CN 的长是解题关键.
【典例 3】(2017•成都)在平面直角坐标系 xOy 中,对于不在坐标轴上的任意一点 P(x,y),我们把点
56 8 5 故答案为:8,15, 3 .
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【点睛】本题主要考查了垂径定理,相似三角形的性质及判定,等腰三角形的性质及判定,数形结合, 分类讨论是解答此题的关键. 【典例 6】(2014•成都)如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠A=60°,M 是 AD 边的中点,N 是 AB 边 上的一动点,将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A′MN,连接 A′C,则 A′C 长度的最小值是 7 ‒ 1 .
������������ ������������
40
∴CP =
, 3
40 48 56
∴BC=CP﹣BP =
3
‒
5
=; 15
③当 PA=PB 时,
如图 2,连接 PO 并延长,交 AB 于点 F,过点 C 作 CG⊥AB,交 AB 的延长线于点 G,连接 OB,
则 PF⊥AB,
∴AF=FB=4,
在 Rt△OFB 中,OB=5,FB=4,∴OF=3,
‒
),点 ������
B′的坐标为(������
+
, 2
‒
������
+
),再根据反比 1
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例函数图象上点的坐标特征可得出关于 k、a 的方程组,解之即可得出结论.
11
1
【解答】解:(方法一)设点 A(a,﹣a+1),B(b,﹣b+1)(a<b),则 A′(������,1 ‒ ������),B′(������,
),由 AB=2 2可得出 b=a+2,再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 k、a、b 的方程
组,解之即可得出 k 值.
(方法二)由一次函数图象上点的坐标特征结合 AB 的长度可设点 A 的坐标为(a,﹣a+1),则点 B 的
11
1
1
坐标为(a+2,﹣a﹣1),点
A′的坐标为(������,1
过点 M 作 MF⊥DC 于点 F,
∵在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠A=60°,M 为 AD 中点,