研究控制非线性动力学模型
非线性模型预测控制的若干问题研究
非线性模型预测控制的若干问题研究一、概述随着现代工业技术的快速发展，非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，NMPC）已成为控制领域的研究热点。
非线性系统广泛存在于实际工业过程中，其特性复杂、行为多样，且具有不确定性，这使得传统的线性控制策略在面对非线性系统时往往难以取得理想的效果。
研究非线性模型预测控制策略，对于提高控制系统的性能、稳定性和鲁棒性具有重要意义。
非线性模型预测控制是一种基于非线性模型的闭环优化控制策略，其核心思想是在每个采样周期，以系统当前状态为起点，在线求解有限时域开环最优问题，得到一个最优控制序列，并将该序列的第一个控制量作用于被控系统。
这种滚动优化的策略使得非线性模型预测控制能够实时地根据系统的状态变化调整控制策略，从而实现对非线性系统的有效控制。
非线性模型预测控制的研究也面临着诸多挑战。
由于非线性系统的复杂性，其预测模型的建立往往较为困难，且模型的准确性对控制效果的影响较大。
非线性模型预测控制需要在线求解优化问题，这对计算资源的需求较高，限制了其在实时性要求较高的系统中的应用。
非线性模型预测控制的稳定性和鲁棒性也是研究的重点问题。
本文旨在深入研究非线性模型预测控制的若干关键问题，包括非线性模型的建立、优化算法的设计、稳定性和鲁棒性的分析等。
通过对这些问题的研究，旨在提出一种高效、稳定、鲁棒的非线性模型预测控制策略，为实际工业过程的控制提供理论支持和实践指导。
1. 非线性模型预测控制（NMPC）概述非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control，简称NMPC）是一种先进的控制策略，广泛应用于各种动态系统的优化控制问题中。
NMPC的核心思想是在每个控制周期内，利用系统的非线性模型预测未来的动态行为，并通过求解一个优化问题来得到最优控制序列。
这种方法能够显式地处理系统的不确定性和约束，因此非常适合于处理那些对控制性能要求较高、环境复杂多变的实际系统。
数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会
数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。
非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。
非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。
第一个阶段是从1881年到1920年前后，第二阶段从20世纪20年代到70年代，第三阶段从20世纪70年代至今。
人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察。
第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家Poincare从1881年到1886年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线”，俄罗斯科学家Liapunov 从1882年到1892年期间完成的博士论文“运动稳定性通论”，以及美国科学家Birkhoff在1927年出版的著作“动力系统"。
第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家Krylov、Bogliubov，乌克兰科学家Mitropolsky，美国科学家Nayfeh等等。
他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和程科学中的许多问题。
在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如Duffing方程、vander Pol方程、Mathieu方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。
从20世纪60~70年代开始，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分岔、混沌的研究成为非线性动力学理论新的研究热点。
俄罗斯科学家Arnold和美国科学家Smale等数学家和力学家相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，Lorenz和Ueda等物理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现。
非线性动力学系统的建模与分析
非线性动力学系统的建模与分析深入探究非线性动力学系统的建模与分析在科学研究中，许多系统都具有非线性特征，只有对这些系统进行深入的研究和建模，才能更好地了解其规律和特性。
非线性动力学系统的建模与分析，便是其中重要的一个方面。
一、非线性动力学系统的基本概念非线性动力学系统是由一个或多个非线性微分方程组成的系统，其特点在于其响应不随着输入信号呈线性变化。
这种系统一般存在着混沌现象、周期现象或者其他的非线性现象，因此其建模和分析具有很大的挑战性。
二、非线性动力学系统的建模方法1. 全局建模法全局建模法是一种直接把原系统转化为通用数学形式的建模方法，其核心是准确地描述系统的动力学状态，并且建立一个合适的数学模型以描述其动态行为。
2. 基于神经网络的建模法基于神经网络的建模法通过构建一种可以学习的算法，来从实验数据中获取非线性系统的内在结构和动态特征。
3. 非线性滤波法非线性滤波法是以基本的线性和非线性滤波器为基础来建立非线性动力学系统模型的方法。
三、非线性动力学系统的分析方法1. 稳态分析法稳态分析法主要是通过计算系统的稳定点、特征值和特征向量等指标来研究非线性系统的稳定性和性态。
2. 线性化分析法线性化分析法是将非线性系统模型线性化后，研究其内在特征，例如特征值和特征向量。
3. 数值分析法数值分析法是通过计算机模拟和数值解析方法，来研究非线性系统的动态特性和性态。
其中最为常用的方法包括Euler法和Runge-Kutta法等。
四、实例分析以一个简单的非线性动力学系统为例，假设其状态方程如下：$$\begin{cases} \dot{x}=y \\ \dot{y}=-\sin{x}-\cos{y}\end{cases}$$应用数值分析法，我们可以通过Euler法进行模拟仿真。
在t=10时，得出系统的稳定点位于(x,y)=(nπ,nπ/2)，n为整数。
此外，我们还可以通过计算特征值和特征向量等指标，来研究该系统的特性。
非线性振动系统的动力学分析与控制方法研究
非线性振动系统的动力学分析与控制方法研究引言非线性振动系统是指频率、振幅或相位等不随时间线性变化的振动系统。
由于非线性振动系统具有复杂的动力学特性，其分析与控制方法一直是科学家们关注的热点。
本文将针对非线性振动系统的动力学分析与控制方法进行深入研究，并探讨其在实际应用中的意义和前景。
第一节动力学分析1.1 非线性振动系统的基本特性非线性振动系统的基本特性包括振动模态的非线性现象、周期倍跳现象和混沌现象等。
其中，振动模态的非线性现象是指在系统振动过程中出现非线性响应，如频率变化、非谐波分量增强等。
周期倍跳现象是指系统在特定参数条件下，由一种周期运动突然跳变为另一种周期运动。
混沌现象是指系统长时间的不可预测行为，表现为无规律的、高度复杂的振动模式。
1.2 非线性振动系统的数学模型为了对非线性振动系统进行分析与研究，科学家们建立了一系列数学模型来描述系统的运动行为。
常用的数学模型包括Van der Pol振子模型、Duffing振子模型以及非线性函数模型等。
这些模型能够反映系统的非线性特性，为动力学分析提供了基础。
1.3 非线性振动系统的动力学特性基于数学模型，可以通过分析非线性振动系统的动力学特性来了解系统的运动规律和振动行为。
其中，周期解的存在性与稳定性是非线性振动系统分析的核心内容之一。
通过线性稳定性分析、周期解的Hopf分支、分岔理论等方法，可以得到非线性振动系统周期解的存在性与稳定性条件。
第二节控制方法研究2.1 基于线性控制方法的研究线性控制方法是最常见的控制方法之一，它基于线性系统理论进行研究。
在非线性振动系统的控制中，可以通过线性化处理，将非线性振动系统转化为线性系统进行分析与控制。
典型的线性控制方法包括PID控制、H∞控制和模型预测控制等。
这些方法能够在一定程度上降低系统的非线性特性，提高系统的稳定性与控制性能。
2.2 基于非线性控制方法的研究除了线性控制方法外，非线性控制方法也被广泛应用于非线性振动系统的控制中。
非线性动力系统的建模与分析
非线性动力系统的建模与分析非线性动力系统是指其运动方程包含非线性项的动力系统。
与线性动力系统不同，非线性动力系统具有更加复杂的行为和特性。
因此，建模和分析非线性动力系统是理解和预测实际系统行为的重要一环。
本文将介绍非线性动力系统的建模方法以及各种分析工具和技术。
一、非线性动力系统建模方法：1. 分析系统的特性：了解系统的背景和工作原理，找出系统的主要组成部分和相互作用关系。
这样可以更好地理解系统行为和特性，为后续的建模提供基础。
2. 选择适当的数学模型：非线性动力系统可以用多种数学模型进行描述，如微分方程、差分方程、动力学方程等。
根据系统的特性和需求，选择适合的数学模型是非常重要的。
3. 确定系统的状态变量：状态变量是描述系统状态的变量，可以是位置、速度、温度等。
根据系统的特性和需要，确定适当的状态变量是非线性动力系统建模的关键一步。
4. 构建系统的运动方程：根据数学模型和状态变量，建立非线性动力系统的运动方程。
这些方程描述了系统的演化规律和相互关系，是进一步分析系统行为的基础。
5. 校验和验证模型：将模型与实际数据进行比较和验证，确保模型能够准确描述系统的行为和特性。
如果有必要，可以对模型进行调整和改进，以提高模型的准确性和可靠性。
二、非线性动力系统分析工具和技术：1. 稳态分析：稳态分析是研究系统在长时间尺度下的行为稳定性和平衡点的性质。
通过稳态分析，可以判断系统的稳定性和吸引子的性质，进一步预测系统的长期行为。
2. 线性化分析：将非线性动力系统线性化为一组近似的线性方程，以便在局部范围内对系统进行分析。
线性化分析可以简化非线性系统的复杂性，从而更好地理解系统的行为和特性。
3. 相平面分析：相平面分析是用相图表示系统状态的演化和相互关系。
通过分析相图的特征，可以得到系统的稳定性和周期解等信息，为进一步研究系统的行为提供参考。
4. 分岔分析：分岔分析是研究系统参数变化时系统行为的变化和性质的分析方法。
非线性系统的动力学分析及控制研究
非线性系统的动力学分析及控制研究随着科学技术的快速发展，对于动力学分析和控制研究的需求和重视也逐渐增加。
其中一种非常重要的研究对象就是非线性系统。
1.非线性系统概述非线性系统，简单来说就是不能被描述为线性关系的系统。
由于其比线性系统更复杂，因此难以进行精确的分析和控制，但非线性系统却可以描述许多自然界中的现象以及工程技术实践中的问题。
我们知道，线性系统的特性是“比例性”和“叠加性”，其输入和输出之间存在着数量上的线性关系。
但是，非线性系统在不同的输入下会产生系统响应的非线性变化。
其系统行为可能表现出变化多样、复杂、不可预知等特征。
这些性质决定了非线性系统的动力学不规则和不稳定性，对动力学的分析和控制构成了巨大的困难。
2.非线性系统的控制在非线性系统的控制领域中，最基本的方法就是通过反馈控制的方式，尽量减少系统的误差和稳态误差。
但对于非线性系统来说，它需要一些更为高级和复杂的控制策略，如模糊控制、神经网络控制、自适应控制等。
以自适应控制为例。
自适应控制方法是通过不断对过程进行监控，并改变控制器或控制算法的参数来实现快速、准确和自适应的控制。
这种方法的基本思想是根据系统的现实状况，进行实时修正和调整，使系统能更加灵活和稳定地运行。
但是，由于非线性系统的动力学特性，自适应控制系统设计也会面临很大的挑战。
这主要包括控制算法的设计、系统模型的定位和优化等一系列困难。
3.非线性系统的动力学分析非线性系统的动力学分析是非线性控制领域研究的核心问题之一。
涉及到非线性系统的稳定性、运动轨迹、系统响应等多个方面。
这里简单介绍一些非线性动力学分析方法。
首先是Lyapunov方法。
Lyapunov方法是通过构造Lyapunov函数，来判断非线性系统的稳定性。
主要思想就是找到一个函数，使得对于给定的初值，系统的状态必定会趋近于稳定。
通过求出Lyapunov函数的导数，然后判断其正负性，就能得出系统的稳定性。
另外还有基于相平面分析的方法。
非线性动力学系统的分析与控制
非线性动力学系统的分析与控制随着科学技术的不断发展，人们对复杂系统的研究日益深入。
非线性系统时常出现在自然界和工程技术中，例如气象系统、化学反应、电路、生物系统、机械系统等等。
非线性系统具有极其丰富的动态行为，不同的系统之间存在着很大的差异性。
面对这些复杂多样的非线性系统，如何进行分析与控制是非常重要的。
一、非线性动力学系统的定义及特点非线性动力学系统是指在时间和空间上均发生动态行为的系统，其系统关系不是线性关系。
由于非线性因素的存在导致了系统的复杂性和不可预测性，系统可能表现出各种奇异的动态行为。
这些动态行为包括周期性运动、混沌、周期倍增等等。
一个非线性系统通常由多个部分组成，每个部分之间有相互作用，这种相互作用可以是线性的，也可以是非线性的。
与线性系统不同的是，非线性系统的各种状态和运动是非简单叠加的，微小的扰动可能会导致系统出现完全不同的行为，所以非线性系统的行为很难被准确地预测和控制。
二、非线性动力学系统的分析方法1. 数值方法数值方法是研究非线性系统的基本工具之一。
数值方法的核心是计算机程序，基本思路就是用计算机模拟系统的行为，通过计算机的演算，得出系统的动态变化。
在数值模拟中，巨大的数据量和模拟误差可能导致计算结果的不确定性。
为了解决这个问题，可以采用随机性和模糊性来描述不确定性，将非确定性的信息融入到模型和模拟中。
2. 动力学分析动力学分析是利用动力学知识进行对非线性系统的分析和研究。
通过对系统的本质特性进行分析，了解系统的发展趋势和行为特征。
动力学分析主要通过相空间画图、稳定性分析、流形理论等方法对非线性系统进行分析。
其中，相空间画图是研究非线性系统最常用的方法之一。
它可以将非线性系统的状态表示为相空间中的一点，通过画出系统在相空间中的运动轨迹，了解系统在不同初态下的动态行为。
3. 控制方法控制方法是为了改变非线性系统的行为，使其达到预期目标或保持稳定状态。
非线性系统的控制可以分为开环控制和反馈控制。
非线性动力学系统深度研究
非线性动力学系统深度研究深度研究非线性动力学系统引言：非线性动力学系统是一类常见的复杂系统，广泛应用于物理、化学、生物学等领域。
与线性系统相比，非线性系统具有更为复杂的行为和动力学特性。
本文将对非线性动力学系统进行深度研究，探讨其定义、模型、稳定性和混沌等关键概念。
一、非线性动力学系统的定义和基本概念非线性动力学系统是指系统中的状态变量和控制参数之间的关系是非线性的系统。
其基本概念主要包括状态变量、动力学方程和相空间等。
1. 状态变量：状态变量是系统的内部变量，它们描述了系统在不同时间的状态。
通常采用向量形式表示，例如(x1, x2, ..., xn)。
2. 动力学方程：动力学方程是描述系统演化规律的数学方程。
对于非线性动力学系统，动力学方程通常是一组非线性微分方程或差分方程。
3. 相空间：相空间描述了非线性动力学系统的所有可能状态的集合。
在相空间中，每个状态被表示为一个点，而系统的演化则对应于在相空间中的运动轨迹。
二、非线性动力学系统的模型与常见例子非线性动力学系统的模型通常采用一组微分方程或差分方程来描述。
下面给出两个常见的非线性动力学系统模型。
1. Lorenz系统：Lorenz系统是一个三维非线性动力学系统，由爱德华·洛伦兹发展而来，主要用于描述大气环流的运动。
Lorenz系统的动力学方程如下：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = ρx - y - xzdz/dt = xy - βz其中，x、y、z分别表示系统的三个状态变量，σ、ρ、β分别为控制参数。
2. Van der Pol振荡器：Van der Pol振荡器是一个二阶非线性动力学系统，广泛应用于电子工程和生物学中。
其动力学方程如下：d²x/dt² - μ(1 - x²)dx/dt + x = 0其中，x表示系统的状态变量，μ为控制参数。
三、非线性动力学系统的稳定性分析在研究非线性动力学系统时，稳定性是一个关键问题。
非线性动力学模型与应用研究
非线性动力学模型与应用研究随着人类科学技术的发展，数学和物理学科也在不断推陈出新。
其中，非线性动力学模型在近年来的研究中备受关注。
本文将对非线性动力学模型做一简要介绍，并重点关注其应用研究，以及目前常见的几类非线性动力学模型。
一、非线性动力学模型简介动力学研究是物理科学的一个重要分支。
在物理学领域中，动力学研究的主要目的是描述物体运动的规律，这种规律与物体运动的初始条件、外加力的大小和方向等关系紧密。
近年来，随着人们对物理世界深入的认识和理解，非线性动力学模型逐渐成为研究的热点。
非线性动力学模型一般采用微分方程来描述，这类微分方程通常比较复杂，解析的解不容易得到。
因此，非线性动力学模型的研究一般通过数值模拟的方式进行。
在模拟中，可以使用计算机进行计算，通过编写程序对微分方程进行离散化，从而得到数值解。
在非线性动力学模型的研究中，常见的问题包括混沌现象、相图、分叉现象等。
在研究这些问题时，非线性动力学模型可以提供一个有力的数学工具。
二、非线性动力学模型的应用研究1. 混沌现象的模拟混沌现象是非线性动力学模型中的重要问题之一，它指的是具有确定初态，但在运动过程中产生随机性的现象。
在混沌现象的研究中，非线性动力学模型可以提供精确的数学描述。
通过对非线性动力学模型的数值模拟，可以得到对混沌现象的深入了解。
2. 生物医学领域非线性动力学模型在生物医学领域中也有广泛的应用。
比如，在神经元的研究中，可以利用非线性动力学模型模拟神经元的活动，并且通过模拟得到神经信号的时序间隔、频率等信息。
此外，在心血管方面，非线性动力学模型也可以描述人体的生理功能状态和心脏病变的动力学机制。
3. 社会学研究非线性动力学模型也逐渐被应用于社会学领域的研究中。
比如，通过对非线性动力学模型数值仿真，可以确定人类群体行为、物种竞争、市场变化等诸多社会现象的演化规律。
此外，对于经济领域，非线性动力学模型能够描述经济周期、金融市场的波动和崩溃等现象。
动力学非线性系统建模与预测控制
动力学非线性系统建模与预测控制在现代科技的飞速发展下，高科技产业的生产要求越来越高，要求对各种机电系统进行合理的建模和控制。
其中，动力学非线性系统的建模和预测控制是一个十分重要的问题。
动力学非线性系统是指其运动状态、系统输出和控制输入之间存在非线性关系，通俗的讲就是不存在一个通用的数学函数可以描述系统的行为。
这种系统在日常生活中很常见：例如，弹簧振动、地震、车辆运动轨迹等等。
由于其极其复杂的性质，能够对其进行建模和预测控制对于人类解决很多实际问题具有重要的意义。
在这方面，我们先来谈谈建模的问题。
对于非线性系统的建模，主要有时间域和频域两种方法。
时间域方法是指通过差分方程或微分方程来描述系统的状态变化，而频域方法则是通过系统的传递函数或频率响应来描述系统的输入和输出关系，即不考虑系统的状态变化。
相对来说，频域方法建模简单易懂，广泛应用也是其中的原因之一。
但是，当非线性系统的系统建模前提不能满足输出具有平稳性时，频域方法就不能使用，这时需要使用更为复杂的时间域方法。
在开始进行动力学非线性系统的建模之前，需先了解系统的基础性质，如系统是否相对稳定等，而这些性质确定了之后，才可进行相应的状态方程和输出方程的推导。
举个例子，我们来看看质量悬挂在弹簧上进行简谐振动的建模过程。
对于这个系统，可以通过牛顿第二定律F=ma得到其状态方程为（m为质量，k为弹簧系数，x为质量相对平衡点的位移）：m(d2x/dt2)+kx=0此外，可以通过观察到系统的位移x与时间t的关系，得到其输出方程为：x=Asinωt其中A表示振幅，ω表示角频率。
将其代入状态方程，可以解得系统的频率为：ω=√(k/m)通过上述推导过程，我们就成功地建立了弹簧振动的动力学非线性系统模型。
除了建立系统模型，预测控制也是非常重要的一个环节。
在许多应用中，经常需要预测未来的状态，进而为控制提供依据。
例如，对于自主驾驶汽车来说，需要对未来的交通情况进行预测，以便进行合理的驾驶。
非线性动力学模型的应用和研究
非线性动力学模型的应用和研究随着科技的不断发展，人们对于探索世界的渴望也不断加深。
在这样一个背景下，非线性动力学模型正成为越来越受欢迎的研究领域。
非线性动力学模型的基本概念非线性动力学模型是指对于一个物理系统和其行为的描述，它能够更准确地反映物理系统的本质。
在非线性动力学模型中，物理系统的变化不是线性的，而是包含多种变量，且它们之间的关系也不是简单的相加，而是呈现出复杂的相互作用。
因此，非线性动力学模型的研究需要结合数学、物理等多个学科。
非线性动力学模型的应用非线性动力学模型的应用在各个领域都非常广泛。
比如大气科学领域中的气象预报、经济学领域中的市场行为分析、生物领域中的群体行为研究等等，都需要借助非线性动力学模型来进行分析和研究。
其中，最具代表性的领域之一就是混沌理论。
混沌理论被认为是非线性动力学模型的杰出表现之一，它研究的是当物理系统的初始条件微小变化时，长时间后它们所表现出的结果也会有相当大的不同。
在今天的现代科技中，混沌现象已经被广泛应用于通讯加密、图像压缩、数据传输等多项领域。
除此之外，非线性动力学模型还被用于地震学研究、流体动力学、环境污染等方面。
例如，通过对风险分析模型中的非线性动力学模型进行探索，可以更好地预测可能发生的自然灾害，从而更好地保护人们的生命和财产安全。
非线性动力学模型的前景和挑战随着科学技术的不断发展，非线性动力学模型的使用范围也不断扩大。
人们可以预见，非线性动力学模型将会在未来更广泛地应用于各大领域。
与此同时，非线性动力学模型的研究仍然面临着挑战。
比如，模型的形式选择、数据采集和处理等方面的问题，都需要在不断的实践中不断完善和提高。
因此，发展非线性动力学模型需要多方面的支持与努力，包括人才培养、基础研究、交流和合作等方面。
结语非线性动力学模型是一个充满活力和创新的研究领域，它的价值体现在可以更准确地反映物理系统的本质。
随着技术的进步，人们对于这一领域的关注和投入也日益加深。
非线性动力学系统的控制与优化问题研究
非线性动力学系统的控制与优化问题研究随着科学技术的不断进步，各行各业对于非线性动力学系统的研究与应用也越来越重要。
非线性动力学系统是一种非常复杂的系统，它们的行为不仅仅受到外界的影响，也受到系统内部因素的影响。
这种系统在很多实际应用中都会出现，例如：生物学、化学反应、实验室设备、交通系统、金融市场等。
如果我们能够控制和优化这些系统，将会对整个社会产生积极的影响，如能够提高工作效率、减少能源消耗、降低成本、提高安全性等。
一、非线性动力学系统的控制非线性动力学系统的控制是指在外部扰动下使系统保持稳定，同时确保能够达到预定的目标。
举个例子，飞行控制系统中的自动驾驶仪就是一个非线性动力学系统。
在飞行过程中，系统需要不断地评估和调整飞行状态，比如速度、高度、航向等，以确保飞机无事故地飞行到目的地。
因此，非线性动力学系统的控制需要通过数学建模和分析来实现。
控制非线性动力学系统需要考虑系统的物理模型、控制目标和控制要求。
物理模型首先需要确定系统的状态和控制量，即需要知道系统各部分之间的关系及其数学表达式。
控制目标则是指系统需要达到的一些特定目标，以确定控制策略。
控制要求是指在收集了大量数据后，需要根据系统的特征来设计出控制系统的一些参数，使系统能达到预定的要求。
二、非线性动力学系统的优化非线性动力学系统的优化是指通过寻找最优控制策略，来提高系统的控制性能和效率。
优化可以分为多种类型，例如：单目标优化、多目标优化、鲁棒优化和多策略优化等。
单目标优化是指通过设计目标函数，以最小化或最大化该函数为目的，来实现优化。
比如，设计一个目标函数去求解机器人手臂的运动轨迹，使得手臂的功率与速度都能达到最优。
多目标优化类似于单目标优化，唯一的不同在于多个指标同时优化。
鲁棒优化是在误差和干扰的影响下，去寻找一种稳健的控制策略，使系统保持稳定。
而多策略优化是指对非线性动力学系统设计多种控制策略，选择能够最好实现控制性能和效率的策略。
非线性动力学系统建模与分析
非线性动力学系统建模与分析随着信息和计算技术的不断完善，非线性动力学系统建模与分析成为了科学研究领域的重要课题。
非线性动力学系统包括了许多领域，例如物理、化学、生物和社会等，在这些系统中，复杂的交互和耦合关系导致了异常的行为和现象。
因此，了解和掌握非线性动力学系统建模与分析以及处理异常行为和现象方法将是推动科学发展的重要手段。
非线性动力学系统建模与分析是一门跨学科的科学，融合了数学、物理、工程学和计算机科学等多个领域的方法和技术。
其主要目的是分析和预测非线性动力学系统的行为和现象，并提供解决复杂问题的方法。
系统建模过程中，需要应用数学模型来描述系统动态的本质和特点，同时通过分析模型参数和系统参数之间的关系，理解系统中各种变量和参数之间的相互作用和调节机制。
建模和分析非线性动力学系统需要综合运用实验、理论和计算模拟等不同手段。
通过实验，可以收集系统的数据，并从中发现一些规律和性质，以验证数学模型是否准确地描述了系统行为。
在理论方面，基于物理规律、统计力学和模型等方面的分析和推导，可以得到系统的数学模型，为系统行为的描述和预测提供基础。
计算模拟和数值计算也是非线性动力学系统模拟中的重要手段，利用计算机的高速运算和大量存储，对系统做出更精确的模拟够分析。
基于以上的方法和技术，非线性动力学系统建模和分析主要有以下三个应用方向：系统控制、模式识别和混沌理论。
从系统控制的角度来看，非线性动力学系统建模和分析可以用于解决各种机械、电气、化学、生物等型态的系统控制问题，包括状态估计、轨迹规划、滤波、自适应控制、鲁棒控制等。
例如，在飞行控制、生物医学工程、机器人控制、化学反应控制等领域中，非线性动力学系统建模和分析可以为控制系统的设计和优化提供基础。
从模式识别的角度来看，非线性动力学系统建模和分析可以用于了解、识别、分类和重建复杂的自然和人造图像、信号和数据。
在生物学、医学、图像处理、信号处理等领域，非线性动力学系统建模和分析已经逐渐成为研究和分析非线性、非高斯型和不规则数据的重要手段。
振动系统中的非线性动力学分析与控制研究
振动系统中的非线性动力学分析与控制研究振动系统是一类常见的物理系统，其研究在科学与工程中具有重要意义。
在实际应用中，振动系统的非线性行为经常出现，而非线性动力学分析与控制的研究对于揭示和优化这些行为具有重要意义。
一、振动系统中的非线性行为分析在振动系统中，非线性行为的出现往往具有普遍性。
例如，当当量的运动幅度较小时，振动系统中的各个部分可以被近似为线性系统，但当振幅增加到一定程度时，非线性效应就开始显现。
非线性行为可能包括共振现象、超共振现象、倍频等。
振动系统的非线性行为分析可以通过数学模型和实验方法进行。
数学模型往往基于物理定律和力学原理建立，通过求解微分方程来描述振动系统的运动。
利用数值计算方法和数值模拟软件，可以获得系统的动态响应和相应的非线性特征。
实验方法可以通过激励振动系统并测量相应的振动响应来获取系统的非线性特征。
在非线性动力学系统中，常见的现象包括周期解、混沌和分岔等。
周期解是指系统在某一特定参数下呈现出重复性的振动状态，混沌是指系统的振动无法通过数学模型完全描述，而呈现出无序不可预测的状态。
分岔是指系统的振动行为随着参数的变化出现突变。
二、非线性动力学系统的控制方法研究非线性动力学系统的控制方法研究是为了避免或减少非线性行为的负面影响，实现振动系统的稳定和高效运行。
常见的非线性动力学系统的控制方法包括传统控制方法和现代控制方法。
传统控制方法包括PID控制和模糊控制等。
PID控制是一种经典的比例-积分-微分控制方法，通过调节控制器的比例、积分和微分参数来实现对系统的控制。
模糊控制是一种基于规则的控制方法，通过模糊推理和模糊逻辑来实现对非线性动力学系统的控制。
现代控制方法包括自适应控制和智能控制等。
自适应控制是一种根据系统的动态响应自动调整控制参数的控制方法，通过反馈机制来实现对非线性振动系统的控制。
智能控制是一种基于人工智能算法的控制方法，例如遗传算法、神经网络和模糊神经网络等，通过优化算法来实现对非线性振动系统的控制。
非线性动力学系统建模与控制研究
非线性动力学系统建模与控制研究第一章前言非线性动力学系统是一个广泛的研究领域，其应用范围广泛，从交通响应、气象预报到蛋白质结构预测等等。
这些系统可以通过建立模型来捕捉和控制。
本文将介绍非线性动力学系统的建模和控制研究。
第二章非线性系统的特征非线性系统的特征是重复出现的，并且对于任何一个特定的系统都有普遍性。
其中一些特征包括：1. 非线性耦合：非线性系统的元素之间的相互作用通常是非线性的。
2. 吸引极限：在确定的初始条件下，系统的状态将趋近于一个特定的状态。
3. 混沌行为：当系统的初始条件变化时，系统的行为可能会变得非常复杂，这被称为混沌现象。
第三章建立非线性系统的模型非线性系统的建模可以通过多种方法来完成。
其中常见的是MIMO系统，也就是多输入多输出系统。
通过建立系统的状态空间矩阵和系统方程，可以得到系统的状态和输出。
此外，还可以使用深度学习方法来建立非线性模型，例如神经网络和卷积神经网络。
第四章非线性系统的控制控制非线性系统是一个复杂的任务，因为非线性系统的行为通常是不可预测的。
控制非线性系统的方法有很多种，其中一些包括：1. 反馈控制：通过反馈来控制系统的行为，使其达到期望的状态。
2. 模型预测控制：通过建立模型来预测系统的行为，并根据预测结果来调整控制。
3. 自适应控制：可以基于已知的系统性质自适应地调整控制。
第五章实例分析非线性系统建模和控制的实际应用非常广泛，下面我们将介绍一些实例。
1. 交通流系统：建立交通流模型可以帮助我们更好地理解交通流的行为，控制交通流可以减少堵塞和污染。
2. 气象预测：气象预测需要对几百个变量进行建模和控制，这需要强大的非线性建模和控制技术。
3. 蛋白质结构预测：蛋白质结构预测是生物信息学的一个主要研究领域，非线性动力学系统建模和控制技术也在该领域得到了广泛应用。
第六章总结总之，非线性动力学系统建模和控制研究是一个充满挑战的领域，需要结合多种技术和方法来解决。
飞行器非线性动力学建模与控制技术研究
飞行器非线性动力学建模与控制技术研究随着航空航天技术的飞速发展，飞行器在现代社会中扮演着重要的角色。
而要保证飞行器的安全性、稳定性以及高效性，非线性动力学建模与控制技术成为关键。
该技术研究如何准确描述飞行器的非线性动力学模型，并通过控制方法实现对其运动的精确控制。
一、非线性动力学建模对飞行器的非线性动力学进行准确建模是飞行器控制的基础工作。
飞行器的运动包括自旋、滚转、俯仰、焦点轴偏转等多个自由度的复杂非线性系统，因此准确建模飞行器的动力学是一项具有挑战性的任务。
在非线性动力学建模方面，常常使用的方法是基于物理原理的建模与基于数据的系统辨识方法。
基于物理原理的方法是通过对飞行器的物理特性进行分析和建模，其中包括大气动力学、飞行力学和液压传动等。
基于数据的系统辨识方法是通过实验数据的分析与处理，利用数学模型来近似描述飞行器的动力学特性。
二、控制技术研究在飞行器非线性动力学建模的基础上，控制技术的研究是为了实现对飞行器运动的精确控制。
针对飞行器的非线性特性，需要选取适当的控制方法来解决控制问题，其中包括自适应控制、模糊控制和鲁棒控制等。
1. 自适应控制自适应控制是一种通过自动调整控制器参数来适应飞行器运动变化的控制方法。
在飞行器非线性动力学建模中，往往无法准确地获得系统动力学特性的模型。
因此，通过自适应控制方法，可以通过实时测量或者其他手段对飞行器的动力学模型参数进行估计，并根据参数估计结果来自适应地调整控制器参数，实现对飞行器运动的控制。
2. 模糊控制模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，其核心思想是将飞行器的运动状态和控制输入进行模糊化处理，利用模糊规则来实现对飞行器的控制。
模糊控制方法具有较强的非线性建模能力和适应性，可以有效地处理飞行器非线性动力学问题。
3. 鲁棒控制鲁棒控制是一种设计能够在不确定情况下保持控制系统稳定性和鲁棒性的控制方法。
在飞行器控制中，由于风速、飞行高度和气象条件等因素的不确定性，控制系统可能会受到扰动和干扰的影响。
非线性动力学与控制系统研究
非线性动力学与控制系统研究
随着科技的发展，控制系统的重要性越来越被大众所认识。
而控制系统的研究则需要非线性动力学方面的知识，也就是说，非线性动力学是理解和掌握控制系统的基础。
非线性动力学是一种数学研究方法，它研究非线性系统的动力学行为。
在生活中，许多系统都是非线性的，比如天气系统、经济系统、交通系统等。
因此，了解非线性动力学的理论和方法对于解决一些实际问题非常重要。
在非线性动力学中，最常见的就是混沌现象。
混沌现象是指一个动力学系统的长期行为是不可预测的。
换句话说，即使我们知道系统的初始状态和规律，我们也无法确定其未来的状态。
但是，混沌现象并不代表无序和随意，它也有其自身的规律和性质。
通过对混沌系统的研究，可以进一步提高我们对于复杂系统的认识和理解。
在控制系统中，非线性动力学也扮演着重要的角色。
控制系统中的不确定性和复杂性经常导致线性控制方法不能很好地解决问题。
而非线性控制理论则可以更好地描述系统的行为，提高系统的性能和可靠性。
不仅如此，非线性控制还可以在机器人、空间等领域发挥重要作用。
在机器人中，非线性控制可以提供更好的定位和导航功能。
在空间领域，非线性控制可以优化卫星的轨道和飞行状况。
除了混沌现象和非线性控制，非线性动力学还涉及到许多其他的重要概念和方法。
比如，相空间、耗散结构理论、分岔理论等等。
总之，非线性动力学是控制系统研究中不可或缺的部分。
通过对非线性动力学的研究，我们可以更好地了解和掌握系统的特性和行为，提高其性能和可靠性。
非线性动力学与控制理论研究
非线性动力学与控制理论研究随着科技的不断发展，人们对于复杂系统的研究和探索也越来越深入。
在这个过程中，非线性动力学领域的研究显得尤为重要。
非线性动力学是一门涉及非线性动态系统的数学领域，而这个领域的研究对于实现控制和预测非线性动态系统的行为至关重要。
非线性动力学的研究背景非线性动态系统是指其中至少有一个系统变量的响应不服从线性关系。
这类系统通常更为复杂，涉及多个变量之间的相互作用。
例如，气象系统、物理振动系统、生态系统等都是典型的非线性动态系统。
这些系统的响应结果不仅受到单独某个变量的影响，还可能受到其他变量的反馈影响。
这种复杂的非线性响应使得我们无法用传统的线性动力学来理解其行为，因此非线性动力学的研究就显得尤为重要。
非线性动力学的研究方法在非线性动力学领域，控制与处理信号是两个重要的研究方向。
控制意味着通过某种措施来调节非线性系统的行为，以使其达到某种预设目标。
处理信号则意味着对非线性系统的响应进行分析和处理，以确定某些特征或性质。
这两个方向的研究可以互相支持和补充。
非线性动力学的研究方法通常涉及数学建模、计算机模拟和实验验证。
数学建模是将复杂的非线性系统抽象化，运用一些高级数学工具来表示其行为。
计算机模拟是在数学模型的基础上，通过计算机仿真来验证对系统行为的预测。
实验验证则是在实际系统中进行数据采集和分析，以验证模型的精度和可靠性。
非线性系统的控制方法非线性系统的控制也是非线性动力学领域的核心问题。
因为非线性系统的响应具有非线性特性，我们无法直接套用线性控制方法来实现所需的控制目标。
因此，非线性系统的控制方法涉及到一系列高级控制理论的应用。
在非线性动力学的控制研究中，基于反馈控制的方法被广泛应用。
这个方法根据系统响应的反馈信号，按照设定的变化规律调整输入信号，从而实现控制。
传统的反馈控制方法是基于线性控制理论的，但是对于非线性系统，传统的线性控制器不再适合。
因此，研究人员近年来已经设计了很多新的非线性反馈控制器来实现非线性系统的控制。
非线性系统控制理论研究及应用
非线性系统控制理论研究及应用随着科技的不断发展，计算机控制技术在各行业得到了广泛应用。
而从线性到非线性系统控制的转变是目前控制领域中一个非常重要的课题。
在这一变革中，非线性系统控制理论的研究及应用得到了广泛关注，成为了当前热门的研究方向之一。
本文将就非线性系统控制理论的研究和应用进行探讨。
1. 概念及基本原理先简单介绍什么是非线性系统。
非线性系统是指其系统响应不符合线性叠加原理的动态系统，其中最常见的非线性系统是存在抗干扰和非线性延迟效应的系统。
线性系统是按比例作出相应的系统。
在控制中，线性系统是最常用的，因为它们容易被建模，容易被分析和设计。
但是，在许多实际应用中，非线性系统的存在不可避免。
这时候，我们就需要非线性控制理论。
在非线性控制理论中，最基本的一个概念是稳定性。
对于一个系统，如果它的状态变化可以在一定的边界内保持稳定，则称这个系统是稳定的；否则，这个系统就是不稳定的。
稳定性是非线性控制理论中研究的重点之一。
非线性控制的最终目的就是使系统稳定，使其输出达到我们需要的结果。
2. 发展历史非线性系统控制理论的研究已有数十年的历史，可以追溯到上世纪50年代。
当时，Matrosov和Lyapunov将线性稳定理论推广到非线性系统，并提出了判定非线性系统稳定性的Lyapunov稳定性定理。
这个定理为非线性系统控制的理论研究提供了基础。
在此基础上，人们开始研究更加复杂的非线性系统控制方法。
其中最重要的方法是反馈线性化和滑模控制。
反馈线性化法的本质是将非线性系统转化为一个能够被控制的线性系统，从而方便我们用已有的线性控制方法进行控制。
滑模控制方法则是利用非线性滑模函数，通过设计一个可控的滑模面来实现非线性系统的稳定控制。
除此之外，还有最小平方自适应控制、神经网络控制、模糊控制等多种方法，它们将不同的数学方法应用到非线性系统控制中，使得非线性控制的方法更加多样化、灵活性更高。
3. 应用领域非线性控制已经被广泛应用到各个工程领域中。
非线性时变系统动力学建模与控制策略优化
非线性时变系统动力学建模与控制策略优化随着科学技术的飞速发展，非线性时变系统的研究成为当今控制理论中的热点领域。
非线性时变系统在实际应用中广泛存在，如航天器、机器人、电力系统等。
因此，了解非线性时变系统的动力学建模与控制策略优化具有重要的理论意义和实际应用价值。
动力学建模是研究非线性系统的关键步骤。
非线性时变系统在任意给定时刻的状态与前一时刻的状态、输入、外部干扰之间存在着复杂的联系。
因此，准确建立非线性时变系统的数学模型是非常具有挑战性的任务。
常用的动力学建模方法包括经验模型建立、物理模型建立、灰箱建模和黑箱建模等。
经验模型建立是利用实验数据和经验知识来建立系统的数学模型。
该方法适用于实验条件充足、系统结构简单、系统的行为规律明确的情况。
物理模型建立是基于该系统的物理原理和运动方程来建立系统的数学模型。
该方法适用于系统结构较为复杂、运动规律较为复杂的情况。
灰箱建模是通过对系统的局部特性进行建模，并结合实验数据进行辨识。
该方法适用于系统具有部分未知特性的情况。
黑箱建模是通过对输入和输出数据进行建模，忽略系统内部结构和原理。
该方法适用于系统内部结构较为复杂或未知的情况。
选择合适的动力学建模方法,对于具体问题需要根据实际情况进行选择。
控制策略优化是实现非线性时变系统稳定性和性能指标要求的关键环节。
针对非线性时变系统，传统的线性控制方法已经不再适用。
因此，需要开发新的控制策略来解决非线性时变系统的控制问题。
常用的控制策略优化方法包括模糊控制、神经网络控制、自适应控制和最优控制等。
模糊控制是一种基于模糊逻辑和模糊推理的控制方法。
它通过建立模糊规则库来实现对非线性时变系统的控制。
模糊控制具有良好的适应性和鲁棒性，能够处理系统模型的不确定性和非线性。
神经网络控制是一种通过训练神经网络来实现对非线性时变系统的控制。
神经网络控制具有自学习能力和逼近能力，能够对非线性时变系统进行非精确的建模和控制。
自适应控制是一种通过调整控制器参数来实现对非线性时变系统的控制。
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Study on Nonlinear Dynamical Model and Control Strategy of Transient Process in Hydropower Stationwith Francis turbineHaiyan Bao , Jiandong Yang, Liang FuState Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University No.8 Donghu South Road, Wuchang District, Wuhan 430072, ChinaHaiyan_8931@Abstract —The transient process in conduits of hydropowerstations is a very complicated dynamic procedure coupled withfluid, machines, electricity. In this paper, a whole nonlinear dynamical model of transient process in hydropower station with Francis turbine has been developed, and the control strategies of each transient process are studied. The nonlinear characteristics of hydraulic turbine and the elastic water hammer effect of pressure water supply conduit are considered in the model. The developed model is accurate enough to represent and simulate each transient process of the plant and may enable a plant operator to carry out economical, convenient study for the static stability and transient stability of the hydropower station under a wide range of transient processes. In addition, the literature takes a hydropower station as engineering case to simulate the transient processes of hydro-generator units ’ start-up, load variation, full load rejection from the grid and emergency stop. And the results of simulation are very satisfied.Keywords-hydraulic transients; nonlinear mathematical model; numerical simulation; control strategyI.I NTRODUCTIONH ydropower is an important and vital renewable energy resource, which converts energy in flowing water into electricity. Generally, a hydro-generator unit has many different operating conditions, and any operating condition changes will result in different hydraulic transients. The calculation of hydraulic transient is a key link for the safety and reliability of units and hydraulic installations. Traditionally, the objective of hydraulic transient calculation is to predict three primary regulation guaranteed parameters including the maximum dynamic pressure in the spiral case, the maximum rising ratio of rotating speed and the draft tube minimum pressure, consequently to ensure safety operation of hydropower station. H owever, with the development of hydroelectric construction and technology in China, the content of hydraulic transient calculation is continuously beingenriched, it already not only include calculation of regulationguaranteed parameters, but also include calculation and research of stabilization and dynamic quality [1]. In conventional hydropower stations, there are a series of hydraulic transient processes, such as start-up, load variation, full load rejection from the grid, and emergency stop, wherepower and frequency regulations may always be needed [2]. In order to design suitable control law, stabilize the nonlinear systems, solve many existing control problems, reduce operating costs and energy losses, and improve guarantee security and safety of equipments and plants, it is necessary to develop a whole nonlinear dynamical model that is accurate enough to represent and simulate each transient process of the plant. The developed model may enable a control system designer or a plant operator to carry out accurate, economical, convenient study for the static stability and transient stability of the hydropower station under a wide range of operational modes and nonlinear process conditions, and to design the suitable control strategy, so as to improve stability of hydro-generator units.The literature review carried out in this work finds some published research works. In [3], a new kind of start-up rule is proposed, by using this rule the contradiction between fast start-up and smooth start-up is eliminated; In [4], it analyses the adjusting mode of power adjustment in digital electric-hydraulic governor, and how to realize power adjustment; In [5], the transient performance index of hydro-generator unit in a full load rejection are studied. owever, in the aforementioned published research works, the effect of hydraulic turbine characteristics and the elasticity of conduit walls on the transient process are neglected . In addition, a whole nonlinear dynamical model that can simulate each transient process of the plant isn’t developed in predecessors’ research works. In china, some large-scale hydropower stations often use the complex arrangement nowadays, moreover, the hydraulic conduits are getting longer, and its nonlinearity is very obvious. Therefore, it is very important and necessary to develop a whole nonlinear dynamical model for the complex hydropower system.II.M ATHEMATICAL M ODELS For developing the whole nonlinear mathematical model, the hydropower plant system is decomposed into decoupled dynamical modules as illustrated in Fig. 1, and a mathematical model for each module is developed. 978-1-4244-2487-0/09/$25.00 ©2009 IEEEFigure 1. Hydropower plant dynamical systemA.Modelling of Hydraulic ConduitIn hydraulic transient calculation of hydropower stations, one-dimensional continuity equation and momentum equation will be applied to the unsteady flow in conduit [6]. These equations constitute a system of two equations of partial derivatives – of the hyperbolic type. An exact integration of the equations is however very complicated, analytical solutions are rare. Nevertheless, there exist different numerical techniques making solutions possible. The method of characteristics is often and efficiently used to obtain the solutions of the equations. The method is reasonably convenient to deal with complicated boundary conditions. In the system of hydropower station, there are some boundary conditions (such as turbine) that are nonlinear themselves. Therefore, adopting the method of characteristics, a system of complex nonlinear equations will be avoided, so as to make the solution process simplify greatly. By using the method of characteristics, put the system of the equations of partial derivatives into a system of equations of ordinary derivatives. And under the condition of fixed time step, the equations of ordinary derivatives will be put into two linear algebraic equations with two unknown functions, discharge P Q and water head P H , along the curves of the characteristics, the positive characteristic +C and the negative characteristic −C . The simple forms of the two equations can be written as [7]:+C :P QP CP P H C Q Q .−=, (1)−C :P QM CM P H C Q Q .+=. (2)where CP Q ,QP C ,CM Q ,QM C are known coefficients that are related to the velocity at the forward time step, the water headat the forward time step and the geometrical sizes of conduits. B.Modelling of Hydraulic TurbineThe type of hydraulic turbine is various, in this paper, the mathematical model of Francis turbine will be developed. It is well known that the characteristics of hydraulic turbine are usually represented by the synthetic characteristic curves. In order to develop the mathematical model of hydraulic turbine, it is necessary to carry on data processing for the synthetic characteristic curves. Using the special-purpose software, translate the synthetic characteristic curves into discharge characteristic curves and torque characteristic curvesthat respectively take the specific discharge 1Q ′, the specific torque 1M ′as the ordinate, take the specific speed 1n ′as the abscissa, and take the wicket gate servomotor stroke y as parameter. During the calculation of hydraulic transient process, by using the wicket gate servomotor stroke and water head at the time level, the operating point will be found at discharge characteristic curves and torque characteristic curves. Therefore, the mathematical model of the characteristic of hydraulic turbine may be written as:()y n f Q ,11′=′, (3) ()y n f M ,11′=′. (4) owever, there are still no detailed and precisemathematical models that can describe 1Q ′ and 1M ′; therefore, 1Q ′ and 1M ′are usually obtained by interpolation method. The discharge equation of every type hydraulic turbine may be written as follows:H D Q Q P 211′=. (5) where 1D is the turbine-specific diameter, H is the availablehydraulic head of turbine, the specific discharge 1Q ′ can be obtained using (3).And the specific speed 1n ′in (3) can be shown by following equationH D n n /11=′. (6) where nis the rotational speed of hydro-generator unit, and the computational method of nwill be discussed in next segment.According to the theory of hydraulic turbine, the mechanical torque of hydraulic turbine t M can be written as follows:H D M M t 311′=. (7)where the specific torque 1M ′ can be obtained using (4). The mechanical torque t Min terms of the hydraulic turbine mechanical power P may be written as follows:n P M t ʌ/30=. (8)The mathematical model of hydraulic turbine should be coupled with the characteristic curves, +C and −C (as shown in(1) and (2)), of the upper and downstream conduits linked with the hydraulic turbine. The schematic diagram of turbine boundary is shown in Fig. 2.Figure 2. Schematic diagram of turbine boundaryC.Modelling of Synchronous GeneratorThe synchronous generator converts the mechanical power of the hydraulic turbine to electrical power at a specific voltage and frequency. The electric dynamics have very short time constants compared to hydrodynamics and can be ignored [8]. The mechanical equations of a rotating machine are based on the swing equation of the rotating inertia. Constant shaft speed for a given machine is maintained when there is equilibrium between the mechanical shaft and braking electrical torques. Any imbalance between the torques will cause the acceleration or deceleration of the machine according to the laws of motion of a rotating body. The swing equation may be written as follows:g t M M dtdn−=30Jπ. (9)where J is inertia torque of the machine,g M is braking electrical torque.D.Modelling of Turbine GovernorThe governor is important assistant equipment of the hydroelectric generator, it cooperates with computer monitoring system to complete hydro-generator units’ start-up, load variation, full load rejection from the grid, emergency stop and so on.As for control mode of modern turbine governor, there are commonly speed regulation, power control mode and opening control mode. And now, the parallel connection PID controller has been widely used in hydropower process control. The schematic diagram of PID controller is expressed as Fig. 3 andFig.4.f cfcY cP gP Figure 3.Schematic diagram of PID controller (a)gff cY cP gP Figure 4. Schematic diagram of PID controller (b)Contrasting the two Figs, power control mode and opening control mode in each Fig are different. In Fig. 3, the power control mode and opening control mode adopt PI control law, whereas that adopts “Integral + feedforward loop” control law in Fig. 4.When the turbine governor carry out speed regulation, frequency deviation between the frequency set point and the present frequency come into parallel proportional (P) function, integral (I) function and differential (D) function , then get across mechanical servo system. The derivative equation of speed regulation can be written as follows:¸¸¹·¨¨©§++−=+++++++x dt dx T dt x d T T yb dtdyT b T b b T dtyd T T b T T b T T b dt y d T T T b d n d p y p d p t d y d p y d t n d p y n d p 22233)()(. (9)where x is the speed relative deviation given by rcn n n x −=;p b ,t b ,d T ,n T are governor parameters.Usually, turbine governor is in power control mode tocontrol load variation of operating units. H owever, opening control mode is only a supplement control mode of power control mode. Therefore, the literature mainly analyses power control mode, the derivative equation of the control mode in Fig. 3 and Fig. 4 can be written as follows respectively:()()g c p g c d p d t y d t P P b dt P P d T b dt dyT b dt y d T T b −+−=+22, (10) ()d t P P T b b P t y dt dy T t g c d t p c y ³−⋅⋅+Δ=+01)(. (11) where c P is power set point; g P is present power. Except the aforementioned mathematical models, the mathematical models of other boundary conditions (such as surge tank, bifurcated pipe) in hydropower station system are also developed. As limited by the scope of this paper, the expressions of the mathematical models are omitted. The omitted models and the aforementioned models form the whole nonlinear dynamical model which can be solved by timedomain method that is a kind of numerical methods. On thebasis of the nonlinear dynamical model, Section III will study the different control strategies of turbine governor, in order to carry out optimum control for every hydraulic transient. III.H YDROPOWER P ROCESS C ONTROL S TRATEGY According to the regulation and control of turbine governorfor hydroelectric generator, there are three steady states of hydroelectric generator: normal operation, on-load operation,shut-down waiting state. The schematic diagram of conversionconnection of the three steady states is shown in Fig. 5.Figure 5. Schematic diagram of conversion connectionThe literature takes a hydropower station as engineering case to simulate hydro-generator units’ start-up, load variation, full load rejection from the grid and emergency stop transient processes. Conduit parameters and essence data of the hydropower station are shown as follows: nominal power600=r P MW, nominal speed 7.166=r n rad/min, nominal discharge 5.232=r Q m 3/s, nominal head 0.288=r H m 3/s, the length of the conduit 166601=L m, the length of the penstock 83.2332=L m, the area of upstream throttled surge tank 3.349=A m, the water inertia time constant 40.1=w T s, the unit inertia time constant 361.9=a T s.A.Start-up Control StrategyFast start-up and synchronization depends directly upon a good start-up algorithm. Moreover, the start-up procedure is closely linked with the network reliability, dynamic performance and economic operation. Open loop start-up rule,closed loop start-up rule and “open loop + closing loop” start-up rule are the most common start-up rules. The lecture mainlysimulates “open loop + closed loop” start-up procedure. Theprinciple of the start-up rule is shown as follows: after a start-up command is issued to the turbine governor under shut-down waiting state, the gate starts to open at maximum speed until a start-up gate opening, the gate opening stays constant until thedifference between the present frequency and the frequency setpoint 40HZ attains certain values. Then PID regulation routineis put in to regulate the gate opening and make the frequency follow the frequency set point, the frequency will reposefully attain 50H Z. When the frequency deviations, as well as the phase and voltage deviation between the unit and the network reach certain values, the generating unit can be synchronized to the network. During the start-up process, the generating unit isn’t connecting with the network, so braking electrical torque is zero, i.e.0=g M . At the phase of open loop start-up, the opening rule of the wicket gate servomotor stroke y is known.And at the phase of closed loop start-up, the value of y can beobtained using the equation of speed regulation, as shown in(9). The turbine governor parameters under no-load condition can be estimated by the value of w T and a T [9], let t b =0.3,p b =0, d T =7s, n T =0.6s. And let start-up gate 0y =0.1, wicket opening time k T =50s, to simulate start-up transient process. The simulation results are shown in Fig.6.Figure 6. Simulation results of start-up transient process The results of simulation have shown that start-up process of the hydropower station is fast and smooth. The unit speed follows its own set point very good, and the unit speed has good dynamic response, short response time, small overshoot, and fast attenuation. Therefore, the “open loop + closed loop” start-up rule is a perfect and simple start-up control mode.B.Load Control StrategyThe generating unit is connected with the network during load variation. There are two main control mode, speed regulation and power control mode, to control load variation. 1)Speed Regulation RoutineWhen the generating unit is connected with small or isolated network, or connected with large network and operating under speed regulation routine, the speed regulation routine is put in to control load variation. Let p b=0.01, tb=0.3, d T=7s, n T=0.6s, to simulate the transient process of -20% step change in load. The simulation results are shown inFig.7.Figure 7. Simulation of -20% step change in load under speed regulation The results of simulation have shown: after -20% step change in load is detected, the unit speed rises quickly with the speed overshoot only once, then the unit speed stabilizes at normal speed newly; while the power decrease quickly, finally stabilizes at power set point with a very small overshoot. The response curves in Fig.7 have small oscillation that is caused by the fluctuation in upstream surge tank after step change in load.2)Power Control ModeWhen the generating unit is connected with large network, and is controlled by automatic generation control system (AGC), the power control mode is put in to control load variation. Because the generating unit is connected with large network, we can think that the speed is normal speed and stays constant during load variation. Let p b=0.04, t b=0.3, d T=7s, to simulate the transient process of -20% step change in load.The simulation result is shown in Fig.8.Figure 8. Simulation of -20% step change in load under power control modeAs shown in Fig.8, the two parallel center lines are ±5% [9] power set point. The solid is the simulation result under “Integral + feedforward loop” control law, and the dashed is the simulation result under PI control law. Under “Integral + feedforward loop” control law, the power decrease quickly, and stabilizes in bandwidth of ±5% power set point with a very small reverse overshoot at t=18.4s. However, in contrast to the previous control law, the variation velocity of the power is slower under PI control law. Although there is no overshoot, the system response under PI control law is not very satisfactory; because the regulating time which is 112s is too long. Therefore, the “Integral + feedforward loop” control law is superior to the PI control law.C.Control Strategy of Emergency Stop and Full LoadRejection1)Emergency StopWhile the unit is on normal operation, the unit suddenly rejects full load that is caused by the fatal accident of the unit itself, then wicket gate closes rapidly, finally brings on emergency stop. During emergency stop, the generating unit has broken away the network, so braking electrical torque is zero, the wicket gate closes at maximum speed. The simulation results of emergency stop are shown in Fig.9.Figure 9. Simulation results of emergency stop transient processThe gate opening and speed curves in Fig.9 show: at the time of emergency stop, the wicket gate closes at maximum speed; at the same time, the speed rapidly rises firstly, and then the speed descends slowly.2)Full Load Rejection from the NetworkIf the unit suddenly rejects full load that is caused by other accidents, such as oil switch tripping, the wicket gate will close until no-load gate opening, and braking electrical torque is zero. Let p b=0.01ˈt b=0.3ǃd T=7sǃn T=0.6s, to simulate the transient process of full load rejection. The simulation resultsare shown in Fig.10.Figure 10. Simulation results of full load rejection from networkAfter full load rejection from the network, the wicket gate closes at maximum speed, and the speed rises rapidly, then the turbine governor traces and regulates the speed, in order to make the speed stabilizes at normal speed, finally the unit is on no-load operation. The simulations of the full load rejection have shown that both the dynamic response of speed with overshoot being≥3% only once and the regulating time satisfy the desire of specification [10].IV.C ONCLUSIONIn this paper, a whole nonlinear dynamical model of transient process in hydropower station with Francis turbine has been developed. The models vary in complexity and are meant to be used for the study of hydro turbine governing system problems of different types. And these nonlinear characteristics of hydraulic turbine and the elastic water hammer effect of pressure water supply conduit are considered in the modelling.The developed model is used to simulate different types of transient processes, such as start-up, load variation, full load rejection from the grid, and emergency stop, and to study the different control strategies of turbine governor. It could be found that the hydro-generator unit has good stability and dynamic performances under each transient process with optimal control strategy. The results of simulation and control strategies are very satisfied, it shows that the developed model is accurate enough to enable a control system designer or a plant operator to carry out accurate, economical, convenient study for the static stability and transient stability of the hydropower station, and the model is valuable.R EFERENCES[1]L. Q. Ye, “H ydropower Process Control – Theory, Application &Development,” Huazhong University of Science and Technology Press, China, 2002.[2]J. S. Chang, “Transients of H ydraulic Machine Installations,” H igherEducation Press, China, 2005.[3]H. B. Zhang, J. C. Xie, S. B. Jiao, “Study on optimum start_up rule forhydroelectric generating units,” Journal of H ydraulic Engineering, vol.35, no. 3, pp. 53-59, 2004.[4]S. P. Wei, Y. J. Wang, P. 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