第5章 平面问题和轴对称问题的有限元法

P
x
受内压的圆柱管道
长水平巷道等
5.1 平面问题基本知识
• 一、平面应变问题 • 在ANSYS中，总是将几何尺寸很大的方向制定为 中 总体坐标系的Z方向 方向， 总体坐标系的 方向，模型需要在总体坐标系的 XOY平面内建立模型，这时 方向的应变为 ，但 平面内建立模型， 方向的应变为0， 平面内建立模型 这时Z方向的应变为 存在应力； 存在应力； • 常用结构单元类型有：plane42、 plane82、 常用结构单元类型有： 、 、 plane182、 plane183等，设置单元 等 设置单元KEYOPT(3) 、 为Plane strain.
自由度约束的操作
对称(Symmetry B.C.)和反对称约束 对称 和反对称约束(Antisymm B.C.) 和反对称约束 对称边界线 建造的1/2模型 建造的 模型
F
F
建造的1/2模型 建造的 模型 对称模型
反对称边界线 反对称模型
构件对称于y-z 面时的约束 构件对称于
对称于y-z 面
把对称面考虑成 假象的镜面， 假象的镜面，构 件对着对称面来 照镜子。 照镜子。
轴对称问题力学模型
5.2 轴对称问题基本知识
• 轴对称结构体可以看成由任意 一个纵向剖面绕着纵轴旋转一 周而形成。 周而形成。此旋转轴即为对称 纵向剖面称为子午面 子午面。 轴，纵向剖面称为子午面。 • 对于轴对称问题，采用圆柱坐 对于轴对称问题， 标较为方便。 标较为方便。 • 以弹性体的对称轴为 轴，其 以弹性体的对称轴为z轴 约束及外载荷也都对称于z轴 约束及外载荷也都对称于 轴 因此弹性体内各点的各项应 ，因此弹性体内各点的各项应 力分量、 力分量、应变分量和位移分量 都与环向坐标θ无关 只是径 无关， 都与环向坐标 无关，只是径 向坐标r和轴向坐标 的函数。 和轴向坐标z的函数 向坐标 和轴向坐标 的函数。
µ
1− µ ε r 0 ε θ ε 0 z 1 − 2 µ γ rz 2(1 − µ ) 0
或记为
µ 1 1− µ σ r σ 1 E (1 − µ ) θ= σ= σ z (1 + µ )(1 − 2µ ) 对 τ rz 称
µ
1− µ 1
轴对称问题分析
• 在任何一个过 轴的子午面上的位移、应变和应力的分布 在任何一个过z轴的子午面上的位移、 轴的子午面上的位移 规律都相同。因此轴对称问题可把三维问题简化为以（ 规律都相同。因此轴对称问题可把三维问题简化为以（z ，r）为自变量的二维问题。 ）为自变量的二维问题。 • 在ANSYS程序中，轴对称模型必须在总体坐标系的 程序中， 总体坐标系的XOY 程序中 轴对称模型必须在总体坐标系的 平面的第一象限中创建，并且总体坐标系的Y就是旋转对 平面的第一象限中创建，并且总体坐标系的 就是旋转对 称轴,X轴指向径向方向 轴指向径向方向， 方向代表环向方向 方向代表环向方向； 称轴 轴指向径向方向，Z方向代表环向方向；环向位移 为0，但存在明显的环向应变和应力；仅仅承受轴向载荷 ，但存在明显的环向应变和应力； Y 不允许有负坐标。 ；不允许有负坐标。 • 求解时，施加自由度约束、压力载荷、温度约束 求解时，施加自由度约束、压力载荷、 方向加速度可以像其他非轴对称模型一样施加。 和Y方向加速度可以像其他非轴对称模型一样施加。 方向加速度可以像其他非轴对称模型一样施加
5.2 轴对称问题基本知识
一、轴对称问题的定义 如果物体的几何形状、 如果物体的几何形状、约束 几何形状 情况及所受的外力都对称于 空间的某一根轴（ 空间的某一根轴（如Z轴）， 轴 则通过该轴的任何平面都是 物体的对称面， 物体的对称面，物体内的所 应力、 有应力、应变和位移都关于 该轴对称，这类问题称为轴 该轴对称，这类问题称为轴 对称问题。 对称问题。
(a)有一个对称的例子 有一个对称的例子
(b)有二个对称的例子 有二个对称的例子
(c)有12 个对称的例子 有
(d)有无数对称的例子 有无数对称的例子
[图1 对称问题 图 对称问题]
二、 模型化 • (1)平面对称性模型 平面对称性模型 • 当分析模型的几何拓扑结构、材料分布和载荷分布同时相 当分析模型的几何拓扑结构、 对某一个平面具有对称性时，称模型相对该平面对称， 对某一个平面具有对称性时，称模型相对该平面对称，可 以建立相对该平面的1/2对称模型进行分析； 以建立相对该平面的 对称模型进行分析；当模型同时 对称模型进行分析 具有两个或更多的对称平面时，就可以建立1/4对称模型 具有两个或更多的对称平面时，就可以建立 对称模型 对称模型等。 或1/8对称模型等。 对称模型等
第5章 平面问题和轴对称问题的有限元法 5.1 平面问题基本知识 5.2 轴对称问题基本知识 5.3 具有对称性结构的分析 5.4 练习题
5.1 平面问题基本知识
• 一、平面应变问题
1. 特点： 特点： 1) z向尺寸远大于 ，y向尺寸，且与 轴垂直的各个横 向尺寸远大于x， 向尺寸 且与z轴垂直的各个横 向尺寸， 向尺寸远大于 截面尺寸都相同。 截面尺寸都相同。 2) 受有平行于横截面（x、y平面）且不沿 向变化的 受有平行于横截面（ 、 平面 且不沿z向变化的 平面） 外载荷（包括体力x、 ， ），约束条件沿 外载荷（包括体力 、y，但z=0），约束条件沿 向 ），约束条件沿z向 也不变。 也不变。即，所有内在因素和外来作用都不沿长度 变化。 变化。 y
j
z
d
Y
c
m
i i
m j
θ a b
r
O X
轴对称结构
5.2 轴对称问题基本理论
二、 基本变量和基本方程
微元体及应力分量 四个应力分量
σ = [σ r σ θ
σ z τ rz ]
T
四个应变分量
ε = [ε r
εθ
ε z γ rz ]
T
Baidu Nhomakorabea几 何 方 程
∂u ∂ ∂r ∂r ε r u 1 ε θ r =r = ε = ε z ∂w ∂ ∂z ∂z γ rz ∂u ∂w ∂ + ∂z ∂r ∂z
5.3 具有对称性结构的分析
一、 分析特征 • 一般对称性有点对称、轴对称、镜像对称、周期对称等，通 一般对称性有点对称、轴对称、镜像对称、周期对称等， 常作为有限单元法模型化处理的模型有轴对称模型 轴对称模型、 常作为有限单元法模型化处理的模型有轴对称模型、对称模 周期性对称模型。 型、反对称模型,周期性对称模型。 反对称模型 周期性对称模型 • 在有限单元法分析时，对具有对称性的变形，能利用对称性 在有限单元法分析时，对具有对称性的变形， 来制成模型。 来制成模型。 • 例如把结构几何学的对称面来隔开，如是左右对称的话，把 例如把结构几何学的对称面来隔开，如是左右对称的话， 分析模型制成单边1/2 ，对于对称面给予边界条件，也能得 分析模型制成单边 对于对称面给予边界条件， 到和用全体模型化分析情况相同的结果。 到和用全体模型化分析情况相同的结果。
0 0 u 0 v ∂ ∂r
5.2 轴对称问题基本理论 轴对称问题基本理论
二、基本变量和基本方程
物理方程
1 ε r = E [σ r − µ (σ θ + σ z )] 1 ε θ = [σ θ − µ (σ z + σ r )] E 1 ε z = [σ z − µ (σ r + σ θ )] E 1 2(1 + µ ) τ rz γ rz = G τ rz = E
O
X
常用轴对称结构单元类型： 常用轴对称结构单元类型： shell51, plane42, plane82, plane182, plane183等，设 等 置单元KEYOPT(3)为Axisymmetric (shell51本身就是 为 置单元 本身就是 轴对称壳，无需单元选项 ， 轴对称壳，无需单元选项)，单元将被指定轴对称模型进 行计算。 行计算。 ANSYS提供了轴对称模型和计算结果旋转扩展功能，使 提供了轴对称模型和计算结果旋转扩展功能， 提供了轴对称模型和计算结果旋转扩展功能 用户仅仅计算截面结果就可以获得部分或全部模型及其 结果显示。 结果显示。 Utility Menu>Plotctrls>Style>Symmetry Expansion>2D Axis-Symmetric Expansion
• (2)平面反对称性模型 平面反对称性模型 • 与对称模型类似，当分析模型的几何拓扑结构、 与对称模型类似，当分析模型的几何拓扑结构、 材料分布相对某一个平面具有对称性， 材料分布相对某一个平面具有对称性，但是载荷 分布相对该平面具有反对称性，可以建立相对该 分布相对该平面具有反对称性， 平面的1/2对称模型进行分析， 平面的 对称模型进行分析，求解时施加反对称 对称模型进行分析 位移边界条件； 位移边界条件；
5.1 平面问题基本知识
• 二、平面应力问题 • 在ANSYS中，模型需要在总体坐标系的 中 模型需要在总体坐标系的XOY平面 平面 内建立模型，这时Z方向的应力为 方向的应力为0， 内建立模型，这时 方向的应力为 ，但存在应变 ； • 常用结构单元类型有：plane42、 plane82、 常用结构单元类型有： 、 、 plane182、 plane183等，设置单元 、 等 设置单元KEYOPT(3) 为Plane stress或Plane stress with thickness 或 input.
• 在建立对称模型时，注意尽量将对称平面放置在总体坐标 在建立对称模型时， 系的某个坐标平面上， 系的某个坐标平面上，以便后处理时十分方便的进行结果 和模型的对称扩展处理。 和模型的对称扩展处理。 • 在进行对称性模型的分析时，必须指定对称平面，即明确 在进行对称性模型的分析时，必须指定对称平面， 定义对称平面上的点、 定义对称平面上的点、线、面或节点具有对称性位移边界 条件。 条件。 ANSYS提供了模型和计算结果对称扩展功能，使用户仅 提供了模型和计算结果对称扩展功能， 提供了模型和计算结果对称扩展功能 仅计算部分对称模型然后通过对称扩展获得全部模型及其 结果显示。 结果显示。 Utility Menu>Plotctrls>Style>Symmetry Expansion>Periodic/Cyclic Symmetric Expansion
首先试试构件向x 首先试试构件向x 方面移 动。 那样边界部分从假想镜面 前慢慢地出来， 前慢慢地出来，这不是镜 面映照。 面映照。 所以约束x 方向的位移。 所以约束x 方向的位移。 X 方向的位移约束 其次向y 其次向y 方向运动试试看 这样的话，没问题， ，这样的话，没问题， 边界面就能动起来， 边界面就能动起来，但是 不会从假象中的镜面滑出 来。
方向运动， 向z 方向运动，与Y方向是 同样的。 同样的。
下面绕x 轴旋转。 下面绕x 轴旋转。 这也没问题。可以知道。 这也没问题。可以知道。
使构件绕y 轴旋转， 使构件绕y 轴旋转，边界 面并不会滑出来， 面并不会滑出来，然而靠 眼前的那一侧下降另一面 则上升。 则上升。而对着镜面照映 时，另一面也必须是下降 所以绕y 的。所以绕y 轴的转角也 要约束。 要约束。 Y 轴的转角约束 轴旋转就已经知道了。 绕z 轴旋转就已经知道了。 构件因为要陷入到假象的镜 面中去，所以不约束不行。 面中去，所以不约束不行。 Z 轴的转角约束
5.1 平面问题基本知识
二、平面应力问题 1. 特点： 特点： 1) 长、宽尺寸远大于厚度 2) 沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力 沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布， 平行于板面且不沿厚度变化， 平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上 无外力作用。 无外力作用。 例如： 例如： y x