探究与发现祖暅原理与柱体椎体球体体积29页PPT
祖暅原理完整课件
祖暅原理的应用不仅仅局限于几何学领域，还可以拓展到物理学、 工程学等其他领域，为这些领域的发展提供了数学支持。
提高了数学家的思维能力
祖暅原理的证明需要较高的数学思维能力，因此它的提出也促进了 数学家思维能力的提高。
对后世数学家启示意义
重视基础概念的研究
祖暅原理的提出，强调了基础概念在数学发展中的重要性，对后世 数学家注重基础概念的研究产生了积极的影响。
主要贡献
祖暅在数学方面的主要贡献包括提出祖暅原理，即等高处横截面积相等的两个 立体，其体积也必然相等。这一原理在解决一些复杂的几何问题时具有重要的 作用。
南北朝时期数学发展概况
南北朝时期数学发展背景
南北朝时期是中国古代数学发展的重要阶段，这一时期的数 学家们在继承和发扬前人成果的基础上，取得了许多新的突 破和进展。
如何运用祖暅原理解决实际问题？解决方案：结合实际问题进行分析和讲解，引导学生掌握运用祖暅原理解 决实际问题的思路和方法；同时加强练习和巩固，提高学生的解题能力。
难点三
如何在现代数学视角下重新审视祖暅原理？解决方案：介绍现代数学中的相关概念和性质，引导学生了解祖 暅原理在现代数学中的地位和作用；同时鼓励学生进行探究和创新，发现新的证明方法和应用领域。
祖暅原理完整课件
contents
目录
• 祖暅简介与历史背景 • 祖暅原理内容及表述方式 • 祖暅原理证明方法及过程剖析 • 祖暅原理在几何学中应用举例 • 祖暅原理对数学发展影响及评价 • 跨学科视角下的祖暅原理思考
01
祖暅简介与历史背景
祖暅生平及主要贡献
祖暅生平
祖暅是南北朝时期著名的数学家和天文学家，他的一生致力于数学和天文学的 研究，为后世留下了宝贵的学术遗产。
人教A版课标版必修探究与发现 祖暅原理与柱体椎体球体的体积PPT文档27页
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
人教A版课标版必修探究与发现 祖暅 原理与柱体椎体球体的体积
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
Байду номын сангаас
祖暅原理与几何体的体积ppt课件
【概念生成】 1.祖暅原理 (1) “幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果 被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积 总相等, 那么这两个几 何体的体积一定 相等” . (2) 作用: 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积 相等.
2.柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S ′ 、S分别表示上、下底面的面积,h表示高, r ′ 和r 分别表示上、下底面 圆的半径,R表示球的半径.
(1)利用转换底面以便于找到几何体的高,从而求出几何体的体积. (2)利用等体积法可求点到平面的距离.
【定向训练】
如 图 所 示 , 已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1 , 且AA1⊥底面ABC,则三棱
锥B1-ABC1的体积为
.
【解析】三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积,三棱锥A-B1BC1 的高为 , 底面积为 , 故其体积为
【定向训练】 若一圆柱与圆锥的高相等, 且轴截面面积也相等, 那么圆柱与圆锥的体积之
比为 ( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选D.设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r , 高都为h,由已知得2Rh=rh,
所以r=2R.
故V柱∶V锥=πR2h∶ πr2h= .
探究点二 等体积法的应用 【典例2】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,求 三棱锥A-DED1的体积.
1.若一个球的表面积为4 π , 则这个球的体积是 ( )
【解析】选B.设球的半径为R,则4πR2=4π,解得R=1,于是 V= πR3= .
2.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图
高一数学 祖暅原理 ppt
高考数学公开课祖暅原理ppt课件(2024)
在解答学生问题的过程中，教师可以适当提出拓展问题，引导学生 进行更深入的讨论和思考。
20
学生分享学习心得环节
分享学习经验
邀请已经掌握祖暅原理的学生分 享他们的学习经验和方法，帮助 其他同学更好地理解和掌握。
交流学习感悟
鼓励学生分享自己在学习祖暅原 理过程中的感悟和体会，促进彼 此之间的情感交流和学习动力。
2024/1/29
该原理给出了判断两个几何体体积相等的一个充分条件，为求解一些复杂几何体的体积提供了有效方法 。
5
祖暅原理意义
2024/1/29
01
祖暅原理在立体几何中具有重要地位，为解决许多 复杂几何问题提供了有力工具。
02
该原理体现了数学中的转化与化归思想，即通过转 化问题的形式或构造新的图形来简化问题。
12
例题二：利用祖暅原理证明不等式问题
解析
我们可以将函数$f(x)$和$g(x)$的图像分别视为两个几 何体的侧面，然后通过比较这两个几何体的体积来证 明不等式。
2024/1/29
解答
设函数$f(x)$和$g(x)$的图像分别与直线$x = 0$、$x = 1$及$x$轴所围成的几何体的体积分别为$V_f$和 $V_g$。根据祖暅原理，如果两个几何体在等高处的截 面积相等，则它们的体积相等。因此，我们可以通过比 较两个几何体在等高处的截面积来证明不等式。在距离 底面高度为$y$处，函数$f(x)$的截面积为$sqrt{y}$， 函数$g(x)$的截面积为$sqrt[3]{y^2}$。由于$sqrt{y} leq sqrt[3]{y^2}$，所以两个几何体在等高处的截面 积满足$sqrt{y} leq sqrt[3]{y^2}$。根据祖暅原理，我 们得到$V_f leq V_g$，即当$x in [0,1]$时，有$f(x) leq g(x)$。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_6
思考 我们怎样求一个小球的体积？
排水 法
V V 球
排开水
H h
如何求地球的体积呢？
祖暅原理
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
幂势即同, 积不容异
思考:利用此原理如何得到球的体积公式?
高与底面半径均为R的旋转体体积对比
3
2
答：球O的体积为 3 a3.
2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B
O C1
B1
C B O
C1
B1
深入探究
若正方体的棱长为a，则
a
3a
2a
D A
C
D
D
B
A
CA
B
D1 A1
C1 A1 B1
D1 B1
C1
D1
ห้องสมุดไป่ตู้
A1
C B
C1 B1
学以致用
已知地球的赤道长40075.24千米，能否求出 地球的体积？(假设地球是一个标准的球体）
3
球的体积计算公式：
V球
4
3
R3
实验
V半球 V圆柱 V圆锥
2 R3
3
结论
A
R
O
半径为R的球的体积是
V 4 R3
3
例题讲解
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的 直径，求球的体积与圆柱体积之比.
分析：球内切于圆柱
解：设球的半径为R
V球 V圆柱
4 R3
3
R2 2R
2 3
必修2 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积(共30张PPT)
1 Ｖ圆台＝ 3 πh
(r r 1r 2 r 2 )
2 1
2
反思感悟
问题8：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
S 0 1 1 V Sh S S V ( S S S S )h V Sh 3 3 S为底面面积， S为底面面积， S，S’分别为上、下 h为柱体高 h为锥体高 底面面积，h 为台体 高
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
例1：如图，在长方体 ABCD ABC D 中， 截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩 余部分的体积之比。 D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD' A' BCC ' B '
设它的底面 ADD A 面积为S，高为h， 则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A' DD'
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ? 等底面积等高的 任意两个锥体的 体积相等
+
A’ B’
C’
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
2. 计算如图半球在高度h处的截面面积 R h R
祖暅原理运用
球的体积的推导在中学教材中是构造性证 明的典范，也是我国古代数学的杰出成就之一。 在中学教材中对其有详细的推导过程，但如果 我们只停留在球的体积推导上面，那么这种构 造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发 挥。所以请思考如下问题：
祖暅原理运用
祖暅原理运用
祖暅原理运用
小结：上述推导方法其实是球的体积推导方法的“重演”。这实 质上是一种同化性迁移。它是在不改变原有知识结构的前提下， 直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中去，从而直接完 成迁移。在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性，从而 在实质认同的基础上实现本质类化。
祖暅原理运用
锥的体积事实上对于一个任意的锥体设它的底面积为s高为h那么锥体的体积等于三分之一的底乘高球的体积我们不妨研究半球半径为r的体积用平行于底面且与底面的距离为l的平面截半球所得的圆面半径为r球的体积我们取一个底面半径和高都为r的圆柱从圆柱中间挖去一个圆锥圆锥的顶点为圆柱下底面的圆心底面为圆柱的上底面
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
研究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积［教课内容、地位］在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步研究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；经过模型演示，利用祖暅原理，推行到柱、锥、球体的体积计算 . 经过学习，使学生感觉几何体体积的求解过程，初步认识解决空间几何体问题的思想方法 , 逐渐提升解决空间几何体问题的能力。
［教课编排依照］主假如从学生获取知识按照“从特别到一般，由浅入深，由易到难，顺序渐进”的原则出发，切合学生的认知水平易接受能力 . 教课目的确实定（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，领会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；领会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特别到一般，从一般到特别的概括演绎的数学思想方法是学习数学观点的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；（4）经过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成就，激发学生的民族骄傲感，提升学生学习数学的兴趣 . 拓展爱国主义感情教育，3、教课的要点、难点（1）柱体、锥体、球体的体积公式的研究（2）学生研究能力的培育二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，研究实质事例。
教法：1、为了培育学生自主学习的能力以及使得不一样层次的学生都能获取相应的知足 . 所以本节课采纳研究性教课 .2、依据本节课的特色也为了给学生的数学研究与数学思想供给支持.学法：为了发挥学生的主观能动性，提升学生的综合能力，确立了研究性学习法：经过剖析、研究得出柱体、锥体、球体的体积公式；四、教课过程1、教课思路由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其构造图以下：体积观点祖暅原理长方体的体积转化根据柱的体积三棱柱锥为分解为化为柱代表锥锥之差球的体积锥的体积2、事例设计Ⅰ导入课题回首已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并提问：这些公式怎么来的?（设计企图：让学生产生疑问，带着疑问主动的研究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）Ⅱ研究新知1、祖暅原理的引入经过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式供给理论基础课件名称：祖暅原理．课件运转环境：几何画板 4.0 以上版本．课件主要功能：配合教科书“研究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”的教课，说明几何体等体积变换的依照．课件制作过程：（ 1）新建画板窗口．如图1，按住 Shift 键，用【画直线】画 4 条直线 AB， CD ，EF ，GH（分别是直线j， k， l ， m）．图 1（2）在直线 j 上画两点 I， J．（3）在直线上画一点 K，在直线 l 上画两点 L ， M，在直线 m 上画两点 N，O．（4）画线段 KL， LN， NO，OM ， MK ．（ 5）在直线 k，l 之间画一条直线PQ（直线 r）．在直线 l ，m 之间画直线RS（直线 s）．（ 6）作出线段 KL 与直线 r 的交点 T．相同作出线段 KM 与直线 r 的交点 U，线段 LN 与直线s 的交点 V，线段 OM 与直线 s 的交点 W．（7）在直线 k， r ，l ， s， m 上分别画一点 X，Y， Z，A1， B1．（8）标志向量TU．依向量TU平移点Y获取Y．相同，标志向量LM，依向量LM平移点 Z 获取 Z ；标志向量VW，依向量VW平移点A1获取 A1；标志向量NO ，依向量VW 平移点 B1获取B1．（ 9）挨次选择点K，L，N，O，M，按Ctrl+P ，填补五边形KLNOM ，实时单击【 Measure】（胸怀）菜单中的【Area】，胸怀出它的面积，如“面积p1 3.93cm2”．（ 10）近似于上一步，用【选择】工具按序选择点X，Y，Z，A1，B1，B1， A1， Z，Y，按 Ctrl+L ，获取一个凹九边形．（11）用【选择】工具按序选择点 X，Y， Z，A1，B1，B1，A1，Z，Y，并单击【Construct 】（作图）菜单中的【 Polygon Interior 】（多边形内部）给这个凹九边形内部填补，实时单击【 Measure】菜单中的【 Area 】，胸怀出凹九边形的面积，如“面积p2 3.93cm2”．（ 12）如图 2，用【画点】工具在直线j 上画一点C1（位于点J 的左侧）．过点C1作出直线 j 的垂线（直线a）．用【选择】工具作出直线 a 与直线 k 的交点D1．图 2（ 13）双击点I，把点I 标志为缩放中心．选中五边形KLNOM （边与极点）及其内部，并单击【Transform 】（变换）菜单中的【Dilate 】（缩放），弹出对话框，把缩放改为1： 3，单击【Dilate 】，获取一个小的五边形KLNOM．选择它的内部，并单击【Measure】菜单中的【Area】，胸怀出它的面积，“面积p10.44cm2”．（14）用【选择】工具双击点 J，把点 J 标志为缩放中心．选中凹九边形（边与极点）及其内部，并单击【 Transform 】菜单中的【 Dilate 】．相同，以 1：3 缩放获取一个小的凹九边形，胸怀出它的面积“面积 p20.44 cm2”．（ 15）画直线K X，获取直线b，作出直线 b 与直线 a 的交点E1．（16）用【画线段】工具把点E1和D1用线段连接起来．（17）在线段E1D1上画点F1，用【画线段】工具作出线段F1C1（线段 c），C1E1（线段 d）．（18）先后选择线段 c，d，并单击【 Transform 】菜单中的【 Mark Segment Ratio 】（标志线段比）标志为 c/d．（ 19）用【选择】工具双击点I ，把点 I 标志为缩放中心．选择五边形KLNOM （边与极点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】，弹出对话框，单击【Dilate 】，如图3，获取一个小的五边形K LNOM．选择它的内部，并单击【Measure】菜单中的【Area 】，胸怀出它的面积，“面积p1 1.70cm2”．图 3（ 20）近似地，也把凹九边形及其内部按相同的缩放比对于中心点J 缩放，胸怀缩放后的对象的面积“面积p2 1.70cm2”．（ 21）画线段KK , LL , NN , OO , MM，作出一个五棱台．（ 22）画线段XX , YY ,...，作出右侧的凹九棱台．2．研究柱体的体积公式III. 拓展爱国主义感情教育祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一同圆满解决了球面积的计算问题，获取正确的体积公式。
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积共31页
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
探究与发现祖暅原理与柱体、 椎体、球体的体积
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
祖暅原理与柱体锥体的体积说课课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3Part three
教学目标
3 教学目标
1．借助实物演示，经历从平面图形面积研究推广到空间几何体体 积研究的探究过程，发现、归纳出祖暅原理，增强类比分析、归纳概括 能力，提升数学抽象素养，激发学生探究数学的兴趣；
2．运用祖暅原理推导柱体、锥体体积公式，经历从特殊到一般的 数学归纳演绎过程，认识柱体、锥体的体积公式，体会转化与化归思想， 提升直观想象、逻辑推理素养；
6Part six
教学评价
6 教学评价 课堂：
课后：
7Part seven
设计理念
7 设计理念
2.“学——教——评”一致性
1
2
教学环节1 教学环节2
教学环节3 问题链
教学环节3
思考4 课后作业检测
3
教学环节4 教学环节5
思考6
7 设计理念 真学习 提高 “四能”、发展核心素养
真探究
真发现
普通高中教科书（人教A版）数学必修第二册第八章
祖暅原理与柱体、锥体的体积
说课流程
教材分析
教学目标
教学过程
设计理念
1
2
3
4
5
6
7
学情分析
教法学法
教学评价
1Part one
教材分析
1 教材分析
1 教材地位与作用 探究与发现内容
知识内容 思想方法
提高“四能” 奠定后续高数学习基础
1 教材分析
2 内容解析
3．能用祖暅原理求解不规则几何体的体积，经历由实际问题推导 出祖暅原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于实际、服 务于实际的道理，体验发现数学、探究数学的过程，提升数学建模素养。