上海市中考数学二模填空题18题压轴题

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2020上海初三数学各区二模填空压轴第18题集合

2020上海各区二模填空18题2020徐汇二模182020青浦二模182020虹口二模182020宝山二模182020普陀二模182020崇明二模182020黄浦二模1818．已知⊙O 的直径AB ＝4，⊙D 与半径为1的⊙C 外切，且⊙C 与⊙D 均与直径AB 相切、与⊙O 内切，那么⊙D的半径是． 2020金山18.如图，在ABC ∆中，∠C =90°，AC =3，BC =4，把ABC ∆绕C 点旋转得到A B C '''∆，其中点A '在线段AB 上，那么A B B ''∠的正切值等于_________2020浦东二模1818.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 边上一点，沿直线AD 翻折ABD △，点B 落在点E 处，如果45ABE ∠=︒，那么BD 的长为__________．2020杨浦二模1818．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90︒得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是．CB A（第18题AB CD 第18题图图3 D A B C 2020闵行二模1818.如图，已知在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．联结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于______．2020松江二模1818. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D的对应点分别为A′、D′, 如果直线A′D′与⊙O 相切，那么的值为 .2020静安二模1818．如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，DC =AD ，∠B 是锐角，125cot =B ，AB =17．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么△BCE 的周长为．2020嘉定二模1818.定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足βα∠=∠2，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”.如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 .2020奉贤二模1818．如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将△BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么∠CAE 的度数是AB BC C O BA D （第18题图）2020长宁二模18。

2018上海中考数学二模压轴题详解

如图1，已知平行四边形ABCD 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝45°．将△ABC 沿着AC 翻折，点B 落在点E 处，联结DE ，那么DE AC的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江18”，可以体验到，△ACH 是等腰直角三角形，DE 与AC 平行．答案 1．思路如下：如图2，设CE 与AD 交于点H ．由∠ACB ＝45°，可知∠BCE ＝90°．所以△ACH 是等腰直角三角形．所以===CE CB CA CH CH CH 1=EH CH．由△EAC ≌△BAC ≌△DCA ，可知A 、D 两点到AC 的距离相等．所以DE //AC ．所以1==DE EH AC CH ．图2如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋b x 的顶点为C (1,－1)，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线于点B ，直线CP 交x 轴于点A ．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，使用m 的代数式表示线段BC 的长；（3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江24”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积比等于PH 与CE 的比．思路点拨1．函数的解析式中待定两个系数，需要知道两个点的坐标．看似缺少条件，其实解析式中隐含了抛物线经过原点．2．△ABP 与△ABC 是同高三角形，面积相等时高也相等．图文解析（1）设抛物线的顶点式为y ＝a (x －1)2－1＝ax 2－2ax ＋a －1．对照y ＝ax 2＋b x ，根据常数项相等，得a －1＝0．所以a ＝1．所以抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－1＝x 2－2x ．（2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ，设对称轴与x 轴交于点E ，那么E (1, 0)．已知点P 的横坐标为m ，那么PH ＝m 2－2m ．由=BE PH OE OH ，得221-=BE m m m．所以BE ＝m －2．所以BC ＝BE ＋EC ＝m －2＋1＝m －1．图2 图3（3）如图3，因为△ABP 与△ABC 是同高三角形，当它们的面积相等时，底边AP ＝AC ．此时PH ＝CE ＝1．所以点P 的纵坐标为1．解方程m 2－2m ＝1，得1=m当1=m 时，PH ＝m 2－2m ＝m (m －2)＝1)＝1．所以点P 的坐标是(1．考点伸展第（3）题可以从不同的角度认识△ABP 和△ABC ．例如，如图3，当△ABP 与△ABC 的面积相等时，△PBC 是△ABC 面积的2倍，这两个三角形有公共底边BC ，所以高EH 是高EA 的2倍．于是得到A 是EH 的中点，进一步得到P 、C 两点的纵坐标互为相反数．再如，把BA 看作△ABP 与△ABC 的公共底边，那么P 、C 两点到直线BA 的距离相等．由于两条高是平行且相等的，这样也可以得到A 是PC 的中点．例 2018年上海市松江区中考模拟第25题如图1，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，过点A 作AE //CD ，交BC 的延长线于点E ．（1）求CE 的长；（2）P 是CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q ．①如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；②如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“18松江25”，拖动点P 在CE 的延长线上运动，可以体验到，⊙A 与⊙C 可以内切，不可能外切．思路点拨1．图形中A 、B 、C 、D 、E 等5个点都是确定的，因此图1中所有线段和角都是确定的．因为点P 而动的线段CP 、EP 、AP 、AQ ，都可以用CP ＝x 来表示．2．如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠P ＝∠ACQ ＝∠CAE 也是确定的．3．对于⊙A 与⊙C ，⊙C 的半径和圆心距是确定的，如果两圆相切，⊙A 的半径AQ 就是确定的．图文解析（1）如图2，由DC //AE ，得 DC BC AE BE．因为DC ＝BC ，所以AE ＝BE ．设CE ＝m ，那么在Rt △ACE 中，AE ＝BE ＝2＋m ，AC ＝3．由勾股定理，得(2＋m )2＝32＋m 2．解得CE ＝m ＝54．图2 图3（2）①如图2，在Rt △ACE 中，CE ＝54，AC ＝3，所以tan ∠CAE ＝512．如图3，如果△ACQ ∽△CPQ ，那么∠ACQ ＝∠P ．又因为∠ACQ ＝∠CAE ，所以∠P ＝∠CAE ．在Rt △ACP 中，tan ∠P ＝AC CP ＝512，所以CP ＝125AC ＝365． ②对于⊙A ，r A ＝AQ ；对于⊙C ，r C ＝2；圆心距d ＝AC ＝3．当⊙A 与⊙C 内切时，AQ －2＝3，此时AQ ＝5．当⊙A 与⊙C 外切时，AQ ＋2＝3，此时AQ ＝1．如图3，在Rt △ACP 中，AC ＝3，设CP ＝x ，那么AP如图4，由DC //AE ，得555()4445==÷-=-AQ EC x AP EP x ．当AQ ＝5545=-x 45=-x ．整理，得15x 2－40x ＋16＝0．解得1 2.18=≈x （如图5所示），20.49=≈x （舍去）．当AQ ＝1545=-x ．所以45=-x ．整理，得9x 2＋40x ＋200＝0．此方程无实数根，所以⊙A 与⊙C 不可能外切．图4 图5考点伸展第（1）题求CE 的长，还可以这样解：如图6，设⊙C 的直径为BF ，那么∠B 是等腰三角形ABF 的底角．如图7，∠B 是等腰三角形CBD 和等腰三角形EBA 的公共底角．这三个等腰三角形两两相似．由=BA BF BE BA ，得2134==BA BE BF ．所以CE ＝BE －BC ＝1324-＝54．图6 图7如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于_________．动感体验请打开几何画板文件名“18长宁17”，拖动点C在以AB为直径的半圆O上运动，可以体验到，半高三角形有两种情况，一是等腰直角三角形，二是两条直角边的比为1∶2．答案如图1，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CO是斜边上的中线，那么CO＝12AB＝52为定值．当CD＝12AB时，CD与CO重合，△ABC是等腰直角三角形（如图2所示）．此时△ABC的周长为5+．如图2，当AC＝2BC时，设AC＝2m，BC＝m，由勾股定理，得5m2＝52．解得m ABC的周长为5+图1 图2 图3如图1，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD 上一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁18”，拖动点A 可以改变矩形ABCD 的形状，但是对角线BD 保持不变，可以体验到，△BCP 和△ECP 关于CP 保持对称，当EP //AB 时，∠CED ＝∠ABD ．答案 12．思路如下：已知BD ＝1，设AB ＝x ，那么AD EC ＝BC ＝AD如图2，当EP //AB 时，∠DEP ＝90°．根据等角的余角相等，∠CED ＝∠ABD ．如图3，如图4，由sin ∠CED ＝sin ∠ABD ，得=DC AD EC BD．1=．整理，得x 2＋x －1＝0．解得12-=x ．图2 图3 图4如图1，在直角坐标平面内，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结DC ，求△ACD 的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18长宁24”，可以体验到，△ACD 是直角三角形．拖动点P 在直线CD 上运动，可以体验到，△OCP 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．第（2）题先证明△ACD 是直角三角形，再计算面积比较方便．2．第（3）题首先要发现并证明△OCP 与△ABC 中一组相等的角，然后根据两边对应成比例分两种情况列方程．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于B (－1, 0)、C (3, 0)两点，所以y ＝a (x ＋1)(x －3)．对照y ＝ax 2＋bx －3，根据常数项相等，得－3a ＝－3．解得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4．顶点为D (1,－4)．（2）如图2，由A (0,－3)、C (3, 0)、D (1,－4)，可得AC 2＝18，AD 2＝2，CD 2＝20．所以CD 2＝AC 2＋AD 2．所以△ACD 是直角三角形，∠CAD ＝90°．所以S △ACD ＝12⋅AC AD 3．图2 图3 图4（3）第一步，先探求∠OCD ＝∠BAC ．如图3，由C (3, 0)、D (1,－4)，可得tan ∠DCO ＝42＝2．如图4，作BH ⊥AC 于H ．由OA ＝OC ，得AC ＝C ＝45°．在等腰直角三角形BCH 中，BC ＝4，所以BH ＝CH ＝在Rt △BAH 中，AH ＝tan ∠BAC ＝BHAH ＝2．所以∠OCD ＝∠BAC ．第二步，当点P 在射线CD 上时，∠OCP ＝∠BAC ，分两种情况讨论相似．如图5，作PM ⊥x 轴于M ，那么CM ＝5，PM ＝2CM ．①当=CP ABCO AC 时，3CP CP 此时CM ＝1，PM ＝2．所以P (2,－2)（如图6所示）．②当=CP ACCO AB 时，3CP CP ．此时CM ＝95，PM ＝185．所以OM ＝935-＝65，P 618(,)55-（如图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题求△ACD 的面积方法多样．例如，如图8，用梯形ONDC 的面积减去直角三角形AOC 和直角三角形AND 的面积．再如，如图9，DF 把△ACD 分割为两个三角形，DF 是公共底边，高的和等于OC ．还可以由∠OAC ＝∠DAN ＝45°，先证明直角三角形ACD ，再计算面积．图8 图9例 2018年上海市长宁区中考模拟第25题在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD ．已知圆O 的半径长为5，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图2，设AC ＝x ，△△ACO OBDS S ＝y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18长宁25”，拖动点C 在AB 上运动，可以体验到，△AOC 与△OBC 是同高三角形，△OBD 与△OBC 也是同高三角形．还可以体验到，四边形AOBD 的两组对边各有一个时刻平行．思路点拨1．圆中已知定弦，一般先求弦心距．2．在△ACO 个△OBD 之间，找一个相关联的△OBC ．3．按照对边平行，分两种情况讨论梯形AOBD ．图文解析（1）如图3，当点D 是弧AB 的中点时，OD 垂直平分弦AB ，垂足为C ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝4，所以OC ＝3．此时CD ＝OD －OC ＝5－3＝2．图3 图4 图5（2）如图5，△ACO 和△OBD 都可以与△OBC 相关联．第一步，用x 表示OC 的长．如图4，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝3，CH ＝4－x ，所以OC第二步，如图5，因为△△ACO OBC S S ＝AC BC ＝8-x x ，△△OBD OBC S S ＝OD OC，所以y ＝△△ACO OBD S S ＝△△△△÷ACO OBD OBC OBC S S S S＝8-x x定义域是0＜x ＜8．（3）如图6，延长BO 交圆于点E ，那么BE 是圆的直径，AE ＝2OH ＝6．情形1，如图6，如果OA //BD ，那么∠DBA ＝∠BAO ＝∠ABO ．根据相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，此时AD ＝AE ＝6．情形2，如图7，如果AD //BO ，那么四边形ADBE 是等腰梯形．作AM ⊥BE 于M ，作DN ⊥BE 于N ，那么AD ＝MN ．在Rt △AEM 中，AE ＝6，cos ∠E ＝35，所以EM ＝35AE ＝185．此时AD ＝MN ＝BE －2EM ＝181025-⨯＝145．图6 图7 图8考点伸展第（2）题也可以用面积公式求△ACO 的面积，用割补法求△OBD 的面积．如图8，△OBC 和△DBC 的公共底边为BC ，高OH ＝3，求高DG 也要先用x 表示OC 的长，再根据相似比求得DG 的长．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A 为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r的取值范围是______．动感体验请打开几何画板文件名“18崇明17”，拖动点E在AB上运动，可以体验到，⊙C的半径CF＝AC－AE．答案8≤r＜13．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，所以AC＝13．如果⊙C与⊙A外切于点F，那么⊙C的半径r＝CF＝AC－AE＝13－AE．因为0＜AE≤5，所以8≤r＜13．图1如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，联结CE ，那么线段CE 的长等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明18”，可以体验到，A 、B 、C 、E 四点在以AB 为直径的圆D 上，四边形AEDB 是轴对称图形，可以计算得到对角线EB 的长，进而在直角三角形ECB 中得到CE 的长．答案如图2，在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10．在△ABD 中，DA ＝DB ＝5，AB ＝6，容易得到S △ABD ＝12．所以S 四边形AEDB ＝24．再由S 四边形AEDB ＝12⋅AD EB ＝52EB ＝24，得EB ＝485．如图3，在Rt △ECB 中，CE 2＝CB 2－EB 2＝224810()5-＝225048()()55-＝2221()(5048)5⨯-＝21()9825⨯⨯＝21()4945⨯⨯．所以CE ＝1725⨯⨯＝145．图2 图3如图1，已知抛物线经过点A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)．（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明24”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△AHP 与△APG保持相似．直角三角形AHP的两条直角边的比可以为1∶3，也可以为3∶1．思路点拨1．第（1）题设抛物线的一般式列三元一次方程组比较方便．2．第（2）题先证明△ABC是直角三角形，用勾股定理的逆定理书写起来比较方便．3．第（3）题根据相似三角形的传递性，过点P作y轴的垂线段PH，转化为△AHP与△ABC相似的问题．4．根据直角边对应成比例，分两种情况讨论△AHP与△ABC相似．图文解析（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c．将A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)分别代入，得3,1641, 930.=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ca b ca b c解得12=a，52=-b，c＝3．所以215322=-+y x x．（2）如图2，由A(0, 3)、B(4, 1)、C(3, 0)，得AC2＝18，BC2＝2，AB2＝20．所以AC2＋BC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．所以tan∠BAC＝BCAC13．图2（3）设点P 的坐标为215(,3)22-+x x x ．如图3，作PH ⊥y 轴于H ，那么△AHP ∽△APG ．如果△APG 与△ABC 相似，那么△AHP 与△ABC 也相似．分两种情况讨论△AHP 与△ABC 相似：①如图4，当3==HA CAHP CB 时，3=HA HP ．解方程21533322-+-=x x x ，得x ＝11，或x ＝0．此时P (11, 36)．②如图5，当13==HA CA HP CB 时，13=HA HP ．解方程215133223-+-=x x x ，得x ＝173，或x ＝0．此时P 1726(,)33．图3 图4 图5考点伸展如果第（3）题求点G 的坐标，也需要先求点P 的坐标．如图4，HG ＝13HP ＝113，此时OG ＝y P ＋HG ＝11363+＝1193．所以G 119(0,)3．如图5，HG ＝3HP ＝17，此时OG ＝y P ＋HG ＝26173+＝773．所以G 77(0,)3．例 2018年上海市崇明区中考模拟第25题如图1，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC边上一点，且AB2＝AD·AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠C，AE与BD相交于点G．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）联结FG，当△GEF是等腰三角形时，求BE的长度．图1动感体验请打开几何画板文件名“18崇明25”，可以体验到，在等腰三角形ANC中，有一个“一线三等角”模型．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点E在BC运动，可以体验到，△GEF的每个顶点都可以落在对边的垂直平分线上．思路点拨1．第（1）题是典型的“平分＋平行”模型，过点A作BC的平行线交于BD的延长线于M，通过计算得到AM＝AB．2．第（2）题如果想到了“一线三等角”，就构造一个等腰△ANC，问题迎刃而解．3．第（3）题的△GEF中，cos∠GEF是定值，设法用x表示夹∠GEF的两条边，然后分三种情况列方程．图文解析（1）由AB2＝AD·AC，得26416123===ABADAC．所以1641239=÷=ADAC．所以45=ADCD．如图2，过点A作BC的平行线交BD的延长线于点M，那么45==AM ADBC CD．所以AM＝45BC＝8．所以AM＝AB．所以∠M＝∠ABM．图2 又因为∠M＝MBC，所以∠ABM＝∠MBC，即BD平分∠ABC．（2）第一段，如图3，作AH⊥BC于H，设BH＝m，那么CH＝10－m．由勾股定理，得AB2－BH2＝AC2－CH2．所以82－m2＝122－(10－m)2．解得m＝1．因此cos ∠C ＝93124==CH AC ．第二段，如图3，以AH 为对称轴，构造等腰三角形ANC ，那么NB ＝8．第三段，如图4，由∠AEC ＝∠N ＋∠NAE ，∠AEC ＝∠AEF ＋∠CEF ，∠N ＝∠C ＝ ∠AEF ，可得∠NAE ＝∠CEF ．又因为∠N ＝∠C ，所以△ANE ∽△ECF ．所以=AN EC NE CF ．所以12108-=+xx y．整理，得280212+-=x x y ．定义域是0＜x ＜10．图3 图4（3）如图5，在△GEF 中，∠GEF 是定值，cos ∠GEF ＝cos ∠C ＝34．第一步，用x 表示EG 、EF ．如图6，由8==EG BE x AG AM ，得8==+EGBE xAE AM x．所以8=+xEG AE x．如图4，由△ANE ∽△ECF ，得1012-==EFEC xAEAN ．所以1012-=xEF AE ．图5 图6第二步，分三种情况讨论等腰三角形GEF ． ①如图7所示，当EF ＝EG 时，10812-=+x x AE AE x ．整理，得x 2＋10x －80＝0．解得5=-x ．此时BE 5． ②如图8所示，当GE ＝GF 时，1324=EF EG ．所以131028412-⨯=⨯+x xx ．整理，得x 2＋16x －80＝0．解得x ＝4，或x ＝－20．此时BE ＝4． ③如图9所示，当FE ＝FG 时，1324=EG EF ．所以110321248-⨯=⨯+x xx．整理，得x 2－6x －80＝0．解得3=-x BE 3图7 图8 图9考点伸展第（1）题也可以这样思考：如图10，已知△ABC 的三边，由AB 2＝AD ·AC ，可以求得AD 的长，也可以得到△ABD ∽△ACB ．再根据对应边成比例，求得DB 的长，得到DB ＝DC ，得到∠DBC ＝∠C ．经过等量代换，得到∠ABD ＝∠DBC ．但是这个解法对第（2）、（3）题的帮助不大．图10如图1，点A、B在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC的度数为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定17”，可以体验到，四边形OABC是菱形，△OAB是等边三角形．答案120°．思路如下：如图2，由弦AC与半径OB互相平分，可知四边形OABC是平行四边形．由OA＝OC，得平行四边形OABC是菱形．如图3，由OA＝OB＝AB，得△OAB是等边三角形．于是可得∠AOC＝120°．图2 图3如图1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 在边AB 上，且∠BDC ＝90°．如果△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D 1，那么线段DD 1的长为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定18”，拖动点C 1绕点A 旋转，可以体验到，△ACC 1与△ADD 1保持相似．答案4225．思路如下：如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么BH ＝CH ＝3．所以cos ∠B ＝BHAB＝35．在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·cos ∠B ＝365⨯＝185．所以AD ＝1855-＝75．如图3，由△ADD 1∽△ACC 1，得11=AD ACDD CC ．如图4，当C 1与B 重合时，17556=DD ．此时DD 1＝4225．图2 图3 图4例 2018年上海市嘉定区中考模拟第24题已知平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋m 经过点A (－4, 0)和点B (n , 3)．（1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，该抛物线的顶点为P ，求sin ∠ABP 的值；（3）设点Q 在直线y ＝x ＋m 上，且在第一象限内，直线y ＝x ＋m 与y 轴的交点为D ，如果∠AQO ＝∠DOB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定24”，可以体验到，△ABP 是直角三角形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，△BOD ∽△BQO ．思路点拨1．第（2）题求sin ∠ABP 的值，可以先求tan ∠ABP 的值．如果准确描出A 、B 、P 三点的位置，答案就在图形中．2．第（3）题先根据题意画出示意图，如果能根据∠AQO ＝∠DOB ，发现相似三角形，那么就可以确定BQ 的长，进而求得点Q 的坐标．图文解析（1）将点A (－4, 0)代入y ＝x ＋m ，得－4＋m ＝0．解得m ＝4．将点B (n , 3)代入y ＝x ＋4，得n ＋4＝3．解得n ＝－1．（2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－4, 0)，可设y ＝(x ＋4)(x －x 2)．代入点B (－1, 3)，得3＝3(－1－x 2)．解得x 2＝－2．所以y ＝(x ＋4)(x ＋2)＝x 2＋6x ＋8＝(x ＋3)2－1．顶点为P (－3,－1)．如图2，由A (－4, 0)、B (－1, 3)、P (－3,－1)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是3，A 、P 两点间的水平距离和竖直距离都是1，所以∠BAO ＝∠P AO＝45°，AB ＝AP所以在Rt △ABP 中，tan ∠ABP ＝AP AB ＝13．所以sin ∠ABP 图2（3）如图3，由y ＝x ＋4，得D (0, 4)．再由B (－1, 3)，得BO 2＝10，BD 如果∠AQO ＝∠DOB ，那么△BOD ∽△BQO ．所以=BO BQBD BO ．所以2===BO BQ BD 所以B 、Q 两点间的水平距离和竖直距离都等于5．所以Q (4, 8)．图3 图4考点伸展第（3）题也可以用等角的正切值相等来解．如图4，作BF ⊥y 轴于F ，作OE ⊥AB 于E ．在等腰直角三角形AOE 中，AO ＝4，所以OE ＝E (－2, 2)．由于tan ∠DOB ＝BF OF ＝13，所以tan ∠AQO ＝OE QE ＝13．所以QE ＝3OE ＝．所以Q 、E 两点间的水平距离和竖直距离都等于6．所以Q (4, 8)．例 2018年上海市嘉定区中考模拟第25题在圆O中，AO、BO是圆O的半径，点C在弧AB上，OA＝10，AC＝12，AC//OB，联结AB．（1）如图1，求证：AB平分∠OAC；（2）点M在弦AC的延长线上，如果△AMB是直角三角形，请你在如图2中画出点M 的位置并求CM的长；（3）如图3，点D在弦AC上，与点A不重合，联结OD与弦AB交于点E，设点D 与点C的距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“18嘉定25”，拖动点M在AC的延长线上运动，可以体验到，直角三角形ABM存在两种情况．拖动点D在AC上运动，可以体验到，△OEB与△OAB是同高三角形，y随x的增大而增大．思路点拨1．已知半径和弦，一般情况下先求弦心距．2．直角三角形ABM存在两种情况，∠AMB＝90°和∠ABM ′＝90°，两种情况的图形叠放在一起，BM就是直角三角形ABM′斜边上的高．3．第（3）题用同高三角形的面积比，运算量比较小．图文解析（1）如图4，由OA＝OB，得∠OAB＝∠OBA．由AC//OB，得∠CAB＝∠OBA．所以∠OAB＝∠CAB，AB平分∠OAC．（2）点M存在两种情况：M和M′（如图6所示）．如图5，作OH⊥AC于H，那么在Rt△OAH中，OA＝10，AH＝6，所以OH＝8．如图6，当∠AMB＝90°时，AM＝AH＋HM＝AH＋OB＝6＋10＝16．此时CM＝AM－AC＝16－12＝4．当∠AB M ′＝90°时，∠BAM＝∠M ′BM．所以'81162===M M BMBM AM．所以1'42==M M BM．此时CM ′＝8．图4 图5 图6（3）第一步，如图7，S △OAB ＝12⋅OB OH ＝11082⨯⨯＝40．第二步，如图8，由1012==-BE BO AE AD x ，得1022=-BE BA x ．第三步，如图9，由于△OEB 与△OAB 是同高三角形，所以1022△△==-OEB OAB S BE S BA x ．所以y ＝S △OEB ＝104022⨯-x ＝40022-x．定义域是0≤x ＜12．图7 图8 图9考点伸展第（3）题求△OEB 的面积的方法多样．例如，△ODB 的面积是定值，△OEB 与△ODB 也是等高三角形，底边OE 与OD 的比，同样根据OB 与AD 的比可以推导出来．再如，如果把EB 看作底边，那么高是定值，等腰三角形OAB 的高和底角、底边也是确定的，于是可以根据比例线段推导出EB 的长（用x 表示）．如果两圆的半径之比为3∶2，当这两圆内切时圆心距为3，那么当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18金山17”，拖动圆心B向右运动，可以体验到，圆A与圆B 的位置关系依次是内切、相交和外切．答案15．思路如下：设圆A的半径为3m，圆B的半径2m．如图1，当圆A与圆B内切时，圆心距d＝AB＝3m－2m＝3．解得m＝3．如图2，当圆A与圆B外切时，圆心距d＝AB＝3m＋2m＝5m＝15．如图3所示，圆A与圆B相交．图1 图2 图3如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，那么点P和点B间的距离等于_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山18”，拖动点P在直线BC上运动，可以体验到，有两个时刻，直线QD与BC垂直，此时Rt△PEQ的三边比为3∶4∶5．答案52或10．思路如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10，sin∠B＝35，tan∠B＝34．如图2，设直线QD与BC交于点E，当QD⊥BC时，E为垂足．已知D为AB的中点，所以QD＝BD＝5．在Rt△BDE中，BD＝5，所以DE＝3，BE＝4．在Rt△PEQ中，∠Q＝∠B，QE＝QD－DE＝5－3＝2，所以PE＝34QE＝32．此时PB＝BE－PE＝342＝52．如图3，在Rt△PEQ中，QE＝QD＋DE＝5＋3＝8，所以PE＝34QE＝6．此时PB＝BE＋PE＝4＋6＝10．图2 图3如图1，平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (1, 0)和点B (3, 0)，与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA ＝EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，∠MEQ ＝∠NEB ，求点Q 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18金山24”，可以体验到，当EA ＝EC 时，点E 在AC 的垂直平分线上．还可以体验到，与∠NEB 相等的∠MEQ 有两个，就是直线AE 与抛物线的两个交点，但是点A 在对称轴的左侧．思路点拨1．已知二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．如果EA ＝EC ，由两点间的距离公式，根据EA 2＝EC 2列整式方程．3．已知∠MEQ ＝∠NEB ，构造两个直角三角形相似，用相似比求解比较简便．图文解析（1）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1, 0)、B (3, 0)两点，所以y ＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1．顶点为P (2,－1)．（2）如图2，由y ＝x 2－4x ＋3，得C (0, 3)．设E (2, m )，已知A (1, 0)．由EA 2＝EC 2，得12＋m 2＝22＋(m －3)2．解得m ＝2．所以点E 的坐标为(2, 2)．（3）如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ．作PH ⊥MN 于H ．设Q (x , x 2－4x ＋3)，已知B (3, 0)、E (2, 2)．由tan ∠HEQ ＝tan ∠FEB ，得=QH BF EH EF ．所以221(43)22-=-+-x x x ．整理，得x 2－6x ＋5＝0．解得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．此时Q (5, 8)．图2 图3考点伸展第（3）题求得的x 1＝5，x 2＝1的几何意义是什么呢？由于∠FEB 是确定的，所以∠MEQ 的大小也是确定的，位置有两个．也就是说，经过点E 的直线EQ 与抛物线有两个交点，其中一个交点就是A (1, 0)．显然A 、B 两点关于抛物线的对称轴是对称的．第（2）题求得点E (2, 2)以后，通过计算可以证明，△ACE 是等腰直角三角形．常用的方法有两种，一是勾股定理的逆定理，二是相似比．方法一，由A (1, 0)、C (0, 3)、E (2, 2)，可得AE 2＝5，CE 2＝5，AC 2＝10．所以AC 2＝AE 2＋CE 2．所以△ACE 是直角三角形．方法二，如图2，由2==CG EF EG AF，得∠ECG ＝∠AEF ．由于∠ECG 与∠CEG 互余，所以∠AEF 与∠CEG 互余．于是得到∠AEC ＝90°．例 2018年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝5，sin∠B＝35，P是线段BC上一点，以P为圆心、P A为半径的圆P与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD 相交于点E，设BP＝x．（1）求证△ABP∽△ECP；（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△QED与△QAP相似，求BP的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18金山25”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，△APQ 的高是定值，就是梯形的高．还可以体验到，△QED与△QAP相似存在两种情况，每种情况下，△ABP、△ECP、△EDQ和△APQ都是等腰三角形．思路点拨1．过等腰梯形上底的两个顶点作双垂线，把所有的线段长都标记出来．2．△ABP、△ECP和△EDQ两两相似，△APQ是等腰三角形．如果这4个三角形中任何两个相似时，4个三角形都是等腰三角形．图文解析（1）如图2，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠B＝∠C．因为P A＝PQ，所以∠1＝∠2．由AD//BC，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．所以∠3＝∠4．所以△ABP∽△ECP．图2 图3（2）如图3，作AM⊥BC于M，作PN⊥AD于N．在Rt△ABM中，AB＝5，sin∠B＝35，所以AM＝3，BM＝4．所以AN＝MP＝BP－BM＝x－4．由P A＝PQ，PN⊥AQ，得AQ＝2AN＝2(x－4)．所以y＝S△APQ＝12⋅AQ PN＝12(4)42⨯-⨯x＝4x－16．定义域是4＜x＜132．（3）按照点Q的位置分两种情况讨论△QED与△QAP相似．情形1，如图4，点Q在AD上．由于△EDQ∽△ECP∽△ABP，当△EDQ∽△APQ时，△ABP∽△APQ．因为P A＝PQ，所以BP＝BA＝5．情形2，如图5，点Q在AD的延长线上．当△DEQ∽△APQ时，∠EDQ＝∠A．所以DC//AP．所以∠3＝∠C．又因为∠C＝∠B，所以∠3＝∠B．所以AB＝AP．所以点A在BP的垂直平分线上，此时BP＝2BM＝8．图4 图5考点伸展第（2）题求y关于x的函数关系式，事实上，不论点Q在AD上，还是点Q在AD的延长线上，都有AQ＝2AN＝2MP＝2(BP－BM)＝2(x－4)，所以关系式是一样的．这样的话，函数的定义域为4＜x≤13．当x＝132时，如图6所示；当x＝13时，如图7所示．图6 图7在平面直角坐标系中，如果对任意一点(a, b)，规定两种变换：f (a, b)＝(－a,－b)，g (a, b)＝(b,－a)，那么g [ f (1,－2)]＝_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安17”，拖动点P(a, b)在坐标平面内运动，可以体验到，变换f (a, b)就是作点P(a, b)关于原点的对称点；变换g (a, b)分两步，先作点P(a, b)关于直线y＝x的对称点Q，再作点Q关于x轴的对称点（如图1所示）．答案如图2，由f (a, b)＝(－a,－b)，得f (1,－2)＝(－1, 2)．由g (a, b)＝(b,－a)，得g(－1, 2)＝(2, 1)．所以g [ f (1,－2)]＝g(－1, 2)＝(2, 1)．图1 图2等腰△ABC 中，AB ＝AC ，它的外接圆⊙O 的半径为1，如果线段OB 绕点O 旋转90°后可与线段OC 重合，那么∠ABC 的余切值是_________．动感体验请打开几何画板文件名“18静安18”，可以体验到，等腰三角形ABC 与等腰直角三角形OBC 的对称轴是重合的．答案 11．思路如下：如图2，在等腰直角三角形OBC 中，OB ＝OC ＝1，所以BC设BC 的中点为H ，那么OH ⊥BC ，AH ⊥BC ．所以A 、O 、H 三点共线．如图3，在Rt △ABH 中，BH ，AH ＝1cot ∠ABC ＝BH AH 1．如图3，在Rt △ABH 中，BH ＝2，AH ＝12-，所以cot ∠ABC ＝BH AH 1．图2 图3 图4如图1，在平面直角坐标系中，已知点B(8, 0)和点C(9,－3)，抛物线y＝ax2－8ax＋c（a、c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一个交点为A，对称轴上有一点M，满足MA＝MC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“18静安24”，可以体验到，四边形ABCM是梯形．还可以体验到，如果四边形ABCD是等腰梯形，那么△ADE∽△CBF．思路点拨1．第（2）题先根据两点间的距离公式列方程求得点M的坐标，再判断四边形ABCM 的形状，然后求面积．2．第（3）题中，A、B、C三点是确定的，用一个字母n表示点D的坐标，就可以列方程了．列方程的依据可以根据腰相等，也可以根据对角线相等．图文解析（1）由y＝ax2－8ax＋c，可知抛物线的对称轴是直线x＝4．点B(8, 0)关于直线x＝4的对应点是A(0, 0)．设抛物线的解析式为y＝ax(x－8)，代入C(9,－3)，得－3＝9a．解得13=-a．所以2118(8)333=--=-+y x x x x．（2）设M(4, m)．由MA2＝MC2，得42＋m2＝52＋(m＋3)2．解得m＝－3．所以M(4,－3)，MC//x轴，MC＝5．所以四边形ABCM是梯形，高为3．所以S梯形ABCM＝139(5+8)322⨯⨯=．图2 图3 （3）作等腰梯形ABCD的外接矩形AEHF．由B(8, 0)、C(9,－3)，可得tan∠CBF＝3．由∠ADE＝∠DAB＝∠CBF，得tan∠ADE＝3．设DE ＝n ，AE ＝3n ，那么D (n ,－3n )．由DC ＝AB ，得DC 2＝AB 2．所以(n －9)2＋(3n －3)2＝82．整理，得5n 2－18n ＋13＝0．解得n ＝1，或n ＝135．当n ＝1时，D(1,－3)．此时DC //x 轴//AB ，四边形ABCD 是平行四边形，不合题意．当n ＝135时，D 1339(,)55-．此时ABCD 是等腰梯形．考点伸展第（3）题解等腰梯形，设好了点D 的坐标为(n ,－3n )以后，有4种列方程的方法．上面第一种方法，由腰相等DC ＝AB ，根据DC 2＝AB 2列方程．这个方程是一元二次方程，一个解是等腰梯形，另一个解是平行四边形．也就是说，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形．这是因为以C 为圆心、AB 为半径的圆与直线AD 有两个交点．第二种方法，由对角线相等DB ＝AC ，根据DB 2＝AC 2列方程．这个方程的两个解，也是等腰梯形和平行四边形．这是因为以B 为圆心、AC 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图4所示）．第三种方法，设BC 的中点为P ，那么P 173(,)22-，根据PD 2＝P A 2列方程．这个方程的两个解，一个是点A ，一个是点D ．这是因为以P 为圆心、P A 为半径的圆与直线AD 有两个交点（如图5所示）．第四种解法，设AD 的中点为Q ，那么Q 3(,)22-n n ，根据QB 2＝QC 2列方程．这个方程是一元一次方程，有一个解．这是因为AD 的垂直平分线与BC 有且只有一个交点（如图6所示）．图4 图5 图6第五种解法，设D (x , y )．由2222,,⎧=⎪⎨=⎪⎩DC AB DB AC 列方程组2222222(9)(3)8,(8)93，⎧-++=⎪⎨-+=+⎪⎩x y x y 一个解是平行四边形ABDC ，一个解是等腰梯形ABCD ．例 2018年上海市静安区中考模拟第25题如图1，平行四边形ABCD 中，已知AB ＝6，BC ＝9，cos ∠ABC ＝13，对角线AC 、BD 交于点O ，动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ，交线段P A 于点E ．设BP ＝x ．（1）求AC 的长；（2）设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ，求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“18静安25”，拖动点P 在由B 向A 运动，可以体验到，⊙P 与⊙O 保持外切，直角三角形OPH 的直角边OH 是定值，斜边OP 和直角边PH 随PB 的增大而减小．思路点拨1．通过计算，可以发现平行四边形ABCD 中，△ABC 是等腰三角形．2．第（2）题和第（3）题的一般策略是，构造圆心距OP 为斜边的直角三角形．图文解析（1）如图2，作AF ⊥BC 于F ．在Rt △ABF 中，AB ＝6，cos ∠ABF ＝BF AB ＝13，所以BF ＝2．所以AF ＝．在Rt △ACF 中，CF ＝BC －BF ＝9－2＝7，所以AC 9．图2 图3（2）如图3，作CG ⊥AB 于G ，作OH ⊥AB 于H ，那么OH ＝12CG ．在Rt △BCG 中，BC ＝9，cos ∠GBC ＝BG BC ＝13，所以BG ＝3．所以CG ＝AG ＝3．所以OH ＝12CG ＝AH ＝12AG ＝32．。

初三2019二模填空压轴题18题(上海)

2019二模18题1.（宝山）如图，点M 的坐标为(3,2)，动点P 从点O 出发，沿y 轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，如果点M 关于l 的对称点落在坐标轴上，设点P 的移动时间为t ，那么t 的值可以是▲．2.（崇明）如图4，在ABC △中，已知AB AC =，30BAC ∠=︒，将ABC △绕着点A 逆时针旋转30︒，记点C 的对应点为点D ，AD 、BC 的延长线相交于点E .如果线段DE那么边AB 的长为 ▲ ．3.（奉贤）如图5，矩形ABCD ，AD =a ，将矩形ABCD 绕着顶点B 顺时针旋转，得到矩形EBGF ，顶点A 、D 、C 分别与点E 、F 、G 对应（点D 与点F 不重合）．如果点D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段DF 的长是 ▲ ．（用含a 的代数式表示）4.（虹口）如图，在矩形ABCD 中，AB =6，点E 在边AD 上且AE =4，点F 是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点A 1、B 1与点C 在同一直线上，A 1B 1与边AD 交于点G ，如果DG =3，那么BF 的长为．BC图45.（黄浦）如图3，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆ ，点A 、B 分别与点1A 、1B 对应，边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边11A B 的中点，那么1BD B C= ▲ ．6. （嘉定）如图3，点M 的坐标为)2,3(，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线x y -=平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是．7.．（金山）一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于．8.（静安）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，已知A（0），B （0，6），M （0，2）．点Q 在直线AB 上，把△BMQ沿着直线MQ 翻折，点B 落在点P 处，联结PQ ．如果直线PQ 与直线AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是．9. （闵行）如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，BC =D 为边AC 上一点（点D 与点A 、C 不重合）．将△ABC 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ．如果CE // AB ，那么AD ︰CD = ▲ ．10. （普陀）如图7，AD 是△的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE =，那么GF AB的值等于．11. (松江）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =8，BC =6．将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ，点A 的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F ，那么CF 的长为________．ABC ABC（第18题图）12.（徐汇）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，cos B =23，先将△ACB 绕着顶点C 顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A'CB'（点A'、C 、B'的对应点分别是点A 、C 、B ），联结A'A 、B'B ，如果△AA'B 和△AA'B'相似，那么A C '的长是 ▲ ．13.（杨浦）如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ▲ .14.（长宁）如图3，在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，将ABC ∆绕着点C 旋转，点B A 、的对应点分别是点'A 、'B ，若点'B 恰好在线段'AA 的延长线上，则'AA 的长等于．（浦东）。

2024年中考数学第二次模拟考试+解析(上海卷)

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列图形中，为中心对称图形的是( ) A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正五边形 D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 1=−C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=−− 【答案】C【详解】A ．∵x4＞0，∴x4+2=0B ．，无解，故本选项不符合题意；C ．∵x2+2x−1=0，∆ =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1xx −=11x −，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA +=（） A ．AB ； B ．BA ；C ．0；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA +=0．故选C ．4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7 B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ， ∴AD OP ⊥，∵∠POQ=30°，⊙A 半径长为2，即2AD =， ∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+−=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 7．分解因式：2218m −= ．【答案】()()233m m +−/()()233m m −+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m −=2（m2-9） =2（m+3）（m -3）．故答案为：2（m+3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．x −的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x+2＝x2，整理得（x ﹣2）（x+1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根． 9．函数y =x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨−≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b ==，那么BG = （用a b 、表示）. 【答案】23a b−+. 【详解】试题分析： ∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b =，∴23AG b=，又∵BG AG AB =−，AB a =，∴2233BG b a a b =−=−+；故答案为23a b −+．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是 . 【答案】13【详解】解: 列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程2234404x x x x+−+=−中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +−+=−可变形为x2-4x+214x x −+4=0,因为24y x x =−，所以340y y ++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r <【分析】由题意，⊙O1与⊙O2内含，则可知两圆圆心距d r r <−小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r−>，解得7r>．故答案为：7r>．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x，那么可列方程是．【答案】100（1＋x）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x的一元二次方程．故答案为：100（1＋x）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x，根据题意可得：100（1＋x）2＝200．故答案为：100（1＋x）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B：∠C＝1：2，那么BD的长是．【答案】【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO＝12BD，BD⊥AC，在Rt△ABO中，由cos∠ABO即可求得BO，继而得到BD的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB CD∥，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC：∠BCD＝1：2，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，BO＝12BD，BD⊥AC．在Rt△ABO中，cos∠ABO＝BOAB＝，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×＝∴BD＝2BO＝故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC = ．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为．【答案】9【分析】连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，由3tan 4B =，10AB =，可得AE=6，BE=8，并求出AC 的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点， 3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB+=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又12BC =，∴CE=BC -BE=4，∴AC ==作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴6AF ==，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，⊙O是以BC为直径的圆，如果⊙O与⊙A相切，那么⊙A的半径长为．2=+可得结论；【分析】分两种情况：①如图，A与O内切，连接AO并延长交A于E，根据AE AO OE=−可得结论．②如图，A与O外切时，连接AO交A于E，同理根据AE OA OE【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A与O内切时，连接AO并延长交O于E，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒，根据勾股定理得：OA ，2AE OA OE ∴=+；即A 2；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得2AE AO OE =−，即A 2，综上，A 22．2．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()202201cot 453sin 30π−−︒+−−︒ ．【答案】【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．202201(cot 45)(3)(sin30)π−−︒++−−︒202211(1)1()2−=−+−112=−=【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =23， AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB=AC=6，cosB=23，AH 是△ABC 的高，∴BH=4，∴BC=2BH=8，=∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CHAB HB DE HF ==，．∵AD ：DB=1：2，BH=CH ，∴AD ：AB=1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE=3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝kx的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝kx的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k 的值； (2)求点B 的坐标．【答案】(1)2(2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22k k =，解方程求得k ＝2；（2）先求得A 的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB 的解析式为y12=−x+b ，把A 的坐标代入解得b 52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B 的坐标．【详解】（1）解：∵点A 是反比例函数y kx =的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2， ∴22kk =， ∴2k ＝4，解得k ＝±2， ∵k ＞0， ∴k ＝2；（2）∵k ＝2， ∴反比例函数为y2x =，正比例函数为y ＝2x ，把y ＝2代入y ＝2x 得，x ＝1， ∴A （1，2）， ∵AB ⊥OA ，∴设直线AB 的解析式为y12=−x+b ，把A 的坐标代入得2112=−⨯+b ，解得b52=，解21522y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点B 的坐标为（4，12）．待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即AE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B ''的坡度为1：4，即B E A E ''＝1：4，∴A 'E ＝5×4＝20（m ）， ∴A A '＝20﹣9.6＝11.4（m ），A 'G ＝4NG ＝4×0.9＝3.6（m ），∴AG ＝11.4﹣3.6＝7.8（m ），点M 到点G 的最多距离MG ＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m ）， ∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE=CE ．即可以利用“AAS”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE ADCB AC =．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点， ∴AE=CE ，∴在AED △和CEF △中，ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌， ∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ， ∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅， ∴AE ADCB AC =， ∴ADE CAB ∽△△， ∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥． ∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =−++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式； (2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =−++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2−．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，DF =E 作EK DF ⊥于K，根据等腰直角三角形的性质可得KF KE =DK DF KF =−=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c=−++，得：15503b c c −++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =−++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE =，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==， (4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =−++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒，45DFH ∴∠=︒，DF =过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =−=，KF KE ∴=，DK DF KF ∴=−=在Rt DKE ∆中，cot 2DK EDF KE ∠=；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF EDED EP =，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =−，又2EF =，ED102(1)y ∴=−，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DPPD FP =，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =−，3FP y =−，DP ，29(1)(3)y y y ∴+=−−，解得32y =−，∴点P 的坐标为3(4,)2−；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2−．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质． 25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时， ①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；② (2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA ABAP OA =，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH x ，利用勾股定理列方程求出OH 的长，从而得出AH ，即可求得面积；（2）联结OC ，AC ，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，再利用SSS 说明△OAP ≌△OCP ，得∠OAP ＝∠OCP ，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA ， ∵PA ＝PO ， ∴∠BAO ＝∠POA ， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ， ∴∠AOB ＝∠APO ；②解：∵∠AOB ＝∠APO ，∠OAB ＝∠PAO ，∴△AOB ∽△APO ， ∴OA AB AP OA =， ∴OA2＝AB•AP ＝1，∵点B 是线段AP 的中点，∴AP作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH x ，由勾股定理得，12﹣x22x ）2，解得x ＝，∴OH ＝4，由勾股定理得，AH ，∴△AOP 的面积为1122OP AH ⨯⨯=＝；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP＝β+α，∵OA＝OC，AP＝PC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝β+α，在△OAP中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

上海中考二模数学试题及答案

上海中考二模数学试题及答案一、选择题1. 若集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，B = {2, 4, 6, 8,10}，则A ∩ B = （）A. {2, 4, 6}B. {1, 2, 3}C. {8, 10}D. {1, 3, 5, 7}2. 已知直线l与x轴交于点A，直线l与y轴交于点B，则下列说法中正确的是（）A. 点(0, 0)在l上B. 点(0, 1)在l上C. A与B的横坐标之积小于0D. A、B的横坐标之积大于03. 方程（x-2）²-4 = 0的根是（）A. 0B. 2C. 4D. 64. a1, a2, a3, ...是等差数列，若a1+a9=28，a5+a11=24，则该数列首项为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在Rt△ABC中，AB=12，AC=16，则BC的长度为（）A. 4B. 8C. 12D. 16答案：1. A 2. D 3. B 4. C 5. B二、填空题1. 若a:b=2:3，且a:b:c=3:5:7，求c。

2. 设二次函数f(x)=-2x²+3x+4，若f(x)的图像与x轴交于点A、B，且AB=4，则A、B的横坐标分别为___。

3. 已知平行四边形ABCD中，AB=2a，AD=a+3，AC=4a-3，则BD 等于___。

4. 已知函数y=f(x)的图像关于原点对称，则f(-x)=___。

5. 若函数y=f(x)=ax²+x-1在区间[0, 1]上是增函数，则a的取值范围是___。

答案：1. 7 2. (-1, 3) 3. 2a-3 4. f(x) 5. a>0三、解答题1. 已知等差数列S的首项为a，公差为d，且S1 + S2 + S3 = 15，求S6的值。

解答：设等差数列的第n项是Sn，则有Sn = a + (n-1)d。

根据等差数列和公式，可以得到：S1 = aS2 = a + dS3 = a + 2dS6 = a + 5d给出条件S1 + S2 + S3 = 15，代入上面的式子可以得到：a + (a + d) + (a + 2d) = 153a + 3d = 15再考虑到S6 = a + 5d，将3a + 3d = 15带入可以得到：3a + 3d = 153(a + d) = 15a + d = 5将a + d = 5带入S6 = a + 5d：S6 = 5 + 5dS6 = 5(d + 1)所以S6的值为5(d + 1)。

上海中考初三数学压轴题方法整理汇总(18题24题25题压轴题解题方法)

第18题：图形的运动1平移：平移的方向和距离2旋转：三不变找旋转（图形的形状大小旋转角不变）3翻折：两点一线找勾股（对称点，垂直平分线上海中考初三数学压轴题方法整理汇总）第23题几何证明（书写规范）证明边角相等：全等，相似，等腰证明平行线：角，比例线段，中位线，平行四边形证明等积式：三点定形找相似（等线段代换，等比代换，等积代换）（添平行线构造A 形，八形）证明四边形：常用辅助线：联结对角线第24题代数型综合题求坐标的方法1一作二设法②两点公式法③代入解析法④平移法二次函数与相似三角形1先找死角：由边出发，死角的两边对应成比例求边长；2先找死角：由角出发，利用三角比求边长二次函数与直角三角形1一线三等角②勾股定理二次函数与等腰三角形：两点间距离公式二次函数与角相等：1找相似三角形②找三角比二次函数与45度角1先找45度角转化为角相等，然后找相似或三角比2加高，转换为等腰直角三角形二次函数与四边形1由四边形的性质求边或角（等腰梯形加双高，两腰相等，加顶）2由边或角转化为相似或三角比第25题几何型综合题读题圈划五寻找（边，角，辅助线，基本图形，解题工具）解题工具：三角比，相似，勾股，面积法基本图形：一线三等角，母子三角形，角平分线+平行=等腰三角形，A形八形，特殊三角形……常用辅助线：中位线，三线合一，斜中，平行线，四边形对角线，，圆的半径与弦心距……等腰三角形：①相似转化；②分论讨论；③三线合一三角比：转角；加高（面积法）；设K面积：①直接求；②相似；③等底等高求定义域：①极端位置；②解析式本身；③三边关系。

2023年上海市嘉定区中考数学二模试卷(含答案)

2023年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.）A. B. C. D. 2.下列关于x 的方程一定有实数解的是（）A . 210x +=B . 210x x −+=C . 210x bx −+=（b 为常数）D . 210x bx −−=（b 为常数）该投篮进球次数的中位数是（）A . 2B . 3C . 4D . 54.从1,2,3,4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（）A. 12B . 13C . 23D . 345.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A . 等边三角形B . 等腰梯形C . 矩形D . 正五边形6.如图1，已知点D 、E 分别在ABC 的边AB 、AC 上，DE //BC ，AD :DB =1:3，那么:DEC DBC S S 等于（）A . 1:2B . 1:3C . 2:3D . 1:4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：42x x ÷=____________8.如果分式123x −有意义，那么实数x 的取值范围是____________9.已知1纳米=0.000000001米，那么2.5纳米用科学记数法表示为____________米10.1x −=，那么x =____________11.如果反比例函数1a y x −=的图像经过点()1,2−，那么这个反比例函数的解析式为____________(时间100分钟，满分150分)12.如果函数2y x k =+的图像向左平移2个单位后经过原点，那么k =____________13.某区有1200名学生参加了“垃圾分类”知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委员会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘制成频率分布直方图（如图2），请根据提供的信息估计该取本次竞赛成绩在89.5分~99.5分的学生有____________名14.如果一个正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是____________15.如图3，在ABC 中，点D 是AC 边上一点，且AD :DC =2:1，设,BA a BC b ==，那么BD =____________（用,a b 表示）16.如图4，在Rt ABC 中，∠C =90°，AB =13，5sin 13A =，以点C 为圆心，R 为半径作圆，使A 、B 两点一点在圆内，一点在圆外，那么R 的取值范围是____________17.新定义：函数图像上任意一点(),,P x y y x −称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数()2321y x x =+−≤≤的“特征值”是____________18.如图5，在Rt ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点D 、E 分别是边BC 、BA 的中点，联结DE ，将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，点D 、E 的对应点分别是点11,D E ，如果点1E 落在线段AC 上，那么线段1CD =____________三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：()102sin 4521π−−︒+−−20.（本题满分10分）解方程组：223524x y x xy y −=⎧⎨−+=⎩①②21.（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图6，在ABC 中，AC =AB ，3sin 5A =，圆O 经过A 、B 两点，圆心O 在线段AC 上，点C 在圆O 内，且OC =3.（1）求圆O 的半径长；（2）求BC 的长. 22.（本题满分10分，其中第（1）小题3分，第（2）小题7分）A 、B 两城间的铁路路程为1800千米，为了缩短从A 城到B 城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米.（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A 城到B 城的行驶时间减少t 小时，求t 的值；（2）如果提速后从A 城到B 城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米，问列车提速后速度是否符合规定? 请说明理由.23.如图7，已知CE 、CF 分别是∠ACB 和它的邻补角∠ACD 的角平分线，AE CE ⊥，垂足为点E ，AF //EC ，联结EF ，分别交AB 、AC 于点G 、H .（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）试猜想GH 与BC 之间的数量关系，并证明你的结论.24.（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）如图8，在直角坐标平面xOy 中，点A 在y 轴的负半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，AB //OC ，抛物线()2240y ax ax a =−−≠经过A 、B 、C 三点.（1）求点A 、B 的坐标；（2）联结AC 、OB 、BC ，当AC OB ⊥时，①求抛物线表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PAC ABC SS =? 如果存在，求出所有符合条件的点P 坐标；如果不存在，请说明理由.25.在Rt ABC 中，∠BAC =90°，点P 在线段BC 上，12BPD ACB ∠=∠，PD 交BA 于点D ，过点B 作BE PD ⊥，垂足为E ，交CA 的延长线于点F .（1）如果∠ACB =45°，①如图9，当点P 与点C 重合时，求证：12BE PD =； ②如图10，当点P 在线段BC 上，且不与点B 、点C 重合时，问：①中的“12BE PD =”仍成立吗? 请说明你的理由；（2）如果45ACB ∠≠︒，如图11，已知AB n AC =⋅（n 为常数），当点P 在线段BC 上，且不与点B 、点C 重合时，请探究BE PD的值（用含n 的式子表示），并写出你的探究过程.参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.A2. D3. B4. C5. C6. D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 2x 8. 32x ≠ 9. 92.510−⨯10.2 11.2y x =−12.4− 13. 180 14. 1015. 1233a b + 16. 5<R <12 17. 418. 5三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.120. 12121722,31122x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=−=−⎪⎪⎩⎩21.（1）5（222.（1）4.5（2）符合规定，说明略23.（1）证明略（2）12GH BC =，证明略24.（1）()()0,4,2,4A B −− （2）①2114126y x x =−− ②存在，121151,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25.（1）①证明略②成立，说明略（2）2BEnPD =，探究略。

2020届上海市各区初三数学二模试卷压轴题--第18题图文解析汇编

如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，tan B ＝34，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到 △A 1BC 1，当点C 1在线段CA 延长线上时△ABC 1的面积为 __________．图1答案 46825．思路如下：如图2，设BC 的中点为H ．在Rt △ABH 中，由AB ＝5，tan B ＝34，可得AH ＝3，BH ＝4．所以BC ＝8，S △ABC ＝12．如图3，当点C 1落在线段CA 延长线上时，△ABC ∽△BC 1C ．根据相似三角形的面积比等于对应边比的平方，得221525864ABC BC C S AB S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．所以S △BC 1C ＝641225⨯．所以S △ABC 1＝64121225⨯-＝391225⨯＝46825．图2 图3如图1，在平面直角坐标系中，A (8, 0)，B (8, 4)，C (0, 4)，反比例函数=ky x在第一象限内的图像分别与AB 、BC 交于点F 、E ，连结EF ．如果点B 关于EF 的对称点恰好落在OA 边上，那么k 的值为__________．图1答案 12．思路如下：如图2，作EM ⊥x 轴于M ．设E (m , 4)，F (8, n )．由4m ＝8n ＝k ，得m ＝2n ．所以882244BE m nBF n n--===--．由△EMB ′∽△B ′AF ，得''2''EM MB B E BEB A AF FB FB====．所以4'2'MB B A n==．所以B ′A ＝2，MB ′＝2n ＝m ．再由EB ＝MA ，得8－m ＝m ＋2．解得m ＝3．所以E (3, 4)．所以k ＝12．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，连结AE，那么∠CAE的度数是__________．图1答案125°．思路如下：如图2，因为CD是Rt△ABC斜边上的中线，所以DA＝DC＝DB．所以∠DCB＝∠B＝35°，∠DCA＝∠DAC＝55°．所以∠ADC＝70°，∠CDB＝110°．因为△CDB与△CDE关于CD对称，所以∠CDE＝∠CDB＝110°．所以∠ADE＝110°－70°＝40°（如图3所示）．所以在等腰三角形DAE中，∠DAE＝70°．所以∠CAE＝55°＋70°＝125°．图2 图3如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，DE //AC ，BD ＝BDE 绕着点B 旋转得到△BD ′E ′（点D 、E 分别与点D ′、E ′对应），如果A 、D ′、E ′在同一直线上，那么AE ′的长为 __________．图1答案如图2，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10，tan ∠B ＝34．在Rt △EDB 中，DE ＝34BD ＝34⨯如图3，当点A 在E ′D ′的延长线上时．在Rt △ABD ′中，AB ＝10，BD ′＝AD ′＝此时AE ′＝AD ′＋D ′E ′＝如图4，当点A 在D ′E ′的延长线上时，AE ′＝AD ′－D ′E ′＝图2 图3 图4定义：如果三角形的两个内角α与β满足α＝2β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 __________．答案如图1，如果α为等腰三角形的顶角，那么α＋β＋β＝4β＝180°．解得β＝45°．如图2，如果α为等腰三角形的底角，那么α＋α＋β＝5β＝180°．解得β＝36°．这个三角形是黄金三角形．如图3，设腰长AB ＝CB ＝x ，底边AC ＝1．作∠BAC 的平分线交BC 于D ，那么△BCA ∽△ACD ．由BC AC AC DC =，得111x x =-．解得x =．图1 图2 图3如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把△ABC绕C点旋转得到△A′B′C，其中点A′在线段AB上，那么∠A′B′B的正切值等于__________．图1答案724．思路如下：如图2，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，cos∠A＝35．在等腰三角形ACA′和等腰三角形BCB′中，5''6 CA CBAA BB==．所以AA′＝65CA＝185，BB′＝65CB＝245．所以A′B＝AB－AA′＝1855-＝75．由∠A＋∠ABC＝90°，∠A＝∠1，得∠1＋∠ABC＝90°．如图3，在Rt△A′B′B中，tan∠A′B′B＝''A BBB＝724．图2 图3如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝512，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为__________．答案42．思路如下：如图1，作CH⊥AB于H，那么四边形AHCD是正方形．已知cot B＝512，AB＝17，设BH＝5m，CH＝12m，那么AB＝17m＝17．解得m＝1．所以正方形的边长为12，BC＝13．所以四边形ABCD的周长为54，周长的一半等于27．如图2，因为CD＋DA＝24，所以点E在AB上，AE＝3．此时在Rt△CEH中，EH＝12－3＝9，CH＝12，所以CE＝15．所以△BCE的周长＝15＋(9＋5)＋13＝42．图1 图2如图1，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．连结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于__________．图1答案 8-如图2，当BB 1⊥AC 时，AC 垂直平分BB 1，AB 1垂直平分CC 1．此时△B 1C 1C 的面积等于△BCB 1的面积（如图3所示）．如图2，在Rt △ABE 中，AB ＝4，∠BAE ＝30°，所以BE ＝2，AE ＝所以CE ＝AC －AE ＝4-所以S △BCB 1＝112BB CE ⋅＝14(42⨯-＝8-图2 图3如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE＝45°，那么BD的长为__________．图1答案2．思路如下：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC AB＝2．如图2，当∠ABE＝45°时，△ABE是等腰直角三角形．此时∠BAD＝45°．如图3，作△ABD的高DH．设DH＝AH＝m，那么BH．由AB＝1)m＝2，得m1．所以BD＝2DH＝2m＝2．图2 图3小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝__________．图1 图2答案3．思路如下：如图3，设∠A＝α，∠B＝β．已知AC＝3，AB＝5，所以BC＝4．如图4，设∠E＝γ，∠F＝θ．如果△BCG与△DFH相似，因为钝角对应相等，所以∠BCG＝∠F＝θ，∠HDF＝∠B ＝β．所以BC DFBG DH=．所以48BG DH=．设BG＝m，那么DH＝2m．根据等角的余角相等，∠ACG＝∠E＝γ，∠EDH＝∠A＝α．所以△ACG∽△DEH．所以AC DEAG DH=．所以3452m m=-．解得m＝2．所以AG＝5－m＝3．图3 图4如图1，四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D 的对应点分别为A ′、D ′，如果直线A ′D ′与⊙O 相切，那么ABBC的值为__________．图1答案 4．思路如下：如图2，设A ′D ′与⊙O 相切于点N ，连结ON 交BC 与点M ，那么ON ⊥A ′D ′．设OM ＝m ，那么AB ＝A ′B ＝MN ＝2m ．在Rt △ABC 中，AB ＝2m ，AC ＝2ON ＝6m ，所以BC ．所以4==AB BC ．图2如图1，在平行四边形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，sin A ＝45，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点A 的对应点是点A ′，连结A ′C ，如果A ′C ⊥BC ，那么cos θ的值是__________．图1答案 725．思路如下：如图2，已知sin A ＝sin α＝45．如图3，在Rt △A ′BC 中，A ′B ＝5，BC ＝3，所以A ′C ＝4．所以∠A ′BC ＝α．延长A ′C 交AB 的延长线于点E ．因为DA //CB ，所以∠CBE ＝∠A ＝α．于是可得BC 垂直平分A ′E ．作A ′F ⊥AB 于F ．由S △A ′BE ＝11''22A E BC BE A F ⋅=⋅，得'8324'55A E BC A F BE ⋅⨯===．于是在Rt △A ′BF 中，sin θ＝''A F A B ＝2425．所以cos θ＝725．图2 图3例 2020年上海市杨浦区中考模拟第18题如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，连结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是__________．图1答案 6或10．思路如下：如图2，作BH ⊥AD 于H ．在Rt △ABH 中，由AB ＝10，tan ∠A ＝43，可得AH ＝6，BH ＝8．所以DH ＝9．如图3，当点Q 落在AD 上时，点P 与点H 重合，此时AP ＝6．图2 图3如图4，当点Q 落在CD 上时，作QG ⊥AD 交AD 的延长线于G ，那么△BHP ≌△PGQ ．设HP ＝GQ ＝4m ，那么DG ＝3m ．由PG ＝BH ＝8，得PD ＋DG ＝8．所以(9－4m )＋3m ＝8．解得m ＝1．此时AP ＝AH ＋HP ＝6＋4m ＝10．图4例 2020年上海市长宁区中考模拟第18题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，点D 是边BC 的中点，∠ABC ＝∠CAD ，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，连结BE ，那么线段BE 的长为 __________．图1答案如图2，由∠ABC ＝∠CAD ，∠C 是公共角，得△CAD ∽△CBA ．所以=CA CD CB CA ．所以1=2CA CA．解得CA在Rt △ACD 中，CD ＝1，CA AD cos ∠ADC ＝CD AD 如图3，连结CE 交AD 于点F ，那么AD 垂直平分CE ．因为点D 是边BC 的中点，所以DF 是△CBE 的中位线．在Rt △FCD 中，DF ＝CD ∙cos ∠ADC ＝13 ＝3．所以BE ＝2DF图2 图3。

初三2019二模填空压轴题18题(上海)

初三 2019 二模填空压轴题18 题( 上海 )2019 二模 18 题1.（宝山）如图，点 M 的坐标为 (3,2)，动点 P 从点 O 出发，沿 y 轴以每秒 1 个单位的速度向上移动，且过点 P 的直线 l ：y＝－ x＋b 也随之挪动，假如点 M关于 l 的对称点落在座标轴上，设点 P 的挪动时间为 t ，那么 t 的值可以是▲．2.（崇明）如图 4，在△ABC中，已知AB AC ，BAC 30 ，将△ ABC 绕着点A逆时针旋转 30 ，记点C的对应点为点D ，AD、BC 的延伸线订交于点 E. 假如线段 DE 的长为 2 ，那么边 AB 的长为▲．AB C图 43.（奉贤）如图 5，矩形 ABCD ， AD= a，将矩形 ABCD 绕着极点 B 顺时针旋转，获得矩形EBGF ，极点 A、 D、C 分别与点 E、 F、 G 对应（点 D 与点 F 不重合）．假如点 D、E、F 在同一条直线上，那么线段DF 的长是▲．（用含a的代数式表示）4.（虹口）如图，在矩形ABCD 中， AB=6，点 E 在边 AD 上且 AE=4，点 F 是边 BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿 EF 翻折， A、B 的对应点A1、B1与点 C 在同向来线上，A1B1与边 AD 交于点 G，假如 DG =3，那么 BF 的长为．5.（黄浦）如图 3，在 ABC 中，ACB90 ，sin B 3ABC 绕极点 C 顺时针旋转，，将5获得A1 B1C ，点 A、B 分别与点A1、B1对应，边A1B1分别交边 AB、 BC 于点 D、E，假如BD▲．点 E 是边A1B1的中点，那么B1C6.（嘉定）如图3，点M的坐标为(3,2)，点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上挪动，同时过点 P 的直线 l 也随之上下平移，且直线 l 与直线 y x 平行，假如点 M关于直线 l 的对称点落在座标轴上，假如点P 的挪动时间为t 秒，那么 t 的值可以是．7.．（金山）一个正多边形的对称轴共有10 条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于．8（. 静安）如图 4，在平面直角坐标系xOy 中，已知 A（ 2 3 ，0），B（ 0， 6）， M（ 0， 2）．点 Q 在直线 AB 上，把△ BMQ沿着直线MQ 翻折，点 B 落在点 P 处，联系PQ．假如直线 PQ 与直线 AB 所构成的夹角为60°，那么点P 的坐标是．9.（闵行）如图，在△ ABC中，AB = AC = 5，BC 2 5 ，D 为边 AC 上一点（点 D 与点 A、C 不重合）．将△ ABC 沿直线 BD 翻折，使点 A 落在点E 处，联系 CE．假如 CE // AB，那么AD︰CD = ▲ ．CA B（第 18 题图）10. （普陀）如图 7， AD 是 △ ABC 的中线，点 E 在边 AB 上，且 DE ⊥ AD ，将△ BDE 绕着点 D 旋转，使得点 B 与点 C 重合，点 E 落在点 F 处，联系 AF 交 BC 于点 G ，假如AE5 ，BE2那么GF ．的值等于AB11. (松江）如图，已知 Rt △ABC 中，∠ ACB= 90°，AC=8，BC=6 ．将△ ABC 绕点 B 旋转获得 △DBE ，点 A 的对应点 D 落在射线 BC 上．直线 AC 交 DE 于点 F ，那么 CF 的长为 ________．12.（徐汇）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 °， AB =6，cosB= 2 ，先将△ ACB 绕着极点 C3顺时针旋转 90°，而后再将旋转后的三角形进行放大或减小获得△A'CB' （点 A'、 C 、 B'的对应点分别是点 A 、 C 、 B ），联系 A'A 、 B'B ，假如△ AA'B 和△ AA'B' 相像，那么 A C 的长是13.（杨浦）如图，在矩形ABCD 中，过点 A 的圆 O 交边 AB 于点 E，交边 AD 于点 F，已知AD =5， AE=2， AF=4. 假如以点 D 为圆心， r 为半径的圆 D 与圆 O 有两个公共点，那么r 的取值范围是▲.14.（长宁）如图3，在ABC 中， AB AC 5 ， BC 8，将ABC 绕着点 C 旋转，点 A、 B 的对应点分别是点A' 、 B' ，若点 B' 恰幸好线段AA' 的延伸线上，则 AA'的长等于．（浦东）。

备战2023年上海中考数学真题(5年)与一二模题(1年)分类汇编填空压轴题含详解

专题03 填空压轴题1．（2022•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，4AB=，6BC=，点E是BC的中点，联结AE，点O是线段AE上一点，O的半径为1，如果O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．2．（2022•虹口区二模）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是边CD的中点，将BCM∆沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点E处，联结AE并延长交射线BM于点F，那么EF的长为．3．（2022•普陀区二模）如图，矩形ABCD中，3AB=，4BC=．矩形ABCD绕着点A旋转，点B、C、D的对应点分别是点B'、C'、D'，如果点B'恰好落在对角线BD上，联结DD'，DD'与B C''交于点E，那么DE=．4．（2022•浦东新区二模）如图，已知在ABC∆中，90C∠=︒，4AC=，点D在边BC上，且BD AC=，4sin5ADC∠=．那么边BC的长为．5．（2022•浦东新区二模）如图，已知在Rt ABC∆中，90C∠=︒，将ABC∆绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D（不与点B重合）处，点A落在点E处，如果//DE BC，联结AE，那么sin EAC∠的值为．6．（2022•杨浦区三模）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，ABC ∆是等高底三角形，BC 是等底，点A 关于直线BC 的对称点是点A '，联结AA '，如果点B 是△AAC '的重心，那么ACBC的值是．7．（2022•杨浦区三模）如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC =，4cos 5B =，点P 是斜边AB 上一点，过点P 作PM AB ⊥交边AC 于点M ，过点P 作AC 的平行线，与过点M 作AB 的平行线交于点Q ．如果点Q 恰好在ABC ∠的平分线上，那么AP 的长为．8．（2022•徐汇区模拟）如图，已知点(0,8)A 和点(4,8)B ，点B 在函数(0)ky x x=>的图象上，点C 是AB 的延长线上一点，过点C 的直线交x 轴正半轴于点E 、交双曲线于点D ．如果CD DE =，那么线段CE 长度的取值范围是．9．（2022•徐汇区模拟）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知90ABO∠=︒，3OB=，4AB=，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为．10．（2022•徐汇区模拟）如图，在ABCD中，70B∠=︒，6BC=，以AD为直径的O交CD于点E，则劣弧AE的长为．（结算结果保留)π11．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知点A是双曲线1(0)y xx=<上一动点，联结OA，作OB OA⊥，且2OB OA=，如果当点A在双曲线1yx=上运动时，点B恰好在双曲线kyx=上运动，那么k的值为．12．（2022•黄浦区校级二模）已知点P是直线2y=上一点，P与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果2AB=，那么点P的坐标是．13．（2022•黄浦区校级二模）如图，在ABC∆中，120ACB∠=︒，6AC BC==，点E在边AB上且2AE BE=，点F在边BC上，过点F作EF的垂线交射线AC于点G，当Rt EFG∆的一条直角边与ABC∆的一边平行时，则AG=．14．（2022•宝山区模拟）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，2AC =，3cos 5C =．BC 的垂直平分线交AB 于点E ，那么:BE AE 的值是．15．（2022•宝山区模拟）如图1，ABC ∆内有一点P ，满足PAB CBP ACP ∠=∠=∠，那么点P 被称为ABC ∆的“布洛卡点”．如图2，在DEF ∆中，DE DF =，90EDF ∠=︒，点P 是DEF ∆的一个“布洛卡点”，那么tan DFP ∠= ．16．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，在Rt ABC ∆内部作正方形1111D E FG ，其中点1D ，1E 分别在AC ，BC 边上，边11F G 在BC 上，它的面积记作1S ；按同样的方法在△11CD E 内部作正方形2222D E F G ，它的面积记作2S ，2S = ，⋯，照此规律作下去，正方形n n n n D E F G 的面积n S = ．17．（2022•徐汇区校级模拟）如图，点P 是y 轴正半轴上一点，以P 为圆心的圆与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 、C 、D ．已知点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,1)-，则点D 的坐标为．18．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在直角坐标系中，(0,3)B 、(4,0)C 、(0,2)D ，AB 与CD 交于点P ，若45APC ∠=︒，则A 点坐标为．19．（2022•普陀区模拟）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt ABC ∆为“格线三角形”，且90BAC ∠=︒，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为．20．（2022•普陀区模拟）如图，已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5tan 12A =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒后得ADE ∆，点B 落在点D 处，点C 落在点E 处，联结BE 、CD ，作CAD ∠的平分线AN ，交线段BE 于点M ，交线段CD 于点N ，那么AMAN的值为．21．（2022•宝山区模拟）如图，正方形ABEF 和正方形BCDE 的边长相等，点A 、B 、C 在同一条直线上，联结AD 、BD ，那么cot ADB ∠的值为．22．（2022•宝山区模拟）如图，已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，3sin 5A =，把ABC ∆绕着点C 按顺时针方向旋转．将点A 、B 的对应点分别记为点A '、B '，如果△AA B ''为直角三角形，那么点A 与点A '的距离为．23．（2022中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =b =，得1ab =，记11111S a b=+++，2221111S a b =+++，⋯，1010101111S a b=+++，则1210S S S ++⋯+= ． 24．（2022•松江区校级模拟）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，点D 在边BC 上，且4BD =，过点D 的面积等分线交ABC ∆的边于点E ，那么线段AE 的长等于．25．（2022•松江区校级模拟）如图，已知在ABC ∆中，AB AC =，1tan 2B ∠=，将ABC ∆翻折，使点C 与点A 重合，折痕DE 交边BC 于点D ，交边AC 于点E ，那么BDDC的值为．26．（2022•浦东新区校级模拟）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形” ABCD 的边长为4，BD 是它的较短对角线，点M 、N 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足4AM CN +=，设BMN ∆的面积为S ，则S 的取值范围是．27．（2022•浦东新区校级模拟）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB CD ==，4sin 5B =，点E 是腰CD 上的一点且4CD DE =，当ABE ∆是直角三角形时，则边AD 的长为．28．（2022•嘉定区校级模拟）如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM AB ⊥，ON AC ⊥，垂足分别为M 、N ，如果3MN =，那么BC = ．29．（2022•嘉定区校级模拟）Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，50B ∠=︒，点D 在边BC 上，2BD CD =（如图）．把ABC ∆绕着点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒后，如果点B 恰好落在初始Rt ABC ∆的边上，那么m = ．30．（2022•金山区校级模拟）如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔塔尖点P 的仰角为60︒，沿山坡向上走200米到达B 处，在B 处测得点P 的仰角为15︒．已知山坡AB 的坡度i =H 、A 、B 、P 在同一平面内，那么电视塔的高度PH 为米．（结果保留根号形式）31．（2022•金山区校级模拟）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．将ABC ∆翻折，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕EF 交边AC 于点E ，交边BC 于点F ，如果//DE BC ，则线段EF 的长为．32．（2022•青浦区模拟）设a，b是任意两个实数，用{max a，}b表示a，b两数中较大者，例如：{2=．参照上面的材料，如果=，{3-=-，{1max-，2}2max-，2}2max，2}3-+=-+，那么x的取值范围是．x x{21-+，2}2max x33．（2022•青浦区模拟）在矩形ABCD中，5BC=（如图）．将矩形ABCD绕点BAB=，3按顺时针方向旋转得到矩形EBFG，点A的对应点为点E，且在边CD上，如果联结CG，那么CG的长为．34．（2022•松江区校级模拟）如图，在ABC∠=︒，ACAACB∆中，90∠=︒，45D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90︒的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．35．（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt ABC∠=︒，10AC=，点A∆中，90∠=︒，60BM、N分别在线段AC、AB上，将ANM∆沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM∆为直角三角形时，折痕MN的长为．专题03 填空压轴题1．（2022•虹口区二模）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 是BC 的中点，联结AE ，点O 是线段AE 上一点，O 的半径为1，如果O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是．【答案】51534AO <<【详解】设O 与AB 相切于点F ，连接OF ，1OF =，116322BE BC ==⨯=，90B ∠=︒，5AE ∴==，ABE ∆中，AB BE >，BAE ∴∠<∠BEÁ//AD BC ，DAE BEA ∴∠=∠， BAE DAE ∴∠<∠，90AFO ABE ∠=∠=︒，FAO BAE ∠=∠， AFO ABE ∴∆∆∽，∴AO OF AE EB =，即15533OF AE AO EB ⨯⨯===，DAE BAE ∠>∠，∴若O 与AD 相切时，和AB 一定相交；若O 与AB 相切时，和AD 一定相离．同理当O 与BC 相切于点M 时，连接OM ，1OM =，计算得54EO =， ∴此时5155544AO EO =-=-=，∴当51534AO <<时，O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，故答案为：51534AO <<．2．（2022•虹口区二模）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点M 是边CD 的中点，将BCM ∆沿直线BM 翻折，使得点C 落在同一平面内的点E 处，联结AE 并延长交射线BM 于点F ，那么EF 的长为．【详解】连接CE ，交BF 于点H ，过点B 作BN AF ⊥于点N ，由翻折得，BM 垂直平分EC ，BEH BCH ∆≅∆，12∠=∠， 1AB BC BE ===，BN AF ⊥， ABN NBE ∴∠=∠，111904522NBE ABC ∴∠+∠=∠=⨯︒=︒，BNF ∴∆是等腰直角三角形，45F ∠=︒，EHF ∴∆是等腰直角三角形，在Rt BEM ∆中，BM ==1122BEM S BE EM BM EH ∆=⋅=⋅，∴1111222EH ⨯⨯=，EH ∴=EF ∴，． 3．（2022•普陀区二模）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D '，如果点B '恰好落在对角线BD 上，联结DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE = ．【答案】2120【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥，3AB =，4BC AD ==，90ABC ∠=︒，5BD ∴=，1122ABD S AB AD BD AF ∆=⨯=⨯， 345AF ∴⨯=，125AF ∴=，95BF ∴==，将矩形ABCD 绕着点A 旋转后得到矩形AB C D '''，AB AB '∴=，90ABC AB C ''∠=∠=︒，AD AD '=，AF BD ⊥，95BF B F '∴==， 187555B D BD BB ''∴=-=-=，由旋转的性质可知，AB AB '=，AD AD '=，BAB DAD ''∠=∠，ABD ADD '∴∠=∠，90ABD ADB ∠+∠=︒，90ADD ADB '∴∠+∠=︒，90AB F DB E ''∠+∠=︒，90DB E B ED ''∠+∠=︒，AB F DEB ''∴∠=∠，90AFB B DE ''∠=∠=︒，AFB '∴∆∽△B DE '， ∴AF B F B D DE'='， ∴1295575DE=， 2120DE ∴=．故答案为：2120． 4．（2022•浦东新区二模）如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，点D 在边BC 上，且BD AC =，4sin 5ADC ∠=．那么边BC 的长为．【答案】7 【详解】在Rt ADC ∆中，90C ∠=︒，sin AC ADC AD ∴∠=， 4sin 5ADC ∠=，4AC =， 5AD ∴=，∴在Rt ADC ∆中，根据勾股定理得：3CD ，BD AC =，4∴=，BDBC BD DC∴=+=+=．4375．（2022•浦东新区二模）如图，已知在Rt ABC∠=︒，将ABC∆绕着点C旋转，C∆中，90点B恰好落在边AB上的点D（不与点B重合）处，点A落在点E处，如果//DE BC，联结AE，那么sin EAC∠的值为．【详解】如图：将ABC∆绕着点C旋转，点B恰好落在边AB上的点D，=，∠=∠，AC EC∴=，EDC BBC DC∴∠=∠=∠，CDB B EDC//DE BC，∴∠=∠，EDC DCB∴∠=∠=∠，CDB B DCB∠=︒，DCB∴∆是等边三角形，60DCB∴∠=︒-∠=∠=︒，ACE ACD DCB9060∴∆是等边三角形，ACEEAC∴∠=︒，60∴∠=，sin EAC．6．（2022•杨浦区三模）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，ABC ∆是等高底三角形，BC 是等底，点A 关于直线BC 的对称点是点A '，联结AA '，如果点B 是△AAC '的重心，那么AC BC的值是．【详解】延长CB 与AA '交于点D ，点A 关于直线BC 的对称点是点A '，AC AC ∴='，AD A D ='，AD CD ⊥，ABC ∆是等高底三角形，BC 是等底，AD BC ∴=，点B 是△AAC '的重心，23AD BC CD ∴==，设2AD BC x ==，则3CD x =，AC ∴=，∴AC BC ==7．（2022•杨浦区三模）如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC =，4cos 5B =，点P 是斜边AB 上一点，过点P 作PM AB ⊥交边AC 于点M ，过点P 作AC 的平行线，与过点M 作AB 的平行线交于点Q ．如果点Q 恰好在ABC ∠的平分线上，那么AP 的长为．【答案】53【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC =，4cos 5B =，10cos BC AB B ∴==，6AC ==， PM AB ∴⊥，90APM C ∴∠=︒=∠，A A ∠=∠，APM ACB ∴∆∆∽， ∴AP PM AM AC BC AB==，设3AP x =，则4PM x =，5AM x =，65MC x ∴=-，//MN AB ， ∴CM CN MN CA CB AB==， 2083CN x ∴=-，25103MN x =-， BQ 平分ABC ∠，//MN AB ，QBN BQN ∴∠=∠，203NQ BN BC CN x ∴==-=， //MN AB ，//PQ AC ，∴四边形APQM 是平行四边形，3QM AP x ∴==，2029333MN NQ MQ x x x ∴=+=+=， ∴29251033x x =-，解得59x =， 533AP x ∴==，故答案为：53．8．（2022•徐汇区模拟）如图，已知点(0,8)A 和点(4,8)B ，点B 在函数(0)k y x x=>的图象上，点C 是AB 的延长线上一点，过点C 的直线交x 轴正半轴于点E 、交双曲线于点D ．如果CD DE =，那么线段CE 长度的取值范围是．【答案】885CE <【详解】(0,8)A ，(4,8)B ，//AB x ∴轴．点B 在双曲线(0)k y x x =>上， 84k ∴=， 32k ∴=．过点D 作DF OA ⊥于点F ，如图，则//DF AB ．(0,8)A ，8OA ∴=．CD DE =，142AF OF OA ∴===， ∴点D 的纵坐标为4，点D 在双曲线32y x=上， 8x ∴=， (8,4)D ∴．当EC x ⊥轴时，此时EC 最小，8EC OA ==；当点E 与点O 重合时，此时EC 最大，CD DE =，∴点(16,8)C ，EC ∴=点E 在x 轴正半轴，885CE ∴<，故答案为：885CE <．9．（2022•徐汇区模拟）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E 、F 、G 、H 分别在白色直角三角形的斜边上，已知90ABO ∠=︒，3OB =，4AB =，若点A 、E 、D 在同一直线上，则OE 的长为．【答案】4537【详解】建立平面直角坐标系如图：90ABO ∠=︒，3OB =，4AB =，ABO CDO ∆≅∆， 3OD OB ∴==，4CD AB ==，∴点(4,3)A --、(0,3)B -、(3,4)C -、(3,0)D ，设直线AD 的解析式为y kx b =+，∴4330k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得3797k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为3977y x =-，设直线OC 析式为y mx =，34m ∴=-，解得43m =-， ∴直线OC 析式为43y x =-，联立397743y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得27373637x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，27(37E ∴，36)37-，4537OE ∴==．故答案为：4537． 10．（2022•徐汇区模拟）如图，在ABCD 中，70B ∠=︒，6BC =，以AD 为直径的O 交CD 于点E ，则劣弧AE 的长为．（结算结果保留)π 【答案】73π 【详解】四边形ABCD 是平行四边形，70B ∠=︒，6BC =， 70D B ∴∠=∠=︒，6BC AD ==，连接OE ，2140AOE D ∴∠=∠=︒，3OA OD ==， ∴劣弧AE 的长为：140371803ππ⨯=，故答案为：73π．11．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知点A 是双曲线1(0)y x x=<上一动点，联结OA ，作OB OA ⊥，且2OB OA =，如果当点A 在双曲线1y x =上运动时，点B 恰好在双曲线k y x=上运动，那么k 的值为．【答案】4-【详解】过A 作AC x ⊥轴于点C ，过B 作BD x ⊥轴于点D ， OB OA ⊥，90BOD AOC AOC OAC ∴∠+∠=∠+∠=︒， BOD OAC ∴∠=∠，且BDO ACO ∠=∠， AOC OBD ∴∆∆∽，2OB OA =， ∴21()4AOC OBD S OA S OB ∆∆==， ∴111214||2k ⨯=， ||4k ∴=，0k <，4k ∴=-，故答案为：4-．12．（2022•黄浦区校级二模）已知点P 是直线2y =上一点，P 与y 轴相切，且与x 轴负半轴交于A 、B 两点，如果2AB =，那么点P 的坐标是．【答案】(2)【详解】根据题意，画出图形如下：AB=，∴=，2ON2过点P作x轴的垂线，垂足为M，==，AM BM∴=，1PM2在Rt PBM∆中，PB===，P与y轴相切，∴⊥轴，PN PBPN y=，P与x轴负半轴交于A、B两点，∴点P的坐标是(2)．故答案为：(2)．13．（2022•黄浦区校级二模）如图，在ABCAC BC∠=︒，6==，点E在边ACB∆中，120=，点F在边BC上，过点F作EF的垂线交射线AC于点G，当Rt EFG AE BEAB上且2∆的一条直角边与ABC∆的一边平行时，则AG=．【答案】4或8【详解】过点C作CM AB⊥，AC BC==，ACB∠=︒，6120∴∠=∠=︒，30A B在Rt CBM ∆中，132CM BC ==，22AB BM ∴===2AE BE =，AE ∴=BE =①当//GF AB 时，由题意可得90GFE ∠=︒， 90FEB ∴∠=︒，在Rt EFB ∆中，30B ∠=︒，2EF ∴==，4BF =，又//GF AB ，30CGF CFG ∴∠=∠=︒， 2CG CF ∴==， 4AG ∴=；②当//GE BC 时，此时AG AEAC AB=，∴6AG =， 4AG ∴=；③当//EF AC 时，此时30FEB A ∠=∠=︒，过点F 作FN EB ⊥，EN BN ∴=22BF FN ==，120ACB ∠=︒，90CGF ∠=︒，60GCF ∴∠=︒，在Rt CGF ∆中，11(62)222CG CF ==-=，628AG ∴=+=，综上，AG 的长为4或8，故答案为：4或8．14．（2022•宝山区模拟）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，2AC =，3cos 5C =．BC 的垂直平分线交AB 于点E ，那么:BE AE 的值是．【答案】7【详解】过点A 作AH BC ⊥于H ，作BC 的垂直平分线交AB 于点E 、交BC 于F ，在Rt AHC ∆中，cos CHC AC=，2AC =，则325CH =，解得：65CH =，由勾股定理得：85AH ，在Rt ABH ∆中，45B ∠=︒，则85BH AH ==，145BC BH CH ∴=+=， EF 是BC 的垂直平分线，75BF ∴=， 15FH BH BF ∴=-=，EF BC ⊥，AH BC ⊥， //EF AH ∴，∴7BE BFEA FH==，故答案为：7．15．（2022•宝山区模拟）如图1，ABC ∆内有一点P ，满足PAB CBP ACP ∠=∠=∠，那么点P 被称为ABC ∆的“布洛卡点”．如图2，在DEF ∆中，DE DF =，90EDF ∠=︒，点P 是DEF ∆的一个“布洛卡点”，那么tan DFP ∠= ．【答案】12【详解】DE DF =，90EDF ∠=︒，EF ∴=，45DEF DFE ∠=∠=︒，点P 是DEF ∆的一个“布洛卡点”，EDP PEF DFP ∴∠=∠=∠，DEP PFE ∴∠=∠， DEP EFP ∴∆∆∽，∴DE DP PE EF EP PF ===，DP ∴=，PF =，1tan 2DP DFP PF ∴∠==，故答案为：12． 16．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，在Rt ABC ∆内部作正方形1111D E FG ，其中点1D ，1E 分别在AC ，BC 边上，边11F G 在BC 上，它的面积记作1S ；按同样的方法在△11CD E 内部作正方形2222D E F G ，它的面积记作2S ，2S = ，⋯，照此规律作下去，正方形n n n n D E F G 的面积n S = ．【答案】483，283n 【详解】CA CB =，90C ∴∠=︒， 45A B ∴∠=∠=︒，正方形1111D E FG ，易知113AB G F =，11223G F G F =，∴正方形1111D E FG 的边长为3，面积为28893=，正方形2222D E F G ，面积为483， ⋯，正方形n n n n D E F G 的面积283n nS =，故答案分别为483，283n ． 17．（2022•徐汇区校级模拟）如图，点P 是y 轴正半轴上一点，以P 为圆心的圆与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 、C 、D ．已知点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,1)-，则点D 的坐标为．【答案】(0,9) 【详解】连接AP ，点A 的坐标为(3,0)-，点C 的坐标为(0,1)-，3OA ∴=，1OC =，设P 的半径为x ，则1OP PC OC x =-=-，在Rt AOP ∆中，222OA OP AP +=，即2223(1)x x +-=，解得：5x =，5PD ∴=，14OP x =-=，9OD OP PD ∴=+=，∴点D 的坐标为：(0,9)．故答案为：(0,9)．18．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在直角坐标系中，(0,3)B 、(4,0)C 、(0,2)D ，AB 与CD 交于点P ，若45APC ∠=︒，则A 点坐标为．【答案】(1,0)【详解】如图，将DC 绕点D 逆时针旋转90︒得到DQ ，则(2,6)Q(4,0)C ，∴直线CQ 的解析式为312y x =-+，45APC DCQ ∠=∠=︒， //AB CQ ∴，∴直线AB 的解析式为33y x =-+， ∴点(1,0)A ，故答案为：(1,0)．19．（2022•普陀区模拟）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt ABC ∆为“格线三角形”，且90BAC ∠=︒，那么直线BC 与直线c 的夹角α的余切值为．【答案】3【详解】过B 作BE ⊥直线a 于E ，延长EB 交直线c 于F ，过C 作CD ⊥直线a 于D ，则90CDA AEB ∠=∠=︒，直线//a 直线//b 直线c ，相邻两条平行线间的距离相等（设为)d ，BF ∴⊥直线c ，2CD d =，BE BF d ∴==，90CAB ∠=︒，90CDA ∠=︒，90DCA DAC ∴∠+∠=︒，90EAB DAC ∠+∠=︒， DCA EAB ∴∠=∠，在CDA ∆和AEB ∆中， DCA EAB CDA AEB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CDA AEB AAS ∴∆≅∆， 2AE CD d ∴==，AD BE d ==，23CF DE AE AD d d d ∴==+=+=， BF d =，3cot 3CF dBF dα∴===，故答案为：3．20．（2022•普陀区模拟）如图，已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5tan 12A =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒后得ADE ∆，点B 落在点D 处，点C 落在点E 处，联结BE 、CD ，作CAD ∠的平分线AN ，交线段BE 于点M ，交线段CD 于点N ，那么AMAN的值为．【答案】23【详解】方法一：解：由90C ∠=︒和5tan 12A =可设5BC k =，12AC k =， 13AB k ∴=，由旋转得，12AE AC k ==，5ED BC k ==，13AB AD k ==，如图，以点C 为原点，BC 和AC 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,12)A k ，(5,0)B k -，旋转角为90︒，(12,12)E k k ∴，(12,7)D k k ，过点N 作NF AC ⊥于点F ，交BE 于点P ，作NH AD ⊥于点H ， AN 平分CAD ∠， NF NH ∴=，∴1213ANC AND S AC kS AD k∆∆==，又ANC ∆在边CN 上的高和AND ∆在边DN 上的高相等，∴1213ANC AND S CN DN S ∆∆==， ∴点N 的坐标为144(25k ，84)25k，设直线BE 的解析式为y mx n =+，则 501212km n km n k -+=⎧⎨+=⎩，解得：12176017m k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BE 的解析式为12601717y x k =+，当8425k y =时，126084171725kx k +=，解得：625x k =-， 6(25P k ∴-，84)25k ， 1446()62525k NP k k ∴=--=， NF AC ⊥，90EAC ∠=︒， //AE NP ∴， MAE MNP ∴∆∆∽，∴1226AM AE k NM NP k ===， ∴23AM AN =，方法二：解：由题可知，BAC DAE ∠=∠，CAM MAD ∠=∠， BAC CAM DAE MAD ∴∠+∠=∠+∠， BAN NAE ∴∠=∠，如图，延长AN ，交BC 的延长线于点F ， //AE BC ， EAN AFC ∴∠=∠， BAN AFC ∴∠=∠，BF BA ∴=，设5BC =，12AC =，13AB =，∴1213AE BF =， AME FMB ∴∆∆∽，∴1213AM AE MF BF ==，∴1225AM AF =，延长AD 与BC 的延长线交于点H ，延长ED 与BH 交于点I ， 5DE =，∴四边形ACIE 为正方形，7DI ∴=，延长CD 与AE 延长线交于点G ，易证EDG IDC ∆∆∽，∴EG DECI DI=，即5127EG =， 607EG ∴=， 601441277AG ∴=+=，易知，ANG FNC ∆∆∽，∴AN AG NF FC=， 13BF =，5BC =， 8CF ∴=， ∴14418787AN NF ==， ∴1825AN NF =， 1225AM AF =， ∴122183AM AN ==，故答案为：23．21．（2022•宝山区模拟）如图，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A、B、C在同一条直线上，联结AD、，那么的值为．【答案】3【详解】连接交于，设正方形的边长为，，，，，，，故答案为：3．22．（2022•宝山区模拟）如图，已知在中，，，，把绕着点按顺时针方向旋转．将点、的对应点分别记为点、，如果△为直角三角形，那么点与点的距离为．【答案】或【详解】在中，，，，，，，，，绕着点按顺时针方向旋转得到△，，，，①当时，如图，过点作，，，，，，；②当时，如图，过点作，，，，，，，，，在中，，，，，在△中，，③当时，如图，过点作，，，，，，，，综上所述，或，故答案为：或．23．（2022•徐汇区模拟）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，则．【答案】10【详解】，，，，，故答案为10．24．（2022•松江区校级模拟）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知中，，，点在边上，且，过点的面积等分线交的边于点，那么线段的长等于．【答案】【详解】过点作于，过点作于，，．，．在中，由勾股定理，得．，．，，，即．，，，，即，．故答案为：．25．（2022•松江区校级模拟）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为．【答案】【详解】过点作于点，连接．由翻折可知，，，，，．设，在中，，，，在中，，，，，则，．故答案为：．26．（2022•浦东新区校级模拟）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为4，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是．【答案】【详解】菱形的边长为4，，和都为正三角形，，，，，，在和中，，；，，，，，为正三角形；设，则，当时，最小为：，，当与重合时，最大，菱形的边长为4，，最大为4，，．则的取值范围是．故答案为：．27．（2022•浦东新区校级模拟）如图，在梯形中，，，，点是腰上的一点且，当是直角三角形时，则边的长为．【答案】【详解】如图，过点作交于点，以为坐标原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，，，，，，，设，如图，过点，作，于点，，，四边形是矩形，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，是直角三角形，当时，，，解得，当时，此种情况不存在，一线三垂直模型可算出结果是根号则边的长为．故答案为：．28．（2022•嘉定区校级模拟）如图，、都是圆的弦，，，垂足分别为、，如果，那么．【答案】6【详解】、都是圆的弦，，，、为、的中点，即线段为的中位线，．故答案为：6．29．（2022•嘉定区校级模拟）中，已知，，点在边上，（如图）．把绕着点逆时针旋转后，如果点恰好落在初始的边上，那么．【答案】或【详解】如图，在线段取一点，使，在线段取一点，使，①旋转角，②在△中，，，旋转角．故答案为：或．30．（2022•金山区校级模拟）如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔塔尖点的仰角为，沿山坡向上走200米到达处，在处测得点的仰角为．已知山坡的坡度，且、、、在同一平面内，那么电视塔的高度为米．（结果保留根号形式）【答案】【详解】过作于，过作，如图所示：则，，由题意得：米，，，山坡的坡度，，，，，，是等腰直角三角形，米，在中，，（米，故答案为：．31．（2022•金山区校级模拟）如图，已知Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=．将ABC∆翻折，使点C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果//DE BC，则线段EF的长为．【答案】7【详解】如图，由折叠可知，EC ED=，FC FD=，CEF DEF∠=∠，EF是CD的垂直平分线，//DE BC，90ACB∠=︒，90AED ACB∴∠=∠=︒，45CEF DEF∴∠=∠=︒，90CED ECF EDF∴∠=∠=∠=︒∴四边形CEDF是正方形，设CF x=，则6AE x=-，8BF x=-，由AED DFB∆∆∽得，AE EDDF FB=，即，68x xx x-=-，解得，247x=，在Rt CEF∆中，EF==32．（2022•青浦区模拟）设a ，b 是任意两个实数，用{max a ，}b 表示a ，b 两数中较大者，例如：{2max -，2}2-=-，{1max -，2}2=，{3max ，2}3=．参照上面的材料，如果{21max x -+，2}2x x -+=-+，那么x 的取值范围是．【答案】1x -【详解】{21max x -+，2}2x x -+=-+，∴根据题中的新定义得：212x x -+-+，移项合并得：1x -，解得：1x -．故答案为：1x -．33．（2022•青浦区模拟）在矩形ABCD 中，5AB =，3BC =（如图）．将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形EBFG ，点A 的对应点为点E ，且在边CD 上，如果联结CG ，那么CG 的长为．【详解】过G 作GH CD ⊥于点H ，由旋转变换的性质可知，5BA BE ==，3AD EG ==，由勾股定理得，4CE ==，90CBE CEB CEB HEG ∠+∠=∠+∠=︒，CBE HEG ∴∠=∠，90BCE EHG ∠=∠=︒，BCE EHG ∴∆∆∽， ∴BE BC EC EG EH GH==，即5343EH GH ==， 95EH ∴=，125GH =， 115CH CE EH ∴=-=，CG ∴=，34．（2022•松江区校级模拟）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，AC D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90︒的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为．【答案】142π- 【详解】连接CD ，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，45A ∠=︒，AC 12CD AB BD ∴==，CA CB =，2AB ∴=，CD AB ⊥，90GDC CDH CDH HDB ∴∠+∠=∠+∠=︒， GDH HDB ∴∠=∠，又DB DC =，45DCG DBH ∠=∠=︒，()DGC DHB ASA ∴∆≅∆，∴四边形DGCH 的面积等于ACD ∆的面积∴阴影部分的面积是：2901111360242ππ⨯⨯-=-，故答案为：142π-．35．（2022•松江区校级模拟）如图，已知Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，10AC =，点M 、N 分别在线段AC 、AB 上，将ANM ∆沿直线MN 折叠，使点A 的对应点D 恰好落在线段BC 上，当DCM ∆为直角三角形时，折痕MN 的长为．【答案】或【详解】分两种情况：①如图，当时，是直角三角形，在中，，，，，，由折叠可得，，，，，，，，，10390CDM ∠=︒CDM∆Rt ABC ∆90B ∠=︒60A ∠=︒10AC =30C ∴∠=︒152AB AC ==60MDN A ∠=∠=︒30BDN ∴∠=︒1122BN DN AN ∴==1533BN AB ∴==1023AN BN ∴==60DNB ∠=︒60ANM DNM ∴∠=∠=︒60AMN ∴∠=︒； ②如图，当时，是直角三角形，由题可得，，，，，，，又，，，过作于，则，，，由折叠可得，，是等腰直角三角形，，．故答案为：或． 103MN AN ∴==90CMD ∠=︒CDM ∆60CDM ∠=︒60A MDN ∠=∠=︒60BDN ∴∠=︒30BND ∠=︒1122BD DN AN ∴==BN =5AB=20AN ∴=-15BN =-N NH AM ⊥H 30ANH ∠=︒1102AH AN ∴==-15HN =45AMN DMN ∠=∠=︒MNH∴∆15HM HN ∴==MN ∴=103。

2020-2021学年上海市中考数学二模试卷及答案解析

上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题，共6题，每题4分，共24分1．下列等式成立的是（）A．2﹣2=﹣22B．26÷23=22C．（23）2=25D．20=12．下列各整式中，次数为5次的单项式是（）A．x y4B．x y5C．x+y4D．x+y53．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A．﹣1B．0C．1D．24．如果正多边形的一个内角等于135°，那么这个正多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中，正确的个数有（）①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据；②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据；③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据．A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知四边形A B C D是平行四边形，对角线A C与B D相交于点O，下列结论中不正确的是（）A．当A B=B C时，四边形A B C D是菱形B．当A C⊥B D时，四边形A B C D是菱形C．当O A=O B时，四边形A B C D是矩形D．当∠A B D=∠C B D时，四边形A B C D是矩形二、填空题，共12小题，每题4分，共48分7．计算：=．（结果保留根号）8．分解因式：x3﹣4x=．9．方程x=x+4的解是．10．已知分式方程+=3，如果t=，那么原方程可化为关于t的整式方程是．11．如果反比例函数的图象经过点（3，﹣4），那么这个反比例函数的比例系数是．12．如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是合数的概率是．13．为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在改山区不同的地方捕获了15只金丝猴，并在它们的身上做标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同的地方又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可估计该山区金丝猴的数量约有只．14．已知点G时△A B C的重心，=，=，那么向量用向量、表示为．15．如图，已知A D∥E F∥B C，A E=3B E，A D=2，E F=5，那么B C=．16．如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是海里．17．对于函数y=（a x+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数．如果一个函数y=（a x+b）2的特征数为[2，﹣5]，那么这个函数图象与x轴的交点坐标为．18．如图，已知在R t△A B C中，D是斜边A B的中点，A C=4，B C=2，将△A C D沿直线C D折叠，点A落在点E处，联结A E，那么线段A E的长度等于．三、简答题，共7题，共78分19．化简并求值：（1+）+，其中x=+1．20．解不等式组：，并写出它的非负整数解．21．已知：如图，在△A B C中，D是边B C上一点，以点D为圆心，C D为半径作半圆，分别与边A C、B C相交于点E和点F．如果A B=A C=5，c o s B=，A E=1．求：（1）线段C D的长度；（2）点A和点F之间的距离．22．小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半个小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米．求小张上山时的速度．23．如图，已知在平行四边形A B C D中，A E⊥B C，垂足为E，A F⊥C D，垂足为点F．（1）如果A B=A D，求证：E F∥B D；（2）如果E F∥B D，求证：A B=A D．24．已知：如图，直线y=k x+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=﹣x2+b x+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且A C⊥A B，t a n∠A C B=．（1）当t=1时，求抛物线的表达式；（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．25．如图，已知在△A B C中，射线A M∥B C，P是边B C上一动点，∠A P D=∠B，P D交射线A M于点D．联结C D．A B=4，B C=6，∠B=60°．（1）求证：A P2=A D•B P；（2）如果以A D为半径的圆A以与A以B P为半径的圆B相切．求线段B P的长度；（3）将△A C D绕点A旋转，如果点D恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时∠B E P的余切值．上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题，共6题，每题4分，共24分1．下列等式成立的是（）A．2﹣2=﹣22B．26÷23=22C．（23）2=25D．20=1【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据幂的乘方，可判断C，根据0指数幂，可判断D．【解答】解：A、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；D、非零的零次幂等于1，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．2．下列各整式中，次数为5次的单项式是（）A．x y4B．x y5C．x+y4D．x+y5【考点】单项式．【分析】根据单项式的次数是所有字母的指数和，可得答案．【解答】解：A、是5次单项式，故A正确；B、是6次单项式，故B错误；C、是多项式，故C错误；D、是5次多项式，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了单项式，需注重：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．3．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】同类二次根式．【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．【解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得x+2=3x，解得x=1．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．4．如果正多边形的一个内角等于135°，那么这个正多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8【考点】多边形内角与外角．【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数n=360÷45=8，∴该正多边形的边数是8．故选：D．【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．5．下列说法中，正确的个数有（）①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据；②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据；③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】众数；算术平均数；中位数．【分析】根据平均数的定义，即可判断①；根据中位数的定义，即可判断②；根据众数的定义即可判断③．【解答】解：①根据平均数的定义，可判断①错误，如3，7，8三个数的平均数为：=6；②根据中位数的定义可判断②错误，当数据个数为偶数个时，中位数不一定是该组数据中的某个数据，如2，2，4，5的中位数为：=3；③根据众数的定义可判断③正确．故选：B．【点评】此题考查了平均数，中位数，众数的定义，解题的关键是：熟记这三种数据的定义．6．已知四边形A B C D是平行四边形，对角线A C与B D相交于点O，下列结论中不正确的是（）A．当A B=B C时，四边形A B C D是菱形B．当A C⊥B D时，四边形A B C D是菱形C．当O A=O B时，四边形A B C D是矩形D．当∠A B D=∠C B D时，四边形A B C D是矩形【考点】矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定．【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、不能得到一个角是直角，故错误，故选D．【点评】本题考查了矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．二、填空题，共12小题，每题4分，共48分7．计算：=．（结果保留根号）【考点】实数的性质．【专题】计算题．【分析】本题需先判断出的符号，再求出的结果即可．【解答】解：∵﹣2＜0∴=2﹣故答案为：2﹣【点评】本题主要考查了实数的性质，在解题时要能根据绝对值得求法得出结果是本题的关键．8．分解因式：x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．9．方程x=x+4的解是x=﹣2﹣2．【考点】二次根式的应用；解一元一次方程．【分析】根据一元一次方程的解法求解，然后分母有理化即可．【解答】解：移项得，x﹣x=4，合并同类项得，（1﹣）x=4，系数化为1得，x===﹣2﹣2，即x=﹣2﹣2．故答案为：x=﹣2﹣2．【点评】本题考查了二次根式的应用，解一元一次方程，难点在于要分母有理化．10．已知分式方程+=3，如果t=，那么原方程可化为关于t的整式方程是t2﹣3t+2=0．【考点】换元法解分式方程．【分析】把t=代入方程，得出t+=3，整理成一般形式即可．【解答】解：∵+=3，t=，∴t+=3，整理得：t2﹣3t+2=0，故答案为：t2﹣3t+2=0．【点评】本题考查了用换元法解分式方程的应用，解此题的关键是能正确换元，题目是一道比较典型的题目，难度不是很大．11．如果反比例函数的图象经过点（3，﹣4），那么这个反比例函数的比例系数是﹣12．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接根据根据反比例函数中k=x y的特点进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（3，﹣4），∴k=3×（﹣4）=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是合数的概率是．【考点】概率公式．【分析】由随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，共有6中等可能的结果，正面朝上的数字是合数的有4，6；直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，共有6中等可能的结果，正面朝上的数字是合数的有4，6；∴正面朝上的数字是合数的概率是：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在改山区不同的地方捕获了15只金丝猴，并在它们的身上做标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同的地方又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可估计该山区金丝猴的数量约有120只．【考点】用样本估计总体．【分析】设该山区金丝猴的数量约有x只金丝猴，根据第一次捕获了15只金丝猴，在它们的身上做标记后放回该山区，第二次又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设该山区金丝猴的数量约有x只金丝猴，依题意得x：15=32：4，解得：x=120．则该山区金丝猴的数量约有120只．故答案为：120．【点评】本题主要考查了利用样本估计总体的思想，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．14．已知点G时△A B C的重心，=，=，那么向量用向量、表示为+．【考点】*平面向量；三角形的重心．【分析】由点G时△A B C的重心，根据三角形重心的性质，即可求得，再利用三角形法则求得的长，继而求得答案．【解答】解：如图，∵点G时△A B C的重心，=，∴==，∴=+=+，∵点G时△A B C的重心，∴==+．故答案为：+．【点评】此题考查了平面向量的知识与三角形重心的性质．注重掌握三角形法则的应用．15．如图，已知A D∥E F∥B C，A E=3B E，A D=2，E F=5，那么B C=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先延长B A与C D，相交于点G，由A D∥E F∥B C，可得△G A D∽△G E F，△G A D∽△G B C，又由A D=2，E F=5，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得B C的长．【解答】解：延长B A与C D，相交于点G，∵A D∥E F∥B C，∴△G A D∽△G E F，△G A D∽△G B C，∴==，∵A D=2，E F=，A E=9，∴=，解得：G A=6，∴G B=G A+A E+B E=18，∴=，解得：B C=6．故答案为：6．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注重掌握辅助线的作法，注重数形结合思想的应用．16．如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是10海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】由已知可得△A B C是等腰直角三角形，已知A B=10海里，根据等腰直角三角形的性质即可求得斜边B C的长．【解答】解：如图，由题意得，∠B A D=30°，∠C A D=60°，∠C B E=75°，A B=10海里．∵A D∥B E，∴∠A B E=∠B A D=30°，∴∠A B C=∠C B E﹣∠A B E=75°﹣30°=45°．在△A B C中，∵∠B A C=∠B A D+∠C A D=30°+60°=90°，∠A B C=45°，∴△A B C是等腰直角三角形，∵A B=10海里，∴B C=A B=10海里．故答案为10．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质，掌握方向角的定义从而证明△A B C是等腰直角三角形是解题的关键．17．对于函数y=（a x+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数．如果一个函数y=（a x+b）2的特征数为[2，﹣5]，那么这个函数图象与x轴的交点坐标为（，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】新定义．【分析】首先根据函数的特征数新定义求出a和b的值，然后令y=0，即可求出x的值．【解答】解：∵对于函数y=（a x+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数，函数y=（a x+b）2的特征数为[2，﹣5]，∴a=2，b=﹣5，∴函数为y=（2x﹣5）2，∴（2x﹣5）2=0解得x=，∴这个函数图象与x轴的交点坐标为（，0），故答案为：（，0）．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是掌握函数的特征数新定义，此题难度不大．18．如图，已知在R t△A B C中，D是斜边A B的中点，A C=4，B C=2，将△A C D沿直线C D折叠，点A落在点E处，联结A E，那么线段A E的长度等于．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】延长C D交A E于F，由折叠的性质得出C F⊥A E，A C=E C，得出∠A F C=90°，A F=E F，由勾股定理求出A B，由直角三角形斜边上的中线性质得出C D=A B=A D，得出∠D C A=∠D A C，证出△A F C∽△B C A，得出对应边成比例，求出A F，即可得出A E的长．【解答】解：如图所示：延长C D交A E于F，由折叠的性质得：C F⊥A E，A C=E C，∴∠A F C=90°，A F=E F，∵在R t△A B C中，∠A C B=90°，∴A B===2，∵D是斜边A B的中点，∴C D=A B=A D，∴∠D C A=∠D A C，∵∠A F C=∠A C B=90°，∴△A F C∽△B C A，∴，即，∴A F=，∴A E=2A F=；故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、简答题，共7题，共78分19．化简并求值：（1+）+，其中x=+1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（+）+=+=+=当x=+1时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．解不等式组：，并写出它的非负整数解．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，然后再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再找出非负整数解．【解答】解：，由①得：x≥﹣4，由②得：x＜2，不等式组的解集为：﹣4≤x＜2，非负整数解为：0，1．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21．已知：如图，在△A B C中，D是边B C上一点，以点D为圆心，C D为半径作半圆，分别与边A C、B C相交于点E和点F．如果A B=A C=5，c o s B=，A E=1．求：（1）线段C D的长度；（2）点A和点F之间的距离．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接E F，利用圆周角定理得出∠F E C=90°，再利用等腰三角形的性质，结合锐角三角函数得出答案；（2）利用锐角三角函数得出N C的长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）连接E F，∵由题意可得F C是⊙D的直径，∴∠F E C=90°，∵A B=A C，∴∠B=∠A C B，∵A B=A C=5，c o s B=，A E=1，∴E C=4，c o s B=c o s∠A C B===，解得：F C=5，则D C=2.5；（2）连接A F，过点A作A N⊥B C于点N，∵A B=5，c o s B=，∴B N=4，∴A N=3，∵c o s C=c o s B=，∴N C=4，∴F N=1，∴A F==．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和锐角三角函数等知识，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．22．小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半个小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米．求小张上山时的速度．【考点】分式方程的应用．【分析】设小张上山时的速度为x千米/小时，则下山时的速度为x+1千米/小时，根据上下山所用时间和到达山顶后停留了半个小时为15时30分﹣8时=7小时30分列出方程解答即可．【解答】解：设小张上山时的速度为x千米/小时，则下山时的速度为x+1千米/小时，由题意得++=7.5，解得：x=3或x=﹣（不合题意，舍去），经检验x=3是原分式方程的解．答：小张上山时的速度为3千米/小时．【点评】此题考查分式方程的实际运用，掌握行程问题中路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键．23．如图，已知在平行四边形A B C D中，A E⊥B C，垂足为E，A F⊥C D，垂足为点F．（1）如果A B=A D，求证：E F∥B D；（2）如果E F∥B D，求证：A B=A D．【考点】平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出△A B E≌△A D F（A A S），进而求出答案；（2）利用平行线分线段成比例定理结合相似三角形的判定与性质得出△A B E∽△A D F，进而求出答案．【解答】证明：（1）∵在平行四边形A B C D中，A E⊥B C，A F⊥C D，∴∠A B E=∠A D F，在△A B E和△A D F中∵，∴△A B E≌△A D F（A A S），∴B E=D F，∴=，∴E F∥B D；（2）∵E F∥B D，∴=，∵∠A B F=∠A D F，∠A E B=∠A F D，∴△A B E∽△A D F，∴=，∴=，∴A D×B C=A B×D C，∴A B2=A D2，∴A B=A D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识，得出=是解题关键．24．已知：如图，直线y=k x+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=﹣x2+b x+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且A C⊥A B，t a n∠A C B=．（1）当t=1时，求抛物线的表达式；（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可；（2）如图：作C H⊥x轴，垂足为点H，根据△A O B∽△C H A，得到==，根据t a n∠A C B==，得到==，根据O A=t，得到点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．（3）根据点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+b x+c的对称轴上，得到t﹣4=，即b=2t﹣8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+b t+2=0，可知t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，据此即可求出t的值．【解答】解：（1）∵t=1，y=k x+2，∴A（1，0），B（0，2），把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得，解得，，∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+2．（2）如图：作C H⊥x轴，垂足为点H，得∠A H C=∠A O B=90°，∵A C⊥A B，∴∠O A B+∠C A H=90°，又∵∠C A H+∠A C H=90°，∴∠O A B=∠A C H，∴△A O B∽△C H A，∴==，∵t a n∠A C B==，∴==，∵O A=t，O B=2，∴C H=2t，A H=4，∴点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．（3）∵点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+b x+c的对称轴上，∴t﹣4=，即b=2t﹣8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+b t+2=0，∴﹣t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，解得t=4+，∵点C（t﹣4，﹣2t）在第三象限，∴t=4+不符合题意，舍去，∴t=4﹣．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质等知识，难度较大．25．如图，已知在△A B C中，射线A M∥B C，P是边B C上一动点，∠A P D=∠B，P D交射线A M于点D．联结C D．A B=4，B C=6，∠B=60°．（1）求证：A P2=A D•B P；（2）如果以A D为半径的圆A以与A以B P为半径的圆B相切．求线段B P的长度；（3）将△A C D绕点A旋转，如果点D恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时∠B E P的余切值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先由平行线证明∠A P B=∠D A P，再由已知条件∠A P D=∠B，证明△A B P∽△D P A，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）设B P=x，作A H⊥B C于H，先根据勾股定理求出A H，再由勾股定理得出A P2=P H2+A H2，由两圆外切时，A B=|A D+B P|，得出方程，解方程即可；（3）作P M⊥A B于M；先根据题意得出：A D=A B==4，解方程求出B P，再证明△A B P为等边三角形，求出P M，然后证明四边形A D C H为矩形，得出B E=C D=A H=2，∠A B E=∠AD C=90°，求出B F，即可求出∠BE P的余切值．【解答】（1）证明：∵A M∥B C，∴∠A P B=∠D A P，又∵∠A P D=∠B，∴△A B P∽△D P A，∴，∴A P2=A D•B P；（2）解：设B P=x，作A H⊥B C于H，如图1所示：∵∠B=60°，∴∠B A H=30°，∴B H=A B=2，根据勾股定理得：A H==2，A P2=P H2+A H2=（x﹣2）2+（2）2=x2﹣4x+16，∴A D==，两圆相切时，A B=|A D+B P|，即4=|x+|，整理得：4x=|4x﹣16|，解得：x=2，∴B P的长度为2时，两圆内切；（3）解：根据题意得：A D=A B==4，解得：x=4，∴B P=4，∵∠A B P=60°，A B=B P=4，∴△A B P为等边三角形，∵A D=A B=4，C H=B C﹣B H=4，A D∥C H，∠A H C=90°，∴四边形A D C H为矩形，∴B E=C D=A H=2，∠A B E=∠A D C=90°，作P M⊥A B于M，如图2所示：则P M∥B E，P M=2，∴P M=B E，∴B F=F M=B M=1，∴c o t∠B E P==2．【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两圆外切的条件、等边三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线运用勾股定理和证明等边三角形、矩形才能得出结果．。

填空压轴题2022年上海数学中考二模汇编

填空压轴题2022年上海数学中考二模汇编1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，点E在边AD上且AE=4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A，B的对应点A1，B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD 交于点G，如果DG=3，那么BF的长为．2.如图，AD是△ABC的中线，点E在边AB上，且DE⊥AD，将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，连接AF交BC于点G，如果AEBE =52，那么GFAB的值等于．3.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=10，BC=15，tan∠A=43，点P是边AD上一点，连接PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90∘得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是．4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=3，AB=5，sinA=45，将平行四边形ABCD绕着点B 顺时针旋转θ(0∘<θ<90∘)后，点A的对应是点Aʹ，连接AʹC，如果AʹC⊥BC，那么cosθ的值是．5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，点D，E分别是边BC，AB上一点，DE∥AC，BD=5√2，把△BDE绕着点B旋转得到△BDʹEʹ（点D，E分别与点Dʹ，Eʹ对应），如果点A，Dʹ，Eʹ在同一直线上，那么AEʹ的长为．6.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠BAC=60∘，BC=√3，D是BC边上一点，沿直线AD翻折△ABD，点B落在点E处，如果∠ABE=45∘，那么BD的长为．7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为Aʹ，Dʹ，如果直线AʹDʹ与⊙O相切，那么BC的值为．AB，点P为边AB上一点，将△BPC 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，cotB=43沿着PC翻折得到△BʹPC，BʹC与边AB的交于点D，如果△BʹPD恰好为直角三角形，那么BP=．9.小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1，图2，直线CG，DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG，DH分别与斜边AB，EF交于点G，H，如果△BCG与△DFH相似，AC=3，AB=5，DE=4，DF= 8，那么AG=．10.如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90∘，DC=AD，∠B是锐角，cotB=5，AB=17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△12BCE的周长为．11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=35∘，CD是斜边AB上的中线，如果将△BCD沿CD所在直线翻折，点B落在点E处，连接AE，那么∠CAE的度数是度．，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△A1BC1，12.如图，在△ABC中，AB=AC=5，tanB=34当点C1在线段CA延长线上时，△ABC1的面积为．13.已知⊙O的直径AB=4，⊙D与半径为1的⊙C外切，且⊙C与⊙D均与直径AB相切，与⊙O内切，那么⊙D的半径是．14.定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为．15.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，把△ABC绕C点旋转得到△AʹBʹCʹ，其中点Aʹ在线段AB上，那么∠AʹBʹB的正切值等于．16.如图，平面直角坐标系中，A(8,0)，B(8,4)，C(0,4)，反比例函数y=k在第一象限内的图象分别x与线段AB，BC交于点F，E，连接EF，如果点B关于EF的对称点恰好落在OA边上，那么k的值为．17.如图，已知在△ABC中，∠C=90∘，BC=2，点D是边BC的中点，∠ABC=∠CAD，将△ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，连接BE，那么线段BE的长为．18.如图，已知在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30∘，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点B落在点B1处，点C落在点C1处，且BB1⊥AC连接B1C和C1C，那么△B1C1C的面积等于．19.如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是．20.定义：如果P是圆O所在平面内的一点，Q是射线OP上一点，且线段OP，OQ的比例中项等于圆O的半径，那么我们称点P与点Q为这个圆的一对反演点．已知点M，N为圆O的一对反演点，且点M，N到圆心O的距离分别为4和9，那么圆O上任意一点A到点M，=．N的距离之比AMAN21.我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=12，动点P从点A开始沿射线AC方向以1个单位/秒的速度向点C运动，动点Q从点C开始沿射线CB方向以2个单位/秒的速度向点B运动，P，Q 两点分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ的中点M运动的轨迹长为．22.如图，AD是△ABC的中线，点E在边AB上，且DE⊥AD，将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，连接AF交BC于点G，如果AEBE =52，那么GFAB的值等于．23.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=2√5，D为边AC上一点（点D与点A，C不重合）．将△ABD沿直线BD翻折，使点A落在点E处，连接CE．如果CE∥AB，那么AD:CD=．24.如图，矩形ABCD，AD=a，将矩形ABCD绕着顶点B顺时针旋转，得到矩形EBGF，顶点A，D，C分别与点E，F，G对应（点D与点F不重合）．如果点D，E，F在同一条直线上，那么线段DF的长是（用含a的代数式表示）．25.如图，在矩形ABCD中，AB=6，点E在边AD上且AE=4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A，B的对应点A1，B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD 交于点G，如果DG=3，那么BF的长为．26.如图，点M的坐标为(3,2)，动点P从点O出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l:y=−x+b也随之移动，如果点M关于l的对称点落在坐标轴上，设点P 的移动时间为t，那么t的值可以是．27.如图，点M的坐标为(3,2)，点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之上下平移，且直线l与直线y=−x平行，如果点M关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是．28.一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于．29.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=30∘，将△ABC绕着点A逆时针旋转30∘，记点C的对应点为点D，AD，BC的延长线相交于点E．如果线段DE的长为√2，那么边AB 的长为．30.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6．将△ABC绕点B旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上．直线AC交DE于点F，那么CF的长为．31.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点C旋转，点A，B的对应点分别是点Aʹ，Bʹ，若点Bʹ恰好在线段AAʹ的延长线上，则AAʹ的长等于．，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转32.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=6，cosB=2390∘，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△AʹCBʹ（点Aʹ，C，Bʹ的对应点分别是点A，C，B），连接AʹA，BʹB，如果△AAʹB和△AAʹBʹ相似，那么AʹC的长是．33.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2√3,0)，B(0,6)，M(0,2)．点Q在直线AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，连接PQ．如果直线PQ与直线AB所构成的夹角为60∘，那么点P的坐标是．34.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的长为1，点P是线段BD上的一点，连接CP，将△BCP沿着直线CP翻折，若点B落在边AD上的点E处，且EP∥AB，则AB的长等于．，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，35.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，sinB=35点A，B分别与点A1，B1对应，边A1B1分别交边AB，BC于点D，E，如果点E是边=．A1B1的中点，那么BDB1C36.已知，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=9，BC=12，点D，E分别在边AC，BC上，且CD:CE=3:4，将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是．37.当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+(m−2)x−2m=0是“倍根方程”，那么m 的值为．38.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A，C在坐标轴上，点B的坐标是(2,2)．将△ABC沿x轴向左平移得到△A1B1C1，点B1落在函数y=−6的图象上．如果此时四边形xAA1C1C的面积等于55，那么点C1的坐标是．239.已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3cm，圆心O到直线l1的距离是1cm，如果⊙O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为cm．40.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B翻折到点E处，如果DE:AC=1:3，那么AD:AB=．41.如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α(0∘<α<90∘)得到ABʹ，边AC绕着点A逆时针旋转β(0∘<β<90∘)得到ACʹ，连接BʹCʹ．当β+α=90∘时，我们称△ABʹCʹ是△ABC的“双旋三角形”．如果等边△ABC的边长为a，那么它的“双旋三角形”的面积是（用含a的代数式表示）．42.等腰△ABC中，AB=AC，它的外接圆⊙O半径为1，如果线段OB绕点O旋转90∘后可与线段OC重合，那么∠ABC的余切值是．43.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，那么点P和点B间的距离等于．44.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=3，点P，Q分别在边BC，AC上，PQ∥AB，把△PCQ绕点P旋转得到△PDE（点C，Q分别与点D，E对应），点D落在线段PQ上，若AD平分∠BAC，则CP的长为．45.如图，已知平行四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=45∘，将三角形ABC沿着AC翻折，点B落在点E处，连接DE，那么DE的值为．AC46.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边AB上，且∠BDC=90∘．如果△ACD绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D旋转至点D1，那么线段DD1的长为．，点E在线47.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90∘，AB=12，DC=7，cos∠ABC=513段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=．，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直48.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=32线CD翻折，使得点B落在同一平面内的Bʹ处，连接ABʹ，那么ABʹ的长为．49.如图，△ABC中，∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE，那么线段CE的长等于．50.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=10，sinB=4，点D在斜边AB上，把△ACD沿直5线CD翻折，使得点A落在同一平面内的点Aʹ处，当AʹD平行Rt△ABC的直角边时，AD 的长为．51.如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，连接DE，则DE的长为．52.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45∘．设BE=a，DC=b，那么AB=．（用含a，b的式子表示AB）53.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对应点Aʹ在边AB上，连接AʹC，如果AʹC=AʹA，那么BD=．54.如图，矩形ABCD中，点E是边AD上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，将△BEF绕着点E逆时针旋转，使点B落在BC上的点N处，点F落在边DC上的点M处，如果的值是．点M恰好是边DC的中点，那么ADAB55.如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB=3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A，⊙B都内切，那么⊙O半径是．（如图），将△ABC绕着点C旋转，点A，56.已知在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，cosA=35B的对应点分别记为Aʹ，Bʹ，AʹBʹ与边AB相交于点E．如果AʹBʹ⊥AC，那么线段BʹE的长为．57.如图，E，F分别为正方形ABCD的边AB，AD上的点，且AE=AF，连接EF，将△AEF绕点A逆时针旋转45∘，使E落在E1，F落在F1，连接BE1并延长交DF1于点G，如果AB=2√2，AE=1，则DG=．58.如图，在△ABC中，∠CAB=90∘，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC沿直线CD翻折，点Bʹ是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果∠CAE=∠BABʹ，那么CE的长是．59.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90∘，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△AʹBʹC，点A的对应点Aʹ落在中线AD上，且点Aʹ是△ABC的重心，AʹBʹ与BC相交于点E，那么BE:CE=．60.如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B，C，D分别落在点E，F，G处，且点B，E，D，F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么AB的值是．AD61.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CA=CB=4，将△ABC翻折，使得点B与边AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为．62.如图，在△ABC中，∠ACB=α(90∘<α<180∘)，将△ABC绕着点A逆时针旋转2β(0∘<β<90∘)后得△AED，其中点E，D分别和点B，C对应，连接CD，如果CD⊥ED，请写出一个关于α与β的等量关系的式子．63.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45∘，将△ADC绕点A顺时针旋转90∘后，得到△AFB．设BE=a，DC=b．那么AB=．（用含a，b的式子表示AB）64.如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC=√10，AC=5，那么△DBF的面积等于．65.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对应点Aʹ在边AB上，连接AʹC，如果AʹC=AʹA，那么BD=．66.如图，矩形ABCD，将它分别沿AE和AF折叠，恰好使点B，C落到对角线AC上点M，N处，已知MN=2，NC=1，则矩形ABCD的面积是．67.如图，矩形ABCD，点E是边AD上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，将△BEF绕着点E逆时针旋转，使点B落在边BC上的点N处，点F落在边DC上的点M处，如果的值是．点M恰好是边DC的中点，那么ADAB68.如图，E，F分别为正方形ABCD的边AB，AD上的点，且AE=AF，连接EF，将△AEF绕点A逆时针旋转45∘，使E落在E1，F落在F1，连接BE1并延长交DF1于点G，如果AB=2√2，AE=1，则DG=．69.如图，已知△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B，C的对应点分别记为B1，C1，如果点B1落在射线BD上，那么CC1的长度为．答案1. 【答案】6√5−8【解析】∵△CDG∽△AʹEG，AʹE=4，∴AʹG=2，∴BʹG=4，由勾股定理可知CGʹ=3√5，则CBʹ=3√5−4，由△CDG∽△CFBʹ，设BF=x，CBʹBʹF =GDCD，∴3√5−4x =36，解得x=6√5−8．2. 【答案】1063【解析】如图，连接FC，∵将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，∴BD=CD，ED=FD，∵∠EDB=∠FDC，∴△EDB≌△FDC(SAS)，∴ED=DF，∠EBD=∠FCD，FC=BE，∴FC∥AB，∴△CFG∽△BAG，∴FGAG =FCAB=BEAB=27，∴FG=29AF，∵DE⊥AD，DE=DF，∴AE=AF，∴∴GFAB =29AE75AE=1063．3. 【答案】6或10【解析】如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE=x．在Rt△AEB中，∵tanA=BEAE =43，AB=10，∴BE=8，AE=6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90∘得到线段PQ，∴∠BPQ=90∘，∴∠EBP+∠BPE=∠BPE+∠FPQ=90∘，∴∠EBP=∠FPQ，∵PB=PQ，∠PEB=∠PFQ=90∘，∴△PBE≌△QPF(AAS)，∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE+PE+PF−AD=x−1，∵CD∥AB，∴∠FDQ=∠A，∴tan∠FDQ=tanA=43=FQDF，∴xx−1=43，∴x=4，∴PE=4，∴AP=6+4=10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90∘得到线段PQ，∴∠BPQ=90∘，∴∠APB=∠BPQ=90∘，在Rt△APB中，∵tanA=APBP =43，AB=10，∴AP =6；如图 3 中，当点 Q 落在直线 BC 上时，作 BE ⊥AD 于 E ，PF ⊥BC 于 F ．则四边形 BEPF 是矩形．在 Rt △AEB 中，∵tanA =BE AE =43，AB =10，∴BE =8，AE =6，∴PF =BE =8，∵△BPQ 是等腰直角三角形，PF ⊥BQ ，∴PF =BF =FQ =8，∴PB =PQ =8√2，BQ =√2PB =16>15（不合题意舍去），综上所述，AP 的值是 6 或 10．4. 【答案】 725【解析】如图，作 AʹC ⊥BC ，连接 AʹB 与 DC 交于 G ，作 CH ⊥AʹB 于 H ．∵AD =3，AB =5，sinA =45，∴BC =3，BAʹ=5．∴AʹC =4，sin∠AʹBC =45．∴∠AʹBC =∠A =∠GCB ．∴AʹG =GC =GB =52．在 Rt △AʹBC 中，根据等面积法得出：CH =AʹC⋅BC AʹB =125，∴GH =√(52)2−(125)2=710． ∴cos∠HGC =71052=725．又 ∵∠HGC =∠ABAʹ=∠θ，∴cosθ=725．5. 【答案】35√24或5√24【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴DEAC =BDBC，∴DE6=5√28，∴DE=15√24，∵∠ADʹB=90∘．如图1中，当点Dʹ在线段AEʹ上时，∵△BDE绕着点B旋转得到△BDʹEʹ，∴DʹB=DB=5√2，∴ADʹ=√AB2−DʹB2=√102−(5√2)2=5√2，又∵DʹEʹ=DE=15√24，∴AEʹ=ADʹ+DʹEʹ=5√2+15√24=35√24；如图2中，当Eʹ在线段ADʹ上时，同法可得AEʹ=ADʹ−DʹEʹ=5√2−15√24=5√24．综上所述，满足条件的AEʹ的长为35√24或5√24．6. 【答案】2√3−2【解析】在Rt△ACB中，∠C=90∘，∠BAC=60∘，BC=√3，∴AC=1，AB=2．由折叠的性质可得AF⊥BE，又∠ABF=45∘，∴∠BAF=90∘−45∘=45∘，∴AF=BF，∴√2BF=AB，∴BF=√2．设CD=x，则BD=√3−x，∵∠C=∠BFD=90∘，∠ADC=∠BDF，∴△ACD∽△BFD，∴ACBF =CDDF，即√2=xDF，∴DF=√2x．在Rt△BDF中，BD2=DF2+BF2，∴(√3−x)2=(√2x)2+(√2)2，整理得x2+2√3x−1=0，解得x=2−√3或x=−2−√3（舍去），即CD=2−√3．∴BD=√3−x=2√3−2．7. 【答案】√24【解析】设直线AʹDʹ与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E．∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折，∴AD=BC=AʹDʹ，AB=CD=CDʹ=AʹB，过O作OH⊥CD，∴CH=12CD，∵直线AʹDʹ与⊙O相切，∴OG⊥AʹDʹ，∵BC∥AʹDʹ，∴OG⊥BC，∴则四边形OECH是矩形，CE=BE=12BC，∴CH =OE ，设 AB =CD =CDʹ=AʹB =x ，∴OE =12x ， ∴OC =OG =32x ， ∴CE =√OC 2−OE 2=√(3x 2)2−(12x)2=√2x ， ∴BC =2CE =2√2x ，∴AB BC =2√2x =√24．8. 【答案】 4 或 85【解析】如图 1 中，当 ∠DPBʹ=90∘ 时，过点 C 作 CH ⊥AB 于 H ．∵cotB =BC AC =43，AC =6， ∴BC =8，∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10，∵12⋅BC ⋅AC =12⋅AB ⋅CH ，∴CH =245，∵∠B +∠A =90∘，∠Bʹ+∠PDBʹ=90∘，∠B =∠Bʹ，∠PDBʹ=∠ADC ，∴∠ADC =∠A ，∴AC =CD =6，∵CH ⊥AD ，∴AH =DH =√AC 2−CH 2=√62−(245)2=185， ∴BD =AB −AD =10−365=145，DBʹ=CBʹ−CD =CB −CA =2，设 PB =x ，在 Rt △PDBʹ 中，则有 x 2+(145−x)2=22，解得 x =85 或 65（舍弃）；如图 2 中，当 ∠PDBʹ=90∘ 时，设 BP =PBʹ=x ．在 Rt △PDBʹ 中，则有 x 2=(325−x)2+(165)2，解得 x =4．综上所述，满足条件的PB的值为85或4．9. 【答案】3【解析】∵Rt△ABC，AC=3，AB=5，∴由勾股定理得：BC=4，∵△BCG∽△DFH，∴BGDH =BCDF，已知DF=8，设AG=x，则BG=5−x，∴5−xDH =48，∴DH=10−2x，∵△BCG∽△DFH，∴∠B=∠FDH，∠BGC=∠CHF，∴∠AGC=∠DHE，∵∠A+∠B=90∘，∠EDH+∠FDH=90∘，∴∠A=∠EDH，∴△AGC∽△DHE，∴AGDH =ACDE，又DE=4，∴x10−2x =34，解得：x=3，经检验，x=3是原方程的解，且符合题意．∴AG=3．故答案为：3．10. 【答案】42【解析】作CH⊥AB于H，设BH=5a，∵cotB=512，∴BHCH =512，∴CH=12a，∵AB∥CD，∴∠D=∠A=90∘，又CH⊥AB，∴四边形ADCH为矩形，∴AD=CH=12a，CD=AH，∵DC=AD，∴AH=CD=12a，由题意得，12a+5a=17，解得，a=1，∴AD=CD=AH=12，BH=5，在Rt△CHB中，BC=√CH2+BH2=13，∴四边形ABCD的周长=12+12+17+13=54，∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∴点E在AB上，∴AE=17+13−27=3，∴EH=12−3=9，由勾股定理得，EC=√CH2+EH2=15，∴△BCE的周长=14+13+15=42．11. 【答案】125【解析】如图所示，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD=AD，∴∠BCD=∠B=35∘，∴∠BDC=110∘，由折叠可得，∠CDE=∠CDB=110∘，DE=DB=AD，∴∠BDE=360∘−110∘×2=140∘，∠BDE=70∘，∴∠DAE=12又∵Rt△ABC中，∠BAC=90∘−35∘=55∘，∴∠CAE=55∘+70∘=125∘．12. 【答案】46825【解析】如图，过B作BD⊥AC1，过A作AF⊥BC于F．∴BC=BC1，∴∠BC1C=∠C，∵tan∠ABC=34，∴tan∠ABC=AFBF =34，设AF=3x，BF=4x，则AB=5x．∵AB=5，∴x=1，即AF=3，BF=4，∴BC=8，∴sin∠C=BDBC =35，∴BD=245，在Rt△ABD中，tan∠C=BDDC =34，∴245DC=34，∴DC=325，∵BC=BC1，BD⊥AC1，∴CC1=2DC=645，∴A1C=CC1−AC=645−5=395，∴△ABC1的面积为：12×245×395=46825．或113. 【答案】12【解析】当⊙D与⊙C在直径AB的同侧时，作DH⊥OC于H，DN⊥OB于N，连接CD，连接OD并延长交⊙O于G，设⊙D的半径为r，则OD=2−r，CD=1+r，∵⊙O的直径AB=4，⊙C的半径为1，⊙C与⊙O内切，∴⊙C与⊙O内切于点O，∴CO⊥AB，∵CO⊥AB，DH⊥OC，DN⊥OB，∴四边形HOND为矩形，∴OH=DN=r，DH=ON=√(2−r)2−r2，∴CH=1−r，在Rt△CDH中，CH2+DH2=CD2，即(1−r)2+(2−r)2−r2=(1+r)2，，解得，r=12当⊙D与⊙C在直径AB的两侧时，⊙C与⊙D的半径相等，都是1，或1．故答案为：1214. 【答案】√22或√5+12【解析】若等腰三角形的三个内角∠α，∠β，∠β，∴∠α+2∠β=180∘，∠α=2∠β，∴4∠β=180∘，解得β=45∘，∴此“倍角三角形”为等腰直角三角形，∴腰长与底边长的比值为√22；若等腰三角形的三个内角∠α，∠α，∠β，∴2∠α+∠β=180∘，∠α=2β，∴5∠β=180∘，解得β=36∘，如图，∠B=∠C=72∘，∠A=36∘，作∠ABC的平分线BD，则∠ABD=∠CBD=36∘，∴DA=DB，∴∠BDC=∠A+∠ABD=72∘，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，即DA=DB=CB，∵∠CBD=∠A，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ACB，∴BC:AC=CD:BC，即BC:AC=(AC−BC):BC，整理得AC2−AC⋅BC−BC2=0，解得AC=1+√52BC，即ACBC=√5+12，此时腰长与底边长的比值为√5+12，综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为√22或√5+12．15. 【答案】724【解析】∵∠C=90∘，AC=3，BC=4，∴AB=5．由旋转得：AC=AʹC，BC=BʹC，AʹBʹ=AB=5，∠ACAʹ=∠BʹCB，∴∠2=∠A，∵∠A+∠1=90∘，∴∠2+∠1=90∘，即∠AʹBBʹ=90∘，过点C作CE⊥AB于E，∴△ACE∽△ABC，∴AC2=AE⋅AB，∴32=5AE，解得AE=95，∴AAʹ=185，∴AʹB=AB−AAʹ=75，∵AC=AʹC，BC=BʹC，∠ACAʹ=∠BʹCB，∴△ACAʹ∽△BCBʹ，∴ACBC =AAʹBBʹ，∴34=185BBʹ，解得BBʹ=245，∴tan∠AʹBʹB=AʹBBBʹ=724．16. 【答案】12【解析】过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于EF的对称点为D，连接DF，ED，BD，如图所示：则△BEF≌△DEF，∴BD=DF，BE=DE，∠FDE=∠FBE=90∘，∴∠EDG+∠ADF=∠ADF+∠AFD，∴∠EDG=∠AFD，∵∠EGD=∠DAF，∴△ADF∽△GED，∴ADEG =DFDE，∴AD:EG=BD:BE，∵A(8,0)，B(8,4)，C(0,4)，∴AB=OC=EG=4，OA=BC=8，∵E，F在反比例函数y=kx的图象上，∴E(k4,4)，F(8,k8)，∴OG=EC=k4，AF=k8，∴BF=4−k8，BE=8−k4，∴BFBE =4−k88−k4=12=DFDE=ADEG，∴AD=12EG=2，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2=DF2，即：22+(k8)2=(4−k8)2，解得：k=12．17. 【答案】23√3【解析】由题意做图，如图：由折叠知识知EC⊥AD，在△ADC与△ABC中，{∠C=∠C,∠ABC=∠CAD,∴△ADC∽△ABC，∴DCAC =ACBC，∵BC=2，点D是边BC的中点，代入DCAC =ACBC可得：AC=√2，由勾股定理可得AD=√AC2+BC2=√3，由四边形AEDC面积等于2△ADC可得：2×12×DC×AC=12AD×EC，解得：EC=2×DC×ACAD =2×DC×ACAD=23√6，又∵ED=BD=DC，∴△BEC是直角三角形（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），∴BE=√BC2−EC2=√22−(23√6)2=23√3．18. 【答案】8−4√319. 【答案】√10−√5<r<√10+√5【解析】如图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC=90∘，则EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，则点G是AF的中点，AF=2，∴GF=12∴OG是△AEF的中位数，AE=1，∴OG=12∴OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，∵圆D与圆O有两个公共点，∴√10−√5<r<√10+√5．20. 【答案】2321. 【答案】3√522. 【答案】106323. 【答案】5:6【解析】如图，过A作AG⊥BC于G，过B作BH⊥CE，交EC的延长线于H，延长BD 和CE交于点F，∵AC=AB=5，∴BG=CG=√5，AG=√AB2−BG2=√52−(√5)2=2√5，∵FH∥AB，∴∠ABG=∠BCH，∵∠H=∠AGB=90∘，∴△BCH∽△ABG，∴BHAG =BCAB=CHBG，∴2√5=2√55=√5，∴BH=4，CH=2，由折叠得：AB=BE=5，∴EH=√BE2−BH2=√52−42=3，CE=3−2=1，∵FH∥AB，∴∠F=∠ABD=∠EBD，∴EF=BE=5，∴FC=5+1=6，∵FC∥AB，∴ADCD =ABFC=56．24. 【答案】2a25. 【答案】6√5−826. 【答案】2或3（答一个即可）27. 【答案】2或3（答一个即可）28. 【答案】2√5−229. 【答案】√6+√230. 【答案】331. 【答案】145【解析】如图，过点C作CF⊥AAʹ于点F．∵旋转，∴AC=AʹC=5，AB=AʹBʹ=5，BC=BʹC=8，∵CF⊥AAʹ，∴AF=AʹF．在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2，在Rt△CFBʹ中，BʹC2=BʹF2+CF2，∴BʹC2−AC2=BʹF2−AF2，∴64−25=(5+AF)2−AF2，∴AF=75，∴AAʹ=145．32. 【答案】3√5−5【解析】由题意当点Aʹ在线段BC上且AAʹ平分∠BAC时，△AAʹB和△AAʹBʹ相似，作AʹH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵cosB=BCAB =23，AB=6，∴BC=4，AC=√62−42=2√5，∵∠AʹAH=∠AʹAC，∠AHAʹ=∠ACAʹ=90∘，AAʹ=AAʹ，∴△AAʹH≌△AAʹC(AAS)，∴AʹC=AʹH，AC=AH=2√5，设AʹC=AʹH=x，在Rt△AʹBH中，(4−x)2=x2+(6−2√5)2，∴x=3√5−5，∴AʹC=3√5−5．33. 【答案】(2√3,4)或(0,−2)或(−2√3,0)【解析】∵A(2√3,0)，B(0,6)，M(0,2)，∴OA=2√3，OB=6，OM=2，BM=OB−OM=4，∴tan∠BAO=OBOA =2√3=√3．∴∠BAO=60∘．∵∠AOB=90∘，∴∠ABO=30∘．∴AB=2OA=4√3．∵直线PQ与直线AB所构成的夹角为60∘，∴∠PQB=120∘或∠PQB=60∘．（1）当∠PQB=120∘时，分两种情况：①如图1所示：延长PQ交OB于点N，则∠BQN=60∘，∴∠QNB=90∘，即QN⊥BM．由折叠得：BM=MP=4，∠BQM=∠PQM，∵∠PQB=120∘，∴∠BQM=∠PQM=120∘．∴∠BQN=∠MQN=60∘．∵QN⊥BM，∴BN=NM=12BM=2．在Rt△PNM中，NP=√MP2−NM2=√42−22=2√3，ON=OM+NM=4，∴P点的坐标为：(2√3,4)；②如图2所示：QM⊥OB，BM=MP，OP=PM−OM=BM−OM=4−2=2，∴P点的坐标为：(0,−2)；（2）当∠PQB=60∘时，如图3所示：Q点与A点重合，由折叠得：AB=AP=4√3，OP=AP−OA=4√3−2√3=2√3，∴P点的坐标为：(−2√3,0)；综上所述：P点的坐标为：(2√3,4)或(0,−2)或(−2√3,0)．34. 【答案】√5−12【解析】如图，设CD=AB=a，则BC2=BD2−CD2=1−a2，由折叠可得，CE=BC，BP=EP，∴CE2=1−a2，∴Rt△CDE中，DE2=CE2−CD2=1−2a2，∵PE∥AB，∠A=90∘，∴∠PED=90∘，∴Rt△DEP中，DE2=PD2−PE2=(1−PE)2−PE2=1−2PE，∴PE=a2，∵PE∥AB，∴△DEP∽△DAB，∴PEAB =PDBD，即PEa=1−PE1，∴a2a =1−a21，即a2+a−1=0，解得a1=√5−12，a2=−√5−12（舍去），∴AB的长等于√5−12．35. 【答案】35【解析】∵∠ACB=90∘，sinB=ACAB =35，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC=√AB2−AC2=4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE=12A1B1=2.5x=B1E，∴BE=BC−CE=1.5x，∵∠B=∠B1，∠CEB1=∠BED，∴△CEB1∽△DEB，∴BDB1C =BEB1E=1.5x2.5x=35．36. 【答案】637. 【答案】−1或−438. 【答案】(−5,112)39. 【答案】2或440. 【答案】√2:141. 【答案】14a242. 【答案】√2±143. 【答案】2.5或10【解析】在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，AB=√62+82=10，由折叠的性质可得QD=BD，QP=BP，又∵QD⊥BC，∴DQ∥AC，∵D是AB的中点，∴DE=12AC=3，BD=12AB=5，BE=12BC=4，①当点P在DE右侧时，∴QE=5−3=2，在Rt△QEP中，QP2=(4−BP)2+QE2，即QP2=(4−QP)2+22，解得QP=2.5，则BP=2.5．②当点P在DE左侧时，同①知，BP=10．44. 【答案】2【解析】连接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB．∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ．在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CBA，∴CP:CQ=BC:AC=3:4，设PC=3x，CQ=4x，在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，∴DQ=2x．∵AQ=4−4x，∴4−4x=2x，解得x=2，3∴CP=3x=2．45. 【答案】√2−1【解析】如图，设AD与CE交于点F，由折叠可得，∠ACE=∠ACB=45∘，而∠DAC=∠ACB=45∘，∴∠AFC=90∘，∠EFD=90∘，AF=CF，由折叠可得，CE=AD，∴EF=DF，∴△ACF和△DEF都是等腰直角三角形，设EF=DF=1，则DE=√2，设AF=CF=x，则AC=EC=1+x，∵Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，∴x2+x2=(x+1)2，解得x=1+√2或x=1−√2（舍去），∴AC=2+√2，∴DEAC =√22+√2=√2−1．46. 【答案】4225【解析】如图，作AE⊥BC于E．∵AB=AC=5，BC=6，∴BE=EC=12BC=3，∴AE=√AB2−BE2=4．∵S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AE，∴CD=BC⋅AEAB =6×45=245，∴AD=√AC2−CD2=75．∵△ACD绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，点D旋转至点D1，∴AD=AD1，∠CAD=∠BAD1，∵AB=AC，∴△ABC∽△ADD1，∴BCDD1=ABAD，∴6DD1=575，∴DD1=4225．47. 【答案】12√2−12【解析】过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．∵AB=12，DC=7，∴BF=5．又∵cos∠ABC=513，∴BC=13，CF=√BC2−BF2=12．∵AD=CF=12，AB=12，∴BD=√AB2+AD2=12√2．∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，∴BP=BA=12，∴PD=BD−BP=12√2−12．48. 【答案】25√5【解析】如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，连接BBʹ交CD于H．∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=4，在Rt△ABE中，∵tanB=32=AEBE，∴AE=6，AB=√42+62=2√13，∵DK∥AE，BD=AD，∴BK=EK=2，∴DK=12AE=3，在Rt△CDK中，CD=√32+62=3√5，∵B，Bʹ关于CD对称，∴BBʹ⊥CD，BH=HBʹ，∵S△BDC=12⋅BC⋅DK=12⋅CD⋅BH，∴BH=8√55，∴BBʹ=16√55，∵BD=AD=DBʹ，∴∠ABʹB=90∘，∴ABʹ=√AB2−BBʹ2=2√55．49. 【答案】145【解析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=8，AB=6，∴BC=√62+82=10，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=5，∵12BC⋅AH=12AB⋅AC，∴AH=245，∵AE =AB ，∴ 点 A 在 BE 的垂直平分线上．∵DE =DB =DC ，∴ 点 D 在 BE 使得垂直平分线上，△BCE 是直角三角形，∴AD 垂直平分线段 BE ，∵12AD ⋅BO =12BD ⋅AH ，∴OB =245，∴BE =2OB =485，在 Rt △BCE 中，EC =√BC 2−BE 2=√102−(485)2=145．50. 【答案】 4 或 851. 【答案】 125√5【解析】如图所示，过 E 作 EF ⊥AD 于 F ，由折叠可得，∠ACB =∠ACE ，∵AD ∥BC ，∴∠ACB =∠CAD ，∴∠CAD =∠ACE ，∴CG =AG ，设 CG =x ，则 DG =8−x ，∵Rt △CDG 中，DG 2+CD 2=CG 2，∴(8−x )2+42=x 2，解得 x =5，∴AG =5，∴Rt △AEG 中，EG =√AG 2−AE 2=3，∵EF ⊥AG ，∠AEG =90∘，∴EF =AE×EG AG =125，∴Rt △AEF 中，AF =√AE 2−EF 2=165，∴DF=8−165=245，∴Rt△DEF中，DE=√EF2+DF2=125√5．52. 【答案】√2a+√2b+√2a2+2b22【解析】如图，将△ADC绕点A顺时针旋转90∘后，得到△AFB，连接EF．∵△DAC≌△FAB，△ABC为等腰直角三角形，∴AD=AF，∠DAC=∠FAB，∠ABF=∠C=45∘，∴∠FAD=90∘，∵∠DAE=45∘，∴∠DAC+∠BAE=∠FAB+∠BAE=∠FAE=45∘，在△FAE和△DAE中，{FA=DA,∠FAE=∠DAE, AE=AE,∴△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∵∠EBF=∠ABF+∠ABE=90∘，∴ED=EF=√a2+b2，∴BC=a+b+√a2+b2，∴AB=BC⋅cos45∘=√22(a+b+√a2+b2)．53. 【答案】15254. 【答案】56√3【解析】如图，将△BEF绕着点E逆时针旋转得到△NEM．∴BE=EN，EM=EF，MN=BF，∵EF⊥BC，∴BF=FN，∴BF=FN=NM，∵EF⊥BC，∴四边形EFCD是矩形，∴EF=CD，∵点M恰好是边DC的中点，∴DM=12CD=12EM，∴∠DEM=30∘，∴∠DME=60∘，∵∠NME=90∘，∴∠CMN=30∘，设CN=x，∴MN=2x，CM=√3x，∴CD=2√3x，∴BF=FN=NM=2x，∴BC=5x，∴ADAB =BCCD=2√3x=56√3．55. 【答案】32或92【解析】设⊙O半径是R，根据题意，分两种情况：①如图1，OA=5−R，OB=R−1，∵OA=AB+OB，∴5−R=3+R−1，解得R=32；②如图 2，OA =5−R ，OB =R −1，∵OA =OB −AB ，∴5−R =R −1−3，解得 R =92．56. 【答案】 245【解析】设 AʹBʹ 交 AC 于 F ．∵△ABC 中，∠ACB =90∘，AB =10，cosA =35，∴AC =6，BC =8，∵CF ⊥AʹBʹ，∴CF =245，AF =6−CF =65，AʹF =√AʹC 2−CF 2=185，∵EF ∥CB ，∴EF BC =AF AC ， ∴EF 8=656，得 EF =85，∴BʹE =245．57. 【答案】4√5558. 【答案】 165【解析】如图，连接 BBʹ，因为 △CDBʹ 是由 △CDB 翻折，所以 ∠BCD =∠DCBʹ，∠CBD =∠CBʹD ，AD =DB =DBʹ，所以 ∠DBBʹ=∠DBʹB ，因为 2∠DCB +2∠CBD +2∠DBBʹ=180∘，所以 ∠DCB +∠CBD +∠DBBʹ=90∘，因为 ∠CDA =∠DCB +∠CBD ，∠ACD +∠CDA =90∘，所以 ∠ABBʹ=∠ACE ，因为 AD =DB =DBʹ=3，所以 ∠ABʹB =90∘，因为 ∠ACE =∠ABBʹ，∠CAE =∠BABʹ，所以 △ACE ∽△ABBʹ，所以 ∠AEC =∠ABʹB =90∘，因为 AC =4，AD =3，所以 CD =√AC 2+AD 2=5，因为 12AC ⋅AD =12⋅CD ⋅AE ，所以 AE =AC⋅AD CD =125，在 Rt △ACE 中，CE =√AC 2−AE 2=√42−(125)2=165．59. 【答案】4:3【解析】∵∠BAC=90∘，点Aʹ是△ABC重心，∴BD=DC=AD，DAʹ=12AAʹ=13AD=16BC，∵△AʹCBʹ是由△ABC旋转得到，∴CAʹ=CA，BC=CBʹ，∠ACB=∠AʹCBʹ=∠DAC，∠CAʹBʹ=90∘，∴∠CAAʹ=∠CAʹA=∠DAC，∠DAʹBʹ+∠CAʹA=90∘，∠Bʹ+∠AʹCBʹ=90∘，∴∠DA′B′=∠B′，∴DAʹ∥CBʹ，∴DAʹCBʹ=DEBC=16，设DE=k，则EC=6k，BD=DC=7k，BE=8k，∴BE:CE=8k:6k=4:3．60. 【答案】√22【解析】由旋转及题意得∠BAE=∠GAD，BE=12BD，AB=AE，∵EF∥AG，∴∠GAD=∠ADE，∴∠BAE=∠ADE，∵∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴ABBD =BEAB，∠AEB=∠DAB，∴∠DAB=∠DBA，∴AD=BD，∴AB2=12BD2，∴ABBD =√22，∴ABAD =√22．61. 【答案】5√2362. 【答案】α+β=180°63. 【答案】√22(a+b+√a2+b2)64. 【答案】451665. 【答案】15266. 【答案】9+4√667. 【答案】5√3668. 【答案】4√5569. 【答案】16√55。

上海中考二模数学压轴题精选

上海中考二模数学压轴题精选Prepared on 22 November 202024. （本题12分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画圆，P 是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线，与x 、y 轴分别交于点A 、B 。

（1）求证：△OBP 与△OPA 相似；（2）当点P 为AB 中点时，求出P 点坐标；（3）在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形是平行四边形。

若存在，试求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由。

Py xB AO 2121-1-125. （本题14分）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于点C 。

已知B （8，0），21tan =∠ABC ，△ABC 的面积为8. （1）求抛物线的解析式；（EF OP+⋅EF OPEF y)20(-，x y 32-=c bx ax y ++=2MO D A M M Rt ABC △A x y D （本题12分）已知点P 是函数x y 21=（x >0）图像上一点，PA ⊥x 轴于点A ，交函数x y 1=（x >0）图像于点M , PB ⊥y 轴于点B ，交函数xy 1=（x >0）图像于点N .（点M 、N 不重合）第24题图x 32第25题图1（1）当点P 的横坐标为2时，求△PMN 的面积；（2）证明：MN ‖AB ；（如图7） P 的坐标；若不能，请说（图7）（备用图）25、（本题14分）如图，一把“T型”尺（图8），其中MN⊥OP，将这把“T型”尺放置于矩形ABCD 中（其中AB=4,AD=5），使边OP始终经过点A，且保持OA=AB，“T型”尺在绕点A转动的过程中，直线MN交边BC、CD于E、F两点.(图9)（1）试问线段BE与OE的长度关系如何并说明理由；（2）当△CEF是等腰直角三角形时,求线段BE的长；（3）设BE=x,CF=y，试求y关于x.(图8) （图9）24．（本题满分12分，每小题满分各6分）在直角坐标平面内，O为原点，二次函数2y x bx c=-++的图像经过A（-1，0）和点B（0，3），顶点为P。

2022年上海市杨浦区中考数学二模试题及答案解析

2022年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列各式中，运算结果是分数的是( ) A. sin30°B. (π2)0C. (12)−1D. √342. 下列方程中，二元一次方程的是( ) A. xy =1B. x 2−1=0C. x −y =1D. x +1y =13. 在一次引体向上的测试中，如果小明等5位同学引体向上的次数分别为：6、8、9、8、9，那么关于这组数据的说法，正确的是( )A. 平均数是8.5B. 中位数是9C. 众数是8.5D. 方差是1.24. 一次函数y =−x +2的图象不经过的象限是( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列命题中，正确的是( ) A. 正多边形都是中心对称图形B. 正六边形的边长等于其外接圆的半径C. 边数大于3的正多边形的对角线长都相等D. 各边相等的圆外切多边形是正多边形6. 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AD//BC ，AC =BD ，那么下列条件中不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A. AD =BCB. AB =CDC. ∠DAB =∠ABCD. ∠DAB =∠DCB二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：a 8÷a 4=______．8. 不等式组{3−x <02x −12<0的解集是______．9. 方程√2x +3=x 的解为______．10. 如果关于x 的方程x 2−3x +k =0有两个相等的实数根，那么实数k 的值是______ ．11. 如果某种商品每8千克的售价为32元，那么这种商品m 千克的售价为______元．12. 正比例函数y =kx 中，如果函数值y 随着自变量x 的增大而增大，那么k 的取值范围是______．13. 在不透明的盒子中装有10个黑色棋子和15个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是______．14. 为了了解全区近4800名初三学生数学学习状况，从中随机抽取500名学生的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：(每组数据可含最低值，不含最高值)根据上表信息，由此样本请你估计全区此次成绩在70～80分的人数大约是______． 15. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，BD =2AD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用m ⃗⃗ 、n ⃗ 表示)．16. 某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______ 米.17. 新定义：在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，如果DE⏜上的所有点都在△ABC 的内部或边上，那么DE ⏜称为△ABC 的中内弧．已知在Rt △ABC 中，∠A =90°,AB =AC =2√2，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，如果DE ⏜是△ABC 的中内弧，那么DE ⏜长度的最大值等于______．18. 已知钝角△ABC 内接于⊙O ，AB =BC ，将△ABC 沿AO 所在直线翻折，得到△AB′C′，联结BB′、CC′，如果BB′：CC′=4：3，那么tan ∠BAC 的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。

上海市所有区初三数学二模压轴题18、24、25集合

（ 1）当点 E 与点 D 重合时，求 EF 的长；
（ 2）设 AP x， CE y ，求 y关于 x 的函数关系式及定义域；
25．（本题满分 14 分，其中第（ 1）小题 4 分，第（ 2）、（ 3）小题各 5 分）
如图，Rt△ ABC 中， ACB 90 ，BC 6 ，点 D 为斜边 AB 的中点，点 E 为边 AC 上的一个动点．联结 DE ，过点 E 作 DE 的垂线与边 BC 交于点 F ，以 DE , EF 为邻边作矩形 DEFG ．
已知在平面直角坐标系 xoy （如图）中，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A （ -1， 0）与点 C （ 3， 0），
与 y 轴交于点 B ，点 P 为 OB 上一点，过点 B 作射线 AP 的垂线，垂足为点 D ，射线 BD 交 x 轴于点 E 。
（ 1）求该抛物线的解析式；
（ 2）联结 BC ，当 P 点坐标为（ 0， 2 ）时，求 EBC 的面积； 3
（ 1）如图 1，当 AC 8 ，点 G 在边 AB 上时，求 DE 和 EF 的长；
DE
（ 2）如图 2，若
EF
1 ，设 AC
2
x ，矩形 DEFG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式；
（ 3）若 DE
2 ，且点 G 恰好落在 Rt△ ABC 的边上，求 AC 的长．
EF 3
（ 2016 宝山）
坐标为 m ，且 3 m 1，过点 D作 DK x 轴，垂足为 K， DK分别交线段 AE、 AC于点 G、 H．（ 1）求这条抛物线的解析式；（ 2）求证： GH HK ；（ 3）当 CGH 是等腰三角形时，求 m 的值．
25．（本题满分 14 分，其中第 (1) 小题 4 分，第 (2) 、 (3) 小题各 5 分）如图，已知 BC是半圆 O的直径， BC 8 ，过线段 BO上一动点 D ，作 AD BC 交半圆 O于点 A，联结 AO，过

2020上海市中考二模数学试卷填空题18题

2020上海市二模数学试卷填空题第18题黄浦区18.已知⊙O 的直径AB =4，⊙D 与半径为1的⊙C 外切，且⊙C 与⊙D 均与直径AB 相切，与⊙0内切，那么⊙D 的半径是【答题参考】18.1或12徐汇区18.如图，在ABCD 中，AD =3，AB =5，4sin 5A =，将ABCD 绕着点B 顺时针旋转()090θθ︒<<︒后，点A 的对应是点'A ，联结'AC ，如果'A C BC ⊥，那么cos θ的值是____________【答题参考】18、725杨浦区18．如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝15，tan ∠A ＝43，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90︒得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是▲．【答题参考】18．6或10.18.如图3，已知在ABC Δ中，︒=∠90C ，2=BC ，点D 是边BC 的中点，CAD ABC ∠=∠，将ACD ∆沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，联结BE ，那么线段BE 的长为▲．【答题参考】18．332．静安区18.如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，DC =AD ，∠B 是锐角，125cot =B ，AB =17．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么△BCE 的周长为▲．【答题参考】1842．普陀区18.如图5，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，4cot 3B =，点P 为边AB 上一点，将△BPC 沿着PC 翻折得到△B PC '，B C '与边AB 的交于点D ，如果△B PD '恰好为直角三角形，那么BP =▲．【答题参考】18.4或85．图3A BC D 图5A B C【答题参考】18.3542或542闵行区18．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．联结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于▲．【答题参考】18.8−43宝山区18.如图3，在△ABC 中，AB=AC=5，3tan =4B ，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到11A BC ∆，当点1C 在线段CA 延长线上时1ABC ∆的面积为▲．【答题参考】18.4682518.定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足βα∠=∠2，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”.如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为▲.【答题参考】18.22或215+.浦东新区18.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 边上一点，沿直线AD 翻折ABD △，点B 落在点E 处，如果45ABE ∠=︒，那么BD 的长为__________．第18题图【答题参考】18.23−2金山区18.如图，在ABC ∆中，∠C =90°，AC =3，BC =4，把ABC ∆绕C 点旋转得到A B C '''∆，其中点A '在线段AB 上，那么A B B ''∠的正切值等于_________【答题参考】18．724．松江区18.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D 的对应点分别为A′、D′,如果直线A′D′与⊙O 相切，那么AB BC的值为▲.【答题参考】18.24.青浦区18．小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似．．分割线．．．．如图2、图3，直线CG 、DH 分别是两个不相似的Rt ABC∆和Rt DEF ∆的相似分割线，CG 、DH 分别与斜边AB 、EF 交于点G 、H ，如果BCG ∆与DFH ∆相似，3AC =，5AB =，4DE =，8DF =，那么AG =▲．【答题参考】18．3．奉贤区18．如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将△BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么∠CAE 的度数是▲度．【答题参考】18.125崇明区18．如图，平面直角坐标系中，A （8，0），B （8，4），C （0,4），反比例函数xk y =在第一象限内的图像分别与线段AB 、BC 交于点F 、E ，连接EF .如果点B 关于EF 的对称点恰好落在OA 边上.那么k 的值为▲．【答题参考】18．12.。

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