(完整版)初中几何变换——翻折
初中几何翻折变换问题题型梳理
翻折问题题型梳理折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
我们一起来探这类题目如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。
类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．变式1．如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3解：由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC ,（8﹣x）﹣x＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．变式2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EH G，且F落在线段E G上，当G F＝G H时，则BE的长为_____．解：由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE +EH2 ＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝E G，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．策略：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折(折叠)模型(解析版)
特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折(折叠)模型几何变换中的翻折(折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。
无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。
本专题以各类几个图形(菱形、矩形、正方形等)为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。
有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。
"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。
特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】1)矩形的翻折模型【模型解读】1(2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△DEC沿DE翻折得到△DEC ，延长DC 交AB于点M，若AB=4，BC=6，则BM的长度为()A.94B.32C.12D.3【答案】A【分析】根据题意连接ME ，证明△BME ≌△C ME ，得出MC =BM =4-x ，在Rt △AMD 中运用勾股定理即可解答；【详解】连接ME ，∵AB =4,BC =6,ABCD 为矩形，∴AD =BC =6,DC =AB =4.∵E 是BC 的中点∴BE =CE =3∵△DEC 由△DEC 翻折得到，∴C ′E =CE =3,DC ′=DC =4，∠DC E =∠C =90°，∴∠MC E =180°-∠DC E =90°=∠B ，设AM =x ，则BM =4-x .在Rt △BEM 和Rt △C EM 中ME =ME BE =C ′E =3∴△BME ≌△C ME ∴MC =BM =4-x 在Rt △AMD 中AD 2+AM 2=MD 2即62+x 2=(4+4-x )2解得：x =74∴BM =4-x =94故选A【点睛】该题考查了矩形知识点和勾股定理的运用，掌握矩形性质和勾股定理是解答该题的关键2(2023春·陕西西安·八年级校考期末)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 是AB 上一个动点，F 是AD 上一点(点F 不与点D 重合)．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 的对应点A 落在边CD 上，连接EC ，若A E =CE ，则△A DF 的面积为()A.1B.1.5C.2D.2.5【答案】B【分析】由折叠可知AE =A E ，AF =A F ，设AE =A E =CE =x ,则BE =8-x ,在Rt △BCE 中，利用勾股定理可建立方程8-x 2+42=x 2，解得x =5，则AE =A E =CE =5，BE =3，再根据等腰三角形的性质得到A C =2CG =6，进而算出A D =2，设AF =A F =a ,则DF =4-a ,在Rt △A DF 中，利用勾股定理可建立方程4-a 2+22=a 2，解得a =52，则DF =32，再利用三角形面积公式计算即可求解．【详解】解：如图，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，∵四边形ABCD 为矩形，AB =8，AD =4，∴AD =BC =4，AB =CD =8，∠B =∠D =90°，由折叠可知，AE =A E ，AF =A F ，∵A E =CE ，∴AE =A E =CE ，设AE =A E =CE =x ,则BE =AB -AE =8-x ,在Rt △BCE 中，BE 2+BC 2=CE 2，∴8-x 2+42=x 2，解得：x =5，∴AE =A E =CE =5，BE =3，∵∠B =∠BCG =∠CGE =90°，∴四边形BCGE 为矩形，∴CG =BE =3，∵A E =CE ，EG ⊥CD ，∴A C =2CG =6，∴A D =CD -A C =8-6=2，设AF =A F =a ,则DF =AD -AF =4-a ,在Rt △A DF 中，DF 2+A D 2=A F 2，∴4-a 2+22=a 2，解得：a =52，∴DF =32，∴S △A DF =12A D ⋅DF =12×2×32=1.5故选：B ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．3(2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习)如图，长方形ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C 处，BC 与AD 相交于点E ，若AB =3，AE =1，求BC 的长．【答案】10+1【分析】根据翻折的性质，证明△AEB ≅△C ED ，然后求出ED ，最后根据勾股定理即可求出结果．【详解】由翻折的性质可知，在△AEB 与△C ED 中，∠A =∠C∠AEB =∠C ED AB =C D∴△AEB ≅△C ED ∴AE =EC ，∵AB =3，∴BE =AB 2+AE 2=10，∵ED =BE ，∴AD =AE +ED =10+1，∵长方形ABCD ，AD =BC ，∴BC =10+1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．4(2023春·湖北·八年级专题练习)如图，在长方形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE ，BE 与CD 分别相交于点O ，F ，且OE =OD ．则AP 的长为()A.4.5B.4.6C.4.7D.4.8【答案】D【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，证明△ODP≌△OEF(ASA)，得出OP=OF，PD=FE，设AP=EP=x，则DP=FE=6-x，DF=x，求出CF=8-x，BF=8-6-x=2+x，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，∵∠D=∠E，OD=OE，∠DOP=∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)，∴OP=OF，PD=FE，∴DF= EP，设AP=EP=x，则DP=FE=6-x，DF=x，∴CF=8-x，BF=8-6-x=2+x，根据勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即62+8-x2，解得：x=4.8，∴AP=4.8，故选：D2=x+2【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5(2023春·陕西商洛·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=24，将矩形折叠，使点C与点A重合，则AF的长为()A.20B.18C.16D.15【答案】D【分析】设BE=x，则CE=BC-BE=24-x，根据勾股定理列出关于x的方程122+x2=24-x2，据此即可求解．【详解】解：设BE=x，则CE=BC-BE=24-x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=24-x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即122+x2=24-x2，解得x=9，∴AE=24-9=15，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=15，故选：D．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质．6(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A EFD ，边A E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为()A.18-3B.92+37 C.12-372D.6+372【答案】D【分析】在EA上截取EM=EG，连接OM，证明△MOE≌△GOE，所以OM=OG，即可得OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，且OM=4=OG，再过点O作OH⊥BC，得OH=3，又因为OC=5，就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积．【详解】解：在EA上截取EM=EG，连接OM，由折叠得：∠MEO=∠GEO，又∵EO=EO，∴△MOE≌△GOE SAS，∴OM=OG，∴OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OM=12BC=4=OG，即OG的最小值是4，在△OGC中，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OC长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，∠BCO度数也不变，是定值，∴当OG=4最小值时，ΔOGC面积最小．过点O作OH⊥BC，∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴OH=12AB=3，∴Rt△OGH中，GH=OG2-OH2=42-32= 7，Rt△OHC中，HC=OC2-OH2=52-32=4，∴GC=GH+HC=7+4，∴△OGC面积的最小值是12×GC×OH=12×(7+4)×3=327+6．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到OG最小值．7(2023春·浙江金华·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=5，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将△PBC沿PC翻折得到△PEC，将△PAQ沿PQ翻折得到△PFQ在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，CF=10时，AP=．【答案】3【分析】利用矩形和翻折的性质求出CE =CB =3，BP =EP ，AP =FP ，∠CEP =∠B =90°，在Rt △CEF 中利用勾股定理求出EF =1，设BP =x ，则EP =x ，AP =5-x ，FP =1+x ，根据AP =FP 可构建关于x 的方程，然求解即可解答．【详解】解：在矩形ABCD 中，AD =3，AB =5，∴BC =AD =3，∠B =90°，∵翻折，∴CE =CB =3，BP =EP ，AP =FP ，∠CEP =∠B =90°，∴∠CEF =90°，又CF =10，∴EF =CF 2-CE 2=1，设BP =x ，则EP =x ，AP =5-x ，FP =1+x ，∴1+x =5-x ，∴x =2，∴AP =3．故答案为：3．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．8(2023秋·山西·九年级专题练习)综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，F 为AD 边上一点，连接CE 、CF ，分别将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，且C 、H 、G 三点共线．(1)如图1，若F 为AD 边的中点，AB =BC =6，点G 与点H 重合，则∠ECF =°，BE =；(2)如图2，若F 为AD 的中点，CG 平分∠ECF ，AB =2+1，BC =2，求∠ECF 的度数及BE 的长；(3)AB =5，AD =3，若F 为AD 的三等分点，请直接写出BE 的长．【答案】(1)45；2(2)∠ECF =45°；BE =22-2(3)2或97【分析】(1)根据正方形的性质和翻折的性质，可得出∠ECF =12∠BCD =12×90°=45°；设BE =x ，用x 表示出Rt △AEF 的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出BE 的长；(2)如图，由折叠性质和CG 平分∠ECF ，得出∠1=∠2=∠3=∠4，即可求出∠ECF 的度数；先证明△CBM 和△EHM 是等腰直角三角形，得出BM =BC =2，EM =2BE ，即可求出BE 的长；(3)根据F 为AD 的三等分点，分两种情况：当AF =2DF 时，过点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，证明Rt △EFP ≌Rt △FEA ，得出AE =FP ，进而求出BE 的长；当DF =2AF 时，点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，根据EF 2=AF 2+AE 2=EP 2+FP 2，计算即可求出BE 的长．【详解】(1)∵AB =BC ，四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AD =BC =6，∠BCD =90°，∵将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，∴∠BCE =∠GCE ，∠DCF =∠GCF ，∵∠BCD =90°，∴∠ECF =12∠BCD =12×90°=45°，∵F 为AD 的中点，∴DF =12AD =3，∵将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，∴BE =EG ，DF =FG =3，设BE =x ，则AE =6-x ，∴EF =3+x ，∵EF 2=AE 2+AF 2，∴3+x 2=6-x 2+32，∴x =2，∴BE =2．故答案为：45；2；(2)如图2，延长CG ，交AB 于点M ，∵CG 平分∠ECF ，∴∠2=∠4，由折叠的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4=14∠BCD =22.5°，∴∠ECF =45°，∵CD ∥AB ，∠EMH =∠DCM =45°，∴△CBM 和△EHM 均为等腰直角三角形，∴BM =BC =2，EM =2BE ，∴BM =BE +EM =2，即BE +2BE =2，解得BE =22-2．(3)分两种情况：①当AF =2DF 时，如图3，过点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，则四边形GHEP 为矩形，GH =EP ，EH =GP ，由折叠的性质可知，CD =CG =5，BC =CH =3，∴HG =CG -CH =2，∵AF =2DF ，∴AF =2，DF =FG =1，∴AF =EP ，在Rt △EFP 和Rt △FEA 中，AF =EP EF =EF ，∴Rt △EFP ≌Rt △FEA (HL )，∴AE =FP ，设BE =EH =a ，FP =GP +FG =a +1，AE =FP =5-a ，∴a +1=5-a ，解得a =2，∴BE =2．②当DF =2AF 时，如图4，过点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，则四边形GHEP 为矩形，GH =EP ，EH =GP ，由折叠的性质可知，CD =CG =5，BC =CH =3，∴EP =HG =CG -CH =2，∵DF =2AF ，∴AF =1，DF =FG =2，设BE =EH =a ，FP =GP +FG =a +2，AE =5-a ，∵EF 2=AF 2+AE 2=EP 2+FP 2，∴12+5-a 2=22+a +2 2，解得a =97，∴BE =97．综上可知，BE 的长为2或97．【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键．2)菱形的翻折模型【模型解读】9(2023·四川成都·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为．【答案】2.8【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG=EA，由题意得，BD=DG+BG=8，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=8，设BE=x，则EG=AE=8-x，在Rt△EHB中，BH=12x，EH=32x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=32x2+6-12x2，解得，x=2.8，即BE=2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．10(2023·安徽·统考一模)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连结A'C，则A'C长度的最小值是( ).A.7B.7-1C.3D.2【答案】B【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．【详解】如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=12MD=12，∴FM=DM×cos30°=32，∴MC=FM2+CF2=7，∴A′C=MC-MA′=7-1．故选B．11(2023·山东八年级统考期末)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为()A.18B.17C.16D.15【答案】B【分析】连接BP ，BD ，证明ΔBCD 是等边三角形，证得∠ABP =∠CPB =90°，由折叠可得AM =MP ，由MP 2=BM 2+BP 2可求出MP 的长，进而得出答案．【详解】解：如图，连接BP ，BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠A =60°，∴AB =BC =CD ，∠A =60°=∠C ，∴ΔBCD 是等边三角形，∵P 是CD 中点，∴DP =CP =12CD ，BP ⊥CD ，∠PBC =30°，∴CP =12BC ,BP =3CP ，∵CD ⎳AB ，∴∠ABP =∠CPB =90°，由折叠可得AM =MP ，设AB =BC =CD =2a ，∴BP =3a ，∵MP 2=BM 2+BP 2，∴MP 2=3a 2+(2a -AM )2，即MP 2=3a 2+(2a -MP )2∴AM =MP =74a ，∴BM =AB -AM =AB -MP =14a ，∴BM AM=17．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键．12(2023秋·广西九年级专题练习)如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，P 为AB 中点．折叠该纸片使点C 落在点C 处且点P 在DC 上，折痕为DE ，则∠CED 的大小为()A.40°B.45°C.60°D.75°【答案】D 【分析】连接BD ，易得△DAB 为等边三角形，根据三线合一，易得∠DPA =90°，利用菱形的性质，易得：∠PDC =90°,∠C =60°，根据折叠的性质，易得∠CDE =12∠PDC =45°，再利用三角形的内角和求出∠CED 的度数即可．【详解】解：∵在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，∴∠C =∠A =60°,AD =AB ,AB ∥CD ，连接BD ，∴△DAB 为等边三角形，∵P 为AB 中点，∴DP ⊥AB ，∵AB ∥CD ，∴PD ⊥DC ，∴∠PDC =90°，∵折叠该纸片使点C 落在点C 处且点P 在DC 上，折痕为DE ，∴∠CDE =12∠PDC =45°，∴∠CED =180°-∠CDE -∠C =75°；故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形的内角和个定理．熟练掌握并灵活运用相关知识点，是解题的关键．13(2023春·浙江·八年级专题练习)对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B 两点重合，MN 是折痕．若B M =1.5，则CN 的长为()A.3.5B.4.5C.5.5D.6.5【答案】A【分析】连接AC 、BD ，利用菱形的性质得OC =12AC =3，OB =OD =12BD =4，∠COD =90°，再利用勾股定理计算出CD =5，由ASA 证得△OBM ≌△ODN 得到DN =BM ，然后根据折叠的性质得BM =B M =1.5，则DN =1.5，即可得出结果．【详解】解：连接AC 、BD ，如图，∵点O 为菱形ABCD 的对角线的交点，∴OC =12AC =3，OB =OD =12BD =4，∠COD =90°，在Rt △COD 中，CD =OC 2+OD 2=32+42=5，∵AB ∥CD ，∴∠MBO =∠NDO ，在△OBM 和△ODN 中，∠MBO =∠NDOOB =OD ∠BOM =∠DON，∴△OBM ≌△ODN ASA ，∴DN =BM ，∵过点O 折叠菱形，使B ，B 两点重合，MN 是折痕，∴BM =B M =1.5，∴DN =1.5，∴CN =CD -DN =5-1.5=3.5，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定和折叠的性质是解题的关键．14(2023·山东九年级课时练习)如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片ABCD 分别沿AM ，AN 所在直线进行折叠，使得菱形的两边AB ，AD 重合于AO ．若此时∠MON =80°，则∠AMO =．【答案】30°/30度【分析】根据菱形的性质得∠B =∠D ，∠B +∠BAD =180°，再由折叠的性质得∠B =∠AOM ，∠D =∠AON ，∠BAM =∠OAM =∠DAN =∠OAN =14∠BAD ，所以∠AOM =∠AON =12(360°-∠MON )=140°，所以∠B =∠AOM =140°,从而可求得∠BAD =40°,继而求得∠OAM =10°,再由三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴∠B =∠D ，∠B +∠BAD =180°，由折叠的性质得：∠B =∠AOM ，∠D =∠AON ，∠BAM =∠OAM =∠DAN =∠OAN =14∠BAD ，∵∠MON =80°，∴∠AOM =∠AON =12(360°-80°)=140°，∴∠B =∠AOM =140°,∴∠BAD =40°,∴∠OAM =10°,∴∠AMO =180°-140°-10°=30°,故答案为:30°．【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质是解题的关键．3)正方形的翻折模型【模型解读】15(2023·湖南郴州·八年级校考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是AD 边的中点，连接BE ，将△ABE 沿直线BE 翻折至△FBE ，延长EF 交CD 于点G ，则CG 的长度是()A.23B.34C.43D.32【答案】C【分析】连接BG ，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB =BF =BC =4，AE =FE =12AD =2=DE ，∠A =∠BFE =90°=∠C ，即可证明Rt △BFG ≌Rt △BCG 得到FG =CG ，设CG =FG =x ，则DG=4-x ，EG =2+x ，在Rt △DEG 中，由勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接BG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =DC =4，∠A =∠ABC =∠C =90°，由折叠的性质可得，AB=BF=BC=4，AE=FE=12AD=2=DE，∠A=∠BFE=90°=∠C，∵∠BFE+∠BFG=180°，∴∠C=∠BFG=90°，又∵BG=BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)，∴FG=CG，设CG=FG=x，则DG=4-x，EG=2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理得，EG2=DE2+DG2，∴(2+x)2=22+(4-x)2，解得x=43，即CG=43，故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF=2，则BF2=()A.42+4B.6+42C.12D.8+42【答案】D【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则AC=2x，由折叠可知，DE=EF，AD= AF，∠D=∠EFA=90°，可得DE=2，EC=x-2，AC=2x，在Rt△EFC中，由勾股定理可得(x-2)2 =4+(2x-x)2，解得x，即为正方形的边长为22+2，再求出FC=2，由∠ACB=45°，可求FG=CG =2，BG=2+2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2=(2+2)2+2=8+42．【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知，DE=EF，AD=AF，∠D=∠EFA=90°，设正方形的边长为x，∵EF=2，∴DE=2，EC=x-2，AC=2x，在Rt△EFC中，EC2=FE2+FC2，∴(x-2)2=4+(2x-x)2，解得x =22+2，∴FC =2x -x =2，∵∠ACB =45°，∴FG =CG =2，∴BG =2+2，在Rt △BFG 中，BF 2=BG 2+GF 2=(2+2)2+2=8+42，故选：D ．【点睛】本题考查正方形性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．17(2023·江苏·九年级专题练习)如图，ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A ′处，则EG =cm ．【答案】43-6【分析】由ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，可得AE =DF =2cm ，EF =AD =4cm ，由翻折的性质可得AG =A ′G ，AD =A ′D ，在Rt △DFA ′与Rt △A ′EG 中，用勾股定理可求得答案．【详解】解：∵ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E 、F 分别为AB ，CD 的中点，∴AE =DF =2cm ，EF =AD =4cm ，∵沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A ′处，∴AG =A ′G ，AD =A ′D =4cm ，在Rt △DFA ′中，A ′F =A ′D 2-DF 2=42-22=23cm ，∴A ′E =4-23 cm ，在Rt △A ′EG 中，设EG =x ，则A ′G =AG =(2-x )cm ，∴A ′G 2=A ′E 2+EG 2，即2-x 2=x 2+4-23 2，解得x =43-6．故答案为：43-6．【点睛】本题考查了正方形的性质及图形的翻折问题；利用相关知识找出等量关系，两次利用勾股定理是正确解答本题的关键．18(2023·山西朔州·校联考模拟预测)如图，在正方形ABCD 中，AB =2，将其沿EF 翻折，使∠EFC =120°，顶点B 恰好落在线段AD 上的点G 处，点C 的对应点为点H ．则线段AE 的长为．【答案】23【分析】设AE =x ，则BE =2-x ，由翻折性质，得EG =EB =2-x ，∠GEF =∠BEF =60°，所以∠AEG =60°，在Rt △AEG 中，利用三角函数可求出x ，从而得到线段AE 的长．【详解】解：设AE =x ，∵正方形ABCD 中，AB =2，∴BE =2-x ，AB ∥CD ，∵∠EFC =120°，∴∠BEF =60°，∵四边形EFHG 是四边形EFCB 折叠得到，∴∠GEF =∠BEF =60°，EG =BE =2-x ，∴∠AEG =180°-∠GEF -∠BEF =60°，在Rt△AGE中，cos∠AEG=AEEG，即cos60°=x2-x=12，解得x=23，经检验x=23是原方程的解，∴原方程的解为x=23，∴AE=23，故答案为：23．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，解直角三角形，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．19(2023·广东九年级课时练习)如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠AGB+∠AED=135°③GF=3；④AG⎳CF；其中正确的有(填序号)．【答案】①②③④【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判断①正确；根据∠DAE=∠EAF,∠BAG=∠FAG，进而可得∠GAE=45°，根据三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF=135°，得到∠AGB+∠AED=135°，进而判断②正确；设BG=GF=x，则CG=6-x，EG=x+2，CE=4，在Rt△EGC中，根据勾股定理建立方程(x+2)2= (6-x)2+42，解方程可得GF=3，即可判断③正确；根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判断④正确【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD=6，∵CD=3DE，∴DE=2，∴CE=4，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=90°，AF=AD，EF=DE=2，∴∠AFG=∠ABG=90°，AF=AB，在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AF AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴①正确；∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠DAE=∠EAF，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠BAG=∠FAG，∵∠DAE+∠EAF+∠BAG+∠FAG=∠DAB=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠FAG=12∠DAB=45°，∴∠AEF+∠ADF=135°，∴∠AGB+∠AED=135°，∴②正确；设BG=GF=x，则CG=6-x，EG=x+2，∵CE=4，∴(x+2)2=(6-x)2+42，解得x=3，∴BG=GF=3，∴③正确；∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．20(2023·江苏扬州·校考二模)如图，将正方形ABCD沿着BE、BF翻折，点A、C的对应点分别是点A 、C ，若∠A BC =14°，则∠EBF=．【答案】38°【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得∠ABC=90°，∠ABE=∠A BE，∠CBF=∠C BF，利用角之间的和差关系可得2∠A BE+2∠C BF=90°+∠A BC =104°，进而求得∠A BE+∠C BF=52°，再利用∠EBF=∠A BE+∠C BF-∠A BC 即可求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，由折叠可知，∠ABE=∠A BE，∠CBF=∠C BF，∵∠A BF=∠C BF-∠A BC ，∠ABE+∠A BE+∠A BF+∠CBF=90°，∴2∠A BE+2∠C BF-∠A BC =90°，即：2∠A BE+2∠C BF=90°+∠A BC =104°，∴∠A BE+∠C BF =52°，∴∠EBF=∠A BE+∠C BF-∠A BC =52°-14°=38°，故答案为：38°．【点睛】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到∠A BE+∠C BF的度数是解决问题的关键．21(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，AB=6，点F是边AD上一点(点F不与A,D重合)，将△CDF沿直线CF翻折，点D落在点E处．(1)如图2，当点E落在对角线AC上时，求DF的长．(2)如图3，连接AC,BD,BD分别交CF,AC于点M，点O，连接OE并延长交AD于点G，当M为OD中点时，试判断OG与CF的位置关系，并说明理由．(3)如图4，在线段CE上取一点Q，且使CQ=2，连接AE,BQ，则在点F从点A运动到点D的过程中，AE+BQ的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．【答案】(1)62-6(2)CF∥OG，理由见解析．(3)213【分析】(1)可证得△FEA为等腰直角三角形，AF=2EF，结合DF=EF，可得AD=DF+AF=DF+ 2DF．(2)连接DE，交FM于点H，可知DH=EH，根据三角形的中位线定理，即可求得OG与CF的位置关系．(3)在线段CB上取一点P，使CP=CQ=2，连接AP，EP，可证得△CBQ≌△CPE，则AE +BQ=AE+EP，观察图形可知，当点A，E，P在同一条直线上时，AE+EP最小，最小值为AP．【详解】(1)根据折叠的性质可知DF=EF，∠D=∠FEC=90°，∴∠FEA=90°．∵∠FAE=45°，∴△FEA为等腰直角三角形．∴EF=EA．∴AF2=EF2+AE2=2EF2．∴AF=2EF．∴AF=2DF．∴AD=DF+AF=DF+2DF=6．∴DF=62-6．(2)CF∥OG，理由如下：如图所示，连接DE，交FM于点H．根据题意可知CF 为线段DE 的垂直平分线，∴DH =EH ．∵M 为OD 中点，∴MH ∥OE ，即CF ∥OG ．(3)如图所示，在线段CB 上取一点P ，使CP =CQ =2，连接AP ，EP ．在△CBQ 和△CPE 中，CQ =CP∠QCB =∠PCE CB =CE∴△CBQ ≌△CPE ．∴BQ =EP ．∴AE +BQ =AE +EP ．观察图形可知，当点A ，E ，P 在同一条直线上时，AE +EP 最小，最小值为AP ．∴AP =AB 2+BP 2=62+42=213．【点睛】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、三角形的中位线定理，能根据题意作出辅助线是解题的关键．课后专项训练1(2023·湖北随州·八年级统考期末)如图，在菱形纸片ABCD 中，AB =4，∠A =60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB，AD 上，则EF 的长为()A.72 B.94 C.196 D.733【答案】A【分析】连接BE ，BD ，则△BCD 是等边三角形，则求出BE 的长度，由折叠的性质和勾股定理，即可求出EF 的长度．【详解】解：如图，连接BE ，BD ，∵AB =4=BC =CD ，∠A =60°=∠C ，∴△BCD 是等边三角形，∵E 是CD 中点∴DE =2=CE ，BE ⊥CD ，∠EBC =30°，∴BE =3CE =23，∵CD ∥AB ，∴∠ABE =∠CEB =90°，由折叠可得AF =EF ，∵EF 2=BE 2+BF 2，∴EF 2=12+(4-EF )2，∴EF =72．故选：A ．【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．2(2023春·江西新余·八年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是BC 上的一点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点N 处，AN 的延长线交DC 于点M ，当AB =2CF 时，则NM 的长为()A.12B.1C.32D.54【答案】A【分析】由折叠的性质可得AN =AB =6，∠BAE =∠NAE ，再由平行线的性质得到∠BAE =∠F ，则可证明∠NAE =∠F 得到AM =FM ，设CM =x ，则DM =6-x ，AM =FM =3+x ，在Rt △ADM 中，由勾股定理得3+x 2=62+6-x 2，解方程求出AM =132，则NM =AM -AN =12．【详解】解：∵△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点N 处，∴AN =AB =6，∠BAE =∠NAE ，∵正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAE =∠F ，∴∠NAE =∠F ，∴AM =FM ，设CM =x ，∵AB =2CF =6，∴CF =3，∴DM =6-x ，AM =FM =3+x ，在Rt △ADM 中，由勾股定理得，AM 2=AD 2+DM 2，即3+x 2=62+6-x 2，解得x =72，∴AM =3+72=132，∴NM =AM -AN =132-6=12．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，证明AM =FM 是解题的关键．3(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边CD 上，且CE =1，连结AE ，点F 在边AD 上，连结BF ，把△ABF 沿BF 翻折，点A 恰好落在AE 上的点G 处，下列结论：①AE =BF ；②AD =3DF ；③S △ABF =6；④GE =0.2，其中正确的是()A.①②③④B.①③④C.①②③D.①③【答案】B 【分析】根据翻折的性质证△ABF ≌△DAE (ASA )，得出AF =DE =3，BF =AE ，即可判断①正确；根据DF =AD -AF =4-3=1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF =5，由S △ABF 求出即可求得③正确；根据S △ABF =12AB •AF =12BF •AH ，求出AH ，即可判断④正确，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =CD =4，∠BAD =∠D =90°，∵CE =1，∴DE =3，由折叠的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH =GH ，∴∠BAH +∠ABH =90°，∵∠FAH +∠BAH =90°，∴∠ABH =∠FAH ，在△ABF和△DAE中，∠BAF=∠D AB=AD∠ABF=∠DAE，∴△ABF≌△DAE(ASA)，∴AF=DE=3，BF=AE，故①正确；∵DF=AD-AF=4-3=1，∴AD=4DF，故②错误；在Rt△ABF中，∵BF=AB2+AF2=42+32=5∴S△ABF=12AB•AF=12×4×3=6，故③正确；∵S△ABF=12AB•AF=12BF•AH，∴4×3=5AH，∴AH=125，∴AG=2AH=245，∵AE=BF=5，∴GE=AE-AG=5-245=0.2，故④正确；综上所述：正确的是①③④，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．4(2023春·山西长治·八年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，将边AB沿AF折叠得到AB ,AB交CD于点E，当E为CD中点时，∠EFC的大小为()A.28°B.75°C.40°D.30°【答案】D【分析】延长AE交BC的延长线于点H，过点A作AI⊥BH于点I，可证△ADE≌△HCE，故CH=AD= BC=AB，即BH=2AB，即可求解．【详解】解：延长AE交BC的延长线于点H，过点A作AI⊥BH于点I∵AD∥BC，∴∠D=∠ECH，∵E为CD中点，∴DE=CE，∵∠AED=∠HEC，∴△ADE≌△HCE，∵在菱形ABCD中，∴CH=AD=BC=AB，∴BH=2AB，∵AI⊥BH，∠B=60°，∴∠BAI=30°,BI=12AB,AI=AB2-BI2=32AB，∵HI=BH-BI=2AB-12AB=32AB，∴在Rt△AIH中：AH=AI2+HI2=3AB，∴AH=2AI,∠H=30°，∴∠BAH=90°=∠BAF+∠HAF，由折叠可知：∠BAF=∠HAF=45°，∴∠BFE=2∠AFB=2180°-∠B-∠BAF=150°，∴∠EFC=180°-∠BFE=30°，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形以及折叠的性质．掌握相关几何结论是解题关键．5(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=23，折叠后，点C落在AD边上的C 处，并且点B落在EC 边上的B 处．则BC的长为()A.6B.43C.4D.33【答案】A【分析】由勾股定理得出232，求出BE=2，AE=4，根据翻折和对边平行可得△AEC2+BE2=2BE和△CC E为等边三角形，那么就得到EC=EC =AE=4，相加即可．【详解】解：连接CC ，在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=23，AB2+BE2=AE2，∴AE=2BE，∠AEB =∠AEB=60°，∴232+BE2=2BE2，∴BE=2，∴AE=4，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠C AE=∠AEB=60°，∴△AEC 为等边三角形，同理△CC E也为等边三角形，∴EC=EC =AE=4，∴BC=BE+EC=2+4=6，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6(2023春·浙江杭州·八年级统考期末)如图，将菱形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设∠ABE=α，∠BAE=β，∠C=γ，则关系正确的是()A.γ=α+2β-180°B.3β+γ=180°C.3α+2β=360°D.2α+γ=180°【答案】C【分析】可求∠AEB=180°-α-β，∠CED=2α+2β-180°，可求∠ADF=∠CED=2α+2β-180°，可证∠ADF=∠AFD，即可求解．【详解】解：∵∠ABE=α，∠BAE=β，∴∠AEB=180°-α-β，根据折叠可知，∠AEF=∠AEB=180°-α-β，∠AFE=∠ABE=α，AB=AF，∴∠CED=180°-2(180°-α-β)=2α+2β-180°，在菱形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∴∠ADF=∠CED=2α+2β-180°，AD=AF，∴∠ADF=∠AFD，∵∠AFD =180°-α，∴180°-α=2α+2β-180°，∴3α+2β=360°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．7(2023·广东江门·统考二模)如图，在矩形片ABCD 中，边AB =4，AD =2，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF 的长为5；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF =CE =AE =AF ，则证明结论①正确；设DF =x ，故DF =BE =x ，在Rt △ADF 中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF 的长，则可推出结论③正确；由DF =BE 可知阴影部分的面积为矩形ABCD 面积的一半与△CGF 面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CFE ，由折叠性质可知：AE =CE ，AF =CF ，∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CF =CE ，∴CF =CE =AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；故①正确；∵四边形AECF 是菱形，∴CF =AE ，∵四边形ABCD 是矩形，AB =4，AD =2，∴AB =CD =4，∠D =90°，∴AB -CF =CD -AE ，即DF =BE ，设DF =x ，则CF =AF =4-x ，在Rt △ADF 中，DF 2+AD 2=AF 2，即x 2+22=(4-x )2解得x =1.5，即BE 的长是1.5；故②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，∴四边形ADFH 是矩形，∴FH =AD =2，AH =DF =1.5，∵AE =AB -BE =2.5，∴HE =AE -AH =1，由勾股定理得EF =FH 2+HE 2=22+12=5；故③正确；∵DF =BE ，AD =GC =2，DF =GF =32，∴S 阴影部分=S 四边形BCFE +S △CGF ，=12S 矩形ABCD +S △CGF ，=12AB •AD +12CG •GF ，=12×4×2+12×2×32，=4+32=112；故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．。
平移旋转翻折
平移旋转翻折在数学几何中，平移、旋转和翻折是常见且重要的变换方式。
它们不仅被广泛应用于各个领域，如计算机图形学、工程建模以及几何推理，还在日常生活中起到一定的作用。
本文将重点介绍平移、旋转和翻折的概念、特点以及应用。
一、平移平移是指在平面上将一个图形沿着一定方向不改变形状和大小地移动。
在数学中，平移可以用向量来表示。
假设平移向量为[dx, dy]，那么图形上任意一点(x, y)经过平移后的坐标为(x+dx, y+dy)。
可以看出，平移只改变了图形的位置，而不会改变图形本身的性质。
平移在几何中有广泛的应用。
比如在地图制图中，将地图上的城市标记进行平移，便可以得到不同的地理分布方案。
此外，在工程制图中，平移也是非常常见的操作，可以通过平移来移动图形的位置，以获得更合理和更美观的设计。
二、旋转旋转是指将一个图形以某个点为中心按一定角度旋转，保持形状和大小不变。
数学中，我们可以使用旋转矩阵来描述一个图形的旋转变换。
设旋转角度为θ，旋转中心为(x0, y0)，图形上任意一点(x, y)经过旋转后的坐标计算公式如下：x' = (x - x0) * cosθ - (y - y0) * si nθ + x0y' = (x - x0) * sinθ + (y - y0) * cosθ + y0可以看出，旋转的本质是改变了图形的方向和位置，但不改变图形本身的性质。
旋转在许多领域都有重要的应用。
例如，在航空航天领域中，飞行器的姿态控制需要进行旋转变换来实现平衡和机动性能。
此外，在艺术设计中，通过旋转变换可以创造出丰富多样的视觉效果。
三、翻折翻折是指将一个图形沿着某条直线对称地翻转，即将图形中的点关于对称轴做镜像对称。
在数学中，翻折也可以通过矩阵变换来表示。
设对称轴为直线y=kx+b，图形上任意一点(x, y)经过翻折后的坐标计算公式如下：x' = x - 2 * (k * x + b) / (k^2 + 1)y' = y - 2 * (k * x + b) * k / (k^2 + 1) - 2 * b / (k^2 + 1)翻折改变了图形的方向和位置，同时也改变了图形的性质。
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
圆中的重要模型之翻折(学生版)-初中数学
圆中的重要模型之翻折模型圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。
翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。
这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)【知识储备】1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折(即等圆相交)：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)1)条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA2)条件：特别地，弧BC 折叠后过圆心，结论：CD =CA ，∠CAB =60°1)证明：如图，设折叠后的BDC所在的圆心是G ，连接AC ，CD .由题意得(折叠)：BC =BDC ，即：BC =BD +DC ，∴∠CAB =∠DCB +∠CBD ，∵∠CDA =∠DCB +∠CBD ，∴∠CAB =∠CDA ，∴CD =CA 。
2)证明：如图，连接AC ，CD ，CO ；由1)中证明知：CO =CA ，∵OA =OC ，∴CO =CA =OA ，∴△OAC 为等边三角形，∴∠CAB =60°。
1.(23-24九年级上·浙江台州·阶段练习)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折，交AB 于点D (不与点O 重合)，连结CD ．若∠BAC =24°，则∠ACD 的度数为()A.44°B.46°C.48°D.42°2.(23-24九年级上·安徽合肥·期末)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB =8，CD 为AB 边上的中线，将BC 沿BC 翻折后刚好经过点D ，若已知⊙O 的半径为25，则BC 的长是()A.43B.62C.65D.533.(2023·山西吕梁·模拟预测)如图，AC 是半圆O 的一条弦，以弦AC 为折线将弧AC 折叠后过圆心O ，⊙O 的半径为2，则圆中阴影部分的面积为()A.23B.2π-3C.3D.3+14.(23-24九年级上·江苏无锡·期末)如图，将⊙O 上的BC �沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD �沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE .若AD =2OD ，则DE AB 的值．5.(2024·陕西西安·模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 为AB 的中点，将弦AB 下方的部分沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合．点D 为优弧AB 上一点连接BD 、CD 、BC ．若∠BCD =45°，AB =23，则CD =()A.6+2B.23C.1+23D.326.(2023春·江苏盐城·九年级校考期末)如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的AB上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD，EO．则EO的最小值为．7.(23-24九年级上·浙江金华·期中)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．8.(2023·安徽淮南·一模)如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．(1)如图①，将AC 沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为；(2)如图②，将BC 沿弦BC翻折，交AB于D，把BD 沿直径AB翻折，交BC于点E．(Ⅰ)若点E恰好是翻折后的BD 的中点，则∠B的度数为；(Ⅱ)如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．1.(2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，将劣弧AC沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点D ．若AC =6，∠C =60°，则⊙O 的半径长为()A.137B.237C.1321 D.23212.(2023·吉林长春·统考模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是()①AC =CD ；②AD =BD ；③AC +BD =BC ；④CD 平分∠ACBA.1B.2C.3D.43.(2022春·福建福州·九年级校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ，再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE =DE ，则∠BCD 的度数是()A.22.5°B.30°C.45°D.60°4.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)若直角三角形中两直角边之比是1:22，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是⊙O上半圆上一点，将⊙O沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若△ABC是完美三角形，则BD:AD为()A.3:1B.22:1C.3:22D.7:25.(2022春·九年级课时练习)如图，已知半圆O的直径AB=8，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC，交直径AB于点D，若DA、DB的长均不小于2，则AC的长可能是()A.7B.6C.5D.46.(2023·河南周口·统考二模)如图①，AB为半圆O的直径，点C在AB 上从点A向点B运动，将BC 沿弦BC，翻折，翻折后BC 的中点为D，设点A，C间的距离为x，点O，D间的距离为y，图②是点C运动时y 随x变化的关系图象，则AB的长为．7.(2023·北京·统考二模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB=°．8.(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与CB 相交于点D ．若CD =13BD ，则∠ACD =．9.(2023·浙江宁波·校考一模)如图，⊙O 的半径为4．将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ．则这条劣弧的弧长为．10.(2023春·广西·九年级专题练习)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG :OC =3:5，AB =8，点E 为圆上一点，∠ECD =15°，将CE沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，图中阴影部分的面积=．11.(2023秋·四川南充·九年级统考期末)如图，在⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 折叠得弧AmB ，P 是弧AmB 上一动点，过点P 作弧AmB 的切线与⊙O 交于C ，D 两点，若⊙O 的半径为13，AB =24，则CD 的长度最大值为．12.(2024·浙江杭州·九年级校考阶段练习)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，则∠BAC的度数为；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=16°，则∠DCA的度数为．13.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，C是半圆上一点，AB是直径，将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿BD翻折交BC于点E，若E是弧BD的中点，AD=2，则阴影部分面积为．14.(2024·浙江金华·九年级校考期中)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．15.(2023·河北张家口·校考模拟预测)如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，AB=4，BC=a，以AB为直径在AB的上方作半圆O，交AD于点E，P为AB 上一动点(不与点A，B重合)，将半圆O沿BP折叠，得到点A的对称点A ，点O的对称点O ．(1)当点O 在半圆O 上时，∠ABA 的度数为；(2)如图2，连接BD ，BP 与AE 交于点F ．已知P A ∥BD ，且a =22+26．①求BD 的长度及EF BF 的值；②求阴影部分的面积；(3)点P 在AB 上运动过程中，当直线DC 能与A P 所在的圆相切时，直接写出a 的取值范围．16.(2023·河北承德·九年级校考期末)如图，⊙O 的直径AB =4，AC 是弦，沿AC 折叠劣弧AC，记折叠后的劣弧为AmC ．(1)如图1，当AmC 与AB 相切于A 时．①为画出AmC 所在圆的圆心P ，请选择你认为正确的答案．甲：在AmC 上找一点E ，连AE 、CE 并分别作它们的中垂线，交点为P ；乙：分别以A 、C 为圆心，以AO 为半径作弧，除O 外两弧另一个交点即为圆心P ．A.甲正确B.乙正确C.甲乙都正确D.都不正确②选择合适的方法做出圆心P ，求AC 的长；直接写出此时∠CAO 的度数．(2)如图2，当AmC经过圆心O 时，求AC 的长；(3)如图3，当AmC 覆盖圆心且与直径交于点D ，若∠CAO =25°，直接写出∠ACD 的度数．17.(2023·广东汕头·九年级校考期中)如图，在⊙O中，点C、D在AB 上，将BC 沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．(1)证明：AC=EC；(2)连接AD，若CE=5，AD=8，求⊙O的半径．18.(2023·江苏扬州·九年级统考阶段练习)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r．(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，请直接写出∠DCA的度数是．(3)如图2，若点D与圆心O不重合，BD=5，AD=7，求AC的长．。
八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析
八年级数学翻折变换(折叠问题)参考答案与试题解析work Information Technology Company.2020YEAR八年级数学翻折变换（折叠问题）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（）A．8B．12C．D．【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN＝BF＝，得出FN＝BN＝即可．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠B＝60°，∵EM⊥AB，∴∠BEM＝30°，∴BM＝BE＝8，ME＝BM＝8，由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，∵AF：BF＝2：3，∴BF＝（16+x），∴FM＝BF﹣BM＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2，解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去），∴BF＝（16+19）＝21，作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，∴BN＝BF＝，∴FN＝BN＝，即点F到BC边的距离是，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB 边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（）A．B．C．D．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′H＝AB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′＝＝＝，由折叠的性质得到BF＝BB′＝，DE ⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵AB′＝AC＝，∴AH＝B′H＝1，∴BH＝3，∴BB′＝＝＝，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，∵∠EBF＝∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案为：．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC沿AC翻折得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则△ABE的面积为（）A．B．C．3D．【分析】由折叠的性质可知∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．由等腰三角形的性质得出∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．求出∠ECD＝30°．由三角形的外角性质得出∠E＝75°﹣30°＝45°，过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，由直角三角形的性质得出CH＝AC＝1，AH＝CH＝．得出HD＝AD﹣AH＝2﹣．求出EH ＝CH＝1．得出DE＝EH﹣HD＝﹣1，AE＝AD+DE＝1+，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝1，BM＝AM＝．由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AD＝AB＝2．∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．∴∠E＝75°﹣30°＝45°．过点C作CH⊥AE于H，过B作BM⊥AE于M，如图所示：在Rt△ACH中，CH＝AC＝1，AH＝CH＝．∴HD＝AD﹣AH＝2﹣．在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴EH＝CH＝1．∴DE＝EH﹣HD＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴AE＝AD+DE＝1+，∵BM⊥AE，∠BAE＝∠BAC+∠CAD＝60°，∴∠ABM＝30°，∴AM＝AB＝1，BM＝AM＝．∴△ABE的面积＝AE×BM＝×（1+）×＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，根据折叠的性质得到AE＝AB＝5，EF＝BF，根据勾股定理得到DE＝＝＝3，求得CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，∴AE＝AB＝5，EF＝BF，∴DE＝＝＝3，∴CE＝2，设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，∴x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的矩形，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．如图，在矩形纸片ABCD中，CB＝12，CD＝5，折叠纸片使AD与对角线BD重合，与点A重合的点为N，折痕为DM，则△MNB的面积为（）A．B．C．D．26【分析】由勾股定理得出BD＝＝13，由折叠的性质可得ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，得出∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝1，设AM＝NM ＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，由勾股定理得出方程，解方程得出NM ＝AM＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∴BD＝＝＝13，由折叠的性质可得：ND＝AD＝12，∠MND＝∠A＝90°，NM＝AM，∴∠EA′B＝90°，BN＝BD﹣ND＝13﹣12＝1，设AM＝NM＝x，则BM＝AB﹣AM＝5﹣x，在Rt△BMN中，NM2+BN2＝BM2，∴x2+12＝（5﹣x）2，解得：x＝，∴NM＝AM＝，∴△MNB的面积＝BN×NM＝×1×＝；故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、勾股定理以及矩形的性质．熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7．如图，在△ABC中∠ACB＝90°、∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形、将四边形ACBD折叠，使点D与点C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的是（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形是解题的关键．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，连接AE、ED，将△ABE沿AE翻折，使点B落在B'处，线段EB'交AD于点F，将△ECD沿DE翻折，使点C的对应点C'落在线段EB'上，若点C'恰好为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．B．C．D．【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，由中点性质可得B'E＝2C'E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求可求CE的长，由“AAS”可证△AB'F≌△DC'F，可得C'F＝B'F＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折叠的性质可得：AB＝AB'＝CD＝C'D＝1，∠B＝∠B'＝90°＝∠C＝∠DC'E，BE＝B'E，CE＝C'E，∵点C'恰好为EB'的中点，∴B'E＝2C'E，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，AD2＝AE2+DE2，∴1+4CE2+1+CE2＝9CE2，解得：CE＝，∴B'E＝BE＝，BC＝AD＝，C'E＝，∴B'C'＝，在△AB'F和△DC'F中，∴△AB'F≌△DC'F（AAS），∴C'F＝B'F＝，∴EF＝C'E+C'F＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出CE 的长是本题的关键．9．如图，▱ABCD中，AB＝6，∠B＝75°，将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，B′C交AD于E，∠B′AE＝45°，则点A到BC的距离为（）A．2B．3C．D．【分析】过B′作B′H⊥AD于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝B′H＝AB′，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，求得∠AEB′＝60°，解直角三角形得到HE＝B′H＝，B′E＝2，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠ACB，推出AE＝CE，根据全等三角形的性质得到DE＝B′E＝2，求得AD＝AE+DE＝3+3，过A作AG⊥BC于G，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过B′作B′H⊥AD于H，∵∠B′AE＝45°，∴△AB′H是等腰直角三角形，∴AH＝B′H＝AB′，∵将△ABC沿AC边折叠得到△AB′C，∴AB′＝AB＝6，∠AB′E＝∠B＝75°，∴∠AEB′＝60°，∴AH＝B′H＝×6＝3，∴HE＝B′H＝，B′E＝2，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∵∠AB′E＝∠B＝∠D，∠AEB′＝∠CED，∴△AB′E≌△CDE（AAS），∴DE＝B′E＝2，∴AD＝AE+DE＝3+3，∵∠AEB′＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝∠CAE＝30°，∴∠BAC＝75°，∴AC＝AD＝BC，∠ACB＝30°，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AC＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB 的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2，在Rt△ACH 中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a．求得HC的值后，利用sin∠ACH＝AH：HC求值．【解答】解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a．∴AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a．∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a．∴sin∠ACH＝＝，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．11．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．二．填空题（共7小题）13．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为（6+4）厘米．【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE＝AE，AG＝GC，∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，∴AG＝6厘米，∴BE＝AE＝2厘米，GC＝AG＝6厘米，∴BC＝BE+EG+GC＝（6+4）厘米，故答案为：（6+4），【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE＝DB＝CD＝AB，∴∠DEC＝∠DCE＝∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE＝∠DCB，∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝CD，∴AC＝DE，∵AC∥DE，AC＝CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，∠B＝30°，∴AC＝，∴AE＝．【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则CE＝2．【分析】根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得AD＝2DF，A'F＝EF，通过勾股定理可得AB的长度，可可求AD，DF，BF的长度，可得BF＝DF，可证BEDA'是平行四边形，可得BE＝A'D＝2，根据勾股定理可得CE的长度【解答】解：如图连接BE∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4∴AB＝4∵D是AB中点∴BD＝AD＝2∵折叠∴AD＝A'D＝2，S△ADE＝S△A'DE∵S△DEF＝S△ADE∴AD＝2DF，S△DEF＝S△A'DE∴DF＝，A'F＝EF∴BF＝DF＝，且A'F＝EF∴四边形BEDA'是平行四边形∴A'D＝BE＝∴根据勾股定理得：CE＝2故答案为2【点评】本题考查了折叠问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是用面积法解决问题．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tan A＝，BC＝，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则DE＝．【分析】作BF⊥AC于F，证明△B1EC≌△CFB（AAS），得出B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，得出BD＝B1D＝3a+1，得出方程，解方程即可．【解答】解：作BF⊥AC于F，如图所示：则∠AFB＝∠CFB＝90°，在Rt△ABF中，tan A＝＝，AB＝5，∴AF＝4，BF＝3，sin A＝＝，∴CF＝AC﹣AF＝1，由折叠的性质得：B1C＝BC＝，∠CB1E＝∠ABC，B1D＝BD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCF，∴∠CB1E＝∠BCF，∵DB1⊥AC，∴∠B1EC＝90°＝∠CFB，在△B1EC和△CBF中，，∴△B1EC≌△CFB（AAS），∴B1E＝CF＝1，设DE＝3a，则AD＝5a，∴BD＝B1D＝3a+1，∵AD+BD＝AB，∴3a+1+5a＝5，∴a＝，∴DE＝；故答案为：【点评】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及方程的解题思想，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，把△ABC沿斜边AC折叠，使点B落在B’，点D，点E分别为BC和AB′上的点，连接DE交AC于点F，把四边形ABDE沿DE 折叠，使点B与点C重合，点A落在A′，连接AA′交B′C于点H，交DE于点G．若AB＝3，BC＝4，则GE的长为．【分析】设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，可得x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，由△CA′H∽△AGE，可得＝，由此即可解决问题．【解答】解：由题意四边形ABCA′是矩形，BD＝CD＝2，AG＝GA′＝2，∵BC∥AA′，∴∠BCA＝∠CAA′，∵∠ACB＝∠ACB′，∴∠HCA＝∠HAC，∴HC＝HA，设HC＝HA＝x，在Rt△CA′H中，x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝，∴A′H＝4﹣＝，由△CA′H∽△AGE，可得：＝，∴＝，∴EG＝．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为6．【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∵BC＝AC，∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，∴CM＝，∴AD＝BC＝2CM＝3，在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；故答案为：6．【点评】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出∠B'AD＝90°是解题关键．19．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC 边上的F点处．已知折痕AE＝10，且CE：CF＝4：3，那么该矩形的周长为96．【分析】由CE：CF＝4：3，可以假设CE＝4k，CF＝3k推出EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵CE：CF＝4：3，∴可以假设CE＝4k，CF＝3k∴EF＝DE＝5k，AB＝CD＝9k，∵∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE，∴∴∴BF＝12k∴AD＝BC＝15k，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2+DE2，∴1000＝225k2+25k2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴矩形的周长＝48k＝96，故答案为：96【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．。
2023年中考数学【选择题】讲练必考重点03 几何变换之翻折问题
【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。
几何的翻折问题，本质上考查的是轴对称的性质，常和矩形相结合。
在解题时，首先要明确折叠前后的图形全等，折叠前后的对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点之间的连线，在结合矩形、菱形、三角形等的性质，运用勾股定理，列出方程，求出相应的线段长度。
【2022·江苏连云港·中考母题】如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB ；③GE DF ；④OC ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③④【考点分析】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【思路分析】由折叠的性质知∠FGE =90°，∠GEC =90°，点G 为AD 的中点，点E 为AB 的中点，设AD =BC =2a ，AB =CD =2b ，在Rt △CDG 中，由勾股定理求得b ，然后利用勾股定理再求得DF =FO =【2021·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C '，B C '交AD 于点E ，连接B D '，若60B ∠=︒，45ACB ∠=︒，AC =B D '的长是（ ）A．1BC D 【考点分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【思路分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC 为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE 得长，进而得出ED 的长，再根据勾股定理可得出B D '；1．（2022·江苏苏州·二模）如图把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 的对应点为B ′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．BC ＝12ACB ．AE ＝CEC ．AD ＝DE D ．∠DAE ＝∠CAB2．（2022·江苏南京·二模）如图，矩形ABCO ，点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标为()2,4-．将△ABC 沿AC 翻折，得到△ADC ，则点D 的坐标是（ ）A．612,55⎛⎫⎪⎝⎭B．65,52⎛⎫⎪⎝⎭C．312,25⎛⎫⎪⎝⎭D．35,22⎛⎫⎪⎝⎭3．（2022·江苏泰州·一模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝11，EN＝2，则FO的长为（）A B C D4．（2022·江苏宿迁·三模）已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，1∠与2∠的数量关系是（）A．12135∠+∠=︒B．2115∠-∠=︒C．1290∠+∠=︒D．22190∠-∠=︒5．（2022·江苏苏州·二模）如图①，②，③，④，两次折叠等腰三角形纸片ABC，先使AB与AC重合，折痕为AD，展平纸片：再使点A与点C重合，折痕为EF，展平纸片，AD、EF交于点G．若5cmAB AC==，6cmBC，则DG的长为（）A．3cm4B．7cm8C．1cm D．7cm66．（2022·江苏·苏州中学二模）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（）A．85︒B．82.5︒C．65︒D．50︒7．（2022·江苏扬州·二模）如图，在矩形ABCD中，2AB=，BC=E是BC的中点，将ABE△沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan ECF∠的值为（）A B C．23D8．（2022·江苏苏州·模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC 边上的点F处，若3AB=，5BC=，则tan FEC∠的值为（）．A．12B．35C．34D．459．（2022·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y＝kx（k≠0）图象经过点C．且S△BEF＝1，则k的值为（）A．18B．20C．24D．2810．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A=∠1-∠2B．3∠A=2（∠1-∠2）C．3∠A=2∠1-∠2D．∠A=∠1-∠211．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=32，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN 翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（）A B C D12．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级）如图，在ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将BDE 沿DE 翻折，得到B DE '，若点C 恰好在线段B D '上，若90BCD ∠=︒，DC ：3CB '=：2，AB =CE 的长度为（ ）A．B C ．D 13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，将△ACD 沿CD 对折得△A ′CD ．连接BA '，连接AA ′交CD 于点E ，若14cm AB =，4cm BA '=，则CE 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm14．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级）如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将△BDE 沿翻折，得到△B 'DE ，若点C 恰好在线段B 'D 上，若∠BCD ＝90°，DC ：CB '＝3：2，AB ＝CE 的长度为（ ）A．B ．4C ．D ．615．（2022·江苏·九年级专题练习）如图①，AB ＝5，射线AM ∥BN ，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ ∥AB ．设AP ＝x ，QD ＝y ．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点E (9，2)，则cos B 的值等于（ ）A．25B．12C．35D．71016．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（）A B C D17．（2022·江苏南通·九年级）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB 翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°18．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD 上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A ．2B ．74C D ．319．（2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AD =，3BC =．劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O ．当对角线BD 最大时，则弦AB 的长为（ ）A B ．C ．32D ．【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。
平移旋转与翻折
平移旋转与翻折平移、旋转和翻折是几何学中常见的几何变换，它们在数学、工程和计算机图形学中都起到重要的作用。
本文将深入探讨这三种变换的基本概念、特性以及在实际应用中的意义。
一、平移平移是指将一个图形沿着平行于原位置的方向移动一定的距离，从而得到一个新的位置。
在二维平面坐标系中，平移可以用向量的加法来表示。
设原点为O，平行于x轴和y轴的两条直线分别为x=x1和y=y1，将点P(x,y)平移距离为(a,b)，则P'的坐标为P'(x+a, y+b)。
可以看出，平移不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
平移在日常生活中随处可见。
比如我们在空间中移动物体、走路、开车等都是进行平移的实例。
在计算机图形学中，平移常用于移动图像或物体，例如在绘图软件中拖动鼠标来平移画布或在游戏中移动角色。
二、旋转旋转是指将一个图形围绕某个点或轴进行转动，从而改变图形的位置和方向。
在二维平面坐标系中，旋转可以使用旋转矩阵来表示。
设原点为O，将点P(x,y)绕原点逆时针旋转角度θ后得到点P'(x',y')，则有下列公式：x' = x*cosθ - y*si nθy' = x*sinθ + y*cosθ在直角坐标系中，旋转后图形的位置和形状发生改变，但是图形的大小保持不变。
旋转是一种常见的刚体变换，常见的应用有机器人角度调整、摄影中的景深控制等。
三、翻折翻折，又称为对称变换，是指将一个图形围绕某个中心轴进行镜像对称，从而改变图形的位置和方向。
在二维平面坐标系中，翻折可以通过矩阵变换来表示。
设点P(x,y)关于直线y=k翻折后得到点P'(x',y')，则有下列公式：x' = xy' = 2k - y翻折前后图形的大小和形状保持不变，只是位置和方向发生了改变。
翻折在几何学和物理学中有广泛的应用，例如反射光线、对称物体的折叠等。
综上所述，平移、旋转和翻折是几何学中经常用到的几何变换。
几何翻折问题解题技巧
几何翻折问题解题技巧
几何翻折问题是一种常见的几何问题，它涉及到将一个平面图形沿着一条直线进行翻折，然后研究翻折后的图形与原图形的关系。
这类问题通常涉及到角度、长度、面积等几何量的变化。
解决几何翻折问题的技巧主要包括以下几个方面：
1. 理解翻折过程：在解决几何翻折问题时，首先要理解翻折的过程，明确哪些几何量在翻折前后发生了变化，哪些几何量保持不变。
2. 找出翻折中的不变量：在翻折过程中，有些几何量是不变的，例如角度、长度等。
找出这些不变量可以帮助我们更好地理解问题。
3. 利用三角形的基本性质：在几何翻折问题中，三角形是一个常见的图形。
利用三角形的基本性质，如角平分线、中线、高线等，可以帮助我们解决一些问题。
4. 运用对称性质：在翻折过程中，图形的对称性质也会发生变化。
利用对称性质可以帮助我们解决一些问题。
5. 建立数学模型：对于一些复杂的几何翻折问题，建立数学模型可以帮助我们更好地理解和解决它们。
通过建立数学模型，我们可以将问题转化为数学表达式，从而更容易地找到解决方案。
6. 尝试和错误：在解决几何翻折问题时，有时候需要通过尝试和错误来找到正确的解决方案。
尝试不同的方法可以帮助我们更好地理解问题，并找到最佳的解决方案。
总之，解决几何翻折问题的关键是理解翻折过程，找出翻折中的不变量，并利用三角形的基本性质、对称性质、建立数学模型等方法来解决问题。
同时，通过尝试和错误也可以帮助我们更好地理解问题，并找到最佳的解决方案。
中考几何综合变换旋转翻折对称
中考几何综合变换一．折叠类问题折叠问题的思考方式：折叠问题会出现在特殊三角形，平行四边形，矩形以及正方形中，一般在矩形和正方形中出现较多。
1.当折叠图形有直角时，一定并且可以构造出一线三等角模型，通过相似和全等来寻找线段之间的关系从而求解。
2.折叠问题一定会伴随着勾股定理出现，如果求线段长，可以设线段为x，通过折叠前后图形全等，在一个rt△中利用勾股定理建立方程思想，从而求解。
如果复杂，需要用到上面说的一线三等角来转化线段，进而利用勾股定理。
3.利用对称的性质：对应点连线所形成的线段一定被折痕垂直平分，可以通过此性质，延伸出多种做题方式（1）利用垂直，以及正方形，矩形中的垂直，构造双垂直模型，即射影定理，母子相似（2）利用中点，可以构造中位线，用中位线定理（3）利用中垂线的性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等。
4.注：如果题目中出现对称的字眼，其本质也是折叠。
1.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．2.如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE 的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．二.旋转类旋转类题目一般伴随着手拉手模型和半角模型，在我之前的资料中有半角模型的收录。
1.其第一问通常是证明三角形全等，给出特殊条件，如旋转角为30 60 902.其第二问一般是将特殊条件取消，证明三角形相似，证明过程和1一样，都是手拉手sas3.其第三问往往是最难得题型，可以问当。
几何变换之翻折知识精讲-冲刺2020年中考几何专项复习
几何变换之轴对称（翻折）翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
那么碰到这类题型，我们的思路就要以翻折性质为基础，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！对于翻折和折叠题型分两个题型来讲，一类题型就是直接计算型，另一类是涉及到分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了！解决翻折题型的策略一：利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等。
对应边相等，对应角相等②对应点连线被对称轴垂直平分二：结合相关图形的性质（三角形，四边形等）三：运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
翻折折叠题型（一），直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路！翻折折叠题型（二），分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析！常见的几类类型1.纸片中的折叠如图，有一条直的宽纸带，按照如图方式折叠，则＝.【解析】，如图所示：∵∠＝∠1，∠2＝∠1，∴∠＝∠2，∴2∠＋∠AEB＝180º，即2∠＋∠30º＝180º，解得∠＝75º.2.三角形中的折叠在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C’DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图1，把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；（2）如图2，把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；（3）如图3，把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系.【解答】（1）∠1＋∠2＝60º；（2）∠1＋∠2＝50º；（3）∠2－∠1＝2∠C【解析】（1）由图可得∠1＋∠2＝180º－2∠CDE＋180º－2∠CED＝360º－2（∠CDE＋∠CED）＝360º－2（180º－∠C）＝2∠C＝60º（2）连接DG，如图所示：。
(完整版)几何图形折叠问题
几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=A．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．335.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．712.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B．C．D．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.【探究篇】19.（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=12AB，EF=32，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC=2，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．故答案为：或．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的长为3++．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．故答案为：5．故选B12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故选B．13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O 中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB=4，则BC 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=AB=2，在Rt △OBD 中，OD=22(5)2 =1， ∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴=，∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22(5)1 ， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理． 二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若=，则= ．【解答】解：连接GE ．∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ．∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°．在Rt △EDG 和Rt △EFG 中，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC==，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=，，∴AE=，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。
初中数学《几何图形的操作与变换——翻折》
课题：几何图形的操作与变换—翻折【课型】初三复习小专题 【教学目标】 知识和技能：理解图形翻折的直观意义，根据要求能画出翻折后的图形；知道翻折后图形的形状、大小保持不变． 过程和方法：由简入难，层层推进，经历利用翻折后得到的图形性质解决综合问题，总结归纳解决翻折类问题的基本策略，形成知识体系，在反思中提升． 情感、态度与价值观：在合作探究中得出结论，获取成功的体验，帮助学生掌握“理、归、拓”的学习方法． 【教学重点与难点】教学重点：理解图形翻折的意义及相关性质，会画经过翻折后的图形，会解综合问题． 教学难点：利用图形翻折后的性质解决综合问题．【专题概述】翻折的对象一般有三角形、长方形、正方形等基本图形；考查问题有求角度、线段的长度、点的位置、图形的面积、判断线段之间关系等．解题时：1．重视“折”关注“叠”；2．本质：轴对称（全等性、轴对称性）； 3．关键：根据翻折实现等量转化；4．基本方法：构造方程①根据勾股定理得方程②根据相似比得方程③利用面积法得方程．设计意图：让学生对本课复习内容有初步认识，对本课需达成的复习目标及能力要求有个初步的规划和了解．【知识回顾】如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 与点C 重合，然后展开纸片，记折痕为DE ，连接DC ，你有哪些发现？ （学生口答，结合学生回答，回忆并整理轴对称的2条基本性质）翻折性质1：翻折前后的两个图形全等，即对应边相等 ，对应角相等． 翻折性质2： 对应点的连线被对称轴垂直平分．设计意图：从最直观的基本模型入手，结合操作，体会翻折即轴对称，回忆并整理轴对称的2条基本性质，为本课内容的推进奠定基础． 【牛刀小试】D C B A1．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，M 为边BC 上的点，连接AM （如图所示）．如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，OC =3，OA =26，D 是BC 的中点，将△OCD 沿直线OD 折叠后得到△OGD ，延长OG 交AB 于点E ，连接DE ，则点G 的坐标为 ．设计意图：让学生在具体情境中进一步感受翻折性质的应用，初步感受方程思想及转化思想对解题的帮助．【考题呈现】例1 几位同学尝试用矩形纸条ABCD （如图1）折出常见的中心对称图形．（1）如图2，小明将矩形纸条先对折，使AB 和DC 重合，展开后得折痕EF ，再折出四边形ABEF 和CDEF 的对角线，它们的对角线分别相交于点G ，H ，最后将纸片展平，则四边形EGFH 的形状一定是 ．（2）如图3，小华将矩形纸片沿EF 翻折，使点C ，D 分别落在矩形外部的点C ′，D ′处，FC ′与AD 交于点G ，延长D ′E 交BC 于点H ，求证：四边形EGFH 是菱形．B 第2题图xyGO B ECA DBAD CH G F EABCD D 'C 'EFGABCD GH EFA 'B 'C 'D 'CDAB 图1图2图3图4（3）如图4，小美将矩形纸条两端向中间翻折，使得点A ，C 落在矩形内部的点A ′，C ′处，点B ，D 落在矩形外部的点B ′，D ′处，折痕分别为EF ，GH ，且点H ，C ′，A ′，F 在同一条直线上，试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．设计意图：矩形的多样折叠，一题多变，但百变不离其中，本题旨在让学生感受图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形【对应量相等】，启发引导学生谈谈解题感悟．例2 如图在Rt △ABC 中，∠C =90°，翻折∠C 使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E ，F 分别在边AC ，BC 上）．（1） 若△CEF 与△ABC 相似，①当AC =BC =2时，AD 的长为 ．②AC =3，BC =4时，AD 的长为 ．（2）当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．设计意图：三角形的翻折，让学生感悟：1.图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称【轴对称图形性质】；2．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系【抓住题中的折叠后恰好落在…等关键词】．例3 已知矩形ABCD 的一条边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP ∽△PDA ；②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长； （2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，在．（．1．）的条件下．．．．．，擦去折痕AO 、线段OP ，连接BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN =PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．设计意图：归纳解决正方形、矩形的翻折问题，往往能构成直角三角形、全等三角形、EFA BCPOABCDMNEFD ACP 图1图2相似三角形，同（等）角的三角比值相等等性质求解。
初中的几何变换——翻折
初中数学几何变换之轴对称一、知识梳理1、轴对称基本要素：对称轴。
2、基本性质：（1）对应线段、对应角相等（2）对应点所连线段被对称轴垂直平分 （3）对称轴上的点到对应点的距离相等 （4）对称轴两侧的几何图形全等 3、应用翻折问题、最值问题等二、常考题型类型一：轴对称性质1、如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________.第1题第2题第3题2、如图， 矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为。
4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’的值为。
D’经过B，EF为折痕，当D’F CD时，CFFD5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是。
第4题第5题第6题6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF 折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是。
折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG图2 图38、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.类型二：轴对称应用1、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．2、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．3、如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD 和AB上的动点,则BM+MN的最小值为。
初中数学折叠问题(全)精品
初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可GA'C D4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等321FEDCBA54132G D‘FC‘DBCAE9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN 交于P ．(1)连接BB’，那么BB’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y ，AB’=x ，求y 与x 的函数关系式；(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．PC'NB CADMB'QPH C'N BCADM B'二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQa2130°BEFACD14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC -∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB BGE F D A EF D B C AB C60c m三、三角形中的折叠17．如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
初中数学竞赛中考讲义之几何三大变换之翻折
第30讲几何三大变换之翻折翻折的性质（轴对称的性质）如图，将△ABC 沿着DE 翻折，使得点A 落在BC 的点F 处结论有：①ADE FDE ∆≅∆（即AD =DF ，AE =EF ，∠A =∠DFE ，∠ADE =∠FDE ，∠AED =∠FED ）②DE 垂直平分AF函数的对称变换①一次函数y kx b=+关于x 轴对称后的解析式：y kx b=--关于y 轴对称后的解析式：y kx b=-+②二次函数2y ax bx c=++关于x 轴对称后的解析式：2y ax bx c=---关于y 轴对称后的解析式：2y ax bx c=-+【例题讲解】例题1.如图，ABC ∆中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC ∠的度数是______解：如图，连接OB 、OC ，54BAC ∠=︒ ，AO 为BAC ∠的平分线，11542722BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒，又AB AC = ，11(180)(18054)6322ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，DO 是AB 的垂直平分线，OA OB ∴=，27ABO BAO ∴∠=∠=︒，632736OBC ABC ABO ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，AO 为BAC ∠的平分线，AB AC =，()AOB AOC SAS ∴∆≅∆，OB OC ∴=，∴点O 在BC 的垂直平分线上，又DO 是AB 的垂直平分线，∴点O 是ABC ∆的外心，36OCB OBC ∴∠=∠=︒，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，OE CE ∴=，36COE OCB ∴∠=∠=︒，在OCE ∆中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B ．例题2.如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为与边AD 、BC 交于点F 、H ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G .（1）尺规作图作出折痕FH ；（2）求折痕FH 的长；（3）求△EBG 的周长；（4）若将题目中的“点E 为AB 中点”改为“点E 为AB 上任意一点”，其它条件不变，则△EBG 的周长是否发生变化，若不变，请求出该值，若发生变化，请说明理由.例题3、如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，则AP 的长为．解： 四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，6AD BC ==，8CD AB ==，由折叠的性质可知ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，8BE AB ==，在ODP ∆和OEG ∆中，DOP EOG OD OE D E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ODP OEG ASA ∴∆≅∆，OP OG ∴=，PD GE =，DG EP ∴=，设AP EP x ==，则6PD GE x ==-，DG x =，8CG x ∴=-，8(6)2BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即2226(8)(2)x x +-=+，解得： 4.8x =，4.8AP ∴=，故答案为：4.8．例题4.如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB =，10AD =，点E 是CD 中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME 、NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落到B '处，折痕为HG ，连接HE ，则tan EHG ∠=________．解：如图2中，作NF CD ⊥于F ．设DM x =，则10AM EM x ==-，DE EC = ，AB CD ==，12DE CD ∴==在RT DEM ∆中，222DM DE EM += ，222(10)x x ∴+=-，解得 2.6x =，2.6DM ∴=，7.4AM EM ==，90DEM NEF ∠+∠=︒ ，90NEF ENF ∠+∠=︒，DEM ENF ∴∠=∠，90D EFN ∠=∠=︒ ，DME FEN ∴∆∆∽，∴DE EM FN EN =，∴7.4EN=，EN ∴=AN EN ∴==tanAN AMN AM ∴∠==如图3中，ME EN ⊥ ，HG EN ⊥，//EM GH ∴，NME NHG ∴∠=∠，NME AMN ∠=∠ ，EHG NHG ∠=∠，AMN EHG ∴∠=∠，tan tanEHG AMN ∴∠=∠=方法二，tan tan EN BC EHG EMN EM DE ∠=∠==．故答案为例5.如图，已知ABCD 的三个顶点(,0)A n 、(,0)B m 、(0D ，2)(0)n m n >>，作ABCD 关于直线AD 的对称图形11AB C D（1）若3m =，试求四边形11CC B B 面积S 的最大值；（2）若点1B 恰好落在y 轴上，试求n m 的值．解：（1）如图1，ABCD 与四边形11AB C D 关于直线AD 对称，∴四边形11AB C D 是平行四边形，1CC EF ⊥，1BB EF ⊥，11////BC AD B C ∴，11//CC BB ，∴四边形BCEF 、11B C EF 是平行四边形，1111BCEF BCDA B C DA B C EF S S S S ∴=== ，112BCC B BCDA S S ∴= ．(,0)A n 、(,0)B m 、(0,2)D n 、3m =，3AB m n n ∴=-=-，2OD n =，()()223932232(22BCDA S AB OD n n n n n ∴=⋅=-⋅=--=--+ ，211324(92BCC B BCDA S S n ∴==--+ ．40-< ，∴当32n =时，11BCC B S 最大值为9；（2）当点1B 恰好落在y 轴上，如图2，1DF BB ⊥ ，1DB OB ⊥，1190B DF DB F ∴∠+∠=︒，1190B BO OB B ∠+∠=︒，11B DF OBB ∴∠=∠．190DOA BOB ∠=∠=︒ ，AOD ∴∆∽△1B OB ，∴1OB OA OD OB =，∴12OB n n m=，12m OB ∴=．由轴对称的性质可得1AB AB m n ==-．在1Rt AOB ∆中，222(()2m n m n +=-，整理得2380m mn -=．0m > ，380m n ∴-=，∴38n m =．例题6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在y 轴和x 轴的正半轴上，D 为边AB 的中点，一抛物线22(0)y x mx m m =-++>经过点A 、D（1）求点A 、D 的坐标（用含m 的式子表示）；（2）把OAD ∆沿直线OD 折叠后点A 落在点A '处，连接OA '并延长与线段BC 的延长线交于点E ，①若抛物线经过点E ，求抛物线的解析式；②若抛物线与线段CE 相交，直接写出抛物线的顶点P 到达最高位置时的坐标：解：（1）当0x =时，y m =，(0,)A m ∴，当y m =时，0x =或2m(2,)D m m ∴；（2）①如图，设A D '与x 轴交于点Q ，过点A '作A N x '⊥轴于点N ．把OAD ∆沿直线OD 折叠后点A 落在点A '处，OAD ∴∆≅△OA D '，OA OA m ='=，2AD A D m ='=，90OAD OA D ∠=∠'=︒，ADO A DO ∠=∠'， 矩形OABC 中，//AD OC ，ADO DOQ ∴∠=∠，A DO DOQ ∴∠'=∠，DQ OQ ∴=．设DQ OQ x ==，则2A Q m x '=-，在Rt △OA Q '中，222OA A Q OQ '+'= ，222(2)m m x x ∴+-=，解得54x m =， 1122OA Q S OQ A N OA A Q '='='' ，334554m m A N m m ∴'==，45ON m ∴==，A ∴'点坐标为4(5m ，3)5m -，易求直线OA '的解析式为34y x =-，当4x m =时，3434y m m =-⨯=-，E ∴点坐标为(4,3)m m -．代入22(0)y x mx m m =-++>得0m =（舍)，12m =，∴抛物线的解析式为：212y x x =-++．②当4x m =时，2222(4)248x mx m m m m m m m -++=-++=-+ ，即抛物线l 与直线CE 的交点为2(4,8)m m m -+，抛物线l 与线段CE 相交，2380m m m ∴--+，0m > ，3810m ∴--+解得：1182m ，2222()y x mx m x m m m =-++=--++ ，∴当x m =时，y 有最大值2m m +，又2211()24m m m +=+- ，∴当1182m 时，2m m +随m 的增大而增大，∴当12m =时，顶点P 到达最高位置，22113(224m m +=+=，∴抛物线顶点P 到达最高位置时的坐标为1(2，3)4．【巩固练习】1、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 上一点，沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若3AB =，5BC =，则tan EFC ∠的值为________.2.如图，先将一平行四边形纸片ABCD 沿AE ，EF 折叠，使点E ，B '，C '在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG 折叠，使AE 落在EF 上，则AEG ∠=度．3、点E、F 分别在一张长方形纸条ABCD 的边AD 、BC 上，将这张纸条沿着直线EF 对折后如图，BF 与DE 交于点G ，长方形纸条的宽AB=2cm ，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积的GEF S ∆最小值为_____________。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折
初中数学知识归纳平移旋转和翻折初中数学知识归纳：平移、旋转和翻折在初中数学学习过程中，平移、旋转和翻折是我们经常接触到的几个概念。
它们是几何变换中的重要内容，不仅能帮助我们更深入地理解空间和图形，还可以应用于解决实际问题。
本文将对平移、旋转和翻折进行归纳总结，以便更好地掌握这些知识。
一、平移平移是将一个图形沿着某个方向移动一段距离，而形状、大小和方向保持不变。
常见的平移有水平平移和垂直平移两种。
水平平移是指固定图形的上下位置，只使图形在水平方向上移动。
具体操作方法是，对于平面坐标系中的点(x, y)，进行水平平移时，只需将点的横坐标x加上一个固定的值h，y坐标保持不变。
公式表示为：(x+h, y)。
垂直平移则是将图形固定在水平位置上，只使图形在垂直方向上移动。
对于给定的点(x, y)，只需将点的纵坐标y加上一个固定的值k，x坐标保持不变。
公式表示为：(x, y+k)。
在实际应用中，平移可以帮助我们解决很多问题，比如：将某物体从一个位置平移至另一个位置，或者确定两个几何图形是否有平移对称性等等。
二、旋转旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度旋转。
旋转主要有顺时针旋转和逆时针旋转两种。
顺时针旋转是指图形按照顺时针方向旋转一定角度。
对于给定的点(x, y)，按照顺时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ - y*sinθ, y' = x*sinθ + y*cosθ)。
逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向旋转一定角度。
对于给定的点(x, y)，按照逆时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出：(x' = x*cosθ + y*sinθ, y' = -x*sinθ + y*cosθ)。
旋转是一个很有趣的几何变换，我们可以通过旋转来判断图形的相似性、寻找对称性等等。
三、翻折翻折是指将图形绕一条直线折叠，使得折叠前的一部分与折叠后的另一部分完全重合。
初中几何变换——翻折
初中数学几何变换之轴对称一、知识梳理1、轴对称基本要素：对称轴。
2、基本性质：（1）对应线段、对应角相等（2）对应点所连线段被对称轴垂直平分 （3）对称轴上的点到对应点的距离相等 （4）对称轴两侧的几何图形全等 3、应用翻折问题、最值问题等二、常考题型类型一：轴对称性质1、如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________.第1题第2题第3题2、如图，矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________.3、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为。
4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F CD时，CF的值为。
FD5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是。
第4题第5题第6题6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是。
片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan图2 图38、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.类型二：轴对称应用1、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP +BP 最短时，点P 的坐标为 ．2、如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP =6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 ．3、如图,在锐角△ABC 中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,点M,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN 的最小值为 。
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初中数学几何变换之
轴对称
一、知识梳理
1、轴对称基本要素：对称轴。
2、基本性质：
（1）对应线段、对应角相等
（2）对应点所连线段被对称轴垂直平分 （3）对称轴上的点到对应点的距离相等 （4）对称轴两侧的几何图形全等 3、应用
翻折问题、最值问题等
二、常考题型
类型一：轴对称性质
1、如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________.
第1题
第2题
第3题
2、如图， 矩形
中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE
与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.
3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边
AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为。
4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’
的值为。
D’经过B，EF为折痕，当D’F CD时，CF
FD
5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是。
第4题第5题第6题
6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF 折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是。
7、如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG ＝ .
图2 图3
8、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长.
类型二：轴对称应用
1、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．
2、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．
3、如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD 和AB上的动点,则BM+MN的最小值为。
4、如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是.
类型三：动点与轴对称
1、如图，在矩形ABCD 中，AB=32， 点E 是边BC 的一个三等分点（CE<BE ），F 是AD 边上一动点，将图形以EF 为折痕翻折后，当D 、C 的对应点、
、
、C D 与B 在一条直线上时，∆EFG 的周长是 。
G D'
E
D
B
C
A
第1题
第2题
2、如图，在矩形ABCD 中，AB=5， AD=13， E 、F 分别是AB 、AD 边上的动点，将∆ABE 向下翻折，点A 落在BC 边上A 、处，则A 、B 的最小值是 。
3、如图，正方形ABCD 的边长为6，EF 是正方形ABCD 的一条对称轴，G 、H 分别在AB 、CD 上，将图形沿GH 对折后，点C 落在E 处，求tan ANE = 。
N M
G A
N
E
A
C
D
第3题
第4题
4、如图，在Rt ∆ABC 中AC=4，BC=3， D 是AB 边上一动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，当DE//BC 时，AD= 。
5、如图，在Rt∆ABC中，AB=4， BC=3， D是AB边上一动点，DE//BC，A、A、关于DE对称，
当∆A、EC为直角三角形是AD=。
A'E
A
C
B
D
类型四：综合应用
1、如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．
2、如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点
E、F处，折痕分别为CM、AN.
（1）求证：△AND≌△CBM.
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ ∥MN。
且AB=4，BC=3，求PC的长度.
3、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
5、问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由.
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由.
三、课后作业
1、如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.
2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．
第1题第2题第3题
3、如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______.
4、如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，则tan∠ANE=_____．
5、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是__________．
6、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB 交BC于点E，先将△BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上，对应点记为B1；BD 的中点F的对应点记为F1．若△EFB∽△AF1E，则B1D=
7、如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△A EB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
探究一：猜想：四边形ABCD是何种特殊的四边形？请证明自己的猜想．
探究二：连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB 与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN2、ND2、DH2之间的数量关系，并说明理由．
探究三：若EG=4，GF=6，BM=3，你能求出AG、MN的长吗？
8、数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2
1
AB ， 求证：∠B=30°，请你完成证明过程．
（2）如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的抓痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用（1）中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长．
（3）若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O （如图④），当AB=6，求EF 的长．。