离散数学重要公式定理汇总
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⑴ 交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。 ⑵ 结合律 对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。教材里有证明。 ⑶ 同一律 对任何集合A，有AΦ=A。 ⑷ 对任何集合A，有AA=Φ。 ⑸ ∩对可分配 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
例 邻居关系和朋友关系是对称关系。
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间 最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两 个元素中最多有一个1。 另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它 既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
8
conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
2013-12-16 6
Formula
3.重要的重言蕴含式(如教材第43页所示) I1.P∧QP , I2. P∧QQ I3. PP∨Q I4. QP∨Q I5. PPQ I6. QPQ I7. (PQ)P I8. (PQ)Q I9. P,Q P∧Q I10. P∧(P∨Q)Q I11. P∧(PQ)Q I12. Q∧(PQ)P I13. (PQ)∧(QR)PR I14. (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R I15. AB (A∨C)(B∨C) I16. AB (A∧C)(B∧C)
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
如 实数的大于关系>，父子关系是反自反的。 注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反
的。
三.对称性 定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有
xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的
xy((xAyAxRy) yRx)
从关系有向图看对称性:在两个不同的结 点之间，若有边的话，则有方向相反的两 条边。 从关系矩阵看对称性：以主对角线为对 称的矩阵。
⑺吸收律 对任何集合A、B，有 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B) =A
证明: A∪(A∩B) = (A∩E)∪(A∩B) = A∩(E∪B) = A∩E=A (同一) (分配) (零律) (同一)
⑻ AB A∪B=B
差集的性质
设A、B、C是任意集合，则 ⑴ A-Φ=A ⑵ Φ-A=Φ ⑶ A-A=Φ ⑷ A-BA ⑸ AB A-B=Φ ⑹ (A-B)-C=(A-C)-(B-C) ⑺ A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ⑻ A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ⑼ A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) 注意：∪对- 是不可分配的，如A∪(A-B)=A 而(A∪A)-(A∪B)=Φ
2013-12-16
证明2： xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
16
量词之间有如下公式： 1. xyA(x,y)yxA(x,y) 2. xyA(x,y)yxA(x,y) 3. yxA(x,y)xyA(x,y) 4. xyA(x,y)xyA(x,y) 5. yxA(x,y)xyA(x,y) 6. xyA(x,y)yxA(x,y) 7. yxA(x,y)xyA(x,y) 8. xyA(x,y)yxA(x,y) 注意：下面式子不成立 xyA(x,y)yxA(x,y)
∧ ↑
P T T F F P
T T F F 2013-12-16
Q C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 T F T F
T F T F
T T T T
T T T F
∨
F F F F
F F F T
↓
T T F F
T F T T
PQ
T F T F
F T F F
c
F F T T
T F F T
F T F T
2013-12-16 17
为了便于记忆，用图形表示上面八个公式。
xyA(x,y) yxA(x,y)
xyA(x,y) yxA(x,y)
yxA(x,y) xyA(x,y)
yxA(x,y) xyA(x,y)
2013-12-16
18
第二章 小结
2013-12-16
19
集合的性质
2013-12-16 2
Formula
⑻ 同一律 P∨FP ⑼ 零律 P∨TT ⑽ 互补律 P∨PT P∧TP P∧FF P∧PF
附加：
⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ PQP∨Q PQQP PQ (PQ)∧(QP) PQ (P∨Q)∧(P∨Q) PQ (P∧Q)∨(P∧Q )
有关绝对补集的性质 设A、B、C是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E ⑹A-B=A∩~B ⑺~(A∩B)=~A∪~B ⑻ ~(A∪B)=~A∩~B ⑼AB ~B~A ⑽ ~A=B 当且仅当A∪B=E且 A∩B=Φ
有关对称差的性质
2013-12-16
11
normal form
主合取范式定义 合取范式 A1∧A2∧... ∧An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是大项，称之为主合取范式。 主合取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“F”对应的真值指派再对应 的大项。 ⑶用“∧”联结上述大项，即可。
2013-12-16
12
Brief Summary
第一章 小结
知识网络：
原子命题 命题公式 永真式 永真蕴涵式 等价公式 范式 命题 复合命题 联结词
析取 合取 主析取 主合取
命题逻辑推理
直接推理
2013-12-16
条件论证
反证法
13
间接推理
量词辖域的扩充公式
• 如果Ｂ是个不含客体变元x的谓词公式，且不在 x和x的辖域内，可以将Ｂ放入x和x的辖域 内。即得如下公式： 1. xA(x)∨Bx(A(x)∨B) 2. xA(x)∧Bx(A(x)∧B) 3. xA(x)∨Bx(A(x)∨B) 4. xA(x)∧Bx(A(x)∧B) 5. B→xA(x)x(B→A(x)) 6. B→xA(x)x(B→A(x)) 7. xA(x)→Bx(A(x)→B) 8. xA(x)→Bx(A(x)→B)
15
其它公式 1. x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) 2. xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x))
证明1： xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
F T T F
T F F F
T T F T
QP
F T T T
F F T F
c
Q C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16
9
normal form
3.析取范式与合取范式的化法 化成限定性公式。 公式E16 PQP∨Q 公式E21 PQ (P∧Q)∨(P∧Q) 公式E20 PQ (PQ)∧(QP) 公式E16 PQ (P∨Q)∧(P∨Q) 将否定联结词移到命题变量的前面。 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) (P∨Q)P∧Q 、(P∧Q)P∨Q 用分配律、幂等律等公式进行整理，使之成为所 要求的形式。
3
2013-12-16
Formula
等价公式(前10个)与集合论的公式比较： ⑴ 对合律 ~~AA ~A表示A的绝对补集 ⑵ 幂等律 A∪AA A∩AA ⑶ 结合律 A∪(B∪C)(A∪B)∪C； A∩(B∩C)(A∩B)∩C ⑷交换律 A∪BB∪A A∩BB∩A ⑸分配律 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) ⑹ 吸收律 A∪(A∩B)A A∩(A∪B)A
2013-12-16 4
Formula
⑺德．摩根定律 ~(A∪B)~A∩~B ~(A∩B)~A∪~B ⑻ 同一律 A∪ΦA; A∩EA E表示全集 ⑼ 零律 A∪EE A∩ΦΦБайду номын сангаас⑽ 否定律 A∪~AE A∩~AΦ
2013-12-16
5
Definition
永真(重言)式（Tautology）公式中的命题变量元论 怎样指派，公式对应的真值恒为T。 永假（矛盾）式（Contradiction)公式中的命题变 量无论怎样代入，公式对应的真值恒为F。 可满足公式（Satisfaction）公式中的命题变量无 论怎样代入，公式对应的真值总有一种情况为T。 一般命题公式（Contingency）既不是永真公式也不 是永假公式。
为，对任意实数x，有x x.
从关系有向图看自反性:每个结点都有环。 从关系矩阵看自反性：主对角线都为1。
二.反自反性
定义：设R是集合A中的关系，如果对于任意的
x∈A都有<x,x>R ，则称R为A中的反自反关系。 即 R是A中反自反的x(xA<x,x>R) 从关系有向图看反自反性:每个结点都无环。 从关系矩阵看反自反性：主对角线都为0。
⑴幂等律 对任何集合A，有A∩A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸零律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。
交、并的性质 ⑴幂等律 对任何集合A，有A∪A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∪B=B∪A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∪Φ=A。 ⑸零律 对任何集合A，有A∪E =E 。 ⑹分配律 对任何集合A、B、C，有 A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。 A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。
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量词分配公式
1. x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) 2. x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) 3. x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) 4. xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) 证明：设论域为{a1,a2,....,an}， x(A(x)∨B(x)) (A(a1)∨B(a1))∨(A(a2)∨B(a2))∨… ∨(A(an)∨B(an)) (A(a1)∨A(a2)∨...∨A(an))∨ (B(a1)∨B(a2)∨...∨B(an)) xA(x)∨xB(x) 2013-12-16
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
例 邻居关系和朋友关系是对称关系。
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间 最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两 个元素中最多有一个1。 另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它 既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
8
conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
2013-12-16 6
Formula
3.重要的重言蕴含式(如教材第43页所示) I1.P∧QP , I2. P∧QQ I3. PP∨Q I4. QP∨Q I5. PPQ I6. QPQ I7. (PQ)P I8. (PQ)Q I9. P,Q P∧Q I10. P∧(P∨Q)Q I11. P∧(PQ)Q I12. Q∧(PQ)P I13. (PQ)∧(QR)PR I14. (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R I15. AB (A∨C)(B∨C) I16. AB (A∧C)(B∧C)
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
如 实数的大于关系>，父子关系是反自反的。 注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反
的。
三.对称性 定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有
xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的
xy((xAyAxRy) yRx)
从关系有向图看对称性:在两个不同的结 点之间，若有边的话，则有方向相反的两 条边。 从关系矩阵看对称性：以主对角线为对 称的矩阵。
⑺吸收律 对任何集合A、B，有 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B) =A
证明: A∪(A∩B) = (A∩E)∪(A∩B) = A∩(E∪B) = A∩E=A (同一) (分配) (零律) (同一)
⑻ AB A∪B=B
差集的性质
设A、B、C是任意集合，则 ⑴ A-Φ=A ⑵ Φ-A=Φ ⑶ A-A=Φ ⑷ A-BA ⑸ AB A-B=Φ ⑹ (A-B)-C=(A-C)-(B-C) ⑺ A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ⑻ A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ⑼ A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) 注意：∪对- 是不可分配的，如A∪(A-B)=A 而(A∪A)-(A∪B)=Φ
2013-12-16
证明2： xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
16
量词之间有如下公式： 1. xyA(x,y)yxA(x,y) 2. xyA(x,y)yxA(x,y) 3. yxA(x,y)xyA(x,y) 4. xyA(x,y)xyA(x,y) 5. yxA(x,y)xyA(x,y) 6. xyA(x,y)yxA(x,y) 7. yxA(x,y)xyA(x,y) 8. xyA(x,y)yxA(x,y) 注意：下面式子不成立 xyA(x,y)yxA(x,y)
∧ ↑
P T T F F P
T T F F 2013-12-16
Q C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 T F T F
T F T F
T T T T
T T T F
∨
F F F F
F F F T
↓
T T F F
T F T T
PQ
T F T F
F T F F
c
F F T T
T F F T
F T F T
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为了便于记忆，用图形表示上面八个公式。
xyA(x,y) yxA(x,y)
xyA(x,y) yxA(x,y)
yxA(x,y) xyA(x,y)
yxA(x,y) xyA(x,y)
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第二章 小结
2013-12-16
19
集合的性质
2013-12-16 2
Formula
⑻ 同一律 P∨FP ⑼ 零律 P∨TT ⑽ 互补律 P∨PT P∧TP P∧FF P∧PF
附加：
⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ PQP∨Q PQQP PQ (PQ)∧(QP) PQ (P∨Q)∧(P∨Q) PQ (P∧Q)∨(P∧Q )
有关绝对补集的性质 设A、B、C是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E ⑹A-B=A∩~B ⑺~(A∩B)=~A∪~B ⑻ ~(A∪B)=~A∩~B ⑼AB ~B~A ⑽ ~A=B 当且仅当A∪B=E且 A∩B=Φ
有关对称差的性质
2013-12-16
11
normal form
主合取范式定义 合取范式 A1∧A2∧... ∧An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是大项，称之为主合取范式。 主合取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“F”对应的真值指派再对应 的大项。 ⑶用“∧”联结上述大项，即可。
2013-12-16
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Brief Summary
第一章 小结
知识网络：
原子命题 命题公式 永真式 永真蕴涵式 等价公式 范式 命题 复合命题 联结词
析取 合取 主析取 主合取
命题逻辑推理
直接推理
2013-12-16
条件论证
反证法
13
间接推理
量词辖域的扩充公式
• 如果Ｂ是个不含客体变元x的谓词公式，且不在 x和x的辖域内，可以将Ｂ放入x和x的辖域 内。即得如下公式： 1. xA(x)∨Bx(A(x)∨B) 2. xA(x)∧Bx(A(x)∧B) 3. xA(x)∨Bx(A(x)∨B) 4. xA(x)∧Bx(A(x)∧B) 5. B→xA(x)x(B→A(x)) 6. B→xA(x)x(B→A(x)) 7. xA(x)→Bx(A(x)→B) 8. xA(x)→Bx(A(x)→B)
15
其它公式 1. x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) 2. xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x))
证明1： xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
F T T F
T F F F
T T F T
QP
F T T T
F F T F
c
Q C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16
9
normal form
3.析取范式与合取范式的化法 化成限定性公式。 公式E16 PQP∨Q 公式E21 PQ (P∧Q)∨(P∧Q) 公式E20 PQ (PQ)∧(QP) 公式E16 PQ (P∨Q)∧(P∨Q) 将否定联结词移到命题变量的前面。 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) (P∨Q)P∧Q 、(P∧Q)P∨Q 用分配律、幂等律等公式进行整理，使之成为所 要求的形式。
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2013-12-16
Formula
等价公式(前10个)与集合论的公式比较： ⑴ 对合律 ~~AA ~A表示A的绝对补集 ⑵ 幂等律 A∪AA A∩AA ⑶ 结合律 A∪(B∪C)(A∪B)∪C； A∩(B∩C)(A∩B)∩C ⑷交换律 A∪BB∪A A∩BB∩A ⑸分配律 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) ⑹ 吸收律 A∪(A∩B)A A∩(A∪B)A
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Formula
⑺德．摩根定律 ~(A∪B)~A∩~B ~(A∩B)~A∪~B ⑻ 同一律 A∪ΦA; A∩EA E表示全集 ⑼ 零律 A∪EE A∩ΦΦБайду номын сангаас⑽ 否定律 A∪~AE A∩~AΦ
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Definition
永真(重言)式（Tautology）公式中的命题变量元论 怎样指派，公式对应的真值恒为T。 永假（矛盾）式（Contradiction)公式中的命题变 量无论怎样代入，公式对应的真值恒为F。 可满足公式（Satisfaction）公式中的命题变量无 论怎样代入，公式对应的真值总有一种情况为T。 一般命题公式（Contingency）既不是永真公式也不 是永假公式。
为，对任意实数x，有x x.
从关系有向图看自反性:每个结点都有环。 从关系矩阵看自反性：主对角线都为1。
二.反自反性
定义：设R是集合A中的关系，如果对于任意的
x∈A都有<x,x>R ，则称R为A中的反自反关系。 即 R是A中反自反的x(xA<x,x>R) 从关系有向图看反自反性:每个结点都无环。 从关系矩阵看反自反性：主对角线都为0。
⑴幂等律 对任何集合A，有A∩A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸零律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。
交、并的性质 ⑴幂等律 对任何集合A，有A∪A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∪B=B∪A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∪Φ=A。 ⑸零律 对任何集合A，有A∪E =E 。 ⑹分配律 对任何集合A、B、C，有 A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。 A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。
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量词分配公式
1. x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) 2. x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) 3. x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) 4. xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) 证明：设论域为{a1,a2,....,an}， x(A(x)∨B(x)) (A(a1)∨B(a1))∨(A(a2)∨B(a2))∨… ∨(A(an)∨B(an)) (A(a1)∨A(a2)∨...∨A(an))∨ (B(a1)∨B(a2)∨...∨B(an)) xA(x)∨xB(x) 2013-12-16