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中考数学复习《反比例函数》专项综合练习及答案

一、反比例函数

1．如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2= x 的图象交于点A、 B，点 B 的横坐标

是 4，点 P（ 1，m）在反比例函数 y1= 的图象上．（1）

求反比例函数的表达式；

（2）观察图象回答：当 x 为何范围时， y1＞ y2；

（3）求△ PAB的面积．

【答案】（1）解：把 x=4 代入 y2=x，得到点 B 的坐标为（ 4， 1），把点B（4，1）代入 y1= ，得 k=4．

反比例函数的表达式为 y1=

（2）解：∵点 A 与点 B 关于原点对称，∴ A 的坐标为（﹣ 4，﹣ 1），

观察图象得，当x＜﹣ 4 或 0＜ x＜ 4 时， y1＞ y2

（3）解：过点 A 作 AR⊥y 轴于 R，过点 P 作 PS⊥ y 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点 C，如图，

∵点 A 与点 B 关于原点对称，

∴OA=OB，

△AOP △ BOP

∴S=S

，

∴S△PAB=2S△AOP．

y1=中，当x=1时，y=4，

∴P（ 1， 4）．

设直线 AP 的函数关系式为y=mx+n ，

把点 A（﹣ 4，﹣ 1）、 P（1 ，4）代入 y=mx+n ，

则，

解得．

故直线 AP 的函数关系式为 y=x+3，

则点 C 的坐标（ 0，3）， OC=3，

∴S △AOP =S △ AOC +S △ POC

= OC?AR+ OC?PS

= ×3×4+ ×3×1

= ，

∴S △PAB =2S △AOP =15．

【解析】 【分析】（ 1）把

x=4 代入 y 2= x ，得到点 B 的坐标，再把点 B 的坐标代入 y 1=

，求出 k 的值，即可得到反比例函数的表达式；（

2）观察图象可知，反比例函数的图象

在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式 y 1＞ y 2 的解集；（ 3）过点

A 作 AR ⊥y 轴于 R ，过点 P 作 PS ⊥ y 轴于 S ，连接 PO ，设 AP 与 y 轴交于点 C ，由点 A 与点

B 关于原点对称，得出 △AOP =S △BOP ， S △PAB =2S △AOP ． 求出 P 点坐标，利用

OA=OB ，那么 S

待定系数法求出直线

AP 的函数关系式，得到点 C 的坐标，根据 S △ AOP △AOC △ POC 求出

=S+S

S △AOP =

，则 S △ PAB =2S △ AOP =15．

2．已知点 A ， B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点，点 C ， D 是某个函数图象上的点，当四边形

ABCD （ A ， B ， C ， D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形 ABCD 是一次函数 y=x+1 图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数 y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数y= （ k＞ 0），他的图象的伴侣正方形为ABCD，点 D（ 2，

m）（ m＜ 2）在反比例函数图象上，求m 的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（ a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD， C、D 中的一个点坐标为（ 3， 4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇

数还是偶数 ________．

【答案】（1）解：如图1，

当点 A 在 x 轴正半轴，点 B 在 y 轴负半轴上时，

∵O C=0D=1，

∴正方形 ABCD的边长 CD=；∠ OCD=∠ ODC=45，°

当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在 y 轴正半轴上时，

设小正方形的边长为a，

易得 CL=小正方形的边长=DK=LK，故 3a=CD=．

解得 a=，所以小正方形边长为，

∴一次函数y=x+1 图象的伴侣正方形的边长为或

（2）解：如图2，作 DE， CF分别垂直于x、 y 轴，

易知△ ADE≌ △ BAO≌△ CBF

此时， m＜ 2， DE=OA=BF=m， OB=CF=AE=2﹣ m，

∴O F=BF+OB=2，

∴C 点坐标为（ 2﹣m， 2），

∴2m=2 （ 2﹣ m），解得 m=1．

反比例函数的解析式为y=．

（3）（ 3， 4）； y=﹣x2+ ；偶数

【解析】【解答】解：（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在

（3， 4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合

①当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 C 坐标为（ 3， 4）时：另外一个顶点

为（ 4， 1），对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ；

②当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，点 D 坐标为（ 3， 4）时：不存在，

③当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 C 坐标为（ 3，4）时：不存在

④当点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点 D 坐标为（ 3， 4）时：另外一个顶点

C 为（﹣

⑤ 当点

1， 3），对应的函数的解析式是

A 在 x 轴负半轴上，点

B 在 y

y= x2+ ；轴负

半轴上，点 D 坐标为（3， 4）时，另一个顶点C

的坐标是（ 7，﹣ 3）时，对应的函数解析式是y=﹣⑥当点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在 y 轴负半轴上，点

；

C 坐标为（3， 4）时，另一个顶点D

的坐标是（﹣ 4， 7）时，对应的抛物线为y= x2+；

∵由抛物线的伴侣正方形的定义知，一条抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，

∴所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．

【分析】解答此题时，要特别注意认真读题，分析题意，注意已知条件点 A， B 分别是 x 轴、 y 轴上

的动点，点 C， D 是某个函数图象上的点。

（1）一次函数 y=x+1 的图像与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，正确画出图形，再

利用正方形的性质确定相关点的坐标，从而计算出正方形的边长；

（2）由于 ABCD 是正方形，添加辅助线，作DE， CF 分别垂直于 x、 y 轴，得到的等腰直角

三角形都是全等的，再利用点D（ 2， m）的坐标表示出点 C 的坐标，从而可以求解；

（3）抛物线的开口可能向上，也可能向下，当抛物线的开口向上时，正方形的另一个顶点

也在抛物线上，这个点可能在（3 ，4 ）的左侧，也可能在（3，4）的右侧，因此过点（3，4）作 x 轴的垂线，利用全等三角形确定线段的长，即可求出抛物线上另一个点的坐

标；当抛物线开口向下时也一样分两种情况来讨论；由抛物线的伴侣正方形的定义知一条

抛物线有两个伴侣正方形，是成对出现的，因此所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为

偶数。

3．如图，点 P（ x，y ）与 Q（ x， y ）分别是两个函数图象 C与 C 上的任一点．当a≤ x≤b 1212

时，有﹣ 1≤y1 2

a≤ x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤ x≤b ﹣ y ≤1成立，则称这两个函数在

上是“非相邻函数”．例如，点 P（ x， y1）与 Q （ x， y2）分别是两个函数 y=3x+1 与 y=2x﹣ 1 图象上的任一点，当﹣ 3≤x≤﹣ 1 时， y1﹣ y2=（ 3x+1）﹣（ 2x﹣ 1 ） =x+2，通过构造函数