2020年湖南师大附中高新实验中学中考数学模拟试卷(3月份)(有答案解析)

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2020年湖南省长沙市教科院中考数学模拟试卷(三) (解析版)

2020年长沙市教科院中考数学模拟试卷（三）一、选择题（共12小题）.1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元2．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3B．（3a）2＝6a2C．a6÷a2＝a3D．a2•a3＝a5 3．在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．河图幻方D．谢尔宾斯基三角形5．某班6名同学参加体能测试的成绩分别为：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（）A．众数是80B．中位数是75C．平均数是80D．方差是256．中国倡导的“一带一路”建设将促进世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为44亿人，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×108C．4.4×1010D．4.4×1097．用尺规作图作△ABC的BC边上的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．8．不等式组的解集在数轴上表示出来是（）A．B．C．D．9．若圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的全面积为（）A．15πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．36πcm210．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5B．k≥5C．k≤5且k≠1D．k＞511．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．12．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面积：△BFC的面积＝（+1）：2，其中正确的结论有（）个．A．4B．3C．2D．1二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．4的平方根是．14．李老师上班途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率是．15．已知a+b＝4，ab＝3，则代数式（a+1）（b+1）的值为．16．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（）﹣1﹣（π+3）0﹣4cos30°+．20．解分式方程：+1＝．21．如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为多少度？（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．22．在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度、如图，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6米，坡度i＝l：，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4米．（1）求斜坡AB的坡角α的度数；（2）求旗杆顶端离地面的高度ED的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74，结果精确到0.1米）23．如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA＝8，求PB的长．24．某批发市场有考试文具套装，其中A品牌的批发价是每套20元，B品牌的批发价是每套25元，小王需购买A，B两种品牌的文具套装共1000套．（1）如果小王按批发价购买这1000套文具花了22000元，那么A，B两种品牌的文具套装各购买了多少套？（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为500元．若小王购买会员卡，并用会员卡购买A，B两种品牌文具套装1000套，共用了y元，设A品牌文具套装买了x套，求出y与x之间的函数关系式；（3）小王用会员卡购买A，B两种品牌文具套装1000套，共用了20000元，他计划在网店包邮销售这两种文具套装，每套文具套装小王需支付邮费8元，若A品牌每套销售价格比B品牌少5元，请你帮他计算，A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本？（运算结果取整数）25．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是．26．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C．（1）填空：b＝，c＝，点C的坐标为；（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上一动点，连接OP交直线AB于点Q，设点P 的横坐标为m，设＝y，求y与m的函数关系式，并求出的最大值；（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，当∠PBA+∠CBO＝45°时，求点P的坐标．参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．2．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3B．（3a）2＝6a2C．a6÷a2＝a3D．a2•a3＝a5【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加对各选项分析判断利用排除法求解．解：A、a与a2不是同类项，不能合并，故A选项错误；B、（3a）2＝9a2，故B选项错误；C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故C选项错误；D、a2•a3＝a2+3＝a5，故D选项正确．故选：D．3．在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，代入得出2∠A＝180°，求出即可．解：∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：B．4．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．河图幻方D．谢尔宾斯基三角形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．5．某班6名同学参加体能测试的成绩分别为：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（）A．众数是80B．中位数是75C．平均数是80D．方差是25【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案．解：∵80出现了3次，出现的次数最多，∴众数是80；把这些数从小到大排列为：75，75，80，80，80，90，则中位数是＝80；平均数是（80+90+75+75+80+80）＝80，则方差S2＝[3×（80﹣80）2+2×（75﹣80）2+（90﹣80）2]＝25；表述错误的是B，6．中国倡导的“一带一路”建设将促进世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为44亿人，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×108C．4.4×1010D．4.4×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：44亿＝4.4×109 ，故选：D．7．用尺规作图作△ABC的BC边上的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的高的定义判断即可．解：∵△ABC的BC边上的高，AD⊥BC，∴选项B正确，故选：B．8．不等式组的解集在数轴上表示出来是（）A．B．C．D．【分析】先分别解出不等式的解，再求其公共解集，并在数轴上表示出来．解：由①得x＜﹣1，由②得x≤2，故解集为x＜﹣1，9．若圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的全面积为（）A．15πcm2B．20πcm2C．24πcm2D．36πcm2【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，根据扇形面积公式计算即可．解：圆锥的底面半径＝＝3，∴圆锥的全面积＝π×32+×2π×3×5＝24π（cm2）故选：C．10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5B．k≥5C．k≤5且k≠1D．k＞5【分析】根据根的判别式即可求出答案．解：由题意可知：△＝16﹣4（k﹣1）≥0，∴k≤5，∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k≤5且k≠1故选：C．11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．解：当点Q在AC上时，∵∠A＝30°，AP＝x，∴PQ＝x tan30°＝，∴y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；当点Q在BC上时，如下图所示：∵AP＝x，AB＝16，∠A＝30°，∴BP＝16﹣x，∠B＝60°，∴PQ＝BP•tan60°＝（16﹣x）．∴＝＝．∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B．12．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝④△BEC的面积：△BFC的面积＝（+1）：2，其中正确的结论有（）个．A．4B．3C．2D．1【分析】①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF＝∠ABE，即可判定③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出，再与tan∠ECD＝tan30°作比较即可④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可解：∵△BEC为等边三角形∴∠EBC＝∠BCE＝∠ECB＝60°，AB＝EB＝EC＝BC＝DC∵四边形ABCD为正方形∴∠ABE＝∠ECD＝90°﹣60°＝30°∴在△ABE和△DCE中，AB＝DC∠ABE＝∠ECDBE＝EC∴△ABE≌△DCE（SAS）∴∠AEB＝∠DEC＝＝75°∴∠AED＝360°﹣60°﹣75°×2＝150°故①正确由①知AE＝ED∴∠EAD＝∠EDA＝15°∴∠EDF＝45°﹣15°＝30°∴∠EDF＝∠ABE由①知∠AEB＝∠DEC，∴△DEF～△BAE故②正确过点F作FM⊥DC交于M，如图设DM＝x，则FM＝x，DF＝x∵∠FCD＝30°∴MC＝x则在Rt△DBC中，BD＝∴BF＝BD﹣DF＝则∵tan∠ECD＝tan30°＝∴tan∠ECD＝故③正确如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得由③知MC＝，MC＝FG∴FG＝∵BC＝DC＝x∴BH＝∵∠EBC＝60°∴EH＝x，∴＝＝＝＝故④正确故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．4的平方根是±2．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．14．李老师上班途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率是．【分析】利用概率公式求解．解：李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率＝＝．故答案为．15．已知a+b＝4，ab＝3，则代数式（a+1）（b+1）的值为8．【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后把已知等式代入计算即可求出值．解：原式＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，当a+b＝4，ab＝3时，原式＝3+4+1＝8．故答案为：816．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝6．【分析】作EG⊥AO于点G，根据角平分线的性质求得EG的长，然后利用直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半求解即可．解：如图，作EG⊥AO于点G，∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，EC＝3，∴EG＝EC＝3，∵∠AFE＝30°，∴EF＝2EG＝2×3＝6，故答案为：6．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为45°．【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．解：连接OA，如图，∵∠ACO＝45°，OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°．故答案为：45°18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于3．【分析】过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，得出＝＝＝，设CE＝x，则BD＝2x，根据反比例函数的解析式表示出OD＝，OE＝，OA ＝，然后根据三角形面积公式求解即可．解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，∴＝＝，∵OC是△OAB的中线，∴＝＝＝，设CE＝x，则BD＝2x，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD＝，OE＝，∴DE＝OE﹣OD＝，∴AE＝DE＝，∴OA＝OE+AE＝，∴S△OAB＝OA•BD＝××2x＝3．故答案为3．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（）﹣1﹣（π+3）0﹣4cos30°+．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．解：原式＝2﹣1﹣4×+2＝2﹣1﹣2+2＝1．20．解分式方程：+1＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：4+x2﹣1＝x2﹣2x+1，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是增根，分式方程无解．21．如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为多少度？（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．【分析】（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数，即可补全条形图；（2）用360°乘以样本中C饮品人数占被调查人数的比例可得；（3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根据概率公式求解可得．解：（1）∵抽查的总人数为：20÷40%＝50人，∴C类人数＝50﹣20﹣5﹣15＝10人，补全条形统计图如下：（2）“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为：10÷50×360°＝72°；（3）画树状图得：所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种，所以P（恰好抽到一男一女）＝＝．22．在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度、如图，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6米，坡度i＝l：，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70°，点B到旗杆底部C的距离为4米．（1）求斜坡AB的坡角α的度数；（2）求旗杆顶端离地面的高度ED的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74，结果精确到0.1米）【分析】（1）过点B作BF⊥AD于点F，由i＝tan∠BAF＝，可得∠BAF＝30°；（2）由∠BAF＝30°、AB＝6，知CD＝BF＝AB＝3米，再由EC＝BC tan∠EBC可得答案．解：（1）如图所示，过点B作BF⊥AD于点F，∵i＝tan∠BAF＝，∴∠BAF＝30°，即α＝30°；（2）∵∠BAF＝30°，AB＝6，∴CD＝BF＝AB＝3米，在Rt△BCE中，∵∠EBC＝70°，BC＝4，∴EC＝BC tan∠EBC＝4tan70°≈10.96，则ED＝EC+CD＝3+10.96＝13.96≈14.0（米），答：旗杆顶端离地面的高度ED的长约为14.0米．23．如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA＝8，求PB的长．【分析】（1）连接DE，OA．想办法证明OA⊥BF即可；（2）连接AD，只要证明△PAD∽△PBA，可得＝，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接DE，OA．∵PD是直径，∴∠DEP＝90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP＝∠FBP，∴DE∥BF，∵＝，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线．（2）解：连接AD．∵＝，∴∠APD＝∠APB，∵PD是直径，∴∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠ABP＝90°，∴△PDA∽△PAB，∴＝，∴＝，∴PB＝．24．某批发市场有考试文具套装，其中A品牌的批发价是每套20元，B品牌的批发价是每套25元，小王需购买A，B两种品牌的文具套装共1000套．（1）如果小王按批发价购买这1000套文具花了22000元，那么A，B两种品牌的文具套装各购买了多少套？（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为500元．若小王购买会员卡，并用会员卡购买A，B两种品牌文具套装1000套，共用了y元，设A品牌文具套装买了x套，求出y与x之间的函数关系式；（3）小王用会员卡购买A，B两种品牌文具套装1000套，共用了20000元，他计划在网店包邮销售这两种文具套装，每套文具套装小王需支付邮费8元，若A品牌每套销售价格比B品牌少5元，请你帮他计算，A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本？（运算结果取整数）【分析】（1）设小王需购买A、B两种品牌文具套装分别为x套、y套，根据“购买A，B两种品牌的文具套装共1000套，花了22000元”列方程组解答即可；（2）根据题意，可得y＝500+0.8×[20x+25（1000﹣x）]，据此求出y与x之间的函数关系式即可．（3）首先求出小王购买A、B两种品牌文具套装分别为多少套，然后设A品牌文具套装的售价为z元，则B品牌文具套装的售价为z+5元，所以125z+875（z+5）≥20000+8×1000，据此求出A品牌的文具套装每套定价不低于多少元时才不亏本即可．解：（1）设小王够买A品牌文具x套，够买B品牌文具y套，根据题意，得：，解得，答：小王够买A品牌文具600套，够买B品牌文具400套．（2）y＝500+0.8[20x+25（1000﹣x）]＝500+0.8（25000﹣5x）＝500+20000﹣4x＝﹣4x+20500，∴y与x之间的函数关系式是：y＝﹣4x+20500．（3）根据题意，得：﹣4x+20500＝20000，解得：x＝125，∴小王够买A品牌文具套装为125套、够买B品牌文具套装为875套，设A品牌文具套装的售价为z元，则B品牌文具套装的售价为（z+5）元，由题意得：125z+875（z+5）≥20000+8×1000，解得：z≥23.625，答：A品牌的文具套装每套定价不低于24元时才不亏本．25．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是（5，3），（3，5）；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图3，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是+，+，2．【分析】（1）利用准矩形的定义和勾股定理计算，再根据准矩形的特点和整点的特点求出即可；（2）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF，即可；（3）分三种情况分别计算，用到梯形面积公式，对角线面积公式，对角线互相垂直的四边形的面积计算方法．解：（1）①∵∠ABC＝90°，∴BD＝AC＝＝＝，故答案为，②∵A（0，3），B（5，0），∴AB＝＝，设点P（m，n），O（0，0），∴OP＝＝，∵m，n都为整数，∴点P（3，5）或（5，3）；故答案为P（3，5）或（5，3）；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠EBF+∠EBC＝90°，∵BE⊥CF，∴∠EBC+∠BCF＝90°，∴∠EBF＝∠BCF，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF，∴四边形BCEF是准矩形；（3），，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，∴BC＝2，AC＝4，准矩形ABCD中，BD＝AC＝4，①当AC＝AD时，如图1，作DE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝1，∴DE＝＝＝，∴S准矩形ABCD＝S△ADE+S梯形BCDE＝DE×AE+（BC+DE）×BE＝×+（2+）×1＝+；②当AC＝CD时，如图2，作DF⊥BC，∴BD＝CD，∴BF＝CF＝BC＝，∴DF＝＝＝，∴S准矩形ABCD＝S△DCF+S梯形ABFD＝FC×DF+（AB+DF）×BF＝××+（2+）×＝+；③当AD＝CD，如图3，连接AC中点和D并延长交BC于M，连接AM，连接BG，过B作BH⊥DG，在Rt△ABC中，AC＝2AB＝4，∴BD＝AC＝4，∴AG＝AC＝2，∵AB＝2，∴AB＝AG，∵∠BAC＝60°，∴∠ABG＝60°，∴∠CBG＝30°在Rt△BHG中，BG＝2，∠BGH＝30°，∴BH＝1，在Rt△BHM中，BH＝1，∠CBH＝30°，∴BM＝，HM＝，∴CM＝，在Rt△DHB中，BH＝1，BD＝4，∴DH＝，∴DM＝DH﹣MH＝﹣，∴S准矩形ABCD＝S△ABM+S四边形AMCD，＝BM×AB+AC×DM＝××2+×4×（﹣）＝2；故答案为+，+，2．26．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C．（1）填空：b＝1，c＝4，点C的坐标为（﹣2，0）；（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上一动点，连接OP交直线AB于点Q，设点P 的横坐标为m，设＝y，求y与m的函数关系式，并求出的最大值；（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，当∠PBA+∠CBO＝45°时，求点P的坐标．【分析】（1）通过一次函数解析式确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b，c的值，令y＝0便可得C点坐标；（2）分别过P、Q两点向x轴作垂线，通过PQ与OQ的比值为y以及平行线分线段成比例，找到＝，设点P坐标为（m，﹣m2+m+4），Q点坐标（n，﹣n+4），表示出ED、OD等长度，即可得y与m、n之间的关系，再次利用，即可求解；（3）∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝45°，∠PBA+∠CBO＝45°，则∠OBP＝∠CBO，进而求解．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．∴A（4，0），B（0，4）．又∵抛物线过B（0，4），∴c＝4．把A（4，0）代入y＝﹣x2+bx+4得，0＝﹣×42+4b+4，解得，b＝1．∴抛物线解析式为，y＝﹣x2+x+4．令﹣x2+x+4＝0，解得，x＝﹣2或x＝4．∴C（﹣2，0）；故答案为：1；4；（﹣2，0）；（2）如图1，分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D．设P（m，﹣m2+m+4），Q（n，﹣n+4），则PE＝﹣m2+m+4，QD＝﹣n+4．又∵＝＝y．∴n＝．又∵，即，把n═代入上式并整理得：4y＝﹣m2+2m．∴y＝﹣m2+m．∵﹣＜0，故y有最大值，当m＝2时，y max＝．即PQ与OQ的比值的最大值为；（3）如图2，∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝45°，∠PBA+∠CBO＝45°，∴∠OBP＝∠CBO，此时PB过点（2，0）．设直线PB解析式为，y＝kx+4．把点（2，0）代入上式得，0＝2k+4．解得，k＝﹣2，∴直线PB解析式为，y＝﹣2x+4．令﹣2x+4＝﹣x2+x+4，整理得，x2﹣3x＝0．解得，x＝0（舍去）或x＝6．当x＝6时，﹣2x+4＝﹣2×6+4＝﹣8∴P（6，﹣8）．。

湖南师大附中高新实验中学2024届中考适应性考试数学试题含解析

湖南师大附中高新实验中学2024届中考适应性考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列说法不正确的是（）A．某种彩票中奖的概率是11000，买1000张该种彩票一定会中奖B．了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查C．若甲组数据的标准差S甲=0.31，乙组数据的标准差S乙=0.25，则乙组数据比甲组数据稳定D．在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件2．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边的黑点，则B球一次反弹后击中A球的概率是（）A．17B．27C．37D．473．下列计算正确的是（）A．82＝±8 B38322 C．（﹣12）0＝0 D．（x﹣2y）﹣3＝63xy4．如果数据x1，x2，…，x n的方差是3，则另一组数据2x1，2x2，…，2x n的方差是（）A．3 B．6 C．12 D．55．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（）A．12B．13C．23D．346．已知a35a等于()A．1 B．2 C．3 D．47．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形,则这样的点C有( )A．6个B．7个C．8个D．9个8．下列各式中，正确的是（）A．t5·t5 = 2t5B．t4+t2 = t 6C．t3·t4 = t12D．t2·t3 = t59．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间10．下面几何的主视图是（）A．B．C．D．11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD 交于点H，连接DH，下列结论正确的是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是25﹣2A．①②⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．①②③④12．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第_____个．14．已知∠α=32°，则∠α的余角是_____°．15．分解因式：2m 2-8=_______________．16．64的算术平方根是_____．17．2017年12月31日晚，郑东新区如意湖文化广场举行了“文化跨年夜、出彩郑州人”的跨年庆祝活动，大学生小明和小刚都各自前往观看了演出，而且他们两人前往时选择了以下三种交通工具中的一种：共享单车、公交、地铁，则他们两人选择同一种交通工具前往观看演出的概率为_____．18．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）如图，两座建筑物的水平距离BC 为40m ，从D 点测得A 点的仰角为30°，B 点的俯角为10°，求建筑物AB 的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，3取1.1．20．（6分）有这样一个问题：探究函数y ＝316x ﹣2x 的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y ＝316x ﹣2x 的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y ＝316x ﹣2x 的自变量x 的取值范围是_______；（2）如表是y 与x 的几组对应值 x … ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 …y … ﹣83 ﹣748 32 83 116 0 ﹣116 ﹣83 m 748 83 …则m 的值为_______；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的两条性质________．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C 点的坐标为（1，0），抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象直接写出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上一动点，且在直线AB上方，过点P作AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ=22时，求P点坐标．22．（8分）已知线段a及如图形状的图案.（1）用直尺和圆规作出图中的图案，要求所作图案中圆的半径为a（保留作图痕迹）（2）当a=6时，求图案中阴影部分正六边形的面积.23．（8分）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为63.4°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为53°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i＝5：1．(1)求此人所在位置点P 的铅直高度．(结果精确到0.1米)(2)求此人从所在位置点P 走到建筑物底部B 点的路程(结果精确到0.1米)(测倾器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，tan63.4°≈2)24．（10分）如图，在Rt △ABC 中，90C =∠，点D 在边BC 上，DE ⊥AB ，点E 为垂足，7AB =，∠DAB=450，tanB=34. (1)求DE 的长；(2)求CDA ∠的余弦值．25．（10分）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6米的D 处，仰望旗杆顶端A ，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED 为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB 的高度．(结果精确到0.1米，3 1.732≈).26．（12分）计算：-2-2 - 12+ 21sin60π3⎛⎫-︒+- ⎪⎝⎭27．（12分）（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=12，OB=4，OE=1．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（1）求△OCD的面积．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、A【解题分析】试题分析：根据抽样调查适用的条件、方差的定义及意义和可能性的大小找到正确答案即可．试题解析：A、某种彩票中奖的概率是11000，只是一种可能性，买1000张该种彩票不一定会中奖，故错误；B、调查电视机的使用寿命要毁坏电视机，有破坏性，适合用抽样调查，故正确；C、标准差反映了一组数据的波动情况，标准差越小，数据越稳定，故正确；D、袋中没有黑球，摸出黑球是不可能事件，故正确．故选A．考点：1.概率公式；2.全面调查与抽样调查；3.标准差；4.随机事件．2、B【解题分析】试题解析：由图可知可以瞄准的点有2个．．∴B 球一次反弹后击中A 球的概率是27. 故选B ．3、D【解题分析】各项中每项计算得到结果，即可作出判断．【题目详解】解：A ．原式=8，错误；B ．原式=2+42，错误；C ．原式=1，错误；D ．原式=x 6y ﹣3=63x y ，正确．故选D ．【题目点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、C【解题分析】【分析】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，再根据方差公式进行计算：()()()()222221231n S x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦即可得到答案．【题目详解】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，根据方差公式：()()()()222221231n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦=3，则()()()()22222123122222222n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦ =()()()()222212314444n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×()()()()22221231n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×3=12，故选C．【题目点拨】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．5、D【解题分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解.【题目详解】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：至少有一次正面朝上的概率是34，故选：D.【题目点拨】本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率()mP An=.6、B【解题分析】351，进而得出答案．【题目详解】∵a35∴a=1．故选：B．【题目点拨】考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．7、A【解题分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【题目详解】如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．8、D【解题分析】选项A，根据同底数幂的乘法可得原式=t10；选项B，不是同类项，不能合并；选项C，根据同底数幂的乘法可得原式=t7；选项D，根据同底数幂的乘法可得原式=t5，四个选项中只有选项D正确，故选D.9、A【解题分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【题目详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝1（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝1+5m＞1，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞1．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【题目点拨】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．10、B【解题分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．【题目详解】解：从几何体正面看故选B．【题目点拨】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．11、B【解题分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【题目详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°.∵在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠BAD=∠ADC，AE=DF，∴△ABE≌△DCF，∴∠ABE=∠DCF.∵在△ADG和△CDG中，AD=CD，∠ADB=∠CDB，DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG.∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同理可证：△AGB≌△CGB.∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确.∵S△HDG:S△HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan∠FCD，∠DAG=∠FCD，∴S△HDG:S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正确.取AB的中点O，连接OD、OH.∵正方形的边长为4，∴AO=OH=12×4=1，由勾股定理得，OD=224225+=，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=15-1．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确.故选B.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握它们的性质进行解题.12、B【解题分析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.【题目详解】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，∴∠ABC=135°，又∵BE=CE，∴∠ACB=∠EBC=15°，∴∠ABE=120°，又∵∠CAB=30°∴BA=BE，AD=DE，设BD=x，在Rt△ABD中，∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，∴x= = ≈5.49，故答案选：B.【题目点拨】本题考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、5【解题分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张.【题目详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则＝，解得x=3，所以另一段长为18-3=15，因为15÷3=5，所以是第5张．故答案为：5.【题目点拨】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用解答.14、58°【解题分析】根据余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角可得答案．【题目详解】解：∠α的余角是：90°-32°=58°．故答案为58°．【题目点拨】本题考查余角，解题关键是掌握互为余角的两个角的和为90度．15、2（m+2）（m-2）【解题分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．【题目详解】2m2-8，=2（m2-4），=2（m+2）（m-2）【题目点拨】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法，十字相乘等方法分解．16、2【解题分析】64=8，（2）2=8，64的算术平方根是2.故答案为：2217、1 3【解题分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果，最后用概率公式求解即可求得答案．【题目详解】树状图如图所示，∴一共有9种等可能的结果；根据树状图知，两人选择同一种交通工具前往观看演出的有3种情况，∴选择同一种交通工具前往观看演出的概率：31 =93，故答案为13．【题目点拨】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18、1 2【解题分析】用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】解：用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，画树状图：共有12种等可能的结果数，其中抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数为6，所以抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率61 122 ==．故答案为．1 2【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了轴对称图形．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、建筑物AB的高度约为30.3m．【解题分析】分析：过点D作DE⊥AB，利用解直角三角形的计算解答即可．详解：如图，根据题意，BC=2，∠DCB=90°，∠ABC=90°．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则∠DEB=90°，∠ADE=30°，∠BDE=10°，可得四边形DCBE为矩形，∴DE=BC=2．在Rt△ADE中，tan∠ADE=AE DE，∴AE=DE•tan30°=34040 1.73223.0933⨯=⨯≈．在Rt△DEB中，tan∠BDE=BE DE，∴BE=DE•tan10°=2×0.18=7.2，∴AB=AE+BE=23.09+7.2=30.29≈30.3．答：建筑物AB的高度约为30.3m．点睛：考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．20、（1）任意实数；（2）32-；（3）见解析；（4）①当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；②当x＞2时，y随x的增大而增大．【解题分析】（1）没有限定要求,所以x为任意实数, （2）把x＝3代入函数解析式即可,（3）描点,连线即可解题,（4）看图确定极点坐标,即可找到增减区间.【题目详解】解：（1）函数y ＝316x ﹣2x 的自变量x 的取值范围是任意实数；故答案为任意实数；（2）把x ＝3代入y ＝316x ﹣2x 得，y ＝﹣32；故答案为﹣32；（3）如图所示；（4）根据图象得，①当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而增大；②当x ＞2时，y 随x 的增大而增大．故答案为①当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而增大； ②当x ＞2时，y 随x 的增大而增大．【题目点拨】本题考查了函数的图像和性质,属于简单题,熟悉函数的图像和概念是解题关键.21、（1）y=﹣x 2﹣x+2；（2）﹣2＜x ＜0；（3）P 点坐标为（﹣1，2）．【解题分析】分析：(1)、根据题意得出点A 和点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；(2)、根据函数图像得出不等式的解集；(3)、作PE ⊥x 轴于点E ，交AB 于点D ，根据题意得出∠PDQ=∠ADE=45°，22PQ DQ +，然后设点P （x ，﹣x 2﹣x+2），则点D （x ，x+2），根据PD 的长度得出x 的值，从而得出点P 的坐标．详解：（1）当y=0时，x+2=0，解得x=﹣2，当x=0时，y=0+2=2，则点A （﹣2，0），B （0，2），把A （﹣2，0），C （1，0），B （0，2），分别代入y=ax 2+bx+c 得42002a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得112a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴该抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣x+2；（2）ax2+（b﹣1）x+c＞2，ax2+bx+c＞x+2，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集为﹣2＜x＜0；（3）如图，作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，在Rt△OAB中，∵OA=OB=2，∴∠OAB=45°，∴∠PDQ=∠ADE=45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ=∠PDQ=45°，PQ=DQ=22，∴PD=22PQ DQ=1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD=﹣x2﹣x+2﹣（x+2）=﹣x2﹣2x，即﹣x2﹣2x=1，解得x=﹣1，则﹣x2﹣x+2=2，∴P点坐标为（﹣1，2）．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及直角三角形的性质，属于基础题型．利用待定系数法求出函数解析式是解决这个问题的关键．22、（1）如图所示见解析，（2）当半径为6时，该正六边形的面积为183【解题分析】试题分析：（1）先画一半径为a的圆，再作所画圆的六等分点，如图所示，连接所得六等分点，作出两个等边三角形即可；（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，由已知条件先求出AB和OE的长，再求出CD的长，即可求得△OCD的面积，这样即可由S阴影=6S△OCD求出阴影部分的面积了.试题解析：（1）所作图形如下图所示：（2）如下图，连接OA、OB、OC、OD，作OE⊥AB于点E，则由题意可得：OA=OB=6，∠AOB=120°，∠OEB=90°，AE=BE，△BOC，△AOD都是等腰三角形，△OCD的三边三角形，∴∠ABO=30°，BC=OC=CD=AD，∴BE=OB·cos30°=33，OE=3，∴AB=63，∴CD=23，∴S△OCD=1233=332⨯⨯，∴S阴影=6S△OC D=183.23、（1）此人所在P的铅直高度约为14.3米；（2）从P到点B的路程约为17.1米【解题分析】分析：(1)过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，设PF＝5x，在Rt△ABC中求出AB，用含x的式子表示出AE，EP，由tan∠APE，求得x即可；(2)在Rt△CPF中，求出CP的长.详解：过P作PF⊥BD于F，作PE⊥AB于E，∵斜坡的坡度i＝5:1，设PF＝5x，CF＝1x，∵四边形BFPE为矩形，∴BF＝PEPF＝BE.在RT△ABC中，BC＝90，tan∠ACB＝AB BC，∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180，∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x，EP＝BC＋CF≈90＋10x.在RT△AEP中，tan∠APE＝1805490123 AE xEP x-≈＝＋，∴x＝207，∴PF＝5x＝10014.3 7≈.答：此人所在P的铅直高度约为14.3米. 由(1)得CP＝13x，∴CP＝13×207≈37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝17.1.答：从P到点B的路程约为17.1米.点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长.24、(1)3;(2)2 10【解题分析】分析：（1）由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，在直角三角形DEB中，利用锐角三角函数定义求出DE与BE 之比，设出DE与BE，由AB=7求出各自的值，确定出DE即可；（2）在直角三角形中，利用勾股定理求出AD与BD的长，根据tan B的值求出cos B的值，确定出BC的长，由BC﹣BD求出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．详解：（1）∵DE ⊥AB ，∴∠DEA =90°．又∵∠DAB =41°，∴DE =AE ．在Rt △DEB 中，∠DEB =90°，tan B =34DE BE ，∴=34，设DE =3x ，那么AE =3x ，BE =4x ．∵AB =7，∴3x +4x =7，解得：x =1，∴DE =3；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理，得：AD 同理得：BD =1．在Rt △ABC 中，由tan B =34，可得：cos B =45，∴BC =285，∴CD =35，∴cos ∠CDA =CD AD =10，即∠CDA 的余弦值为10．点睛：本题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．25、11.9米【解题分析】先根据锐角三角函数的定义求出AC 的长，再根据AB=AC+DE 即可得出结论【题目详解】∵BD=CE=6m ，∠AEC=60°，∴，∴AB=AC+DE=10.4+1.5=11.9m ．答：旗杆AB 的高度是11.9米.26、 74-【解题分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值分别化简，再根据实数的运算法则即可求出答案．【题目详解】解：原式=171144--+=【题目点拨】本题考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的锐角三角函数值，熟记这些运算法则是解题的关键.27、（1）122y x =-+，6y x =-；（1）2．【解题分析】试题分析：（1）先求出A 、B 、C 点坐标，用待定系数法求出直线AB 和反比例的函数解析式；（1）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D 的坐标，从而根据三角形面积公式求解．试题解析：（1）∵OB=4，OE=1，∴BE=1+4=3．∵CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO=AO CE BO BE ==12，∴OA=1，CE=3，∴点A 的坐标为（0，1）、点B 的坐标为C （4，0）、点C 的坐标为（﹣1，3），设直线AB 的解析式为y kx b =+，则240b k b =⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线AB 的解析式为122y x =-+，设反比例函数的解析式为m y x =（0m ≠），将点C 的坐标代入，得3=2m-，∴m=﹣3．∴该反比例函数的解析式为6y x =-；（1）联立反比例函数的解析式和直线AB 的解析式可得6122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，可得交点D 的坐标为（3，﹣1），则△BOD 的面积=4×1÷1=1，△BOD 的面积=4×3÷1=3，故△OCD 的面积为1+3=2．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．。

2020-2021长沙市湖南师大附中九年级数学下期中一模试卷含答案

2020-2021长沙市湖南师大附中九年级数学下期中一模试卷含答案一、选择题1．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数1yx=-的图象上，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y22．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）3．如图，用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（）．A．边AB的长度也变为原来的2倍；B．∠BAC的度数也变为原来的2倍；C．△ABC的周长变为原来的2倍；D．△ABC的面积变为原来的4倍；4．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=3x（x＞0）、y=kx（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（）A．﹣1B．1C．12-D．125．在函数y＝21ax+（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣14，y2），（12，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）A ．y 2＜y 1＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 26．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（）A ．35︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒ 7．在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A ．（0，5）B ．（5，1）C ．（2，4）D ．（4，2）8．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，5AB =，则AD 的长为（）A ．3B ．163C ．203D ．1659．图（1）所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（）A ．当3x =时，EC EM <B ．当9y =时，EC EM <C ．当x 增大时，EC CF ⋅的值增大D ．当x 增大时，BE DF ⋅的值不变10．如图,在平行四边形中，点在边上, 与相交于点,且,则与的周长之比为（）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．2 : 3D ．4 : 911．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边DF ＝50cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（）A ．12mB ．13.5mC ．15mD ．16.5m 12．在反比例函数4y x =的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（） A ． B ． C ． D ．二、填空题13．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为51-的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm 的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____cm . 14．如图，矩形ABOC 的面积为3，反比例函数y ＝k x的图象过点A ，则k ＝_____．15．如图，在平面直角坐标系内有一点()5,12P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的余弦值为______.16．如图，等腰△ABC 中，底边BC 长为8，腰长为6，点D 是BC 边上一点，过点B 作AC 的平行线与过A 、B 、D 三点的圆交于点E ，连接DE ，则DE 的最小值是___．17．已知反比例函数y=2m x-，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是_____． 18．如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝45°，连接BD ，则tan ∠CBD 的值为_____．19．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm ），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm ．20．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）三、解答题21．等腰Rt PAB V 中，90PAB ∠=o ，点C 是AB 上一点(与A B 、不重合)，连接PC ,将线段PC 绕点C 顺时针旋转90o ，得到线段DC .连接, PD BD . 探究PBD ∠的度数，以及线段AB 与BD BC 、的数量关系.(1)尝试探究:如图(1)PBD ∠= ；AB BC AC =+= ；(2)类比探索:如图(2)，点C 在直线AB 上，且在点B 右侧，还能得出与(1)中同样的结论么?请写出你得到的结论并证明:22．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离．（参考数据：6≈2.449，结果保留整数）23．如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4m ．如果小华的身高为1.5m ，求路灯杆AB 的高度．24．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D 竖起标杆DE ，使得点E 与点C 、A 共线．已知：CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，测得BC ＝1m ，DE ＝1.5m ，BD ＝8.5m ．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．25．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．【详解】∵反比例函数y=﹣1x中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．2．B解析：B【解析】试题分析：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为5：2，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选B．考点：位似变换；坐标与图形性质．3．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质，可得出这两个三角形相似，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．【详解】解：∵用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，∴放大镜内的三角形与原三角形相似，且相似比为2∴边AB的长度也变为原来的2倍，故A正确；∴∠BAC的度数与原来的角相等，故B错误；∴△ABC的周长变为原来的2倍，故C正确；∴△ABC的面积变为原来的4倍，故D正确；故选B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．4．A解析：A【解析】【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB=S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到12×|3|+12•|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．【详解】连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，∴S△ACB=S△OCB，而S△OCB=12×|3|+12•|k|，∴12×|3|+12•|k|=2，而k＜0，∴k=﹣1，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．5．A解析：A【解析】【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．【详解】∵反比例函数的比例系数为a2+1＞0，∴图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小．∵﹣114-＜＜0，∴点（﹣1，y1），（14-，y2）在第三象限，∴y2＜y1＜0．∵12＞0，∴点（12，y3）在第一象限，∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．6．C解析：C【解析】【分析】连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，【详解】连接CD ，如图所示：∵BC 是半圆O 的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=20°，∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．B解析：B【解析】【分析】在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.【详解】将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.故选：B.【点睛】本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.8．C解析：C【解析】【分析】根据矩形的性质可知：求AD 的长就是求BC 的长，易得∠BAC =∠ADE ，于是可利用三角函数的知识先求出AC ，然后在直角△ABC 中根据勾股定理即可求出BC ，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAC =90°，BC=AD ，∴∠BAC +∠DAE =90°， ∵DE AC ⊥，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠BAC =ADE α∠=，在直角△ABC中，∵3cos5α=，5AB=，∴25cos3ABACα==，∴AD=BC203 ==.故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.9．D解析：D【解析】【分析】由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得出反比例函数解析式为y=9x；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，根据等腰直角三角形的性质得，CF=3，则C点与M点重合；当y=9时，根据反比例函数的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以，而；利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值；由于x=2xy，其值为定值．【详解】解：因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得x=3，y=3，则反比例解析式为y=9x．A、当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以，，C点与M点重合，则EC=EM，所以A选项错误；B、当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以，，，所以B选项错误；C、因为EC x y=2×xy=18，所以，EC•CF为定值，所以C选项错误；D、因为BE•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不变，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围．10．C解析：C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，CD=AB．∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=1：2，∴EC：DC=CE：AB=2：3，∴C△CEF：C△ABF=2：3．故选C．11．D解析：D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC DC EF DE=，∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴20 0.30.4 BC=，∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案为16.5m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．12．B解析：B【解析】【分析】根据反比例函数kyx=中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．【详解】解：A、图形面积为|k|=4；B、阴影是梯形，面积为6；C 、D 面积均为两个三角形面积之和，为2×（12|k|）=4．故选B ．【点睛】主要考查了反比例函数k y x=中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12|k|．二、填空题13．【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解方程可得【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解得：x=则这个黄金矩形较短的边长是cm 故答案为：【点睛】考核知识点：黄金分解析：(15-【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解方程可得. 【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：x= 5，5)(15=-cm ．故答案为：(15-【点睛】考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键. 14．-3【解析】【分析】根据比例系数k 的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC 的面积为3∴|k|解析：-3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=kx的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题．【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3,∴|k|=3.∴k=±3.又∵点A在第二象限,∴k<0,∴k=−3.故答案为：−3.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,属于简单题,熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键.15．【解析】【详解】如图过点P作PA⊥x轴于点A∵P(512)∴OA=5PA=12由勾股定理得OP=∴故填：【点睛】此题考查锐角三角函数的定义先构建直角三角形确定边长即可得到所求的三角函数值解析：5 13【解析】【详解】如图，过点P作PA⊥x轴于点A，∵P(5,12)，∴OA=5，PA=12，由勾股定理得OP=222251213OA PA+=+=,∴5 cos13OAOPα==,故填：5 13.【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，先构建直角三角形，确定边长即可得到所求的三角函数值. 16．【解析】【分析】如图连接AEADOEOD作AJ⊥BC于JOK⊥DE于K首先证明∠EOD＝2∠C＝定值推出⊙O的半径最小时DE的值最小推出当AB是直径时DE 的值最小【详解】如图连接AEADOEOD 作A 解析：5【解析】【分析】如图，连接AE ，AD ，OE ，OD ，作AJ ⊥BC 于J ，OK ⊥DE 于K ．首先证明∠EOD ＝2∠C ＝定值，推出⊙O 的半径最小时，DE 的值最小，推出当AB 是直径时，DE 的值最小．【详解】如图，连接AE ，AD ，OE ，OD ，作AJ ⊥BC 于J ，OK ⊥DE 于K ．∵BE ∥AC ，∴∠EBC+∠C ＝180°，∵∠EBC+∠EAD ＝180°，∴∠EAD ＝∠C ，∵∠EOD ＝2∠EAD ，∴∠EOD ＝2∠C ＝定值，∴⊙O 的半径最小时，DE 的值最小，∴当AB 是⊙O 的直径时，DE 的值最小，∵AB ＝AC ＝6，AJ ⊥BC ，∴BJ ＝CJ ＝4，∴AJ 22A C CJ -2264-5∵OK ⊥DE ，∴EK ＝DK ，∵AB ＝6，∴OE ＝OD ＝3，∵∠EOK ＝∠DOK ＝∠C ， ∴sin ∠EOK ＝sin ∠C ＝256， ∴3EK ＝56， ∴EK 5∴DE ＝5∴DE 的最小值为5故答案为25．【点睛】本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．m＞2【解析】分析：根据反比例函数y=当x＞0时y随x增大而减小可得出m﹣2＞0解之即可得出m的取值范围详解：∵反比例函数y=当x＞0时y随x 增大而减小∴m﹣2＞0解得：m＞2故答案为m＞2点睛：本解析：m＞2．【解析】分析：根据反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得出m的取值范围．详解：∵反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．故答案为m＞2．点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．18．【解析】【分析】如图所示连接BD过点D作DE垂直于BC的延长线于点E 构造直角三角形将∠CBD置于直角三角形中设CE为x根据特殊直角三角形分别求得线段CDACBC从而按正切函数的定义可解【详解】解：如解析：31 2 -【解析】【分析】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD置于直角三角形中，设CE为x，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．【详解】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E,∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°∴∠DCE＝45°，∵DE⊥CE∴∠CEB＝90°，∠CDE＝45°∴设DE＝CE＝x，则CD＝2x，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴tan∠CAD=3＝CDAC，则AC＝6x，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC＝3x，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝DEBE＝(13)x+＝31-故答案为：31 -．【点睛】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．19．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O连接OBOC交AB于D∴OC⊥ABBD=AB由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm解析：10【解析】【分析】如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】如图，记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，∴OC⊥AB，BD=12 AB，由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，在Rt △BOD 中，根据勾股定理得，OB 2=AD 2+OD 2，∴r 2=36+（r ﹣2）2，∴r=10cm ，故答案为10．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．20．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.【解析】【分析】根据图形可知证明ADC AEB V V ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．【详解】∵A A ∠∠= ，AD AE =，∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．三、解答题21．（1）90o ，2BC BD +；（2）结论：90PBD ∠=︒， 2AB BD BC =-，理由详见解析【解析】【分析】（1）由题意得：△PCD 为等腰直角三角形，且∠PCD=90°则∠CPD=45°=∠APB ，证明△PAC ∽△PBD ，得出∠PBD=∠PAC=90°，2AC BD =，因此2AC BD =，即可得出结论；（2）由题意得：△PCD 为等腰直角三角形，且∠PCD=90°则∠CPD=45°=∠APB ，证明△PAC ∽△PBD ，得出∠PBD=∠PAC=90°，2AC BD =，因此2AC BD =，即可得出结论.【详解】解：（1）PCD QV 为等腰直角三角形，且90PCD ∠=︒，45CPD APB ∴∠=︒=∠，CPD BPC APB BPC ∴∠+∠=∠+∠，即BPD APC ∠=∠，又PA PB =Q ，~PAC PBD ∴∆∆2=，2AC BD ∴=，∴AC BD =，∴2AB BC AC BC BD =+=+，故答案为90o ，2BC BD +，（2）结论：90PBD ∠=︒； 2AB BD BC =-；理由如下： PCD QV 为等腰直角三角形，且90PCD ∠=︒，45CPD APB ∴∠=︒=∠，CPD BPC APB BPC ∴∠+∠=∠+∠，即BPD APC ∠=∠，又PA PC PB PD==Q ，PAC PBD ∴V V ∽=，90PBD PAC ∴∠=∠=︒，2AC BD =，2AC BD ∴=，AB AC BC BC ∴=-=-. 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．22．此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里．【解析】【分析】过点P 作PC ⊥AB ，则在Rt △APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出PB 的长即可．【详解】作PC ⊥AB 于C 点，∴∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里），在Rt △APC 中，cos ∠APC=PC PA， ∴PC=PA•cos ∠3（海里），在Rt △PCB 中，cos ∠BPC=PC PB ， ∴PB=403cos cos 45PC BPC =∠︒6≈98（海里），答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.23．路灯杆AB 的高度是6m ．【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵CD ∥EF ∥AB ，∴可以得到△CDF ∽△ABF ，△ABG ∽△EFG ， ∴,CD DF FE FG AB BF AB BG==，又∵CD ＝EF ， ∴DF FG BF BG=， ∵DF ＝3m ，FG ＝4m ，BF ＝BD +DF ＝BD +3，BG ＝BD +DF +FG ＝BD +7， ∴3437DB BD =++， ∴BD ＝9，BF ＝9+3＝12，∴1.5312 AB=，解得AB＝6．答：路灯杆AB的高度是6m．【点睛】考查了相似三角形的应用和中心投影．只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．24．河宽为17米．【解析】【分析】由题意先证明∆AB C∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴∆ABC∽∆ADE，∴AD DE AB BC=，又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴8.5 1.51 ABAB+=，∴AB＝17，即河宽为17米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键. 25．（1）画图见解析，(2,-2)；（2）画图见解析，（1,0）；【解析】【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．【详解】（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，-2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），故答案为（1）（2，-2）；（2）（1，0）【点睛】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．。

2020年湖南师大附中数学试卷答案解析

2020年湖南师大附中数学试卷答案解析一、选择题1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（0，3]D．（1，2]【解答】解：∵2x﹣1＞1，∴A＝{x|x＞1}，又x2﹣2x≤0，则B＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]，故选：D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝故选：D．3．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足，那么＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝+＝+＝﹣，故选：C．4．函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x≥0时，函数y＝＝，y′＝，有且只有一个极大值点是x＝2，故选：A．5．在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为．∴所求概率P＝．故选：C．6．的展开式中的常数项为（）A．14B．﹣14C．16D．﹣16【解答】解：∵＝（3x+1）（﹣+﹣+﹣1），故它的展开式中的常数项为3×5+1×（﹣1）＝14，故选：A．7．已知α为锐角，且，则α的值为（）A．20°B．40°C．50°D．70°【解答】解：整理得：，转换为，即，则：．当α＝40°时，两边相等．故选：B．8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|＝|PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝3b，∴4a2＝9（a2﹣c2），5a2＝9c2∴e＝＝，故选：D．9．设三棱柱ABC﹣A 1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．24πB．18πC．26πD．16π【解答】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点O'，则外接圆的半径r＝，而AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以BC＝2，所以r＝，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O 为外接球的球心，由题意得：R2＝r2+（）2＝2+＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝26π，故选：C．10．设S n是数列{a n}的前n项和，若，2＝2a n+2﹣a n+1（n∈N*），则数列的前99项和为（）A．B．C．D．【解答】解：，，两式作差得，，故2＝2a n+2﹣a n+1＝2n+1，b n＝n+1，所以，所以＝，故选：C．11．已知函数f（x）＝．若f（a）＝f（b）（a＜b），则ab的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：画出函数f（x）＝的图象，如图①所示；由f（a）＝f（b），且a＜b，设2+a＝2b＝k，则2＜k≤4；所以a＝，b＝log2k；当k＝4时，ab＝•log24＝•2＝；考虑ab﹣＝•log2k﹣＝•（log2k﹣2k﹣3），在同一坐标系中画出函数y＝log2x和y＝2x﹣3的图象，其中x∈（2，4]，如图②所示；则函数y＝log2x的图象总在y＝2x﹣3的图象上方，所以ab﹣≥0，即ab的最小值为．故选：B．12．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B．交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间．已知O为原点，且，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），渐近线OB的方程为y＝x，渐近线OA的方程为y＝﹣x，可得|BF|＝＝b，|OB|＝＝a，|AB|＝＝，可得tan∠AOB＝＝＝，解得b＝2a或b＝﹣a（舍去），可得|AF|＝+2a＝，由|OB|2＝|CB|•|BF|，可得|CB|＝＝a，则|CF|＝b+a＝，则＝．故选：B．二、填空题13．已知函数f（x）＝ax﹣log2（2x+1）+cos x（a∈R）为偶函数，则a＝．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为R，若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），则有a（﹣x）﹣log2（2﹣x+1）+cos（﹣x）＝ax﹣log2（2x+1）+cos x，变形可得：2ax＝log2（2x+1）﹣log2（2﹣x+1）＝x，必有a＝；故答案为：．14．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a2+a5＝6，则a8＝3．【解答】解：S n是等比数列{a n}的前n项和，且设公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3+S6，显然q＝1时，18a1＝9a1，即a1＝0不成立；则2•＝+，化为2q9＝q3+q6，即2q6﹣q3﹣1＝0，解得q3＝﹣，由a2+a5＝6，可得a1q+a1q4＝a1q（1+q3）＝a1q＝6，则a8＝a1q7＝a1q（q6）＝a1q＝×6＝3．故答案为：3．15．若f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，且当φ取最小值时，，使得f（x0）＝a，则a的取值范围是（﹣，2]．【解答】解：f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，所以φ＝（k∈Z），解得φ＝，当k＝0时，φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+）．由于，所以，所以﹣＜f（x0）≤2，即a的范围为（﹣，2]．故答案为：（﹣，2]．16．在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，P A＝6，PB＝8，PC＝10，则四面体P﹣ABC的体积为8．【解答】解：∵在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，P A＝6，PB＝8，PC＝10，∴PB2+BC2＝PC2，∴PB⊥BC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则AD⊥BC，AE⊥PC，DE⊥BC，且PD＝＝3，DE＝4，AE＝＝，∴AE2+DE2＝PD2，∴AE⊥DE，∵PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PBC，∴四面体P﹣ABC的体积为：V P﹣ABC＝P A﹣PBC＝＝＝＝8．故答案为：8．三、解答题17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C）．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2a+b＝6，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（I）∵a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C），∴sin A sin（π﹣2C）＝sin C sin A，∴2sin A sin C cos C＝sin C sin A，∵sin A sin C≠0，∴cos C＝，∵0＜C＜π，∴C＝，（II）由题意可得，＝，∴ab＝4，∵2a+b＝6，联立可得，或，若a＝1，b＝4，则由余弦定理可得，c2＝1＝13，此时a+b+c＝5+，若a＝2，b＝2，则此时△ABC为等边三角形，此时周长6．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB＝AC1，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BB1C1C：（Ⅱ）设∠B1BC＝60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1﹣B1C1﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵侧面BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，AB，BC1均在平面ABC1内，∴B1C⊥平面ABC1，∵AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO，∵AB＝AC1，O为BC1的中点，∴AO⊥BC1，又B1C∩BC1＝O，B1C，BC1均在平面BB1C1C内，∴AO⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）∵AB∥A1B1，∴直线A1B1与平面BB1C1C所成角等于直线AB与平面BB1C1C所成角，∵AO⊥平面BB1C1C，∴直线AB与平面BB1C1C所成角为∠ABO，即∠ABO＝45°，设菱形BB1C1C的边长为2，则在等边△BB1C中，，在直角△ABO 中，，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，，，设平面A1B1C1的一个法向量为，则，令，则，易知平面B1C1B的一个法向量为，∴，又二面角A1﹣B1C1﹣B为钝角，故其余弦值为．19．已如椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，代入x＝c，得y2＝4ax，即y＝±2，所以4＝4，则有ac＝2，＝，a2﹣b2＝c2⇒a＝2，b＝，c＝1，p＝4，所以椭圆C1的方程为+＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l设为y＝k（x+4），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），E（x1，﹣y1），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，直线EN的方程为y+y1＝（x﹣x1），即为y+k（x1+4）＝（x﹣x1），即y＝•x﹣，代入韦达定理可得y＝•（x+1），则直线EN过定点（﹣1，0）．20．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n，（n∈N*）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．∴任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量X～B（5，），∴抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P（X＝2）＝＝．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，…，n，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，…，P（ξ＝n﹣1）＝，P（ξ＝n）＝，∴ξ的分布列为：ξ012…n﹣1nP…E（ξ）＝+，①E（ξ）＝，②①﹣②，得：E（ξ）＝∴E（ξ）＝＝＝3﹣3•．21．已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a∈R），f（x）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当0＜a＜1时，x1，x2分别为f（x）的极大值点和极小值点．且f（x1）+kf（x2）＞0，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝ae x+e﹣x﹣（a+1）＝＝，∵f（x）存在极大值点x1和极小值点x2，∴a＞0且a≠1，令f′（x）＝0，解得x2＝﹣lna，或x1＝0，①0＜a＜1时，﹣lna＞0，∴当x＜0或x＞﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极大值，当x2＝﹣lna时，函数取得极小值，②a＞1时，﹣lna＜0，∴当x＞0或x＜﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣lna＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极小值，当x2＝﹣lna时，函数取得极大值，故a的范围为（0，1）∪（1，+∞），（2）由（1）可知0＜a＜1，且f（x）的极大值点为x1＝0，极小值点为x2＝﹣lna，∴f（x2）＝f（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，f（x1）＝f（0）＝a﹣1，∵f（x1）＞﹣kf（x2），令﹣k＝m，∵a﹣1＞m[1﹣a+（a+1）lna]对任意0＜a＜1恒成立，由于此时f（x1）＜f（x2）＜0，故m＞0，故（a+1）lna＜（1）（a﹣1），即lna＜（1），设g（x）＝lnx﹣（1）），g′（x）＝，令+1＝0（*），△＝，①m≥1时，△≤0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，故g（a）＜g（1）＝0，即lna＜（1），符合题意，②0＜m＜1时，△＞0，设（*）的两根为x3，x4，且x3＜x4，则x3+x4＞0，x3•x4＝1，故0＜x3＜1＜x4，则当x∈（x3，x4）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）＝0，即lna＞（1），矛盾，不合题意，综上，m≥1，即﹣k≥1，∴k≤﹣1．22．在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设直线l1与l2的交点为P．当k变化时点P的轨迹为曲线C1．（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为①．直线l2的参数方程为（m为参数）．转换为直角坐标方程为②．所以①×②得到（y≠0）．（Ⅱ）直线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x+y﹣6＝0．设曲线C1的上的点Q（）到直线x+y﹣8＝0的距离d＝＝，当时，．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣5|的最小值为m，正数a，b满足a+b＝m．求证：．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣1|，∴由f（x）≥3﹣2|x|，得|x﹣1|+2|x|≥3．∵|x﹣1|+2|x|＝，∴由|x﹣1|+2|x|≥3，有或或，∴x≥或x≤﹣，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣}．（Ⅱ）证明：g（x）＝f（x）+|x﹣5|＝|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）﹣（x﹣5）|＝4，∴g（x）min＝m＝4，∴a+b＝m＝4，∴＝≥2a+2b﹣4＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴．。

湖南师大附中高新实验中学2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷含答案解析

A．
B．
C．
D．
【解答】解： A 、不是中心对称图形；
B 、不是中心对称图形；
C 、是中心对称图形；
D 、不是中心对称图形；
故选： C ． 2．（3 分）（2019 秋•岳麓区校级月考）如图， AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点 ( A 、 B
除外）， BOD 44 ，则 C 的度数是 ( )
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① BF BC ；② AED AEF ；③ BE DC DE ；④ BE 2 DC 2 DE 2 其中正确的个数是 ( )
A．1
B．2
C．3
二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
13．点 P(1, 2) 在平面直角坐标系内关于原点对称的点坐标为
2019-2020 学年湖南师大附中高新实验中学九年级（上）
第一次月考数学试卷
一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）
1．以下这些图形都是市民熟悉的，其中是中心对称图形的是 (
)
A． B．
C．
D． 2．如图， AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点 ( A 、 B 除外）， BOD 44 ，则 C 的度数是 ()
d (l, O)
．（直接写出答案）
26．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx 2(a 0) 与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，抛物线经过点 D(2, 3) 和点
E(3, 2) ，点 P 是第一象限抛物线上的一个动点．
．
故选： D ．
7．（3 分）（2019 秋•岳麓区校级月考）下列各点在函数 y 2x 1上的是 ( )

【2020-2021自招】湖南师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】

第一套：满分150分2020-2021年湖南师范大学附属中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。

2020年湖南师大附中数学试卷

2020年湖南师大附中数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（0，3]D．（1，2]2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足，那么＝（）A．B．C．D．4．函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．5．在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．6．的展开式中的常数项为（）A．14B．﹣14C．16D．﹣167．已知α为锐角，且，则α的值为（）A．20°B．40°C．50°D．70°8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．9．设三棱柱ABC﹣A 1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．24πB．18πC．26πD．16π10．设S n是数列{a n}的前n项和，若，2＝2a n+2﹣a n+1（n∈N*），则数列的前99项和为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝．若f（a）＝f（b）（a＜b），则ab的最小值为（）A．B．C．D．12．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B．交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间．已知O为原点，且，则＝（）A．B．C．D．二、填空题13．已知函数f（x）＝ax﹣log2（2x+1）+cos x（a∈R）为偶函数，则a＝．14．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a2+a5＝6，则a8＝3．15．若f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，且当φ取最小值时，，使得f（x0）＝a，则a的取值范围是（﹣，2]．16．在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，P A＝6，PB＝8，PC＝10，则四面体P﹣ABC的体积为8．三、解答题17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C）．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2a+b＝6，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB＝AC1，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BB1C1C：（Ⅱ）设∠B1BC＝60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1﹣B1C1﹣B的余弦值．19．已如椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．20．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n，（n∈N*）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．21．已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a∈R），f（x）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当0＜a＜1时，x1，x2分别为f（x）的极大值点和极小值点．且f（x1）+kf（x2）＞0，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设直线l1与l2的交点为P．当k变化时点P的轨迹为曲线C1．（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣5|的最小值为m，正数a，b满足a+b＝m．求证：．。

2019-2020学年湖南师大附中高新实验中学九年级(上)第一次月考数学试卷

2019-2020学年湖南师大附中高新实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．以下这些图形都是市民熟悉的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠BOD＝44°，则∠C的度数是（）A．44°B．22°C．46°D．36°3．直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（）A．3B．4C．5D．64．据测算，我国因为土地沙漠化造成的经济损失平均每天为150000000元，则数据150000000用科学记数法表示为（）A．1.5×108B．15×107元C．0.15×1010元D．1.5×109元5．一组数据1，2，3，5，3，4，10的众数是（）A．2B．3C．5D．66．不等式x﹣2≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．下列各点在函数y＝2x﹣1上的是（）A．（1，0）B．（1，1）C．（0，1）D．（2，1）8．下列计算正确的是（）A．a2•a2＝2a4B．（﹣a2）3＝﹣a6C．3a3﹣6a3＝3a3D．（a﹣2）3＝a﹣49．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则OD的长为（）A．8B．10C．4D．310．已知⊙O的直径是10，P点到圆心O的距离为8，则P点与⊙O的位置关系是（）A．在圆外B．在圆心C．在圆上D．无法确定11．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182C．50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+2x）2＝18212．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边上BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①BF⊥BC；②△AED≌△AEF；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．点P（﹣1，2）在平面直角坐标系内关于原点对称的点坐标为．14．若（x﹣2）2＝4，则x＝．15．抛物线y＝﹣2x2﹣4x+3与y轴的交点坐标是．16．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝4cm时，直线OA与⊙M的位置关系是．17．如图，平行四边形ABCD的周长为18cm，AE平分∠BAD，若CE＝1cm，则AB的长度是cm．18．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．三、解答题（本题共8个小题，分值分别为6，6，8，8，9，9，10，10，共66分）19．计算：（2019﹣π）0+（）﹣2﹣|﹣3|+（﹣1）320．先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）2，其中x＝．21．为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．（1）本次调查共随机抽取了名中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有人；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为°；（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．22．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC．（1）若∠P＝20°，求∠B的度数；（2）若AP＝3且∠COA＝60°，求⊙O的直径．23．某工厂准备购买A、B两种零件，已知A种零件的单价比B种零件的单价多20元，而用800元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件的数量相等（1）求A、B两种零件的单价；（2）根据需要，工厂准备购买A、B两种零件共200件，工厂购买两种零件的总费用不超过14700元，求工厂最多购买A种零件多少件？24．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上动点（不与端点重合），过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交弧BC于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：△DCP是等腰三角形；（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．①当OE＝EB时，求DC的长；②若以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形，求的长．25．对于平面直角坐标系中的任意两点P（x1，y1），q（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫P，Q两点间的“平面距离”．记作d（P，Q）．（1）已知O为坐标原点，动点M（x，y）是坐标轴上的点，满足d（O，M）＝1，请写出点M的坐标．答：．（2）设P0（x0，y0）是平面上一点，Q0（x，y）是直线l：y＝kx+b上的动点，我们定义d（P0，Q0）的最小值叫做P0到直线l的“平面距离”．试求点M（2，1）到直线y＝x+2的“平面距离”．（3）在上面的定义基础上，我们可以定义平面上一条直线l与⊙C的“直角距离”：在直线l与⊙C上各自任取一点，此两点之间的“平面距离”的最小值称为直线l与⊙C的“平面距离”，记作d（l，⊙C）．试求直线y＝x+2与圆心在直角坐标系原点、半径是1的⊙O的直角距离d（l，⊙O）＝．（直接写出答案）26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．2019-2020学年湖南师大附中高新实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、是中心对称图形；D、不是中心对称图形；故选：C．2．【解答】解，∵∠BOD＝44°，∴∠C＝∠BOD＝22°，故选：B．3．【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别是6和8，∴斜边＝＝10，∴斜边上的中线长＝×10＝5．故选：C．4．【解答】解：数据150000000用科学记数法表示为1.5×108．故选：A．5．【解答】解：在这组数据中，3出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为：3．故选：B．6．【解答】解：解不等式x﹣2≥0，得x≥2，则解集用数轴表示为：．故选：D．7．【解答】解：当x＝1时，y＝2x﹣1＝1，∴点（1，0）不在函数y＝2x﹣1的图象上；点（1，1）在函数y＝2x﹣1的图象上；当x＝0时，y＝2x﹣1＝﹣1，∴点（0，1）不在函数y＝2x﹣1的图象上；当x＝2时，y＝2x﹣1＝3，∴点（2，1）不在函数y＝2x﹣1的图象上；故选：B．8．【解答】解：A、a2•a2＝a4，此选项错误；B、（﹣a2）3＝﹣a6，此选项正确；C、3a3﹣6a3＝﹣3a3，此选项错误；D、（a﹣2）3＝（a2﹣4a+4）（a﹣2），此选项错误；故选：B．9．【解答】解：连接OB，如右图所示，∵AO⊥BC，垂足为D，⊙O的半径为5，BC＝8，∴BD＝4，OB＝5，∠ODB＝90°，∴OD＝＝3，故选：D．10．【解答】解：∵点P到圆心的距离d＝8，半径r＝5，d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是点P⊙O外，故选：A．11．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．12．【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，∴BF＝DC，∠FBA＝∠C，∠BAF＝∠CAD，又∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC+∠FBA＝90°，即∠FBC＝90°，∴BF⊥BC，故①正确；∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAE+∠CAD＝∠DAE＝45°，∴∠BAE+∠BAF＝∠DAE＝45°，即∠EAF＝∠EAD，在△AED和△AEF中，∵，∴△AED≌△AEF，故②正确；∵BF＝DC，∴BE+DC＝BE+BF，∵△AED≌△AEF，∴EF＝DE，在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，故③错误，∵∠FBC＝90°，∴BE2+BF2＝EF2，∵BF＝DC、EF＝DE，∴BE2+DC2＝DE2，正确；故选：C．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．【解答】解：点P（﹣1，2）在平面直角坐标系内关于原点对称的点坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．14．【解答】解：∵（x﹣2）2＝4，∴x﹣2＝±＝±2，解得x＝4或0．故答案为：4或0．15．【解答】解：x＝0时，y＝3，所以，抛物线与y轴交点坐标是（0，3）．故答案为：（0，3）．16．【解答】解：作MD⊥OA于D，在Rt△MOD中，∠AOB＝30°，∴DM＝OM＝2，则点M到OA的距离等于⊙M的半径，∴直线OA与⊙M相切，故答案为：相切．17．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，设AB＝CD＝xcm，则AD＝BC＝（x+1）cm，∵▱ABCD的周长为18cm，∴x+x+1＝9，解得：x＝4，即AB＝4cm．故答案为：4．18．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．三、解答题（本题共8个小题，分值分别为6，6，8，8，9，9，10，10，共66分）19．【解答】解：原式＝1+4﹣3﹣1＝1．20．【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝x2﹣4﹣x2+4x﹣4＝4x﹣8，当x＝时，原式＝4×﹣8＝﹣7．21．【解答】解：（1）本次调查共随机抽取了：50÷25%＝200（名）中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有：200×20%＝40（人），故答案为：200，40；（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为：360°×（1﹣﹣20%﹣25%）＝144°，故答案为：144；（3）20000×（1﹣﹣20%）＝13000（人），答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．22．【解答】解：（1）∵P A为圆O的切线，∴BA⊥AP，∴∠BAP＝90°，在Rt△AOP中，∠P＝20°，∴∠AOP＝70°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∵∠AOP为△BOC的外角，∴∠B＝∠AOP＝35°；（2）∵∠OAP＝90°，AP＝3，∠COA＝60°，∴OA＝AP＝，∴⊙O的直径为2．23．【解答】解：（1）设A种零件的单价是x元，则B种零件的单价是（x﹣20）元，依题意得：＝．解得x＝80．经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．则x﹣20＝80﹣20＝60（元）答：A种零件的单价是80元，则B种零件的单价是60元；（2）设购买A种零件a件，则购买B种零件（200﹣a）件，依题意得：80a+60（200﹣a）≤14700．解得a≤135答：工厂最多购买A种零件135件．24．【解答】（1）证明：连接OC，如图1，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，即∠OCB+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵PE⊥AB，∴∠B+∠BPE＝90°，∵∠BPE＝∠DPC，∴∠OCB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠BCD，∴DC＝DP，∴△DCP是等腰三角形；（2）解：①连接AC，如图2，∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝6，BC＝AC＝6，Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，∴PE＝BE＝，PB＝2 PE＝2，∴CP＝BC﹣PB＝6 ﹣2 ＝4，∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴DC＝CP＝4 ；②连接OF，如图3所示：，∵四边形OCFB是菱形，∴OB＝OC＝CF＝BF，OF⊥BC，∠BOF＝∠COF，∵∠CBA＝30°，∴∠BOF＝∠COF＝60°，∴的长＝＝2π．25．【解答】解：（1）根据两点间的“平面距离”的定义，满足d（O，M）＝1的点M的坐标为（1，0），（﹣1，0），（0，1），（0，﹣1），故答案为（1，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（0，﹣1）．（2）∵d（M，Q）＝|x﹣2|+|y﹣1|＝|x﹣2|+|x+2﹣1|＝|x﹣2|+|x+1|，又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3．∴点M（2，1）到直线y＝x+2的平面距离为3．（3）作OC⊥直线y＝x+2于C，交⊙O于E，此时点C与点E的平面距离的值最小，此时C点坐标为（﹣1，1），E点坐标为（﹣，），则d（l，⊙O）＝|﹣1+|+|1﹣|＝1﹣+1﹣＝2﹣．故答案为2﹣．26．【解答】解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，将点FB代入一次函数表达式，同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+1），S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（﹣x2+x+2+x﹣1）＝7，解得：x＝2或，故点P（2，3）或（，）；（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接P A″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，联立①③并解得：x＝，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．。

2023-2024学年湖南师大附中高新学校九年级(上)第三次月考数学试卷及参考答案

2023-2024学年湖南师大附中高新学校九年级（上）第三次月考数学试卷一.选择题（每小题3分，10小题，共30分）1．（3分）如图交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．2．（3分）下列函数中，y不是x的反比例函数的是（）A．y＝﹣B．C．D．3xy＝23．（3分）若＝，则ab＝（）A．6B．C．1D．4．（3分）下列说法正确的是（）A．两个矩形一定相似B．两个菱形一定相似C．两个正方形一定相似D．两个直角三角形一定相似5．（3分）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：投篮次数（n）50100150200250300500投中次数（m）286078104124153252估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（）（精确到0.1）A．0.4B．0.5C．0.55D．0.66．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（）A．66°B．33°C．24°D．30°7．（3分）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（）A．3B．4C．5D．68．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（）A．B．3C．6D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（）A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）10．（3分）如图，动点P在函数（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值是（）A．2B．1C．D．二.填空题（每小题3分，6小题，共18分）11．（3分）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为I＝，当R＝16Ω时，I的值为A．12．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2+6顶点坐标是．13．（3分）一个不透明的布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝．14．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+a＝0配方后为（x﹣2）2＝1，则a＝．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，（AD＞AB）在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F，若四边形EFDC与原矩形相似，则AD的长度为．16．（3分）以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r＝．三．解答题（9题，共72分）17．（6分）计算：3﹣2+﹣（π﹣1）0+|﹣1+|．18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝﹣2x+6的图象与反比例函数的图象相交于A（a，4），B（b，2）两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．19．（6分）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．20．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．21．（8分）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．22．（9分）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：时间第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）23．（9分）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．24．（10分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．25．（10分）若关于x的函数y，当t﹣1≤x≤t+1时，函数y的最大值为P，最小值为Q，令函数m＝P﹣Q，我们不妨把函数m称之为函数y的“至善函数”．（1）若函数y＝2023x，求函数y的“至善函数”m的值；（2）若函数，求函数y的“至善函数”m的解析式；（3）对于函数y＝﹣x2+tx+a，若无论实数t为何值，函数y的最大值恒大于函数y的“至善函数”m的最小值，求出a的范围．2023-2024学年湖南师大附中高新学校九年级（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，10小题，共30分）1．（3分）如图交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：选项B、C、D中的图形都不是中心对称图形，选项A中的图形是中心对称图形，故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，解答本题的关键要明确：一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2．（3分）下列函数中，y不是x的反比例函数的是（）A．y＝﹣B．C．D．3xy＝2【分析】根据反比例函数解析式判断求解．【解答】解：根据反比例函数解析式，知A．，符合定义，本选项不符合题意；B．，符合定义，本选项不符合题意；C．，不符合定义，本选项符合题意；D．3xy＝2，得，符合定义，本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键．3．（3分）若＝，则ab＝（）A．6B．C．1D．【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故选：A．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．4．（3分）下列说法正确的是（）A．两个矩形一定相似B．两个菱形一定相似C．两个正方形一定相似D．两个直角三角形一定相似【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两个矩形满足对应角相等但不满足对应边的比相等，故不相似，不符合题意；B、两个菱形满足对应边的比相等但不满足对应角相等，故不相似，不符合题意；C、两个正方形一定相似，正确，符合题意；D、两个直角三角形不一定相似，故原命题错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解相似图形的定义，难度不大．5．（3分）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：投篮次数（n）50100150200250300500投中次数（m）286078104124153252估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（）（精确到0.1）A．0.4B．0.5C．0.55D．0.6【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．【解答】解：根据题意得：28÷50＝0.56，60÷100＝0.6，78÷150＝0.52，104÷200＝0.52，124÷250＝0.496，153÷300＝0.51，252÷500＝0.504，由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.5，故选：B．【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（）A．66°B．33°C．24°D．30°【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【解答】解：∵∠A＝∠BOC，∠BOC＝66°，∴∠A＝33°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．7．（3分）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求出答案．【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，∴R＝3．故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．8．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（）A．B．3C．6D．【分析】连接OB、OC，根据⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径OB＝OC＝3，而六边形ABCDEF 是正六边形，即知∠BOC＝＝60°，△BOC是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．【解答】解：连接OB、OC，如图：∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径OB＝OC＝＝3，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六边形的边长为3，故选：B．【点评】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于60°，从而得到△BOC是等边三角形．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（）A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）【分析】作CM⊥x轴于M，再利用旋转的性质求出BC＝OB＝6，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BM，利用勾股定理列式求出CM，然后求出点C的横坐标，再写出点C的坐标即可．【解答】解：作CM⊥x轴于M，∵点B的坐标为（6，0），∴BC＝OB＝6，∵∠OBC＝60°，∴BM＝，CM＝＝3，∴OM＝OB﹣BM＝6﹣3＝3，∴C（3，3）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形，求出OM、CM的长度是解题的关键．10．（3分）如图，动点P在函数（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值是（）A．2B．1C．D．【分析】由于P的坐标为，且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a 表示，那么BN、NF的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF、BE，最后即可求出AF⋅BE．【解答】解：作FG⊥x轴，∵P的坐标为，且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为，M点的坐标为（a，0），∴，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝1，则A（1，0），B（0，1），∴OB＝OA＝1，则△OAB是等腰直角三角形，∴∠NBF＝45°，在Rt△BNF中，∠NBF＝45°，∴，∴F点的坐标为，同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），∴，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，∴，即AF•BE＝1．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的性质、勾股定理，解题的关键是通过反比例函数上的点P坐标，来确定E、F两点的坐标，进而通过勾股定理求出线段乘积的值．二.填空题（每小题3分，6小题，共18分）11．（3分）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为I＝，当R＝16Ω时，I的值为3A．【分析】直接将R＝16代入I＝中可得I的值．【解答】解：当R＝16Ω时，I＝＝3（A）．故答案为：3．【点评】此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键．12．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2+6顶点坐标是（﹣2，6）．．【分析】根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2+6的顶点坐标是（﹣2，6），故答案为：（﹣2，6）．【点评】本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．13．（3分）一个不透明的布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝9．【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．【解答】解：根据题意，，解得n＝9，经检验n＝9是方程的解．∴n＝9．故答案为：9．【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+a＝0配方后为（x﹣2）2＝1，则a＝3．【分析】利用配方法求解可得a的值．【解答】解：x2﹣4x+a＝0，x2﹣4x＝﹣a，x2﹣4x+4＝﹣a+4，（x﹣2）2＝4﹣a，∴4﹣a＝1，解得a＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，（AD＞AB）在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F，若四边形EFDC与原矩形相似，则AD的长度为．【分析】可设AD＝x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【解答】解：∵AB＝1，设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，即：，解得x1＝，x2＝（不合题意舍去），经检验x1＝是原方程的解．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．16．（3分）以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r＝2或．【分析】由以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，可得⊙P与x轴相切或⊙P过原点，然后分别分析求解即可求得答案．【解答】解：∵以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，∴⊙P与x轴相切（如图1）或⊙P过原点（如图2），当⊙P与x轴相切时，r＝2；当⊙P过原点时，r＝OP＝＝．∴r＝2或．故答案为：2或．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．三．解答题（9题，共72分）17．（6分）计算：3﹣2+﹣（π﹣1）0+|﹣1+|．【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意：3﹣2＝，（π﹣1）0＝1，|﹣1+|＝．【解答】解：原式＝+2﹣1+＝2．【点评】本题需注意的知识点是：a﹣p＝，任何不等于0的数的0次幂是1，负数的绝对值是正数．18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝﹣2x+6的图象与反比例函数的图象相交于A（a，4），B（b，2）两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．【分析】（1）先根据两函数图象的交点情况确定a、b的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答；（2）直接根据函数图象即可解答．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣2x+6的图象与反比例函数的图象相交于A（a，4），B（b，2）两点．∴4＝﹣2a+6，2＝﹣2b+6，∴a＝1，b＝2，∴A点坐标为（1，4）两点B点坐标为（2，2）两点．∴k＝1×4＝4，∴反比例函数．（2）∵一次函数y1＝﹣2x+6的图象与反比例函数的图象相交于A（1，4），B（2，2）两点．∴当y1＞y2时x的取值范围1＜x＜2．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式、运用图象求不等式的解集的等知识点，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键．19．（6分）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝20人，b＝18人，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为36度；（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．【分析】（1）根据统计图中的信息列式计算即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到1个男生和1个女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）a＝7÷14%×40%＝20（人），b＝7÷14%﹣5﹣7﹣20＝18（人），在扇形统计图中C 种支付方式所对应的圆心角为360°×＝36°，故答案为：20人，18人，36；（2）设男生为A，女生为B，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，∴恰好都是女性的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．20．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．【分析】（1）根据平移的性质可得△A1B1C1；（2）根据旋转的性质可得△A2B2C2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．21．（8分）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出＝，再把AB＝3，BC＝6，DE＝4代入，即可求出EF；（2）根据平行线分线段成比例定理得出＝，再把DE：EF＝2：3，AC＝25代入，即可求出AB．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝3，BC＝6，DE＝4，∴＝，解得：EF＝8；（2））∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵DE：EF＝2：3，AC＝25，∴＝，解得：AB＝10．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．22．（9分）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：时间第一天第二天第三天第四天x/元15202530y/袋25201510若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）利用“每袋利润×日销量＝总利润”列出函数解析式，进而求出二次函数最值即可．【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y ＝kx+b，得，解得，故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40；（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400，配方，得w＝﹣（x﹣25）2+225，∵﹣1＜0∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225，故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．【点评】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．23．（9分）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．【分析】（1）由垂径定理得到＝，因此∠BOC＝∠AOC＝60°，得到∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，由圆周角定理即可求出∠CEB的度数；（2）由垂径定理，圆周角定理求出∠CEB的度数，得到∠C的度数，由三角形外角的性质求出∠EOG 的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长．【解答】解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∵∠CEB＝∠BOC，∴∠CEB＝30°；（2）如图，连接OE，∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠CEB＝∠AOC＝30°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠B＝75°，∴∠DFC＝∠EFB＝75°，∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC＝15°，∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°，∵GE切圆于E，∴∠OEG＝90°，∴tan∠EOG＝＝，∵OE＝OA＝3，∴EG＝．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质求出∠C＝15°，由三角形外的性质求出∠EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长．24．（10分）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【分析】（1）由点A（，0）与点B（0，﹣），可求得线段AB的长，然后由∠AOB＝90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；（2）由圆周角定理可得：∠COD＝∠ABC，又由∠COD＝∠CBO，即可得BD平分∠ABO；（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC 是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．【解答】解：（1）∵⊙M经过O、A、B三点，且∠AOB＝90°，∴AB为直径∵点A为（，0），点B为（0，﹣），∴OA＝，OB＝，∴AB＝＝2，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠CBA，∴∠CBO＝∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE 是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝∠ABO＝30°，∴OC＝OB•tan30°＝×＝，∴AC＝OA﹣OC＝，∴∠ACE＝∠ABC+∠OAB＝60°，∴∠EAC＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝，∴AF＝AE＝，EF＝AE＝，∴OF＝OA﹣AF＝，∴点E的坐标为：（，）．【点评】此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．25．（10分）若关于x的函数y，当t﹣1≤x≤t+1时，函数y的最大值为P，最小值为Q，令函数m＝P﹣Q，我们不妨把函数m称之为函数y的“至善函数”．（1）若函数y＝2023x，求函数y的“至善函数”m的值；（2）若函数，求函数y的“至善函数”m的解析式；（3）对于函数y＝﹣x2+tx+a，若无论实数t为何值，函数y的最大值恒大于函数y的“至善函数”m的最小值，求出a的范围．【分析】（1）直接根据“至善函数”的定义解答即可；（2）分k＞0、k＜0两种情况分别运用根据“至善函数”的定义解答即可；（3）先根据二次函数的性质求得对称轴，然后分、、三种情况，分别结合题意以及二次函数的最值求解即可．【解答】解：（1）∵在y＝2023x中，2023＞0，∴y随x的增大而增大，∵，∴函数y的最大值为P＝2023（t+1），最小值为Q＝2023（t﹣1），∴函数y的“至善函数”m的值为m＝2023（t+1）﹣2023（t﹣1）＝4046．（2）①当k＞0时，∴y随x的增大而减小，∵，∴函数y的最大值为，最小值为，∴函数y的“至善函数”m的值为；②当k＜0时，∴y随x的增大而增大，∵，∴函数y的最大值为，最小值为，∴函数y的“至善函数”m的值为；综上，函数y的“至善函数”m的解析式为或．（3）∵，∴函数的对称轴为直线，y的最大值为，①当时，即t≥2时，此时，函数y的最大值为，最小值为：，∴y的“至善函数”m的值为：m＝（a﹣1+t）﹣（a﹣1﹣t）＝2t，∵t≥2，∴当且仅当t＝2时，m的最小值为4，∵无论实数t为何值，函数y的最大值恒大于函数y的“至善函数”m的最小值，∴a﹣1﹣t＞4，即a＞4+1+t＝5+t＞7；②当时，即t≤﹣2，此时，函数y的最大值为，最小值为：，∴y的“至善函数”m的值为：m＝（a﹣1﹣t）﹣（a﹣1+t）＝﹣2t，∵t≤﹣2，∴当且仅当t＝﹣2时，m的最小值为4，∵无论实数t为何值，函数y的最大值恒大于函数y的“至善函数”m的最小值，∴a﹣1+t＞4，即a＞4+1﹣t＝5﹣t＞7；③当，即﹣2≤t≤2时，函数y的最大值为，当时，即0≤t≤2时，此时，函数y的最小值，∴y的“至善函数”m的值为：，∴当且仅当t＝0时，m的最小值为1，∴，即，∵0≤t≤2∴0＜a＜1；当时，即﹣2≤t≤0时，此时，函数y的最小值，∴y的“至善函数”m的值为：，∴当且仅当t＝0时，m的最小值为1，∴，即，∵0≤t≤2∴0＜a＜1．综上，a的取值范围为0＜a＜1或a＞7．【点评】本题主要考查了新定义函数、二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，理解“至善函数”的概念是解题的关键．。

2020届湖南师范大学附属中学高三月考试卷(三)数学理科试题带答案

湖南师大附中2020届高三月考试卷（三）数学（理科）一、选择题：1.已知集合11,32A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}|10B x ax =+=，且B A ⊆，则a 的可取值组成的集合为（） A. {}3,2- B. {}3,0,2-C. {}3,2-D. {}3,0,2-【答案】D 【解析】因为B A ⊆，则可得：11,,32B φ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当13B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭时，11033a a -+=⇒=,当12B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭时11022a a +=⇒=- 当B φ=时，0a =, 综合可得：{}3,0,2-;选D点晴：本题考查的是根据集合及集合间的关系求参数a 的取值问题. 因为B A ⊆，则可得：11,,32B φ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,分13B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，12B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭和B φ=三种情况讨论，分别得a 的取值，再取并集即可，此类题比较基础，但容易丢掉B φ=这一种情况，计算的时候要小心，不能马虎大意. 2.已知复数11iz =+，命题p ：复数z 的虚部为12，命题q ：复数z 的模为1.下列命题为真命题的是（）A. p q ∨B. ()p q ∧⌝C. p q ∧D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】D 【解析】【分析】化简得到1122z i =-，故z 的虚部为12-，模为2，判断得到答案.【详解】11111222i z i i -===-+，所以z 的虚部为12-2=，所以命题p ，q 均为假命题. 故选：D .【点睛】本题考查了复数的化简，命题的真假判断，意在考查学生的综合应用能力.3.若向量a v 与b v 满足()a b a +⊥v v v，且1a =v ，2b =v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为（）A.B. 12-C. -1D.【答案】B 【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得1a b ⋅=-vv ，再由向量a v在b v方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=v v v v v v ，∴1a b ⋅=-v v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为12a b b⋅=-vv v ,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟，按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为310-米时，乌龟爬行的总距离为（）A. 510190-米B. 61019000-米C. 6109900-米D. 5109900-米【答案】B 【解析】【分析】直接利用等比数列求和公式计算得到答案.【详解】根据题意：乌龟爬行的总距离为61011001010.10.010.0019000-+++++=（米）.故选：B .【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】B 【解析】【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |；（﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ．故选B ．【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．6.设p ：()0,x ∀∈+∞，210x ax -+≥，则使p 为真命题的一个充分非必要条件是（） A. 1a ≤ B. 2a ≤C. 3a ≤D. 2a >【答案】A 【解析】【分析】先计算p 为真命题的充要条件是2a ≤，在根据范围大小关系得到答案. 【详解】若p 为真命题，则当0x >时，不等式210x ax -+≥恒成立，即1a x x≤+恒成立，所以min 1a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭.因为当0x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，所以命题p 为真，则1a ≤是使p 为真命题的一个充分非必要条件.故选：A . 【点睛】本题考查了充分不必要条件，得到p 为真命题的充要条件是解题的关键. 7.已知,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若,l ααβ⊥⊥，则l β∥；②若,l ααβ∥∥，则l β∥；③若,l ααβ⊥∥，则l β⊥；④若,l ααβ⊥∥，则l β⊥.其中说法正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】分析： ①和②可举反例，l β⊂，即可判断；③运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断；④由线面平行的性质和面面垂直的性质，可举反例//l β或l 与β相交且l 与β不垂直.详解：①若,l ααβ⊥⊥，则//l β，或l β⊂； ②若,l ααβP P ，则l βP ，则//l β，或l β⊂；③若,//l ααβ⊥，则l β⊥,正确； ④若,l ααβ⊥P ，则l β⊥，或//l β或l 与β相交且l 与β不垂直.故选C.点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大.8.若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（） A. 20 B. 90C. 15D. 45【答案】D 【解析】【分析】先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，对于剩余的4人，每个人都不能拿自己写的卡片，计算得到答案.【详解】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有15C 种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有11153345C C C ⋅⋅=种.故选：D .【点睛】本题考查了组合的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力.9.设双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的点，直线BO 交双曲线于C 点，若直线AC 平分线段BF 于M ，则双曲线的离心率是（） A.12B. 2C.13D. 3【答案】D 【解析】【分析】BF 中点为M ，连接OM ，CF ，则OM 为BCF ∆的中位线，根据比例关系计算得到答案.【详解】由题知BF 中点为M ，连接OM ，CF ，则OM 为BCF ∆的中位线，于是12a OM c a CF ==-，可得3c a =，∴3e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.已知函数()222,17,1x ax x f x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是（） A. 3a < B. 23a -<< C. 22a -≤≤ D. 2a <【答案】A 【解析】【分析】讨论2a <和2a ≥两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当12a<，即2a <时，函数()2f x x ax =-+，在1x ≤上存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使()()12f x f x =，所以2a <时满足题意；当2a ≥时，需满足217a a -+>-，解得23a -<<，即23a ≤<；综上：实数a 的取值范围为3a <，故选：A .【点睛】本题考查了函数与方程问题，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握. 11.将函数()()[]()sin 20,0,2f x x ωϕωϕπ=+>∈图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（）A. 713,1212⎛⎤⎥⎝⎦B. 713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1117,1212⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】【分析】计算()()sin g x x ωϕ=+，23ϕπ=，根据题意得到5272232ππππω≤+<，计算得到答案.【详解】由已知得函数()()sin g x x ωϕ=+，由()g x 图象过点3⎛ ⎝⎭以及点在图象上的位置，知3sin ϕ=，23ϕπ=，∵02x π≤≤，∴2222333x πππωπω≤+≤+，由()g x 在[]0,2π上恰有一个最大值和一个最小值，∴5272232ππππω≤+<， ∴11171212ω≤<. 故选：C .【点睛】本题考查了三角函数伸缩变换，三角函数图像与性质，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1PA AB PB AC ====，2CP =D 是PB 的中点，且72CD =，则球O 的表面积为（） A.73π B.76π C.721π D.721π【答案】A 【解析】【分析】证明AC ⊥平面PAB ，以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，计算半径得到答案.【详解】由1PA AB PB AC ====，CP =PA AC ⊥.由点D 是PB 的中点及PA AB PB ==，易求得2AD =，又2CD =，所以AD AC ⊥，所以AC ⊥平面PAB .以PAB ∆为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，球心O 到底面PAB ∆的距离1122d AC ==，由正弦定理得PAB ∆的外接圆半径2sin 60PA r ==︒，所以球O 的半径为R ==O 的表面积为2743S R ππ==. 故选：A .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，将三棱锥补成三棱柱是解题的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1cos()33πα-=，则sin(2)6πα-的值是．【答案】79- 【解析】试题分析：217sin(2)sin[2()]cos 2()2cos ()121.6323399πππππαααα-=-+=-=--=⨯-=- 考点：二倍角公式14.湖南师大附中第33届体育节高二年级各班之间进行篮球比赛，某班计划从甲、乙两人中挑选服务人员，已知甲可能在16:00—17:00到达篮球场地，乙可能在16:30—17:00到达，若规定谁先到达就安排谁参加服务工作，则甲参加服务工作的概率是______. 【答案】34【解析】【分析】设甲和乙到校的时刻分别为16时x 分和16时y 分，如图所示，根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】设甲和乙到校的时刻分别为16时x 分和16时y 分，如图所示：(),x y 可以看成平面直角坐标系中的点，试验的全部结果所构成的区域为(){},|060,3060x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个长方形区域，面积为30601800⨯=，而甲比乙先到篮球场应满足y x >，则符合题意的图形的面积为11800303013502-⨯⨯=，所以甲参加服务工作的概率是1350318004=. 故答案为：34.【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的应用能力和理解能力.15.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M ，N ，过弦MN的中点P 作抛物线准线的垂线PQ ，垂足为Q ，则PQMN的最大值为______. 2 【解析】【分析】过点M ，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为'M ，'N ，根据均值不等式得到2MN PQ ≤到答案.【详解】过点M ，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为'M ，'N ，则()221'''22'MM N PQ MM NN N +=+≤222222MF NFMN MN +===22PQMN ≤，当且仅当MF NF =时等号成立，所以PQ MN 的最大值为22. 故答案为：22.【点睛】本题考查了抛物线中的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16.对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n-+++=L 为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.【答案】916,47⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】计算14a =，得到22n a n =+，()22n a kn k n -=-+，根据题意770a k -≥，880a k -≤，计算得到答案.【详解】由题意，当1n =时，21124a A ===，由11222n n n nA a a a -=+++L ，可得()()121212221n n n a a n A a n ---++⋅⋅⋅+-=≥，两式相减可得()1112n n n n nA n A a ----=，整理得()()1111121222n nn n n n n nA n A n n a +-----⋅--⋅==()42122n n n =--=+，由于12124a =⨯+=，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，则()22n a kn k n -=-+，由于7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则2k >且770a k -≥，880a k -≤，解得91647k ≤≤. 故答案为：916,47⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了数列的新定义，求数列的通项公式，求和公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.三、解答题：17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-. （1）求角B 的值；（2）若BC 边上的高AH 满足12AH BC =，求22b c c b+的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）⎝ 【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理计算得到答案.（2）根据题意得到22sin a bc A =，化简得到224b c A c b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据 114412A πππ<+<，得到答案. 【详解】（1）由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-，得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.由正弦定理，得222b c a ac -=-，即222a c b ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因0B π<<，所以3B π=.（2）因为BC 边上的高AH 满足12AH BC =，所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=，即22sin a bc A =，可得2222cos 2222b c b c a bc A c b bc bc++-+==2sin 2cos 2bc A bc A bc += sin cos 2sin 4A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知3B π=，∴203A π<<，∴114412A πππ<+<， ∴312sin ,242A π⎛⎤-⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝，所以22b cc b +的取值范围为31,22⎛⎤- ⎥ ⎝. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，利用三角函数求范围，意在考查学生的综合应用能力. 18.如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，1//,,,2ED FB DE BF AB FB FB ==⊥平面ABCD .(1)设BD 与AC 的交点为O ，求证:OE ⊥平面ACF ； (2)求二面角E AF C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；6．【解析】【分析】（1）根据题意，推导出ED ⊥面ABCD ，DE AC ⊥，OE OF ⊥，结合线面垂直的判定定理证得OE ⊥面ACF ；（2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果. 【详解】(1) 证明：由题意可知：ED ⊥面ABCD ，从而Rt EDA Rt EDC ∆≅∆，EA EC ∴=，又O AC 中点，DE AC ∴⊥，在EOF ∆中，3,6,3OE OF EF ===，222OE OF EF ∴+=，OE OF ∴⊥又AC OF O ⋂=，OE ∴⊥面ACF ．（2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0E ，0，1)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2F ，2，2)，(1O ，1，0)由（1）可知(1EO =u u u v，1，1)-是面AFC 的一个法向量，设(n x =r，y ，)z 为面AEF 的一个法向量，由·220·20AF n y z AE n x z ⎧=+=⎨=-+=⎩u u u v r u u u v r ，令1x =得(1n =r ，2-，2)，设θ为二面角E AF C --的平面角，则·3cos cos ,·EO n EO n EO n θ===u u u v ru u u v r u u u v r，6sin 3θ∴=． ∴二面E AF C --6．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，同角三角函数关系式，属于简单题目.19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率5e =，左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 任作一条直线l ，记l 与椭圆的两交点为A ，B ，已知1F AB ∆的周长为定值5（1）求椭圆C 的方程；（2）记点B 关于x 轴的对称点为'B ，直线'AB 交x 轴于点D ，求ABD ∆面积的取值范围.【答案】（1）22154x y +=（2）0,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）计算得到a =1c =，2b =，得到椭圆方程.（2）令直线l ：()10x ty t =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ，()22',B x y -，联立方程，利用韦达定理得到1221228541654t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，得到254S t =+，求最值得到答案.【详解】（1）由已知条件得5c e a ==，4a =a =，1c =，2b =，则椭圆C 的方程为22154x y +=.（2）()21,0F ，可令直线l ：()10x ty t =+≠，点()11,A x y ，()22,B x y ，()22',B x y -.联立221154x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22548160t y ty ++-=，则1221228541654t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，而直线'AB 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-，令0y =，得()()12211221121211D ty y ty y x y x y x y y y y ++++==++1212215ty y y y =+=+，即点()5,0D ，于是，ABD ∆的面积为21212122S F D y y y y =-=-==，令μ=1μ>，且2414S μμμμ==++，由于函数()14f μμμ=+在()1,+∞上单调递增，所以05S <<，故ABD ∆面积的取值范围是0,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20.某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；（2）若水的年入流量X 与其蕴含的能量y （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：用最小二乘法求出y 关于X 的线性回归方程$$y bXa =+$；（回归方程系数用分数表示）（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？附：回归方程系数公式：1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑$，a y bx =-$$.【答案】（1）0.9477（2）$2913404X y =-（3）欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 【解析】【分析】（1）计算得到()480.2P X <<=，()8120.7P X ≤≤=，()120.1P X >=，再计算概率得到答案. （2）利用回归方程公式直接计算得到答案.（3）计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）依题意，()110480.250P P X =<<==，()2358120.750P P X =≤≤==， ()35120.150P P X =>==. 由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过12的概率为()()43014343311P C P C P P =-+-0.65610.29160.9477=+=.（2）10X =，4y =，51229i ii X y ==∑，521540i i X ==∑，2940b =$，$134a y bX =-=-$，所以y 关于X 的线性回归方程为$2913404X y =-. （3）记水电站年总利润为ξ（单位：万元）. ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于4，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000ξ=，()500015000E ξ=⨯=.②安装2台发电机的情形.依题意，当48X <<时，一台发电机运行，此时50008004200ξ=-=，因此()()14200480.2P P X P ξ==<<==；当8X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000ξ=⨯=，因此()()231000080.8P P X P P ξ==≥=+=.由此得ξ的分布列如下：所以，()42000.2100000.88840E ξ⨯+⨯==. ③安装3台发电机的情形.依题意，当48X <<时，一台发电机运行，此时500016003400ξ=-=，因此()()13400480.2P P X P ξ==<<==；当812X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200ξ=⨯-=，因此()()292008120.7P P X P ξ==≤≤==；当12X >时，三台发电机运行，此时5000315000ξ=⨯=，因此()()15000120.1P P X ξ==>=.由此得ξ的分布列如下：所以，()34000.292000.7150000.18620E ξ=⨯+⨯+⨯=. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.【点睛】本题考查了概率计算，回归方程，分布列，数学期望，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 21.已知函数()()22ln 218x mx x x f m =+-+-，m R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对实数2m =，令()()3g x f x x =-，正实数1x ，2x 满足()()121220g x g x x x ++=，求12x x +的最小值.【答案】（1）见解析（2）6 【解析】【分析】（1）求导得到()()()2'11x xf x mx --=，讨论0m ≤，01m <<，1m =，1m >几种情况得到答案.（2）化简得到()()()212121212291622ln x x x x x x x x +-+-=-，设12t x x =，()()22ln 0h t t t t =->，根据函数的单调性得到()()2121229162x x x x +-+-≥，计算得到答案.【详解】（1）()()()()()2112221'0x f x mx mx m x x x--=+-+=>.若0m ≤，当()0,1x ∈时，()'0f x ≥，即()f x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，即()f x 在()1,+∞上单调递减. 若01m <<，当()10,1,x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()'0f x >，即()f x 在（()0,1，1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增；当11,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，即()f x 在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 若1m =，则()'0f x ≥，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 若1m >，当()10,1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()'0f x >，即()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上均单调递增；当1,1x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，即()f x 在1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）当实数2m =时，()()()232ln 2980g x f x x x x x x =-=+-->，()()121220g x g x x x ++=，22111222122ln 2982ln 29820x x x x x x x x ∴+--++--+=，()()()212121212291622ln x x x x x x x x ∴+-+-=-，令12t x x =，()()22ln 0h t t t t =->，由于()()21't h t t-=，知当()0,1t ∈时，()'0h t <，即()h t 单调递减；当()1,t ∈+∞时，()'0h t >，即()h t 单调递增. 从而，()()min 12h t h ==，于是，()()2121229162x x x x +-+-≥，即()()12122360x x x x +++-≥⎡⎤⎣⎦，而12,0x x >，所以126x x +≥，而当13x =-23x =+时，12x x +取最小值6.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若PQ 的最小值为2，求m 的值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=,0x m -=；（Ⅱ）m =m =- 【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，利用互化公式即可得曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）利用曲线C 的参数方程设点P ，根据点到直线距离公式求出˜PO ，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m ．【详解】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=，消去参数t 可得直线l的普通方程为0x m -=．（Ⅱ）设()2cos P θθ，由点到直线的距离公式得˜PO == 由题意知0m ≠，当0m >时，˜min2PO==，得m =当0m <时，|˜min2PO==，得m =-所以m =m =-【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程在最值问题中的应用，属于中档题．对于点线距离问题范围（最值）问题，关键是运用参数法，再结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解.23.已知函数f(x)＝|x|＋|x＋a|.(1)若存在x使得不等式f(x)≤3a－1成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式f(x)≤3a－1的解集为[b,b+3]，求实数a，b的值．【答案】（1）12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；（2）413,36a b==-．【解析】【分析】⑴运用绝对值的性质进行化简求出结果⑵分类讨论化简()f x，结合图像求出结果【详解】(1)对()()x R f x x x a x x a a∈=++≥-+=，，当且仅当()0x x a+≤时取等号，故原条件等价于31a a≤-，即3131a a a-+≤≤-，解得12a≥，故实数a的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.(2)由(1)知实数a的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，故0a-<，故()220x a x af x a a xx a x--<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，的图象如图所示，由图可知()2312331b a ab a a--=-⎧⎨++=-⎩,解得4313.6ab，⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。

湖南省长沙市湖南师大附中高新实验中学2020年上学期初三3月份检测卷数学试卷无答案

2湖南省长沙市湖南师大附中高新实验中学2020 年上学期初三 3 月份检测卷·数学时量：120 分钟分值：120 分一、选择题（每题 3 分，12 小题，共 36 分） 1、下列各数中无理数为（）1A ．B ．0C ．2017D ．﹣12、下列运算正确的是（）A ． (a 2 )3 = a5B ． a -1 = -aC ． a 2 ⋅ a 3 = a 5D ． (a + b )(a - b ) = a 2+ b23、下列四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4、下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（）A ．了解湖南卫视的收视率B ．了解湘江中草鱼种群数量C . 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量D ．了解某班同学“跳绳”的成绩5、作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快、成效显著．两年来，已有 18 个项目在建或建成，总投资额达185亿美元．185亿用科学记数法表示为( ) A ．1.85 ⨯109B ．1.85 ⨯1010C ．1.85 ⨯1011D ．1.85 ⨯10126、空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（）A ．折线图B ．条形图C ．直观图D ．扇形图7、若一个角为 75°，则它的补角的度数为（）A ．285°B ．105°C ．75°D ．15°8、如果一次函数 y =kx +b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么 k 、b 应满足的条件是（）A ．k ＜0，且 b ＞0B ．k ＞0，且 b ＞0C ．k ＞0，且 b ＜0D ．k ＜0，且 b ＜0109、如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是( )A. 43°B. 35°C. 34°D. 44°10、如图，在△ABC 中，以点B 为圆心，以BA 长为半径画弧交边BC 于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC 的度数是（）A．70°B．44°C．34°D．24°11、某市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3 小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2 小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小时，根据题意可列出方程为（）12、如图，点A (a,1), B (b, 3)都在双曲上,点C，D，分别是x轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（）A．4 B．6 C. 2 + 2 D．8第12 题图二、填空题（每题 3 分，6 小题，共18 分）14、点A(2,1) 与点B 关于原点对称，则点B 的坐标是．15、下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有（填序号）．16、一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为．17、如图，已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为cm2（结果保留π）．18、黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为（结果带有根号）2 2 2 2三、解答题（8 个小题，分值分别为6,6,8,8,9,9,10,10，.共66 分）21、某市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”.规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表.针对以下六个项目（每人只能选一项）： A .课外阅读； B .家务劳动； C .体育锻炼；D .学科学习；E .社会实践；F .其他项目进行调查.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次抽查的样本容量为，请补全条形统计图；（2）全市约有4 万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？（3）七年级（1）班从选择社会实践的 2 名女生和1 名男生中选派 2 名参加校级社会实践活动.请你用树状图或列表法求出恰好选到1 男1 女的概率是多少？22、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6 米，坡面BC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角α；（2）原天桥底部正前方8 米处（PB 的长）的文化墙PM 是否需要拆桥？请说明理由．23、如图，⊙O 的直径AB =10,弦AC = 6, ∠ACB 的平分线交⊙O 于D,过点D 作DE ∥AB 交CA 延长线于点E ，连接AD, BD.（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积；（3）求线段DE 的长.24、甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费由两部分组成：固定费用400 元和服务费用 5 元/平方米；乙公司方案：绿化面积不超过1000 平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000 平方米时，每月在收取5500 元的基础上，超过部分每平方米收取 4 元．（1）求甲公司养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）的函数解析式（不要求写出自变量的范围）；（2）选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．25、在平面直角坐标系x O y 中，将点P 沿着y 轴翻折，得到的对应点再沿着直线l 翻折得到点P1，则P1 称为点P 的“l 变换点”．（1）已知：点 P（1，0），直线l：x=2，求点 P 的“l变换点”的坐标；（2）若点 Q 和它的“l变换点”Q1的坐标分别为（2，1）和（3，2），求直线l的解析式；（3）如图，⊙O 的半径为2．①若⊙O 上存在点M，点M 的“l 变换点”M1 在射线（x≥0）上，直线l：x=b，求b的取值范围；②将⊙O 在x 轴上移动得到⊙E，若⊙E 上存在点N，使得点N 的“l 变换点”N1 在y 轴上，且直线l 的解析式为y= x+1，求E 点横坐标的取值范围．26、如图，抛物线y=﹣（其中m＞0）与x 轴分别交于A，B 两点（A 在 B 的右侧），与 y 轴交于点 c．（1）求△AOC的周长，（用含 m 的代数式表示）（2）若点P 为直线AC 上的一点，且点P 在第二象限，满足OP2=PC•PA，求tan∠APO 的值及用含m 的代数式表示点P 的坐标；（3）在（2）的情况下，线段OP 与抛物线相交于点Q，若点Q 恰好为OP 的中点，此时对于在抛物线上且介于点C 与抛物线顶点之间（含点C 与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤及不等式2n﹣恒成立，求n 的取值范围．。

湖南省长沙市湖南师大附中联考2020届数学中考模拟试卷

湖南省长沙市湖南师大附中联考2020届数学中考模拟试卷一、选择题 1．若a+b=3，，则ab 等于（） A.2B.1C.﹣2D.﹣12．为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）．小聪为了说明“A．正方形；B ．矩形；C ．四边形；D ．菱形；E ．平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、②、③、④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（）（用名称前的字母代号表示）A ．C 、E 、B 、D B ．E 、C 、B 、D C ．E 、C 、D 、B D ．E 、D 、C 、B3．请你估计一下，22222222222(21)(31)(41)(991)(1001)123499100-----∙∙±∙∙ 的值应该最接近于（） A.1B.12C.1100D.12004．如图，小颖为测量学校旗杆AB 的高度，她在E 处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B ．已知小颖的眼睛D 离地面的高度CD ＝1.5m ，她离镜子的水平距离CE ＝0.5m ，镜子E 离旗杆的底部A 处的距离AE ＝2m ，且A 、C 、E 三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为（）A.4.5mB.4.8mC.5.5mD.6 m5．如图，AB 是O 的直径，120BOD =∠，点C 为BD 的中点，AC 交OD 于点E ，1DE =，则AE 的长为（）A B C ．D ．6．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，点G 、F 分别是BC 、DE 的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60°D．GF平分∠DGE7．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（）A B．2 C．D．(1+8．实数a，b，c在数轴上对应点的位置大致如图所示，O为原点，则下列关系式正确的是( )A．a﹣c＜b﹣c B．|a﹣b|＝a﹣b C．ac＞bc D．﹣b＜﹣c9．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB 的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°10．如图，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝4，按以下步骤作图：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB，BC于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点H，作射线BH，交DC于点G，则DG的长为（）A．2 B．3 C．4 D．511．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等C．一组对边平行，一组邻角互补D．一组对边相等，一组邻角相等12．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A．6055 B．6056 C．6057 D．6058二、填空题13．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，与其对应的函数值y的最大值为6，则a的值为_____．14．写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示）_____．15．﹣124的倒数是____．16．观察下列几组勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25；9,40,41…按此规律，当直角三角形的最小直角边长是11时，则较长直角边长是________；当直角三角形的最小直角边长是21n 时，则较长直角边长是________．17．多项式1+x+2xy-3xy2的次数是______．18．如图，已知∠ACB＝90°，直线MN∥AB，若∠1＝33°，则∠2＝_____°．三、解答题19．某中学为了丰富学生的业余爱好，决定开设以下活动项目：A：书法；B：绘画C：象棋；D：音乐．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行问卷调査，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少人？（2）补全条形统计图；（3）九年级（1）班老师想从这四类活动项目中随机选取两类作为“五四青年节”表演项目，请用列表或画树状图的方法求恰好选中书法和绘画的概率20．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN，直线BD与MN交于点E．（1）如图1．当点M在BC上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M作CD的平行线交BD于点P．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，则BD，DE，BM之间满足的数量关系是．（3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝．21．如图，线段AB 为的直径，点C 、E 在上，弧BC=弧CE ，连接BE 、CE ，过点C 作CM ∥BE 交AB 的延长线于点M.（1）求证：直线CM 是圆O 的切线；（2）若sin ∠ABE=35，BM=4，求圆O 的半径.22．如图,在平面直角坐标系中,已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是()()()2,2,4,0,4,4A B C -.(1)请在图中,画出ABC ∆绕着点O 逆时针旋转90后得到的111A B C ∆,则111ACB ∠的正切值为 . (2)以点O 为位似中心,将ABC ∆缩小为原来的12,得到222A B C ∆,请在图中y 轴左侧,画出222A B C ∆,若点()P m n ,是ABC ∆上的任意一点,则变换后的对应点'P 的坐标是 .23．如图，在下列9×9的网格中，横纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A （1，1）、B （8，3）都是格点，E 、F 为小正方形边的中点，C 为AE 、BF 的延长线的交点．（1）AE 的长等于；（2）若点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 上，且满足AP ＝PQ ＝QB ，请在如图示所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ ，并直接写出P 、Q 两点的坐标．24．已知：二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，B(2，3)．求：这个二次函数的解析式，及这个函数图象的对称轴．25．为缓解某学校大班额现状，某市决定通过新建学校来解决该问题．经测算，建设6个小学，5个中学，需费用13800万元，建设10个小学，7个中学，需花费20600万元．（1）求建设一个小学，一个中学各需多少费用．（2）该市共计划建设中小学80所，其中小学的建设数量不超过中学建设数量的1.5倍．设建设小学的数量为x个，建设中小学校的总费用为y万元．①求y关于x的函数关系式；②如何安排中小学的建设数量，才能使建设总费用最低？（3）受国家开放二胎政策及外来务工子女就读的影响，预计在小学就读人数会有明显增加，现决定在（2）中所定的方案上增加投资以扩大小学的就读规模，若建设小学总费用不超过建设中学的总费用，则每所小学最多可增加多少费用？【参考答案】***一、选择题13．11415．9 416．60，2n²+2n 17．318．57三、解答题19．（1）200，（2）见解析（3）1 6【解析】【分析】（1）根据D类的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中书法和绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵D类有40人，占20%，∴这次被调查的学生共有：40÷20%＝200（人）；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图如下：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中书法和绘画的有2种，∴恰好选中书法和绘画的概率是21 126=．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP ＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM＝DN，列出方程求出AB的长度，根据DF∥BM，得到413,43DF DGBM BG===即可求解.【详解】解：（1）如图1，过点M作MP∥CD，交BD于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∵PM∥CD，∴∠NDE＝∠MPE，∠BPM＝∠CDB＝45°，∴△BPM是等腰直角三角形，∴PM ＝BM，PB =，∵BM ＝DN ， ∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，,MPE NDEPEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°， ∵∠CBD ＝45°，∴△BMP 是等腰直角三角形， ∴BM ＝PM ＝DN ，与（1）证法类似：△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD+PD ＝BD+2DE ，根据勾股定理得：BPBM ，即BD+2DE ＝BPBM ，故答案为：BD+2DEBM ；（3）如图3，∵AB ∥CD ， ∴AB ∥DN ，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，∵BM＝DN，∴x+2＝2x，x＝2，∴AB＝AD＝2，DF＝43，∴BD=∵DF∥BM，∴413,43 DF DGBM BG===∴142 DG=⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．21．（1）见解析；(2)6.【解析】【分析】（1）连接OC交BE于G，根据垂径定理得到OC⊥BE，根据平行线的性质得到∠OCM=∠OGB=90°，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠ABE=∠OMC，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OE，OC∵弧BC=弧CE ∴OC ⊥BE ∵CM ∥BE ∴OC ⊥CM∴直线CM 是圆O 的切线 (2)设半径为r ∵CM ∥BE ∴∠CMO=∠ABE 在Rt △OCM 中 sin ∠CMO=OC OM =sin ∠ABE=35r 3r 6r 45∴==+，解得 ∴圆O 的半径是6 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．（1）图详见解析，1111tan 3AC B ∠=；（2）图详见解析，变换后的对应点P '的坐标是11(,)22m n --. 【解析】【分析】1）依据旋转的方向、角度和旋转中心，即可得到△ABC 绕着点O 逆时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1，进而得到∠A 1C 1B 1的正切值；.（2）依据点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，即可得到△A 2B 2C 2，以及变换后的对应点P′的坐标．【详解】(1)如图所示,111A B C ∆即为所求；由题可得，11121tan 63AC B ∠==； (2)如图所示,222A B C ∆即为所求，∵点()P m n ,是ABC ∆上的任意一点，点O 为位似中心， ∴变换后的对应点P '的坐标是11(,)22m n --.【点睛】此题主要考查了利用旋转变换以及位似变换作图，得出图形变换后对应点位置是解题关键．23．（1）AE ＝2；（2）如图，线段PQ 即为所求．见解析；P （3，4），Q （6，6）．【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）取格点M ，连接AM ，并延长与BC 交于Q ，连接PQ ，则线段PQ 即为所求．【详解】（1）AE =；（2）如图，AC 与网格线相交，得到P ，取格点M ，连接AM ，并延长与BC 交于Q ，连接PQ ，则线段PQ 即为所求．故答案为：AC 与网格线相交，得到P ，取格点M ，连接AM ，并延长与BC 交于Q ，连接PQ ，则线段PQ 即为所求．∴P （3，4），Q （6，6）．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 24．这个二次函数的解析式为y ＝2x 2﹣3x+1，对称轴为直线34x =. 【解析】【分析】利用待定系数法把点A （1，0）和B （2，3）代入二次函数y ＝2x 2+bx+c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式，在利用x ＝﹣2ba求出图象的对称轴；【详解】∵二次函数y ＝2x 2+bx+c 的图象经过点A(1，0)，B(2，3)， ∴02382b cb c =++⎧⎨=++⎩解得31b c =-⎧⎨=⎩∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2﹣3x+1，这个函数图象的对称轴为直线34x =．【点睛】题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，题目比较基础，难度不大．25．（1）建设一个小学需800万元，一个中学需1800万元；（2）①y=＝﹣1000x+144000（0＜x≤48且x是整数）；②中小学建设数量为：48个小学，32个中学；（3）每所小学最多可增加400万元的费用．【解析】【分析】(1)先设建设一个小学需x万元，一个中学各需y万元，根据建设6个小学，5个中学，需费用13800万元，建设10个小学，7个中学，需花费20600万元列出方程组，求出x，y的值即可；(2)①根据建设小学的总费用+建设中学的总费用＝y，列式化简可得，根据小学的建设数量不超过中学建设数量的1.5倍列不等式可得x的取值；②根据x的取值可计算建设总费用最低时，中小学建设的数量；(3)根据建设小学总费用不超过建设中学的总费用，列不等式可得结论．【详解】(1)设建设一个小学需x万元，一个中学各需y万元，根据题意得：651380010720600x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：8001800xy=⎧⎨=⎩，答：建设一个小学需800万元，一个中学各需1800万元，(2)①∵建设小学的数量为x个，∴建设中学的数量是(80﹣x)个，x≤1.5(80﹣x)，x≤48，由题意得：y＝800x+1800(80﹣x)＝﹣1000x+144000(0＜x≤48且x是整数)；②∵﹣1000＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝48时，y有最小值，此时中小学建设数量为：48个小学，32个中学；(3)设每所小学可增加a万元的费用，由题意得：48(800+a)≤1800×32，a≤400，则每所小学最多可增加400万元的费用．【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意x只能取整数．。

湖南师大附中2020年中考数学模拟试卷解析版

中考数学模拟试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列各数中无理数为（）A. B.0 C. D. -12.下列运算正确的是（）A. （a2）3=a5B. a+a=a2C. a2•a3=a5D. a2（a+1）=a3+13.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（）A. 了解湖南卫视的收视率B. 了解湘江中草鱼种群数量C. 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量D. 了解某班同学“跳绳”的成绩5.作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快、成效显著．两年来，已有18个项目在建或建成，总投资额达185亿美元．185亿用科学记数法表示为（）A. 1.85×109B. 1.85×1010C. 1.85×1011D. 1.85×10126.空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（）A. 折线图B. 条形图C. 直方图D. 扇形图7.若一个角为75°，则它的余角的度数为（）A. 285°B. 105°C. 75°D. 15°8.如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（）A. k＞0，且b＞0B. k＜0，且b＞0C. k＞0，且b＜0D. k＜0，且b＜09.如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A. 43°B. 35°C. 34°D. 44°10.如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（）A. 70°B. 44°C. 34°D. 24°11.西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A. +=1B. +=C. +=D. +=112.如图，点A（a，1），B（b，3）都在双曲线y=-上，点P，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值为（）A. 4B. 6C. 2+2D. 8二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.化简：+的结果为______．14.点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是______．15.下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，其中假命题的有______（填序号）16.一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为________．17.已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为______cm2（结果保留π）18.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为______（结果带有根号）三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.计算：2sin30°+（π-3.14）0+|1-|+（-1）-201820.解不等式组：．21.西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”．规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表，针对以下六个项目（每人只能选一项）：A．课外阅读；B．家务劳动；C．体育锻炼；D．学科学习；E．社会实践；F．其他项目进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次抽查的样本容量为______，请补全条形统计图；（2）全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？（3）七年级（1）班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少？并列举出所有等可能的结果．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．（1）由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是______ ；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）求线段DE的长．24.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费由两部分组成：固定费用400元和服务费用5元/平方米；乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求甲公司养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）的函数解析式（不要求写出自变量的范围）；（2）选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．25.在平面直角坐标系xOy中，将点P沿着y轴翻折，得到的对应点再沿着直线l翻折得到点P1，则P1称为点P的“l变换点”．（1）已知：点P（1，0），直线l：x=2，求点P的“l变换点”的坐标；（2）若点Q和它的“l变换点”Q1的坐标分别为（2，1）和（3，2），求直线l 的解析式；（3）如图，⊙O的半径为2．①若⊙O上存在点M，点M的“l变换点”M1在射线x（x≥0）上，直线l：x=b，求b的取值范围；②将⊙O在x轴上移动得到⊙E，若⊙E上存在点N，使得点N的“l变换点”N1在y轴上，且直线l的解析式为y=x+1，求E点横坐标的取值范围．26.如图，抛物线y=-（其中m＞0）与x轴分别交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点c．（1）求△AOC的周长，（用含m的代数式表示）（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2=PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤及不等式2n-恒成立，求n的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是无理数，选项正确；B、0是整数是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、-1是整数，是有理数，选项错误．故选A．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.【答案】C【解析】解：A、（a2）3=a6，故原题计算错误；B、a+a=2a，故原题计算错误；C、a2•a3=a5，故原题计算正确；D、a2（a+1）=a3+a2，故原题计算错误；故选：C．根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可．此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、单项式与多项式相乘，关键是熟练掌握各计算法则．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项错误；B.不是轴对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，故本选项错误；D.是轴对称图形，故本选项正确．故选D．4.【答案】D【解析】解：A、了解湖南卫视的收视率，适合采用抽样调查；B、了解湘江中草鱼种群数量，适合采用抽样调查；C、了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量，适合采用抽样调查；D、了解某班同学“跳绳”的成绩，适合采用全面调查；故选：D．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5.【答案】B【解析】解：185亿=1.85×1010．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6.【答案】D【解析】解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选：D．扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．本题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，理解各自的特点是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：它的余角=90°-75°=15°，故选：D．依据余角的定义列出算式进行计算即可．本题主要考查的是余角的定义，掌握相关概念是解题的关键8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．根据一次函数的性质得出即可．【解答】解：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故选：B．9.【答案】B【解析】解：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD-∠D=35°，故选：B．由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的内角和的性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理.【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=∠BAD=70°，∵∠C=36°，∴∠BAC=104°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°．故选C．11.【答案】B【解析】解：由题意可得，，故选：B．根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．12.【答案】B【解析】解：∵点A（a，1），B（b，3）都在双曲线y=-上，∴a×1=3b=-3，∴a=-3，b=-1，∴A（-3，1），B（-1，3），作A点关于x轴的对称点D（-3，-1），B点关于y轴的对称点C（1，3），连接CD，分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形ABPQ的周长最小，∵QB=QC，PA=PD，∴四边形ABPQ周长=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD，∴AB==2，CD==4，∴四边形ABPQ周长最小值为2+4=6，故选：B．先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称的性质得到C 点坐标为（1，3），D点坐标为（-3，-1），CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形ABPQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．13.【答案】x+1【解析】解：原式===x+1．故答案为：x+1．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．14.【答案】（-2，-1）【解析】解：∵点A（2，1）与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（-2，-1），故答案为：（-2，-1）．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．15.【答案】②【解析】解：①对顶角相等是真命题；②同旁内角互补是假命题；③全等三角形的对应角相等是真命题；④两直线平行，同位角相等是真命题；故假命题有②，故答案为：②．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．本题主要考查了命题与定理的运用，解题时注意：命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假．16.【答案】1800°【解析】【分析】本题考查了多边形内角与外角，多边形内角和定理为（n-2）•180 （n≥3，且n为整数）；多边形的外角和等于360度，先利用多边形的外角和等于360度计算出多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式计算．【解答】解：这个正多边形的边数为=12，所以这个正多边形的内角和为（12-2）×180°=1800°．故答案为1800°．17.【答案】15π【解析】解：∵圆锥的高是4cm，母线长5cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm2．故答案为：15π．首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．18.【答案】【解析】解：较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为．故答案为．直接利用黄金分割的定义求解．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB 和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．19.【答案】解：原式=2×+1+-1+1=1+1+-1+1=+2．【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：解不等式2x-3＞1，得：x＞2，解不等式＞-2，得：x＜4，∴不等式组的解集为2＜x＜4【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】解：（1）1000；B组人数=1000-200-400-200-50-50=100人，条形图如图所示：（2）参加体育锻炼的人数的百分比为40%，用样本估计总体：40%×40000=16000人，答：全市学生中选择体育锻炼的人数约有16000人；（3）设两名女生分别用A1，A2，一名男生用B表示，树状图如下：共有6种情形，恰好一男一女的有4种可能，所以恰好选到1男1女的概率是=．【解析】【分析】本题主要考查列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．（1）根据=百分比，计算总人数，再算出B组人数补全条形统计图即可；（2）用样本估计总体的思想，即可解决问题；（3）画出树状图，求出所有可能，以及一男一女的可能数，利用概率公式计算即可.【解答】解：（1）总人数=200÷20%=1000，故答案为1000，条形统计图见答案；（2）见答案；（3）见答案.22.【答案】解：（1）∵新坡面的坡度为1：，∴tanα=tan∠CAB==，∴∠α=30°．答：新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙PM不需要拆除．过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，∴BD=CD=6，AD=6，∴AB=AD-BD=6-6＜8，∴文化墙PM不需要拆除．【解析】（1）由新坡面的坡度为1：，可得tanα=tan∠CAB==，然后由特殊角的三角函数值，求得答案；（2）首先过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形是关键．23.【答案】（1）+（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB=10、AC=6，∴BC==8，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°-∠CAB=∠ABC，∴tan∠EAF=tan∠CBA，∴=，即=，∴，∴DE=DF+EF=+5=．【解析】解：（1）如图，连接OD，∵AB是直径，且AB=10，∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，∴∠AOD=90°，则曲边三角形的面积是S扇形AOD+S△BOD=+×5×5=+，故答案为：+；（2）见答案（3）见答案【分析】（1）连接OD，由AB是直径知∠ACB=90°，结合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，从而知∠AOD=90°，根据曲边三角形的面积=S扇形AOD+S△BOD可得答案；（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB，根据DE∥AB可得OD⊥DE，即可得证；（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四边形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°-∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA，即=，求得EF的长即可得．本题主要考查切线的判定、圆周角定理、正方形的判定与性质及正切函数的定义，熟练掌握圆周角定理、切线的判定及三角函数的定义是解题的关键．24.【答案】解：（1）由题意可得，y=400+5x，即甲公司养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）的函数解析式是y=5x+400；（2）由题意可得，乙公司养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）的函数解析式是y=，当0＜x≤1000时，令5x+400=5500，得x=1020，∵1020＞1000，∴当0＜x≤1000，选择甲公式；当x＞1000时，令5x+400＜5500+4（x-1000），得x＜1100，即当1000＜x＜1100时，选择甲公司养护费用较少；令5x+400=5500+4（x-1000），得x=1100，即当x=1100时，两家公司养护费用一样；令5x+400＞5500+4（x-1000），当x＞1100，即当x＞1100时，选择乙公司养护费用较少．综上所述：当0＜x＜1100时，选择甲公司养护费用较少，当x=1100时，两家公司养护费用一样，当x＞1100时，选择乙公司养护费用较少．【解析】（1）根据甲公司方案，每月的养护费由两部分组成：固定费用400元和服务费用5元/平方米，可以写出甲公司养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）的函数解析式；（2）根据乙公司方案，可以写出乙公司养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）的函数解析式，然后利用分类讨论的方法，可以得到选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．25.【答案】解：（1）如图1，点P（1，0）关于y轴的对称点（-1，0），再关于直线x=2的对称点P1（5，0）；（2）点Q（2，1）关于y轴的对称点（-2，1），∴过点（-2，1）和（3，2）的直线的解析式为y=-x+，∵过点（-2，1）和（3，2）是直线l对称，∴直线l过点（-2，1）和（3，2）连线的中点且与直线y=x+垂直，∵过点（-2，1）和（3，2）连线的中点为（，），∴设直线l的解析式为y=-5x+n，∴=-5×+n，解得：n=4，∴直线l的解析式为：y=-5x+4；（3）①如图4中，由题意b=M1M′，由此可知，当M1M′的值最大时，可得b的最大值，∵直线OM′的解析式为y=x，∴∠MM′O=∠M′OD=30°，∵OM=2，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为4，∴b的最大值为2，如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为-1，综上所述，满足条件的b取值范围为-1≤b≤2；②设E（t，0），如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．连接E1E′交直线y=x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y=-x-t，由，解得，∴K（，），∵KE1=KE′，∴E′（，），当⊙E′与y轴相切时，||=2，解得t=-4或+4，综上所述，满足条件的t的取值范围为-4≤t≤+4．【解析】（1）根据“l变换点”的定义，分别画出图形，即可解决问题；（2）根据“l变换点”的定义，得到对称点的坐标，根据待定系数法即可得到结论；（3）①根据“l变换点”的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题；②如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件，想办法求出点E′的坐标即可解决问题．本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：（1）当x=0时，y=-××（-3m）=m，∴C（0，m），∴OC=m，当y=0时，-=0，解得：x1=-，x2=3m，∵A在B的右侧，其中m＞0，∴A（3m，0），由勾股定理得：AC===2m，∴△AOC的周长=OA+OC+AC=3m+m+2m=3m+3m；（2）Rt△AOC中，tan∠OAC===，∴∠CAO=30°，∵OP2=PC•PA，∴，∵∠OPC=∠OPC，∴△OPA∽△CPO，∴∠POC=∠OAC=30°，∵∠ACO=∠POC+∠APO，∴∠APO=60°-30°=30°，∴tan∠APO=，过P作PE⊥x轴于E，∵∠APO=∠OAC=30°，∴PO=OA=3m，∠POE=60°，Rt△PEO中，∠EPO=30°，∴OE=OP=，PE=，∵点P在第二象限，∴P（-，）；（3）由（2）知：P（-，），∵点Q恰好为OP的中点，∴Q（-，），∵Q在抛物线上，则=-，解得：m=，∴抛物线的解析式为：y=-（x+）（x-3）=-，对称轴是：x=-=，作抛物线的对称轴交抛物线于点F，∵M在点C与顶点F之间（含点C与顶点F），∴0≤x0≤，n≤，设w1=，∵1＞0，∴w1随x0的增大而增大，∴当x0=时，w1有最大值，即有最小值为2，∴n≤2，对于不等式2n-，n≥-2，n≥-2（x0-）2+，设w2=-2（x0-）2+，∵-2＜0，∴w2有最大值，∵0＜＜，∴当x0=时，w2有最大值为，∴n≥，综上，n的取值范围是≤n≤2．【解析】（1）分别令x=0和y=0，计算抛物线与两坐标轴的交点C和A的坐标，再根据勾股定理计算AC的长，根据三角形的周长可得结论；（2）根据特殊三角函数值可得∠CAO=30°，证明△OPA∽△CPO，则∠POC=∠OAC=30°，可得tan∠APO=，过P作PE⊥x轴于E，表示OE和PE的长，根据点P在第二象限，可得P的坐标；（3）根据中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的解析式可得m的值，计算对称轴，得x0的取值范围，根据两个不等式确定其解集即可．本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、抛物线与两坐标轴的交点、勾股定理、不等式的解及函数的增减性等知识，有难度，计算量大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

湖南师大附中高新实验中学中考数学3月模拟试卷

13.【解析】【解答】解：原式＝
＝
＝x+1．
故答案为：x+1．【分析】根据同分母相加的运算法则计算即可． 14.【解析】【解答】解：∵点 A（2，1）与点 B 关于原点对称， ∴点 B 的坐标是（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 15.【解析】【解答】①对顶角相等是真命题；②同旁内角互补是假命题； ③全等三角形的对应角相等是真命题；④两直线平行，同位角相等是真命题；故假命题有②. 【分析】根据定理公理进行判断命题的真假.
（1）此次抽查的样本容量为________，请补全条形统计图________；（2）全市约有 4 万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？（3）七年级（1）班从选择社会实践的 2 名女生和 1 名男生中选派 2 名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到 1 男 1 女的概率是多少？ 22.某地一人行天桥如图所示，天桥高 6 m，坡面 BC 的坡比为 1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面 AC 的坡比为 1∶ ．
则∠DAC 的度数是（）
A. 70°
B. 44°
C. 34°
D. 24°
11.某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾,调用甲车清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作
1.2 小时清理完另一半垃圾.若甲车单独清理全部垃圾需 6 小时,设乙车单独清理全部垃圾的时间为小时,
根据题意可列出方程为( )
∵QB＝QC ， PA＝PD ， ∴四边形 ABPQ 周长＝AB+BQ+PQ+PA＝AB+CD ，
∴AB＝