八年级数学下册 第17章《勾股定理》专题训练(二)利用勾股定理解决立体图形的展开问题

专题训练(二) 利用勾股定理解决立体图形的展开问题

——教材P39习题第12题的变式与应用

【例】(人教版八年级上册教材第39页第12题)

如图，圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米(结果保留小数点后一位)?

【解答】如图所示：

∵圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，

∴AD＝6πcm，BD＝10 cm，

∴AB＝（6π）2＋102＝36π2＋102≈21.1(cm)．

答：从点A爬到点B的最短路程是21.1厘米．

【方法归纳】平面展开——最短路径问题求解思路：(1)确定该路径的起点终点；(2)画出立方体的平面展开图，将立体问题转化为平面问题；(3)借助勾股定理求得路径的长度；(4)若展开方法有多种，需比较出最小值，此值为最短路径．

1．(德宏中考)如图，已知正方体的棱长为1，一只蚂蚁从点A沿正方体表面爬行到点C1，则爬行的

2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm.

3．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD 平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是2.79m(精确到0.01 m)．

4．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？

解：把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.

∴OD＝OC.

即O为DC的中点，由勾股定理，得

AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，

∴AC′＝10 cm.

即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.

5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．

解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.

蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．

(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，

爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.

蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，

爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.

∵l1>l2，

∴最短路径的长是89.