人教版初中数学九年级上册17.圆中的最值问题

人教版初中数学

重点知识精选

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拔高专题 圆中的最值问题

一、基本模型构建

常见模型

图(1) 图（2）

思考

图（1）两点之间线段 最短 ； 图（2）垂线段 最短 。

.在直线L 上的同侧有两个点A 、B ，在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．

二、拔高精讲精练

探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题

例1：如图，A

点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B

点是弧AN

的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。

解：作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，连接OA ′，AA ′． ∵点A 与A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点， ∴∠A ′ON=∠AON=60°，PA=PA ′，∵点B 是弧AN 的中点，

∴∠BON=30°，∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA ′=3， ∴A ′．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA ′+PB=A ′．

【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知

识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题

例2：如图，在Rt △AOB 中，，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），求切线PQ 的最小值

解：连接OP 、OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知PQ 2=OP 2-OQ 2，

∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=3 ，

∴OA=6，∴OP=

=3，∴． •OA OB AB

【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 是一动点且P 在第一象限内，过P 作⊙O 切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．求线段AB 的最小值．

解：（1）线段AB 长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP ，

∵AB 切⊙O 于P ， ∴OP ⊥AB ，

取AB 的中点C ， ∴AB=2OC ；

当OC=OP 时，OC 最短， 即AB 最短， 此时AB=4．

【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。

相信自己，就能走向成功的第一步

教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维

可以让他们更理性地看待人生