基础拓扑学讲义1.1的习题答案

习题

记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族

{}

1\A ,A S U U τ=⊂是E 的开集.

（1）验证τ是R 上的拓扑；

（2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间；

（4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的；

（5）说明

(),R τ不满足2

C

公理。

证明：（1）○

1,A U R R U A ττ=∅=⎫⎫

⇒∅∈⇒∈⎬⎬=∅=∅⎭⎭

所以R 和∅都含在τ中 ○

2()U A U A λλλλλλλ∈Λ

∈Λ

∈Λ

-=

-

()0

000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ

λλλλλλλλλλ

λλλ∈Λ

∈Λ

∈Λ

∈Λ

∈Λ

∀∈

-⇔∃∈Λ∈-⇔∈∉⇔∈

∉

⇔∈

-

使

U A λλλλτ∈Λ

∈Λ

-

∈

∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3()

()()()

11221

212\\\U A U A U U A A =

()

()()()

11221122

11221212121

2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ∀∈⇔∈-∈-⇔∈∉∈∉⇔∈∉⇔∈

()()1212\U U A A τ∈

∴τ中两个成员的交集仍在τ中

综上所述：τ是R 上的拓扑

（2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A

这样我们就可以在1

E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈

则22\U A 为b 的一个开邻域 且()

()1122\\U A U A =∅

∴(),R τ满足2T 公理

由题意可知S 是闭集，a S ∀∉有理数

如果W 是S 的任意一个开邻域

因为S 为全集，所以S 的开邻域W 总会与a 的开邻域相交 因此在(),R τ中，S 与a 不存在不想交的开邻域，故不满足3T 公理 （3）x R ∀∈，做x 的一组可数邻域{}11,n U x x x Q n n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

则{}n U 是x 的一个可数邻域 对x 的任一开邻域U ，U 为R 中开集

(),\\x a b S U S ∈⊂

当n 充分大，(),\\n U a b S U S ⊂⊂ 所以{}n U 是x 的一个可数邻域基 说明(),R τ满足1C 公理 显然Q R ⊂

x R ∀∈，x 的任一开邻域\U S

()

\U S Q x Q

R Q

≠∅⇒∈⇒⊂

所以Q R =

所以Q 是(),R τ的可数稠密子集，所以(),R τ是可分的 （4）设A S ⊂

()\\R S A 是(),R τ的开集

∴有()

\\R S A S A =是(),S S τ的开集

∴S 的每个子集都是(),S S τ的开集 ∴(),S S τ是离散拓扑空间，S 不可数

∴从而(),S S τ是不可分的 （5）假如(),R τ满足2C 公理

2C 公理具有遗传性

则(),S S τ也要满足2C 公理

2C 空间是可分空间

则(),S S τ是可分的与(),S S τ不可分矛盾了 ∴(),R τ不满足2C 公理

设A 和B 都是拓扑空间X 的子集，并且A 是开集.证明A B A B ⊂.

证明：对x A

B ∀∈，即x A ∈且x B ∈

令U 是x 的任一开邻域 则U A 也是x 的开邻域 因为x B ∈ 所以()U A B ≠∅ 即()U

A

B ≠∅

所以x A B ∈，所以A B A B ⊂

设12,,,n A A A 都是X 的闭集，并且1

n

i i X A ==

.证明B X ⊂是X 的闭集⇔i

B A 是()1,2,

,i A i n =的闭集.

证明：()⇒1,2,

,i n ∀=

有()C

i i i A B A B A -=

(),i i i i

C C

i

x A B

A x A x B

A x

B x B x B A ∀∈-⇔∈∉⇔∉⇔∈⇔∈

又

B 是X 的闭集

∴C B 是X 的开集 从而i B A 是i A 的开集 ∴i B A 是i A 的闭集 ()⇐因为i B

A 是()1,2,

,i A n 的闭集

故1,2,

,i n ∀=，存在X 的闭集i B ，使i i

i B

A B A =，而

()()1

1

1111

n

n n n n n

i i

i i i i i i i i i i i B B A B A B A B X B ======⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

====

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

所以B 是X 的闭集（有限多个闭集的并还是闭集）

设{}n x 是(),c R τ中的一个序列.证明：n x x →⇔存在正整数N ，使得当n N >，

n x x =.

证明：()⇐显然的

()⇒ 假设当n N >时，n x x =不成立

那么可找到{}n x 的无穷子序列{}k n x ，{}

()1,2,k n x x k ==

{}

\k n R x 为x 的一个开邻域 因为lim n x x x →∞

=

对x 的开邻域{}

\k n R x