第十二章 微分方程

第十一章 微分方程函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。

第一节微分方程的基本概念定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。

如：12=+'+''xy y y 二阶方程；02=+'xy y 一阶方程；x y ='''三阶方程，等等讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。

解之，x y ='''，方程两边三次积分，得方程的解3221421241C x C x C x y +++=（321,,C C C 为任意常数）。

当4241xy =时，也满足方程。

可见3221421241C x C x C x y +++=包括了所有的解的形式。

则称它为通解。

定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。

若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。

注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注2：一阶方程的几种形式：一般形式：0),,(='y y x F ，从这个方程种有可能解出y '，也有可能解不出来；一阶显式方程：),(y x f y ='；对称形式：),(),(y x Q y x P dxdy =或0=+Qdy Pdx注3：在一阶方程种，x 和y 的关系是等价的.因此，有时可将x 看成函数，y看做变量。

第二节 可分离变量方程定义1：称能改写为形式：dxx g dy y f )()(=的一阶方程为可分离变量方程。

注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。

定理1：若)()(y f y F ='，)()(x g x G =，则dxx g dy y f )()(=的通解为Cx G y F +=)()(证： （1）先证C x G y F +=)()(是方程的解。

两边对x 求导，得)()(x g dxdy y f =，即dxx g dy y f )()(=故Cx G y F +=)()(是方程的解（2）设)(x y ϕ=是方程的任一解，则dxx g dx x x f )()()]([='ϕϕ两边关于x 积分，得⎰⎰='dx x g dx x x f )()()]([ϕϕ又)(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是)(x g 的一个原函数 则Cx G x F +=)()]([ϕ，即)(x y ϕ=在Cx G y F +=)()(中所以，Cx G y F +=)()(为dxx g dy y f )()(=的通解。

注1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。

注2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。

【例1】 求0sin cos cos sin=-ydy x ydx x 的通解，并求满足初始条件4)0(π=y 的特解。

解：方程可变为dy yy dx xx cos sin cos sin =，两边积分，得Cy x ln cos ln cos ln --=-即xC y c o s c o s =为方程的通解。

又4)0(π=y ，代入，得0cos 4cosC =π22=∴C即满足初始条件的特解为x y cos 22cos =【例2】 求yx ey +='的通解。

解：由yx yx ee ey =='+，分离变量，得dxe edy xy=，两边积分，得ce exy+=--，即为方程的隐式通解。

二、可化为齐次方程的方程经⎩⎨⎧+=+=kY y h X x 变换将行如111c y b x a c by ax dxdy ++++=方程化为齐次方程。

【例3】 求11++--=y x y x dxdy 的通解。

解：令⎩⎨⎧+=+=kY y h X x ，则)1()1(++++--+-=k h Y X k h Y X dXdY令⎩⎨⎧=++=--0101k h k h ⎩⎨⎧-==⇒10k h 即 ⎩⎨⎧-==1Y y X x方程变为：YX Y X dXdY +-=，令XY u =代入，得XdX du uu u -=--+2211，积分，得2221CXu u =--，由XY u =代回，得通解为：221121Cx x y xy =⎪⎭⎫⎝⎛+-+- （其中C 为任意常数）第三节 齐次方程一、齐次方程定义1：称能改写成形式：⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy的微分方程为一阶齐次方程。

我们下面来看看齐次方程解的情形： 令x y u=，即uxy =，代入方程，得)(u f dxdu x u =+，分离变量，得xdx u f u du =-)(两边积分，解出u ，再将xy u =回代，即得通解。

【例1】 求0)(22=-++xdy dx y x y 的通解。

解：原方程可化为21⎪⎭⎫⎝⎛++=x y xy dxdy ，令xy u =，即uxy =，代入方程，得21uu dxdu xu ++=+，化简xdx udu -=+21积分，得xc uu =++21，将xy u =回代，得通解为c yx y =++22二、可化为齐次方程的方程经⎩⎨⎧+=+=kY y h X x 变换将行如111c y b x a c by ax dxdy ++++=方程化为齐次方程。

【例4】 求11++--=y x y x dxdy 的通解。

解：令⎩⎨⎧+=+=kY y h X x ，则)1()1(++++--+-=k h Y X k h Y X dXdY令⎩⎨⎧=++=--0101k h k h ⎩⎨⎧-==⇒10k h 即 ⎩⎨⎧-==1Y y X x方程变为：YX Y X dXdY +-=，令XY u =代入，得XdX du uu u -=--+2211，积分，得2221CXu u =--，由XY u =代回，得通解为：221121Cx x y xy =⎪⎭⎫⎝⎛+-+- （其中C 为任意常数）第四节、一阶线性方程一、 一阶线性微分方程定义1：称可转化为形式：)()(x Q y x P dxdy =+ (1)的方程为一阶线性方程；若0)(=x Q ，则（1）式称为一阶线性齐次方程；0)(≠x Q ，（1）式称为一阶线性非齐次方程。

下面我们来看看方程（1）的解的情形：先看齐次方程：)(=+y x P dxdy （2） 显然是可分离变量方程。

得dxx P ydy )(-=，两边积分，得⎰=-dxx P ce y )( （3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。

下面我们求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似性，那它们的解也具有某种相似性。

我们用一种常数变易法来求（1）的解：假设⎰=-dxx P e x c y )()(为非齐次方程(1)的解，代入方程，得⎰'-dx x P e x c )()(⎰--dx x P e x c x P )()()()()()()(x Q e x c x P dxx P =⎰+-则)()()(x Q ex c dxx P =⎰'-， )()()(x Q e x c dxx P ⎰='积分，得Cdx e x Q x c dxx P +⎰=⎰)()()(则⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰=-⎰dxx P dx x P e C dx e x Q y )()()( （4）即为方程（1）的通解。

【例1】求x ytgx y sec =-'的通解。

解：由于x ytgx y sec =-'为一阶线性非齐次方程，且x x Q tgx x P sec )(,)(=-=，代入（4），得其通解为⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰=⎰-tgxdxtgxdx e C dx xe y sec ＝x C x sec )(+[例2] 求22yx y dxdy -=的通解。

解： 若将y看成函数，x 作为变量，此方程不是一阶线性方程。

故将x 看成函数，y作为变量，则原方程化为：yyx dydx 22-=进一步化简，yx y dy dx -=+2，为一阶线性方程，yy Q yy P -==)(,2)(代入（4），得方程的通解为)ln (y C y x -=。

二、 贝努力方程―可化为一阶线性方程的方程 定义2：称形如：nyx Q y x P dxdy )()(=+的方程为一阶贝努力方程。

下面我们看看贝努力方程的解的情形：将方程变形为)()(1x Q yx P dxdy ynn=+--，令nyz -=1，则方程化为)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+，为一阶线性方程，故可用上述方法求解，最后将nyz -=1代回，即得通解。

【例3】求0ln 2=-+'x y y y x 的通解。

解：将方程变形，得xx yxy yln 112=+'--，为贝努力方程。

令1-=yz ，代入xx z xdxdz ln 1-=-，利用（4），得Cx x z ++=1ln ，又1-=yz ，所以1ln 1++=cx x y 为原方程的通解。

第五节 全微分方程定义1：如果存在可微函数),(y x u ，使dyy x Q dx y x P du ),(),(+=，则称),(),(=+dy y x Q dx y x P 微全微分方程。

命题：（1）0=+Qdy Pdx 为全微分方程⇔yP xQ ∂∂=∂∂（2）0=+Qdy Pdx 的通解为 C y x u =),(，其中⎰⎰+=y y xx dyy x Q dx y x P y x u 0),(),(),(0。

【例1】求0)12(2=++dy yxxydx 的通解。

解：令yxQ xy P 12,2+==，由于yP xQ ∂∂=∂∂，故方程为全微分方程所以⎰⎰+=y y xx dy y x Q dx y x P y x u 0),(),(),(0=⎰⎰++yxdyyxxdx 12)12(Cy y x =+=ln 22二、可化为全微分方程的方程―积分因子 定义2：设0=+Qdy Pdx 不是全微分方程，如果存在可微函数),(y x u 使0=+uQdy uPdx 为全微分方程，则称),(y x u 为原方程的积分因子。

注：积分因子不唯一，而且一般也没有什么固定的方法求解积分因子，故只有多积累才能有效的解题。

【例2】（1）0=-ydx xdy ； （2）0)(222=+++dx x y x ydy xdx解：（1）01)(2=-xydx xdy ⇒012=-dx x ydy x⇒0=⎪⎭⎫⎝⎛x y d ⇒c x y =（2）01])([22222=++++yx dx x y x ydy xdx ⇒222=+++dx x yx ydy xdx⇒ 0)31()]ln(21[322=++x d y x d ⇒cx y x =++32231)ln(21第六节 可降阶的高阶微分方程定义1：称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程。