第十二章 微分方程

第十一章 微分方程

函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。

第一节

微分方程的基本概念

定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。 如：

12=+'+''xy y y 二阶方程；0

2

=+'xy y 一阶方程；

x y ='''三阶方程，等等

讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之，

x y ='''，方程两边三次积分，得方程的解

322

14

21241C x C x C x y +++=（321,,C C C 为任意常数）

。当4

24

1x

y =时，也满足方程。可见

322

14

2

124

1C x C x C x y +++

=

包括了所有的解的形式。则称它为通解。

定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。

注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注2：一阶方程的几种形式：一般形式：0),,

(='y y x F ，从这个方程种有可能解出y '，也有可能解不出来；一阶显

式方程：

),(y x f y ='；对称形式：

)

,(),(y x Q y x P dx

dy =

或0=+Qdy Pdx

注3：在一阶方程种，

x 和y 的关系是等价的.因此，有时可将x 看成函数，

y

看做变量。

第二节 可分离变量方程

定义1：称能改写为形式：

dx

x g dy y f )()(=的一阶方程为可分离变量方程。

注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。 定理1：若

)()(y f y F ='，)()(x g x G =，则dx

x g dy y f )()(=的通解为C

x G y F +=)()(

证： （1）先证C x G y F +=)()

(是方程的解。

两边对

x 求导，得)()(x g dx

dy y f =，即dx

x g dy y f )()(=

故

C

x G y F +=)()(是方程的解

（2）设)

(x y ϕ=是方程的任一解，则

dx

x g dx x x f )()()]([='ϕϕ

两边关于

x 积分，得

⎰

⎰=

'dx x g dx x x f )()()]([ϕϕ

又

)(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是)(x g 的一个原函数 则

C

x G x F +=)()]([ϕ，即

)(x y ϕ=在C

x G y F +=)()(中

所以，

C

x G y F +=)()(为

dx

x g dy y f )()(=的通解。

注1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。 注2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。 【例1】 求0sin cos cos sin

=-ydy x ydx x 的通解，并求满足初始条件4

)0(π

=

y 的特解。

解：方程可变为

dy y

y dx x

x cos sin cos sin =

，两边积分，得C

y x ln cos ln cos ln --=-

即

x

C y c o s c o s =为方程的通解。

又

4

)0(π

=

y ，代入，得

0cos 4

cos

C =π

2

2=

∴C

即满足初始条件的特解为

x y cos 2

2cos =

【例2】 求

y

x e

y +='的通解。

解：由

y

x y

x e

e e

y =='+，分离变量，得

dx

e e

dy x

y

=，两边积分，得

c

e e

x

y

+=--，即为方程的隐式通解。

二、可化为齐次方程的方程

经⎩⎨

⎧+=+=k

Y y h X x 变换将行如

1

11c y b x a c by ax dx

dy ++++=

方程化为齐次方程。

【例3】 求

1

1++--=

y x y x dx

dy 的通解。

解：令⎩⎨

⎧+=+=k

Y y h X x ，则

)

1()1(++++--+-=

k h Y X k h Y X dX

dY

令⎩⎨

⎧=++=--010

1k h k h ⎩⎨⎧-==⇒10k h 即 ⎩⎨⎧-==1Y y X x

方程变为：

Y

X Y X dX

dY +-=

，令X

Y u =

代入，得

X

dX du u

u u -

=--+2

211，积分，得

2

221CX

u u =--，由

X

Y u =

代回，得

通解为：

2

2

112

1Cx x y x

y =⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+- （其中C 为任意常数）

第三节 齐次方程

一、齐次方程