电磁场与电磁波第三版之

◇ 为表示点电荷的体密度，引入 函数
r
r
'
0
r r'
r r '
r
r
' d
0
r r'
1 r r '
f r r r 'd f r '
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r '
◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' /0
满足的方程：2G r, r ' r r '
3.1 静电场分析的基本变量 3.2 真空中静电场的基本方程 3.3 电位函数 3.4 泊松方程 拉普拉斯方程
3.5 点电荷的 函数表示 格林函数
3.6 格林定理 泊松方程的积分公式 3.7 惟一性定理 3.8 电介质的极化 极化强度 3.9 介质中的高斯定律 边界条件 3.10 恒定电场的基本方程 边界条件 3.11 导体系统的电容 3.12 电场能量 静电力
40 s R
, 1 ldl C
40 l R
例3.3.1 求电偶极子p qdl 的电位 r (教材例3.3.1)。
z r
q
P r, ,
dl
r r
q
解：取如图所示坐标系，场点 Pr,,
的电位等于两个点电荷电位的叠加
q 40
1 r
1 r
而 r r2 dl2 2rdl cos
1 RP qeR gdl q RP dR
40 R R2
40 R R
q 1 1 q 40 R Rp 40R C
若取 RP 处的电位为零，则 q 4 0 R
◇ 体电荷 d 、面电荷 dS 、线电荷 ldl 产生的电位分别为
1 d C
40 R
, 1 dS C
算球外空间的电位。
解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 2 0
C1 r
C2
ra U ◇ 电位满足的边界条件 r 0
由题意可知电位及电场具有球对称性 r
在球坐标系下
2
1 r2
d dr
r2
d dr
直接积分
C2 0 C1 aU
因此 aU r
E r
er
r
er
aU r2
3.5 点电荷的 函数表示 格林函数
1
1
r r2 dl2 2rdl cos
当 r dl
1 r
1 r
1 r2
dl cos
因此
1 40
1 r2
dl
cos
1 r
1 r
q dl cos
由于 40
r2
qdl cos qdl er p er
得电偶极子的电位
1 40
p er r2
1 40
pr r3
电偶极子的电场强度
E
1 40
而 gA g 2 g
Agn gn n
得格林第一恒等式
同理，若设 A
格林第一恒等式表示为
2
g
d
Ñ
S
n
dS
2
g
d
Ñ
S
n
dS
2 2
d
◇
定义格林函数
Gr,r ' 0 r,r '
无界空间中的解：G
r,
r
'
0
r,
r
'
4
1 r
r
'
格林函数的对称性：G r, r ' G r ', r
意义：电荷量为0的点电荷的电位。
3.6 格林定理 泊松方程的积分公式
格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。
由散度定理 gAd Ñ AgndS
S
设 A
3.1 静电场分析的基本变量
◇ 静电场的源变量是电荷 qr
◇
第2章中已由库仑定律引入了电荷
qr产生的电场强度
E
1 40
qR R3
◇
任意电荷分布产生的电场强度
E
r
1 40
r '
R3
R d
'
◇ 定义任意电荷分布产生的电位移矢量
D0
r
0
E
r
1 4
r '
R3
Rd
'
◇ 关系式 D0 0E 称为真空的电特性方程或本构关系
q 4
S
er dS R2
Ñ D0 dS rd
S
散 度 定 理
D0d
S为的外表面
表示闭合曲面S 对点电荷所在点张的立体角
于是电场的散度方程
q
蜒 所以
S
D0
dS
q 4
S
er dS R2
0
q 在闭合面内
D0
（高斯定理的微分形式）
q 在闭合面外
二、电场的旋度
在点电荷 q 的电场中，任取一条曲线 l ，积分
E z
z
◇ 若选取 P(xP, yP, zP ) 为电位参（即 P 0 则任意点 A(x, y, z) 的电位为
d Eldl E dl
），
◇ 空间A、B 两点的电位差
B
B A El dl
xP ,yP ,zP
A P
El dl
x,y,z
A
◇ 对于点电荷的电场，其电位为
其中 0 为常数。试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。（教材例3.2.1)
解: 电场具有球对称性，
当 r≥a
Ñ D02 dS Q
s
a
0
r
4r
2dr
40
a 0
r2
r4 a2
dr
8 15
0a3
4r 2 D02
于是
D02
2 15
0
a3 r2
r
当 r ≤a Ñ D01 dS r 4r2dr
3.2 真空中静电场的基本方程
一、电场的散度
q R rr' P r'
r o
若闭合面内有N 个点电荷
Leabharlann Baidu
N
Ñ D0 dS qi 真空中的高斯定律
S
i1
若闭合面内的电荷分布为 r
设空间存在一点电荷 qr，则 P 点的电位移
D0
qer 4R2
对任意闭合曲面S 积分
蜒 ? S
D0
dS
S
qer 4R2
dS
3
p r5
r
r
p r3
3.4 泊松方程 拉普拉斯方程
由 E D 0E 0
电
位
D
0
0
2
0
的 泊 松
方
若空间电荷分布为零，则有 2 0 电位满足的拉普拉斯方程
程
在直角坐标系中 2 2 2 2 x2 y2 z2
例3.4.1 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计
S
0
40
r 0
r2
r4 a2
dr
40
r3 3
r5 5a
4r 2D01
于是
D01
0
r 3
r3 5a3
3.3 电位函数
由 E 0 E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数
直
角
坐
标 系
E
ex
x
ey
y
ez
z
Ex
x
E
y
y
◇ E在任意方向上的分量
El l ◇ 由此可求得电位的微分
l
E dl
q
40
l
er dl R2
q
40
RB dR R2
RA
q
40
1
RA
1
RB
当积分路径是闭合曲线，A、B 两点重合，得
B
Ñ E dl 0 斯托克斯定理 E 0
l
RB q
l
真空中电场的基本方程
Ñ D dS q
s
Ñ E dl 0
l
D0 E 0
RA A
例 3.2.1 电荷按体密度 r 0 1 r2 / a2 分布于半径为a 的球形区域内，