电磁场与电磁波第三版之
《电磁场与电磁波》第三版电子课件006.
第6章 平面电磁波
于是，式(5-7-5)的电场矢量波动方程简化为一个标量方程
d2Ex dz 2
k 2Ex
0
(6-1-2)
k
(6-1-3)
这是一个齐次二阶常微分方程，其通解为
Ex=Emfe-jkz+Embej)
Ex(z,t)=|Emf|cos(ωt-kz+φmf)+|Emb|cos(ωt+kz+φmb) (6-1-5) 式中，右边第一项代表沿+z轴方向传播的均匀平面波，第二项
相速还可以表示为
式中，
c vp n
n rr
(6-1-9) (6-1-10)
n称为媒质的折射率(Index of Refraction)。显然，相速取决于媒 质的介电常数和磁导率。如果相速与频率无关，此时的媒质称 之为非色散(Nondispersive)媒质，否则称之为色散(Dispersive)媒 质。上述均匀、线性、各向同性的无耗媒质一定是非色散媒质。
Sav
1 2
Re
E
H
Em 2
2
az
(60π) 240π
az
15πaz
第6章 平面电磁波
6.2 导电媒质中的均匀平面波
6.2.1复介电常数
在导电媒质中，麦克斯韦第一方程的复数形式可写成如下
形式:
H E jE j (1－j )E j~E
(6-2-1)
式中，~ (1－j ) 是个复数，称为导电媒质的复介电常数
度和磁场强度均与波的传播方向垂直，或者说在传播方向上既
没有电场分量又没有磁场分量，故又称均匀平面波为横电磁波
(TEM 波，Transverse Electromagnetic Ｗave)。
电磁场与电磁波(第三版之2)
为分析电磁场，本章在宏观理论的假设和实验的基础 为分析电磁场， 介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。 上，介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。 在静止和稳定的情况下，确立分布电荷(Charge)与 分布电荷(Charge) ● 在静止和稳定的情况下，确立分布电荷(Charge)与分 布电流(Current)的概念物理量； (Current)的概念物理量 布电流(Current)的概念物理量；在电荷守恒的假设前提下 确立电流连续性方程。 ，确立电流连续性方程。 在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场强 在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场强 Intensity)和磁感应强度B 度E(Electric Intensity)和磁感应强度B (Magnetic 的概念。 Intensity)的概念 Induced Intensity)的概念。
定义点电荷
q
q
E (r ) =
O
4πε 0 R
eR =
q 4πε 0 R
3
R 式中R = r r '
N个点电荷产生的电场强度 E ( r ) = 对于连续的电荷分布 体分布
∑ 4πε
i =1
N
qi
0
R
2 i
e Ri =
∑ 4πε
i =1
N
qi
0
R
3 i
Ri
面分布
线分布
E (r ) =
∫ τ
ρ (r ' ) d τ '
例：求到一段直线电流的距离为 的点 求到一段直线电流的距离为a的点 的点P 的磁感应强度B， 的磁感应强度 ， 该点到直线电流两端 的距离相等。 的距离相等。
电磁场与电磁波(第三版之8)导行电磁波.
8.9 谐振腔随着频率的增高，电磁波的波长接近元件尺寸，◇随着频率的增高，电磁波的波长接近元件尺寸，由集总参数元件组成的振荡回路容易产生辐射，损耗增大。
故采用空腔谐振器。
容易产生辐射，损耗增大。
故采用空腔谐振器。
空腔谐振器的形成过程。
◇空腔谐振器的形成过程。
fo = 1 2 π LC d f 0 ↑ , L ,C ↓ d ↑, N ↓ (b (a fo ↑ d ↑ , N并联f0 ↑ d ↑ , N连续 (c (d 几种常见的微波谐振腔。
◇几种常见的微波谐振腔。
谐振腔的主要参量是；谐振腔的主要参量是；谐振波长和品质因素。
振波长和品质因素。
（a）矩形腔（b）圆柱腔（c）同轴腔以矩形谐振腔为例，说明有关参数的计算方法。
以矩形谐振腔为例，说明有关参数的计算方法。
y x a b O 矩形谐振腔 d z 的矩形波导。
考虑横截面为 a × b 的矩形波导。
假轴为参考的“传播的方向” 设z轴为参考的“传播的方向”。
由于在z=0和 z=d 处存在导体壁，波将在其间处存在导体壁，和来回反射形成驻波，来回反射形成驻波，所以在空腔内不可能有波的传播。
能有波的传播。
由此构成一个矩形谐振腔。
知矩形波导中TMmn和TEmn的相位系数由式（8.2.21（见教材 191知矩形波导中（见教材P 知矩形波导中和的相位系数由于在z=0,d处存在电壁，要求处存在电壁，由于在处存在电壁 k zm n d = l π k = kmnl ( l = 1, 2,..... 2 2 2 与之对应的频率即为谐振腔的谐振频率式中v = 1 µε模式的谐振频率和场结构。
教材例教材例8.9.1 例8.9.1 求矩形谐振腔内TE101 模式的谐振频率和场结构。
(教材例解：由矩形波导中TE10模的场分布式由矩形波导中由条件得于是得矩形谐振腔内TE 得矩形谐振腔内 101模式的场量为沿+z方向传播方向传播的分量沿-z方向传方向传播的分量=0 H 0+ = − H 0− H 0+ e − jk z10 z + H 0−e jkz 10 z = −2 jH 0+ sin ( k z10 z H得由条件则Ey z =d =0 π d k z10 d = π ⇒ k z10 = 相应的k为相应的为故谐振频率为谐振腔的另一重要参数是品质因素谐振腔的另一重要参数是品质因素 Q ，其定义为Q =ω W Pl 储存的能量损耗的功率。
电磁场与电磁波(王家礼 西电第三版)第三章 恒定电流的电场和磁场
3-7 所示)。设土壤的电导率为σ；接地半球的电导率为无穷大。
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-7 半球形接地器
第三章 恒定电流的电场和磁场
解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可 将导体球看作等位体。在土壤内，半径r等于常数的半球面是 等位面。假设从接地线流入大地的总电流为I，可以容易地求 出，在土壤内任意点处的电流密度，等于电流I均匀分布在半 个球面上。即：
图 3-5 同轴线横截面
第三章 恒定电流的电场和磁场
两导体间的电位差为
b
U Edr
I
lnb
a
2π a
这样，可求出单位长度的漏电导为
G0
I U
2π
ln b
a
例 3-2 一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒质
的电导率为σ，求该电容器的漏电导。
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流
过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的
RIP2 4π1(a11b)
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟 如果我们把导电媒质中电源外部的恒定电场与不存在体电荷
区域的静电场加以比较,则会发现两者有许多相似之处,如表 3-2 。 可见，恒定电场中的E、j、J、I和σ分别与静电场中的E、 j 、
D、q和ε相互对应，它们在方程和边界中处于相同的地位，因而 它们是对偶量。由于二者的电位都满足拉普拉斯方程，只要两种 情况下的边界条件相同，二者的电位必定是相同的。因此，当某 一特定的静电问题的解已知时，与其相应的恒定电场的解可以通 过对偶量的代换(将静电场中的D、q和ε换为J、I和σ)直接得出。 这种方法称为静电比拟法。例如，将金属导体 1、2 作为正、负极 板置于无限大电介质或无限大导电媒质中，如图 3-6 所示，可以 用静电比拟法从电容计算极板间的电导。因为电容为
电磁场与电磁波第三版课后答案
电磁场与电磁波第三版课后答案本文是对《电磁场与电磁波》第三版的课后习题答案的整理与解答。
本书是电磁场与电磁波领域的经典教材，其中的习题对于巩固和加深对电磁场与电磁波知识的理解非常重要。
以下是本文对第三版的习题答案的详细解析。
第一章电磁场基本概念1.1 电磁场基本概念习题答案：1.电磁场的基本概念是指在空间中存在着电场和磁场，它们相互作用产生相互关联的现象；它们是由带电粒子的运动而产生的，是物理学的基本概念之一。
2.宏观电荷位移是指电荷在物体内部的移动；它的存在使得物体表面或其周围的电场产生变化，从而产生an内部电磁场。
3.电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组，由四个方程组成：高斯定律、法拉第电磁感应定律、法拉第电磁感应定律的积分形式和安培环路定律。
1.2 矢量分析习题答案：1.根据题目所给的向量，求两个向量的点乘积：$\\vec{A}\\cdot\\vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{ z}$2.根据题目所给的向量，求两个向量的叉乘积：$\\vec{A}\\times\\vec{B}=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\\hat{i}+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})\\hat{j}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\\hat{k}$3.定义标量和矢量场，然后利用高斯定理得出结论。
1.3 电场与静电场习题答案：1.静电场是指电场的源是静止电荷，不会随时间变化，不产生磁场。
2.在静电场中，高斯定律表示为：$\ abla \\cdot\\vec{E} = \\frac{1}{\\varepsilon_0}\\rho$，其中$\ abla\\cdot \\vec{E}$表示电场的散度，$\\varepsilon_0$表示真空介电常数，$\\rho$表示电荷密度。
3.电场的位移矢量$\\vec{D}$定义为$\\vec{D} =\\varepsilon_0 \\vec{E} + \\vec{P}$，其中$\\varepsilon_0$表示真空介电常数，$\\vec{E}$表示电场强度，$\\vec{P}$表示极化强度。
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案第一题题目一个半径为R的均匀带电球壳的电荷面密度为σ，以电荷面密度为0的球心C为球心作半径为R的球面S，球面上一点P的电场强度E的大小与距离R的关系。
### 答案由于球壳上各点带电量的方向相反，由球壳对球内外各一点的电场叠加，所以无论球面内或球面外，点P的电场强度大小与距离R 无关。
即E不随R的变化而变化。
第二题题目电势能缺少的条件是什么？ ### 答案电势能缺少的条件有两个：第一是电势为零点的规定，第二是确定电势差。
电势能只能说是一个与地球或其他准零电位的参考体系有关的概念，它取决于选取零点时电势与参考体系的差，而不是取决于问题中的具体点或场点的电势。
题目在有限导体平面上有一面密度为质量面密度σ的均匀带电薄片，试推导在它所在面的垂直平分线上的电势。
### 答案在面上任选此点坐标为(x,0)，显然它距离面上各点的距离和面在此点的电势分别为：r = (x^2 + y^2) ^ (1/2)，V = kq / r。
这里面的q = σdx。
由于对称性可知任一垂直平分线上的电势是相等的，所以我们可以通过积分的方法求出垂直平分线上的电势。
电势V为此线两边同号。
所以，由于σdx$$ V=\\int_0^{+\\infty}\\frac{k\\sigma dx}{x^2}+\\int_0^{-\\infty}\\frac{k\\sigma dx}{x^2} =+\\infty $$两项分别收敛。
所以原版电势。
题目试推导导体表面任意点上电场强度的切线与导体表面的夹角θ与电势的关系。
### 答案任意一个点r(k)在导体表面上，电场E的方向就垂直于导体表面，从而与该点处的法向量n垂直。
另一方面，根据高斯定理得出E.EA=Φ/ε，导体表面n方向上在2S表面积内的电荷为，即σ*2S,而2S又等于dA。
从而得到该方向上场强为E的切向分量EEE=2EE其中，E=dΦ/dA=-dΦ2S/εdA这样就有了场强与导体表面的法线方向上单位面积上电荷量与电势的关系题目试设内半径为a，外半径为b，中心位于轴线上的两同心导体球壳A、B，A球壳带正电+q，B球壳不带电，试详细分析以下两种情况：(1)球壳之间无绝缘介质；(2)球壳之间有绝缘介质。
电磁场与电磁波第三版之
l
◇ 实验证明，导电媒质中电流密度与电场 强度成正比J， 即 E
◇ 称为导电媒质的电导率。
要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B
极板的正电荷q抵抗电场力搬到A极板。这种提供非静电力将其
它形设式局的外能场量强转E为e为 电fqe 能装，置则称电为源电电源动。 Ee dl (V)
q 1 1 q 40 R Rp 40R C
若取RP 处的电位为零，
则 q
4 0 R
◇ 体电荷d 、面电荷dS 、线电ldl产生的电位分别
荷
为
1 d C
40 R
, 1 dS C
40 s R
, 1 ldl C
40 l R
例3.3.1 求电偶极p 子qdl 的电r位 (教材例3.3.
引入极化电荷后，介质的极化效应由极化电荷表征，即空间
的电场由自由电荷和极化电荷产生。而极化电荷和自由电荷的
实质相S D0同dS，则q qp , l E dl 0
而
qp
pd
ppd
p dS
s
由实验证明，P 和 E 之间有一定的线性关系，
得 s D0 P dS q
即
p e0E
产生E的电41场0 qR强R3 度
◇
任意电荷分布产生的电场E r强 度1
40
r '
R3
R d
'
◇ 定义任意电荷分布产生的电位
D0
r
0
E
r
1 4
r '
R3
Rd
'
移矢量
◇ 关系式D0 0E 称为真空的电特性方程或本 构关系
3.2 真空中静电场的基本方程
电磁场与电磁波（第三版）课后答案第2章
电磁场与电磁波（第三版）课后答案第2章第⼆章习题解答⼀个平⾏板真空⼆极管内的电荷体密度为43230049U d x ρε--=-，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。
如果040V U =、1cm d =、横截⾯210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。
解（1） 43230004d ()d 9dQ U d x S x τρτε--==-=??110044.7210C 3U S dε--=-? （2）4320024d ()d 9dd Q U d x S x τρτε--''==-=?11004(10.9710C 3U S d ε--=-? ⼀个体密度为732.3210C m ρ-=?的质⼦束，通过1000V 的电压加速后形成等速的质⼦束，质⼦束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解质⼦的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。
由21mv qU = 得 61.3710v ==? m s故 0.318J v ρ== 2A m26(2)10I J d π-== A⼀个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀⾓速度ω绕⼀个直径旋转，求球内的电流密度。
解以球⼼为坐标原点，转轴（⼀直径）为z 轴。
设球内任⼀点P 的位置⽮量为r ，且r 与z 轴的夹⾓为θ，则P 点的线速度为sin r φωθ=?=v r e ω球内的电荷体密度为343Qa ρπ=故 333sin sin 434Q Q r r a a φφωρωθθππ===J v e e ⼀个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀⾓速度ω绕⼀个直径旋转，求球表⾯的⾯电流密度。
解以球⼼为坐标原点，转轴（⼀直径）为z 轴。
设球⾯上任⼀点P 的位置⽮量为r ，且r 与z 轴的夹⾓为θ，则P 点的线速度为sin a φωθ=?=v r e ω球⾯的上电荷⾯密度为24Q a σπ=故 2sin sin 44S Q Q a a aφφωσωθθππ===J v e e 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。
电磁场与电磁波(第三版之8)导行电磁波
y
b x
a 矩形波导
矩形波导及所有单导体波导不能传输TEM波 一、TM波
（1）场分量
如图表示的矩形波导，对于TM波，由
Ex
2
k2
Ez x
Ey
2
k2
Ez y
Hx
j
2 k2
Ez y
Hy
j
2 k2
Ez x
故所有的场分量由Ez决定，而
2Ez k 2Ez 0
1
波阻抗
ZTEM
Ex Hy
由教材式8.1.5a :
H z y
H y
j Ex
j
j
ZTEM
相伴的磁场
H
1 ZTEM
ez
E
1
ez
E
与无界空间中均匀平面波的关系相同
二、 横磁波(TM)
三、 横电波(TE)
因为Hz=0，其场分量
H
x
j
2 k2
Ez y
Hy
j
2 k2
Ez x
Ey
h2
n b
E0
sin
m a
x
cos
n b
y
ez
H
x
j h2
n b
E0
sin
m a
x
cos
n b
y
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案第一题问题一个磁感应强度为B的均匀磁场，在其中有一个长为l、电阻为R的长直导线。
导线与磁感应强度方向成夹角θ。
若导线被引出的两个端头A、B相距d，则导线两个端头的电势差是多大？解答根据电磁感应定律，导线两个端头的电势差可以通过导线所受的磁场力与电阻的乘积来计算。
设电流的方向与磁场方向成夹角α，则磁场力的大小为F = BIL sinα，其中I为电流的大小。
电流可以通过欧姆定律来计算，即I = U / R，其中U为电阻两端的电势差。
将电流的表达式代入磁场力的表达式中，得到F = B(U / R)l sinα。
根据电势差的定义，有U = Fd = B(U / R)l sinα * d. 移项整理得到U(1 - Bld sinα / R) = 0，解得U = 0 或者 1 - Bld sinα / R = 0。
如果U = 0，则代表导线两个端头的电势差为0，即没有电势差。
这种情况下，导线两个端头之间的电势相等。
如果1 - Bld sinα / R = 0，则导线两个端头的电势差为U = Bld sinα / R。
综上所述，导线两个端头的电势差为U = Bld sinα / R。
第二题问题一个半径为R的导线圈，通过其中的电流为I，产生的磁感应强度为B。
若导线圈的匝数为N，导线圈中心处的磁感应强度是多少？解答根据长直导线的磁场公式，通过导线圈中心点的磁感应强度的大小可以通过长直导线的磁场公式来计算。
长直导线的磁场公式为B = μ0I / (2πd)，其中B为磁感应强度，μ0为真空中的磁导率，I为电流的大小，d为测量点到导线的距离。
对于导线圈来说，可以将导线分成无数个长直导线，然后将它们对应的磁场强度相加。
考虑到导线圈的几何形状，可以得到导线圈中心处的磁感应强度的大小为Bm = N * B，其中Bm为导线圈中心处的磁感应强度，N为导线圈的匝数，B为单根导线产生的磁感应强度。
电磁场与电磁波(第三版)课后答案第3章
第三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量d d zz SSS Φ====⎰⎰D S D e22322232()[]2d 4()()aq a arr r a r a ππ--=++⎰ 221201)0.293()aqa q q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ，试证明之。
解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZer π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 333434a a Ze Zer r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为32234344r r ar Ze rr r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。
求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。
电磁场与电磁波第三版之5
B r 穿过任意闭合曲面的
磁通量恒为零
n AdS Ad
S
c
0Idl 4
S
dSn
1 R
由 B dS Bd 0
S
得 B 0
二、磁场的旋度
设H 是由直流回路 c 产生的磁场强度，l 为一闭合曲线,则磁场强度H沿 l 的环流为
◇ 分子磁偶极矩 Pm IdS
Pm
I —分子电流，电流方向与dS方向成右手螺旋关系。
n
◇ 无外磁场作用时，媒质对外不显磁性， Pm 0
I
i 1
n
◇ 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， pm 0
旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致i，1 对外呈现磁
性，称为磁化现象。
◇ 用磁化强度M 表示磁化的程度，即
另外，由 nB1 B2 0 n A1 A2 0 A1 A2
B A
由
nH1 H2 0
1
A1
t
1
A2
t
例 5.7.1 铁质的无限长圆管中通过电流I，管的内外半径分别为a和b。已知铁的磁导
z
A
由线电流的矢位计算公式
dA 0Idl 4R
l
r
2
o
l 2 dz '
Pr,0, z
x
dA
ez
0I 4R
r
2
dz '
zz
'
2 1/ 2
积分可得
007【电磁场与电磁波(第三版之时变电磁场)】
即
J
0 t
（电流连续性方程）
◇ 麦氏方程的限定形式和非限定形式 用E、D、B、H 四个场量写出的方程称为麦氏方程的非限定形式。 对于线性各向同性媒质，有本构关系
D E 0 r E B H 0 r H J E
用E、H 二个场量写出的方程称为麦氏方程的限定形式。 微分形式
J cm Em 4Em
E ex Em cos t
Jd D e x 0 r Em sin t t
J dm 0 r Em 4.5 103 Em
故
J dm 1.125 103 J cm
6.3
微分形式
H J D t B E t
麦克斯韦方程
积分形式
D ) dS t
c
H dl
S
(J
第一方程
c
E dl
S
B dS t
第二方程
第三方程 第四方程
B 0
D
讨论
B dS 0 D dS q
s
S
◇麦克斯韦第一方程 ——推广的全电流定律，表明传导电流和变化的电场都能产 生磁场。 ◇麦克斯韦第二方程 ——推广的电磁感应定律, 表明变化的磁场能产生电场。 ◇ 麦克斯韦第三方程 ——磁通连续性原理，表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲 线。 ◇ 麦克斯韦第四方程 ——高斯定律，表明电荷以发散的方式产生电场。 ◇ 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。 ◇ 电流连续性方程可由麦氏方程导出。
c
◇ 麦克斯韦提出位移电流假说：在电容器两极板之间存在另一种电流， 其值与传导电流i相等。 S1和S2构成的闭合曲面，应用电流连续原理，有
大学课件电磁场与电磁波(第三版)(郭辉萍)第8章波导与谐振器
第8章 波导与谐振器
1) TE波(Transverse Electric Wave) 对TE波，Ez=0，Hz=H0z(x,y)e-jβz≠0，代入式(8-1-11)可得
x22 y22H0z(x,y)kc2H0z(x,y)0 应用分离变量法，令
(8-1-14)
H0z(x, y)=X(x)Y(y) 代入式(8-1-14)， 并除以X(x)Y(y)， 得
nπ b
y ejz
mπ b
Hmnsin
mπ a
x co s
nπ b
y ejz
nπ b
Hmncos
mπ a
x sin
nπ b
y ejz
(8-1-22)
第8章 波导与谐振器
式中，kc=
m
2
n
2
为矩形波导TE波的截止波数。
a b
显然它与波导尺寸、传输波型有关。m和n分别代表TE波沿x方 向和y方向分布的半波个数。一组m、n对应一种TE TEmn模，但m和n不能同时为零，否则场分量全部为零，因此 矩形波导能够存在TEm0和TE0n模及TEmn(m, n≠0)模。其中TE10 模是最低次模，其余称为高次模。
设
2 t
为二维拉普拉斯算子，则有
2
t2
2 z2
(8-1-4)
利用分离变量法，令
Ez(x,y,z)=Ez(x,y)Z(z) 将其代入式(8-1-3)，并整理得
t2
k2
Ez(x,y)
d2 dz2
Z(z)
Ez(x,y)
Z(z)
(8-1-5) (8-1-6)
第8章 波导与谐振器
上式中左边是横向坐标(x, y)的函数，与z无关；而右边是z 的
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算球外空间的电位。
解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 2 0
C1 r
C2
ra U ◇ 电位满足的边界条件 r 0
由题意可知电位及电场具有球对称性 r
在球坐标系下
2
1 r2
d dr
r2
d dr
直接积分
C2 0 C1 aU
因此 aU r
E r
er
r
er
aU r2
3.5 点电荷的 函数表示 格林函数
◇
定义格林函数
Gr,r ' 0 r,r '
无界空间中的解：G
r,
r
'
0
r,
r
'
4
1 rБайду номын сангаас
r
'
格林函数的对称性：G r, r ' G r ', r
意义：电荷量为0的点电荷的电位。
3.6 格林定理 泊松方程的积分公式
格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。
由散度定理 gAd Ñ AgndS
S
设 A
1
1
r r2 dl2 2rdl cos
当 r dl
1 r
1 r
1 r2
dl cos
因此
1 40
1 r2
dl
cos
1 r
1 r
q dl cos
由于 40
r2
qdl cos qdl er p er
得电偶极子的电位
1 40
p er r2
1 40
pr r3
电偶极子的电场强度
E
1 40
40 s R
, 1 ldl C
40 l R
例3.3.1 求电偶极子p qdl 的电位 r (教材例3.3.1)。
z r
q
P r, ,
dl
r r
q
解：取如图所示坐标系，场点 Pr,,
的电位等于两个点电荷电位的叠加
q 40
1 r
1 r
而 r r2 dl2 2rdl cos
q 4
S
er dS R2
Ñ D0 dS rd
S
散 度 定 理
D0d
S为的外表面
表示闭合曲面S 对点电荷所在点张的立体角
于是电场的散度方程
q
蜒 所以
S
D0
dS
q 4
S
er dS R2
0
q 在闭合面内
D0
（高斯定理的微分形式）
q 在闭合面外
二、电场的旋度
在点电荷 q 的电场中，任取一条曲线 l ，积分
S
0
40
r 0
r2
r4 a2
dr
40
r3 3
r5 5a
4r 2D01
于是
D01
0
r 3
r3 5a3
3.3 电位函数
由 E 0 E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数
直
角
坐
标 系
E
ex
x
ey
y
ez
z
Ex
x
E
y
y
◇ E在任意方向上的分量
El l ◇ 由此可求得电位的微分
3.2 真空中静电场的基本方程
一、电场的散度
q R rr' P r'
r o
若闭合面内有N 个点电荷
N
Ñ D0 dS qi 真空中的高斯定律
S
i1
若闭合面内的电荷分布为 r
设空间存在一点电荷 qr，则 P 点的电位移
D0
qer 4R2
对任意闭合曲面S 积分
蜒 ? S
D0
dS
S
qer 4R2
dS
3.1 静电场分析的基本变量 3.2 真空中静电场的基本方程 3.3 电位函数 3.4 泊松方程 拉普拉斯方程
3.5 点电荷的 函数表示 格林函数
3.6 格林定理 泊松方程的积分公式 3.7 惟一性定理 3.8 电介质的极化 极化强度 3.9 介质中的高斯定律 边界条件 3.10 恒定电场的基本方程 边界条件 3.11 导体系统的电容 3.12 电场能量 静电力
E z
z
◇ 若选取 P(xP, yP, zP ) 为电位参（即 P 0 则任意点 A(x, y, z) 的电位为
d Eldl E dl
），
◇ 空间A、B 两点的电位差
B
B A El dl
xP ,yP ,zP
A P
El dl
x,y,z
A
◇ 对于点电荷的电场，其电位为
l
E dl
q
40
l
er dl R2
q
40
RB dR R2
RA
q
40
1
RA
1
RB
当积分路径是闭合曲线，A、B 两点重合，得
B
Ñ E dl 0 斯托克斯定理 E 0
l
RB q
l
真空中电场的基本方程
Ñ D dS q
s
Ñ E dl 0
l
D0 E 0
RA A
例 3.2.1 电荷按体密度 r 0 1 r2 / a2 分布于半径为a 的球形区域内，
1 RP qeR gdl q RP dR
40 R R2
40 R R
q 1 1 q 40 R Rp 40R C
若取 RP 处的电位为零，则 q 4 0 R
◇ 体电荷 d 、面电荷 dS 、线电荷 ldl 产生的电位分别为
1 d C
40 R
, 1 dS C
3
p r5
r
r
p r3
3.4 泊松方程 拉普拉斯方程
由 E D 0E 0
电
位
D
0
0
2
0
的 泊 松
方
若空间电荷分布为零，则有 2 0 电位满足的拉普拉斯方程
程
在直角坐标系中 2 2 2 2 x2 y2 z2
例3.4.1 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计
而 gA g 2 g
Agn gn n
得格林第一恒等式
同理，若设 A
格林第一恒等式表示为
2
g
d
Ñ
S
n
dS
2
g
d
Ñ
S
n
dS
2 2
d
◇ 为表示点电荷的体密度，引入 函数
r
r
'
0
r r'
r r '
r
r
' d
0
r r'
1 r r '
f r r r 'd f r '
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r '
◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' /0
满足的方程：2G r, r ' r r '
其中 0 为常数。试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。（教材例3.2.1)
解: 电场具有球对称性，
当 r≥a
Ñ D02 dS Q
s
a
0
r
4r
2dr
40
a 0
r2
r4 a2
dr
8 15
0a3
4r 2 D02
于是
D02
2 15
0
a3 r2
r
当 r ≤a Ñ D01 dS r 4r2dr
3.1 静电场分析的基本变量
◇ 静电场的源变量是电荷 qr
◇
第2章中已由库仑定律引入了电荷
qr产生的电场强度
E
1 40
qR R3
◇
任意电荷分布产生的电场强度
E
r
1 40
r '
R3
R d
'
◇ 定义任意电荷分布产生的电位移矢量
D0
r
0
E
r
1 4
r '
R3
Rd
'
◇ 关系式 D0 0E 称为真空的电特性方程或本构关系