1978年全国统一高考数学试卷

一、解答题（共11小题，满分120分）

1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．

2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．

3．（4分）求函数的定义域．

4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．

5．（4分）化简：

6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．

7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．

求证：（1）CD=CM=CN；

（2）CD2=AM•BN．

8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．

9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）

10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）

（1）m是什么数值时，y的极值是0？

（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．

参考答案与试题解析

一、解答题（共11小题，满分120分）

1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）

复数范围．

考点：虚数单位i及其性质．

专题：计算题．

分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．

解答：解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．

（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．

（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．

点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．

2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆

柱体的体积．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：计算题；综合法．

分析：由题设，设圆柱体的半径为r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可．

解答：解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h

因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长

所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，

由公式圆柱体体积V=πr2h=．

答：直圆柱体的体积的体积是

点评：本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题．

3．（4分）求函数的定义域．

考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．

专题：计算题．

分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．

解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0

解得1＜x＜2．

故函数定义域为（1，2）．

点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．

4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．

考点：两角和与差的正弦函数．

专题：计算题．

分析：先利用诱导公式使原式等于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．

解答：

解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°=

点评：本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．

5．（4分）化简：

考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．

分析：根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案．

解答：

解：原式==2•=

点评：指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①a r•a s=a r+s（a＞0，r，s∈R）．②（a r）s=a r•s（a ＞0，r，s∈Q）．③（a•b）r=a r•b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．

6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内

形，并画出显示其数量特征的草图．

考点：圆锥曲线的共同特征．

专题：计算题．

分析：（1）k=1，方程的图形是圆半径为2，当k＞1且k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在y轴上；当1＞k＞0时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在x轴上

（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2

（3））k＜0时，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，

解答：解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=；②k=1时，为半径r=2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半

长轴=，半短轴=2

（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2如图：

（3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，

如图：

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．属基础题．

7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，

BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．

求证：（1）CD=CM=CN；

（2）CD2=AM•BN．

考点：与圆有关的比例线段．

专题：证明题．

分析：（1）首先根据题中圆的切线条件得二组角相等，再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等，从而证得线段相等；

（2）在直角三角形ABC中应用射影定理求得一个线段的等式，再根据线段的相等关系可求得

CD2=AM•BN．

解答：证明：（1）连接CA、CB，

则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC

∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC

∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°

∴CD2=AD•DB

由（1）知AM=AD，BN=BD

∴CD2=AM•BN．

点评：本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理，属容易题．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．

考点：对数的运算性质．

分析：根据指数与对数式的互化，可先将18b=5化为log185=b，然后代入即可得到答案．

解答：解：∵18b=5，∴log185=b