1978年全国统一高考数学试卷

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1979年全国统一高考数学试卷(理科)

1979年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．2．（6分）（1979•北京）化简．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？4．（6分）叙述并证明勾股定理．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|P D|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．1979年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．考点：等差关系的确定．专题：证明题．分析：根据所给的等式进行整理，分解整理成符合完全平方形式，得到一个式子的完全平方等于0，则这个式子等于0，三个变量符合等差数列．解答：证明：∵（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=（x+z）2﹣2•2y（z+x）+4y2=（z+x﹣2y）2=0∴2y=x+z，∴x，y，z成等差数列．点评：本题考查等差数列和整式的整理，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．2．（6分）（1979•北京）化简．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：由下向上依次运算，1﹣csc2x=﹣cot2x，1﹣=1+tan2x，1﹣=1﹣cos2x．解答：解：原式=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，繁分式的化简采用从下向上依次运算的顺序进行．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：溶质=溶液×百分比；分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比．解答：解：甲中含纯酒精（公斤），含水（公斤）乙中含纯酒精（公斤），含水（公斤）甲乙共含纯酒精=公斤甲乙共含水=公斤混合后，纯酒精与水比为：[m1v1（m2+n2）+m2v2（m1+n1）]：[n1v1（m2+n2）+n2v2（m1+n1）]．点评：考查函数模型的选择与应用，考查列代数式；得到纯酒精的和及纯水的和是解决本题的关键．4．（6分）叙述并证明勾股定理．考点：分析法和综合法．专题：证明题．分析：勾股定理的内容为：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理．它有不同的证明方法，这里我们用面积法来证明．解答：证明：如图左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b），所以可以列出等式，化简得a2+b2=c2．下面是一个错误证法：解：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理证明：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c．再做一个边长为c的正方形．把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上．过点Q作QP∥BC，交AC于点P．过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N．∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°．∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．同理可证Rt△QNF≌Rt△AEF．即a2+b2=c2点评：勾股定理是初等几何中的一个基本定理．所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究．故大家要熟练掌握他的内容及证明方法．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC可分别表示出AC，BC，进而代入S=AC+BC 中，根据d的范围确定cotα+cotβ的范围．解答：解：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=d•cotα在直角三角形PC中，BC=d•cotβ∴S=AC+BC=d（cotα+cotβ）当d≤D，即cotα+cotβ≥时，应向外国船发出警告．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．考点：棱锥的结构特征；余弦定理的应用；三垂线定理．专题：计算题；证明题．分析：证一求出△ABC的三边，利用余弦定理验证即可．证二利用三垂线定理证明△ABC是锐角三角形．解答：解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．于是p2=a2+b2，q2=b2+c2，r2=c2+a2．由余弦定理：∴∠CAB为锐角．同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．点评：本题考查棱锥的结构特征，三垂线定理，余弦定理等知识，是中档题．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：根据题设条件，年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．然后取自然对数求出年增长率x．解答：解：年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．取自然对数有40ln（1+x）=ln5．又lg5=1﹣0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61利用ln（1+x）≈x，则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四．点评：注意挖掘题设中的隐含条件，寻找数量间的等量关系，能够准确求解．8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：做出辅助线，根据一个圆周角是直角，得到圆周角所对的弦是直径，根据连接圆心与切点的直线垂直，得到直角，在直角三角形中应用射影定理，得到线段成比例，通过变形得到要征得结论．解答：解：证连接CD，∵∠CFD=90°，∴CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，∴CD⊥AB，又在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∴AC2=AD•AB，BC2=BD•BA∴又因BD2=BC•BF，AD2=AC•AE∴由（1）与（2）得点评：本题是一个与圆有关的比例线段问题，这是一个平面几何问题，在解题时所应用的方法在立体几何中也会用到，是一个综合题．9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）考点：数列的求和；对数的运算性质．分析：根据题意得该数列的第k项的通项a k，得到这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数，得到a k≥0且a k+1＜0，解得k的取值范围，求出正整数解得到k的值，然后利用等差数列的前k项和的公式得到和的最大值即可．解答：解：该数列的第k项为：所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k应适合下列条件：解此不等式组：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2又k∈N，∴k=14取k=14，前14项的和点评：此题考查学生会进行对数的运算，会根据要使数列前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数列出不等式求出数列和的最大值．10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），由题意知|OP|=，|PD|=xsinθ﹣ycosθ，|PF|=xsinθ+ycosθ，由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0，由此可知，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．（2）由题意知x2sin2θ﹣y2cos2θ=4y2cos2θ，所以5y3cos2θ=x2sin2θ，y=，由此入手可以推出所求点P的坐标．解答：解：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），则|OP|=|PD|=|OP|sin（θ﹣α）=|OP|（sinθcosα﹣cosθsinα）=xsinθ﹣ycosθ|PF|=|OP|sin（θ+α）=|OP|（sinθcosα+cosθsinα）=xsinθ+ycosθ由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2sin2θ﹣y2cos2θ=（h﹣x）2（1）即x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0除以cos2θ≠0得即这是以为中心，以为半径的圆，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分，注意：在A作直线AE′⊥OA，则OE′=，E′是圆的中心AE′=是圆的半径，A是圆上一点，而且圆在A的切线是OA．（2）由条件|PD|+|PE|=|PF|得xsinθ﹣ycosθ+h﹣x=xsinθ+ycosθ即x+ycosθ=h （2）此直线通过（h，0）点及（0，）点，由（1），（2）得x2sin2θ﹣y2cos2θ=4y2cos2θ，∴5y3cos2θ=x2sin2θ，y=由|PD|+|PE|=|PF|可知y＞0，所以这里右端取正号，代入（2）得=h，∴=，=，所求点P的坐标为（）．点评：本题二圆锥曲线知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．。

1988年全国统一高考数学试卷(文科)

1988年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（）A．1B．﹣1 C．i D．﹣i2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）A．点P在直线LB．点P在圆M上，但不在直线L上上，但不在圆M上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上C．点P既在圆M上，又在直线L上3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）A．7个B．8个C．6个D．5个4．（3分）函数y=a x（0＜a＜1）的图象是（）A．B．C．D．5．（3分）已知椭圆方程，那么它的焦距是（）A．6B．3C．D．6．（3分）在复平面内，与复数z=﹣1﹣i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C1048．（3分）（2014•漳州二模）函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π9．（3分）（2014•济南二模）的值等于（）A．B．C．D．10．（3分）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是（） A ． B ． C ． a =1 D ． a =﹣ 111．（3分）（2009•湖北）函数的反函数是（）A ． B． C ． D ．12．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（）A ．相交直线B ．平行直线C ．不互相垂直的异面直线D ．互相垂直的异面直线13．（3分）函数在闭区间（）A ．上是增函数 B ．上是增函数 C ． [﹣π，0]上是增函数D ．上是增函数14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（） A ． C 32C 1973种 B ． C 32C 1973+C 33C1972种C ． C 2005﹣C 1975种D ． C 2005﹣C 31C 1974种 15．（3分）已知二面角α﹣AB ﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tanθ的值等于（） A ． B ． C ．D ．二、解答题（共6小题，满分75分） 16．（20分）（1）求复数的模和辐角的主值．（2）解方程9﹣x ﹣2•31﹣x =27．（3）已知，求的值．（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积．（5）求．17．（10分）证明：cos3α=4cos3α﹣3cosα．18．（10分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．19．（11分）在双曲线x2﹣y2=1的右支上求点P（a，b），使该点到直线y=x的距离为．20．（12分）解不等式21．（12分）一个数列{a n}：当n为奇数时，a n=5n+1；当n为偶数时，求这个数列的前2m 项的和（m是正整数）．1988年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（）A ． 1B ． ﹣1C ．i D ． ﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i ）2，可得答案．解答：解：根据复数的计算方法，可得==﹣i ，则=（﹣i ）2=﹣1，故选B ．点评：本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（） A ．点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ．点P 在圆M上，但不在直线L 上 C ．点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ．点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上考点：点与圆的位置关系．分析：点P 代入直线方程和圆的方程验证即可．解答：解：点P 坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P 的坐标为（2，1），适合L 的方程，即2+1﹣3=0；点P 的坐标为（2，1），满足圆M 的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A 、B 、D 不正确．选项C 正确．故选C ．点评：本题是基础题，考查点的坐标适合方程． 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个考点：子集与真子集．分析：集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个．故选B ．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．4．（3分）函数y=a x（0＜a＜1）的图象是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：题目中条件：“0＜a＜1”，对指数函数的图象走向起着决定性的作用，在此条件下，指数函数是减函数．从而解决问题．解答：解：∵函数y=a x是指数函数，且∵0＜a＜1，∴它的图象过点（0，1），且在R上是减函数．故选B．点评：本题考查指数函数的图象，指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质．5．（3分）已知椭圆方程，那么它的焦距是（）A．6B．3C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：已知椭圆方程，我们便可以直接从方程中解读出椭圆中基本参量的数值；然后通过椭圆中a、b、c之间的等量关系，即可解出c，进而得到2c，即该椭圆的焦距．解答：解：依题意得，椭圆的长轴与x轴重合，则有a2=20，b2=11，又∵在任意椭圆中有a2=b2+c2，从而c2=a2﹣b2=20﹣11=9（c＞0），解得c=3．则该椭圆的焦距即2c=2×3=6，故选择A．点评：这道题目是椭圆中的基本题目，考查了椭圆中各个参量的意义以及在方程中相应的相关表示，以及椭圆中重要的基本关系a2=b2+c2．同学们要注意掌握椭圆中的基本知识，这也是对进一步研究椭圆做了铺垫．6．（3分）在复平面内，与复数z=﹣1﹣i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：注意到共轭复数的特征是实部相等，虚部互为相反数，即可解答．解答：解：=﹣1+i，则所对应的点在第二象限，故选B．点评：本题是对基本概念的考查．7．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．解答：解：展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（3分）（2014•漳州二模）函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：根据T=可得答案．解答：解：T==5π故选D．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．9．（3分）（2014•济南二模）的值等于（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．分析：先根据诱导公式一将角度变为正值，再将角进行缩小．解答：解：∵sin（﹣）=sin（﹣+4π）=sin=sin（）=sin=故选A．点评：本题主要考查运用三角函数的诱导公式化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．10．（3分）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是（）A．B．C．a=1 D．a=﹣1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．分析：直线平行（不重合）有两种情况：先判断直线有无斜率，有斜率时则斜率相等且不过相同点，无斜率时在x轴上的截距不相等．解答：解：直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合），易知ax+y=a+1有斜率，斜率k=﹣a，直线x+ay=2a+2的斜率为；所以﹣a=；所以a=±1，当a=﹣1时直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1重合，所以a=1故选C点评：平行的充要条件有斜率和无斜率两种情况，不可漏掉无斜率情况；当然还可用系数之比来解．11．（3分）（2009•湖北）函数的反函数是（）A ．B ．C ．D ．考点：反函数．专题：计算题．分析：按照反函数的定义，直接求出函数的反函数．解答：解：可得2xy ﹣y=x ﹣2，所以把x ，y 互换，它就是原函数的反函数故选A ．点评：解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x 、y 换位，2、解：解出y ，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．12．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（） A ．相交直线 B ．平行直线 C ．不互相垂直的异面直线 D ．互相垂直的异面直线考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．解答：解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′，所以A'D'与BB′异面；又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直．故选C ．点评：本题考查异面直线的定义及其夹角．13．（3分）函数在闭区间（）A ．B ．上是增函数上是增函数C．[﹣π，0]上是增函数D．上是增函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据正弦函数的单调性求出单调区间，然后对选项进行验证即可得到答案．解答：解：令，解得∴原函数的单调增区间为（k∈Z）同理单调减区间为（k∈Z）当k=0时，为增函数故选B．点评：本题主要考查正弦函数的单调性．属基础题．14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C．C2005﹣C1975种D．C2005﹣C31C1974种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（）A．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：先作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，得到∠CED是二面角α﹣AB﹣β的平面角，在直角三角形CED中求出∠CED的正切值即可．解答：解：如图，作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，由条件可知，∠CED=θ，CD=3，CE=4∴ED=，tan=，故选C点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分75分）16．（20分）（1）求复数的模和辐角的主值．（2）解方程9﹣x﹣2•31﹣x=27．（3）已知，求的值．（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积．（5）求．考点：复数的代数表示法及其几何意义；有理数指数幂的运算性质；极限及其运算；三角形的形状判断；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．分析：本题分别涉及到复数，指数方程，三角函数，立体几何，极限等知识体系．解答：解：（1）由题意，|﹣i|=2，又=∴arg（）=（2）设3﹣x=t，（t＞0）则原方程化为t2﹣6t﹣27=0∴t=9或t=﹣3（舍去）即3﹣x=9∴x=﹣2．（3）∵sinθ=，∴tanθ=∴∴tan=﹣3或又∴．（4）如图，由题意，旋转而形成的是以为半径的圆为底形成的同底的两个圆锥．∴．（5）原式==3．点评：本题考查到的知识点比较多，需要综合的能力解决相关问题．17．（10分）证明：cos3α=4cos3α﹣3cosα．考点：三角函数恒等式的证明．分析：把3α化为2α+α的形式，用两角和的余弦公式分解，两边约分，移项，用同角的三角函数关系整理，原式得证，本题可采用分析法来证．解答：解：要证cos3α=4cos3α﹣3cosα成立，只要证cos2αcosα﹣sin2αsinα=4cos3α﹣3cosα成立，只要证cos2α﹣2sin2α=4cos2α﹣3成立，只要证cos2α=2cos2α﹣1成立，而由余弦的二倍角公式知上式成立，故原等式得证．点评：从一边开始证明它等于另一边，一般由繁到简，这类方法的依据是相等关系的传递性“a=b，b=c，则a=c”．证明左、右两边等于同一个式子．这类方法的依据是“等于同量的两个量相等”，即“a=c，b=c，则a=b”，它可由相等关系的传递性及对称性“a=b则b=a”推出．也可用分析法来证．18．（10分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考点：三垂线定理．专题：作图题；证明题．分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB 所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．19．（11分）在双曲线x2﹣y2=1的右支上求点P（a，b），使该点到直线y=x的距离为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由题意，点P（a，b）是方程组的解，并且a＞0．求出这个方程组的解即得到点P．解答：解：由题意，点P（a，b）是下述方程组的解：，并且a＞0．由（1）式得a2=1+b2，因为a＞0，所以，从而a＞b，于是由（2）式得a﹣b=2（3）把（3）式代入得（b+2）2﹣b2=1，解得∴所求的点P的坐标为点评：合理运用双曲线的性质，能够准确求解．20．（12分）解不等式考点：对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：等式可以转化为根据指数函数的单调性进一步可转化为但为了保证式子有意义，对数式的真数部分必须大于0，即故原不等式可转化为不等式组．解答：解：原不等式等价于当x＞0时，上述不等式组变成解得：当x＜0时，上述不等式组变成解得所以原不等式解集为点评：对数不等式，其解法是将不等号两边化为同底的指数式，然后根据相应的指数函数的性质解答，但在解答过程中要注意，要始终保证真数部分的式子大于0，即让真数式有意义．21．（12分）一个数列{a n}：当n为奇数时，a n=5n+1；当n为偶数时，求这个数列的前2m项的和（m是正整数）．考点：数列的求和．专题：压轴题．分析：由题意分析得出这个数列的奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，再利用分组求和法求出S2m解答：解：因为a2k+1﹣a2k=[5（2k+1）+1]﹣[5（2k﹣1）+1]=10，﹣1是公差为10的等差数列所以a1，a3，a5，a2m﹣1因为，所以a2，a4，a6，a2m是公比为2的等比数列从而数列{a n}的前2m项和为：S2m=（a1+a3+a5+…+a2m﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2m）=+=5m2+m+2m+1﹣2．点评：本题考查了分段数列及分组求和的相关知识点，属于典型题型，常规方法的考查．。

1997年全国统一高考文科数学试卷

1．（4分）设集合，集合，集合
A． B． C． D．
【解答】解：集合，
，
，
故选：．
2．（4分）如果直线与直线平行，那么实数等于
A． B． C． D．
【解答】解：直线与直线平行，
它们的斜率相等，，．
故选：．
3．（4分）函数在一个周期内的图象是
A． B．
C． D．
【解答】解：令，解得，可知函数与轴的一个交点不是，排除，
1997年全国统一高考数学试卷（文科）
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）
1．（4分）设集合，集合，集合
A． B． C． D．
2．（4分）如果直线与直线平行，那么实数等于
A． B． C． D．
3．（4分）函数在一个周期内的图象是
A． B．
C． D．
的周期，故排除
故选：．
4．（4分）已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，．则二面角的大小为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，
且，
得，，
取的中点，连接，，
则即为所求二面角的平面角．
且，
，
，
故选．
5．（4分）函数的最小正周期是
A． B． C． D．
椭圆的中心为关于直线对称的点为
故椭圆的方程为
故选：．
12．（5分）圆台上、下底面面积分别是、，侧面积是，这个圆台的体积是
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，
，，．
．
故选：．
13．（5分）定义在区间的奇函数为增函数；偶函数在区间，的图象与的图象重合，设，给出下列不等式：

1981年全国统一高考数学试卷(理科)

1981年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分120分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．4．（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．5．（10分）解不等式（x为未知数）：．6．（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立．7．（16分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？8．（17分）在120°的二面角P﹣a﹣Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角．9．（17分）给定双曲线．（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．10．（20分）已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a﹣b，u2=a2﹣ab+b2，u3=a3﹣a2b+ab2﹣b3，…，u k=a k﹣a k﹣1b+a k﹣2b2﹣…+（﹣1）k b k；求证：u n=u n﹣1+u n﹣2（n≥3）．1981年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分120分）1．（6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：（1）A∪B，（2）A∩B．考点：交集及其运算；并集及其运算．分析：根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B，又由有理数、无理数的定义，可得A∩B．解答：解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得A∪B=R，（2）有理数、无理数的定义，没有一个数既是有理数又是无理数，则A∩B=Φ．点评：本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小．2．（6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果．考点：组合及组合数公式；排列及排列数公式．专题：计算题；阅读型．分析：（1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含A的，再写包含B的去掉重复的．（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关．解答：解：（1）选举种数A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC．（2）选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD．点评：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．3．（8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行逐一判断即可．解答：解：见表对于第一个：平行四边形不一定是矩形，是矩形一定是平行四边形，故答案为：必要条件；对于第二个：a=3则|a|=3，但|a|=3则a=±3，故答案为：充分条件；对于第三个：θ=150°则sinθ=，但sinθ=则θ可能为30°，故答案为：充分条件；对于第四个：点在圆上，则点的坐标适合圆的方程，反之，点的坐标适合圆的方程则点在圆上，故答案为：充要条件点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．（10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明．考点：余弦定理．专题：证明题．分析：建立坐标系，用解析法证明余弦定理．解答：解：a2=b2+c2﹣2bccosA．下用解析法证明证：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A（0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）．由两点距离公式得：a2=|BC|2=（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2=b2+c2﹣2bccosA．点评：解析法证明代数几何中的某些定理与公式是一个很有效的武器．答题者应好好体会在本证明中的作用，并以所得的心得体会来证明余弦定理的其它形式．5．（10分）解不等式（x为未知数）：．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据三阶矩阵的计算法则=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32﹣a13a22a31﹣a12a21a33﹣a11a23a32化简不等式的左边，求出不等式的解集即可．解答：解：不等式的左边==（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）﹣abc﹣abc﹣ac（x﹣b）﹣ab（x﹣c）﹣bc（x﹣a）=x3﹣ax2﹣bx2﹣cx2=x2（x﹣a﹣b﹣c），所以不等式变形为：x2（x﹣a﹣b﹣c）＞0，当x≠0时，x2＞0得到x﹣a﹣b﹣c＞0即x＞a+b+c则原不等式解是x＞a+b+c且x≠0．点评：此题是一道以三阶矩阵为平台，利用它的计算法则对不等式进行变形并会求不等式解集．6．（10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：要证明等式对一切自然数n都成立，则我们要先证明n=1时成立，再假设n=k时成立，进而n=k+1时等式也成立．解答：解：①当n=1时，②假设当n=k时，等式成立，即则当n=k+1时，=•=•=即此时等式也成立，故等式对一切自然数n都成立．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．7．（16分）设1980年底我国人口以10亿计算．（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？考点：数列的应用．专题：应用题．分析：（1）由题意知所求人口数x（亿）x=10×（1.02）20，两边取对数可的答案．（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．由此解可得答案．解答：解：（1）所求人口数x（亿）是等比数列10，10×1.02，10×（1.02）2，的第21项，即x=10×（1.02）20，两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200，∴x=14.859（亿）（2）设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%）20≤12，（1+y%）20≤1.2．根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg（1+y%）≤lg1.2，即lg（1+y%）≤0.00396，∴1+y%≤1.0092，y%≤0.0092．点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（17分）在120°的二面角P﹣a﹣Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B 已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，（1）求直线AB和棱a所成的角；（2）求直线AB和平面Q所成的角．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）如图所示，在平面P内作直线AD⊥a于点D，在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，过点D作DC⊥a，与从点B作CB∥a相交于点C．∠ABC等于AB和a所成的角，∠ADC为两面角P﹣a﹣Q的平面角，利用余弦定理即可得到AC，由a⊥平面ACD，BC∥a即可得到BC⊥平面ACD，在直角△ABC中求出sin∠ABC即可；（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F，利用面面垂直的性质即可证明AF⊥平面Q，从而得到∠ABF是直线AB和平面Q所成的角．解答：解：（1）在平面P内作直线AD⊥a于点D，在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C．∴∠ABC等于AB和a所成的角，∠ADC为两面角P﹣a﹣Q的平面角，∴∠ADC=120°，又AD=2，BCDE为矩形，∴CD=BE=4．连接AC，由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC=22+42﹣2×2×4×cos120°=28．∴．又∵AD⊥a，CD⊥a，∴a⊥平面ACD，∵BC∥a，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC．在直角△ABC中，，∴．（2）在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F．∵平面ACD⊥平面Q，∴AF⊥平面Q．在△ADF中，∠ADF=60°，AD=2，∴AF=．连接BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，在△ABF为直角三角形，∴．点评：熟练掌握线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角、异面直线所成的角、余弦定理及常作的辅助线是解题的关键．9．（17分）给定双曲线．（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程．（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．考点：双曲线的应用；轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设直线L的方程代入双曲线方程，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，根据韦达定理求得x1+x2的表达式，表示出x，把x代入直线方程求得y的表达式，再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程即是所求的轨迹方程．（2）设所求直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入双曲线方程，设Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）根据韦达定理表示出x1+x2求得k，代入判别式结果小于0，进而断定满足题设中条件的直线不存在．解答：解：设直线L的方程为y=k（x﹣2）+1，（1）将（1）式代入双曲线方程，得：（2﹣k2）x2+（4k2﹣2k）x﹣4k2+4k﹣3=0，（2）又设P1（x1，y1），P2（x2，y2），，则x1，x2必须是（2）的两个实根，所以有．按题意，，∴．因为在直线（1）上，所以．再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程．（2）设所求直线方程为y=k （x ﹣1）+1，代入双曲线方程，整理得（2﹣k 2）x 2+（2k 2﹣2k ）x ﹣k 2+2k ﹣3=0，（3）设必须是（3）的两个实根，即如果B 是Q 1Q 2的中点，就有（x 1+x 2）=1，，所以有．综合起来，k 应满足．由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I ）无解．故满足题设中条件的直线不存在．点评：本题主要考查了双曲线的应用．解题的结果一定注意放到判别式中进行验证．10．（20分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设AC=a ，BC=b ，作数列u 1=a ﹣b ，u 2=a 2﹣ab+b 2，u 3=a 3﹣a 2b+ab 2﹣b 3，…，u k =a k ﹣a k ﹣1b+a k ﹣2b 2﹣…+（﹣1）k b k ；求证：u n =u n ﹣1+u n ﹣2（n≥3）．考点：数列递推式．专题：证明题．分析：要证u n =u n ﹣1+u n ﹣2（n≥3），利用题目中给出的信息先求出通项u n ，然后利用圆中直角三角形的几何性质建立u n ，u n ﹣1，u n ﹣2三者的关系，即可得证．解答：证明：通项公式可写成u k =a k ﹣a k ﹣1b+a k ﹣2b 2﹣+（﹣1）k b k =因a ﹣b=AC ﹣BC=AC ﹣AF=FC=1， ab=AC•BC=CD 2=1．故得，n≥3==，=于是有．n≥3点评：本题是个中档题，主要考查了由数列递推式求数列的通项，以及证明等式的方法，在证明过程中注意几何图形的几何性质的应用．。

1987年全国统一高考数学试卷(文科)

1987年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．X B．T C．φD．S2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18 D．274．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4 B．y=4﹣x2C．D．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f （x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f （x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞07．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（ A ）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：I A=Isinωt，I B=Isin（ωt+120°），I C=Isin（ωt+240°），求I A+I B+I C的值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．14．（12分）设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n与a n的关系是S n=ka n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的a n的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．1987年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．X B．T C．φD．S考点：并集及其运算．分析：根据交集的性质，易得X⊆S，进而由并集的性质，可得答案．解答：解：若X=S∩T，则有X⊆S，由并集的意义，易得S∪X=S，故选D．点评：本题考查交、并集的性质与相互关系，注意X=S∩T⇒X⊆S，S∪X=S⇒X⊆S，反之也成立．2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴，再根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程．解答：解：∵a＞b，∴椭圆的焦点在x轴，根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程为故选C点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18 D．27考点：对数的运算性质．分析：根据换底公式知，log4•log48•log8m===2，即可得答案．3解答：解：∵log4•log48•log8m===23∴lgm=2lg3=lg9∴m=9故选B．点评：本题主要考查对数运算中的换底公式的应用．4．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简成复数的三角形式即可解答：解：原复数可化成sin140°+icos140°，故辐角为140°，选B．点评：注意到复数的三角形式为z=r（cosθ+isinθ）5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4 B．y=4﹣x2C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：先看图象的开口方向，再看定点坐标，结合所给的选项选出正确的答案．解答：解：由二次函数的图象是抛物线，开口向下，顶点（0，3），结合所给的选项，故答案选C．点评：本题考查二次函数图象的特征．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f （x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f （x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞0考点：函数的单调性及单调区间．专题：计算题．分析：欲求f（x）在区间（1，2）上的性质，可先求出其解析式，根据解析式研究性质．解答：解：设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，∴f（﹣x）=log2，又f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）=log2（1+x），∴1＜x＜2时，﹣1＜x﹣2＜0，∴f（x）=f（x﹣2）=log2（x﹣1）．∴f（x）在区间（1，2）上是增函数，且f（x）＜0．故选B．点评：已知奇函数的一侧的解析式，可以求出其关于原点对称的另一侧的解析式，这是奇函数的一个重要应用．7．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（ A ）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，则新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（k，l）则据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（﹣m，m）故选项为A点评：本题考查平移公式的应用．8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；压轴题．分析：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．解答：解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=∴ρ=﹣∴应向右平移个单位故选D．点评：本题主要考查三角函数的平移．属基础题．二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．考点：双曲线的标准方程；函数的定义域及其求法；极限及其运算；计数原理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线2+λ和1+λ同号，进而求得λ的范围．解答：解：依题意可知（2+λ）（1+λ）＞0，求得λ＜﹣2或λ＞﹣1；故λ的范围为λ＜﹣2或λ＞﹣1．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：I A=Isinωt，I B=Isin（ωt+120°），I C=Isin（ωt+240°），求I A+I B+I C的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦公式，把sin（ωt+120°）和sin（ωt+240°）展开后代入I A+I B+I C的式子进行化简．解答：解：I A+I B+I C=Isinωt+Isin（ωt+120°）+Isin（ωt+240°）=I[sinωt+sin（ωt+120°）+sin（ωt+240°）]==I•0=0．点评：本题考查两角和的正弦公式的应用以及特殊角的三角函数值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．考点：复数代数形式的混合运算．分析：设第三个顶点所表示的复数为z，因为是正三角形，三边长相等，即复数的模相等，夹角60°，化简求解．解答：解：设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z﹣2和的模相等，辐角差为，因而；，点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的三角形式的运算，考查复数的模等知识，是难度较大，运算量大，易出错．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：由题意说明PAD是垂直边长的两个三棱锥的公共底面，求出其面积，再求体积即可．解答：证明：连接AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD，∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA•ED=LhV B﹣PAD=（Lh）•BD=Lh•BD=Lh•CD同理，V C﹣PAD∴三棱锥P﹣ABC的体积V=Lh•BD+Lh•CD=Lh（BD+CD）=Lh•BC=L2h．若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立．点评：本题考查学生空间想象能力，考查逻辑思维能力，棱锥的体积公式，是中档题．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a 的取值范围．考点：其他不等式的解法；二次函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：本题是一元二次不等式x∈R恒成立问题，用判别式法转化为：再求解．解答：解：由题意得：令，则（3）式变为z2﹣（log28﹣z）（﹣2z）＜0，化简为z（6﹣z）＜0，解得z＞6或z＜0（4）（2）式变为log28﹣z＞0，即z＜3，（5）综合（4），（5）得z＜0，即，由此，（6）解（1），（6）得a取值范围：0＜a＜1．点评：本题主要考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题，解法是用判断式法，要注意其开口方向．14．（12分）设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n与a n的关系是S n=ka n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的a n的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．考点：数列递推式；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由前n项的和S n与a n的关系a n+1=S n+1﹣S n，得到数列的递推公式，注意分析k是否为零，再求数列的通项公式．（2）利用极限的值和第（1）的结果，代入s n整理出关于k的式子，再求k的值．解答：解：（1）∵S n=ka n+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=（ka n+1+1）﹣（ka n+1），∴a n+1=ka n+1﹣ka n，即（k﹣1）a n+1=ka n，∵若k≠0，则由题设知a1≠0，由（1）式易知a n≠0，n≥1，∴故该数列是公比为的等比数列，其首项为∴当k=0时，由（1）式知a n=0，上式当n≥1时对k=0也成立．（2）若，即，，∴∴k的范围：k＜点评：本题由前n项和公式和s n和a n的关系式，求出递推公式，然后求数列的通项公式；再由所给的极限值求k的范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：根据C，D两点在抛物线上可设出C，D的坐标，根据直线A，B的方程可知AB与y轴成的夹角，进而推断出角线AC与边AB也成450角，进而推断出AC∥y轴，和BD∥x轴，设出A，B的坐标，根据AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，联立方程求得s和t，则正方形ABCD的面积可求得．解答：解：∵C，D两点在抛物线上，∴可设C（s2，s），D（t2，，t），又∵A，B在直线y=x+4上，∴AB与y轴成450角，∵四边形ABCD为正方形，∴对角线AC与边AB也成450角，∴AC∥y轴，同理BD∥x轴，∴可设A（s2，s2+4），B（t﹣4，t）∵AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，所以有解得∴面积S1=|C1D1|2=[（﹣1）2﹣22]2+[（﹣1）﹣2]2=18，S2=|C2D2|2=[（﹣1）2﹣32]2+[（﹣1）﹣3]2=50．答：这样的正方形有两个，其面积分别为18，50．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生的分析推理和数形结合思想的灵活运用．。

1997年全国统一高考数学试卷(理科)

1997年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）设集合M={x|0≤x ＜2}，集合N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ． {x|0≤x ＜1} B ． {x|0≤x ＜2} C ． {x|0≤x≤1} D ． {x|0≤x≤2} 2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行，那么实数a 等于（） A ． ﹣6 B ． ﹣3 C ．D ．3．（4分）函数y=tan （）在一个周期内的图象是（） A ．B ．C ．D ．4．（4分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣A 的大小为（） A ． B ． C ． D ．5．（4分）函数y=sin （）+cos2x 的最小正周期是（） A ．B ． πC ．2π D ． 4π6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1] 7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（） A ．先向左平行移动1个单位 B ．先向右平行移动1个单位 C ．先向上平行移动1个单位 D ．先向下平行移动1个单位 8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．611．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为_________．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_________．18．（4分）的值为_________．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是_________．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．1997年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP 为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B ．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos （1﹣x ）≥arccosx 化为cos[arccos （1﹣x ）]≤cos[arccosx ] 所以1﹣x≤x ，即：x，又x ∈[﹣1，1]，所以x 的取值范围是[，1]故选D ．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（） A ．先向左平行移动1个单位 B ．先向右平行移动1个单位 C ．先向上平行移动1个单位 D ．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log 2（x+1）解得：x=2y ﹣1 则函数y=log 2（x+1）（x ＞﹣1）的反函数为y=2x ﹣1（x ∈R ）即函数y=2x 平移后的函数为y=2x ﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n和S n的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．。

1978年高考数学试卷及解答

1978年高考数学试卷及解答一、解答题（每题10分，共60分）1. 已知y = lg(x^2 - 3x + 2)，求函数的定义域。

2. 分解因式：x^2 - 4xy+4y^2 - 4z^2。

3. 已知ABC中，∠ A = 60^∘，AB = 3，AC = 2，求BC的长度。

4. 已知等比数列{a_n}，a_1 = 1，公比q = 2，求前n项和S_n。

5. 化简：frac{sin(180^∘-α)cos(α - 360^∘)}{tan(-α + 180^∘)sin(-α - 180^∘)}。

6. 已知直线l的方程为2x - y+3 = 0，求点P(1,2)到直线l的距离。

二、证明题（每题20分，共40分）1. 证明：√(3)是无理数。

2. 已知函数f(x)=x^2 + ax + b，若f(1)=0且f(3)=0，证明：对于任意实数x，f(x)≥slant - 1。

解答如下：一、解答题。

1. 解：要使函数y=lg(x^2-3x + 2)有意义，则x^2-3x + 2>0。

- 对于一元二次方程x^2-3x + 2 = 0，其中a = 1，b=-3，c = 2。

- 根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，可得x=(3±√(9 -8))/(2)=(3±1)/(2)。

- 解得x_1 = 2，x_2 = 1。

- 所以不等式x^2-3x + 2>0的解为x<1或者x>2。

- 故函数的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。

2. 解：- x^2-4xy + 4y^2-4z^2=(x - 2y)^2-4z^2。

- 根据平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)，这里a=x - 2y，b = 2z。

- 所以原式=(x-2y + 2z)(x - 2y-2z)。

3. 解：根据余弦定理BC^2=AB^2+AC^2-2AB· AC·cos A。

1978年全国统一高考数学试卷

一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．3．（4分）求函数的定义域．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．5．（4分）化简：6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．参考答案与试题解析一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．解答：解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合法．分析：由题设，设圆柱体的半径为r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可．解答：解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，由公式圆柱体体积V=πr2h=．答：直圆柱体的体积的体积是点评：本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题．3．（4分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用诱导公式使原式等于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．解答：解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°=点评：本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．5．（4分）化简：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案．解答：解：原式==2•=点评：指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①a r•a s=a r+s（a＞0，r，s∈R）．②（a r）s=a r•s（a ＞0，r，s∈Q）．③（a•b）r=a r•b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：（1）k=1，方程的图形是圆半径为2，当k＞1且k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在y轴上；当1＞k＞0时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在x轴上（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2（3））k＜0时，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，解答：解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=；②k=1时，为半径r=2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2如图：（3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，如图：点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．属基础题．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）首先根据题中圆的切线条件得二组角相等，再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等，从而证得线段相等；（2）在直角三角形ABC中应用射影定理求得一个线段的等式，再根据线段的相等关系可求得CD2=AM•BN．解答：证明：（1）连接CA、CB，则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°∴CD2=AD•DB由（1）知AM=AD，BN=BD∴CD2=AM•BN．点评：本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理，属容易题．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．考点：对数的运算性质．分析：根据指数与对数式的互化，可先将18b=5化为log185=b，然后代入即可得到答案．解答：解：∵18b=5，∴log185=b∴点评：本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的换底公式．一定要掌握对数的运算法则．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）考点：同角三角函数基本关系的运用；等差数列的性质；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：△ABC的三内角的大小成等差数列，求出B=60°，A+C=120°，利用两角和的正切，求出tgA+tgC，然后求出tgA，tgC，求出A，C的值，利用任意角的三角函数求出a，b，c．解答：解：A+B+C=180°又2B=A+C．∴B=60°，A+C=120°∵而tgA+tgC=（1﹣tgAtgC）tg（A+C）=．（2）由（1）（2）可知tgA，tgC是=0的两根．解这方程得：x1=1，x2=2+设A＜C，则得tgA=1，tgC=2+．∴A=45°，C=120°﹣45°=75°又知c上的高等于4，∴a==8；b=；c=AD+DB=bcos45°+acos60°=4．点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，等差数列的性质，三角形中的几何计算，考查计算能力，是中档题．10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：证明题．分析：欲证：．往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明，利用题中的两个关系，我们先求sin（α+2β）的值即可解决问题．解答：解：由3sin2α+2sin2β=1，得：3sin2α=cos2β．．．∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α∴9sin2α=1．∴sinα=（α为锐角）∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin2α）+cosα（3si nαcosα）=3sinα（sin2α+cos2α）=3sinα=1∴．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式，证明的关键是求出sin（α+2β），是一道三角变换的中档题．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．考点：利用导数研究函数的极值；抛物线的应用．专题：计算题；证明题．分析：（1）二次函数研究极值问题，可利用配方法研究极值，根据y的极值是0建立等量关系．（2）先求出函数图象抛物线的顶点坐标，根据点的横坐标与纵坐标消取参数m即可得顶点轨迹，再进一步验证即可．解答：解：（1）用配方法得：∴的极小值为．所以当极值为0时，（2）函数图象抛物线的顶点坐标为即，二式相减得：，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线，方程中不含m，因此，不论m是什么值，抛物线的顶点都在这条直线上．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及抛物线的应用，属于中档题．。

1978年全国统一高考数学试卷(附加题)

1978年全国统一高考数学试卷（附加题）一、解答题（共7小题，满分100分）1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．（2）求，（3）求函数y=的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．（5）计算：的值．2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件：（1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项；（2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和．求根为的方程．3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N 点，且∠BDM=α．求证：．，．5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0．6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=07．（16分）已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．1978年全国统一高考数学试卷（附加题）参考答案与试题解析一、解答题（共7小题，满分100分）1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．（2）求，（3）求函数y=的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．（5）计算：的值．考点：对数函数的定义域；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）把（x﹣y）看做一个整体，整式即：（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3（2）应用特殊角的三角函数值．（3）分母不为0，对数的真数大于0．（4）先求出圆锥的高，代入体积公式计算．（5）使用分数指数幂的运算法则化简每一项，然后合并同类项．解答：解：（1）原式=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3=（x﹣y﹣1）（x﹣y+3）（2）原式=﹣0+1﹣=（3）∵25﹣5x＞0，且x+1≠0．∴x＜2且x≠﹣1，∴所求定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．（4）（5）原式=10•（﹣2 ）﹣+30•=10﹣20﹣10+30=﹣20+30•=﹣20+点评：（1）体现整体的数学思想．（2）记住特殊角的三角函数值．（3）分式的分母不为0，对数的真数大于0．（4）直接使用圆锥的体积公式．（5）分数指数幂的运算法则的使用．本题的最后一项可能不对．2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件：（1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项；（2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和．求根为的方程．考点：利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根的分布与系数的关系．分析：1由等差数列通项公式求出第二十项2由等比数列求前n项和求出前四项和3接下来可以求解x1，x2．也可利用技巧直接求出两根之和两根之积．解答：解：x+x2=39 ①，x1x2=﹣40 ②，故得：1/x1+1/x2=1由②式得.=由初中所学一元二次函数根与系数关系得所求方程为：40x2+39x﹣1=0．点评：本题考查数列通项公式和前n项和公式以及一元二次方程根与系数关系3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．考点：相似三角形的判定．专题：证明题．分析：由AD是△ABC的外接圆的切线得到角相等进而得两个三角形相似，可得三角形的面积比与相似比的平方的关系，再结合三角形面积公式即可证得．解答：证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD∴作AE⊥BD于点E，则故得证．点评：本题主要考查相似三角形的判定，在圆中找相等的角，依据是弦切角和同弧所对的圆周角相等相等，再根据相似三角形的判定即可得到．4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α．求证：．，．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意及图形作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中利用正切的定义即可；同理，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中也可求得CN．解答：证明：证作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，，∴，∴．类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证：点评：此题考查了学生的识图能力，还考查了解三角形及正切函数定义，还考查了学生的计算能力．5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0．考点：函数与方程的综合运用．专题：证明题．分析：（1）利用配方法和因式分解法的方法将该函数表达式进行因式分解．（2）利用多项式相等建立各项系数的相等关系，将无关的系数消掉，建立起字母p，q，m的关系．解答：证明：（1）∵，∴===∴f（x）等于一个二次三项式的平方（2）∵4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）+（m+1）2=（2x2+ax+b）2=4x4﹣4ax3+（a2+4b）x2+2abx+b2，∴由（1）可得a=﹣p代入（2）得将a，b的表达式代入（3）得，∴p[p2﹣4q﹣4（m+1）]=0．∵p≠0，∴p2﹣4q﹣4（m+1）=0．点评：本题考查多项式的因式分解，考查待定系数法．注意配方法和分组分解因式的方法．注意多项式相等的转化方法．6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：可先，通过①可得x=y+kπ，进而可求出sin2x和cos2x代入②即可得证．解答：证明：则①可写成cosysinx﹣sinycosx=0，∴sin（x﹣y）=0∴x﹣y=kπ（k为整数），∴x=y+kπ又sin2x=sin2（y+kπ）=sin2y=2sinycosy=cos2x=cos2y=cos2y﹣sin2y=代入②，得，∴2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0．点评：本题主要考查三角函数恒等式的证明．证明此类问题时应考虑：异名化同名，异角化同角，公式的正用、逆用、变形用．7．（16分）已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合．分析：（1）由题意代入点斜式求直线方程，代入标准式求圆的方程和抛物线的方程；（2）分别联立直线、圆和抛物线的方程，求出交点的横坐标，再通过图形表示出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式，注意范围；（3）先作出图形再把图形进行分割，再由（2）求的点A、B的坐标求每一部分的面积，最后再求和．解答：解：（1）由题意知，直线L的方程为y+=（x+），即y=x；圆C的方程为x2+y2=1，抛物线Q的方程为草图为：（2）由，解得A点横坐标．∴线段PA的函数表达式为：由，解得B点横坐标．∴圆弧AB的函数表达式为：∴抛物线上OB一段的函数表达式为：．（3）如下图所求的面积为图中阴影部分，由（2）和题意知，P'点的横坐标为﹣和点P，∴∵A点横坐标，B点横坐标，∴∠AOB==，∴扇形OAB的面积为∴所求面积（图中阴影部分）．点评：本题涉及的内容多且层次分明，考查了求直线方程、圆的方程和抛物线的方程，还把几何图形和函数联系在一起，是一道新颖的直线与圆锥曲线综合强的题．。

1985年全国统一高考数学试卷(文科)

1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。

1983年全国统一高考数学试卷(文科)

1983年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．（2分）在直角坐标系内，函数y=|x|的图象（）A．关于坐标轴、原B．关于原点对称点都不对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称2．（2分）抛物线x2+y=0的焦点位于（）A．y轴的负半轴上 B．y轴的正半轴上 C．x轴的负半轴上 D．x轴的正半轴上3．（2分）两条异面直线，指的是（）A．在空间内不相交的两条直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D．不在同一平面内的两条直线4．（2分）对任何的值等于（）A．B．C．D．5．（2分）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（）B．0.32＜log20.3＜20.3A．0.32＜20.3＜log20.3D．l og20.3＜20.3＜0.32C．l og20.3＜0.32＜20.3二、解答题（共9小题，满分110分）6．（10分）在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形．7．（6分）求函数的定义域．8．（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法．9．（12分）已知复数．10．（12分）在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积．11．（14分）如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）．12．（16分）如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，∠ABC=60°，∠ACB=30°，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm，求以A为顶点的三棱锥A﹣NBC的体积（结果可以保留根号）．13．（17分）一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列．14．（17分）如图，已知两条直线L1：2x﹣3y+2=0，L2：3x﹣2y+3=0．有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称．1983年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题2分，满分10分）1．（2分）在直角坐标系内，函数y=|x|的图象（）B．关于原点对称A．关于坐标轴、原点都不对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣x）=|﹣x|=|x|=f（x）可得f（x）=|x|为偶函数，所以函数y=|x|的图象关于y轴对称．解答：解：∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|=f（x），则f（x）=|x|为偶函数，∴y=|x|的图象关于y轴对称．故选D．点评：本题主要考查偶函数的图象问题，即图象关于y轴对称．2．（2分）抛物线x2+y=0的焦点位于（）A．y轴的负半轴上 B．y轴的正半轴上 C．x轴的负半轴上 D．x轴的正半轴上考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：先化为抛物线的标准方程，根据抛物线的基本性质可得到答案．解答：解：由x2+y=0可得x2=﹣y，故焦点位于y轴的负半轴上故选A．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．只要将问题转化为标准方程就可迎刃而解．3．（2分）两条异面直线，指的是（）A．在空间内不相交的两条直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D．不在同一平面内的两条直线考点：异面直线的判定．专题：综合题．分析：直接由异面直线的定义，判断选项的正误即可．解答：解：A两条直线可能平行，所以不正确．B分别位于两个不同平面内的两条直线，可能还在另一个平面，不正确．C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能在同一个平面，不正确．D是异面直线的定义，正确．点评：本题考查异面直线的定义，是基础题．4．（2分）对任何的值等于（）A．B．C．D．考点：半角的三角函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据余弦的半角公式求得cos的值，再根据α的取值范围判断正负．解答：解：∵cosα=2cos2﹣1∴cos=±∵180°＜α＜360°∴∴cos＜0∴cos=﹣故选C点评：本题主要考查了余弦函数的半角公式．属基础题．5．（2分）0.32，log20.3，20.3这三个数之间的大小顺序是（）B．0.32＜log20.3＜20.3A．0.32＜20.3＜log20.3D．l og20.3＜20.3＜0.32C．l og20.3＜0.32＜20.3考点：不等式比较大小．专题：压轴题．分析：确定0.32，log20.3，20.3这些数值与0、1的大小即可．解答：解：∵0＜0.32＜1，log20.3＜0，20.3＞1∴0.32＜20.3＜log20.3故选C．点评：本题主要考查指数、对数综合比较大小的问题，这里注意与特殊值1、0这些特殊值的比较．二、解答题（共9小题，满分110分）6．（10分）在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形．考点：曲线与方程．专题：数形结合．分析：将方程变形，分析方程所代表曲线的类型．解答：解：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2++y2=1，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，x2﹣y2=0，即：（x+y）•（x﹣y）=0，即：x+y=0或x﹣y=0，表示2条直线．点评：将方程化简变形，确定曲线形状．7．（6分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解答：解：根据题意，得解得﹣5≤x＜6．∴函数的定义域是[﹣5，6）．点评：本题主要考查自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．（6分）一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；分类讨论．分析：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两女一男，三是有三个女生，分别用组合数表示出三种情况的结果数，根据分类计数原理得到结果．解答：解：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括三种情况，一是有一女两男，二是有两女一男，三是有三个女生，当有一女两男时共有C41•C62当有两女一男时共有C42•C61当有三女时共有C43根据分类计数原理得到结果是C41•C62+C42•C61+C43=100（种）点评：本题是一个分类加法，在题目中要分为三类，表示时比较麻烦，本题可以这样解：C103﹣C63=120﹣20=100（种）9．（12分）已知复数．考点：复数的基本概念；三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：直接把复数z代入要证明等式左边，按复数乘方运算，化简即可．解答：证明：=cos3α+isin3α+cos（﹣3α）+isin（﹣3α）=2cos3α点评：本题考查复数的基本概念，三角函数恒等式的证明，考查计算能力，是基础题．10．（12分）在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积．考点：在实际问题中建立三角函数模型；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：如图用圆的半径R与图中所示的角（可设出）表示出来，把此矩形的面积表示出来，再用三角函数的相关的公式化简，最后用三角函数的有界性判断最大值在什么情况下取到，求出矩形的最大面积以及矩形的长与宽的大小．解答：解：设矩形在半圆板直径上的一边长为2x，α角如图所示，则x=Rcosα，另一边的长为R sinα，矩形面积S为S=2R2sinαcosα．=R2sin2α当2α=即α=时，也即长为，宽为时，矩形面积最大最大面积是R2点评：本题考查用三角函数解决实际问题的最值，这是三角函数的一个重要的运用，请仔细体会本题中函数关系的建立过程．11．（14分）如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：分别在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得旗杆的高度．解答：解：在直角△AOP中，得OA=OPcot30°．在直角△BOP中，得OB=OPcot45°=h在△AOB中，由余弦定理得，，答：旗杆的高度h为点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力．12．（16分）如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，∠ABC=60°，∠ACB=30°，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm，求以A为顶点的三棱锥A﹣NBC的体积（结果可以保留根号）．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：过N作NE⊥BC，E为垂足，连接AE，求出AE，NE，求出底面△NBC面积，然后求出体积即可．解答：解：过N作NE⊥BC，E为垂足，连接AE，由三垂线定理可知AE⊥BC在直角三角形ABC中，．在直角三角形ANE中，．三棱锥A﹣NBC的体积答：三棱锥A﹣NBC的体积为：108cm2点评：本题考查线线关系证明垂直关系，从而说明锥体的高，求出底面面积是解好本题的一个环节，考查计算能力，是基础题．13．（17分）一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：设所求等比数列为a，aq，aq2，由已知条件得，由此能够求出原来的等比数列．解答：解：设所求等比数列为a，aq，aq2，由已知条件得化简得：解方程组得或由a=2，q=3，得所求等比数列是2，6，18；由，得所求等比数列是经检验均正确．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．14．（17分）如图，已知两条直线L1：2x﹣3y+2=0，L2：3x﹣2y+3=0．有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称．考点：轨迹方程；双曲线的定义．专题：计算题；压轴题．分析：设圆心M的坐标为（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据弦、弦心距、半径三者之间的关系及点到直线的距离公式即可得到．解答：解：设圆心M的坐标为（x，y），圆的半径为r，点M到L1，L2的距离分别为d1，d2根据弦、弦心距、半径三者之间的关系，有，．得d22﹣d12=52．根据点到直线的距离公式，得代入上式，得方程化简得x2+2x+1﹣y2=65．即．所以轨迹是双曲线．点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．。

全国统一高考数学练习卷及含答案 (1)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A60B30C135D452、若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系（）A．l ⊂αB．l ⊄αC．l ∥αD．以上都不正确3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是（）A、12-=n a n B、12+=n a n C、14-=n a n D、14+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是（）A、最多有两个交点B、有两个交点C、仅有一个交点D、没有交点6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M （）A、}2223|{<<-<<-x x x 或B、RC、}23|{-<-x x D、}22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）（A）60%（B）30%（C）10%（D）50%8.如图，在正方形ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A．22B．515C．46D．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A．0B．23C．2D．312.已知椭圆22221a y x =+（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A．2230<<a B．2230<<a 或282>aC．223<a 或282>a D．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.2.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.3.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.4.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.5、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º（Ⅰ）证明：AB⊥PC（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。

1980年全国统一高考数学试卷（理科）

1980年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分0分）分）1．（6分）将多项式x 5y ﹣9xy 5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．复数范围． 2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．4．（10分）证明对数换底公式：（a ，b ，N 都是正数，a≠1，b≠1）．5．（10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）．直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）．证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB ．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f （x ）极大值M 、极小值m 与最小正周期；与最小正周期；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ． 7．（14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．为何值时等号成立．9．（18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．10．设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．1980年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分0分）分）1．（6分）将多项式x 5y ﹣9xy 5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．复数范围．考点：考点：虚数单位i 及其性质．及其性质．专题：专题：计算题．计算题．分析：分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．）复数范围．的要求，分解因式即可．解答：解答：解：（1）x 5y ﹣9xy 5=xy （x 2+3y 2）（x 2﹣3y 2）．（2）x 5y ﹣9xy 5=xy （x 2+3y 2）（x+y ）（x ﹣y ）．（3）x 5y ﹣9xy 5=xy （x+yi ）（x ﹣yi ）（x+y ）（x ﹣y ）．点评：点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题． 2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．形．考点：考点：圆与圆的位置关系及其判定．圆与圆的位置关系及其判定．专题：专题：证明题．证明题．分析：分析：根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，求出最长一边的平方且求出其余两边的平方和，发现其相等，利用勾股定理的逆定理即可得证．解答：解答：证明：设⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3的半径分别为1、2、3．因这三个圆两两外切，因这三个圆两两外切，故有O 1O 2=1+2=3，O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4，则有O 1O 22+O 1O 32=32+42=52=O 2O 32 根据勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，得到△O 1O 2O 3为直角三角形．为直角三角形．点评：点评：此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，是一道基础题．是一道基础题．是一道基础题．通过此题，通过此题，通过此题，学生要学生要明白判断一个三角形是直角三角形的方法不仅可以根据一个角是直角得到三角形为直角三角形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．考点：考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．专题：专题：证明题；数形结合．证明题；数形结合．分析：分析：建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB 的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB 边上的高的斜率，利用点斜式求出AB 边的高的方程，同理求出AC 边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．解答：解答：证明：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X 轴，经过A 的高线为Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a ＞0，b ＜0，c ＞0，AB 的方程为，其斜率为，AC 的方程为，其斜率为，高线CE 的方程为高线BD 的方程为．解（1）、（2），得：（b ﹣c ）x=0 ∵b ﹣c≠0∴x=0 即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO 上．上．因此，三条高线交于一点．因此，三条高线交于一点．点评：点评：本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为代数问题、考查两点连线的斜率公式、考查两直线垂直斜率乘积为﹣1、考查两直线的交点坐标的求法．、考查两直线的交点坐标的求法．4．（10分）证明对数换底公式：（a ，b ，N 都是正数，a≠1，b≠1）．考点：考点：换底公式的应用．换底公式的应用．专题：专题：证明题．证明题．分析：分析：利用指数式与对数式的互化，log b N=x 等价于b x=N ，两边同取对数后解除x 的解析式．的解析式．解答：解答：证明：令log b N =x ，则b x =N ，两边同取以a 为底的对数得：=log a N， ∴x•log a b =log a N ， ∴x=，∴log b N =成立．成立．点评：点评：本题考查对数的定义，体现解方程的思想．本题考查对数的定义，体现解方程的思想．5．（10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）．直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）．证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB ．考点：考点：平面与平面之间的位置关系；反证法．平面与平面之间的位置关系；反证法．专题：专题：证明题．证明题．分析：分析：用反证法先证平面N 与平面M 相交，假如平面N 与平面M 平行，则P A 也垂直于N ，因此P A 与PB 重合，B 点与A 点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，从而平面N 与平面M 相交，设平面N 与平面M 的交线为L ，然后证L ⊥平面P AB ，从而得到L 垂直于AB ．解答：解答：证明：假如平面N 与平面M 平行，则P A 也垂直于N ，因此P A 与PB 重合，B 点与A 点重合，点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，矛盾，所以平面N 与平面M 相交．相交．设平面N 与平面M 的交线为L ， ∵P A ⊥平面M ，∴P A ⊥L ，又∵PB ⊥平面N ，∴PB ⊥L ， ∴L ⊥平面P AB ，∴L ⊥AB ．点评：点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及反证法的应用，以及反证法的应用，以及反证法的应用，考查空间想象能力、考查空间想象能力、考查空间想象能力、运算能运算能力和推理论证能力，属于基础题．力和推理论证能力，属于基础题．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f （x ）极大值M 、极小值m 与最小正周期；与最小正周期；（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ．考点：考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：专题：综合题．综合题．分析：分析：（1）根据正弦函数的性质可知函数最大值为1，最小值为﹣1，ω=进而根据T=可得函数的周期．可得函数的周期．（2）f （x ）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使f （x ）的周期≤1，进而可知，可得k 的范围．的范围．解答：解答：解：（1）M=1，m=﹣1，．（2）f （x ）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m ．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f （x ）至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使f （x ）的周期≤1，即：．可见，k=32就是这样的最小正整数．就是这样的最小正整数．点评：点评：本题主要考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象的性质．属基础题．）的图象的性质．属基础题．7．（14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△CBD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）．考点：考点：直角三角形的射影定理．直角三角形的射影定理．专题：专题：计算题．计算题．分析：分析：要用反三角函数表示∠B ，关键是要解三角形，求出含B 的三角形中对应的边长，再利用三角函数的定义求出∠B 的一个三角函数值，再用反三角函数表示∠B ．解答：解答：解：设CD=h ，AB=c ，BD=x ，则AD=c ﹣x 因此，△ACD 的面积为，△CBD 的面积为，△ABC 的面积为，依题意，，依题意，，即x 2=c （c ﹣x ），即x 2+cx ﹣c 2=0，．∵取负号不合题意，∴取正号，得．又依直角三角形的性质，有AC 2=AD•AB=c （c ﹣x ）．但x 2=c （c ﹣x ），∴AC 2=x 2，∴AC=x=DB=．在直角三角形ABC 中，．故．点评：点评：在双垂直问题（即过直角三角形的直角顶点做斜边上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去寻求边与边之间的关系．理去寻求边与边之间的关系．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．为何值时等号成立．考点：考点：弦切互化；不等式的证明．弦切互化；不等式的证明．分析：分析：根据倍角公式，把证明转变为证明，两端乘以sinα，进而转换为证明（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0，再利用倍角公式可证．，再利用倍角公式可证．解答：解答：解：即证：．两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα．而2sinαsin2α =4sin 2αcosα=4（1﹣cos 2α）cosα =4（1﹣cosα）（1+cosα）cosα 所以问题又化为证明不等式所以问题又化为证明不等式（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0（1+cosα）≤0∴不等式得证，不等式得证， ∵0＜α＜π， ∴等号成立当且仅当cosα﹣=0即α=60°点评：点评：本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．9．（18分）抛物线的方程是y 2=2x ，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P （x 0，y 0）是抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是）．考点：考点：圆锥曲线的共同特征；圆方程的综合应用；抛物线的应用．圆锥曲线的共同特征；圆方程的综合应用；抛物线的应用．专题：专题：计算题．计算题．分析：分析：设出圆的方程，再设圆与抛物线的一个交点为P 进而可求得在P 点圆半径的斜率和在P 点抛物线的切线斜率的表达式，根据在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P 点相切进而建立等式，把P 点代入抛物线方程和椭圆方程，联立方程组可求得k ，则圆的方程可得．则圆的方程可得．解答：解答：解：设圆的方程为（x ﹣k ）2+y 2=1再设圆与抛物线的一个交点为P （x 0，y 0）在P 点圆半径的斜率=．在P 点抛物线的切线斜率=在P 点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P 点相切，点相切， ∴．（1）因P （x 0，y 0）是圆与抛物线的交点，）是圆与抛物线的交点， ∴y 02=2x 0．（2）（x 0﹣k ）2+y 02=1．（3）由（1）、（2）式消去y 0，得x 0=﹣k ，将（2）代入（3），得（x 0﹣k ）2+2x 0﹣1=0，将x 0=﹣k 代入，得4k 2﹣2k ﹣1=0， ∴．由于抛物线在y 轴的右方，所以k=﹣x 0≤0故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为．故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直点评：点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解此类题应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．10．设直线（L ）的参数方程是（t 是参数）椭圆（E ）的参数方程是（θ是参数）问a 、b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线（L ）与椭圆（E ）总有公共点．考点：考点：直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程．直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程．专题：专题：计算题；选作题；判别式法．计算题；选作题；判别式法．分析：分析：首先题中的直线方程及椭圆方程都是参数方程的形式，需要消去参数化简为一般方程，然后求公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．解答：解答：解：对于直线（L ）消去参数，得一般方程y=mx+b ；对于椭圆（E ）消去参数，得一般方程．：消去y ，整理得（1+a 2m 2）x 2+2（a 2mb ﹣1）x+a 2b 2﹣a 2+1=0．（L ）、（E ）有交点的条件是上式的判别式≥0，即（a 2mb ﹣1）2﹣（1+a 2m 2）（a 2b 2﹣a 2+1）≥0．化简并约去a 2得（a 2﹣1）m 2﹣2bm+（1﹣b 2）≥0．对任意m 的值，要使这个式子永远成立，条件是条件是或（1）、（2）合写成：即所求的条件．即所求的条件．故答案为．点评：点评：此题主要考查直线及椭圆参数方程化简一般方程的问题，其中对于求公共点的问题可以把方程联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．。

1978年全国统一高考数学试卷

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

——培根1978年全国统一高考数学试卷一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．3．（4分）求函数的定义域．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．5．（4分）化简：6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2sin2β=0．求证：．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．1978年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共11小题，满分120分）1．（4分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．解答：解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2．（4分）已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合法．分析：由题设，设圆柱体的半径为r，由于侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长，即2πr=a，由此方程求得半径，再由直圆柱体的体积公式求体积即可．解答：解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，由公式圆柱体体积V=πr2h=．答：直圆柱体的体积的体积是点评：本题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式，是考查基本公式掌握熟练程度的一道题．3．（4分）求函数的定义域．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．解答：解：由题意知：x﹣1＞0 且2﹣x＞0解得1＜x＜2．故函数定义域为（1，2）．点评：本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，注意取交集．4．（4分）不查表求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用诱导公式使原式等于sin10°cos35°+cos10°sin35°，进而利用两角和公式化简整理，最后利用特殊角求得答案．解答：解：原式=sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（10°+35°）=sin45°=点评：本题主要考查了两角和公式，诱导公式的化简求值．属基础题．5．（4分）化简：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．分析：根据指数的运算性质逐步进行化简，求值即可得到答案．解答：解：原式==2•=点评：指数式的化简关键是熟练掌握指数的运算性质：①a r•a s=a r+s（a＞0，r，s∈R）．②（a r）s=a r•s（a ＞0，r，s∈Q）．③（a•b）r=a r•b r（a＞0，b＞0，r∈Q）．6．（14分）已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：（1）k=1，方程的图形是圆半径为2，当k＞1且k≠时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在y轴上；当1＞k＞0时方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，长轴在x轴上（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2（3））k＜0时，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，解答：解：（1）k＞0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k＞1时，长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=；②k=1时，为半径r=2的圆；③k＜1时，长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2（2）k=0时，方程为y2=4，图形是两条平行于x轴的直线y=±2如图：（3）k＜0时，方程为，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上，如图：点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．属基础题．7．（14分）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．求证：（1）CD=CM=CN；（2）CD2=AM•BN．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）首先根据题中圆的切线条件得二组角相等，再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等，从而证得线段相等；（2）在直角三角形ABC中应用射影定理求得一个线段的等式，再根据线段的相等关系可求得CD2=AM•BN．解答：证明：（1）连接CA、CB，则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°∴CD2=AD•DB由（1）知AM=AD，BN=BD∴CD2=AM•BN．点评：本题考查与圆有关的切线性质、全等三角形的判定以及平面几何的射影定理，属容易题．8．（12分）已知：18b=5，log189=a（a≠2）求log3645．考点：对数的运算性质．分析：根据指数与对数式的互化，可先将18b=5化为log185=b，然后代入即可得到答案．解答：解：∵18b=5，∴log185=b∴点评：本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的换底公式．一定要掌握对数的运算法则．9．（20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于，求三角形各边a，b，c的长．（提示：必要时可验证）考点：同角三角函数基本关系的运用；等差数列的性质；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：△ABC的三内角的大小成等差数列，求出B=60°，A+C=120°，利用两角和的正切，求出tgA+tgC，然后求出tgA，tgC，求出A，C的值，利用任意角的三角函数求出a，b，c．解答：解：A+B+C=180°又2B=A+C．∴B=60°，A+C=120°∵而tgA+tgC=（1﹣tgAtgC）tg（A+C）=．（2）由（1）（2）可知tgA，tgC是=0的两根．解这方程得：x1=1，x2=2+设A＜C，则得tgA=1，tgC=2+．∴A=45°，C=120°﹣45°=75°又知c上的高等于4，∴a==8；b=；c=AD+DB=bcos45°+acos60°=4．点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，等差数列的性质，三角形中的几何计算，考查计算能力，是中档题．10．（20分）已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α﹣2si n2β=0．求证：．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：证明题．分析：欲证：．往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明，利用题中的两个关系，我们先求sin（α+2β）的值即可解决问题．解答：解：由3sin2α+2sin2β=1，得：3sin2α=cos2β．．．∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α∴9sin2α=1．∴sinα=（α为锐角）∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin2α）+cosα（3sinαcosα）=3sinα（sin2α+cos2α）=3sinα=1∴．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式，证明的关键是求出sin（α+2β），是一道三角变换的中档题．11．（20分）已知函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1（m为实数）（1）m是什么数值时，y的极值是0？（2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上．考点：利用导数研究函数的极值；抛物线的应用．专题：计算题；证明题．分析：（1）二次函数研究极值问题，可利用配方法研究极值，根据y的极值是0建立等量关系．（2）先求出函数图象抛物线的顶点坐标，根据点的横坐标与纵坐标消取参数m即可得顶点轨迹，再进一步验证即可．解答：解：（1）用配方法得：∴的极小值为．所以当极值为0时，（2）函数图象抛物线的顶点坐标为即，二式相减得：，此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线，方程中不含m，因此，不论m是什么值，抛物线的顶点都在这条直线上．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及抛物线的应用，属于中档题．。

1979年全国统一高考数学试卷(文科)

1979年全国统一高考数学试卷（文科）一、解答题（共8小题，满分96分）1．（9分）求函数y=2x2﹣2x+1的极小值．2．（9分）化简[（1+sin2θ）2﹣cos4θ][（1+cos2θ）2﹣sin4θ]．3．（9分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？4．（9分）叙述并证明勾股定理．5．（14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？6．（14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）7．（18分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：8．（14分）过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹．x=，y、y′随x的变化如下表：x=时，取极小值．解：甲中含纯酒精（公斤），含水（公斤）乙中含纯酒精（公斤），含水（公斤）甲乙共含纯酒精=公斤甲乙共含水=公斤，所以可以列出等式，化简得解：勾股定理：直角三角形的两直角边的平cotα+cotβcotα+cotβ≥时，应向外国船发出警告．求证：∴∴）得迹．定理得：，因为的中点，所以，再由上，得到，代入上式得整理即可．要注意范围．的直线方程为y=kx代入圆的方程，的中点，所以y=kx上，∴，代入上式得两端乘以，得即x+y=x+2y这是一个一点为中心，以为半径的圆，所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧．。

1997年全国高考数学试题及答案解析

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
解法二：
依题意，即所求的a，b的值使ab最大。
由题设知
当且仅当a=2b时，上式取等号。
由a>0,b>0，解得0<ab≤18
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。
2b2=18解b=3,a=6
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设。求sinB的值。
以下公式供解题时参考：
[Key]本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。满分10分。
解：由正弦定理和已知条件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB
由和差化积公式得
由A+B+C=π得
21、（本小题满分11分）
如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1。以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|= ，|AN|=3且|BN|=6。建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
[Key]本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想。考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力。满分11分。
[Key]本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识。满分12分。
解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小。
这时a=6,a=-10(舍去)

1987年全国统一高考数学试卷(文科)

1987年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．X B．T C．φD．S2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18 D．274．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4 B．y=4﹣x2C．D．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f （x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f （x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞07．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（ A ）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移B．向右平行移C．向左平行移D．向右平行移动动动动二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：I A=Isinωt，I B=Isin（ωt+120°），I C=Isin（ωt+240°），求I A+I B+I C的值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a 的取值范围．14．（12分）设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n与a n的关系是S n=ka n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的a n的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．1987年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）设S，T是两个非空集合，且S⊈T，T⊈S，令X=S∩T，那么S∪X等于（）A．X B．T C．φD．S考点：并集及其运算．分析：根据交集的性质，易得X⊆S，进而由并集的性质，可得答案．解答：解：若X=S∩T，则有X⊆S，由并集的意义，易得S∪X=S，故选D．点评：本题考查交、并集的性质与相互关系，注意X=S∩T⇒X⊆S，S∪X=S⇒X⊆S，反之也成立．2．（3分）设椭圆方程为，令c2=a2﹣b2，那么它的准线方程为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴，再根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程．解答：解：∵a＞b，∴椭圆的焦点在x轴，根据椭圆的性质可知椭圆的准线方程为故选C点评：本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．3．（3分）设log34•log48•log8m=log416，那么m等于（）A．B．9C．18 D．27考点：对数的运算性质．分析：根据换底公式知，log4•log48•log8m===2，即可得答案．3解答：4．（3分）复数sin40°﹣icos40°的辐角为（）A．40°B．140°C．220°D．310°考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：化简成复数的三角形式即可解答：解：原复数可化成sin140°+icos140°，故辐角为140°，选B．点评：注意到复数的三角形式为z=r（cosθ+isinθ）5．（3分）二次函数y=f（x）的图象如图所示，那么此函数为（）A．y=x2﹣4 B．y=4﹣x2C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：先看图象的开口方向，再看定点坐标，结合所给的选项选出正确的答案．解答：解：由二次函数的图象是抛物线，开口向下，顶点（0，3），结合所给的选项，故答案选C．点评：本题考查二次函数图象的特征．6．（3分）函数f（x）是R上以2为周期的奇函数，已知当x∈（0，1）时，f（x）=log2，则f （x）在区间（1，2）上是（）A．减函数，且f （x）＜0 B．增函数，且f（x）＜0C．减函数，且f（x）＞0D．增函数，且f（x）＞0考点：函数的单调性及单调区间．专题：计算题．分析：欲求f（x）在区间（1，2）上的性质，可先求出其解析式，根据解析式研究性质．解答：7．（3分）已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m≠0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（ A ）A．（﹣m，m）B．（m，﹣m）C．（m，m）D．（﹣m，﹣m）考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，则新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（k，l）则据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为（﹣m，m）故选项为A点评：本题考查平移公式的应用．8．（3分）（2012•德阳二模）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平行移动B．向右平行移动C．向左平行移动D．向右平行移动考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型；压轴题．分析：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后，求出ρ进而得到答案．解答：解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）=∴ρ=﹣∴应向右平移个单位故选D．点评：本题主要考查三角函数的平移．属基础题．二、解答题（共7小题，满分96分）9．（28分）已知方程表示双曲线，求λ的范围．故λ的范围为λ＜﹣2或λ＞﹣1．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要注意讨论焦点在x轴和y轴两种情况．10．（10分）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：I A=Isinωt，I B=Isin（ωt+120°），I C=Isin（ωt+240°），求I A+I B+I C的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦公式，把sin（ωt+120°）和sin（ωt+240°）展开后代入I A+I B+I C的式子进行化简．解答：解：I A+I B+I C=Isinωt+Isin（ωt+120°）+Isin（ωt+240°）=I[sinωt+sin（ωt+120°）+sin（ωt+240°）]==I•0=0．点评：本题考查两角和的正弦公式的应用以及特殊角的三角函数值．11．（12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为，求第三个顶点所表示的复数．考点：复数代数形式的混合运算．分析：设第三个顶点所表示的复数为z，因为是正三角形，三边长相等，即复数的模相等，夹角60°，化简求解．解答：解：设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z﹣2和的模相等，辐角差为，因而；，点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的三角形式的运算，考查复数的模等知识，是难度较大，运算量大，易出错．12．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P﹣ABC的体积V=L2h．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：由题意说明PAD是垂直边长的两个三棱锥的公共底面，求出其面积，再求体积即可．解答：证明：连接AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD，∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA•ED=LhV B﹣PAD=（Lh）•BD=Lh•BD=Lh•CD同理，V C﹣PAD∴三棱锥P﹣ABC的体积V=Lh•BD+Lh•CD=Lh（BD+CD）=Lh•BC=L2h．若E，D不是分别在线段AP，BC上，结论仍成立．点评：本题考查学生空间想象能力，考查逻辑思维能力，棱锥的体积公式，是中档题．13．（10分）设对所有实数x，不等式恒成立，求a 的取值范围．考点：其他不等式的解法；二次函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：本题是一元二次不等式x∈R恒成立问题，用判别式法转化为：解答：解：由题意得：令，则（3）式变为z2﹣（log28﹣z）（﹣2z）＜0，化简为z（6﹣z）＜0，解得z＞6或z＜0（4）（2）式变为log28﹣z＞0，即z＜3，（5）综合（4），（5）得z＜0，即，由此，（6）解（1），（6）得a取值范围：0＜a＜1．点评：本题主要考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题，解法是用判断式法，要注意其开口方向．14．（12分）设数列a1，a2，…，a n，…的前n项的和S n与a n的关系是S n=ka n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．（1）试写出用n，k表示的a n的表达式；（2）若=1，求k的取值范围．考点：数列递推式；极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由前n项的和S n与a n的关系a n+1=S n+1﹣S n，得到数列的递推公式，注意分析k是否为零，再求数列的通项公式．（2）利用极限的值和第（1）的结果，代入s n整理出关于k的式子，再求k的值．解答：解：（1）∵S=ka+1，∴∴k的范围：k＜点评：本题由前n项和公式和s n和a n的关系式，求出递推公式，然后求数列的通项公式；再由所给的极限值求k的范围．15．（12分）正方形ABCD在直角坐标平面内，已知其一条边AB在直线y=x+4上，C，D在抛物线x=y2上，求正方形ABCD的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：根据C，D两点在抛物线上可设出C，D的坐标，根据直线A，B的方程可知AB与y轴成的夹角，进而推断出角线AC与边AB也成450角，进而推断出AC∥y轴，和BD∥x轴，设出A，B的坐标，根据AB∥CD，对角线AC，BD互相垂直平分，联立方程求得s和t，则正方形ABCD的面积可求得．解答：解：∵C，D两点在抛物线上，。

发挥学科特点坚持改革创新_恢复高考40年数学科命题评析_任子朝

从1977年恢复高考至今，数学在为高考选拔优秀人才、引导中学教学方面发挥了重要作用，取得了显著成绩。

40年间，高考数学经历突出“双基”考查、探索能力考查、更新考查内容、加强能力立意考查等阶段。

本文分阶段对高考数学考查内容的历史进行梳理，以期总结经验，更好发挥数学在高考中的作用，为后续的高考改革提供借鉴。

1恢复高考的初期（1978—1982年）：确定考试范围，突出“双基”1977年，教育部组织编写《1978年全国高等学校招生考试复习大纲》（以下简称《复习大纲》）。

《复习大纲》规定了高考命题的范围，并且指出考生在复习时应注意各部分知识间的相互联系和它们的综合运用，特别应着重基础知识的学习、基本技能的训练和逻辑思维能力的培养。

《复习大纲》中关于数学的考试内容以初等数学知识（包括平面几何、解三角形、初等函数等）为主，同时指出，考虑到各地区教学内容不同的实际情况，反三角函数、复数、排列组合、参数方程、极限等知识都没有列入高考范围。

1978年的高考数学试题比较简单、直白，如直接要求分解因式等。

1980年，随着各地试行全日制十年制教学大纲和试用全国统编教材，《复习大纲》就没有再出版。

在之后的几年里，参加高考的人数增加，为了区分考生，数学试题的要求有所提高，逐渐向深、难方向发展，有的试题内容甚至涉及高等数学里的微积分等知识。

为了在高考中取得好成绩，出现了“猜题押题”“题海战术”“油印资料满天飞”的现象。

为纠正这种倾向，中学教学强调应重视课本，加强基础知识的学习，为此高考开始用课本中的现成结论进行命题，如考查勾股定理、三垂线定理、对数换底公式的证明等。

这在一定程度上引导了教师和考生对基础知识的重视，课堂教学回归课本。

但是由于各地教学水平的差异，逐渐出现将课本上的定理、习题的解答死记硬背下来应付考试的现发挥学科特点坚持改革创新任子朝陈昂（教育部考试中心，北京100084）——恢复高考40年数学科命题评析[作者简介]任子朝（1961—），男，教育部考试中心，研究员；陈昂（1983—），男，教育部考试中心，助理研究员。