机械动力学——任意周期激励讲解
振动力学-激励及响应的有关概念
振动力学-激励及响应的有关概念
一．激励及响应的有关概念
1、激励：直接作用于机械运动部件上的力，旋转机械（p21，例
2.2）或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支承运动（p33，例2.8）而导致的位移激励、速度激励和加速度激励；
2、激励分类：按时间的变化规律分类：简谐激励、周期激励和任意激励；
3、系统响应：系统对周期激励的响应通常指稳态响应，可以借助周期激励的谐波分析来研究。
任意激励或者作用时间极短的脉冲激励下，系统通常没有稳态响应，只有瞬态响应，可以通过脉冲响应或阶跃响应来分析。
激励一旦去除，系统即按自身的固有频率做自由振动。
4、简谐激励下的受迫振动：虽然简单、存在场合较少，但掌握响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般激励的响应的基础。
二．平衡位置的选择
对于有重力势能影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。
三．瑞利（Rayleigh）法计算固有频率瑞利法计算固有频率ωn:先假设振型，与真实振型存在差异，相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，因此固有频率ωn略高于精确值；
以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。
本例中，如果对梁的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选得精确形状，就会得到精确的周期。
四．等效刚度、等效质量
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。
第七章 机械系统的动力学分析
§7-2 单自由度机械系统动力学分析
3、等效动力学模型的意义
等效力学模型
等效构件 + 等效质量(转动惯量) + 等效力(力矩)
Je
Me
注意： 、、S、V是某构件的真实运动；
Me是系统的等效力矩；
Je是系统的等效转动惯量。
Fe
me
ve
Fe是系统的等效力； me是系统的等效质量。
例题：图示机构。已知z1＝20，J1；z2＝60，质量中心在B点，
§7-1 概 述
机构力分析的目的和方法
目的： 1）求驱动力。用以确定所需功率，选择合适的电动机。
2）求生产阻力。根据原动件上驱动力的大小，确定机
械所能克服的生产阻力。 3）求机构运动副中的反力。该力大小和性质是零件设
计计算和强度计算的重要依据。
方法：图解法和解析法
§7-1 概 述
二、机械的运转过程 机械运转中的功能关系 Wd - Wc = E2 – E1 其中：Wc = Wr+ Wf 1、 起动阶段： ω=0，↗ωm ， 则：E1 =0，↗E２， W= E=E2-E1 >0 故：Wd > Wc = Wr +Wf 主动件作加速运动。
启
动
Wd-Wc=E2-E1>0
稳定运行
Wd-Wc=E2-E1=0
停
车
原动件速度从正常工作速 度值下降到零
Wd-Wc=E2-E1<0
§7-2 单自由度机械系统动力学分析
为了便于讨论机械系统在外力作用下作 功和动能变化，将整个机械系统多个构件运
动问题根据能量守恒原理转化成对某个构件
的运动问题进行研究。为此引入等效转动惯
等效力可以根据等效前后功率相等的原则求取。
1.5任意周期激励 振动力学课件
叠加原理 稳态响应
x(t)a0 2k
n1akn
ncosnt
nbkn
n
sinnt
n
=a0
2k
n1
an
cosntn+bnsinntn
k 1n2s2 2 2ns2
无阻尼 x(t)a0 ancosntn+ bnsinntn
2k n 1
k1n2s2
a0 2k
代表着平衡位置
a 0 作用于系统上所产生的静变形 2
T
a 0
2 T
2 T
F
(t)d t
2
T
an
2 T
2 T
F(t) cos(nt)dt
2
T
bn
2 T
2 T
F (t ) sin(nt )dt
2
T 为周期信号的周期，
2 T
周期信号的基频
（1）周期函数是奇函数， F(t)F(t)
傅里叶系数 a0 0 an 0
傅里叶级数简化为
F(t)bnsinn(t) n1
n 1
n3 n5
n7 n9
1
1
1.028
1162 20.1162
20.1 1
1
arctan
6
1
1
2
0.0342
6
3
3
1
0.441
131 6220.131 62
20.131
3
arctan
6 13162
0.1326
5
5
151 62120.1，51 620.57465
arctan
20.151 6
b4 0
…
…
第2章任意激励作用下的受迫振动
§2-6 周期激励作用下的的受迫振动对于周期激励先进行谐波分析,将它分解成一系列不同频率的简谐激励，然后救出系统对务介频率的简谐激励的响应，再由母性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。
设作用在粘性阻尼系统的周期激励力F(t)=F(t+T)，其中T 为周期，记ω1=2π/T 为基频，则有：()()cos sin n n na F t a n tb n t ωω∞==++∑01112（2-6-1）则系统的运动微分方程为()∞0n1n 1n=1amx+cx+kx =F(t)=+a cosn t+b sinn t 2ωω∑ （2-6-2）由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应()cos()sin()n n n n na x t A n t B n t kωϕωϕ∞=⎡⎤=+-+-⎣⎦∑01112其中,,nn n n n n n n n n na A kb B ktg n k c p p m mp ζλϕλωλζ===-===22111212§2-7 任意激励激励下的受迫振动一、系统对冲量的响应1．用冲量描述瞬态作用设作用在系统物块受到一冲量的作用，设冲量为ˆF ，忽略物块有位移，则物块受冲量作用后获得的速度为ˆF v m=（2-7-1）设t=τ为作用冲量的瞬时，取初位移x τ=0，初速度ˆF x v mτ== ，则得单自由系统无阻尼系统对冲量ˆF 的的响应ˆsin ()n nF x p t mp τ=- （2-7-2）同理冲量作用在有阻尼系统上的响应为()ˆsin ()n t d dF x e p t mp ττ--=- （2-7-3）2．用δ函数表示冲击力 δ函数的定义：()()t t t t τδττδτ∞⎧≠-=⎨∞=⎩-=⎰1（2-7-4）用δ函数表示作用在极短时间内冲击力，设冲量的大小为ˆF ，则相应的冲击力ˆ()F F t δτ=-（2-7-5）式中τ表示施加冲量的瞬时。
机械原理机器的动力学分析
第12章机器的动力学分析第12章机器的动力学分析12-1 机器的运转过程12-2机器的等效动力学模型12-3 机器的速度波动调节前几章的机构运动分析与运动设计，均假定原动件运动已知且等速。
实际上，原动件的真实运动是作用于机械的外力、各构件的质量、转动惯量以及原动件位置等的函数。
研究机械的真实运动，有重要意义。
确定机械在外力作用下的真实运动规律，据以进行真实的运动分析与力分析。
将机械的速度波动调节在允许范围内，以减小速度波动的不良影响。
速度波动的不良影响？外力变化引起机械速度波动（变化）。
速度波动导致运动副中产生附加动压力，导致机械振动，降低机械使用寿命、机械效率和工作可靠性。
研究产生速度波动的原因，掌握减少速度波动的方法，是工程设计者应有的能力。
12-1 机器的运转过程一、作用于机械的力二、机械的运转过程12-1 机器的运转过程一、作用于机械的力力（矩）与运动参数（位移、速度、时间等）间的关系通常称为机械特性。
忽略构件重力及摩擦力时，作用于机械的力包括：工作阻力和驱动力。
收获机：驱动力、工作阻力一、作用于机械的力：工作阻力工作阻力指机械工作时需要克服的工作负荷，其变化规律取决于机械的工艺特点。
一、作用于机械的力：工作阻力在某工作段，近似为常数（如车床）是执行构件位置的函数（如曲柄压力机）是执行构件速度的函数（如鼓风机、搅拌机、螺旋桨）是时间的函数（如揉面机、球蘑机）一、作用于机械的力：驱动力驱动力指驱使原动件运动的力，其变化规律取决于原动机的机械特性。
一、作用于机械的力：驱动力如蒸汽机、内燃机的驱动力，是活塞位置的函数电动机输出的驱动力矩是转子角速度的函数12-1 机器的运转过程二、机械的运转过程：机器的运转过程分3阶段：（1）启动阶段（2）稳定运转阶段（3）停机阶段稳定运转启动停机TTωωmt据动能定理，在任一时间间隔内，外力作功（忽略摩擦力等）等于动能的增量：W = Wd –Wr= E2–E1机器运转的过程，是机械外力作用（作功）的结果；机械速度波动的根源，是机械动能变化的结果。
机械动力学
6.机构分析和机构综合。此项内容一般是对机构的结构和运动而言，但随着机械运转速度的提高， 机械动力学已成为分析和综合高速机构时不可缺少的内容。
理论及应用
理论及应用
1.分子机械动力学的研究：作为纳米科技的一个分支，分子机械和分子器件的研究工作受到普遍。 如何针对纳机电系统(NEMS)器件建立科学适用的力学模型，成为解决纳米尺度动力学问题的瓶颈。 分子机械是极其重要的一类NEMS器件．分为天然的与人工的两类。人工分子机械是通过对原子的 人为操纵，合成、制造出具有能量转化机制或运动传递机制的纳米级的生物机械装置。由于分子 机械具有高效节能、环保无噪、原料易得、承载能力大、速度高等特点，加之具有纳米尺度，故 在国防、航天、航空、医学、电子等领域具有十分重要的应用前景，因而受到各发达国家的高度 重视。已经成功研制出多种分子机械，如分子马达、分子齿轮、分子轴承等。但在分子机械实现 其工程化与规模化的过程中，由于理论研究水平的制约，使分子机械的研究工作受到了进一步得 制约。分子机械动力学研究的关键是建立科学合理的力学模型。分子机械动力学采用的力学模型 有两类，第一类是建立在量子力学、分子力学以及波函数理论基础上的离散原子作用模型。
阐述
对刚性转子的平衡已有较成熟的技术和方法：对工作转速接近或超过转子自身固有频率的挠性转 子平衡问题，不论是理论与方法都需要进一步研究。 平面或空间机构中包含有往复运动和平面或空间一般运动的构件，其质心沿一封闭曲线运动。根 据机构的不同结构，可以应用附加配重或附加构件等方法，全部或部分消除其振颤力。但振颤力 矩的全部平衡较难实现。 机械运转过程中能量的平衡和分配关系包括：机械效率的计算和分析，调速器的理论和设计，飞 轮的应用和设计等。 机械振动的分析是机械动力学的基本内容之一，现已发展成为内容丰富、自成体系的一门学科。 机构分析与机构综合一般是对机构的结构和运动而言，但随着机械运转速度提高，机械动力学已 成为分析与综合高速机构时不可缺少的内容。
动力学中的机械振动与周期
动力学中的机械振动与周期在动力学中，机械振动是一个重要的研究领域。
机械振动是指物体在受到外力作用时，由于其固有特性而产生的周期性运动。
周期性运动是指物体在相同时间间隔内重复出现的运动状态。
本文将介绍机械振动的基本概念、周期性运动的特征以及机械振动的应用。
一、机械振动的基本概念机械振动的基本概念包括质点振动和刚体振动。
质点振动是指物体在自由运动过程中保持形状不变，只发生位置移动的振动。
刚体振动是指在振动过程中，固体保持形状不变，整体发生平移或者旋转的振动。
机械振动的产生离不开弹性力和阻尼力的作用。
弹性力是物体受到形变作用时产生的恢复力，它使得物体回到其平衡位置。
阻尼力则是摩擦力等外力对物体振动过程中的能量损失。
二、周期性运动的特征周期性运动的特征是指物体在振动过程中重复出现的特定运动状态。
基本的周期性运动包括简谐振动和非简谐振动。
简谐振动是指物体在恢复力和质量之间满足线性关系时产生的振动。
简谐振动具有周期恒定、频率恒定和振幅恒定的特点。
非简谐振动是指物体在恢复力和质量之间不满足线性关系时产生的振动。
非简谐振动的振幅和周期会随着时间的推移而变化。
三、机械振动的应用机械振动在工程和科学领域具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 结构物的振动分析: 在工程领域中，机械振动的分析可用于评估建筑物、桥梁等结构物的耐久性和安全性。
通过对结构物的振动特性进行测量和分析，可以判断结构物是否存在疲劳、共振等问题，从而进行相应的维修和改善措施。
2. 振动传感器: 振动传感器是一种常用的测量设备，可以用于检测和监测机械设备的振动情况。
通过对设备振动的监测，可以及时发现设备的故障和损坏，从而提前采取维修和保养措施，减少停机时间和生产损失。
3. 振动控制技术: 振动控制技术是通过对振动系统施加控制力来减小或消除振动的技术手段。
该技术广泛应用于航空航天、汽车制造、机械加工等领域。
通过振动控制技术可以提高系统的稳定性和工作效率，减少振动对设备和人体的损伤。
机械动力学(振动学)理论知识总结
机械动力学理论知识点总结机械振动：指物体在其稳定的平衡位置所做的往复运动；固有振动：无激励时，系统所有可能的运动的集合；自由振动：没有外部激励，或者外部激励出去后，系统自身的振动；自激振动：系统有其本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动；参数振动：激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动；简谐振动：物体与位移成正比的恢复力作用下，在其平衡位置附近，按照正弦规律做往复的运动；阻尼:系统中存在的各种阻力:干摩擦力，润滑表面阻力，液体或者气体等介质的阻力、材料内部的阻力。
瑞利法：利用能量法，将弹簧的分布质量的动能计入系统的总动能，仍按单自由度系统求固有频率的近似方法；耦联:两个质点的运动不是独立的、他们彼此受另一个质点的影响。
弹性耦联：表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中，就称这些坐标之间存在弹性耦联；惯性耦联：当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间存在惯性耦联；解耦：就是用数学方法将两种运动分离开来处理题赏用解帮方法就是忽略或简化对所研究问题影响较小的种运动，只分析主要的运动。
拍振:同一方向两简谐振动合成时，出现拍振的条件是两个简谐分量的顿率相差很小。
对于两自由度无阻尼的自由振动，即它们的主振动是简谐振动，所以当两个固有频率相差很小的时候可能出现拍振。
响应谱:系统在给定激励下的最大响应值与系统或激励的某一参数之间的关系曲线图。
耦合是指两个或两个以上的体系或两种运动形式间通过相互作用而彼此影响以至联合起来的现象。
瑞利能量法：适用于求系统的基频，他的出发点是假设振型和利用能量守恒条件；里兹法：里兹法对近似振型给出更合理的假设，从而算出的基频值进一步下降，并且可得到系统较低的前几阶固有频率，及相应的主振型。
邓克来法：是求多圆盘的横向振动基频近似值的一种方法，当其他各阶的固有频率远远高于基频时，利用此法估计基频较方便。
基频为实际值的下限。
邓克来法和瑞利能量法可以确定基频的范围。
单自由度振动系统对任意激励响应的仿真分析
Ｋｅｖ ｗｏｒ ｄｓ： ｂｒ ｉｏ Ｖｉ ａｔ ｎ： Ａｒ ｒ ｙ ｂｉｔ ａｒ Ｅｘ ｔ ｉ ｎ； Ｒｅ ｐｏ ｅ； Ｅｍ ａｔ ｃｉ ａｔ ｏ ｓ ｎｓ ｕｌ ｅ
０ 引 言
系统的等效集 巾质量为 ｍ ，刚度为 ｋ ，粘性 阻尼系数为
Ｃ ，振动位移 ｘ 受外力 ｆ ｔ作用。 ， （）
其运动微分方 程为：
从线性系统振动理论可知 ， 当机械系统受到简谐激励作
用时，其响应是 同频率的筒谐 振动 。在受到非简谐的周期激 励时，可把周期激励展开成 Ｆｕ ｉ ｒ ｏ ｒｅ 级数，把级数的每一项 视作…简谐激励，确定其稳态响应。根据线性系统 的叠加性 把所有简谐稳态响应加起来，就得到了系统对该周期激励的
维普资讯
ＴｅＳｍ ｌｔｏ ｎ ｌｓｓＱ ｈ ｅｏｎｅｔ ｈ ｒｉｒｒ ｘ ｉａ ｉｎＱ ｉｏｅＦｅｄｍＶｂａ ｉｎＳ ｓｅ ｈ ｉｕａ ｉｎＡａ ｙｉ ｎｔｅＲ ｓｏｓ ｏｔｅＡｂｔａｙＥｃ ｔｔｏ ｆＳｎ ｌ － ｅｏ ｉｒｔｏ ｙｔｍ －ｒ
邱 英
计算机对其进行仿真分析，结果直观 明了，是一种非常有效 的振动分 析工具。
关键词： 动： 振 任意激励： 响应： 仿真 中图分类号 ：０ ２ ３４ 文献标识码 ：Ａ 文章编号：１ ７ — ７ ２ （０ ８５ ０ ３ 一 ２ １ ４ ９ 一 ２ ０ ）— ０ ８ Ｏ ６
Ａｂ ｔａ ｔ Ｂ ｓ ｄ ｎ ｈ ｅ ｐ ｎ ｅ ｏ ｈ ｕ ｉ ｉ ｐ ｉ ｅ ｘ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｓ ｎ ｌ — ｒ ｅ ｏ ｉ ｒ ｔ ｏ ｙ ｔ ｍ，ｔ ｅ ｓ ｒ ｃ ： ａ ｅ ｏ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｓ ｔ ｔ ｅ ｎ ｔ ｍ ｕ ｓ ｅ ｃ ｔ ｔ ｏ ｆ ｉ ｇ ｅ ｆ ｅ ｄ ｍ ｖ ｂ ａ ｉ ｎ ｓ ｓ ｅ ｈ
机械动力学第1、2章
2
2
1 2 2 1 d n 根据 Td 2 k mn cc 2mn
ln(16) 2.7726
k 200 3.43382 2358.2652( N / m) cc 2 200 3.4338 1373.54( N s / m) c cc 0.4037 1373.54 554.4981( N s / m)
第一章 单自由度系统
• • • • •
常用的推导动力学方程的方法 牛顿第二定律 达朗贝尔原理 虚位移原理 能量守恒原理
无阻尼自由振动
1.无阻尼自由振动解
如果一个质点偏离其平衡位置的距离 为 xm, 则其将进行自由振动，有牛顿 定律，质点力的平衡方程为
ma F W k st x kx
高塔消振 高塔消振 台北 101 大厦内部装有阻尼耗能减振器 台北 101 大厦内部装有阻尼耗能减振器
有阻尼自由振动的应用
网球 (( 羽毛球 )) 拍消 网球 羽毛球 拍消 网球拍或羽毛球拍在击球后产生自由振动，若不在 网球拍或羽毛球拍在击球后产生自由振动，若不在 下次击球之前停止振动，将影响再次击球的方向和 下次击球之前停止振动，将影响再次击球的方向和 角度，为此在铁合金管外面绕上石墨纤维，并在其 角度，为此在铁合金管外面绕上石墨纤维，并在其 外面用塑料捆扎住，石墨纤维外表面的库仑阻尼， 外面用塑料捆扎住，石墨纤维外表面的库仑阻尼， 使球拍在击球后，以最快的时间稳定下来 使球拍在击球后，以最快的时间稳定下来
p103
【解】由于x1.5=x1/4, 因而x2=x1/16
n t2
x1 Ae nt1 sin( 1 2 n t1 ) x2 Ae
第5讲 两自由度系统的振动
(4)
，式中常数u1和u2起振幅的作用。 请
将方程(4)代入方程(3)，得
m1u1 f(t)+ (k11u1 + k12u2 ) f (t ) = 0 m2u2 f (t)+ (k21u1 + k22u2 ) f (t ) = 0
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动
现在关心的问题是，在初值条件下，如何求解 这个方程。这里，有两个问题需要确定： 1、坐标x1和x2是否有相同的随时间的变化规律 2、x1和x2是否是简谐函数
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
14
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家是
课 件荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 仅 供(Christian Huygens 1629-1695)。根据 学 习伽利略(Galileo Galilei 1564-1642)发现 复 习 的钟摆的等时性原理，他于1656年把单 之 用 ，摆引入了机械钟，研制成第一个摆钟。 请
勿标，它们能够完全描述了系统在任何时刻的运动：x1和 它 用x2不仅表示出质量m1和m2的运动，而且也描述了
弹簧
。 曹k 、k 和k 的运动。因此，该系统是一个两自由度系统。 1 2 3
2015/3/24 机械系统动力学-多自由度系统的振动 8
两自由度系统的自由振动（微分方程）
f1 f2
课 件 仅 供 x1 x2 学 k2 (x2 − x1 ) 习 k1 x1 m1 m2 k3 x2 复 习 f1 f2 之 用 设运动x1和x2是微幅的，振动系统是线性的。由牛 ，顿定律建立运动微分方程 ：
引言
2015/3/24
机械系统动力学-多自由度系统的振动
结构动力学-第十章-随机振动激励响应关系
ch
0 0
0
kh(t)dt
0
0
(t)dt
0
或： m h(0 ) h(0 ) c h(0 ) h(0 ) kh( )(0 0 ) 1
即： mh(0) ch(0) 1 (1)
积分两次：
0
dt
t mhdt
0
dt
t chdt
0
dt
t
kh(t)dt
0
t
dt (t)dt
t
x(t) h(t )y( )d y(t) * h(t)
卷积积分
此式也可以由上页的(*)式推出：
y(t)
y( )
t
t
此式也可以由上页的(*)式推出：
x(t) 1
2
H
(
)
y(t)eit dteit d
1
2
H
(
)
y( )ei d eit d
1
2
y( )
H
(
)e
当t 0时， (t)＝0，故有
mh ch kh 0 或 h 2nh n2h 0
其通解为： h(t) en t ( A cosd t B sin d t)
积分常数A和B由初始条件确定
则： mh ch kh (t) (*)
对(*)式两边从0-到0+积分两次
积分一次：mh 0 0
2
或： 1 e－itdt 2 ()
故： 1
2
() 或：1
2 ()
同样： 1 ei0 t
2
( 0 )
1 ei0 t
2
( 0 )
(3)脉冲响应函数
实际上，在第四章瞬态振动一章已经求过h(t)。 求h(t)的步骤如下： ①建立系统运动微分方程
1.6任意激励的响应时间域分析 振动力学课件
1
md
e (t )
sind (t
)d
F0e t
md
t
sin t
0
e
sind (t
)d
经过繁杂积分得到如下形式的解
x2
Be t
sin
cos d t
cos d
sin
sindt
B sin(t
)
式中
F0Biblioteka Bk(1 s 2 )2 4 2 s 2
arctan
2 s
1 s2
x x1 x2
=Ae
表示，上式称为杜哈梅（Duhamel）积分。
t
根据卷积性质，杜哈梅积分也可写作 h( ) * F(t ) F(t )h( )d
0
积分变换 令 t t ' t t '
t
t
t
F( )h(t )d F(t t')h(t')(dt') F(t t')h(t')dt'
0
0
第六节 任意激励的响应
（脉冲响应法—时间域分析）
狄拉克（P. A. M .Dirac） （1902—1984） 英国物理学家
量子力学的奠基者之一， 因狄拉克方程获得1933年诺贝尔奖。
对物理学的主要贡献是发展了量子力学，提出了著名的狄拉克方程， 并且从理论上预言了正电子的存在。
狄拉克是量子辐射理论的创始人，各自独立发现了费米-狄拉克统计法
x(0) 0 x(0) v0 作用下的响应。
解：动力学微分方程为 x 20 x 02 x F0 sin t
由初始条件引起的响应： x1 Ae t sin(d t )
式中：
A
机械原理第十章 机械系统动力学
矩所产生的功率P之和为 n
m
P Fivi cosi M j j
i 1
j 1
若等等效效构构件件的为角绕速定度轴为转，动则的根构据件等，效其构上件作上用作有用假的想等的效等力效矩力所矩产Me生,,
的功率应该等于整个机械系统中所有外力、外力矩所产生的功率之
和，可得
M e P
于是
Me
n i1
Fi
vi
cosi
m
Mj
j 1
j
同理，当等效构件为移动件时，可以类似得到作用于其上的等效
力为
Fe
n i1
Fi
vi
cosi
v
m
Mj
j 1
j
v
2.等效转动惯量和等效质量
若等效构件为绕定轴转动的构件，角速度为ω ，其对转动轴的假
想的等效转动惯量为Je，则根据等效构件所具有的动能等于机械 系统中各构件所具有的动能之和，可得
联立上述两式，可求出角速度随时间的变化规律，进而通过下式 计算等效构件的角加速度
d d d d dt d dt d
§10－4 机械的速度波动及其调节方法
10.4.1
周期性速度波动及其调节
Md Mr
Md
Mr
1. 周期性速度波动产生的原因
(a) a 等效力矩和等效转动惯量是等效构 △W
b
c
d
毂和轮缘的转动惯量较小，可忽略不计。其转动惯量为：
轮幅
轮缘
轮毂 JA
B
H
A
D2 D D1
JF
m ( D12 2
D22 ) 4
m 8
( D12
D22 )
若设飞轮宽度为B（m），轮缘厚度为H（m），平均直径
机械动力学基础
如果有 k 个偏心质量，则有：mb rb + k mi ri =0 i 1
所以静平衡的条件是：分布在该转子回转平面内的各个偏 心质量的质径积的矢量和为零。
根据转子的结构情况选定 rb 值后，平衡质量 mb 的大小就
随之而定，其方位则由 rb 确定。
为使转子平衡，我们可以在平衡矢径 rb 方向添加mb或在
2 min
)
= (J e J F ) m2
所以，有：
对于绕固定轴线回转的构件，其惯性力可以通过在该构件 上增加或取出质量的方法予以平衡。这类构件我们称作转子。
转子可以分为两大类：挠性转子和刚性转子。对于挠性 转子的平衡属于专门学科研究的内容。所以，刚性转子的平 衡问题使本章主要讨论的内容之一。
对于刚性转子的平衡，如果只要求其惯性力达到平衡，称 作静平衡；如果不仅要求其惯性力达到平衡，而且要求由惯性 力引起的力偶矩也达到平衡，则称作动平衡。
1、周期速度性波动调节
为了调节周期性波动,可以在机械中安装一个转动惯量很
大的回转构件——飞轮，来调节周期性速度的波动。根据等 效构件的方法原理和力学定律，我们可以得到式：
Je
d
dt
2
2
dJ e
d
Me
可知，在 M e 一定的条件下，加大 J e 可以使等效构件
的角加速度d 减小，从而使机械的运转趋于平稳。
分别为：
Wd ()
a M d ( )d
Wr ( ) a M r ( )d
也就是等效构件从起始位置 a转过角 时，等效力矩
Me所作的功为：
W a M ed a [M d () M r ()]d
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振幅放大因子
(s)
1
(1s 2 )2 (2 s)2
相位差 (s) tan 1 2 s
1s 2
3
任意周期激励的响应
•已知：
xc
xe
it
,x
H
(
)
F0
,H
(
)
1 k
e
i
•则可以得到：
xc
1 k
ei
F0 e it
F0 k
eit
F0 cost isint
bn
sin
nt )
任意周期激励的响应
系统的稳态响应为:
x(t) a0 an cos(nt n ) bn sin(nt n )
2k n1 k [1 (n / 0 )2 ]2 (2 n / 0 )2
其中
0
k c
周期函数F(t)可展开成Fourier级数，即可分解为无穷个谐波函 数之和。
F (t )
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
其中
a0
2 T
T
F (t)dt
an
2 T
T
F (t)cos ntdt
bn
2 T
T
F (t)sin ntdt
2
2F0 T
T
2 sin ntdt
0
T
T sin ntdt
2
2F0 T
2
n
2 cos n n
任意周期激励的响应
对于
bn
2F0 T
2
n
2 cos n n
当 n 取偶数时： bn 0n 2, 4, 6
若激励F(t) 有
F(t) F(t T )
则F(t)为周期激励， T为周期。
线性系统满足叠加原理
若
F1 (t )
线性系统
x1 (t )
F2 (t)
x2 (t)
线性系统
则 c1F1(t) c2F2 (t) 线性系统 c1x1(t) c2 x2 (t)
5
任意周期激励的响应
Fourier变换
x(t) 4F0
k n1,3,5
n[1
1
(n
/
0
)2
]
sin(nt)
记：
Bn
4F0
n k[1 (n / 0 )2 ]
•设： xc xeit x：稳态响应的复振幅
•代入振动微分方程，有：
mx 2eit cxieit kxeit F0eit
x H ()F0 复频响应函数
H ()
1
k m 2 ic
•令：
0
k m
c
2 km
s 0
则有：
H () 1[ 1s2 2 si ] 1 ei k (1s2 )2 (2 s)2 k
当 n sin nt
n n1,3,5...
4F0 (sin t 1 sin t 1 sin 5t )
3
5
任意周期激励的响应
系统运动方程： mx cx kx F(t)
把所有特解叠加起来，就得到系统在周期激振力作 用下的稳态响应：
m
20m
n
arctan
1
2 n (n
/ 0 / 0 )
2
任意周期激励的响应
系统在周期激励下的响应特点：
（1）线性系统在周期激励下的响应仍为周期函数， 且响应周期与激励周期相等。
（2）线性系统在周期激励下的响应波形发生畸变。
（3）无阻尼系统，有：
H (n)
1
1 (n / 0 )2
频率 ω=2π/T 成为基频，T为F(t)的周期。
6
任意周期激励的响应
Fourier分析法（谐波分析法）
先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频 率的简谐激励，然后求出系统对各个频率的简谐激励的响 应，再根据线性系统的叠加原理，将各个响应逐一叠加， 即得到系统对周期激励的响应。
这种对系统响应的分析方法被称为谐波分析法。
单自由度系统受迫振动
姓 名: 何江波 学 院: 机械工程学院 邮 箱：445875183@
2019/6/19
教学内容
• 简谐力激励的受迫振动 • 任意周期激励的响应 • 瞬态振动
2
任意周期激励的响应
振动微分方程：mxcxkx F0 sint
•令：Fc F0 costisint F0eit
当 n / 0 ，有 H (n)
当基频是自然频率的整数分之一时就可能发生共振。
任意周期激励的响应
例：质量-弹簧系统受到周
F(t)
期方波激励
F0
周期 T 12 0
-F0
t
0 是系统的固有频率
T
求：系统的稳态响应，画出响应的频谱图
任意周期激励的响应
解：
周期方波激励的基频：
2
0
T6
周期方波可以分解为：
F (t )
a0 2
n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)
a0
2 T
T
F (t)dt0
an
2 T
T
F (t) cos ntdt 0
前两项积分项均为奇函 数，因而积分均为零，
任意周期激励的响应
假设系统受到的周期激振力为： F(t) F(T t)
其中T为周期，记 2 通过谐波分析F(t) 可写为:
T
F (t )
a0 2
n1
(an
cos nt
bn
sin
nt)
系统的运动微分方程为:
mx
cx
kx
a0 2
n1
(an
cos nt
k
若： F (t) F0 sint
则： x(t) F0 sint
k
若： F (t) F0 cost
则： x(t) F0 cost
k
4
任意周期激励的响应
前面各节讨论的强迫振动中，都假设了系统受到的激励为简谐激 励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励。
bn
2 T
T
F (t) sin ntdt
任意周期激励的响应
F (t) bn sin nt
n1
2 bn T
T
F(t)sin ntdt
bn
2 T
T 2 0
F0
sin
ntdt
2 T
T
T F0 sin ntdt