数学建模案例分析最短路问题

v2 v3 v4
2 ? 7 ?? v1
0 8 3 ?v2
8 3
0 5
5 0
? ???
v3 v4
2020/4/21
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最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念 二、固 定 起 点 的 最 短 路 三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路
子图
定义 设图 G=(V,E, ? ),G1=(V1,E1, ? 1 )
(1) 若 V1 ? V，E1 ? E,且当 e ? E1 时， ? 1 ( e )= ? ( e ),则称 G1 是 G 的子图．
特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
(2) 设 V1 ? V，且 V1 ? ? ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的
1 0
0 1
? ???
v3 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵 Ｍ＝ (mij )? ?? ，其中：
?1 mij ? ??? 1
?? 0
若vi是e j的起点 若vi是e j的终点 若vi与e j不关联
2020/4/21
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邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A ? (aij )? ?? ，其中：
aij ? ???01
为顶点的数目．
( 7)若 V=X? Y，X? Y= ? ，且 X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶
点不相邻，则称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，则 G 称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y的顶 点数目．
2020/4/21
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图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1．图的定义 2．顶点的次数 3．子图
二、 图 的 矩 阵 表 示 1． 关联矩阵
2． 邻接矩阵
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图的定义
定义 有序三元组G=(V,E, ? )称为一个图,如果：
[1] V= {v1 , v2 ,? , vn }是有限非空集， V 称为顶点集，
? (e1) ? v1v2 , ? (e2 ) ? v1v3 , ? (e3 ) ? v1v4 , ? (e4 ) ? v1v4 , ? (e5 ) ? v4v4 .
G 的图解如图
2020/4/21
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定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e ，称为图的有向边 （或弧），而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e ，称为图的无
2020/4/21
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对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A ? (a ij )? ?? ，其中：
??wij a ij ? ? 0
?? ?
若(vห้องสมุดไป่ตู้ , v j ) ? E, 且wij为其权 若i ? j
若(vi , v j ) ? E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1
?? 0
A= ? 2
? ???
? 7
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[ V1].
(3)设 E1 ? E,且 E1 ? ? ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图,
称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[ E1].
G
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G[{ v1,v4,v5}]
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顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）称 为 v 的次数，记为 d (v) ．
（２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d＋(v) ，从顶点 v 引入的边的数目称为 v 的入度，记为 d －(v) ，
d (v) = d＋(v) + d－ (v) 称为 v 的次数．
向边.每一条边都是无向边的图，叫 无向图；每一条边都是有向
边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w ( e )，则称 w ( e )为边的
权，并称图 G 为赋权图.
规定用记号? 和? 分别表示图的顶点数和边数 .
2020/4/21
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若vi与v j相邻 若vi与v j不相邻
注：假设图为简单图
v1
?? 0
A= ? 1
? ???
0 1
v2 v3 v4
1 0 1 ?? v1
0 1 1 ?v2
1 1
0 1
1 0
????vv43
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其邻接矩阵 A ? (a ij )? ?? ，其中：
a ij ? ???10
若（vi，v j）? E 若（vi，v j）? E
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边
称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
其中的元素叫图 G 的顶点.
[2]E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边. [3] ? 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素
偶对构成集合的映射，称为 关联函数.
例1 设 G=(V,E, ? )，其中
V={v1 ,v2 , v3 , v4}， E={e1, e2 , e3, e4, e5},
数学建模与数学实验 最短路问题
2020/4/21
数学建模
实验目的 实验内容
1．了解最短路的算法及其应用 2．会用MATLAB 软件求最短路
1．图 论 的 基 本 概 念
2．最 短 路 问 题 及 其 算 法
3．最 短 路 的 应 用 4．建模案例：最优截断切割问题
5．实验作业
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数学建模
d (v4 ) ? 4
2020/4/21
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d ? (v4 ) ? 2 d ? (v4 ) ? 3 d (v4 ) ? 5
定理１ ? d (v) ? 2?(G) v? V (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数.
2020/4/21
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G[{ e1,e2,e3}]
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关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij )? ?? ，其中：
?1 mij ? ??0
若vi与e j相关联 若vi与e j不关联
注：假设图为简单图
e1 e2 e3 e4 e5
??1 0 0 0 1 ?? v1
M= ?1 1 0 1 0 ?v2
????00
0 1
1 1