高等数学试卷和答案新编

高等数学（下）模拟试卷一

一、填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

11z x y x y =+

+-的定义域为

（2）已知函数

arctan

y z x =，则z

x ∂=

∂

（3）交换积分次序，

2

220

(,)y y dy f x y dx

⎰

⎰

＝

（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则

()L

x y ds +=⎰

（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为

二、选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨

--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交

（2）设是由方程

222

2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5

z =所围成的闭区域，将

2

2()x

y dv

Ω

+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（）

22

5

3

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰.

24

5

3

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰ 22

5

3

50

2r

d r dr dz

πθ⎰

⎰⎰.

22

5

20

d r dr dz

π

θ⎰

⎰⎰

（4）已知幂级数，则其收敛半径（）

2112

2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *

=（）

()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++

三、计算题（每题8分，共48分）

1、 求过直线1L :1231

01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z

+-==的平面方程

2、 已知

22

(,)z f xy x y =，求z x ∂∂，z

y ∂∂ 3、 设

22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求

2

D

x dxdy ⎰⎰

4、 求函数

22

(,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分

阅卷人

5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到

(,2)A π的一段弧

6、求微分方程x

xy y xe '+=满足11x y ==的特解

四.解答题（共22分） 1、利用高斯公式计算

2

2xzdydz yzdzdx z dxdy ∑

+-⎰⎰

，其中∑由圆锥面22

z x y =+与上半球面

222z x y =--所围成的立体表面的外侧(10)' 2、（1）判别级数11

1(1)3n n n n ∞

--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）

（2）在(1,1)x ∈-求幂级数

1

n

n nx

∞

=∑的和函数（6'）

高等数学（下）模拟试卷二

一．填空题（每空3分，共15分）

（1）函数

2

224ln(1)x y z x y -=

--的定义域为； （2）已知函数xy

z e =，则在(2,1)处的全微分dz =；

（3）交换积分次序，

ln 1

(,)e x dx f x y dy

⎰⎰

＝；

（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则L yds =⎰；

（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为.

二．选择题（每空3分，共15分）

（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨

--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）； 02π3π4π（2）设是由方程33

3z xyz a -=确定，则z

x ∂=∂（）；

2yz xy z -2yz z xy -2xz xy z -2xy

z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（）； 2()x ax b e +2()x ax b xe +2()x ax b ce ++2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所

围成的闭区域,将dv

Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成

三次积分为（）；

A

22

20

sin a

d d r dr

π

πθϕϕ⎰

⎰⎰ B.

220

0a

d d rdr

π

πθϕ⎰

⎰⎰

20

a

d d rdr

π

πθϕ⎰

⎰⎰.

220

sin a d d r dr

ππ

θϕϕ⎰⎰⎰