高等数学试卷和答案新编
高等数学考试题库(附答案解析).docx
《高数》试卷 1 （上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分） .1 ．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B ）（C ）f x x 和g x2x（ D ）f x| x | 和g x x2f x| x |g x1和xsin x 4 2x02 ．函数f x ln 1x0 处连续，则a（） .在 xa x0（A ） 0（ B ）1（ D ）2（C ） 143 ．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） .（A ）y x 1（ B ）y( x 1)（ C）y ln x 1x 1（D）y x 4 ．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） .（A ）连续且可导（ B ）连续且可微（ C）连续不可导（ D ）不连续不可微5 ．点x0 是函数y x4的（）.（A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线 y1的渐近线情况是（） . | x |（A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（ C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．f112 dx 的结果是（）.x x（A ）f 1C （B）f1C （C） f1C1C x x x（ D ）fx8．dx的结果是（）.e x e x（A ）arctan e x C（B ）arctan e x C（ C）e x e x C（ D ）ln( e x e x )C 9．下列定积分为零的是（） .（A ）4arctanx4 x arcsinx dx（C） 1e x e x1x2x sin x dx 1x2dx （B）12dx （D）44110 ．设f x12x dx 等于（为连续函数，则f）.（A ）f 2 f 0（ B ）1f 11 f 0 （C）1f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22二．填空题（每题4分，共 20 分）1．设函数 f x e 2x 1x0在 x0 处连续，则 a.xa x02．已知曲线y f x 在 x5，则 f2.2 处的切线的倾斜角为x 63． y的垂直渐近线有条 .x214．dx. x 1ln 2 x5．2x4 sin x cosx dx.2三．计算（每小题 5 分，共 30 分） 1 ．求极限1 x2 xx sin x①limx②limx e x 2xx 012 ．求曲线y ln x y 所确定的隐函数的导数y x .3 ．求不定积分①dx②dx a 0③ xe x dxx 1 x 3x 2 a 2四．应用题（每题 10 分，共 20 分）1 ． 作出函数 yx 3 3x 2 的图像 .2 ．求曲线 y 22x 和直线 y x 4所围图形的面积 .《高数》试卷 1 参考答案一．选择题1 ． B2 ． B3 ． A4 ． C5 ． D6 ． C7 ． D8 ． A9 ． A 10 ．C 二．填空题1 ． 22 ．3 ２４． arctanln x c５．２３．3三．计算题１① e 2② 12. y x16 xy 13. ① 1 ln |x 1| C ② ln | x 2a 2x | C③ e x x 1 C2x 3四．应用题１．略２．S 18《高数》试卷 2 （上）一. 选择题 (将答案代号填入括号内 ,每题 3 分 , 共 30 分 )1. 下列各组函数中 , 是相同函数的是 ().(A)f xx 和 g xx 2(B)f xx 2 1 和 y x 1x 1(C)f xx 和 g xx(sin 2 x cos 2 x)(D)f xln x 2 和 g x 2ln xsin 2x 1 x 1x 12. 设函数 fx2x 1，则 lim fx（） .x 2x11x 1(A) 0(B)1(C)2(D) 不存在3. 设函数 y f x 在点 x 0 处可导，且 fx >0, 曲线则 yf x 在点 x 0 , f x 0处的切线的倾斜角为 {}.(A)(B) 2(C)锐角(D)钝角4. 曲线 yln x 上某点的切线平行于直线 y2 x3 , 则该点坐标是 ().(A) 2,ln1(B)2, ln1(C)1(D)1ln 222,ln 2,225. 函数y x2e x及图象在1,2内是 ().(A) 单调减少且是凸的(B) 单调增加且是凸的(C)单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的6. 以下结论正确的是 ().(A)若 x0为函数y f x的驻点 ,则x0必为函数y f x的极值点 .(B)函数 y f x导数不存在的点 ,一定不是函数y f x的极值点 .(C)若函数 y f x在 x0处取得极值,且f x0存在,则必有 f x0=0.(D)若函数 y f x在 x0处连续,则f x0一定存在 .17.设函数 y f x的一个原函数为x2e x,则f x=().1111(A)2x 1 e x(B)2x e x(C)2x 1 e x(D)2xe x8.若f x dx F x c ,则 sin xf cosx dx().(A) F sin x c(B)F sin x c(C)F cosx c(D)F cosx c设 F x 1x dx =(9.为连续函数 ,则f).02(A) f1f0(B) 2f1f0(C)2f2f0(D) 2 f 1f210. 定积分bdx a b 在几何上的表示(). a(A) 线段长b a(B)线段长 a b (C)矩形面积a b1(D)矩形面积 b a1二. 填空题 (每题 4 分, 共 20 分 )ln1x2x 0, 在x 0连续 ,则a =________.1.设 f x1cos xa x02.设 y sin2x ,则 dy_________________ d sin x .x3.函数 y1 的水平和垂直渐近线共有_______条.x2 14. 不定积分x ln xdx______________________.1x2 sin x1___________.5. 定积分1x 2dx1三. 计算题 (每小题 5 分 , 共 30分 )1.求下列极限 :①lim 1 2xx0 1arctanx x② lim2x1x2. 求由方程y 1 xe y所确定的隐函数的导数y x.3.求下列不定积分 :①tan x sec3xdx②dxa 0③x2e x dx x2a2四.应用题 (每题 10 分 ,共 20 分 )1. 作出函数y1x3x 的图象.(要求列出表格)32. 计算由两条抛物线：y2x, y x2所围成的图形的面积.《高数》试卷 2 参考答案一. 选择题： CDCDB CADDD二填空题： 1. － 22. 2sin x3.34.1 x2 ln x 1 x 2 c 5.2 42三. 计算题： 1.① e 2 ② 12.y xe yy 23. ① sec 3x c② lnx 2a 2 xc ③ x 22 x 2 e xc3四. 应用题： 1. 略2. S13《高数》试卷 3 （上）一、填空题 (每小题 3 分, 共 24 分)1.函数 y1的定义域为 ________________________.9x 22. 设函数 fxsin 4x , x 0, 则当 a=_________时, f x 在 x0 处连续 .xa, x 03. 函数 f (x)x 2 1的无穷型间断点为 ________________.x 23x 24.设 f ( x) 可导 , yf (e x ) , 则 y____________.5. limx 2 1_________________.2x 2x 5x6.1 x 3 sin2 x dx =______________.1x4x 217. d x 2e tdt _______________________.dx 0 8. yyy 30 是_______阶微分方程 .二、 求下列极限 (每小题 5分, 共 15 分)ex1x 31x1. lim ;2. lim;3. lim1 .sin xx 29 2xx 0x 3x三、求下列导数或微分 (每小题 5 分, 共 15 分)1. yx x , 求 y (0) . 2.ye cos x , 求 dy .2 求 dy . 3. 设 xy e x y ,dx四、求下列积分(每小题 5 分,共 15分)1.12sin x dx . 2. x ln(1x)dx . x3.1e2x dx五、 (8 分 )求曲线xtcost在 t2处的切线与法线方程 . y1六、 (8 分 )求由曲线 yx 2 1, 直线 y 0, x 0 和 x 1 所围成的平面图形的面积 , 以及此图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 .七、 (8 分 )求微分方程 y 6 y 13 y0 的通解 .八、 (7 分 )求微分方程 yye x 满足初始条件 y 10 的特解 .x《高数》试卷3 参考答案一． 1 ． x 32. a 43. x 24. e x f '(e x )5.16.07. 2xe x28. 二阶2二 .1. 原式 = lim x1x 0x2. lim1 1 x 3x 363. 原式 = lim[(11 11)2 x ] 2 e 2x2x三 .1.2.y '212)2, y '(0)( x2dysin xe cos x dx3. 两边对 x 求写： yxy ' e x y (1 y ')y 'e x y yxy yx exyx xy四.1. 原式 = lim x2cos x C2212. 原式 = lim(1 x)d (xxlim(1x)2x)]) x 2 x d [lim(12=x22lim(1x) 1 1 x dx x lim(1 x)1 ( x11 )dx22 x 2 21 x=x22lim(1x) 1 [ xx lim(1 x)] C22 2 3. 原式 =11 2xd (2 x)2x 121)e1 e 01(e222五.dysin tdy t21且t, y 1dxdx2 切线： y1 x,即 y x 1 22法线： y1( x ),即 y x 122六. S1 ( x21)dx ( 1x2x) 10 3 022V 11)2 dx 12x21)dx(x 2( x 4( x 5 2 x 2 x) 10 285 315七.特征方程 : r 2 6r 13 0r3 2iye 3x (C 1 cos2 x C 2 sin 2 x)11dxdx八. y e x( e x e x dx C )1 [( x 1)e x C ] x由 y x10,C0y x 1 e xx《高数》试卷 4 （上）一、选择题（每小题 3 分）1 、函数 y ln(1x) x 2 的定义域是（） . A2,1B2,1C 2,1D2,12 、极限 lim ex的值是（） .xA 、B 、C 、D 、 不存在3 、 lim sin(x1) （） .x 11x 21 1A 、 1B 、 0C 、2D 、24 、曲线 y x 3 x 2 在点 (1,0) 处的切线方程是（）A 、 y2( x1)B 、 y 4( x 1)C 、 y 4x 1D 、 y 3( x 1)5 、下列各微分式正确的是（ ） .A 、 xdx d (x 2 )B 、 cos 2xdx d(sin 2x)C 、 dx d (5 x)D 、 d (x 2 ) ( dx) 26 、设f (x)dx2 cosxC ，则f (x) （） .2A 、 sinxB 、22 ln x） .7 、 dx （xxxxsinC 、 sinC D 、 2 sin222A 、2 1ln 2 x CB 、 1(2 ln x)2Cx222C 、 ln 2ln xC1 ln xCD 、x28 、曲线 yx 2 ， x 1 ， y0 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积 V（） .11A 、x 4dxB 、ydyC 、1 y)dy1 (1 x 4)dx(1 D 、1e x 9 、e x dx （） .11 e2 e1 e1 2eA 、 ln2B 、 ln 2C 、 lnD 、 ln3210 、微分方程 y y y2e 2 x 的一个特解为（） .A 、 y3 e 2x B 、 y3 e x C 、 y2 xe 2 x D 、 y2 e 2 x7777二、填空题（每小题4 分）1 、设函数 y xe x ，则 y；2 、如果 lim3sin mx2 , 则 m.x 02x 313、 x3 cos xdx；14、微分方程y 4 y 4 y0 的通解是.5、函数 f (x)x2x在区间0,4 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题 5 分）1 、求极限lim 1 x 1 x ；2 、求y 1cot 2 x ln sin x 的导数；x 0x2x314 、求不定积分dx；3 、求函数y的微分；xx3111eln x dx ；dy x5 、求定积分6 、解方程1；e dx y 1 x2四、应用题（每小题10 分）1 、求抛物线y x 2与y2 x 2所围成的平面图形的面积.2 、利用导数作出函数y 3x2x3的图象.参考答案一、 1 、 C； 2 、 D ； 3 、 C； 4 、B ； 5 、 C； 6 、 B ；7 、B ；8 、 A ；9 、 A；10 、 D；二、 1 、(x2)e x； 2 、4； 3 、0； 4 、y(C1 C2 x)e 2 x；5、8，0 9三、1 、 1 ； 2 、cot 3 x ； 3 、6x 2dx ； 4 、2 x 1 2 ln(1x 1) C ； 5 、2(21) ；6、y2 2 1 x2 C ；( x31)2e四、 1 、8；32、图略《高数》试卷 5 （上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数 y2x1的定义域是（）. lg( x 1)A、2,10, B 、1,0(0,)C、(1,0)(0,) D 、(1,)2、下列各式中，极限存在的是（） .A、lim cosx B 、lim arctanx C、lim sin x D 、lim 2xx0x x x3、 lim (x) x（） .x 1 xA 、eB 、e2C、1 D 、1e4 、曲线y x ln x 的平行于直线x y 1 0 的切线方程是（） .A、y x B 、y(ln x 1)( x 1)C、y x 1 D 、y( x 1)5 、已知y x sin 3x ，则 dy（）.A、(cos3x 3sin 3x)dx B 、C、(cos 3x sin 3x)dx D 、(sin 3x3x cos3x) dx (sin 3x x cos3x)dx6 、下列等式成立的是（）.A 、x dx1 x 1 CB 、 a x dx a x ln x C11C 、 cosxdx sin x CD 、 tan xdxCx 217 、计算e sin xsin xcos xdx 的结果中正确的是（） .A 、 e sin x CB 、 e sin x cos x CC 、 e sin x sin x CD 、 e sin x (sin x 1)C8 、曲线 yx 2 ， x1 ， y0 所围成的图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积 V（）.1x 4dx1A 、B 、ydy 01 (1 y)dy1 (1 x4)dxC 、D 、a a 2x 2dx （） .9 、设 a ﹥ 0 ，则A 、 a2B 、 a2C 、 1a2D 、 1a 224410 、方程（）是一阶线性微分方程 .A 、 x 2ylnyB 、 y e x y 0xC 、 (1x 2 ) y y sin yD 、 xy dx ( y 26x)dy 0二、填空题（每小题 4 分）1 、设 f ( x)e x 1, x， lim f ( x)；，则有 lim f ( x)ax b, xx 0 x 02 、设 y xex，则 y；3 、函数 f (x)ln(1x 2 ) 在区间1,2 的最大值是，最小值是；14 、 x 3cos xdx；15 、微分方程y 3 y 2 y 0 的通解是.三、计算题（每小题 5 分）1 、求极限 lim (11 x23 ) ； x 1x x 22 、求y1 x2 arccosx 的导数；3 、求函数 yx 的微分；1 x 24 、求不定积分1dx ；x 2ln x5 、求定积分eln x dx ；1e6 、求方程x2y xy y 满足初始条件y( 1 ) 4 的特解.2四、应用题（每小题10 分）1 、求由曲线y2 x2和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.2 、利用导数作出函数y x 36x29x 4的图象.一、 1 、 B ； 2 、A ； 3 、 D； 4 、 C ； 5 、 B ；参考答案（ B卷）6 、 C；7 、 D ；8 、 A ；9 、 D ；10 、 B.二、 1 、 2 ， b ； 2 、( x2)e x； 3 、ln 5 ， 0 ；4、 0 ；5、C1e x C 2 e2 x.三、 1、1； 2 、x arccos 1 ； 3 、1dx ；3 1 x 2x(1 x 2 ) 1 x 24 、2 2ln x C ；1； 6 、y221 5 、2(2)xe x ；e四、 19； 2 、图略、2。
新高考数学试题(及答案)
新高考数学试题(及答案)一、选择题1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．110B ．310C ．35D ．254．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦6．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-27．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤8．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．809．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220B ．2755C ．2125D ．2722010．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．在[0,2]π内，不等式3sin 2x <-的解集是（ ） A ．(0)π，B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭12．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±二、填空题13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．14．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则sin sin sin a b cA B C________．15．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.16．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.17．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____. 20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.23．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）． （1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）求数列｛12nn a +｝的前n 项和Tn . 24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.（1）求证：AD PB⊥；（2）若E在线段BC上，且14EC BC=，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求四面体D CEG-的体积.25．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命/材料类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100 B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：6196 iiy ==∑61371 i iix y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑26．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：()255P x y ≤==，故本题选C .【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.4．C解析：C 【解析】 【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．5．C解析：C 【解析】 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。
新高考数学试卷及解析答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a、b、c应满足的关系是（）A. a > 0，b > 0，c > 0B. a > 0，b = 0，c > 0C. a < 0，b = 0，c > 0D. a < 0，b ≠ 0，c > 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 20，S10 = 70，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = log2(x + 1)的图像与函数y = 2^x的图像关于y = x对称B. 若a、b、c为等比数列，则a + b + c = 0C. 任意实数x，y，z满足x^2 + y^2 + z^2 = 0，则x = 0，y = 0，z = 0D. 两个向量垂直的充要条件是它们的点积为04. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆C的半径为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列函数中，是奇函数的是（）B. y = x^2C. y = |x|D. y = x^46. 已知函数f(x) = e^x + 2，若f'(x) = e^x，则x的值为（）A. 0B. 1C. ln2D. 27. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > x - 2B. 2x - 3 < x + 2C. 2x + 3 < x - 2D. 2x - 3 > x + 28. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 259. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. y = 2^xB. y = x^2C. y = log2x10. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a·b的值为（）A. 5B. -3C. 3D. -5二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
新高考数学试卷答案及解析
一、选择题1. 答案：C解析：根据三角函数的性质，sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
代入选项，只有C选项满足条件。
2. 答案：B解析：根据数列的通项公式，an = a1 + (n - 1)d，其中d为公差。
代入n=4，得到a4 = a1 + 3d。
因为a4 = 20，所以a1 + 3d = 20。
根据选项，只有B选项满足条件。
3. 答案：A解析：根据函数的图像和性质，当x < 0时，函数f(x)是单调递增的；当x > 0时，函数f(x)是单调递减的。
因此，函数f(x)在x=0处取得极大值。
根据选项，只有A选项满足条件。
4. 答案：D解析：根据向量的数量积性质，a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和向量b 之间的夹角。
当θ = 0时，cosθ = 1，此时a·b = |a||b|，即a和b同向。
因此，当a和b同向时，它们的数量积最大。
根据选项，只有D选项满足条件。
5. 答案：C解析：根据复数的乘法性质，(a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + bc)i。
代入选项，只有C选项满足条件。
二、填空题6. 答案：4解析：根据等差数列的求和公式，S_n = n(a1 + a_n) / 2，其中a1为首项，a_n 为第n项。
代入n=10，a1=1，a10=19，得到S_10 = 10(1 + 19) / 2 = 100。
7. 答案：-1/2解析：根据三角函数的性质，sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ。
代入α=π/3，β=-π/6，得到sin(π/3 - π/6) = sin(π/3)cos(-π/6) +cos(π/3)sin(-π/6) = (√3/2)(√3/2) + (1/2)(-1/2) = 3/4 - 1/4 = 1/2。
8. 答案：5解析：根据一元二次方程的求根公式，x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
2023高等数学考卷【答案详解】
2023高等数学考卷（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1. 函数f(x) = x^3 3x在x=0处的导数是（）A. 3B. 0C. 3D. 无法确定2. 设函数f(x) = e^x，则f''(0)等于（）A. eB. e^2C. 1D. 03. 下列级数中收敛的是（）A. Σ(1/n)B. Σ(n)C. Σ(1/n^2)D. Σ(n^2)4. 若行列式|A|=6，则|3A|等于（）A. 6B. 18C. 6D. 185. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=0，则A的秩r(A)（）A. r(A)=0B. r(A)=1C. r(A)=2D. r(A)=3二、判断题（每题1分，共20分）6. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上必有最大值和最小值。
（）7. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处必连续。
（）8. 若向量组α1, α2, , αn线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
（）9. 若矩阵A为对称矩阵，则A的特征值必定为实数。
（）10. 若f(x)为偶函数，则f'(x)为奇函数。
（）三、填空题（每空1分，共10分）11. 设函数f(x) = x^2 2x + 1，则f'(x) = _______。
12. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，则|A| = _______。
13. 设向量α = (1, 2)，则2α = _______。
14. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = _______。
15. 设积分∫(1/x)dx = _______ + C。
四、简答题（每题10分，共10分）16. 简述罗尔定理的内容及其应用。
17. 简述泰勒公式的基本形式。
五、综合题（1和2两题7分，3和4两题8分，共30分）18. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的极值。
新高考数学试卷(附答案)
程为 y 3x 1 ．
（1）若函数 f x 在 x 2 处有极值，求 f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数 y f x 在区间3,1 上的最大值．
24．四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD ， PAD 是等边 3
18．在极坐标系中，直线 cos sin a(a 0) 与圆 2cos 相切，则 a __________．
19．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称
轴的方向射出.现有抛物线 y2 2 px( p 0) ，如图一平行于 x 轴的光线射向抛物线，经两 次反射后沿平行 x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为 4，则该抛物线的方程为
D． 5 x 5
12．如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点.若 M，
O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A．3
B．2
C． 3
二、填空题
13．设 2a 5b m ,且 1 1 2 ,则 m ______. ab
14．复数 i 1 i 的实部为 ．
三角形， F 为 AD 的中点， PD BF .
（1）求证： AD PB ； （2）若 E 在线段 BC 上，且 EC 1 BC ，能否在棱 PC 上找到一点 G ，使平面 DEG
4 平面 ABCD？若存在，求四面体 D CEG 的体积. 25．选修 4-5：不等式选讲：设函数 f (x) x 1 3 x a . （1）当 a 1时，解不等式 f (x) 2x 3 ； （2）若关于 x 的不等式 f (x) 4 2 x a 有解，求实数 a 的取值范围.
高考新数学试卷及答案详解
一、选择题1. 下列选项中，不是等差数列的是（）A. 2, 5, 8, 11, ...B. 3, 6, 9, 12, ...C. 1, 4, 9, 16, ...D. 1, 3, 5, 7, ...答案：C解析：等差数列的定义是相邻两项之差为常数，而C选项中的相邻两项之差并不为常数，故C不是等差数列。
2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴是（）A. x = -2B. x = 2C. y = -2D. y = 2答案：B解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)^2，这是一个完全平方公式，其对称轴为x = 2。
3. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 0B. |x| ≥ 0C. x^2 ≥ 0D. x^2 ≤ 0答案：B、C解析：绝对值表示一个数的非负值，所以| x | ≥ 0恒成立。
而x的平方也是非负的，所以x^2 ≥ 0也恒成立。
因此，选项B和C都是正确的。
4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 梯形答案：B解析：根据勾股定理，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是直角三角形。
将a = 3，b = 4，c = 5代入，得到3^2 + 4^2 = 5^2，满足条件，故△ABC是直角三角形。
5. 下列函数中，单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2(x)D. y = e^x答案：D解析：函数y = e^x是一个指数函数，随着x的增大，y也增大，因此是单调递增的。
而y = x^2、y = 2^x和y = log2(x)在不同区间有不同的单调性。
二、填空题6. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则第10项an的值为（）答案：19解析：将n = 10代入通项公式an = 2n - 1，得到a10 = 210 - 1 = 19。
高等数学试题及答案新编
高等数学试题及答案新编IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】《高等数学》一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（）A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )(D)、()2tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（）A ）、2ln 2x x x dx C =+⎰B ）、sin cos tdt tC =-+⎰C ）、2arctan 1dx dx x x =+⎰D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5.下列等式不正确的是（）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6.00ln(1)lim x x t dt x →+=⎰（）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47.设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（）A ）、C bx bx b x +-sin cosB ）、C bx bx bx +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8.10()()bx x a e f e dx f t dt =⎰⎰，则（）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,1 9.23(sin )x x dx ππ-=⎰()A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π 10.=++⎰-dx x x x )1(ln 2112()A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11.若1)1(+=x x x f ，则dx x f ⎰10)(为（） A ）、0B ）、1 C ）、2ln 1-D ）、2ln12.设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=x a b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分 13.设1sin 2y x x =-，则dx dy=（） A ）、11cos 2y -B ）、11cos 2x -C ）、22cos y -D ）、22cos x- 14.)1ln(1lim 20x e x xx +-+→=() A 21-B2 C1D-1 15.函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（）A4;B0;C1;D3二.填空题=+++∞→2)12(lim xx x x .2.2-=⎰3.若⎰+=C e dx e x f x x 11)(，则⎰=dx x f )(4.=+⎰dt t dx d x 26215.曲线3y x =在处有拐点三.判断题 1.xx y +-=11ln 是奇函数.（） 2.设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.() 3.若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续.（）4.0sin 2xdx π=⎰.（）5.罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.()四.解答题1.求.cos 12tan lim 20x x x -→2.求nxmx x sin sin lim π→，其中n m ,为自然数. 3.证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4.求cos(23)x dx -⎰.5.求⎰+dx x x 321.6.设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分40⎰8.设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π05sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9.求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题二.填空题21e 2πC x+1412x x +(0,0)三.判断题 四.解答题2.令,π-=x t nm n nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ 3.根据零点存在定理. 4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰ 5.令 t x =6，则dt t dx t x 566,== 原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 6.222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7.42ln3-8.解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ000sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx e x x x x πππππ 《高等数学》试题2一.选择题1.当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2.设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（）。
新高考数学试卷(附答案)
新高考数学试卷(附答案)一、选择题1．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．5D ．74．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). A ．2B ．3C ．5D ．65．已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ） A ．310B ．31010-C ．43310- D ．343- 6．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A 7B 10C 13D ．48．正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF =（ ）A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB DA + D ．1223AB AD -. 9．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>10．若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）A ．y=±2xB ．y=2x ±C ．12y x =±D ．2y x =±11．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25二、填空题13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF ，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．15．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ．16．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .17．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．18．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.19．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 20．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）三、解答题21．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，2CA CB CD BD ====.（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．22．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；(Ⅱ) 求AB 3=，BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值.23．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,,2nn na C nb *=∈N 证明：12+2,.n C C C n n *++<∈N25．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周 第二周 第三周 第四周 甲组2025105乙组 8 16 20 16()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率． 26．已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．2．A解析：A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3．B解析：B 【解析】试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算.4．B解析：B 【解析】 【分析】本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】结合题意可知,设22,,2,MF x NF x MN x ===则则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=代入,解得22x a =,所以12222,22NF a a NF a =+=,01245F NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到()()()()()222022*******cos45a aac a a a ++-=+⋅,解得3ce a== 故选B.本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．5．D解析：D 【解析】分析：先求出()cos 30α︒+的值，再把cos α变形为0cos[(30)30]α+-，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α︒<<︒， ∴90°＜30α︒+＜180°， ∴()cos 30α︒+=-45， ∵c os α=00cos[(30)30]α+-,∴c os α=-45×33134352-+⨯=， 故选D.点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，0(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.6．A解析：A 【解析】 【分析】通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ． 【详解】2||()x x f x e-=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ， 故选A【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．7．A解析：A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．8．D【解析】 【分析】用向量的加法和数乘法则运算。
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高等数学试题题库及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2xD. 2x^2+2x+1答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B3. 若f(x)在x=a处连续，则下列哪个选项一定成立：A. f(a)存在B. f(a)=lim(x→a)f(x)C. f(a)=lim(x→a)f(x)且f(a)存在D. f(a)不存在答案：C4. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^x + CB. e^xC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C答案：A5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C6. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x+1D. f(x)=x^2+1答案：B7. 二重积分∬(x^2+y^2)dxdy在区域D上，其中D是由x^2+y^2≤1定义的圆盘，其值是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：A8. 微分方程dy/dx=2x的通解是：A. y=x^2+CB. y=2x+CC. y=x^2D. y=2x^2+C答案：A9. 函数f(x)=x^3在x=0处的泰勒展开式是：A. x^3B. x^3+3x^2+3x+1C. x^3+3x^2+3xD. x^3+3x^2答案：C10. 以下哪个级数是收敛的：A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+1/2+1/3+1/4+...D. 1-1/2+1/3-1/4+1/5-...答案：A二、填空题（每题3分，共5题）11. 函数f(x)=x^2+3x+2的二阶导数是________。
答案：212. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+x)的值是________。
《高等数学》考试试卷A卷及答案解析
《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（ ）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ ）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（ ）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（ ）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分） 求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7． （8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解： 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分 在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分） 解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分） 解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.（8分）解 （1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分 所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分） 解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分） 解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。
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高等数学考试题库(附答案)一、选择题1. 设函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $，则 $ f'(0) $ 的值为多少？A. 0B. 1C. 1D. 3答案：A2. 设 $ f(x) = e^x $，则 $ f''(x) $ 等于多少？A. $ e^x $B. $ e^x + x $C. $ e^x x $D. $ e^x + 2 $答案：A3. 设 $ y = \ln(x + 1) $，则 $ y' $ 等于多少？A. $ \frac{1}{x + 1} $B. $ \frac{1}{x} $C. $ \frac{1}{x 1} $D. $ \frac{1}{x + 2} $答案：A4. 设 $ y = x^2 $，则 $ y'' $ 等于多少？A. 2B. 4D. 1答案：B5. 设 $ y = \sin(x) $，则 $ y' $ 等于多少？A. $ \cos(x) $B. $ \cos(x) $C. $ \tan(x) $D. $ \tan(x) $答案：A二、填空题1. 设函数 $ f(x) = x^4 2x^3 + x^2 $，则 $ f'(x) $ 的表达式为______。
答案：$ 4x^3 6x^2 + 2x $2. 设 $ y = \ln(x) $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \frac{1}{x} $3. 设 $ y = e^x $，则 $ y'' $ 的表达式为______。
答案：$ e^x $4. 设 $ y = \cos(x) $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \sin(x) $5. 设 $ y = \sqrt{x} $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $三、解答题1. 求函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $ 在点 $ x = 1 $ 处的切线方程。
高考新数学试卷题型及答案
1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x = 1处的切线斜率为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：首先求导数f'(x) = 6x^2 - 6x + 4，代入x = 1得f'(1) = 4，即切线斜率为4。
2. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 12，b = 4，则c的值为多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：D解析：由等差数列的性质，得2b = a + c，代入a + b + c = 12和b = 4，得a + c = 8，又因为b = 4，所以c = 8。
3. 若x^2 + 2x + 1 = 0，则x的值为多少？A. 1B. -1C. 0D. 无法确定答案：A解析：由完全平方公式，得(x + 1)^2 = 0，解得x = -1。
4. 若log2x + log4x + log8x = 3，则x的值为多少？A. 2B. 4C. 8D. 16答案：C解析：利用对数的换底公式，得log2x + log2x^(1/2) + log2x^(3/4) = 3，即log2x^((1 + 1/2 + 3/4)) = 3，解得x^((7/4)) = 2^3，即x = 8。
5. 若a、b、c、d为等比数列，且a + b + c + d = 32，a = 2，则d的值为多少？A. 8B. 16C. 32D. 64答案：D解析：由等比数列的性质，得a d = b c，代入a + b + c + d = 32和a = 2，得2 + b + c + d = 32，即b + c + d = 30，又因为a d = b c，所以2d = 30，解得d = 15。
二、填空题6. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的对称轴方程为x = ________。
答案：2解析：对称轴方程为x = -b/2a，代入a = 1，b = -4，得x = 2。
高考数学试题新编(附答案)
高考数学试题新编（附答案）则这条直线的方程是( )(A)3x+4y+15=0 (B)x=-3或y=-(C)x=-3 (D)x=-3或3x+4y+15=07.三棱柱的放置方法如图所示，它的三视图是( )(A) (B) (C) (D)8.当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q(3，0)的连线的中点M的轨迹方程是( )(A)(x+3)2+y2=1 (B)(x-3)2+y2=1(C)(2x-3)2+4y2=1 (D)(2x+3)2+4y2=19.在棱长为1的正方体上，分别用过有公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩余的凸多面体的体积是( )(A) (B) (C) (D)10.从点P(m，3)向圆C：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值是( )(A)2 (B)5 (C) (D)4+11.圆台的上、下底面半径和高的比为1: 4: 4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )(A)81 (B)100 (C)14 (D)16912.与圆x2+y2-4x+6y+3=0同心且经过点(-1，1)的圆的方程是( )(A)(x-2)2+(y+3)2=25 (B)(x+2)2+(y-3)2=25(C)(x-2)2+(y+3)2=5 (D)(x+2)2+(y-3)2=5二.填空题：13.已知曲线C1：x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0 (k-1)，当k取不同值时，曲线C表示不同的圆，且这些圆的圆心共线，则这条直线的方程是。
14.已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：① 若//，m ，n ，则m//n;② 若m，n ，m//，n//，则//③ 若m，n，m//n，则//④ 若m，n是两条异面直线，m//，m//，n//，n//，则//。
其中真命题的序号是。
15.若点P在坐标平面xOy内，点A的坐标为(0，0，4)，且d(P，A)=5，则点P的轨迹方程是。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
新高考数学试题(附答案)
新高考数学试题(附答案)一、选择题1．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 2．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．110B ．310C ．35D ．254．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与BB ．B 与CC ．A 与DD ．C 与D6．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．()()31i 2i i --+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i - 8．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．279．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ⋃等于（ ） A ．{5,6}B ．{3,5,6}C ．{1,3,5,6}D ．{1,2,3,4}10．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x xf x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >-> 11．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．1212．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．-3D ．3二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =15．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.17．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．18．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．19．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲20．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．三、解答题21．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．22．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC所成角的正弦值.24．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局的满意率不低于即可进行验收；用样本的频率代替概率．求被调查者满意或非常满意该项目的频率；若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．25．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）． （1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】 由题意可得 ：22435z =+=，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误； C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误； 故选D.3．C解析：C 【解析】 【分析】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：()255P x y ≤==，故本题选C .【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.4．C【解析】因为()2f x x ax =+是偶函数，所以22()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=所以0a =.所以“0a =”是“()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.5．C解析：C 【解析】分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可. 详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的. 综上所述，故选C.点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．7．B解析：B 【解析】 【分析】先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】由题意得，复数()()()31i 2i 13i i 13i 3i i ii i--+-+⋅-+===----⋅．故应选B本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.8．B解析：B 【解析】 【分析】通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】先求并集，得到{1,2,3,4}A B ⋃=，再由补集的概念，即可求出结果. 【详解】因为{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，所以{1,2,3,4}A B ⋃=， 又{1,2,3,4,5,6}U =，所以()C {5,6}U A B ⋃=. 故选A. 【点睛】本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.10．C解析：C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.11．C解析：C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意可知3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意结合两角和的正切公式可得3tan πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A .【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．25【解析】由可得所以解析：25 【解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==． 15．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同解析：－34【解析】 因为3sin sin αα＝()2sin sin ααα+ ＝22sin cos cos sin sin ααααα+＝()22221sin cos cos sin sin ααααα+-＝24sin cos sin sin αααα-＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝135，所以cos 2α＝45.又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．16．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主解析：4+【解析】 【分析】由4c =，a A =，利用正弦定理求得4C π=.，再由余弦定理可得2216a b =+，利用基本不等式可得(82ab ≤=+，从而利用三角形面积公式可得结果. 【详解】因为4c =，又sin sin c a C A==所以sin C =C 为锐角，可得4C π=.因为(2222162cos 2a b ab C a b ab =+-=+≥，所以(82ab ≤=+，当且仅当a b =时等号成立，即1sin 42ABC S ab C ab ∆==≤+即当a b ==时，ABC ∆面积的最大值为4+. 故答案为4+. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π【解析】 【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。
新高考数学试题(及答案)
新高考数学试题(及答案)一、选择题1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．110B ．310C ．35D ．254．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦6．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-27．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤8．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．809．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220B ．2755C ．2125D ．2722010．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．在[0,2]π内，不等式3sin 2x <-的解集是（ ） A ．(0)π，B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭12．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±二、填空题13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．14．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则sin sin sin a b cA B C________．15．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.16．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.17．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 18．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.19．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____. 20．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.23．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）． （1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）求数列｛12nn a +｝的前n 项和Tn . 24．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点，PD BF ⊥.（1）求证：AD PB⊥；（2）若E在线段BC上，且14EC BC=，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求四面体D CEG-的体积.25．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命/材料类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100 B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：6196 iiy ==∑61371 i iix y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑26．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．C解析：C 【解析】 【分析】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525⨯=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：()255P x y ≤==，故本题选C .【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.4．C解析：C 【解析】 【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．5．C解析：C 【解析】 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。
新高考真题数学试卷答案
一、选择题1. 答案：A解析：根据三角函数的定义，sin A = 对边/斜边，cos A = 邻边/斜边，tan A = 对边/邻边。
因此，sin A = cos A 时，对边等于邻边，即A为45°。
2. 答案：C解析：函数f(x)在x=0处取得极值，则f'(0)=0。
由题意知，f'(x)=3x^2-6x+1，令f'(x)=0，解得x=1或x=1/3。
又因为f''(x)=6x-6，当x=1时，f''(1)=0，无法判断极值类型；当x=1/3时，f''(1/3)=-2<0，所以f(x)在x=1/3处取得极大值。
3. 答案：D解析：由题意知，等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d。
根据等差数列的性质，有an=a1+(n-1)d，所以Sn=n/2[2a1+(n-1)d]。
当d=0时，Sn=na1；当d≠0时，Sn=n/2[2a1+(n-1)d]。
所以当d=0时，Sn=na1，选D。
4. 答案：B解析：由题意知，函数f(x)=x^3-3x在区间[-1,1]上单调递增。
因为f'(x)=3x^2-3，当x∈[-1,1]时，f'(x)≥0，所以f(x)在[-1,1]上单调递增。
选B。
5. 答案：C解析：由题意知，复数z满足z^2-2z+2=0，即(z-1)^2+1=0。
所以z=1+i或z=1-i。
因此，|z|^2=(1+i)^2=2i，|z|^2=(1-i)^2=2i。
选C。
二、填空题6. 答案：2解析：由题意知，函数f(x)=x^2-4x+4在x=2处取得最小值，所以f(2)=2^2-42+4=4-8+4=0。
所以f(x)的最小值为0，即x=2时取得。
7. 答案：3解析：由题意知，等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d。
根据等差数列的性质，有an=a1+(n-1)d，所以Sn=n/2[2a1+(n-1)d]。
高考新卷数学试卷答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 - 6C. 3x^2 + 3D. 3x^2 + 6答案：A2. 若向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为（）A. -5B. 5C. 7D. -7答案：A3. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = 2^xB. y = log2xC. y = x^2D. y = √x答案：B4. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项an = （）A. 29B. 28C. 27D. 26答案：A5. 下列不等式中，正确的是（）A. x^2 + 2x + 1 > 0B. x^2 - 2x + 1 > 0C. x^2 + 2x - 1 > 0D. x^2 - 2x - 1 > 0答案：D6. 若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是（）A. (-∞，-1] ∪ [1，+∞)B. (-1，1)C. (-∞，-1) ∪ (1，+∞)D. (-1，1]答案：A7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，则f'(x)的零点为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 下列复数中，属于纯虚数的是（）A. 2iB. 3iC. 4iD. 5i答案：B9. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则第5项an = （）A. 162B. 81C. 54D. 27答案：A10. 若平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(5, 1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (3.5, 2)B. (3, 2)C. (4, 2)D. (4.5, 2)答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 函数f(x) = (x - 1)^2 + 2的最小值为 _______。
新高考数学试题(附答案)
新高考数学试题(附答案)一、选择题1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．34．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．5．设向量a ，b 满足2a =，||||3b a b =+=，则2a b +=（ ） A ．6 B ．32C ．10D ．426．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组7．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．568．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ．22B ．32C ．52D ．729．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是A ．（1,2）B ．[1,2）C ．（1,2]D ．[l,2]11．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）A ．513x <<B ．135x <<C ．25x <<D ．55x <<12．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能二、填空题13．已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则323x y z ++的最小值为_________．14．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________． 15．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．16．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 17．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45︒，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则ACB =∠______________.18．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．19．已知1OA =，3OB =，0OA OB •=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则mn=__________． 20．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 三、解答题21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α<π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为25，求直线l 的普通方程． 22．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为g t ，求g t 的表达式. 23．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --6，求PF 的长度. 24．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标； （II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33{,,.12x t a t R a b b y t =+∈=+为参数求的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.2．A解析：A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系3．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4．C解析：C 【解析】 【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．5．D解析：D 【解析】 【分析】3=，求得2a b ⋅=-，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】∵向量a ，b 满足2a =，3b a b =+=3=，解得2a b ⋅=-．则22224424a b a b a b +=++⋅=+．故选D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．B解析：B 【解析】由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.7．C解析：C 【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.8．C解析：C 【解析】 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.9．C解析：C【解析】【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C．【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．10．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为f x x x m=+-,令,则,所以此()3sin2cos2时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,.考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.11．A解析：A 【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得5x >x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得013x <<x 的取值范513x << A. 考点：余弦定理.12．C解析：C 【解析】 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
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高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数11z x y x y =++-的定义域为（2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（）2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ 2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰.22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（）21122（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（）()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程2、 已知22(,)z f xy x y =，求z x ∂∂，zy ∂∂ 3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分阅卷人5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程xxy y xe '+=满足11x y ==的特解四.解答题（共22分） 1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧(10)' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数2224ln(1)x y z x y -=--的定义域为； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz =；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则L yds =⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为.二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）； 02π3π4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则zx ∂=∂（）；2yz xy z -2yz z xy -2xz xy z -2xyz xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（）； 2()x ax b e +2()x ax b xe +2()x ax b ce ++2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域,将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）；A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.2200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（）.21122三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程.6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求z x ∂∂，zy ∂∂.7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰.8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 8、求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin 3n nnn π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数.2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧 高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为.2、22(2)lim 332n n n n →∞++-=.3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy =. 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的间断点 （A ）可去（B ）跳跃 （C ）无穷（D ）振荡得分阅卷人得分2、积分10⎰=.(A)∞(B)-∞(C)0(D)13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。
（A ）单调增加；（B ）单调减少；（C ）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。
4、1sin xtdt⎰的一阶导数为.（A ）sin x （B ）sin x - （C ）cos x （D ）cos x -5、向量{1,1,}a k =-与{2,2,1}b =--相互垂直则k=.（A ）3（B ）-1（C ）4（D ）2三．计算题（3小题，每题6分，共18分）1、求极限123lim()21x x x x +→∞+-2、求极限30sin limx x x x →-3、已知ln cos xy e =，求dy dx四．计算题（4小题，每题6分，共24分）1、已知221t x y t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，求22d y dx2、计算积分2cos x xdx⎰3、计算积分10arctan xdx⎰4、计算积分⎰五．觧答题（3小题，共28分）1、(8)'求函数42341y x x =-+的凹凸区间及拐点。
2、(8)'设1101()101x x xf x x e +⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩求20(1)f x dx -⎰ 3、（1）求由2y x =及2y x =所围图形的面积；(6)' （2）求所围图形绕x 轴旋转一周所得的体积。
(6)'高等数学（下）模拟试卷四一．填空题（每空3分，共15分）1、函数1y x =.2、,0ax e dx a +∞->⎰=.3、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy =.4、定积分121sin 1xdx x -+⎰=.5、函数43341y x x =-+的凸区间是. 二．选择题（每空3分，共15分）1、1x =是函数211x y x -=-的间断点 （A ）可去（B ）跳跃（C ）无穷（D ）振荡2、若0()0,(0)0,(0)1,limx f ax a f f x →'≠==-==(A)1(B)a(C)-1(D)a -3、在[0,2]π内函数sin y x x =-是。
（A ）单调增加；（B ）单调减少；（C ）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。
4、已知向量{4,3,4}a =-与向量{2,2,1}b =则a b ⋅为. （A ）6（B ）-6 （C ）1（D ）-35、已知函数()f x 可导，且0()f x 为极值，()f x y e =，则x x dy dx==.（A ）0()f x e （B ）0()f x '（C ）0（D ）0()f x三．计算题（3小题，每题6分，共18分）1、求极限10lim(1-)k xx kx +→2、求极限12cos 2sin limsin xx t dtx x→⎰3、已知1lnsinxy e=，求dy dx四．计算题（每题6分，共24分）1、设10ye xy --=所确定的隐函数()yf x =的导数0x dydx=。
2、计算积分arcsin xdx ⎰3、计算积分0π⎰4、计算积分,0a >⎰五．觧答题（3小题，共28分）1、(8)'已知2223131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，求在2t =处的切线方程和法线方程。
2、(8)'求证当0a b >>时，1ln ln 1a b aa b b -<<- 3、（1）求由3y x =及0,2y x ==所围图形的面积；(6)'（2）求所围图形绕y 轴旋转一周所得的体积。
(6)'高等数学（下）模拟试卷五一．填空题（每空3分，共21分）1．函数y y x z )ln(-=的定义域为。
2．已知函数22y xez +=，则=dz 。
3．已知xy e z =，则=∂∂)0,1(xz。
4．设L 为122=+y x 上点()0,1到()0,1-的上半弧段，则=⎰ds L 2。
5．交换积分顺序⎰⎰=x edy y x f dx ln 01),(。
6.级数∑∞=-1)1(n nn 是绝对收敛还是条件收敛？。