解析几何-柱面
解析几何第4章.
第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x , 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
4.1柱面
《解析几何》－Chapter 4§1 柱面cylinderContents一、柱面的概念二、柱面的方程三、柱面的判定定理四、空间曲线的射影柱面平面v222x y a+=zxy o圆柱面v那族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线.定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做柱面（cylinder ），定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线（directrix ），v准线准线母线v说明：柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线.一、柱面的概念x zy 0准线母线准线v注:一般柱面的准线不惟一,可用一张不平行于母线的平面与柱面相交得到的交线为准线.1 柱面的一般方程Ⅰ 准线方程()()12,,0,,0F x y z C F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩：Ⅱ 母线l 的方向数：,,X Y Z普通方法1M vCl设M 1(x 1, y 1, z 1)为准线上任意一点,①写出母线族方程:111x x y y z z X Y Z---==②写出参数x 1, y 1, z 1的约束条件:(,,),(,,).1111211100F x y z F x y z =⎧⎨=⎩(,,)0F x y z =③消去参数x 1, y 1, z 1得一个三元方程:1 柱面的一般方程()()12,,0,,0F x Xt y Yt z Zt F x Xt y Yt z Zt ---=⎧⎪⇒⎨---=⎪⎩Ⅰ 准线方程()()12,,0,,0F x y z C F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩：Ⅱ 母线l 的方向数：,,X Y Z()()11112111,,0,,0F x y z F x y z =⎧⎪⇔=⎨⎪⎩分析：()1111 ,,M x y z C ∈∀11M CM l∈⎧⇔⎨∈⎩t=(),,0F x y z ⇒=1M vCl母线方程111x x y y z z X Y Z---==例1柱面的准线方程为，而母线的方向数是，求这柱面的方程.2222221222⎧++=⎪⎨++=⎪⎩x y z x y z ，1,0,1-解:设M 1(x 1, y 1, z 1)为准线上任意一点,111101x x y y z z ---==-(x 1, y 1, z 1为参数)且22211122211111222⎧++=⎪⎨++=⎪⎩,(),x y z x y z 为消参数x 1, y 1, z 1,可设111101x x t y y z z ---===-则111,,=+==-x x t y y z z t 代入(1)式得2222221222⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩()(),()(),x t y z t x t y z t 消去参数t ,并化简得所求柱面方程:22()1++=x z y 222210.+++-=x y z xz 即约束方程例2：已知圆柱面的轴为点(1,-2,1)在此圆柱面的方程.11,122x y z -+==--v 轴0(0,1,1)M -1(1,2,1)M -分析普通方法:关键:求圆柱面的准线(圆)方程.{,,},=--122v (,,)-0011M 圆柱面的轴:以M 0为球心, M 0M 1为半径的球面球面:平面:过点M 1为与轴垂直的平面()()()--+--=122210x y z ()()+-++=2221114x y z 圆柱面的准线方程:()()⎧+-++=2221114x y z =0114M M例1柱面的准线方程为，而母线的方向数是，求这柱面的方程.2222221222x y z x y z ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，1,0,1-例2已知圆柱面的轴为，点在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.11122x y z -+==--()1,2,1P -二、柱面的方程还有其它方法吗？vMr 轴圆柱面:设圆柱面的轴线为000---==x x y y z z X Y Z0000(,,)M x y z 其中:0000(,,)M x y z 为轴线上的定点,{,,}=v X Y Z 为轴线方向向量.(,,)M x y z 是圆柱面上任意点①0⨯⇔= M M vvr ①已知轴线及半径②已知轴线及柱面上一定点M 1②010M M v v v vM M ⨯⨯⇔==1111(,,)M x y z解:圆柱面的轴的方向向量:{1,2,2},v --=0(0,1,1)M -为轴上定点.(,,)M x y z 设是圆柱面上任意点,且点M 1(1,-2,1)在此圆柱面上,则点M 与点M 1在到轴的距离相等,即:001M M M M v vv v⨯⨯=010 M M M v v M ⇒⨯=⨯ kj i 1 1x y z -+1 -2 -2⇒k j i 1 3 2-1 -2 -2=⇒例2已知圆柱面的轴为，点在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.11122x y z -+==--()11,2,1M -12222=+by a x zxyo 椭圆柱面（直角坐标系）方程的形式与柱面的图形特征之间有联系吗？三、柱面的判定定理三、柱面的判定定理定理4.1.1在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。
解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面
z 轴的柱
面，其准线为xoy 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 2 b c x2 y2 2 1 2 a b 2 x 2 pz
2
2
椭圆柱面 母线// x 轴 双曲柱面母线// z 轴 抛物柱面母线// y 轴
1. 椭圆柱面
x y 2 1 2 a b
z
2 2
2. 双曲柱面
柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线叫 柱面的准线， 动直线叫柱面 的母线. 观察柱面的形 成过程:
母线
准 线
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
母线L与x 轴平行.
例如抛物柱面
y - x2 = 0 0
x
z
C: xOy 平面上的抛物线
yz
x2 =
o
y
L:平行于z 轴
o
y x
圆柱面 x2 +z2= 1 C: xOz 平面上的圆 x2 +z2= 1
L:平行于y 轴
空间曲线在坐标面上的投影
1、概念
C：空间曲线 投影柱面S：以C为准线， 母线平行于坐标轴的柱面。
x z C S o y
C
投影C’：投影柱面与投影坐标面的交线。
2、求解步骤
解析几何中的柱面及其方程求解
解析几何中的柱面及其方程求解柱面是三维空间中一个非常重要的几何体，它由一条直线（直母线）和沿该直线平移的一条平面曲线（截面）形成。
在解析几何中，柱面发挥了非常重要的作用，是许多几何问题的基础。
本文将分别介绍柱面的基本概念和一般方程，以及如何利用方程求解柱面的截面等问题。
一、基本概念在三维空间中，一条通过直线L 的平面沿着该直线作无限平移，形成的几何体称为柱面。
一般来说，柱面由两个参数来确定：直母线上的一个点和它到直母线距离为 t 的点的轨迹（曲线），其中t 表示参数。
柱面的边界是直母线上的点和曲线两端的点。
当 t 取值范围在一定区间内时，曲线将描绘出柱面的一个部分。
如果该区间为 (-∞, +∞)，则曲线将描绘出柱面的整个部分。
二、一般方程在解析几何中，我们通常使用一般方程来描述柱面。
一般方程的形式如下：Ax + By = z^2其中 A、B、C 均为常数，x、y、z 分别表示三个坐标轴。
该方程描述的是一个沿着 y 轴的柱状物体。
如果 A、B、C 中只有两个非零项，那么该方程描述的是一个具有一定倾斜角度的柱状物体。
三、求解柱面截面求解柱面截面是解析几何中重要的问题之一。
我们可以通过一般方程来求解柱面的截面。
具体步骤如下：1、将一般方程表示为沿着 z 轴平移的方程。
经过平移后，方程变为 Ax + By - z^2 = 0。
2、设某一平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0，将它代入上式中，得到 Ax + By - (Cz + D)^2 = 0。
3、将上式中的 x 和 y 表示成 z 和一个参数 t 的形式，即：x =zx'，y = zy'，其中 x' 和 y' 为与 z 无关的实数。
方程变为 Az(x')^2 + Bz(y')^2 - (Cz + D)^2 = 0。
4、将上式移项，化为关于 x' 和 y' 的二次方程。
根据二次方程的解法，可以求得 x' 和 y' 的值。
柱面的概念定义411在空间
y2+(z – 2)2 = 4
L
0
.
x
y2 = – 4x
y
x x
Xt, Xt,
y y
Yt, z Yt, z
Zt Zt
0 0
F x, y, z 0
二、柱面的方程
例1 柱面的准线方程为 求这柱面的方程.
x2 y2
2
x2
2
，z2 而1，母线的方向数是
y2 z2 2
， 1,0,1
的圆柱面的方程
l3 : x 1 y 1 z 2
椭圆柱面（直角坐标系）
x2 y2
z
1
a2 b2
方程的形式与 柱面的图形特 征之间有联系
吗？
o
y
x
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程
所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标） 的同名坐标轴。
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
0
.
x
y2 = – 4x
y
空间曲线作为射影柱面的交线
2 y2 z2 4x 4z
L:
y
2
3z 2
8x
12
z
将 其 换 成投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去z ) L： y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
Contents
一、柱面的概念 二、柱面的方程 三、柱面的判定定理 四、空间曲线的射影柱面
柱面的讲解
柱面方程
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定义观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.C L 这条定曲线叫柱面的准线，
动直线叫柱面的母线.
C L 一、柱面的定义
只含y x ,而缺z 的方程0),(=y x F ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为xoy 面上曲线 C .
实例122
22=-b y a x 双曲柱面// 轴z
只含z y ,而缺x 的方程0),(=z y G ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱面，其准线为yoz 面上曲线 C .
122
22=+c z b y 椭圆柱面// 轴x 实例
只含z x ,而缺y 的方程0),(=z x H ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线为zox 面上曲线 C .
pz x 22=抛物柱面//
轴y 实例
x
o
z
y
x
o
z
y
x
y2
2=
抛物柱面
x
y=
平面
三、常见的柱面及其方程
x
o
z
y
1
2
2=
+y
x
圆柱面
四、小结
柱面的概念(母线、准线).
柱面方程的特点( 缺).。
解析几何教案(四)
第四章 常见曲面§4.1柱面1.定义：在空间，由平行于定方向v 且与一条定曲线c 相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面，定方向v 叫柱面的方向，定曲线c 叫柱面的准线。
那族平行直线中的每条直线，都叫做柱面的母线。
(生成图见课件flash 动画)2.柱面方程： 设柱面曲线为c ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F ()1母线方向{}z y x v ,,= 点),,z y x M （在柱面上⇔ 点M 在过准线线某一点),,1111z y x M （的母线上⇔点M 的坐标满足过1M 的母线方程zz z y y y x x x 111-=-=- ()2 其中点),,1111z y x M （满足条件⎩⎨⎧==0),,(0),,(11121111z y x F z y x F ()3 由 ()1，()2，()3消去参数111,,z y x 得柱面方程0),,(=z y x F例1． 柱面的准线方程为⎩⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 而母线方向数是1,0,1-，求这个柱面的方程。
解：设),,1111z y x M （是准线上任一点，那么过1M 的母线方程为101111z z y y x x -=-=-- ()* 且有⎩⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x ()()54将()* 化成参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y t x x 111 ()6 代入()4及()5得()()()()⎩⎨⎧=-+++=-+++2221222222t z y t x t z y t x ()()87 从()7，()8消去t ，()02=-t z ∴ t z =，代入()7得()122=++y z x即012222=-+++xz z y x 为所求柱面方程。
例2 已知圆柱面的轴为21211-+=--=z y x，点()121，，-在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。
但是也可以研究一些非二次特殊曲面。
本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。
主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。
构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。
特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。
设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。
综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。
若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。
同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。
解析几何柱面
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
(3)
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得 F(x,y,z)=0
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。
例1、柱面的准线方程为
x2 y2 z2 1 2x2 2y2 z2 2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。
例2 已知圆柱面的轴为
x y1 z1 1 2 2 点 M （1 1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面 的方程
例 3 柱 面 的 准 线 是 x o y 平 面 的 圆 周 (中 心 在 原 点 ， 半 径 为 1 ),母 线 平 行 于 直 线 l： x y z ,求 此 柱 面 方 程 。
解：M 设(x, y,z)为柱面上任意一点
沿母 ,M 线 对应准线 M0上 (x0,一 y0,0)点M
则 M0M//l
M0
xx0yy0z 1 11
x 0 x z ,y 0 y z
(xz)2(yz)21为柱面方程。
三. 特殊柱面(母线平行于坐标轴)
例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x, 该柱面叫做抛物柱面.
x l1
y zl 2
方G 程 (y,z)0表柱示 面,
母线 平行于 x 轴;
y x
准线 yoz 面上的曲线 l2. 方H 程 (z,x)0表柱示 面,
z l3
母线 平行于 y 轴;
x
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
例3、下列方程各表示什么曲面？
(1)
x2 a2
y2 b2
1
（母线平行于z轴的椭圆柱面）
z
解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面共68页PPT
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然— —莎士 比
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
解析几何柱面
z2 4z, L
4 y 0.
:
x 2 x 2
z 22
4 y.
4,
x2 = - 4y
L
x2+(z – 2)2 = 4
O
y
x
空间曲线作为射影柱面的交线
2 y2 z2 4x 4z
L:
y
2
3z 2
8x
12
z
将 其 换 成投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去z )
双曲柱面
x2 z2
z
a2 b2 1
o
y
x
抛物柱面 z
y 2 2 px
o
y x
三、柱面的判定定理
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与 坐xO标y 面的交线分
别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱面，
双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面.
z
z
z
y
o
O
y
x
o
yx
x
四、空间曲线的射影柱面
Contents
一、柱面的概念 二、柱面的方程 三、柱面的判定定理 四、空间曲线的射影柱面
平面
圆柱面
x2 y2 a2
z
o
y
x
一、柱面的概念
定义4.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一 族平行直线所生成的曲面叫做定柱方面向（叫c做yli柱nd面er的）方，向，
定曲线叫做柱面的准线那（族di平re行ctr直ix）线，中的 每一条直线，都叫做柱面的母线.
v
准线
母线
一、柱面的概念
准线
v
母线
一、柱面的概念
说明：除平面外，柱面的母线方向（也称为柱面的方向）是 惟一的，而柱面的准线不是惟一的，每一条与柱面的母线都 相交的曲线都可以作为柱面的准线. z
解析几何第四章柱面锥面及二次曲面
一、椭圆抛物面
x2 y2
z
2z
p2 q2
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
x
§4.6 抛物面
一、椭圆抛物面
z
x2 y2 2z
p2 q2
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
.
x
椭圆抛物面方程
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
xo
y
p 0, q 0
p 0, q 0
特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕 z 轴旋
转而成的）
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
Sz
o
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
y1
y
.
x
§4.3 旋转曲面
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 ) .
f (y1, z1)=0 .
z1 z
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
一、双曲抛物面（马鞍面）
解析几何柱面课后习题答案
解析几何柱面课后习题答案解析几何柱面课后习题答案在学习解析几何柱面的课程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以巩固对柱面的理解，掌握相关的解题技巧。
本文将对几个典型的柱面习题进行解析，帮助读者更好地理解柱面的性质和应用。
习题一：已知柱面的母线方程为L: x = 2t, y = 3t, z = 4t，求柱面的方程。
解析：柱面的方程可以通过将母线方程中的参数t消去得到。
根据题目中的母线方程，我们可以得到x/y = 2/3，y/z = 3/4。
通过求解这两个方程，我们可以得到x:y:z = 8:6:9。
因此，柱面的方程为8x + 6y - 9z = 0。
习题二：已知柱面的母线方程为L: x = t, y = 2t, z = 3t，柱面上一点P的坐标为(1, 2, 3)，求点P到母线的距离。
解析：点P到直线的距离可以通过点到直线的公式来计算。
首先，我们需要求出柱面的母线的方向向量。
根据题目中的母线方程，我们可以得到方向向量为(1, 2, 3)。
接下来，我们可以使用点到直线的公式求解距离。
点P到母线的距离为d = |(P - L) × n| / |n|，其中×表示向量的叉乘，n为柱面母线的方向向量。
代入数值计算，我们可以得到点P到母线的距离为3/√14。
习题三：已知柱面的母线方程为L: x = t, y = 2t, z = 3t，柱面上一点P的坐标为(1, 2, 3)，求点P在柱面上的投影点坐标。
解析：点P在柱面上的投影点可以通过点到直线的公式来计算。
首先，我们需要求出柱面的母线的方向向量。
根据题目中的母线方程，我们可以得到方向向量为(1, 2, 3)。
接下来，我们可以使用点到直线的公式求解投影点坐标。
点P在柱面上的投影点坐标为P' = L + t * n，其中L为柱面的母线方程，n为柱面母线的方向向量。
代入数值计算，我们可以得到点P在柱面上的投影点坐标为(1, 2, 3)。
解析几何第三章 第二节
1 , t
得
代入 x , y , z 所满足的方程
x y z , x y z ,
得
t x t y t z , t x y z .
2 2 2
有一种特殊情形值得指出，那就是柱面的母线平行于 坐标轴，例如母线平行于 z 轴，此时可取柱面与 xO y 平面 的交线作为准线. 命题3.2.1 不含变量 z 的方程 (3.2.2) F ( x, y ) 表示一个柱面，该柱面母线平行于 z 轴，且以 xO y 平面上 的曲线
F ( x, y ) , z
习题7.设一柱面的母线方向与三条坐标轴正向交成等 角,且其母线总是与球面 x y z 相切,求它的方程. 解 由题设，母线方向可取 1 : 1 : 1 . 方法一 为求柱面方程, 先找出它的准线, 然后按求柱 面方程的步骤做. 方法二 根据所求柱面的母线总是与球面相切的几何 事实，直接求柱面方程.
x z y z .
注 本节采用仿射坐标系，因未涉及度量，但以下 二题在直角坐标系中讨论. 习题6 过 x 轴和 y 轴分别作动平面，其交角为 (常数)，求交线的轨迹方程，并说明它是一个锥面. 解 过 x 轴与过 y 轴的平面束方程分别是 y z 0 和 x z 0. 其中 , 不同时为零， , 也不同时为零.依题意，
y y z z x x , l m n F x , y , z , G x , y , z .
(3.2.1)
柱面的概念定义411在空间
x x
Xt, Xt,
y y
Yt, z Yt, z
Zt Zt
0 0
F x, y, z 0
二、柱面的方程
例1 柱面的准线方程为 求这柱面的方程.
x2 y2
2
x2
2
，z2 而1，母线的方向数是
y2 z2 2
， 1,0,1
F3 y, z 0 叫做空间曲线L对yoz面射影的射影柱面.
F1
x,
y
0,
叫做空间曲线L在xoy面上的射影曲线.
z0
F2
x, z y
0
0,
叫做空间曲线L在xoz面上的射影曲线.
空间曲线作为射影柱面的交线
L
:
2x
x
2
2 z2 3z2
z
M1
x f t Xu
y
g
t
Yu
M
z h t Zu
0
y
例7
求以 轴z 为对称轴，半径为 的R圆柱面的参数方程.
例4 P147 3 求过三条平行直线 l1 : x y z,l2 : x与1 y z 1
例2 已知圆柱面的轴为 x y 1， z点1 求这个圆柱面的方程. 1 2 2
在P此1,圆2,1柱 面上，
还有其它方 法吗？
二、柱面的方程
2 柱面的参数方程
准线参数方程为
r r
t
f
t,
g,t
, h t
柱面的定义,准线,母线
柱面:直线沿着一条定曲线平行移动所形成的曲面.直线称为柱面的直母线（此图为母线平行于Z轴的柱面）,定曲线称为柱面的准线（此图为平行于XOY平面的准线X²+Y²=R²）.向左转|向右转当准线是圆时所得柱面称为圆柱面；特别地，如果直母线垂直于圆所在平面时，所得柱面称为直圆柱面（或正圆柱面），直圆柱面也可以看成是动直线平行于定直线且与定直线保持定距离平行移动产生的，定直线是它的轴，定距离是它的半径。
分别以平面上的椭圆、双曲线和抛物线为准线的柱面，称为椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面。
它们的方程都是二次的，统称为二次柱面。
在空间直角坐标系中，只含两个变量的二次方程一般总表示一个二次柱面或者两个平面。
扩展资料：柱面在现代生活中的应用——柱面镜向左转|向右转光电产品大多是由光路系统，电子器件和机械系统构成，光路系统做为信息的采集和传输过程起到至关重要的作用。
一般的光学系统是由透镜，分光镜，反射镜等光学元件组成。
其面形通常是球面或平面两大类。
而柱面镜是非球面透镜，可以有效减小球差和色差。
分为平凸柱面透镜、平凹柱面透镜、双凸柱面透镜和双凹柱面透镜。
具有一维放大功能。
柱面镜主要应用于改变成像尺寸大小的设计要求。
例如把一个点光斑转换成一条线斑，或者在不改变想宽度的情况下改变像的高度。
柱面镜特的光学性能，柱面镜随着高科技的迅猛发展，其利用也越来越广泛。
如线聚集系统、电影摄放系统、传真机和印刷排版的扫描成像系统。
以及医疗领域的胃镜、腹腔镜，汽车领域的车载视频系统有柱面镜的参与，同时在线性探测器照明，条形码扫描，全息照明，光信息处理，计算机，激光发射。
以及在强激光系统和同步辐射光束线中也有着广泛的应用。
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y 2 2 px z 2 准线 : 2 抛物柱面 : y 2 px (4) z 0 母线 // z轴
一般地，若一曲面方程中仅含有两个变量，则此 曲面一定是柱面，它的母线平行于和缺少的那个变 量同名的坐标轴．
如: 8 x 2 25 y 2 4 xy 20 x 10 y 0 为母线平行于 z轴的柱面 .
x x 1 y y1 z z1 1 1 0 2 2 (1)
三.母线平行于坐标轴的柱面 母线 0
S
y
f ( x, y, z)=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
f ( x, y, z ) 0 设柱面的准线是 xoy 坐标面上曲线 : z 0 母线平行于 z轴 , 则柱面的方程为 f ( x , y ) 0. 证 由题设 , 母线方向为 v 0,0,1 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 :
§3.3
柱面
一.定义 平行于定直线并沿定曲线c移动的直线l 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线c 叫柱面的准线, 动直线l叫柱面 的母线.
准线
c
l
柱面是直纹面
母线
二.柱面的方程
F1 ( x , y , z ) 0 已知准线方程为 : F2 ( x , y , z ) 0 母线的方向为 : l , m , n 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 : F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 2 ) 又 M 1在准线上 , 故 F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0 ( 3 ) 联立 (1)( 2 )( 3 )消去 x1 , y1 , z1 , 得柱面方程为 : F ( x, y, z ) 0
x 1 2 y1 2 z1 2 1 ( 2) 又 M 1在准线上 , 故 2 2 2 2 x 1 2 y1 z 1 2 ( 3 ) 联立 (1)( 2 )( 3 )消去 x1 , y1 , z1 , 得柱面方程为 : 2 2 ( x z) y 1
x x 1 y y1 z z1 1 0 1
(1)
x2 y2 z2 9 例2 设柱面的准线为 : x y 0 母线垂直于准线所在的 平面 , 求柱面的方程 . 解 准线所在的平面为 x y 0, 故母线方向为 v 1,1,0 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 : x 1 y1 z1 2 9 ( 2) 又 M 1在准线上 , 故 ( 3) x 1 y1 0 联立 (1)( 2 )( 3 )消去 x1 , y1 , z1 , 得柱面方程为 : 2 2 2 x y 2 z 2 xy 18 0 投影柱面
( 2) f ( x 1 , y1 , z 1 ) 0 又 M 1在准线上 , 故 ( 3) z1 0 联立 (1)( 2 )( 3 )消去 x1 , y1 , z1 , 得柱面为 : f ( x , y ) 0.
(方程中不含z) 投影柱面
x x 1 y y1 z z1 0 0 1
(1)
柱面之 f (y, z)=0
(不含x)
z
准线
f ( x, y, z )=0
x=0
母线 0
y
x
f (y, z)=0表示母线平行于x轴的柱面
x2 y2 z2 R2 准线 : 2 2 2 (1) 圆柱面 : x y R z 0 母线 // z轴 x2 y2 z2 2 2 2 1 2 2 x y 准线 : a c b ( 2) 椭圆柱面 : 2 2 1 a b z 0 母线 // z轴 x2 y2 z2 2 2 2 1 2 2 x y 准线 : a b c ( 3) 双曲柱面 : 2 2 1 a b z 0 母线 // z轴
x x 1 y y1 z z 1 l m n (1)
x2 y2 z2 1 例1 已知柱面的准线方程为 : 2 2 2 x y z 2 2 2 母线的方向为 : v 1,0,1, 求柱面的方程 . 解 设 M 1为准线上任一点 , 则过 M 1的母线方程为 :