数学建模五步法与灵敏度分析
数学中的灵敏度分析
假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。
但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。
因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。
这里就可以采用灵敏度分析的方法。
它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。
一、局部灵敏度分析方法局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。
局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。
局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。
主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。
1．直接求导法对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。
时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。
假设要考虑的初值问题是，（1）同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。
代表初值数组。
式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程（2）或以矩阵形式表示为（3）式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。
微分方程（2）的初始条件为零向量。
上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。
数学建模万能模板7灵敏度分析
前期很少涉及~`~`o(∩_∩)o …
七、模型中满意度的灵敏度分析
按照我们对问题的分析，满意度会对该出版社的潜在效益产生影响，从而最终影响我们的最终利益。
在实际生活中，我们有必要知道满意度的变化对最终利益的影响大小，从而决定花多大的代价来提高满意度。
这就需要先对满意度进行灵敏度分析。
在上面的模型求解中，顾客对9个学科分社的满意度均接近3.25。
为了查看满意度对最终利益的影响，我们依次令满意度1,2,3,4,5i M =，(1,2....9)i =，算出相应的最终利益值并作图对比如下：
图（7）：满意度的灵敏度分析示意图
上图是在偏好系数分别为0.9，0.8，0.7的三种情况下画出的，由图可以看
出：
1、满意度的灵敏性和偏好系数有关。
出版社领导对长远发展的偏好越大（1m -值越大），顾客满意度i M 对总体利益的影响就越大；
2、满意度的灵敏性和位置区间有关。
总体利益随满意度i M 的增大而增大，开始增长速度慢，然后快速增长，最后又慢了下来。
这一点也是符合实际的：当顾客的满意度很差时，增加一点点也是无济于事；当顾客的满意度很高时，再增加或减小一点也影响不大；只有当顾客的满意度处于中等位置时，增加满意度，总体效益才有显著的提高。
数学建模常用各种检验方法
数学建模常用各种检验方法数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
在进行数学建模时，需要对模型的合理性进行检验，以确保模型的可靠性和准确性。
本文将介绍数学建模中常用的各种检验方法。
1.残差分析方法残差（residual）是指观测值与模型预测值之间的差异。
残差分析可以通过比较残差的大小、分布和形态，来检验模型的合理性。
常用的残差分析方法包括：正态性检验、稳定性检验、独立性检验和同方差性检验。
2.敏感性分析方法敏感性分析（sensitivity analysis）用于分析参数对模型结果的影响程度。
通过改变参数的值，并观察输出结果的变化，可以评估参数对模型的敏感性。
常用的敏感性分析方法包括：单参数敏感性分析、多参数敏感性分析和全局敏感性分析。
3.假设检验方法假设检验（hypothesis testing）用于判断模型的假设是否成立。
通过对模型的假设进行检验，可以评估模型的合理性和拟合优度。
常用的假设检验方法包括：t检验、F检验和卡方检验。
4.误差分析方法误差分析（error analysis）用于评估模型的误差水平。
通过比较实际观测值与模型预测值之间的误差，可以评估模型的准确性和精度。
常用的误差分析方法包括：平均绝对误差（MAE）、均方根误差（RMSE）和平均百分比误差（MAPE）。
5.稳定性分析方法稳定性分析（stability analysis）用于评估模型的稳定性和鲁棒性。
通过对模型进行参数扰动或输入扰动，并观察输出结果的变化，可以评估模型的稳定性和可靠性。
常用的稳定性分析方法包括：参数扰动分析、输入扰动分析和鲁棒性分析。
6.验证方法验证（validation）用于评估模型的预测能力和适用范围。
通过对模型进行验证，可以判断模型在不同情况下的预测效果和适用性。
常用的验证方法包括：留一验证（leave-one-out validation）、交叉验证（cross-validation）和外部验证（external validation）。
构建“五步建模教学法”,培养学生建模能力
附件二：浅谈数学“五步建模教学法”安丘市普教教研室刘红娟安丘市大汶河开发区贾戈小学鹿立华弗赖登塔尔说过：“学生自己发明数学就会学得更好”，“让他们经历数学化的过程，这是教学的第一原则”。
所以我们在教学中应当致力于学生数学建模的引领，让学生体验数学建模的过程，从而获得数学活动经验，以便更好地达成“新课标”提出的能力发展目标。
我们通过构建“五步建模教学法”，加强建模策略的研究，有效提高了学生的建模能力。
一、基本环节和流程针对数学建模的重点，我们把“小学数学建模的有效策略”作为重点课题进行了深入研究，并形成了“五步建模教学法”，模式流程如下：1.创设问题情境，激发建模兴趣。
数学模型都是具有现实的生活背景的，要建模首先必须对生活原型有充分的了解。
教师要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中逐步体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能。
如构建“平均数”模型时，可以创设这样的情境：4名男生一组，5名女生一组，进行套圈游戏比赛，哪个组的套圈水平高一些？学生提出了一些解决问题的方法，如比较每组的总分、比较每组中的最好成绩等，但都遭到了否决。
这时“平均数”的策略应需而生，构建“平均数”的模型就成为了学生的需求，同时也揭示了模型存在的背景、适用环境、条件等。
一个精彩有效的问题情境应该有如下特征：（1）有实际意义，或对学习、理解、掌握、应用前后数学知识有很好的作用；（2）有趣味性和挑战性，能够激发学生的兴趣，吸引学生投入进来；（3）易理解，问题情境是学生熟悉的；（4）时机上的恰当，起到“画龙点睛”的作用；（5）难度的适中，能有效激发学生的学习兴趣。
2.引出数学问题，培育建模基础。
这一环节主要是从新课开始时所创设的问题情境中，在教师的引导下，将生活问题数学化，提出相关的数学问题，以待进一步探索和解决。
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
数学建模万能模板7灵敏度分析
数学建模万能模板7灵敏度分析1.引言在引言部分，首先简要介绍灵敏度分析的重要性，以及在各种数学建模场景中的应用。
可以列举一些实际例子来支持这一观点，同时阐述灵敏度分析对于决策制定、预测以及控制等领域的贡献。
2.灵敏度分析概述在这一部分，详细解释灵敏度的概念，以及如何利用灵敏度分析来研究模型输出如何随输入参数的变化而变化。
可以引入一些数学概念，如雅可比矩阵、灵敏度系数等，以便为后续的分析打下基础。
3.灵敏度分析方法在这一部分，介绍灵敏度分析的主要方法，如局部灵敏度分析、全局灵敏度分析、蒙特卡洛模拟等。
详细解释每种方法的原理、计算步骤以及适用范围。
此外，还可以讨论这些方法在数学建模中的应用。
4.数学建模灵敏度分析实例在这一部分，结合具体的数学模型，进行灵敏度分析的实例展示。
可以选择一个或多个具有代表性的模型，如预测模型、优化模型等。
详细介绍如何使用灵敏度分析方法来研究这些模型的灵敏度特征，以及如何根据分析结果来改进模型或调整模型参数。
5.灵敏度分析的决策应用在这一部分，讨论灵敏度分析在决策制定中的应用。
可以根据实际情况列举一些具体案例，如根据灵敏度分析结果来制定资源分配策略、调整生产计划或制定风险管理策略等。
此外，还可以讨论灵敏度分析如何与其他技术（如机器学习、仿真等）结合使用，以提高决策制定的科学性和准确性。
6.灵敏度分析的挑战与展望在这一部分，讨论灵敏度分析面临的挑战以及未来的发展方向。
例如，如何处理高维度模型、如何提高计算效率、如何将灵敏度分析与不确定性量化相结合等。
此外，还可以探讨灵敏度分析在其他领域的应用前景，如生物医学、环境科学等。
7.结论总结全文的主要内容，强调灵敏度分析在数学建模中的重要性以及在实际应用中的价值。
同时指出本文所介绍的灵敏度分析方法只是其中的一部分，鼓励读者在今后的学习和实践中进一步探索其他灵敏度分析方法，并将其应用于实际问题中。
8.参考文献列出本文中所引用的参考文献，格式按照所选的参考文献类型进行整理排版即可。
模型参数灵敏度分析
模型参数灵敏度分析模型参数的灵敏度分析是一种用于评估模型输出变化对于输入参数变化的敏感程度的方法。
通过进行模型参数的灵敏度分析，可以帮助我们理解模型的可信度、鲁棒性和稳定性，从而更好地应对不确定性和风险。
模型参数的灵敏度分析方法有很多种，下面将介绍两种常见的方法：单参数敏感度分析和多参数敏感度分析。
在单参数敏感度分析中，我们假设只有一个参数发生变化，其他参数保持不变。
然后通过改变该参数的数值，观察模型输出结果的变化情况。
如果模型输出对该参数的变化非常敏感，则说明该参数对模型结果有重要影响。
反之，如果模型输出对该参数的变化不敏感，则说明该参数对模型结果影响较小。
我们可以通过绘制敏感度曲线或者敏感度指数来可视化和量化参数的灵敏度。
另外，我们还可以利用统计方法，如方差分析等，来分析不同参数之间的交互作用。
多参数敏感度分析则考虑多个参数同时变化对模型结果的影响。
通过改变多个参数的不同组合，可以得到不同的模型输出结果。
然后利用统计分析方法，如回归分析、主成分分析等，来分析参数之间的相互关系和对模型输出的贡献程度。
通过得到各个参数的权重和相互关系，我们可以了解到各参数对模型结果的贡献大小和互相之间的影响程度。
在进行模型参数灵敏度分析时，我们需要注意以下几个问题。
首先，参数的范围选择要合理，覆盖到可能出现的各种情况。
其次，参数之间的关联性要考虑进去，以免在分析时忽略了重要的交互作用。
此外，模型输出结果的不确定性也需要进行评估，以获取更可靠的灵敏度分析结果。
模型参数灵敏度分析在实践中有着广泛的应用。
在金融领域，用于评估投资组合的风险和收益；在环境科学领域，用于评估气候模型的不确定性和可靠性；在生物医学领域，用于评估药物疗效和副作用等。
通过对模型参数的灵敏度分析，可以帮助我们更好地理解和解释模型结果，以及制定相应的决策和政策。
总之，模型参数的灵敏度分析是一种重要的评估模型可信度和稳定性的方法。
通过对模型参数的变化和模型输出结果的关系进行分析，可以揭示参数对模型结果的影响程度和互相之间的关系。
数学建模五步法
数学建模五步法1第一步：提出问题列出问题中涉及到的变量，包括恰当的单位？注意不要混淆变量和常量（参数）？列出对变量所做的全部假设，写出变量间的关系式（不等式、等式）？检查变量/常量的单位关系，以保证所做假设的意义？用准确的数学语言（表达式）写出问题的目标？案例涉及的变量：●w =猪的重量（磅）；●t=从现在到出售期间经历的时间（天）；●C=t天内饲养猪的费用（美元）；●p=猪的市场价格（美元/磅）；●R=售出猪获得的收益（美元）；●P=最终获得净收益（美元）。
案例所作的假设：01.0 65.05200≥-=⋅=-=+=tC RPw pR tp tw案例目标：Pmax第二步：选择建模方法选择解决问题的一般求解方法？这需要jian mo zhe的经验、技巧和对相关文献的了解和熟悉。
建模常用的方法有：1（新西兰）Mark M. Meershaert著，刘来福等译. 《数学建模方法与分析》，机械工业出版社（2005）——优化模型的求解方法：微积分方法、数学规划方法等；——动态模型方法：微分方程、差分方程、模拟方法等；——概率模型：概率定律、计量经济方法等。
注意：大量的模型均可用计算机软件工具实现，模型求解方法的选择，现实中，就变为软件工具的选择。
案例涉及的数学方法：● 微积分之优化理论——可微函数的一阶条件：()0'=x f第三步：推导模型的公式将第一步得到的问题重新表达，以适应第二步所选定的建模方法所需要的形式，这可能需要对变量进行调整？记下任何补充假设，这些假设是为了是在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的。
案例推导()(){}{}()()t t t P t t t tt t tw p CR P t t 45.0520001.065.0max 0:45.0520001.065.045.00-+-=>-+-=-⋅=-=>：：问题可表达为如下模型，的取值范围补充假设：求解变量第四步：求解模型将第二步所选方法应用于第三步得到的数学表达式？注意：要保证数学推导过程的正确。
数学建模五步法与灵敏度分析
灵敏度分析简介：研究与分析一个系统或模型的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法;在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性;通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响;因此,灵敏度分析几乎在所有的中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的;用途：主要用于模型检验和推广;简单来说就是改变模型原有的假设条件之后,所得到的结果会发生多大的变化;举例建模五步法：一头猪重200磅,每天增重5磅,饲养每天需花费45美分;猪的市场价格为每磅65美分,但每天下降1美分,求出售猪的最佳时间;建立数学模型的五个步骤：1.提出问题2.选择建模方法3.推到模型的数学表达式4.求解模型5.回答问题第一步：提出问题将问题用数学语言表达;例子中包含以下变量：猪的重量w磅,从现在到出售猪期间经历的时间t天,t天内饲养猪的花费C美元,猪的市场价格p美元/磅,出售生猪所获得的收益R美元,我们最终要获得的净收益P美元;还有一些其他量,如猪的初始重量200磅;建议先写显而易见的部分猪从200磅按每天5磅增加w磅=200磅+5磅/天t天饲养每天花费45美分C美元=0.45美元/天t天价格65美分按每天1美分下降p美元/磅=0.65美元/磅-0.01美元/磅t天生猪收益R美元=p美元/磅w磅净利润P美元=R美元-C美元用数学语言总结和表达如下：参数设定：t=时间天w=猪的重量磅p=猪的价格美元/磅C=饲养t天的花费美元R=出售猪的收益美元P=净收益美元假设：w=200+5tC=0.45tp=0.65-0.01tR=pwP=R-Ct>=0目标：求P的最大值第二步：选择建模方法本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题第三步：推导模型的数学表达式子P=R-C 1R=pw 2C=0.45t 3得到R=pw-0.45tp=0.65-0.01t 4w=200+5t 5得到P=0.65-0.01t200+5t-0.45t令y=P是需最大化的目标变量,x=t是自变量,现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值：y=fx=0.65-0.01x200+5x-0.45x 1-1第四步：求解模型用第二步中确定的数学方法解出步骤三;例子中,要求1-1式中定义的y=fx在区间x>=0上求最大值;下图给出了1-1的图像和导数应用几何画板绘制;在x=8为全局极大值点,此时f8=133.20;因此8,133.20为f在整个实轴上的全局极大值点,同时也是区间x>=0上的最大值点;第五步：回答问题根据第四步,8天后出售生猪的净收益最大,可以获得净收益133.20美元;只要第一步中的假设成立,这一结果正确;数学建模五步方法总结：第一步：提出问题（1）列出问题中涉及的变量,包括适当的单位；（2）注意不要混淆变量和常量；（3）列出你对变量所做的全部假设,包括等式和不等式；（4）检查单位从而保证你的假设有意义；（5）用准确的数学术语给出问题的目标;第二步：选择建模方法（1）选择解决问题的一个一般的求解方法；（2）一般地,这一步的成功需要经验,技巧和熟悉相关文献;第三步：推导模型的数学表达式（1）将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法所需要的形式；（2）将第一步中的一些变量名改成与第二步所用的记号一致；（3）记下任何补充假设,这些假设是为了使第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的;第四步：求解模型（1）将第二步中所选用的一般求解过程应用于第三步得到表达式的特定问题；（2）注意你的数学推导,检查是否有错误,你的答案是否有意义；（3）采用适当的技术,计算机代数系统,图形工具,数值计算的软件等,都能扩大你能解决问题的范围,并能减少计算错误;第五步：回答问题（1）用非技术性的语言将第四步的结果重新表述；（2）避免数学符号和术语；（3）能理解出处提出的问题的人就应该能理解你给出的答案;灵敏度分析数据是由测量,观察有时甚至完全猜测得到的,因此,我们要考虑数据不准确的可能性;上例中,生猪现在的重量,现在的价格,每天饲养花费都很容易测量,而且有相当大的确定性;但是猪的生长率则不那么确定,而价格的下降率则确定性更低,记r为价格的下降率,现在假设r的实际值不同,对几个不同的r值重复前面的求解过程,我们会对问题的解关于r的敏感程度有所了解;下表给出了几个不同r值求出的计算结果;根据表格绘制图形,我们可以看到售猪的最优时间对参数r很敏感;对灵敏度的更系统的分析是将r视为未知参数,按前面的步骤求解,写出p=0.65-rt;得到y=fx=0.65-rx200+5x-0.45x;使得导数为0,得到x=7-500r/25r,当x>=0时,只要0<r<=0.014;对于猪的生长率g同样不确定,我们有w=200+gt,得到y=fx=0.65-rx200+gx-0.45x;使得导数为0,得到x=513g-49/2g;当x>=0时,得到g>=3.769;我们将灵敏度数据用相对改变量表示,例如：r下降10%导致了x增加了39%,而g下降了10%导致了x下降了34%;如果x的改变量Δx,则Δx/x表示相对改变量;如果r改变了Δr,导致了x有Δx的改变量,则相对改变量的比值为Δx/x/Δr/r,令Δr→0,我们有Δx/x/Δr/r→dx/drr/x;我们称这个极限值为x对r的灵敏度,即为Sx,r;在售猪问题中,r=0.01和x=8得到dx/dr=-7/25r2=-2800,因此Sx,r=dx/drr/x=-28000.01/8=-7/2,即若r增加2%,则x下降7%;由于dx/dg=245/2g2=4.9,我们有Sx,g=dx/dgg/x=4.95/8=3.0625;于是猪的生长率增加1%,会导致大约等待3%的时间再将猪售出;灵敏度分析的成功应用要有较好的判断力,通常即不可能对模型中的每个参数都计算灵敏度分析,也没有特别的要求;我们需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏度分析;对灵敏度系数的解释还要依赖与参数的不确定程度,主要问题是数据的不确定程度影响答案的置信度;在这个问题中,我们通常认为猪的生长率g比价格下降率r更可靠;如果我们观察了猪或者其他类似动物在过去的生长情况,则g有25%的误差会是很不寻常的,但对r的估计有25%的误差则不足为奇;数学模型的稳健性一个数学模型称为稳健的,是指即使这个模型不完全精确,由其导出的结果也是正确的;在实际问题中,我们不会有绝对准确的信息,即使能够建立一个完美的精确模型,我们也可能采取较为简单和易于处理的方法;出于数学处理的方便和简化的目的,常常要做一些假设,建模者有责任要考察这些假设是否太特殊,以致使模型的结果无效;上例中我们主要是假设猪的重量和每磅的价格都是时间线性函数;假设一年后,猪的重量为200+5365=2025磅,卖出收益为0.65-0.01365=-3美元/磅;一个更为实际的模型应该考虑到这些函数的非线性性,又考虑到随着时间的推移不确定性的增加;考察售猪问题中的线性假设;基本方程为P=pw-0.45t;如果模型初始数据和假设没有与实际相差太远,则售猪的最佳时间应该有令P求导为0得到;计算后有p'w+pw'=0.45,得到只要猪价比饲养的费用增长快,就应暂时不卖出;其中,p'w为价格下降带来的损失,pw'为猪增重而增加的价值;考虑更一般的模型的情况,猪的未来增长和价格的未来变化并不确定;假设如下情况,一个农民有一头重量大约是200磅的猪,上一周猪每天增重约5磅,五天前猪价为70美分/磅,但现在是65美分/磅,根据现有数据我们可以得出何时出售,问题是p'和w'在未来几周内不会保持常数,因此,两者不会是时间的线性函数;但是只要在这段时间内,两者变化不太大,假设他们保持为常数而导致的误差就不会太大;。
数学建模---对偶问题和灵敏度分析
对偶问题例题1：某养鸡场所用的混合饲料由n 种天然饲料配合而成。
要求在这批配合饲料中必须含有m 种不同的营养成分，且第i 种营养成分的含量不低于bi 。
已知第i 种营养成分在每单位第j 种天然饲料中的含量为a ij ，每单位第j 天然饲料的价格为c j 。
试问，应如何对这n 种饲料配方，使这批饲料的费用最小? 解 设x j 为第j 种天然饲料的用量。
显然，a ij x j 即为所用第j 种天然饲料中第i 种营养成分的含量，1nij j j a x =∑为这批混合饲料中第i 种营养成分的总含量；它不应低于bi 。
于是，我们得下列线性规划模型(1—1)：1min nj jj f c x ==∑11,,..01,,nij j i j j a x b i m s t x j n=⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑现设想有一个饲料加工厂欲把这m 种营养成分分别制成m 种营养丸。
设第i 种营养丸的价格为ui(i ＝1，…，m)。
则养鸡场采购一个单位的第j 种天然饲料，就相当于对这m 种营养丸分别采购数量a 1j ，…a mj ，所化费用为1mij ii a u =∑养鸡场自然希望在用营养丸代替天然饲料时，在价格上能相对地比较便宜，故而饲料加工厂为了能与天然饲料供应者竞争，在制订价格时必然满足下述条件：11,,mij ij i a uc j n =≤=∑另一方面，养鸡场如果全部采购营养丸来代替天然饲料进行配料，则第i 种营养丸就需采购bi 个单位，所化费用为b i u i ，总费用为z=∑b i u i饲料加工厂面临的问题是：应把这m 种营养丸的单价ui(f=1，…，m)定为多少，才能使养鸡场乐意全部采用该厂生产的营养丸来取代这批天然饲料，且使本厂在竞争中得到最大收益。
为该问题建立数学模型，即得如下线性规划(1—2)：1max mi i i z b u ==∑11,,..01,,mij i j i ia u c j n s t u i m =⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑我们称问题(1—2)为原有问题 (1—1)的对偶问题(记为(D))。
数学建模五步法
一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%。
⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何.⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
运用五步法求解上面问题。
⑴提出问题(问题)⑵选择建模方法(方法)⑶推导模型的数学表达式⑷求解模型⑸回答问题。
㈠问题的提出1.具体问题⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。
分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何.⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
2.符号的说明⑴打折后每辆汽车的利润（1500-x ）（美元）； ⑵打折后得销售量0%)151001(q xq ⨯+=（辆）； ⑶利润0%)151001)(1500(q xx P ⨯+-=（美元）； ⑷折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15。
⒋问题的分析根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
㈡模型的建立与求解1.提出问题根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
数学建模的五个步骤
数学建模的五个步骤数学建模是指利用数学方法来解决实际问题的过程。
它在现代科学研究、工程技术等领域都有广泛的应用。
数学建模的过程可以分为五个步骤，包括问题理解、建立模型、模型求解、模型评价和结果解释。
下面将详细介绍这五个步骤。
第一步：问题理解问题理解是数学建模的第一步，也是至关重要的一步。
正确的问题理解能够确保后续建模过程的准确性和有效性。
在问题理解阶段，研究者需要明确问题的背景和要求，确定问题的范围和目标，以及搜集相关的实验数据和文献资料。
这些信息将有助于研究者在后续的建模过程中更好地进行模型的构建和求解。
第二步：建立模型建立模型是数学建模的核心步骤，它是将实际问题转化为数学问题的过程。
在建立模型时，研究者需要根据问题的特点和要求，选取合适的数学方法和工具，构建数学模型。
数学模型可以是代数方程、差分方程、微分方程、最优化问题等等。
模型的构建需要充分考虑实际问题中的各种因素和假设条件，并进行适当的抽象和简化。
此外，研究者还需要对所选用的数学模型进行合理的验证和修正。
第三步：模型求解模型求解是数学建模中的关键步骤之一、在模型求解过程中，研究者需要选择合适的求解方法和算法，使用计算机软件或手工计算来解决所建立的数学模型。
求解的过程中，研究者需要考虑求解的效率和精度，以及结果的可靠性和实用性。
第四步：模型评价模型评价是对所建立的数学模型进行有效性和可行性的评估。
在模型评价过程中，研究者需要利用实验数据和实际情况进行模型的验证和检验。
评价的指标可以是模型的拟合度、预测精度、稳定性等等。
通过模型评价的结果，可以对模型进行合理的调整和改进，以便更好地解决实际问题。
第五步：结果解释结果解释是数学建模的最后一步，也是将数学模型的结果转化为实际应用的关键一步。
在结果解释过程中，研究者需要将模型的结果与实际问题进行对比和分析，解释模型的意义和结论，提出相应的建议和策略。
结果解释的目的是使模型的结果能够被决策者、管理者和其他利益相关方所理解和接受，并能够指导实际问题的解决和处理。
第5章_灵敏度分析
同样假设单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变， C1 50， 即 有
50 1≤≤0 C2
50≤C2 ≤+∞
也就是说当单位产品Ⅰ的利润为 50 元不变，而单位 产品Ⅱ的利润只要大于等于 50 元时，顶点 B 仍是其最优 解。
如果当C1 和C2 都变化时，则也可以通过不等式
C1 -1≤ ≤0 来判断 B 点是否仍然为其最优解，例如当 C2
化为标准型：
min S ( 2 x1 6 x 2 5 x3 4 x 4 ) 3 x1 4 x 2 3 x3 x 4 x5 26 2 x1 3 x 2 2 x3 3 x 4 x 6 21 x j 0 , j 1, ,6
b 这 时 在 最 终 表 中 求 得 的
列 的 所 有 元 素
bi air br 0, i 1,2, , m 由此可得 air br bi , i 1,2, m
air 0
时， br
当 当 a 0 时，b ir
bi
air
r
bi
air 于是得到资源系数的变化范围：
第五章、灵敏度分析
一、 什么是灵பைடு நூலகம்度分析
所谓灵敏度分析: 就是在建立数学模型和求得最优解之后， 研究线性规划的一些系数变化时，对最优解 产生或最优基有什么影响？或者这些系数在 什么范围内变化时，最优解或最有基不变。 有了灵敏度分析就不必要为了应付这些变化 而不停的建立新的模型和求解。
用灵敏度分析以下几种情况
bi | air 0}
max{
bi
air
| air 0} br min{
air
仍然依例 1 来分析常数项的波动。 无妨设b1 有波动，令b1 26 。 因b1 的波动和 B 是基和判别准则无关。 仅影 响单纯形表中的
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一项重要的决策工具，用于评估一个系统对其输入参数变化的敏感程度。
它在不同领域和行业中都有广泛的应用，包括金融、工程、环境等。
本文将详细介绍灵敏度分析的概念、方法和应用，并探讨其在决策过程中的重要性。
灵敏度分析是指通过改变一个或多个输入变量，观察系统输出变量的变化情况，从而确定输入变量对输出变量的影响程度。
它能够帮助我们了解系统的稳定性和可靠性，并得出相应的决策。
灵敏度分析通常与多元回归分析或其他统计模型一起使用，以揭示模型背后的关键因素。
灵敏度分析的方法有很多种，其中最常见的一种是参数灵敏度分析。
参数灵敏度分析通过改变系统输入参数的值，观察输出结果的变化情况，从而确定每个参数对输出结果的影响程度。
这种方法可以帮助我们识别问题中最重要的参数，并为决策提供基础数据。
除了参数灵敏度分析，还有一些其他的灵敏度分析方法，如局部敏感性分析、全局敏感性分析等。
局部敏感性分析通常用于评估系统在输入参数变化的某一特定范围内的敏感性。
全局敏感性分析则可以帮助我们了解整个系统在不同参数组合下的行为。
这些方法的选择取决于具体问题的需求。
灵敏度分析在不同领域和行业中都有广泛的应用。
在金融领域，灵敏度分析可以帮助投资者评估不同投资组合的风险和回报，从而做出更明智的决策。
在工程领域，它可以用于评估系统设计方案的可行性和稳定性。
在环境领域，灵敏度分析可以帮助我们了解环境参数对气候变化或生态系统健康的影响，从而制定相应的保护政策。
灵敏度分析在决策过程中的重要性不言而喻。
通过对系统的关键参数进行分析，我们可以更好地理解系统的行为和性能，从而制定更科学、更有效的决策。
它可以帮助我们识别风险和机遇，并为决策者提供决策依据。
然而，灵敏度分析也存在一些局限性。
首先，它假设系统的行为是线性的，这在实际情况下往往是不成立的。
其次，它无法考虑参数之间的交互作用，这可能导致结果的片面性。
因此，在进行灵敏度分析时，我们应该结合其他分析方法和经验判断，以获得更全面和可靠的结果。
灵敏度分析在数学建模中的应用
灵敏度分析在数学建模中的应用灵敏度分析是指通过对模型的参数或变量进行微小的变化，分析其对模型结果的影响程度，从而判断模型的稳定性和可靠性。
在数学建模中，灵敏度分析是一个非常重要的工具，可以帮助研究者对模型进行优化和改进，提高模型的精度和可靠性，进而为实际问题的解决提供更加可行的方案。
一、灵敏度分析的基本思想灵敏度分析是指在一组偏离参考值不大的参数或变量的变化下，研究模型结果随之变化的过程。
通过描述这种变化，可以评估模型在参数或变量变化时的稳定性和可靠性，进而帮助研究者确定哪些参数或变量对模型结果影响最大，从而针对性地进行调整和改进。
二、灵敏度分析的应用场景灵敏度分析广泛应用于各种实际问题的数学建模中，例如：1、工程建模：在工程建模中，灵敏度分析可以帮助研究者实现设计的优化，降低成本和风险。
例如，可以对比不同变量或参数组合下的模型结果，分析为什么某种组合会使模型结果更优秀，从而对设计方案进行优化。
2、金融建模：在金融建模中，灵敏度分析可以帮助研究者确定价格和市场变化对模型结果的影响，从而更好地预测未来市场的发展趋势，优化金融风险管理方案。
3、医学建模：在医学建模中，灵敏度分析可以帮助研究者评估药物或疗法对疾病的疗效和副作用的影响，从而更好地指导医疗决策和治疗方案选择。
三、灵敏度分析的方法和步骤进行灵敏度分析的方法和步骤通常包括以下几个方面：1、选择模型：选择合适的数学模型是进行灵敏度分析的第一步。
模型必须能够描述研究对象的特征和关系，同时易于进行参数或变量的微小变化。
2、确定变化范围：确定模型中参数或变量的变化范围，一般是基于实际问题的特点和实验数据的分析得出的。
3、计算偏导数：通过计算模型对参数或变量的偏导数，可以得到模型结果对它们的敏感程度。
4、分析结果：分析结果可以帮助研究者确定哪些参数或变量的变化会对模型结果产生重要的影响，并评估模型在给定参数或变量变化范围内的稳定性和可靠性。
四、灵敏度分析的优缺点灵敏度分析是一种非常有用的数学建模工具，具有以下优点：1、能够确定模型结果对参数或变量的敏感程度，为模型优化提供了指导。
数学建模方法
数学建模方法五步法五步方法顾名思义，通过五个步骤完成用数学模型解决实际问题。
它包含以下五个步骤：1、提出问题2、选择建模方法3、推导模型的数学表达式4、求解模型5、回答问题第一步是提出问题，即对遇到的实际问题使用恰当的数学语言进行表达。
一般而言，首要任务是对术语进行定义。
无论是实际问题涉及到的变量，还是这些变量的单位、相关假设，都应当用等式或者不等式进行表达。
在这一基础上，我们就可以用数学语言对实际问题进行转述，并构成完整的问题。
其中变量与参量的区别是很重要的，需要区分开来。
完成第一步之后，可以归纳得到一个包含变量、假设、目标的列表。
列表中可以清楚明显地看出问题包含的变量，由题目得到的关系式，以及目标。
判断第一步是否成功完成的主要依据便是，目标能否转化为某一变量的函数。
第二步是选择建模方法。
在第一步的基础上我们将问题用数学语言表达了出来。
第二步的目的便是选择一个数学方法来获得解。
换言之，想要正确完成这一步骤需要足够多的经验或者熟悉参考文献。
第三步是推导模型的公式。
在第一步中我们完成了对术语的定义，并使用数学语言将问题表达出来；在第二步中我们根据第一部分所得到的结论，选择了合适的建模方法。
而每一种建模方法都有其所需要的标准形式。
第三步的主要目的就是将第一步中的数学表达式变形为第二步中的建模方法的标准形式，以便于利用该模型的算法过程进行求解。
第四步便是通过第二步中得到的限制条件（等式或者不等式），对这个模型进行求解。
第五步是回答开始在第一步中提出的问题。
至此，数学建模的五步方法就结束了。
数学中的灵敏度分析
因此，假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。
但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。
因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。
这里就可以采用灵敏度分析的方法。
它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。
一、局部灵敏度分析方法局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。
局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。
局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。
主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。
1．直接求导法对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。
时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。
假设要考虑的初值问题是，（1）同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。
代表初值数组。
式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程（2）或以矩阵形式表示为（3）式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。
微分方程（2）的初始条件为零向量。
上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。
05灵敏度分析
第四章
数学模型的参数估计及灵敏度分析
前章所述的一些解析模型常用于环境质量的 模拟预测和控制规划 一维解析模型广泛地用于各种河流的水质模 拟和预测中
三维解析模型在大气质量的预测中普通采用
在流动均匀稳定的条件下，二维解析模型可 用来模拟河流的水质 在模型具体应用时，必须首先对模型中的参 数进行估值和进行灵敏度的分析。
一、 模型参数的估值方法
有经验公式，图解法，最小二乘法和最优化 方法等估值方法
除经验公式外，其余方法均是利用系统输入 输出数据和数学模型本身确定合理的参数数 值。
1、 图解法
对经适当处理后以转换为直线的公式，均 可用图解法估计参数，其误差取决于点位的 精度和绘制直线的精度。
2、一元线性回归分析法
5、网格法 假定有n个等定参数，且已知各参数 的取值范围，把各搜索区间（取值范围） 分成若干个等分，则参数空间 θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若干网格， 计算所有网格顶点上的目标函数值，并 取其中最小的值所对应的参数值作为最 优估计值。 若精度还不够，则可再分细些。
6、经验公式计算法
解：首先，建立目标函数
20k d Z ( k d , k a ) 10 (e k d (8 / 4 ) e k a (8 / 4 ) ) 8.5 ka kd 20k d k d ( 28 / 4 ) k a ( 28 / 4 ) 10 (e e ) 7.0 ka kd 20k d k d ( 36 / 4 ) k a ( 36 / 4 ) 10 (e e ) 6.1 ka kd 20k d k d ( 56 / 4 ) k a ( 56 / 4 ) 10 (e e ) 7.2 ka kd
数学建模的基本方法与步骤
数学建模的基本方法与步骤数学建模是利用数学方法和技术解决现实问题的过程，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍数学建模的基本方法与步骤，帮助读者了解数学建模的过程，并能进行基本的数学建模工作。
一、问题定义数学建模的第一步是明确问题。
在这一步中，研究者需要对问题进行细致的分析和思考，确保对问题的理解准确和全面。
问题定义阶段需要回答以下问题：1. 问题的背景与目标：了解问题背景，明确问题的目标和约束条件。
2. 变量和参数的设定：确定问题涉及的变量和参数，并对它们进行定义和量化。
二、建立数学模型在问题定义的基础上，数学建模的下一步是建立数学模型。
数学模型是对实际问题进行抽象和简化的表示，它通常包括以下要素：1. 假设和逻辑关系：建立数学模型需要进行一定的假设和逻辑推理，将实际问题转化为数学可解决的形式。
2. 数学表达式：使用数学语言表示问题的关系和约束。
3. 符号和符号含义：为模型中的符号和参数设定符号，并明确其具体含义和单位。
三、数学求解建立数学模型后，下一步是对模型进行求解。
数学求解的过程中，可以使用各种数学方法和技术，如微积分、概率论、优化方法等。
数学求解的关键是选择合适的方法，并进行正确的计算和分析。
四、模型验证和评估在模型求解后，需要对模型进行验证和评估。
验证模型是否符合实际情况，评估模型的可行性和效果。
模型验证和评估的方法包括：1. 数据对比：将模型的结果与实际数据进行对比，评估模型的准确性和可靠性。
2. 灵敏度分析：通过调整模型中的参数和变量，评估模型对输入的敏感程度。
3. 合理性分析：通过与实际领域专家的讨论，评估模型的合理性和可行性。
五、模型应用与解释模型应用是将建立的数学模型应用到具体问题中的过程。
在这一步中，需要将模型的结果与实际问题相结合，进行解释和分析，并从模型中得出结论和建议。
模型应用的关键是将数学模型的结果转化为实际问题的解决方案。
总结：数学建模是一个复杂的过程，需要经验和专业知识的支持。
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灵敏度分析简介：研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。
用途：主要用于模型检验和推广。
简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。
举例（建模五步法）：一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。
猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。
建立数学模型的五个步骤：1.提出问题2.选择建模方法3.推到模型的数学表达式4.求解模型5.回答问题第一步：提出问题将问题用数学语言表达。
例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P（美元）。
还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。
（建议先写显而易见的部分）猪从200磅按每天5磅增加（w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天）饲养每天花费45美分（C美元）=（0.45美元/天）*（t天）价格65美分按每天1美分下降（p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天）生猪收益（R美元）=（p美元/磅）*（w磅）净利润（P美元）=（R美元）-（C美元）用数学语言总结和表达如下：参数设定：t=时间（天）w=猪的重量（磅）p=猪的价格（美元/磅）C=饲养t天的花费（美元）R=出售猪的收益（美元）P=净收益（美元）假设：w=200+5tC=0.45tp=0.65-0.01tR=p*wP=R-Ct>=0目标：求P的最大值第二步：选择建模方法本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题第三步：推导模型的数学表达式子P=R-C （1）R=p*w （2）C=0.45t （3）得到R=p*w-0.45tp=0.65-0.01t （4）w=200+5t （5）得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值：y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1）第四步：求解模型用第二步中确定的数学方法解出步骤三。
例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。
下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。
在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。
因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。
第五步：回答问题根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。
只要第一步中的假设成立，这一结果正确。
数学建模五步方法总结：第一步：提出问题（1）列出问题中涉及的变量，包括适当的单位；（2）注意不要混淆变量和常量；（3）列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式；（4）检查单位从而保证你的假设有意义；（5）用准确的数学术语给出问题的目标。
第二步：选择建模方法（1）选择解决问题的一个一般的求解方法；（2）一般地，这一步的成功需要经验，技巧和熟悉相关文献。
第三步：推导模型的数学表达式（1）将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法所需要的形式；（2）将第一步中的一些变量名改成与第二步所用的记号一致；（3）记下任何补充假设，这些假设是为了使第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的。
第四步：求解模型（1）将第二步中所选用的一般求解过程应用于第三步得到表达式的特定问题；（2）注意你的数学推导，检查是否有错误，你的答案是否有意义；（3）采用适当的技术，计算机代数系统，图形工具，数值计算的软件等，都能扩大你能解决问题的范围，并能减少计算错误。
第五步：回答问题（1）用非技术性的语言将第四步的结果重新表述；（2）避免数学符号和术语；（3）能理解出处提出的问题的人就应该能理解你给出的答案。
灵敏度分析数据是由测量，观察有时甚至完全猜测得到的，因此，我们要考虑数据不准确的可能性。
上例中，生猪现在的重量，现在的价格，每天饲养花费都很容易测量，而且有相当大的确定性。
但是猪的生长率则不那么确定，而价格的下降率则确定性更低，记r为价格的下降率，现在假设r的实际值不同，对几个不同的r值重复前面的求解过程，我们会对问题的解关于r的敏感程度有所了解。
下表给出了几个不同r值求出的计算结果。
根据表格绘制图形，我们可以看到售猪的最优时间对参数r很敏感。
r（美元/天）x（天）0.008 15.00.009 11.10.010 8.00.011 5.50.012 3.3对灵敏度的更系统的分析是将r视为未知参数，按前面的步骤求解，写出p=0.65-rt。
得到y=f（x）=（0.65-rx）（200+5x）-0.45x。
使得导数为0，得到x=（7-500r）/25r，当x>=0时，只要0<r<=0.014。
对于猪的生长率g同样不确定，我们有w=200+gt，得到y=f（x）=（0.65-rx）（200+gx）-0.45x。
使得导数为0，得到x=5*(13g-49)/2g。
当x>=0时，得到g>=3.769。
我们将灵敏度数据用相对改变量表示，例如：r下降10%导致了x增加了39%，而g下降了10%导致了x下降了34%。
如果x的改变量Δx，则Δx/x表示相对改变量。
如果r改变了Δr，导致了x有Δx的改变量，则相对改变量的比值为（Δx/x）/（Δr/r），令Δr→0，我们有（Δx/x）/（Δr/r）→（dx/dr）*（r/x）。
我们称这个极限值为x对r的灵敏度，即为S（x，r）。
在售猪问题中，r=0.01和x=8得到dx/dr=-7/25r2=-2800，因此S（x，r）=(dx/dr)*(r/x)=-2800*(0.01/8)=-7/2，即若r增加2%，则x下降7%。
由于dx/dg=245/2g2=4.9,我们有S（x，g）=(dx/dg)*(g/x)=4.9*（5/8）=3.0625。
于是猪的生长率增加1%，会导致大约等待3%的时间再将猪售出。
灵敏度分析的成功应用要有较好的判断力，通常即不可能对模型中的每个参数都计算灵敏度分析，也没有特别的要求。
我们需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏度分析。
对灵敏度系数的解释还要依赖与参数的不确定程度，主要问题是数据的不确定程度影响答案的置信度。
在这个问题中，我们通常认为猪的生长率g比价格下降率r更可靠。
如果我们观察了猪或者其他类似动物在过去的生长情况，则g有25%的误差会是很不寻常的，但对r的估计有25%的误差则不足为奇。
数学模型的稳健性一个数学模型称为稳健的，是指即使这个模型不完全精确，由其导出的结果也是正确的。
在实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即使能够建立一个完美的精确模型，我们也可能采取较为简单和易于处理的方法。
出于数学处理的方便和简化的目的，常常要做一些假设，建模者有责任要考察这些假设是否太特殊，以致使模型的结果无效。
上例中我们主要是假设猪的重量和每磅的价格都是时间线性函数。
假设一年后，猪的重量为200+5*365=2025磅，卖出收益为0.65-0.01*365=-3美元/磅。
一个更为实际的模型应该考虑到这些函数的非线性性，又考虑到随着时间的推移不确定性的增加。
考察售猪问题中的线性假设。
基本方程为P=pw-0.45t。
如果模型初始数据和假设没有与实际相差太远，则售猪的最佳时间应该有令P求导为0得到。
计算后有p'w+pw'=0.45，得到只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂时不卖出。
其中，p'w为价格下降带来的损失，pw'为猪增重而增加的价值。
考虑更一般的模型的情况，猪的未来增长和价格的未来变化并不确定。
假设如下情况，一个农民有一头重量大约是200磅的猪，上一周猪每天增重约5磅，五天前猪价为70美分/磅，但现在是65美分/磅，根据现有数据我们可以得出何时出售，问题是p'和w'在未来几周内不会保持常数，因此，两者不会是时间的线性函数。
但是只要在这段时间内，两者变化不太大，假设他们保持为常数而导致的误差就不会太大。
一辈子时光在匆忙中流逝，谁都无法挽留。
多少人前半生忙忙碌碌，奔波追逐，后半生回望过去，难免感叹一生的碌碌无为，恨时光短暂，荒废了最好的光阴。
人过中年，不停跟时间妥协，之所以不争抢，处世淡然，完全是经过世故的淬炼，达到心智的成熟。
现实生活中，不乏完美主义者，终日在不食人间烟火的意境中活着，虚拟不切合实际。
如此，唯有活在当下，才是真正的人生笺言。
常常想，不想活在过去的人，是经历了太多的大起大落，不想被束缚在心灵蜗居里的人，是失去的太多，一番大彻大悟后，对视的眼神定会愈发清澈，坦然笑对人生的雨雪冰霜。
对于随波逐流的人们，难免要被世俗困扰，不问过去，不畏将来又将是怎么样的一种纠葛，无从知晓。
不得不说，人是活在矛盾中的。
既要简单，又难淡然，挣扎在名利世俗中，一切身不由己，又有那样的生活是我们自己想要的呢？人前，你笑脸相迎，带着伪装的面具，不敢轻易得罪人；人后，黯然伤怀，总感叹命运的不公平，人生的不如意；常常仰望别人的幸福，而忽视了自己，却不知你与他所想要的幸福，都只得一二，十之八九只有在希冀中追求，不是吗？人活一辈子，心怀梦想，苍凉追梦，难能可贵的是执着向前，义无反顾，最惧怕瞻前顾后，退缩不前。
一生短暂如光影交错，有几个人能放下牵绊，有几个人能不难为自己，活的精彩呢！我们的一生，是匆忙的行走，谁的人生，不是时刻在被命运捉弄中前行。
我想，我是无法和命运抗衡的，却又时刻想做真实的自己。
眼下的生活是一面镜子，对照着卑微的自己，心有万千光芒，无法放弃的却总是太多太多。
中年，人生的分水岭，不再有小女孩的浪漫情怀，撒娇卖萌，穿着也越发简单，舒适即可。
年轻时可以穿紧身裙，牛仔裤，甚至小一码的高跟鞋，不惜磨破了脚板，夹痛了脚趾，依旧笑魇如花，人前卖弄。
年少时，青春做砝码，别人的一句赞美能心头飘飘然，走在马路上，陌生男子的回头率，成了青春的资本，忘乎所以。
年龄越大，对身边的一切似乎没了热情，争吵，攀比，打扮，都没了兴趣。
有人说，女人要爱自己，打扮的漂漂亮亮的才行，而我却恰恰相反，正如有一天涂了口红出门，儿子吓了一跳，一句太庸俗，再昂贵品牌的口红你都不适合，让我哑然失笑。
原来，他宁愿喜欢素面朝天的妈妈，也不想要矫揉造作的中年妇女，我必须保持最初的简洁，亦或简单。