高等数学 极限PPT共60页PPT资料
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《高数》数列极限课件PPT
定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限 值等于该点的函数值，因此，函数的 连续性可以看作是极限的一种特殊情 况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具， 而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜 率存在，而这个切线斜率可以通过函 数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关 系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变 量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数， 这个常数就是函数的极限值。函数极限和数 列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极 限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关， 如导数、定积分等。通过数列极限，我们可 以更好地理解这些概念的本质和性质。同时 ，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有 着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的 变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要 的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、 级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观 地理解数列收敛和发散的概念。在平 面坐标系中，我们可以绘制数列的图 像，通过观察图像的变化趋势来理解 数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的 点，而发散数列的图像则会远离这个 点。通过比较不同数列的图像，我们 可以更好地理解数列极限的性质和特 点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区 间套，则该数列收敛。
《高等数学极限》课件
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无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
《高等数学极限》课件
《高等数学极限》PPT课 件
让我们一起探索高等数学中的极限知识吧！通过本课件，我们将深入了解极 限的概念、求解方法、存在条件和实际应用，为今后的学习打下坚实的基础。
极限的概念
什么是极限？
探究数列和函数的趋势与无限接近的关系。
极限的分类
研究极限的不同情况和特性。
极限的定义
明确极限的数学表达方式和精确定义。
极限的经济学应用
了解经济学中使用极限概念来 分析市场和经济趋势的重要性。
极限的生物学应用
揭示生物学中使用极限概念研 究生物体生长和进化的意义。
结语
通过学习本PPT课件，我们可以更加深刻地理解和应用极限知识，为今后的学 习打下坚实的基础。
无穷大量的性质
4
探究无穷大在数学中的重要性和特点。
极限存在的条件
极限存在的充分条件
研究函数存在极限的重要条 件。
极限不存在的充分条件
揭示函数极限不存在的特殊 情况和条件。
极限存在的必要条件
了解函数存在极限的必要条 件及其证明。
极限的应用
极限的物理应用
探索在物理学中使用极限概念 来解决实际问题的方法。
求极限方法
常用极限公式
掌握常见函数的极限性质和计算 方法。
极限的四则运算法则
了解不同函数之间的极限运算规 则。
傅里叶级数与极限
探索傅里叶级数对极限的应用和 影响。
无穷与无穷大
1
无穷小的定义
研究数列和函数在极限点趋于零的特性。
无穷小量的性质
2
揭示无穷小在数学中的重要作用和性质。
3
无穷大的定义
了解数列和函数趋于无穷大的特性。
让我们一起探索高等数学中的极限知识吧！通过本课件，我们将深入了解极 限的概念、求解方法、存在条件和实际应用，为今后的学习打下坚实的基础。
极限的概念
什么是极限？
探究数列和函数的趋势与无限接近的关系。
极限的分类
研究极限的不同情况和特性。
极限的定义
明确极限的数学表达方式和精确定义。
极限的经济学应用
了解经济学中使用极限概念来 分析市场和经济趋势的重要性。
极限的生物学应用
揭示生物学中使用极限概念研 究生物体生长和进化的意义。
结语
通过学习本PPT课件，我们可以更加深刻地理解和应用极限知识，为今后的学 习打下坚实的基础。
无穷大量的性质
4
探究无穷大在数学中的重要性和特点。
极限存在的条件
极限存在的充分条件
研究函数存在极限的重要条 件。
极限不存在的充分条件
揭示函数极限不存在的特殊 情况和条件。
极限存在的必要条件
了解函数存在极限的必要条 件及其证明。
极限的应用
极限的物理应用
探索在物理学中使用极限概念 来解决实际问题的方法。
求极限方法
常用极限公式
掌握常见函数的极限性质和计算 方法。
极限的四则运算法则
了解不同函数之间的极限运算规 则。
傅里叶级数与极限
探索傅里叶级数对极限的应用和 影响。
无穷与无穷大
1
无穷小的定义
研究数列和函数在极限点趋于零的特性。
无穷小量的性质
2
揭示无穷小在数学中的重要作用和性质。
3
无穷大的定义
了解数列和函数趋于无穷大的特性。
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
同济大学高等数学 函数极限 ppt课件
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
y π 2
oX
x
0， “X一>个0 时刻” 使得 “当在x该>X时时刻以后”恒有
f(x)A.
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
xx0
5．x x0
x递减地无限接近常数x0，但恒不等于x0
例： x, x 1,
y
f
(
x)
0,
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
f(x)A
A f(x)A
y
A+ε A
A-ε
o
x
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
例 f(x)arctanx
f(x)A.
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时，
f (x) π 2
-X
o
x
lim f(x)A
2 lim f(x)A
x
y π 2
oX
x
0， “X一>个0 时刻” 使得 “当在x该>X时时刻以后”恒有
f(x)A.
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
xx0
5．x x0
x递减地无限接近常数x0，但恒不等于x0
例： x, x 1,
y
f
(
x)
0,
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
f(x)A
A f(x)A
y
A+ε A
A-ε
o
x
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
例 f(x)arctanx
f(x)A.
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时，
f (x) π 2
-X
o
x
lim f(x)A
大学数学函数的极限-PPT
注
1）0 x x0 表示 x x0 , x x0 时 f ( x) 有无极限 与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
2） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 ( ) 越小， 越小.
3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
函数极限的几何解释
y
O x
如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条 平 行 于 x 轴 的 直 线 y=A+ε 和 y=A-ε, 存 在 点 x0 的 δ 邻 域 (x0-δ, x0+δ),当x在邻域(x0-δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点 (x,f(x))都落在两条平行线之间。
观察函数 y=1/x 的图像
y y=1/x
o
x
再考察函数 y = ln x
y y=lnx
o
x
无穷小和无穷大的关系
在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。 即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
1 f ( x) 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且 f ( x) 0 则 1 为无穷大
x
x
x
若lim f ( x)或lim f ( x)不存在,则 lim f ( x)不存在.
x
x
x
若 lim f ( x) lim f ( x) , 则lim f ( x) 不存在.
x
x
x
几何意义
如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以 任意给定一正数ε,作两条平行于x轴 的 直 线 y=A-ε 和 y=A+ε, 则 总 存 在 一 个正数X，使得当x<－X或x>X时， 函 数 y=f(x) 的 图 形 位 于 这 两 条 直 线 之间.
高等数学-函数的极限PPT课件
则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA
X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，
《高数极限》课件
答案4
$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
THANKS
感谢观看
极限的运算性质
极限的四则运算性质
加减乘除满足相应的运算法 则。
极限的复合运算性质
复合函数的极限满足相应的 运算法则。
极限的等价变换
在一定条件下，可以将复杂 的函数进行等价变换，简化 计算过程。
02
极限的求解方法
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) + g(x)] = A + B。
减法法则
如果lim(x→a) f(x) = A，则lim(x→a) [f(x) - g(x)] = A - B。
乘法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * B。
除法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B（B≠0），则lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B。
05
习题与答案
习题部分
习题1
计算下列极限：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$
习题3
讨论下列函数的极限：$lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x}$
习题2
计算下列极限：$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^3 + x}$
习题4
求下列函数的导数并计算极限：$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
THANKS
感谢观看
极限的运算性质
极限的四则运算性质
加减乘除满足相应的运算法 则。
极限的复合运算性质
复合函数的极限满足相应的 运算法则。
极限的等价变换
在一定条件下，可以将复杂 的函数进行等价变换，简化 计算过程。
02
极限的求解方法
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) + g(x)] = A + B。
减法法则
如果lim(x→a) f(x) = A，则lim(x→a) [f(x) - g(x)] = A - B。
乘法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * B。
除法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B（B≠0），则lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B。
05
习题与答案
习题部分
习题1
计算下列极限：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$
习题3
讨论下列函数的极限：$lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x}$
习题2
计算下列极限：$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^3 + x}$
习题4
求下列函数的导数并计算极限：$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
《高等数学》PPT课件-第一章极限
②逆命题不成立：有界列不一定收敛. ③数列有界是收敛的必要条件(不充分).
2.1.2 函数极限 【数列极限】
【函数的极限】 有
—— 整标函数 两大类情形
【直观定义】在x→∞时，函数值f (x)无限接近于一 个确定的常数A ,称A为f (x)当x→∞时的极限. 记作
[两种特殊情况]
[定理] [例如]
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
2.3.2无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
[极限存在定理] [例1] [证]
左右极限存在但不相等, [注] 一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察.
2.1.3函数极限的性质
1.[唯一性]
2.[ 局部有界性]
[定理2]
3.[ 保号性] [定理3]
2.2 极限运算法则
定理
推论1
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
2.3 无穷小量与无穷大量
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
2.3.3无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
2.3.4 无穷小量的比较
二、极限
2.1 极限的定义
2.1.1 数列极限
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
2.1.2 函数极限 【数列极限】
【函数的极限】 有
—— 整标函数 两大类情形
【直观定义】在x→∞时，函数值f (x)无限接近于一 个确定的常数A ,称A为f (x)当x→∞时的极限. 记作
[两种特殊情况]
[定理] [例如]
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
2.3.2无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
[极限存在定理] [例1] [证]
左右极限存在但不相等, [注] 一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察.
2.1.3函数极限的性质
1.[唯一性]
2.[ 局部有界性]
[定理2]
3.[ 保号性] [定理3]
2.2 极限运算法则
定理
推论1
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
2.3 无穷小量与无穷大量
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
2.3.3无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
2.3.4 无穷小量的比较
二、极限
2.1 极限的定义
2.1.1 数列极限
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
大学数学极限ppt课件
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22
y 1 x
时,函数f(x)的极限
y
ox
-∞
+∞
y 1 x
x y=f(x) →0
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23
1. x时,函数f(x)的极限
定义2.2：设函数 y f(x) ，如果当X无 限增大时，函数无限趋近于某个固 定的常数 A,则称当X趋于正无穷时， f(x) 以A为极限，
记为
lifm (x ) A或 f(x ) A (x )
lim C C
xx0
lim x
x x0
x0
limsinx sin x0
xx0
limcosx cos x0
xx0
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38
小结
-、数列 xn的极限：
给定一个数列xn如果当项数n无限增大时，xn无限趋近于
某个固定的常数A则称常数A为该数列的极限。
记作
lni mxn A
或 xnA(n )
完整最新ppt
12
例：
2,4,8, ,2n,
xn 2n → ∞ (n)
lim2n 极限不存在
n
完整最新ppt
13
1, 1, 1,, 1,
234 n
lim 1 0
收
2,1,4,n3 , n ,n(1)n 1,敛
234
n
n(1)n1 lim
1
n n
完整最新ppt
14
2,4,8, ,2n,
lim2n
通项 n n 1
→1
(n)
lim n 1 n n 1
数列收敛
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17
2.1.2函数的极限
(limit of function)
高数极限ppt课件
第二章 极 限
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
1
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
4
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f (x) a |
成立 , 则称 a 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限 ,
记为 lim f (x) a xx0
或
f (x) a
(x x0 ) .
就是说 , 需要考察的是:
在 x 轴上 , 当 x 落在点 x0 的 去心邻域时,
找找例题！
44
x2 x 1
例7
求
f
( x)
x
1
2
1
x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
解
y
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
lim f (x) lim (x 1) 0
x1
x1
1
1 2
O1
x
45
“左右结合”
y
y f (x)
y=a
y=a
y=a
O
x0
x0
x0 +
x 1
取 min{1, }, 则当 0 | x 1| 时, 有
4
x3 1 3 .
x 1
证毕
28
在极限定义中：
1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小.
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
1
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
4
1. x 时, 函数 f (x) 的极限
定义 0, 若 0, 当 0 | x x0 | 时,
| f (x) a |
成立 , 则称 a 为函数 f (x) 当 x x0 时的极限 ,
记为 lim f (x) a xx0
或
f (x) a
(x x0 ) .
就是说 , 需要考察的是:
在 x 轴上 , 当 x 落在点 x0 的 去心邻域时,
找找例题！
44
x2 x 1
例7
求
f
( x)
x
1
2
1
x 1 在 x = 1 处的左、右极限. x 1
解
y
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
lim f (x) lim (x 1) 0
x1
x1
1
1 2
O1
x
45
“左右结合”
y
y f (x)
y=a
y=a
y=a
O
x0
x0
x0 +
x 1
取 min{1, }, 则当 0 | x 1| 时, 有
4
x3 1 3 .
x 1
证毕
28
在极限定义中：
1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小.
高等数学——极限PPT课件
第50页/共71页
2. 例1. 求 解：原式
第51页/共71页
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
第53页/共71页
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
第54页/共71页
第一章
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第55页/共71页
1
2
1
1
1
x
x 1，x 1
y
x， x 1
y
2
1
1
1
第5页/共71页
xn 1 1 xn 1 n
O
102 103 104
105 106 107
108 109 1010 1011 n
第6页/共71页
xn
xn n
xn
●
n
●
OO
第7页/共71页
n
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
xn (1)n
1
●
●
●
●
●
●
●
●
O n 3120 3121 3122 1323 3124 3125 3126 3127 3128 3129 4320 4321 n
2.
解: 原式
第45页/共71页
1.4.3 两个重要极限
1. 函数极限存在的夹逼准则 且
2. 单调有界数列必有极限
第46页/共71页
二、 两个重要极限
证: 当
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
亦故即有
显然有
注
第47页/共71页
例1. 求 解:
第49页/共71页
例2. 求 解: 原式 =
2. 例1. 求 解：原式
第51页/共71页
两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
第53页/共71页
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
第54页/共71页
第一章
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第55页/共71页
1
2
1
1
1
x
x 1，x 1
y
x， x 1
y
2
1
1
1
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xn 1 1 xn 1 n
O
102 103 104
105 106 107
108 109 1010 1011 n
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xn
xn n
xn
●
n
●
OO
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n
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn
xn (1)n
1
●
●
●
●
●
●
●
●
O n 3120 3121 3122 1323 3124 3125 3126 3127 3128 3129 4320 4321 n
2.
解: 原式
第45页/共71页
1.4.3 两个重要极限
1. 函数极限存在的夹逼准则 且
2. 单调有界数列必有极限
第46页/共71页
二、 两个重要极限
证: 当
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
亦故即有
显然有
注
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例1. 求 解:
第49页/共71页
例2. 求 解: 原式 =
高等数学第-讲极限与连续PPT课件
高等数学第-讲极限与连续ppt 课件
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
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(1)n1 n
当n时极限的实 .
根据这一特点得到数列极限的精确定义.
定义3 设{an}为一数列，如数 果 a,对 存任 在意 常给定
正 数, 总存在正整数N，使得当n>N时，不等式
an a
都成立,那么称常数a是数列{an}的极限.记作 ln i m an a.
说明：(1) 具有任意性，确定性，N 存在性与 有关;
n
无限接近0,于
则 0就是 数 (1n)列 n1 当 n时的.极 限
定义2 设{an}是一数列，a是一常数. 当n时,an无 限
接近于a, 则 a 为 称数 a n 当 n 列 时的 ,或极 称数 an限 列
收敛于a, 记作
lniman a 或 an a(n ).
反之，如果数列{an}的极限不存在，则称数列{an}发散.
1, , , ,, 23 4
n ,.an
(1)n1 n
说明： (1) 数列是以自然数为定义域的函数
anf(n)n ,N.
(2)几何上，数列看做数轴上一个动点，依次取数轴
上的点 a1,a2,,an,.
a3 a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是 极限思想在几何上的应用. 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
2
lim
n
an
a,
故存在N1 ,使当n >N1 时,
an a
b
2
a
,从而 an
a
2
b
;
同理,因
lim
n
an
b,
故存在N2,
使当n
>N2
时,有
xn
b
ba, 2
从而
an
ab. 2
取 N max N1 , N2 ,
则当n>N 时,an同时满足的不等式
an
a
2
b
和
an
a
2
b ，矛盾,
因此收敛数列的极限必唯一.
n
1 n
,
对
0,要
使 an0,
即
1 n
,
n
1
,
取N
1
,
(1)n1 当nN时,有 n
0Leabharlann ,由极限的定义知(1)n1 lim
0.
n n
例2 证 明 lim3n13. n2n1 2
证明
an a
3n 1 3 2n 1 2
1
1
4n 2 4n 2
1, 4n
对
0,
要
使3n13 2n1 2
,
从 N+1 项开始，有aana.
a 2 a
a a 2 a 1 a N 1
aN2 a 3
x
当 n N 时 ,所a 有 n 都 ( a 的 落 ,a ) 点 内 在 ,只
有限 (至 个多N 只 个 )有 落在.其外
例1 证明 lim(1)n1 0. n n
证明
an a
(1)n1 0
一、数列的极限
1.定义1 形如 a1,a2,,an, 的一列数称为数列， 数列中的每一个数叫做数列的项，
第 n 项 an叫做数列的一般项或通项.
例如,
111 1 2,4,8,,2n,;
an
1 2n
1,1,1,,(1)n1,; an (1)n1
1,2,3,, n ,; 2 3 4 n1
an
n n1
11 1 (1)n1
0
.
由极限的定义知
1
lim
n
2n
0.
说明：(1 )等比 q n(q 数 1 )的 列 极 0 . 限为
(2)用定义证明数 ，N列 与有 极关 限， 时但. 不
二、数列极限的性质
定理1(极限的唯一性) 收敛的数列极限唯一.
证明(反证法)假设
lim
n
an
a,
lim
n
an
b
,不妨设a
b.
依据极限,的 取定 b义 a, 因
an无 限 接a,近 如于 何 度 an与量 a的接近程度?
例如，数 列 (1n )n1 ,当 n 时 ,an(1n )n1无限接 0.
由于
(1)n1 1
an 0
n
, n
当n越来越大时，1 n
越来越小，从而an越来越接近于0.
例如，给定 1 , 要使1 1 , 只要 n>100即可.
100
n 100
即从101项开始都能使
an
0
1成 100
立.
给定 1 , 要 使1 1 ,只要 n>10000即可.
10000
n 10000
即从10001项开始都能使
an
0
1成 100
立.
一般地，不论给定的正数多么的小，总存在一个正整
数N, 使得当n >N时，不等式
an a
都成立.这就是数列
an
(2)不 等 an式 a刻 划 an与 了 a的 无限 ; 接
(3)数列的极限与前面的有限项无关. (4)定义简写 lniman a
0 , N 0 ,当 n N 时 ,有 a n a .
几何解释：
l n ix n m a 0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 a n a 有 .
定理2(收敛数列一定有界) 收敛数列必有界.
即收 a n , M 敛 0 ,对 n 数 一 N ,有 a n 列 切 M .
证明
设
lim
n
an
a,
取
1,则N, 当n
N
时,
有 an a 1, 从而有
a 1 an a 1
取 M max x1 , x2 , , xN , a 1, a 1
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:
正六边形的面积 A 1
正十二边形的面积 A 2
R
…
正62n1 边形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n, S圆的面积
说明：当 n 的取值无限增大时，面积 An 无限接近 一个确定的常数 S. ——数列的极限
再如数列
(
1) n
n
1
：
当n时, (1)n1
只
要1 4n
,
n 1 ,
4
取N
1
4
,
当nN时,有3n1 2n 1
3 2
.
由极限的定义知
l
i
m3n1
3 .
n2n1 2
例3 证明ln i m21n 0.
证明
an a
1 2n
0
1 2n
,
对 0(设 1),
要使1 2n
0
, 即
1 2n
,
取 对 数 n得 ln,
ln2
取N
ln
ln2
,
当nN时,有21n
则有 xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立. 例如 (1 )n1
定理3(收敛数列的保号性)
若
lim
n
an
a ,且a
在上例中，
1
lim
n
2n
0,
(1)n1
lim
0,
n n
n lim 1. n n1
而 ( 1 ) n 1随 n 的 着 不 ,在 1 和 1 之 断,根间 增 据
极限(的 1 )n 1定 不义 存.， 在极限
问题：在极限,ln的 i m an 定 a表 义 示 n 中 当 时 ,