四年级下册数学讲义-奥数讲练：格点与面积(无答案)全国通用
四年级数学专题讲义第十讲 格点与面积
第十一讲格点与面积同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！一、正方形格点问题：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.例1、判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形。
例2、如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.法一：第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位)；第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位)；第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位)；第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3＋6)×4÷2=18(面积单位).注：如果两格点之间的距离是2，你能利用刚计算的结果说出相应面积么？分析：面积数值均扩大4倍。
法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成平置的长方形来求。
(完整word版)小学奥数模块教程四年级杯赛备战讲义——巧求面积
上课日期： 上课时间： 教师姓名：知识点一：格点面积 一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．二、 三角形格点问题1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．知识点二：图形剪拼巧求面积知识框架毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．（1）把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．（2）反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．（3）将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．（1）如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．（2）图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．（3）如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．（4）如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．一、解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。
【讲义】四年级下第04讲_格点图形面积计算
第四讲格点图形面积计算在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点．例题1图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”．分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质．接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积．例题2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！我们发现：如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．练习2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米？要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可．当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，千万不能在数完后再乘单位面积！对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法．例如，我们要计算如下图的格点多边形的面积（假设最小的正方形面积是1）．我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手．围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个． 一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按公式计算：122116÷+-=，我们就得出图中阴影部分的面积了．例题3 如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习3如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？例题4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题5如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？例题6（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割．如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：（1）注意是正方形格点还是三角形格点；（2）按照顺序来数边界格点和内部格点；（3）用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数．看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．课堂内外几何的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作为生．可是尼罗河每隔一段时间会泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，冲毁农田的边界．所以，每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界限．埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：1块长方形农田2块大小相同的三角形农田1块梯形农田3块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割．原来古埃及人是研究几何图形的先锋呢！作业1. 如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是________、________．2. 下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是________、________．3. 如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米．4. 右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是________．5. 下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是_________．。
四年级下册数学试题-思维训练专题：格点面积(解析版)全国通用
在由小正方形组成的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点。
以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形（如下图a所示）。
(a)格点多边形的面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系。
这两者之间是否存在精确的计算公式？通过它只计算格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面我们一起来探索一下。
下图中相邻两个点之间的距离是1，计算下列各个格点多边形的面积。
解：本题给的图形都是规则图形，前两个用它们的面积可直接求出面积，而后两个可用补图形的方法（如下图所示）求出面积。
（1）1025=⨯；（2）933=⨯；（3）923243=÷⨯-⨯；（4）723224224144=÷⨯-÷⨯-÷⨯-⨯。
下图中相邻两个点之间的距离是1，计算下列各个格点多边形的面积。
解：（1）1024224354=÷⨯-÷⨯-⨯；（2）1123424226164=÷⨯-÷⨯-÷⨯-⨯。
下图中相邻两个点之间的距离是1厘米，计算下面两个格点多边形的面积。
解：如下图所示用切割的方法进行计算得两图面积均为9平方厘米。
除此之外还有另两个共同点：（1）左右两图中边界上的格点数相等，都为8个；（2）它们所包含在图形内的格点数也相等，都为6个。
启发：是不是两个图形如果边界上的格点数相同，图形内所包含的格点数也相同，这两个图形的面积就一定相等呢？下图中相邻两个点之间的距离是1厘米，计算下面两个格点多边形的面积。
解：（1）8平方厘米；（2）8平方厘米；（3）9平方厘米；（3）9平方厘米。
发现：两个图形如果边界上的格点数相同，图形内所包含的格点数也相同，这两个图形的面积相等。
下图中相邻两个点之间的距离是1，计算下列各个格点多边形的面积，并统计每个图形边界上的格点数与图形内包含的格点数。
（a） (b) (c) (d) (e)小结：格点多边形面积＝。
(完整)四年级奥数-格点与面积
格点与面积
知识点介绍：
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形！本讲主要学习求格点多边形的面积问题。
计算面积一般有2种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。
皮克公式: 格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”.
例题1、判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴⑵
⑶⑷。
小学奥数讲义4年级-16- 格点面积 -难版
生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
正方形格点阵中多边形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）三角形格点阵中多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。
【例1】★判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵ ⑶典型例题知识梳理【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【例2】★计算下图中各图形的面积：【解析】先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
四年级下册数学试题-思维训练专题：格点面积(解析版)全国通用
在由小正方形组成的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点。
以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形（如下图a所示）。
(a)格点多边形的面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系。
这两者之间是否存在精确的计算公式？通过它只计算格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面我们一起来探索一下。
下图中相邻两个点之间的距离是1，计算下列各个格点多边形的面积。
解：本题给的图形都是规则图形，前两个用它们的面积可直接求出面积，而后两个可用补图形的方法（如下图所示）求出面积。
（1）1025=⨯；（2）933=⨯；（3）923243=÷⨯-⨯；（4）723224224144=÷⨯-÷⨯-÷⨯-⨯。
下图中相邻两个点之间的距离是1，计算下列各个格点多边形的面积。
解：（1）1024224354=÷⨯-÷⨯-⨯；（2）1123424226164=÷⨯-÷⨯-÷⨯-⨯。
下图中相邻两个点之间的距离是1厘米，计算下面两个格点多边形的面积。
解：如下图所示用切割的方法进行计算得两图面积均为9平方厘米。
除此之外还有另两个共同点：（1）左右两图中边界上的格点数相等，都为8个；（2）它们所包含在图形内的格点数也相等，都为6个。
启发：是不是两个图形如果边界上的格点数相同，图形内所包含的格点数也相同，这两个图形的面积就一定相等呢？下图中相邻两个点之间的距离是1厘米，计算下面两个格点多边形的面积。
解：（1）8平方厘米；（2）8平方厘米；（3）9平方厘米；（3）9平方厘米。
发现：两个图形如果边界上的格点数相同，图形内所包含的格点数也相同，这两个图形的面积相等。
下图中相邻两个点之间的距离是1，计算下列各个格点多边形的面积，并统计每个图形边界上的格点数与图形内包含的格点数。
（a）(b) (c) (d) (e)小结：格点多边形面积＝。
四年级奥数格点与面积
格点与面积
知识点介绍：
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形！本讲主要学习求格点多边形的面积问题。
计算面积一般有2种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。
皮克公式: 格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”.
例题1、判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴⑵
⑶
练习下图中喇叭、小猫、小狗是格点多边形吗？
例题2、求下面各图形的面积。
练习
如图，计算各个格点多边形的面积．
例题3、下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。
练习
下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
例题4、你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？
练习
1、(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
2、如图，44 的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．
F E D
C
B A
1cm 1cm
课后训练
1.如图，计算各个格点多边形的面积．
2.求下列各个格点多边形的面积．
3、“乡村小屋”的面积是多少？
⑵
⑴⑷
⑶
4、如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？。
四年级奥数巧箱格点与面积
巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。
巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。
做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。
【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。
图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。
图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。
填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。
（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。
■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。
我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。
如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。
做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。
心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。
问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。
四年级下册数学讲义-思维训练：格点与面积-通用版（解析版）
第二讲格点与面积1、会用“割补”、“扩展”的方法和格点面积公式求格点多边形的面积；2、区分三角形格点多边形和正方形格点多边形，灵活计算；3、培养学员对数与形联系的认识。
毕克定理：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的。
每一个小方格都是一个小正方形。
若N表示内部的格点数，L表示边界上的格点数，则它的面积：S=N+L÷2-1。
三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形。
规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
若N表示内部的格点数，L表示边界上的格点数，则它的面积：S=2×N+L-2。
30分钟讲演者：得分：如下图，计算下列各个格点多边形的面积。
【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。
解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）；第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）；第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）；第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）。
讲演者：得分：图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积是__________平方厘米。
【解析】据正方形拼组的特点可以得出，周边上四个三角形可以拼成两个和中间的正方形一样大小的正方形，所以这个阴影部分的面积就是3个中间正方形的面积之和，即：4×4×3=48（平方厘米）。
小学奥数 格点型面积
模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】判断【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑶⑵⑴⑹⑸⑷【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲4-2-7.格点型面积【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【例 4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【例 5】分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【巩固】求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 6】“乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 7】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFEDCBA【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【例 9】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】4星【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【例 10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【关键词】保良局亚洲区城市小学数学竞赛【例 11】55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【例 12】两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【考点】格点型面积 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】从小爱数学【例 13】 将边长为正整数n 的正方形平均分成2n 个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。
四年级奥数讲义：格点与面积
四年级奥数讲义：格点与面积在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。
例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
典型例题例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。
它们的面积分别是多少？· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·（1） （2） （3） （4）分析 题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。
4年级奥数培优讲义-16- 格点面积 -难版
精品资料之奥数培优讲义适用：华杯、希望、年级：四年级科目：小学奥数内容：奥数培优教程（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
正方形格点阵中多边形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）三角形格点阵中多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。
【例1】★判断下列图形哪些是格点多边形？典型例题知识梳理【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【例2】★计算下图中各图形的面积：【解析】先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
奥数——格点与面积
格点与面积
例1 下图是一个格点图。
图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出它们的面积各是多少？（每个小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？
例3 下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
例4、求下列图形的面积。
例5、如图，每个小正方形的面积都是1平方厘米。
则在此图中最多可以画出多少个面积是2平方厘米的格点正方形？
课堂练习
1、求下面各图形的面积。
2、求下图中各图形的面积。
3、求下图中各图形的面积。
4、下面是一个5*5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）。
5、图中每个小正方形的边长都是1厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形多少个？
课后作业
1、计算所给图形的面积。
2、求出下面格点图形的面积。
3、在下面5*10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积是1）。
4、下图是由8个边长为1厘米的正方形所组成的一个图形，共有15个格点。
请以15个格点中的3个为顶点作一个面积为3.5平方厘米的三角形。
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第六讲 格点与面积
在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。
例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
典型例题
例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。
它们的面积分别是多少？
· · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
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· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
（1） （2） （3） （4）
分析 题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面
积可以运用公式求得。
而要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高。
解 图（1）是正方形，边长是2，它的面积是2×2=4。
图（2）是长方形，长是4，宽是2，它的面积是4×2=8。
图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角
F C B E D
A
三角形到右边，使得平行四边形变成一个长方形，所求的面积是3×2=6。
图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形。
三角形ABC 的面积是长方形AFBC面积的一半，三角形ACD的面积是长方形ACDE面积的一半，所以三角形ABD的面积是
（3×2）÷2
=6÷2
=3
例[2] 求下图中各图的面积。
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（1）
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（2）
分析我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的图形来计算。
由上图可以看出，图（1）可以分成两块：一块是长方形，另一块是一个三角形。
可以利用例[1]所介绍的方法来计算这个
三角形的面积。
或者将这个图形转化成一个大的长方形，如图（2）。
所求的图形面积就等于大长方形面积的一半。
解法一 如图（1），左边长方形的面积是4×3=12，右边三角形的面积是（4×3）÷2=6，整个图形的面积是12＋6=18。
解法二 如图（2），大长方形的面积是（8＋4）×3=36，所求图形的面积是：36÷2=18。
例[3] 求下列左图的面积。
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· · · · · · · · · · · · 分析 和例[2]的思考方法一样，先要将所给图形切分成
我们已经学会计算面积的图形，这样就可以计算出所给图形的面积。
解 将图形ABCD 分成三角形ABD 和三角形BCD （上右图），又三角形ABD 的面积等于长方形BDFE 的面积的一半，所以三角形ABD 的面积为（4×3）÷2=6，则图形ABCD 的面积为6×2=12。
例[4] 求下图中图形的面积。
A F E D
C B
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 分析 看到这样不规则的图形，我们首先想到的是将它
分割成几个我们学习过的基本图形。
这样，上图可以分割成一个三角形、一个正方形和一个长方形，可以别计算它们的面积。
解 图中三角形ABK 的面积是（2×3）÷2=3，正方形BCHK 的面积是2×2=4，长方形DEFG 的面积是4×1=4，则所求组合图形的面积是3＋4＋4=11。
小结 在行间距都相等的格点图中，可以连结若干
个小正方形面积单位，利用这些面积单位可以计算出很多图形的面积。
如果是一个规则图形，可以运用公式直接计算面积。
当所给图形是一个组合图形或不规则的图形时，需要开动脑筋，将它分割成我们熟悉的基本图形。
在计算每一个部分面积时，要充分利用格点图的特点，准确地找出所需数据。
C A B E
F G H K D。