补码一位乘法之较正法的公式推导
补码一位乘法校正法
补码一位乘法校正法补码一位乘法校正法是一种用于检测和纠正乘法器误差的方法。
在数字电路中，乘法器是一种非常重要的组件，负责执行数字信号的乘法运算。
然而，由于硬件设计和制造的不完美，乘法器可能会产生误差，导致输出结果不准确。
补码一位乘法校正法就是一种常用的解决方案。
在理解补码一位乘法校正法之前，我们首先需要了解补码的概念。
补码是一种用于表示有符号整数的编码方式。
在计算机中，负数一般使用补码表示，这样可以简化运算。
补码的计算方法是将原码的符号位保持不变，其余位按位取反后加1。
例如，-5的原码为10000101，补码为11111011。
补码一位乘法校正法的基本思想是将乘法器的输出结果与真实的乘法结果进行比较，并根据比较结果来调整乘法器的输出。
具体步骤如下：1. 乘法器的输入为两个n位的补码数字，输出为一个2n位的补码数字。
2. 将乘法器的输出结果与真实的乘法结果进行比较。
如果两者相等，则乘法器的输出是正确的；如果不相等，则说明乘法器存在误差。
3. 根据乘法器输出的最高位进行判断。
如果最高位为1，说明乘法器的输出是负数，需要对乘法器的输出进行补码取反操作；如果最高位为0，则不需要进行操作。
4. 将乘法器的输出与校正后的结果进行比较。
如果两者相等，则乘法器的输出是正确的；如果不相等，则说明乘法器的误差无法通过补码一位乘法校正法进行修复。
补码一位乘法校正法的原理是通过对乘法器输出结果的最高位进行判断，来确定是否需要对乘法器的输出进行补码取反操作。
通过这种方法，可以有效地检测和纠正乘法器误差，提高乘法器的准确性和可靠性。
然而，补码一位乘法校正法只能处理一位乘法误差，对于多位乘法误差无法进行有效的修复。
在实际应用中，补码一位乘法校正法通常与其他纠错技术结合使用，以进一步提高乘法器的准确性。
例如，可以将补码一位乘法校正法与冗余校验码相结合，通过对乘法器输出结果进行校验和校正，来实现更可靠的乘法运算。
总结起来，补码一位乘法校正法是一种用于检测和纠正乘法器误差的方法。
二进制补码一位乘法规律的推导
二进制补码一位乘法规律的推导作者：孙启良来源：《电脑知识与技术》2009年第25期摘要:计算机采用补码运算,速度快效率高,但其递推公式推导复杂。
补码乘法也是《计算机组成原理》课程的难点。
文章从补码与真值的关系出发,首先推导出补码的右移公式,最终给出了二进制补码一位乘法规则的较全面的推导过程。
关键词:机器数;真值;补码;补码阵列乘法器中图分类号:TP332文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)25-7278-03A Detailed Derivation of the Rules about Two's Complement MultiplicationSUN Qi-liang(University of Ji'nan, Ji'nan 250022, China)Abstract: The computer using two's complement is faster and more efficient,but the derivation of the rules about two's complement multiplication is Complex.Two's complement multiplication is also a difficulty of the course "Principles of Computer Organization".This article starts from the relations of two's complement and the true value.First,it deduces a formula about the shifting to right of two's complement.Finally,it gives the detailed rules about two's complement multiplication.Key words: machine number; true value; two's complement; two's complement array multiplier在计算机中表示的带符号的二进制数称为“机器数”。
原码补码乘除法
原码一位乘运算
例如： X = 0.1101
[X]原= 0.1101 X* = 0.1101
Y = - 0.1011
[Y]原 = 1.1011 Y* = 0.1011
0. 1 1 0 1 × 0. 1 0 1 1
1101 1101 0000 + 1101 0.10001111 手工运算过程
原码一位乘运算
返回
以定点小数为例
例如： X = 0.1101 Y = - 0.1011
X × Y = - 0.10001111
0. 1 1 0 1 × 0. 1 0 1 1 0. 0 0 0 0 1 1 0 1
机器实现问题： 1. 加法器只有两个数据输入端； 2. 加法器与运算数据位数相同。
0. 0 0 0 1 1 0 1 0. 0 0 0 0 0 0 +0. 0 1 1 0 1 0.10001111
０. ００００ 累加器初值取零值 + ０. １１０１
０. １１０１ 初值０加被乘数 ０. ０１１０１ 部分积右移，
将移出的一位保存起来 求第一次部分积
原码一位乘运算
返回
X* = 0.1101
Y* = 0.1011
0. 1 1 0 1 × 0. 1 0 1 1
1101 1101 0000 + 1101 0.10001111
部分积 0. 0 0 0 0 + 0. 1 1 0 1 0. 1 1 0 1 0. 0 1 1 0 + 0. 1 1 0 1 1. 0 0 1 1 0. 1 0 0 1 0. 0 1 0 0 + 0. 1 1 0 1 1. 0 0 0 1 0. 1 0 0 0
《补码一位乘法》课件
01
02
03
数字滤波器设计
在数字信号处理中，补码 一位乘法可以用于设计数 字滤波器，实现信号的滤 波和频谱分析。
频域分析
通过补码一位乘法，可以 对信号进行快速傅里叶变 换（FFT），实现信号的 频域分析。
调制解调
在通信系统中，补码一位 乘法可以用于调制解调过 程，实现信号的调制和解 调。
在其他领域的应用
。
最后得到的和即为乘积，再根据需要转 换为十进制或其他进制形式。
补码一位乘法的应用场景
补码一位乘法在计算机科学和电子工 程领域有广泛的应用。
在软件中，补码一位乘法用于各种算 法和数据处理中，如科学计算、图像 处理、音频处理等。
在计算机硬件中，补码一位乘法用于 实现高效的乘法运算，特别是在二进 制数的算术逻辑单元（ALU）中。
控制系统
在控制系统中，补码一位 乘法可以用于实现控制算 法，如PID控制器等。
图像处理
在图像处理中，补码一位 乘法可以用于实现图像的 缩放、旋转等几何变换。
数值分析
在数值分析中，补码一位 乘法可以用于实现各种数 学运算，如矩阵乘法、多 项式求值等。
THANKS
感谢观看
02
CATALOGUE
补码一位乘法运算过程
符号位参与运算
符号位参与乘法运算
在补码一位乘法中，符号位也参与运算，正数的符号位为0，负数的符号位为1 。
正负符号位运算规则
正数与正数相乘，符号位为0；正数与负数相乘，符号位为1；负数与负数相乘 ，符号位为0。
乘数与被乘数相乘
相乘过程
将乘数和被乘数的每一位相乘， 得到相应的积，并将积的符号位 与原符号位相同。
补码一位乘法与原码一位乘法的优缺点比较
定点补码一位乘的运算方法
定点补码一位乘的运算方法定点补码一位乘的运算方法:按乘数为正、负两种情况讨论:1.被乘数[x]补符号任意,乘数[y]补为正设[x]补=x0.x1x2…x n[y]补=y0.y1y2…y n根据补码定义可推得: [x]补=2+x=2n+1+x (MOD2)[y]补=y=0.y1y2...y n其中x,y为真值.故: [x]补[y]补=(2n+1+x)*y=2n+1+xy=21*2n(0.y1y2...y n)+xy=2(y1y2...y n)+xy注意0.y1y2...y n被2n乘已成为正整数.根据模的运算性质有:2(y1y2...y n)=2 (mod 2)所以 [x]p*[y]p=2+x*y=[x*y]补(mod 2)即 [x*y]p=[x]p*[y]p=[x]p*y(因为y s=0为正) =[x]p* (0.y1y2...y n) (1) 当乘数y>0,不管x的符号如何,将[x]p*y=[x*y]p2.被乘数[x]p符号任意,乘数y为负[x]补=x0.x1x2…x n[y]补=1.y1y2…y n =2+y (mod 2)该项得: y=[y]补-2=1.y1y2…y n -2=1+0.y1y2...y n-2=0.y1y2...y n-1 所以 x*y=x*(0.y1y2...y n-1)=x*(0.y1y2...y n)-x将上式两边取补所以有: [x*y]p=[x(0.y1y2...y n)-x]p=[x(0.y1y2...y n)]p-[x]p=[ x(0.y1y2...y n)]p+ [-x]p因为 (0.y1y2...y n)>0 正数的补码 = 本身所以 [x(0.y1y2...y n)]p= [x]p*(0.y1y2...y n)所以 [x*y]p= [x]p*(0.y1y2...y n) -[x]p (2)将(1)和(2)综合起来:得统一的算式[x*y]p= [x]p*(0.y1y2...y n) -[x]p*y0 (3)=[x]p*(-y0+0.y1y2...y n)分析:右边第二项[x]p*y0当y为正 y0=0 该项不存在 (1)y为负 y0=1 该项为[x]p (2)将(3)式展开,推出逻辑实现分步算法:获得各项部分积的累加形式.[x*y]p= [x]p*(0.y1y2...y n) -[x]p*y0= [x]p*(2-1y1+2-2y2+…+2-n y n) -[x]p*y0=[x]p*[-y0+ (y1-2-1y1)+( y22-1-2-2y2)+…+(2-(n-1)y n-2-n y n) =[x]p*[(y1-y0)+(y2-y1)2-1+…+(y n-y n-1)2-(n-1)+(y n+1-y n) 2-n] 说明:(1) 0.y1y2...y n可写成2-1y1+2-2y2+…+2-n y n(2)提公因式[x]p将 -y0 提前(3)去括号重新组合(4) y1-2-1y1=(20-2-1)y1=(1-1/2) y1=0.5yy22-1-y22-2=(2-1-2-2)*y2=2-2y2[x*y]补= [x]补*(0.y1y2...y n) -[x]补*y0= [x]补*(2-1y1+2-2y2+…+2-n y n) -[x]补*y0=[x]补*[-y0+ (y1-2-1y1)+( y22-1-2-2y2)+…+(2-(n-1)y n-2-n y n)=[x]补*[(y1-y0)+(y2-y1)2-1+…+(y n-y n-1)2-(n-1)+(y n+1-y n) 2-n]将[x]p乘进去,然后从第2项开始,每次提2-1=(y1-y0)[x]p+(y2-y1)2-1[x]p+…+(y n+1-y n)2-n[x]p=(y1-y0)[x]p+2-1[(y2-y1)[x]p+(y3-y2)2-1[x]p+(y4-y3) 2-2[x]p…+(y n+1-y n) 2-(n-1) [x]p]1=(y1-y0)[x]p+2-1{(y2-y1)[x]p+2-1[(y3-y2)[x]p+(y4-y3)2-1[x]p…+(y n+1-y n) 2-(n-2)[x]p]2}1=(y1-y0)[x]p+2-1{(y2-y1)[x]p+2-1{(y3-y2)[x]p+2-1[(y4-y3)[x]p…+(y n+1-y n) 2-(n-3)[x]p]3}2}1…………………=(y1-y0)[x]p+2-1{(y2-y1)[x]p+2-1{(y3-y2)[x]p+2-1{(y4-y3)[x]p…+2-1 {(y n-y n-1)[x]p +2-1 [(y n+1-y n)[x]pn]n}n-1…}3}2}1说明:式中y n+1是增设的附加位,初始值位0.a i取决于相邻两位乘数的比较结果显然(4)式就是部分积累加的形式若定义[p0]补位初始部分积=0. [p1]补……[p n]补依次位各步求得的累加并右移后的部分积.将(4)改写:更接近于分步运算逻辑实现[x*y]p=[x]p*[(y1-y0)+(y2-y1)2-1+…+(y n-y n-1)2-(n-1)+(y n+1-y n) 2-n]将[x]p乘进去,然后再次提2-1=(y1-y0)[x]p+(y2-y1)2-1[x]p+…+(y n+1-y n)2-n[x]p=(y1-y0)[x]p+2-1[(y2-y1)[x]p+(y3-y2)2-1[x]p+(y4-y3) 2-2[x]p…+(y n+1-y n) 2-(n-1) [x]p]1=(y1-y0)[x]p+2-1{(y2-y1)[x]p+2-1[(y3-y2)[x]p+(y4-y3)2-1[x]p…+(y n+1-y n) 2-(n-2)[x]p]2}1=(y1-y0)[x]p+2-1{(y2-y1)[x]p+2-1{(y3-y2)[x]p+2-1[(y4-y3)[x]p…+(y n+1-y n) 2-(n-3)[x]p]3}2}1…………………=(y1-y0)[x]p+2-1{(y2-y1)[x]p+2-1{(y3-y2)[x]p+2-1{(y4-y3)[x]p…+2-1 {(y n-y n-1)[x]p +2-1 [(y n+1-y n)[x]pn]n}n-1…}3}2}1y>0 [x*y]p= [x]p*(0.y1y2...y n) (1)y<0 [x*y]p= [x]p*(0.y1y2...y n) -[x]p (2)统一算式: [x*y]p= [x]p*(0.y1y2...y n) -[x]p*y0 (3)=[x]p*(-y0+0.y1y2...y n)化简: =[x]p*[(y1-y0)+(y2-y1)2-1+…+(y n-y n-1)2-(n-1)+(y n+1-y n) 2-n] (4)将[x]p乘进去从第二项开始,每次提2-1 ==(y1-y0)[x]p+2-1[(y2-y1)[x]p+(y3-y2)2-1[x]p+(y4-y3)2-2[x]p…+(y n+1-y n) 2-(n-1) [x]p]1……………………=(y1-y0)[x]p+2-1{(y2-y1)[x]p+2-1{(y3-y2)[x]p+2-1{(y4-y3)[x]p…+2-1{(y n-y n-1)[x]p +2-1 [(y n+1-y n)[x]pn]n}n-1…}3}2}1=(y1-y0)[x]p+2-1{(y2-y1)[x]p+2-1{(y3-y2)[x]p+2-1{(y4-y3)[x]p…+2-1{(y n+1-y n)[x]p +[[P0]补]n}n-1…}3}2}1[P1]补写成递推公式:[P0]补=0[P1]补=2-1{(y n+1-y n)[x]p +[[P0]补]n} 令y n+1=0[P2]补=2-1{(y n-y n-1)[x]p +[[P1]补]n}………………[P i]补=2-1{(y n-i+2-y n-i+1)[x]p +[[P i-1]补]n}………………[P n]补=2-1{(y2-y1)[x]p +[[P n-1]补]n}所以: [ x*y]补=[[P n+1]补]= (y1-y0)[x]p+[P n]补<4> 注意:(1)y0 是乘数y的符号位.y n+1是人为附加位 =0.使式子规范整齐.(2)开始运算时p0=0 , y n+1=0部分积※新部分积获得的方法:1、乘数相邻的两位求差。
定点补码一位乘法的实现算法 用[x]补×[y]补直接求[x×y]补
![定点补码一位乘法的实现算法 用[x]补×[y]补直接求[x×y]补](https://img.taocdn.com/s3/m/941c3a6daf1ffc4ffe47ac2f.png)
定点补码一位乘法的实现算法
用此法计算乘积，需要乘数寄存器的最低一位之后再补充一位 Yn+1，并使其初值为0，再增加对Yn和Yn+1两位进行译码的线路， 以区分出Yn+1－Yn 4种不同的差值。对N位的数（不含符号位） 相乘，要计算N+1次部分积，并且不对最后一次部分积执行右移 操作。此时的加法器最好采用双符号位方案。
定点补码一位除法的实现算法
运算规则如下： （1）如果被除数与除数同号，开始求商时，用被除数减去除数， 若二数异号，则用被除数加上除数的办法处理。 （2）若余数与除数同号，上商1，左移一位后下次用余数减除数操 作求商，若余数与除数异号，上商0，左移一位后下次用余数加除 数操作求商。 （3）商的符号，是在第一次求商试算时求出的，若定点除不溢出， 得到的就是正确的符号位的值。 （4）商的修正问题。在对精度要求不高时，将商的最低一位恒置1。 最大误差为|2-n|。 若对商的精度要求较高，可对N位数求商N+1次，按得到的不同结 果对商进行修正。当商为负数时，要在商的最低一位加1，从反码 的结果得到商的正确的补码值。
定点双位乘法的实现方案
阵列乘法器 跳0 跳1法 （1）如果R≥0，且R的高K个数位均为0，则本次直接得商1后 跟K-1个0，R左移K位后，减出除数D，得新余数。 （2）如果R＜0，且R的高K个数位均为1，则本次直接得商0 后跟K-1个1，R左移K位后，加上除数D，得新余数。 用快速乘法器实现快速除法运算
定点补码一位乘法的实现算法
用[X]补×[Y]补直接求[X×Y]补 讨论当相乘的两个数中有一个或二个为负数的情况 在讨论补码乘法运算时，对被乘数或部分积的处理上与原码乘 法有某些类似，差别仅表现在被乘数和部分积的符号位要和数 值一起参加运算。 若[Y]补=Y0Y1Y2…Yn 当Y0为1时，则有
定点补码一位乘法的实现算法 用[x]补×[y]补直接求[x×y]补
原码一位除法的实现算法
计算机中常用原码的加减交替法完成除法运算，商的符号为相除二数符号 的异或值，数值则为二数的绝对值之商。 除法的算法有恢复余数法和不恢复余数法（加减交替法）二种。 原码一位除法实现方案小结： （1）对定点小数除法，首先要比较除数和被除数的绝对值的大小，防止出 现数值溢出的错误。 （2）商的符号为相除二数的半加和。 （3）在计算机中用加减交替法实现除法时，被除数的位数可以是除数的2 倍，其低位的数值部分，开始时放在用于保存商的寄存器中。运算过程中， 放被除数和商的寄存器同时左移位。 （4）在计算机中，求差和移位是在同一操作步骤中完成的，而不是用两个 步骤完成。
定点补码一位乘法的实现算法
用[X]补×[Y]补直接求[X×Y]补 讨论当相乘的两个数中有一个或二个为负数的情况 在讨论补码乘法运算时，对被乘数或部分积的处理上与原码乘 法有某些类似，差别仅表现在被乘数和部分积的符号位要和数 值一起参加运算。 若[Y]补=Y0Y1Y2…Yn 当Y0为1时，则有
n
Y=－1＋ ∑ Yi×2-i 故有 X×Y=X× ∑ Yi×2-1－X
n
X×Y=X×（－1＋
∑ Yi×2i）
i =1
（逐项展开则得）
=X×[－Y0＋Y1×2-1＋Y2×2-2＋…＋Yn×2-n] =X×[－Y0＋(Y1－Y1×2-1)＋(Y2×2-1－Y2×2-2)＋…＋(Yn×2-(n1)－Y ×2-n)] n （合并相同幂次项得）
定点补码一位乘法的实现算法
=X×[(Y1－Y0)＋(Y2－Y1) ×2-1＋…＋(Yn－Yn-1) ×2-(n-1)＋(0 －Yn) ×2-n]
定点补码一位除法的实现算法
运算规则如下： （1）如果被除数与除数同号，开始求商时，用被除数减去除数， 若二数异号，则用被除数加上除数的办法处理。 （2）若余数与除数同号，上商1，左移一位后下次用余数减除数操 作求商，若余数与除数异号，上商0，左移一位后下次用余数加除 数操作求商。 （3）商的符号，是在第一次求商试算时求出的，若定点除不溢出， 得到的就是正确的符号位的值。 （4）商的修正问题。在对精度要求不高时，将商的最低一位恒置1。 最大误差为|2-n|。 若对商的精度要求较高，可对N位数求商N+1次，按得到的不同结 果对商进行修正。当商为负数时，要在商的最低一位加1，从反码 的结果得到商的正确的补码值。
定点补码一位乘法的实现算法用x补y补直接求xy补
定点补码一位除法的实现算法
运算规则如下：
（1）如果被除数与除数同号，开始求商时，用被除数减去除数， 若二数异号，则用被除数加上除数的办法处理。
（2）若余数与除数同号，上商1，左移一位后下次用余数减除数操 作求商，若余数与除数异号，上商0，左移一位后下次用余数加除 数操作求商。
（3）商的符号，是在第一次求商试算时求出的，若定点除不溢出， 得到的就是正确的符号位的值。
（4）商的修正问题。在对精度要求不高时，将商的最低一位恒置1。 最大误差为|2-n|。
若对商的精度要求较高，可对N位数求商N+1次，按得到的不同结 果对商进行修正。当商为负数时，要在商的最低一位加1，从反码 的结果得到商的正确的补码值。
定点双位乘法的实现方案
阵列乘法器 跳0 跳1法 （1）如果R≥0，且R的高K个数位均为0，则本次直接得商1后 跟K-1个0，R左移K位后，减出除数D，得新余数。 （2）如果R＜0，且R的高K个数位均为1，则本次直接得商0 后跟K-1个1，R左移K位后，加上除数D，得新余数。 用快速乘法器实现快速除法运算
故有 X×Y=X× Yi×2-1－X i 1
当Y为负值时，用补码乘计算[X×Y]补，是用[X]补乘上[Y]补的数 值位，而不理[Y]补符号位上的1，乘完之后，在所得的乘积中再 减X，即加－ [X]补。
定点补码一位乘法的实现算法
实现补码乘法的另一个方案是比较法，是由BOOTH最早提出 的，这一方法的出发点是避免区分乘数符号的正负，而且让乘 数符号位也参加运算。技巧上表现在分解乘数的每一位上的1 为高一位的一个+1和本位上的一个-1：
定点补码一位乘法的实现算法
Pn=[2-1(Pn-1＋(Y2－Y1) ×X)]补 Pn+1=[ (Pn＋(Y1－Y0) ×X)]补 则最终补码乘积为[X*Y]补=[Pn+1]补 由上述公式可以看出，比较法是用乘数中每相邻的两位判断 如何求得每次的相加数。 每两位Yi和Yi+1的取值有00，01，10，11四种组合，则它们的 差值分别为0，1，-1和0，非最后一次的部分积，分别为上一 次 部 分 积 的 1/2 （ 右 移 一 位 ） 的 值 Rj ， Rj ＋ [X] 补 ， Rj － [X] 补 （即Rj＋[－X]补）和Rj，但一定要注意：最后一次求出的部 分积即为最终乘积，不执行右移操作。
[计算机组成原理]Booth算法——补码一位乘法
![[计算机组成原理]Booth算法——补码一位乘法](https://img.taocdn.com/s3/m/f3268d43e418964bcf84b9d528ea81c758f52e82.png)
[计算机组成原理]Booth算法——补码⼀位乘法x * y = z运算规则：1.和原码⼀位乘法不同，补码⼀位乘法的符号位是参加运算的，且运算结果和所有参加运算的数都是补码形式。
2.乘数 x 取双符号位参与运算，部分积的初始值为0；乘数 y 取单符号位参与运算。
3.乘数 y ⾸先在末尾添加⼀个辅助位 0 ，每次讨论都是取 y 的最后两位，但每次移动仅移动⼀位。
4.判断 y 的最后两位是规则如下：00 或者 11 时，直接右移⼀位；01时，先加 x的补，然后右移⼀位；10时，先加 -x的补，然后右移⼀位。
5.有个特例，最后⼀步不⽤右移了。
举个栗⼦：设 x = -0.1101 , y = 0.1011则 [x]补 = 11.0011 ，[-x]补 = 00.1101⼀开始部分积初始值：00.0000先给y补⼀个辅助位0，得到 y = 0.10110⾸先，从y的最后两位开始看，0.10110 ，为 10 ，对应规则 “先加[-x]补，再右移⼀位” ：部分积 00.0000 + 00.1101 = 00.1101 ，右移⼀位得到 00.01101接着，y 右移⼀位再看，0.10110，为 11 ，对应规则“直接右移⼀位”：部分积 00.001101然后，y再右移⼀位再看，0.10110 ，为 01 ，对应规则“先加[x]补，再右移⼀位”：00.001101 部分积+ 11.0011 [x]补--------------------= 11.011001 部分积部分积 00.001101 + 11.0011 = 11.011001 ，右移⼀位得到11.1011001 （注意这⾥符号位移动后，仍然保持为 11）接着，y再右移⼀位再看，0.10110 ，为 10 ，对应规则“先加[-x]补，再右移⼀位”：部分积 11.1011001 + 00.1101 = 00.1000001 ，右移⼀位得到 00.01000001最后，y再右移⼀位再看，0.10110 ，为 01 ，对应规则“先加[x]补，再右移⼀位”：部分积 00.01000001 + 11.0011 = 11.01110001 ，但这已经是最后⼀步，不⽤再右移了，所以最后结果是 1.01110001 （注意：这是x*y的补码）。
定点补码一位乘的运算方法
定点补码一位乘的运算方法
定点补码是一种表示有符号整数的方法，其中最高位为符号位，表示
正负。
一位乘是指使用一位数与多位数进行乘法运算。
一位乘的运算方法可以通过以下步骤进行：
1.将乘数和被乘数转换为定点补码表示。
如果乘数和被乘数是十进制数，首先用二进制表示，然后将其转换为定点补码。
对于正数，最高位为0；对于负数，最高位为1，其余位取反加1
2.确定乘法操作中的最高位。
根据定点补码表示，最高位是符号位。
将乘数和被乘数的符号位相乘，得到结果的符号位。
3.将乘数的符号位扩展到与被乘数的位数相同，并将结果的符号位放
在最高位。
4.对每一位进行乘法运算。
对于每一位，将乘数与被乘数的对应位相乘，得到一个部分乘积。
5.将所有部分乘积相加，得到最终结果。
对于每一位，将所有部分乘
积相加，得到该位的结果。
如果有进位，要将进位加到下一位的运算结果中。
需要注意的是，一位乘的运算方法是逐位运算的，所以需要对每一位
进行乘法运算，然后将结果相加。
在相加的过程中，需要考虑进位的情况。
此外，定点补码表示的补码运算方法也需要掌握，以正确进行符号位的计算。
以上是一位乘的运算方法的简要介绍，详细的运算步骤可以通过具体
的例子进行演示和说明。
计算机组成原理的公式
1、浮点数：尾数*2阶码步骤：①把十进制转化成二进制，写成如上形式②把尾数和阶码求补码（阶码还可以求移码）③写成浮点数的表示格式：⑴阶码+尾数（数符+尾数值）⑵数符+阶码+尾数值④注意规格化2补码①正数：补码=原码②负数：补码=除符号位，其他数全部取反，末位加12、[-x]补=[x]补包括符号位全部取反，末位加13、移码=补码的符号位取反4、补码一位乘法①y n=y n+1，只右移一位部分积②y n=0，加[x]补，再右移一位；y n=1，加[-x]，再右移一位。
补5、海明码：步骤①根据题目中收端的N=k+r≤2r—1（N为校验码位数）②按位置标出Pi和Bi③分别求出Pi的值④写入海明码数中。
纠错①计算Gi，得出的二进制数转化为十进制数，G1G2G3=000表示无错②等于几就是第几个数字错③将错的数字取反@表示异或㈠11位校验码中，P1=b1@b2@b4@b5@b7；P2=b1@b3@b4@b7；P3=b2@b3@b4；P4=b5@b6@b7㈡纠错中，G1=P1@b1@b2@b4@b5@b7；G2=P2@b1@b3@b4@b7；G3=P3@b2@b3@b4；G4=P4@b5@b6@b76、高速缓存的基本原理①CPU与cache之间的数据交换是以字为单位，而cache与主存之间的数据交换是以块为单位。
一个块由若干定长字组成的。
②当CPU读取主存中一个字时，便发出此字的内存地址到cache和主存。
此时cache控制逻辑依据地址判断此字当前是否在cache中：若是，此字立即传送给CPU；若非，则用主存读周期把此字从主存读出送到CPU，与此同时，把含有这个字的整个数据块从主存读出送到cache中。
步骤：①把十进制转化成二进制，写成如上形式②把尾数和阶码求补码（阶码还可以求移码）③写成浮点数的表示格式：⑴阶码+尾数（数符+尾数值）⑵数符+阶码+尾数值④注意规格化2补码①正数：补码=原码②负数：补码=除符号位，其他数全部取反，末位加16、[-x]补=[x]补包括符号位全部取反，末位加17、移码=补码的符号位取反8、补码一位乘法①y n=y n+1，只右移一位部分积②y n=0，加[x]补，再右移一位；y n=1，加[-x]，再右移一位。
二进制补码一位乘法规律的推导
二进制补码一位乘法规律的推导二进制是一种使用0和1的数学表示方式，它是计算机最基本的表示形式。
补码是一种特殊的二进制表示方式，用于计算机计算数值。
它使用一种叫做补码系统的数学算法，将正常的二进制系统表示的数值转换为补码表示的数值。
在补码表示中，所有负数值都是按照它们在二进制表示中的补码格式来表示的，而所有正数值都是按照它们在二进制表示中的原码格式来表示的。
补码系统有一些基本的乘法规律，这是本文的主要内容，也就是二进制补码一位乘法规律的推导。
二进制补码乘法规律的原理是：一位乘以一位，结果是最多一位，也就是说，一位乘以一位的结果可以为0或1，也可以为-1。
在补码表示中，负数值是按照补码方式来表示的，因此-1表示的就是1111，也就是说，一位乘以一位可以产生-1，具体可以用一个例子来说明这一点：5*3=15，它的二进制补码表示是1011*1101=11110001。
因此，对于二进制补码一位乘法规律的推导来说，有以下两点：（1）一位乘以一位，结果可以为0或1；（2）一位乘以一位，结果可以为-1。
当我们用一位乘以一位进行乘法计算时，必须要注意这两点。
另外，在二进制补码乘法规律中还有一个重要的概念，叫做“字宽”。
这是指一个乘法操作所使用的位数，例如4位表示采用4位，8位表示采用8位，16位表示采用16位，32位表示采用32位等等，也就是说，当我们计算一位乘以一位的结果时，我们也要注意“字宽”的概念。
二进制补码乘法的另一个重要概念是“溢出”检测。
乘法操作过程中，当结果的位数超过指定的字宽时，就会发生溢出，也就是说，结果会超出字宽的限制，这种情况就叫做“溢出”。
二进制补码乘法规律中，我们必须要注意“溢出”检测，及早发现“溢出”，避免产生错误的结果。
总结起来，二进制补码一位乘法规律的推导，包括：一位乘以一位，结果可以为0、1或-1；“字宽”的概念以及“溢出”检测。
在进行二进制补码的乘法计算时，我们要时刻牢记这些乘法规律，以确保得到正确的结果。
补码一位乘法校正法
补码一位乘法校正法补码一位乘法校正法是一种用于校正乘法器结果的方法，它在计算机算术运算中扮演着重要的角色。
本文将介绍补码一位乘法校正法的原理、应用以及在实际情况中的指导意义。
首先，我们需要理解补码的概念。
补码是一种用于表示有符号整数的编码方法，它通过将数值的最高位作为符号位来表示正负数。
在计算机中，补码被广泛应用于各种算术运算中，包括加法、减法和乘法等。
补码一位乘法校正法是一种用于修正乘法器产生的结果的方法。
在乘法运算中，乘法器通常会产生一个部分乘积，然后对这个部分乘积进行移位并相加得到最终的乘积。
然而，由于移位和相加的过程中，可能会产生溢出或者错误的结果。
补码一位乘法校正法通过比较乘法器产生的结果和预期的结果来检测错误，并对错误进行校正。
具体来说，该方法会对产生的乘积和预期的乘积进行异或运算，如果结果不为零，则表示产生了错误。
在这种情况下，需要对乘积进行修正，使其与预期结果一致。
使用补码一位乘法校正法的好处是它能够快速检测错误并进行修正，大大提高了乘法器的准确性和可靠性。
在实际应用中，乘法器是计算机中的核心组件之一，它广泛应用于各种场景，包括图形处理、信号处理和数据计算等。
因此，保证乘法器的正确性对于整个系统的正常运行至关重要。
此外，补码一位乘法校正法还对计算机体系结构的设计提供了指导意义。
通过了解补码一位乘法校正法的原理和应用，我们可以更好地理解计算机中的算术运算，并在设计和优化计算机体系结构时考虑到乘法器的校正机制。
综上所述，补码一位乘法校正法是一种用于修正乘法器结果的重要方法。
它不仅提高了乘法器的准确性和可靠性，在计算机体系结构的设计中也发挥着重要的指导作用。
计算机组成原理的公式
1、浮点数：尾数*2阶码步骤：①把十进制转化成二进制，写成如上形式②把尾数和阶码求补码（阶码还可以求移码）③写成浮点数的表示格式：⑴阶码+尾数（数符+尾数值）⑵数符+阶码+尾数值④注意规格化2补码①正数：补码=原码②负数：补码=除符号位，其他数全部取反，末位加12、[-x]补=[x]补包括符号位全部取反，末位加13、移码=补码的符号位取反4、补码一位乘法①y n=y n+1，只右移一位部分积②y n=0，加[x]补，再右移一位；y n=1，加[-x]，再右移一位。
补5、海明码：步骤①根据题目中收端的N=k+r≤2r—1（N为校验码位数）②按位置标出Pi和Bi③分别求出Pi的值④写入海明码数中。
纠错①计算Gi，得出的二进制数转化为十进制数，G1G2G3=000表示无错②等于几就是第几个数字错③将错的数字取反@表示异或㈠11位校验码中，P1=b1@b2@b4@b5@b7；P2=b1@b3@b4@b7；P3=b2@b3@b4；P4=b5@b6@b7㈡纠错中，G1=P1@b1@b2@b4@b5@b7；G2=P2@b1@b3@b4@b7；G3=P3@b2@b3@b4；G4=P4@b5@b6@b76、高速缓存的基本原理①CPU与cache之间的数据交换是以字为单位，而cache与主存之间的数据交换是以块为单位。
一个块由若干定长字组成的。
②当CPU读取主存中一个字时，便发出此字的内存地址到cache和主存。
此时cache控制逻辑依据地址判断此字当前是否在cache中：若是，此字立即传送给CPU；若非，则用主存读周期把此字从主存读出送到CPU，与此同时，把含有这个字的整个数据块从主存读出送到cache中。
1、浮点数：尾数*2阶码步骤：①把十进制转化成二进制，写成如上形式②把尾数和阶码求补码（阶码还可以求移码）③写成浮点数的表示格式：⑴阶码+尾数（数符+尾数值）⑵数符+阶码+尾数值④注意规格化2补码①正数：补码=原码②负数：补码=除符号位，其他数全部取反，末位加16、[-x]补=[x]补包括符号位全部取反，末位加17、移码=补码的符号位取反8、补码一位乘法①y n=y n+1，只右移一位部分积②y n=0，加[x]补，再右移一位；y n=1，加[-x]，再右移一位。
补码一位乘法之较正法的公式推导
补码一位乘法之较正法的公式推导在定点乘法运算中，补码乘法分为补码一位乘法和补码两位乘法。
而补码一位乘法又分为较正法和比较法（Booth算法）两种。
其中，较正法是比较法的基础。
因此，掌握较正法是学习补码一位乘法的关键。
下面，我们就对较正法进行深入分析。
一、较正法公式[XY]补= [X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n) + [-X]补*Y0其中，X、Y是两个定点数的真值，[Y]补=Y0.Y1,Y2, … ,Y n，Y0是符号位。
为了推导出此公式，我们分情况来进一步分析。
1、Y=0在这种情况下，[Y]补=Y=0.0,0, … ,0=0。
[XY]补=0=[X]补*(0.0,0, … ,0)+[-X]补*0=[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n)+[-X]补*Y02、X>=0, Y>0在这种情况下，[X]补=X，[Y]补=Y，且Y0=0。
不难看出，[XY]补=XY=[X]补*Y=[X]补*(Y0.Y1,Y2, … ,Y n)+[-X]补*0=[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n)+[-X]补*Y0到此为止，我们还有两种情况尚未讨论，一种情况是X<0, Y>0，一种情况是Y<0。
前一种情况是本文讨论的重点。
与很多教材上的推导方法不同，本文采用与原码一位乘法相对照来证明此种情况。
此方法用到的知识点有原码一位乘法和补码移位规则。
首先，我们先来回顾一下这两个知识点。
二、原码一位乘法原码一位乘法基本上是从手算法则演变过来的。
我们知道，两个数相乘的手算法则是“绝对值相乘；同号得正，异号得负”。
原码一位乘法也采用这种方法。
设[X]原=X s.X1,X2, … ,X n[Y]原=Y s.Y1,Y2, … ,Y n因为[X]原=X，[Y]原=Y，[XY]原=XY所以[XY]原=[X]原*[Y]原则P=|[XY]原|=|[X]原|*|[Y]原|符号位P s=X s⊕Y s下面，我们对P进一步分析。
补码一位乘比较法
补码一位乘比较法
补码一位乘法是一种特殊的乘法法则，用于计算二进制数的正确
结果。
当进行一位乘法计算时，有两个数字被乘以，会产生一个结果。
乘数由两个四位补码数字组成，而被乘数也由四位补码数字组成。
每一位的乘法都用最普通的乘法公式，即乘以另一个四位补码数
字的每一位。
然后再将每一位的乘积相加得出最终结果，如果最后结
果大于4位，则会发生溢出，需要舍去最高位。
补码一位乘法与常规乘法有一些不同，特别是当乘数为正数时，
补码一位乘法不需要考虑负数，而乘数为负数时，需要将负数转换为
其补码表示形式。
补码一位乘法被广泛应用于计算机程序。
因为补码拥有其表示范围，只需给定较小的范围，可以获得精确的结果。
另外，人们可以以
补码的方式编写代码，节省编程时间，并使程序更加可靠可靠。
补码一位乘法也有其优点，是一种更为简单、快捷、高效的计算
方法。
它不需要大量的计算空间，可以在更短的时间内完成计算。
在
一定程度上，补码一位乘法可以减少人们在计算过程中的出错率，节
省时间和费用。
总的来说，补码一位乘法是一种有效的计算方法，可以使计算结
果更加准确，它无论在编程效率上还是计算效率上都有着有效的优势。
二进制补码一位乘法规律的推导
二进制补码一位乘法规律的推导
孙启良
【期刊名称】《电脑知识与技术》
【年(卷),期】2009(005)025
【摘要】计算机采用补码运算,速度快效率高,但其递推公式推导复杂.补码乘法也是<计算机组成原理>课程的难点.文章从补码与真值的关系出发,首先推导出补码的右移公式,最终给出了二进制补码一位乘法规则的较全面的推导过程.
【总页数】3页(P7278-7280)
【作者】孙启良
【作者单位】济南大学,理学院,山东,济南,250022
【正文语种】中文
【中图分类】TP332
【相关文献】
1.二进制补码乘法及其FPGA实现 [J], 高立新
2.补码一位乘法递推公式的正确推导 [J], 胡同瑞;韩玉坤
3.谈《原码一位乘法与补码一位乘法规则比较》的教学 [J], 董健;
4.二进制补码阵列乘法器的设计 [J], 张文鹏
5.二进制补码一位乘法规律的推导 [J], 孙启良
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补码一位乘法的证明
x=-x0+ xi2-i i=1
所以
n
1/2x=-1/2x0+1/2 x2-i i=1
n
n
=-x0+1/2x0+1/2 xi2-i =-x0+1/2 xi 2-(i+1)
i=1
i=0
写成补码形式，即得
[1/2x]补=x0.x0x1x2… xn 如果要得 [2-ix]补，只要将[x]补连同符号右移i位即可.
实现这种补码乘法规则时，在乘数最末位yn后面要增加 一位补充位yn+1。开始时yn+1=0, 由 ynyn+1 判断第一 步该怎么操作；然后再由yn-1yn判断第二步该怎么操作。但 因为每作一步要右移一位，故作完第一步后，yn-1yn正好移 到原来ynyn+1的位置上。依此类推，所以每步都用 ynyn+1nyn+1=01，则yi+1 - yi=1，做加[x]补操作.如果 ynyn+1=10，则yi+1 – yi = -1,做减法,即做加[-x]补操作； 如果ynyn+1=11 或 00，则yi+1 – yi = 0，［zi］加0， 即保持不变.
=[x] 补(-y0+0.y1y2…yn)
n
=[x] 补•(-yo + Σ yi2-i) i=1
证毕.
为了推出串行逻辑实现的分步算法，将上式展开加以变换:
[x•y] 补=[x] 补•[ -y0+ y12-1+y22-2+…+yn2-n]
=[x] 补•[ -y0+(y1-y12-1)+(y22-1-y22-2)+…+(yn2-(n-1) - yn2-n)]
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在定点乘法运算中，补码乘法分为补码一位乘法和补码两位乘法。
而补码一位乘法又分为较正法和比较法（Booth算法）两种。
其中，较正法是比较法的基础。
因此，掌握较正法是学习补码一位乘法的关键。
下面，我们就对较正法进行深入分析。
一、较正法公式[XY]补= [X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n) + [-X]补*Y0其中，X、Y是两个定点数的真值，[Y]补=Y0.Y1,Y2, … ,Y n，Y0是符号位。
为了推导出此公式，我们分情况来进一步分析。
1、Y=0在这种情况下，[Y]补=Y=0.0,0, … ,0=0。
[XY]补=0=[X]补*(0.0,0, … ,0)+[-X]补*0=[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n)+[-X]补*Y02、X>=0, Y>0在这种情况下，[X]补=X，[Y]补=Y，且Y0=0。
不难看出，[XY]补=XY=[X]补*Y=[X]补*(Y0.Y1,Y2, … ,Y n)+[-X]补*0=[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n)+[-X]补*Y0到此为止，我们还有两种情况尚未讨论，一种情况是X<0, Y>0，一种情况是Y<0。
前一种情况是本文讨论的重点。
与很多教材上的推导方法不同，本文采用与原码一位乘法相对照来证明此种情况。
此方法用到的知识点有原码一位乘法和补码移位规则。
首先，我们先来回顾一下这两个知识点。
二、原码一位乘法原码一位乘法基本上是从手算法则演变过来的。
我们知道，两个数相乘的手算法则是“绝对值相乘；同号得正，异号得负”。
原码一位乘法也采用这种方法。
设[X]原=X s.X1,X2, … ,X n[Y]原=Y s.Y1,Y2, … ,Y n因为[X]原=X，[Y]原=Y，[XY]原=XY所以[XY]原=[X]原*[Y]原则P=|[XY]原|=|[X]原|*|[Y]原|符号位P s=X s⊕Y s下面，我们对P进一步分析。
设A=|[X]原|则P=|[X]原|*|[Y]原|=A*( 0.Y1,Y2, … ,Y n)=0.1{ Y1A+(0. Y2, … ,Y n)}=0.1{ Y1A +0.1{ Y2 A +(0.Y3, … , Y n)}}=0.1{ Y1A +0.1{ Y2 A + … +0.1{Y n (A+0)}…}}这样，我们就得到了原码一位乘法的公式：P=0.1{ Y1A +0.1{ Y2 A + … +0.1{Y n (A+0)}…}}P s=X s⊕Y s其中，P=|[XY]原|，P s为乘积的符号位，A=|[X]原|，[X]原=X s.X1,X2, … ,X n，[Y]原=Y s.Y1,Y2, … ,Y n，X s和Y s是符号位。
三、补码移位规则对于一个数的补码来说，左移一位相当于该数真值乘以2，右移一位相当于该数真值乘以1/2。
1、非负数补码移位规则：除符号位外剩余部分作相应移位后空位补0。
因为非负数补码与原码相同，所以其移位规则也相同，这很容易理解。
2、负数移位规则：除符号位外剩余部分作相应移位后，左移空位补0，右移补1。
因为补码一位乘法只涉及到补码右移，所以这里只给出负数补码右移规则证明。
证明如下：设[X]补＝X0.X1,X2, … ,X n因为[X]补＝2+X则X＝[X]补－2＝X0.X1,X2, … ,X n－2因为X为负数，所以X0＝1，则X＝－X0+0.X1,X2, … ,X n （注1）1/2X＝－1/2 X0+1/2（0.X1,X2, … ,X n）＝－X0+1/2 X0+1/2（0.X1,X2, … ,X n）＝－X0+1/2（X0.X1,X2, … ,X n）＝－X0+0.X0, X1,X2, … ,X n-1写成补码形式，即得[1/2X]补＝X0.X0, X1,X2, … ,X n-1即[1/2X]补＝0.1[X]补（0.1可以看成是右移一位操作）四、较正法公式（续）3、X<0, Y>0证法1：前面已经讲过，原码一位乘法的公式为P=0.1{ Y1A +0.1{ Y2 A + … +0.1{Y n (A+0)}…}}不难发现，这个式子里包含着一个递归操作，递归因子是R＝0.1{Y m (A+Z)}所以，我们只需证明下面这个式子即可：0.1{Y m ([B]补+[Z]补)}＝[ 0.1{Y m (B+Z)}]补证明如下：0.1{Y m ([B]补+[Z]补)}＝0.1{Y m ([B+Z]补)}＝0.1{[Y m (B+Z)]补} （Y m只有0、1这两种可能）＝[ 0.1{Y m (B+Z)}]补（补码右移一位）这里需要注意一点，如果两个数相加得到的结果发生溢出，若结果向右移动一位，则原码空位补1，补码空位补0。
对上面式子的两端进行同等递归后可得[X]补*Y=[XY]补所以[XY]补= [X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n) + [-X]补*Y0证法2：[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n) + [-X]补*Y0＝[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n)＝0.1Y1[X]补+0.01Y2[X]补+ … +0.00 … 01Y n[X]补＝[0.1Y1X]补+[0.01Y2X]补+ … +[0.00 … 01Y n X]补（0.00 … 01可以看成是右移n位操作）＝[XY]补简单来说，因为补码和原码一样支持相加和右移操作，所以补码也支持非负乘操作。
4、Y<0前面已经证明X＝－X0+0.X1,X2, … ,X n所以，当Y<0时，Y＝0.Y1,Y2, … ,Y n－1XY＝X（0.Y1,Y2, … ,Y n）－X[XY]补＝[X（0.Y1,Y2, … ,Y n）－X]补＝[X]补（0.Y1,Y2, … ,Y n）+[－X]补＝[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n) + [-X]补*Y0证毕。
五、常见证法存疑与解惑在证明X<0, Y>0的情况时，有些书上是这样证明的：因为[X]补＝2+X＝2n+1+X （mod 2）所以[X]补*[Y]补＝[X]补*Y＝（2+X）*Y （mod 2）＝（2n+1+X）*Y （mod 2）＝2n+1Y+XY （mod 2）＝2n+1（0.Y1,Y2, … ,Y n）+XY （mod 2）因为2n（0.Y1,Y2, … ,Y n）是个大于或等于1的正整数，所以2n+1（0.Y1,Y2, … ,Y n）＝2 （mod 2）所以[X]补*[Y]补＝2+XY （mod 2）＝[XY]补我的第一个疑问是：当2+X＝2n+1+X （mod 2）时，（2+X）*Y≡（2n+1+X）*Y （mod 2）吗？显然，左右两边不是恒等的。
因为Y为小数，所以在模2的情怳下，2Y不恒等于2n+1 Y，所以上式不成立。
我的第二个疑问是：[X]补*Y＝（2+X）*Y （mod 2）吗？我们很容易产生这样的误区，认为上式是相等的。
但是仔细推敲一下，便会发现，上式左边是补码运算，遵守补码运算法则。
而右边是真值运算，可以看作原码运算，遵守原码运算法则。
更细一步说，在进行右移运算时，上式左边空位补1，右边空位补0。
所以，上式不成立。
我的第三个疑问是：[X]补*Y到底等于什么呢？下面我们就来解决这一疑问。
设[X]补＝（11…1）X0.X1,X2, … ,X n设2+X＝（00..0）X0.X1,X2, … ,X n上面括号里的1或0是为该数右移时补空位用的，遵守原码空位补0、补码空位补1原则。
因为X是负数，所以X0＝1，对于原码范畴的2+X来讲，发生溢出，右移一位时空位补1。
所以：右移1位时，[X]补＝（11…1）1.X0,X1,X2, … ,X n2+X＝（00..0）0.X0,X1,X2, … ,X n两者相差1。
右移2位时，[X]补＝（11…1）1.1,X0,X1,X2, … ,X n2+X＝（00..0）0.0,X0,X1,X2, … ,X n两者相差1.1。
……又[X]补*Y＝0.1Y1[X]补+0.01Y2[X]补+ … +0.00 … 01Y n[X]补（2+X）*Y＝0.1Y1（2+X）+0.01Y2（2+X）+ … +0.00 … 01Y n （2+X）两者相差1 Y1+1.1 Y2+1.11 Y3+……所以[X]补*Y＝（2+X）*Y+1 Y1+1.1 Y2+1.11 Y3+……（mod 2）＝2（0.Y1,Y2, … ,Y n）+XY+1 Y1+1.1 Y2+1.11 Y3+……（mod 2）＝2（Y1+Y2+ … +Y n）+XY （mod 2）因为Y1+Y2+ … +Y n是大于或等于1的正整数，所以上式＝2+XY （mod 2）＝[XY]补这里需要说明一下，因为[X]补*Y过程中一直在进行模2运算，所以后面必须有模2操作。
六、结束语由于本文采用Word2003格式编写，不便举例，还望谅解。
注1：这是补码的真值表示公式，同样适用于非负数，这里不再证明。
参考文献1、计算机组成原理PPT－刘子良2、补码一位乘法的证明－quzy。