【精选】2020中考数学结合专题：圆中的相似问题(含答案)

2020中考数学结合专题：圆中的相似问题（含答案）

1. 已知：如图，ABC △内接于O e ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中

点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是ACQ △的外心；

（2）若3

tan 4

ABC ∠=，8CF =，求CQ 的长；

（3）求证：2()FP PQ FP FG +=⋅．

（1）证明CP AP QP ==；（2）152CQ =；

（3）AFP GFB △∽△.

2. 已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为

圆心，OA 长为半径作O e ，O e 经过B 、D 两点，过点B 作BK AC ⊥，垂足为K ．过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、O e 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．

（1）求证：AE CK =；

（2）如果AB a =，1

3

AD a =（a 为大于零的常数），求BK 的长：

（3）若F 是EG 的中点，且6DE =，求O e 的半径和GH 的长．

（1）证明AED CKB △≌△；（2

； （3

）2

OA =

，6HG =． 3. 如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 是O e 的直

径，AC 和BD 相交于点E ，且2

BC CE CA =⋅． （1）求证：BC CD =；

（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作

AF CD ⊥交CD 的延长线于点F ，

若PB OB =

，CD =DF 的长．

（1）证明CDE CAD △∽△；（2

.

G A C D Q P F g O

B H A

D

E

g O K

F

G

B C

A

F

g O

D

C

E

B

4. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH AB ⊥于点H ，直线AC 与过B

点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交

直线AB 于点G . （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是O e 的切线；

（3）若2FB FE ==，求O e 的半径.

（1）线束定理；（2）证明

90OCF OBF ∠=∠=︒；（3

）

5. 如图，O e 是ABC △的外接圆，点E 在劣弧»

BC 上，连接AE 交BC 于点D ，经

过点B 、C 两点的圆弧交AE 于点I ，已知2BE AE DE =⋅，BI 平分ABC ∠. （1）求证：BE EI =；

（2）若O e 的半径为5，8BC =，45BDE ∠=︒；

i ）求¼BIC

的半径和AD 的长； ii ）求sin ABC ∠的值.

B

O g

E

D C

A

I

B

O g

E D C

A

I

备用图

（1）证明~BED BAE △△；

（2）i

）E 为¼BIC

的圆心，BE =

AD =ii ）sin ABC ∠=

D A C

F E

O g H

B G

6. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB

的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF BC =. O e 是BEF △的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交O e 于点H ，连接BD 、FH . （1）求证：ABC EBF △≌△；

（2）试判断BD 与O e 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =，求HG HB ⋅的值.

（1）在Rt ABC △和Rt EBF △中C EFB BC BF

ABC EBF

∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

(ASA)ABC EBF ∴△≌△ （2）连结BO ，BD 为O e 的切线

FD Q 垂直平分AC ，

D ∴为AC 的中点 DCB DBC ∴∠=∠ ABC EBF Q △≌△ EFB ACB ∴∠=∠

DBC DFB DBF ∴∠=∠=∠ BH Q 平分EBF ∠

45EBH HBF ∴∠=∠=︒ 45HBO OBF ∴∠+∠=︒ 45DBC HBO ∴∠+∠=︒

90DBC HBO CBH ∴∠+∠+∠=︒ BD ∴为O e 的切线

（3）连结HO ，设O e 的半径为R ，CE x = 45HFE EBH ∠=∠=︒Q HFG HBF ∴△∽△ 2HF HG HB ∴=⋅ 45BHF ∠=︒Q 90HDF ∴∠=︒ HDF ∴△为等腰直角三角形 222HF R ∴= 又CDE CBA Q △∽△

CD DA DB BO R ====Q ，90DBO ∠︒＝ DBO ∴△为等腰Rt △

DO ∴=

1)DE DO ED R =-=

C D H F A B O E G

CD CE DE

CB CA

∴

==

12R x

x R ==

+

得x =，

21R =

即CE =222

HF R ∴==+即2HG HB ⋅=.

7. 如图，在半圆O 中，将一块含60︒的直角三角板的角顶点与圆心重合，角的两条

边分别与半圆圆弧交于C ，D 两点（点在AOD ∠内部），AD 与BC 交于点E ，AD 与OC 交于点F . （1）求AEC ∠的度数； （2）若C 是»AD 的中点，求:AF ED 的值；

（3）若2AF =，4ED =，求EF 的值.

（1）60°； （2）3:2； （3）连接CA ，过F 作FH ⊥AG ，连接BD ，设GF x

=，

则可得AE

x =，CH ，22EF x =-，

22

FD x =+，2244CF FE FD x =⋅=-，又∵2222236444CF CH HF x x x

=+=-+=-

，解得3x =，∴8EF =.

A C

E

F

O B D