23.1 3.一般锐角的三角函数值

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2024-2025学年沪教版初中数学九年级(上)教案第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数第2节

第23章解直角三角形23.1 锐角的三角函数2 30°，45°，60°角的三角函数值教学目标经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，熟练进行计算，使学生理解正、余弦关系式及推导过程，并能利用其解答一些基本问题.教学重难点重点：能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算. 难点：进一步体会三角函数的意义. 教学过程旧知回顾【问题】如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， (1)sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a. (2)若∠A ＝30°，则a c ＝12.新课讲授【问题】问题1 如何得出30°，60°角的三角函数值？【活动】学生独立思考，回答. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°，设BC ＝1，则AB ＝2，由勾股定理得AC ＝ 3.于是可得sin 30°＝12，cos 30°＝32，tan 30°＝33，sin 60°＝32，cos 60°＝12，tan 60°＝3.【问题】问题2 如何得出45°角的三角函数值？【活动】学生独立思考，回答.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，设BC ＝1，则AC ＝1，AB ＝2，于是有sin 45°＝22，cos 45°＝22，tan 45°＝1.教学反思教学反思【互动】学生独立完成，代表回答，教师补充完善.例1 求下列各式的值：（1）2sin603tan30tan45︒+︒+︒；（2）2cos45tan60cos30︒+︒︒.解：（1）2sin603tan30tan45︒+︒+︒231=+1=.（2）2cos45tan60cos30︒+︒︒2=+1322=+2=.需要提醒学生注意：cos245°表示（cos 45°）2，sin245°表示（sin 45°）2，tan245°表示（tan 45°）2.例2 求下列各式的值：(1) cos260°＋cos245°＋2sin 30°sin 45°；(2)cos60sin45cos60sin45︒+︒︒-︒＋cos60cos45cos60cos45︒-︒︒+︒.学生独立完成，代表回答，教师补充完善，强化过程计算.解：(1)原式＝2212⎛⎫+⎪⎝⎭＋2×12×22＝14＋12＋12＝54；(2)原式＝12＋2212－22＋12－2212＋22＝（1＋2）2＋（1－2）212－（2）2教学反思＝1＋2＋22＋1－22＋21－2＝－6.【思考】从上面问题1、2的计算中，不难发现：sin 30° ＝cos 60°，sin 60° ＝cos 30°，sin 45° ＝ cos 45°.这就是说，30° ，45° ，60°角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值.这个规律，是否适合任意一个锐角呢? 解：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.∵ sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ， ∴ sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B .∵ ∠A ＋∠B ＝90°，∴ ∠B ＝90°－∠A ，即 sin A ＝cos B ＝cos (90°－∠A )， cos A ＝sin B ＝sin (90°－∠A ).【归纳】结论：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值. 典型例题例3 填空：(1)已知sin 67°28′＝0.923 7，则cos 22°32′＝0.923 7；(2)已知cos 4°14′＝0.997 3，则sin 85°46′＝0.997 3. 例4 已知sin A ＝12，且∠B ＝90°－∠A ，求cos B . 解：∵ ∠B ＝90°－∠A ，∴ ∠A ＋∠B ＝90°， ∴ cos B ＝cos (90°－∠A )＝sin A ＝12.变式：已知α，β为锐角，且sin (90°－α)＝13，sin β＝14，求cos(90)cos ββ︒-的值. 解：∵ sin (90°－α)＝cos α＝13，cos (90°－β)＝sin β＝14， ∴ cos(90)cos ββ︒-＝1413＝34.课堂练习教学反思1.(1)在△ABC 中，sin B ＝cos (90°－∠C )＝12，那么△ABC 是三角形；(2)已知α为锐角，tan (90°－α)＝3，则α的度数为 . 2.计算：(1)12sin 60°×22cos 45°；(2)tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan 45°. 参考答案1.（1）等腰（2）30°2. 解：(1)12sin 60°×22cos 45°＝12×32×22×22＝38；(2)tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan 45°＝222+- ×1 ＝13＋34－12＝712. 学生独立完成，教师归纳解题思路：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算.课堂小结布置作业教材第119页练习 T1，T2，第122页习题23.1 T1板书设计1. 特殊角的三角函数值2.例1，例23.例3，例44.练习。

《一般锐角的三角函数值》PPT课件

知2－讲
【例3】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)； (2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″)； (3)tan A＝0.189(结果精确到1°)．导引：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐角的度数
时要注意先按 2nd F 键．
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
1 已知三角函数值，用计算器求锐角A和B：（精确到 1′）
（1）sinA=0.708 3,sinB=0.568 8；（2）cosA=0.829 0,cosB=0.993 1；（3）tanA=0.913 1,tanB=31.80.
（来自教材）
知2－练
2 已知β为锐角，且tan β＝3.387，则β约等于
()
A．73°33′
B．73°27′
C．16°27′
D．16°21′
3 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科
学计算器求∠A约等于( )
A．24°38′
B．65°22′
C．67°23′
D．22°37′
知2－练
4 如果∠A为锐角，cos A＝ 1 ，那么( ) 5
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
知1－练

一般锐角的三角函数值PPT课件(沪科版)

这里的tan42°是多少呢？
A
42°
D
C
1.6m
E
20m
B
新知探究
一用计算器求一个锐角的三角函数值
1.求sin18°．第一步：按计算器 sin 键，第二步：输入角度值18，按 = 键. 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
新知探究
∠A=78°19′58″
∠B=41°23′58″
随堂小测
2.下列各式中一定成立的是（ A） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°﹥sin15°
2.求 tan30°36'. 第一种方法：第一步：按计算器 tan 键，第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 D.M′S 键），第三步：按=键屏幕显示答案：0.591 398 351
第二种方法：第一步：按计算器 tan 键，第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）第三步：按=键屏幕显示答案：0.591 398 351
分析（1）题的结果，你能得出什么猜想，你能说明你的猜想吗？
新知探究
归纳：在锐角三角函数中正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小数值. 2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角. 3.在锐角三角函数中正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

高中完整的三角函数值表

高中完整的三角函数值表三角函数是数学中重要的概念之一，在高中数学课程中也是需要深入理解和掌握的内容。

三角函数除了具有数学概念外，更多地被应用于各种实际问题的求解中。

通过建立完整的三角函数值表，我们可以更好地理解三角函数在不同角度下的取值，从而为数学和实际问题的解决提供帮助。

三角函数简介三角函数是描述角度与边长之间关系的函数，常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），它们分别表示直角三角形中某个角的对应比值。

在单位圆中，角度和三角函数值之间的关系被广泛运用。

完整的三角函数值表下面是一张完整的三角函数值表，其中包括了角度为0度到360度的正弦、余弦和正切函数值：角度（度）弧度（rad）正弦值余弦值正切值0001030π/61/2√3/2√3/345π/4√2/2√2/2160π/3√3/21/2√390π/210∞1202π/3√3/2-1/2-√31353π/4√2/2-√2/2-11505π/61/2-√3/2-√3/3180π0-102107π/6-1/2-√3/2√3/32255π/4-√2/2-√2/212404π/3-√3/2-1/2√32703π/2-10∞3005π/3-√3/21/2-√33157π/4-√2/2√2/2-133011π/6-1/2√3/2-√3/33602π010总结通过建立完整的三角函数值表，我们可以更好地理解三角函数在不同角度下的取值规律。

这些数值可以帮助我们快速计算角度对应的正弦、余弦和正切值，为解决数学问题提供帮助。

在学习三角函数和解决实际问题时，深入理解三角函数值表将有助于我们更好地掌握相关知识。

通过一个个数值的对比和推导，我们可以看到三角函数之间的关系以及它们在不同角度下的变化规律。

这些都是我们学习三角函数不可或缺的部分，希望这份三角函数值表能够对你的学习和理解有所帮助。

23.一般锐角的三角函数值PPT课件(沪科版)

解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，
B C = C D 4 .2 5 .9 (千米 )， sin C BA sin 45
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B 处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米 (结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ EF ≈0.5，
BF
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
DF BF
50 2x 2x
＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
归纳总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
巩固练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
∠A=38°51′57″ ∠B=38°8″

沪科版数学九年级上册 23.1 锐角三角函数课件(共13张PPT)

(6) tan30°·tan60°＋ cos230°
本节课学习了什么内容？
三角函数 sina cos a tan a
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
拓展探究
求已知锐角的三角函数值：
21..求求csoint7603゜゜4552′′的41值″的.（值精. 确（到精0确.0到0001.）0001）在先角用度如单下位方状法态将为角“度度单” 位的状情态况设下定:屏为幕“显度示”出
显示
按再下按列下列顺顺序序依依次次按按键键
由锐角三角函数值求锐角:
已知tan x=0.7410,求锐角 x.（精确到1′）在角度单位状态为“度” 的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：
显示结果为36.538 445 77.
再按键：
24.2锐角三角函数值
自学检测：
根据三角函数的定义，sin30°是一个常数.用刻度
尺量出你所用的含30°的三角尺中，30°所对的
直角边与斜边的长，与同桌交流，看看这个常数
是什么.
B
sin30°=
对边＝1 Βιβλιοθήκη 边 2理由：30在直角三角形中，如果A一个锐角等于30°，C
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
若 tan 1 则α＝______3_0_°____；
3
若 cos 1 ,则α＝______4_5_°____．
2
2.根据下列条件，求出相应的锐角A：
(1) sin A 2 ; (2) cos A 3 0;
2
2
(3) tan(A 20) 1.
基础练习：

数学九年级上册同步分层练习23.1.3 一般锐角的三角函数值

23.1.3一般锐角的三角函数值知识点1用计算器求锐角的三角函数值1．利用计算器计算sin30°时，依次按键sin30＝，显示的结果是()A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．12．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是()A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.663．用计算器求下列三角函数值(精确到0.0001)：(1)sin75.6°；(2)cos37.1°；(3)tan25°.知识点2用计算器求锐角的度数4．2018·淄博一辆小车沿着如图23－1－34所示的斜坡向上行了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是()图23－1－34图23－1－355．已知三角函数值，用计算器求锐角A.(角度精确到1″)(1)sin A＝0.3035；(2)cos A＝0.1078；(3)tan A＝7.5031.知识点3锐角三角函数的增减与取值范围6．三角函数值sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是()A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°7．若45°＜α＜90°，则sinα________cosα；若0°＜α＜45°，则sinα________cos α.(填“>”“<”或“＝”)8．用不等号连接下面的式子：(1)tan19°________tan21°；(2)cos18°________sin18°.9．若α为锐角，且cosα＜1，则α的取值范围是__________．10．若α是锐角，且sinα＝1－2m，则m的取值范围是________．11．计算sin0°＋cos0°＋tan0°＋sin90°＋cos90°的结果为()A．0 B．1 C．2 D．312．在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是()A．0<n<22B．0<n<12C．0<n<33D．0<n<3213．若α＜60°，且sin(60°－α)＝0.75，则cos(30°＋α)＝________．14．如图23－1－36，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝13，求△ABC的三个内角的度数．(精确到l′)图23－1－3615．设β为任意锐角，你能说明tanβ与sinβ之间的大小关系吗？若能，请比较大小；若不能，请说明理由．16．2017·福建小明在某次作业中得到如下结果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin245°＋sin245°＝(22)2＋(22)2＝1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．17．(1)如图23－1－37①所示，已知AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，试比较sin∠B1AC，sin∠B2AC和sin∠B3AC的值的大小；(2)如图②所示，在Rt△ACB3中，B1和B2是线段B3C上的点(与点B3，C不重合)，试比较cos∠B1AC，cos∠B2AC和cos∠B3AC的值的大小；(3)总结(1)(2)中的规律，根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．图23－1－37教师详解详析1．A2．B [解析] 本题要求熟练应用计算器，对计算器显示的结果，根据近似数的概念用四舍五入法取近似数．3．[解析] 以度为单位的锐角，按sin ，cos ，tan 键后直接输入数字，再按＝得到锐角的正弦，余弦，正切值．解：(1)按sin 7 5 . 6 ＝显示0.968583161，即sin75.6°≈0.9686.(2)按cos 3 7 . 1＝显示0.797583928，即cos37.1°≈0.7976.(3)按tan 2 5＝显示0.466307658，即tan25°≈0.4663.4．A5．解：(1)∠A≈17°40′5″.(2)∠A≈83°48′41″.(3)∠A≈82°24′30″.6．C [解析] 根据余角三角函数之间的关系，sin30°＝ cos60°，而cos16°＞cos43°＞cos60°，即cos16°＞cos43°＞ sin30°.7．＞＜ [解析] (方法一)取特殊值法：当45°＜α＜90°时，取α＝60°，sin60°＝32，cos60°＝12，此时sin60°＞cos60°，因此应填“＞”；当0°＜α＜45°时，取α＝30°，sin30°＝12，cos30°＝32，由sin30°＜cos30°，此时sinα＜cosα，应填“＜”． (方法二)统一转化为正弦，利用锐角的正弦值随着角度的增大而增大比较．∵cosα＝sin(90°－α)(α为锐角)，当45°＜α＜90°时，α＞90°－α，∴sinα＞sin(90°－α)，∴sinα＞cosα；当0°＜α＜45°时，α＜90°－α，∴sinα＜sin(90°－α)，∴sinα＜cosα.8．(1)＜ (2)＞ [解析] (1)由于正切值随锐角的增大而增大，因为19°＜21°，所以tan19°＜tan21°，应填“＜”．(2)由cos18°＝sin(90°－18°)＝sin72°，因为72°＞18°，所以sin72°＞sin18°，即cos18°＞sin18°.9．0°＜α＜90°10．0＜m ＜12 [解析] 由题意可知0＜1－2m ＜1，解得0＜m ＜12. 11．C12．A [解析] 根据题意，知0°＜∠B ＜45°，再根据sin45°＝22和一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行分析，有0＜n ＜22.故选A. 13．0.75 [解析] cos(30°＋α)＝cos[90°－(60°－α)]＝sin(60°－α)＝0.75.14．解：如图，过点A 作BC 边上的高AD ，则BD ＝CD ＝6.5，∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC.在Rt △ABD 中，sin ∠BAD ＝BD AB ＝6.510＝0.65， ∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC ＝2∠BAD≈81°4′，∴∠B ＝∠C≈49°28′.15．[解析] 根据正切和正弦的定义列出表达式，再根据直角三角形的斜边大于直角边，判断出 AC BC 和 AC AB 的大小．解：能．如图，设β是Rt △ABC 的一个锐角，令∠B ＝β，则tanβ＝AC BC ，sinβ＝AC AB.因为BC<AB ，所以AC BC >AC AB，所以tanβ＞sinβ.16．解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝1. (2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，则∠B ＝90°－α.∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.17．解：(1)在题图①中，显然有B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3，∵sin ∠B 1AC ＝B 1C 1AB 1，sin ∠B 2AC ＝B 2C 2AB 2， sin ∠B 3AC ＝B 3C 3AB 3，AB 1＝AB 2＝AB 3， ∴sin ∠B 1AC ＞sin ∠B 2AC ＞sin ∠B 3AC.(2)在Rt △ACB 3中，∠C ＝90°，cos ∠B 1AC ＝AC AB 1，cos ∠B 2AC ＝AC AB 2， cos ∠B 3AC ＝AC AB 3， ∵AB 3＞AB 2＞AB 1，∴AC AB 1＞AC AB 2＞AC AB 3，即cos ∠B 1AC>cos ∠B 2AC>cos ∠B 3AC.(3)规律：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．由规律可知：sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°；cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.。

沪科版九年级数学上册课件：23.1.1.3一般锐角的三角函数值

二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 13．求锐角 45°的正切值，先按键 tan ，再依次按键 4 ， 5 ， D·M′S ，再按键＝，就可得到值为___1_． 14．cos27°51′≈__0_._8_8_4__2__；tan56°17′35″≈__1_.4__9_9_0__； sin75°31′12″≈___0_.9_6_8__2__．
(1)sin42.6°；解：0.6769
(2)cos25°18′；解：0.9041
(3)2tan46°23′；
(4)sin15°＋cos49°.
解：2.0990
解：0.9149
17．(6 分)利用计算器求出下列各式中的锐角∠A.(精确到秒) (1)sinA＝0.964 0; (2)cosA＝0.291 0.
B．sin28°<cos28°<tan28°
C．cos28°<tan28°<sin28°
D．cos28°<sin28°<tan28°
12．已知 tanα＝6.866，用计算器求锐角α(精确到 1″)，按键顺序正确的是( D )
A. tan 6 · 8 6 6 ＝ 2ndF B. 2ndF tan 6 ·8 6 6 ＝ 2ndF D·M′S C. tan 2ndF 6 ·8 6 6 ＝ D. 2ndF tan－1 6 · 8 6 6 ＝ 2ndF D·M′S
4．(4分)用计算器计算sin28°36′的值(保留四个有效数字)是( )A A．0.478 7 B．0.478 6 C．0.469 6 D．0.469 5
用计算器求锐角的度数 5．(4 分)已知 tanθ＝0.3249，则锐角θ约为___1_8_°__． (精确到度) 6．(4 分)已知 tanA＝0.5234，求锐角 A 的度数时按键顺序正确的是( C ) A. tan－1 0 · 5 2 3 4 ＝ B. 0 ·5 2 3 4 ＝ 2ndf tan－1 C. 2ndf tan－1 0 ·5 2 3 4 ＝ D. tan－1 2ndf · 5 2 3 4

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容。

本节主要介绍了锐角三角函数的定义及应用。

通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的计算方法，并能够运用锐角三角函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基础知识，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数的具体定义和应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握锐角三角函数的概念和计算方法。

三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义及计算方法。

2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义及计算方法。

2.运用锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

2.案例教学法：通过具体的案例，讲解和演示锐角三角函数的计算方法。

3.小组合作学习：学生分组讨论和解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示锐角三角函数的定义和计算方法。

2.案例材料：准备一些实际的案例，用于讲解和演示锐角三角函数的应用。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习成果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际的例子，如建筑物的角度测量、滑翔机的起飞角度等，引导学生思考这些例子与三角函数的关系，从而引出锐角三角函数的概念。

2.呈现（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和计算方法，引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

3.操练（10分钟）学生分组讨论和解决一些实际的案例，如滑翔机的起飞角度问题、房屋建筑的倾斜度问题等，巩固学生对锐角三角函数的理解和应用。

4.巩固（10分钟）学生独立完成一些练习题，检测学生对锐角三角函数的掌握程度。

九年级数学上册第23章解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 23.1.2 30°,45°,60°角的三角函数值

23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值知识点 1 特殊角的三角函数值1．如图23－1－32在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sin30°＝________．若AB ＝a ，则BC ＝________，AC ＝________，∴cos30°＝________．图23－1－322．［2017·天津］cos60°的值等于( )A. 3 B ．1 C.22 D. 123．如图23－1－33，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则tan ∠AOB 的值等于________．图23－1－33知识点 2 含特殊角的三角函数的实数运算 4．计算2tan45°的结果等于( )A.22 B ．1 C. 2 D. 325．计算 cos 245°＋ sin 245°的结果等于( )A. 12 B ．1 C. 14 D. 22 6．化简（tan30°－1）2等于( ) A ．1－33B ．－3－1 C.33－1 D. 3－1 7．下列结论中正确的是( ) A ．sin30°＋sin40°＝sin70° B ．cos30°＋cos30°＝cos60° C ．2tan30°＝tan60° D ．tan30°·tan60°＝18．计算：(1)3sin60°－2cos45°＋38；(2)sin60°cos30°－（1－tan60°）2；(3)tan30°＋cos60°sin60°；(4)2sin45°－|－2|－(－2018)0＋(13)－1＋3tan30°.知识点 3 已知三角函数值求特殊角9．已知tan A ＝1，则锐角A 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果cos B ＝12，那么∠A 等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°11．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋(33－tan B )2＝0，且∠A ，∠B 为锐角，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12．若α为锐角，当11－tan α无意义时，sin(α＋15°)＋cos(α－15°)的值为________．13．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．14．点M (－sin60°，－cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A ．(32，12) B ．(－32，－12)C ．(－32，12) D ．(－12，－32) 15．［2016·宿州二模］已知α，β均为锐角，且满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α－12＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________°.16．［2016·临沂］一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1. 类似地，可以求得sin15°的值是________．17．等腰三角形的底边长为20 cm ，面积为100 33 cm 2，求它的各内角的度数．18．如图23－1－34，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，且AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，求AGAF的值．图23－1－3419．如图23－1－35，在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．若∠B ＝60°，则ca＋b＋ab＋c的值为( )A.12B.22C．1D. 2图23－1－3520．如图23－1－36，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AD为∠BAC的平分线，AD＝16 33，求∠B的度数及边BC，AB的长．图23－1－36教师详解详析1. 12 12a 32a 322. D3. 3 [解析] 连接AB.由题意知，△ABO 是等边三角形，故∠AOB＝60°，∴tan ∠AOB ＝ 3.4．C [解析] 把tan 45°＝1代入原式进行计算，即原式＝2×1＝ 2.故选C . 5．B [解析] cos 45°＝sin 45°＝22，代入原式，得cos 245°＋sin 245°＝(22)2＋(22)2＝12＋12＝1.故选B . 6．A [解析] ∵tan 30°＝33<1, ∴tan 30°－1＜0，∴（tan 30°－1）2＝1－tan 30°＝1－33. 7．D8．解：(1)3sin 60°－2cos 45°＋38 ＝3×32－2×22＋2＝52. (2)原式＝3232－（1－3）2＝1－3＋1＝2－ 3.(3)tan 30°＋cos 60°sin 60°＝(33＋12)÷32＝23＋33.(4)原式＝2×22－2－1＋3＋3×33＝2－2－1＋3＋3＝2＋ 3. 9．B [解析] ∵tan A ＝1，∠A 为锐角，tan 45°＝1，∴∠A ＝45°.10．B [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝12，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－∠C－∠B＝30°.故选B .11．D12. 3 [解析] 由已知得α＝45°，再代入计算．13．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0，得x 1＝1，x 2＝ 3.由题意，知tan A ＝1或tan A ＝3， ∴∠A ＝45°或∠A＝60°. 14． C[解析] 关于x 轴对称的两点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 15． 75[解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α－12＋（tan β－1）2＝0，∴sin α＝12，tan β＝1.∵α，β均为锐角，∴＝30°，β＝45°.∴α＋β＝30°＋45°＝75°. 故答案为75. 16．6－2417．解：如图．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝20 cm .设等腰三角形底边上的高AD 为x cm ，底角为α，则有12x·20＝100 33，解得x ＝10 33.∵tan α＝10 3310＝33，∴α＝30°，∴顶角为180°－2×30°＝120°.∴该等腰三角形的三个内角的度数分别为30°，30°，120°. 18．解：在△CAD 与△ABE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAD ＝∠ABE＝60°，AD ＝BE ， ∴△CAD ≌△ABE ， ∴∠ACD ＝∠BAE.∵∠BAE ＋∠CAE＝60°， ∴∠ACD ＋∠CAE＝60°，∴∠AFG ＝∠ACD＋∠CAE＝60°. 在Rt △AFG 中， ∵sin ∠AFG ＝AGAF ，∴AG AF ＝32. 19．C [解析] 如图，过点A 作AD⊥BC 于点D.在Rt △BDA 中，∵∠B ＝60°， ∴DB ＝c 2，AD ＝3c 2.在Rt △ADC 中，DC 2＝AC 2－AD 2，∴(a －c 2)2＝b 2－34c 2，即a 2＋c 2＝b 2＋ac ，∴c a ＋b ＋a b ＋c ＝c 2＋cb ＋a 2＋ab （a ＋b ）（b ＋c ）＝a 2＋c 2＋ab ＋bcac ＋ab ＋bc ＋b2＝1.20．解：在Rt △ACD 中， ∵cos ∠CAD ＝AC AD ＝816 33＝32，且∠CAD 为锐角， ∴∠CAD ＝30°.∵AD 为∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD＝30°，即∠CAB＝60°，∴∠B ＝90°－∠CAB＝30°. ∵sin B ＝ACAB ，∴AB ＝ACsin B ＝8sin 30°＝16. 又∵cos B ＝BCAB ，∴BC ＝AB·cos B ＝16×32＝8 3.。

沪科版初中九年级数学上册23-1-3一般锐角的三角函数值课件

第23章解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.3 一般锐角的三角函数值
基础过关全练
知识点1 用计算器求一般锐角的三角函数值
1.求cos 9°的值,以下按键顺序正确的是 ( A )
A.cos 9 =
B.cos 2ndF 9 =
C.9 cos =
D.9 cos 2ndF =
解析计算cos 9°时,先按cos,再按9,最后按=.故选A.
AB 5.5
∵60°<66.4°<75°,∴此时人能够安全使用这架梯子.
素养探究全练
13.(创新意识)(教材变式·P123T4) (1)用计算器计算并比较sin 25°+sin 46°与sin 71°之间的大小关系; (2)若α,β,α+β都是锐角,猜想sin α+sin β与sin(α+β)的大小关系; (3)请借助如图所示的图形证明上述猜想.
知识点2 已知锐角的三角函数值求锐角的度数 7.已知cos A=0.559 2,运用科学计算器在开机状态下求锐角A 时,按下的第一个键是(M9123003)( A ) A.2ndF B.cos C.ab/c D.D·M'S
解析根据锐角三角函数值求角度时,应先按2ndF键,故选A.
8.已知sin A=0.56,用计算器求∠A的大小,下列按键顺序正确的是(M9123003)( A ) A.2ndF sin-1 0 ·5 6 = B.2ndF 0 ·5 6 sin-1 = C.sin-1 2ndF 0 ·5 6 = D.sin-1 0 ·5 6 2ndF =
6.(1)猜想下列两组数值的关系. 2sin 30°·cos 30°与sin 60°; 2sin 22.5°·cos 22.5°与sin 45°; (2)试一试:你自己任选一个锐角,用计算器验证上述结论是否成立. (3)如果结论成立,试用α表示一个锐角,写出这个关系式.

一般锐角的三角函数值

前景
随着科技的发展，三角函数的应用领域越来越广泛，特别是在信号处理、图像处理、通信等领域，三角函数的应用前景非常广阔。
THANKS
感谢观看
等问题的求解。
三角函数在其他领域的应用
工程学
在工程学中，三角函数用于解决各种实际问题，如结构设计、机械运动等。
经济学
在经济学中，三角函数可以用于统计分析、成本效益分析等方面。
计算机图形学
在计算机图形学中，三角函数用于生成二维和三维图形、进行图像处理等。
05
总结
锐角三角函数的特性与计算方法
极坐标系中的点表示
在极坐标系中，三角函数可以用于表示点，并解决与极坐标相关的问题。
三角函数在物理学中的应用
振动和波动
01
在物理学中，三角函数常用于描述振动和波动现象，如简谐振
动和波动方程。
电磁学
02
在电磁学中，三角函数用于描述交流电、磁场等物理量的变化
规律。
力学
03
在力学中，三角函数可以用于描述力的合成与分解、运动轨迹
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，可以用于推导三角函数值。例如，在45度直角三角形中，利用勾股定理可以推导出$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$。
三角函数之间存在一些基本关系式，如 $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$和 $tan theta = frac{sin theta}{cos theta}$。通过这些关系式，可以进一步推导出特殊角度的三角函数值。例如，利用$tan 60^circ = sqrt{3}$，可以推导出$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$和$cos 60^circ = frac{1}{2}$。

人教版八年级下册数学课件方位角、坡度、坡角问题pptx

解析：∵ AB =2CD，∴ 设 CD =x m ,则 AB =2x m .
∵

tan37°= = ≈0.75，∴

DF =

x.

A
∵ AE 的坡度 i =1：2，
C
∴ BE =2AB =4x.
故 BD-EF =BE+FD =13-3=4x+
解得 x =

，故

AB =2×

=

∵AC + BC = AB，
∴PC ·tan 30°＋PC ·tan 45° = 200，
即
PC＋PC = 200，解得 PC ≈ 126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
C
200km
23.1.3 一般锐角的三角函数值
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思考
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
人教版
28.2.3 方位角、坡度、坡角问题
九年级下
目
录
01
学习目标
02
新课引入
03
新知学习
04
课堂小结
23.1.3 一般锐角的三角函数值
返回目录
学习目标
1. 正确理解方向角、坡度的概念.
重点
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性
较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角
0.01n mile）？
65°
P
A
C
34°
B
23.1.3 一般锐角的三角函数值
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解：如图，在 Rt△APC 中，

九年级数学上一般锐角的三角函数值

一般锐角的三角函数值【学习目标】1．会用计算器求一些锐角的三角函数值．2．运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角函数值．【学习重点】会用计算器求一些锐角的三角函数值．【学习难点】会用计算器求一些锐角的三角函数值．旧知回忆：1.填写下表2.我们学习了特殊锐角(30°、45°、60°)三角函数值，那么你知道15°、55°等一般锐角三角函数值吗？本节课就将学习它们的求法．注意：锐角度数可求出相应三角函数值，反过来，利用三角函数值也可求出锐角度数．根底知识梳理知识模块一一般锐角的三角函数值的求法阅读教材P120～121页的内容，答复以下问题：1．任意画一锐角A，并用量角器量出它的角度，再用计算器求出它的正弦，作直角三角形量出并计算BCAB的值，你有什么发现？答：锐角A的度数与它的三角函数值是一一对应的，知道其中一个可求出另两个．2．如何利用计算器求一般锐角三角函数值，举例说明．答：(1)观察手中计算器的各种按键，了解它们的功能．(2)求sin40°的值．(精确到0.0001)∴sin40°≈0.6428.例：求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度〞：MODE MODE1显示D再按以下顺序依次按键：sin63°′″52°′″41°′″＝显示结果为0.897 859 012.所以sin63°52′41″≈0.8979.知识模块二利用三角函数值求解实际问题例1：锐角α的三角函数值，求锐角α的值：(1)sinα＝0.6325；(2)cosα＝0.3894；(3)tanα＝3.5492解：(1)依次按键2ndF sin ，然后输入函数值0.6325，得到结果α＝39.23480979°. (2)依次按键2ndF cos ，然后输入函数值0.3894，得到结果α＝67.0828292°. (3)依次按键2ndF tan ，然后输入函数值3.5492，得到结果α＝74.26462479°.例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝35°，AC ＝6，求BC ，AB 的长(精确到0.001)．解：因为BCAC ＝tan A ＝tan 35°，由计算器求得tan 35°≈0.7002，所以BC ＝AC ·tan A ≈6×0.7002≈4.201，又AC AB ＝cos A ≈cos 35°，由计算器求得cos 35°＝0.8192，所以AB ＝ACcos A≈7.324.例3：如图，工件上有一V 型槽，测得它的上口宽20mm ，深19.2mm .求V 型角(∠ACB)的大小(结果精确到度)．解：∵tan ∠ACD ＝AD CD ＝1019.2≈0.5208，由计算器求得∠ACD ≈27.51°，∴∠ACB ＝2∠ACD ≈2×27.51°≈55°.∴V 型角的大小约为55°.根底知识训练1．求cos 34°35′的值的按键顺序是cos 34DMS 35DMS ＝，结果是0.8233．2．sin A ＝0.5086，求锐角A 的按键顺序是2ndFsin 0·5086＝，结果是30.5706°．3．菱形的周长为80，一条对角线长为15，求另一条对角线长和内角的度数(边精确到0.1，角精确到1°)．答：另一对角线长为37.1，内角度数分别为：44°、136°、44°、136°.本课内容反思1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。