2.3 平行线的特征(含答案)-
平行线的特征
动手做一做 实验:在准备好的横格本上任选两条平行线 、 实验 在准备好的横格本上任选两条平行线a、 在准备好的横格本上任选两条平行线 b 与平行线a、 相交 相交． （1）任意画一条直线 与平行线 、b相交． ）任意画一条直线c与平行线 （2）任选一对同位角，用量角器度量，看 ）任选一对同位角，用量角器度量， 看这一对同位角有什么关系？ 看这一对同位角有什么关系？
问题讨论
请大家想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、 请大家想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、 同旁内角有什么关系呢 ？ 如图，已知直线a//b，思考 如图，已知直线 ， c ∠1与∠2、 ∠2与∠3之间有什么关 与 、 与 之间有什么关 为什么？ 系？为什么？ 4 a 1 已知) （1） ∵ a//b (已知 ） 已知 3 2 ∴∠2=∠ （ 两直线平行， ∴∠ ∠4（ 两直线平行，同位角相等 ） b 又∵∠1=∠4 （ 对顶角相等 ） ∵∠ ∠ ∴∠1=∠ ∴∠ ∠2
同旁内角互补 ）
平行线的三个特征： 平行线的三个特征 ：
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
两直线平行
两直线平行的三个条件： 两直线平行的三个条件： 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行
例1：小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了，还剩下梯 ：小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了， 形上底的一部分（如图）．要订造一块新的玻璃， ）．要订造一块新的玻璃 形上底的一部分（如图）．要订造一块新的玻璃，已经 你想一想， 量得 ∠A=1150，∠D=1000． 你想一想，梯形另外两个 角 各是多少度？ 已知梯形的两底AD//BC) 各是多少度？(已知梯形的两底 ) 已知） 解:∵ AD//BC （已知）. ∵ A＋ B＝ C＋ D＝ ∴ ∠A＋∠B＝1800；∠C＋∠D＝1800 两直线平行，同旁内角互补） （两直线平行，同旁内角互补）. 已知) 又∵ ∠A=1150；∠D=1000. (已知 已知 ∴ ∠C＝1800－∠D＝1800－1000＝800. ＝ ＝ ？ B ？ C ∠B＝1800－∠A＝1800－1150＝650. ＝ ＝ A
七年级数学2.3平行线的特征(1)
课题：2.3平行线的特征（1）课型：新授课授课人：授课时间：2013年4月2日，星期二，第二节教学目标：1．经历观察、操作、推理、交流等活动，了解平行线的性质，能运用这些性质进行简单的推理或计算.2．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索平行线的特征的过程.3.通过学生学习动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养主动探索、合作以及解决问题的能力.教学重点:经历观察、操作、推理、交流等活动，经历探索平行线的特征的过程.教学难点:进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力.设计理念:为学生提供充足的探索与交流的时间和空间，重视学生在实际操作以及在操作过程中的思考，使学生的空间观念、推理能力得到培养.教法与学法：我设计的思路是先让学生去猜测结论，然后再动手操作验证自己的猜想，遇到困难时可以在组内相互交流、探讨，然后以组为单位汇报成果或困惑，最终达成共识.对于本节课的难点，我设计了三个层次，先运用自己的语言叙述，再根据“框图”进行推理，第三个层次是通过填空来感受逻辑推理过程.这样设计，是为了给学生们足够的思维空间，当学生“够不到”时，我就设计一个“台阶”，如果还“够不到”，就再设计一个台阶.我设计了第一个层次，为他们提供了这样一个平台，体现了教师是数学学习的组织者.而第二、第三个层次，则体现了教师是数学学习的引导者.在这三个层次中，学生始终是数学学习的主人.教学准备:直尺、量角器、圆头剪刀.一、创设情景，导入新课师：演示课件：（过马路的片段）你是怎样穿过马路的呢？生：（非常感兴趣）生1：走斑马线.生2：有时着急没等到绿灯就斜穿过去了.师：把笔直马路的两边近似看成两条平行线，人走过的路径近 似看成一条直线演示课件，大家注意，这些角它们之间有 什么关系，这就是今天我们要研究的内容. 师：板书课题：2.3平行线的特征（1）【设计意图】从实物中抽象出数学模型，体现出数学来源于实践，展现了学生由“感性”到“理性”的认识过程.[教学效果]：学生积极性都很高，为本课的学习开了个好头. 二、实验探究，合作交流师：让每个学生利用三角尺在练习本上画出两条平行线（你还记得点画平行线的方法吗） 生：（齐声回答）记得找出其中的同位角、内错角，同旁内角. 学生：（小组活动交流动手操作）生1：同位角 4对 ∠2与∠6 ∠4与∠8 ∠1与∠5 ∠3与∠7 生2：内错角 2对 ∠3与∠6 ∠4与∠5 生3：同旁内角：2对 ∠3与∠5 ∠4与∠6 师：每对同位角大小有什么关系？例如：∠1与∠5小组合作：测量、剪拼，组内交流，相互释疑，再以组为单位，汇总成果或困惑，全班展示 【实验结论】文字叙述，两条平行线被第三条直线所载，同位角相等，简记为，两直线平行，同位角相等. 符号：∵a ∥b∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）【设计意图】设计这一环节，是为了让学生经历探索平行线性质的过程，通过猜想，操作、验证、交流等一系列活动进一步发展学生的空间观念，同时有利于学生对平行线性质的理解. [教学效果]：引导学生用符号表示性质，为今后书写推理过种奠定基础.加深了对性质的理解.1 2 3 45 6 7 8·1 2 3 45 67 8a bc师：我们已经知道，两直线平行，同位角相等，那么大家猜想一下，在两直线平行的条件下内错角、同旁内角会有什么样的数量关系呢？能否用符号语言表示它们的关系呢？ 生：探讨（留给学生充分探索时间）师：可利用“两直线平行，同位角相等”来说明内错角、同旁内角的大小关系. 生：（小组交谈后）有的说用量角器，有的说可以剪下来拼一拼，课堂气氛可热烈了. 师：那么大家就按照你们说的做一做吧！ 生1：小组实验结果：两直线平行内错角相等.生2：两直线平行，同旁内角互补. 两直线平行，同位角相等 师：随之教师结合图理解板书平行线的特征： 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 师：符号：（1）∵ a ∥b ∴∠3=∠6 生1：（两直线平行，内错角相等） 师：符号：（2）∵ a ∥b∴∠3+∠5=180°生2：（两直线平行，同旁内角互补）【设计意图】：通过鼓励学生实际操作，以及在操作过程中进行思考，发展学生的空间观念，使学生对平行线的性质更深入理解.[教学效果]：学生不仅能用语言说出性质，而且能用符号表示. 牛刀小试（走近生活）师：生活中有许多现象与平行线的特征有关系，比如：太阳光射在镜子上，在墙上形成的亮点.生：光的反射师：（演示课件P50页 做一做）你是怎么思考的，你的想法与它的想法一样吗？ 生：（小组形式展开讨论，充分交流后回答） 生1：（1） ∵ AB ∥DEB E 1234CFDABE∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)又∵∠1=∠2（已知）∠3=∠4∴∠2=∠4（等量代换）生2：（2）∵∠2=∠4∴BC ∥EF （同位角相等，两直线平行）师：学生回答非常好，教师要给予表扬鼓励.【设计意图】实际问题出发，激发学生的学习兴趣培养学生的自信以，为后面的学习打下基础.三、判定性质，对比记忆师：提问、叙述平行线的判定和性质的区别和联系. 生1：平行线的判定 生2：平行线的性质 生3：区别（各叙己见）师：平行线的判定和性质的条件，结论刚好相反.直线平行的条件是由角的“数量关系”确定直线的“位置关系”；而平行线的特征是由两直线“位置关系”确定角的“数量关系” 归纳：判定：角的数量关系线的位置关系 性质：线的位置关系角的数量关系接着课件显示如图： 师：已知：AD ∥BCAB ∥CD （1）∠1=∠B 吗？ （2）∠2=∠D 吗？ （3）∠C +∠D =180°吗？ 生1：（1）∵ AD ∥BC （已知）∴∠B =∠1 （两直线平行，同位角相等）生2：（2）∵ AB ∥CD （已知）∴∠D =∠1 （两直线平行，内错角相等）生3：（3）∵ AD ∥BC （已知）∴∠C +∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）【设计意图】学生勇跃的回答，在思维碰撞的过程中，学生思维敏捷性得到了训练，学的知A BCD 1识得到巩固.[教学效果]：通过类比思考学生能够总结步骤.为下一步运用做准备. 四、巩固练习，掌握新知 1.建筑趣问用投影展示著名的比萨斜塔，求它与地面所成的较大的角是多少度？对比发现，加深理解填写下表，并思考二者有何区别和联系分层练习，小组比赛在下图中a ∥b ，你知道∠1的度数吗？（1） （2） （3）2.写出能够推得直线AB ∥CD 的条件.【设计意图】通过具体问题,使学生进一步认识和理解平行线的性质和判定直线平行的条件平行线的特征直线平行的条件85°？a b c1ab c1 36°abc1120°ACBD4 1 32 5 6 78的区别和联系。
平行线的判定及性质 例题及练习
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
2.3 平行线的特征(原卷版)
第二单元第3课时平行的特征一、选择题1．下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行；③同位角相等，两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是 ( ) ． A．① B．②和③ C．④ D．①和④2. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2的度数是 ( )A．45° B．135° C．45°或135° D．不能确定3.如图AB∥CD，∠E=40°，∠A=110°，则∠C的度数为（）A．60° B．80°C．75° D．70°4.如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为( )A．150° B．130° C．120° D．100°5．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是( )A．∠1＋∠2-∠3＝90°B．∠2＋∠3-∠1＝180°C．∠1-∠2＋∠3＝180°D．∠1＋∠2＋∠3＝180°6. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，且交EF于点O，则与∠AOE相等的角有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个7.如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（）A．23°B．16°C．20°D．26°8．如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于 ( ) ．A．60° B．90° C．120° D．150°9．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( ) ．10.如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为( ) ．A．60° B．70° C．80° D．120°二、填空题11. 画线段AB，延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=•AC，则线段CD＝______AB．12．如图，已知AB∥CD，∠α= ．13.如图，BC∥DE，AD⊥DF，∠l=30°，∠2=50°，则∠A= ．14.一个人从点A出发向北偏东60°方向走了4m到点B，再向南偏西80°方向走了3m到点C，那么∠ABC的度数是________．三、解答题15.已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2= ；（2）∠1+∠2+∠3= ；（3）∠1+∠2+∠3+∠4= ；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= ．16.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？。
2.3平行线的特征-主观
2.3 平行线的特征填空题一、性质1. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角。
难易程度：易答案：互补2．（1）若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是；（2）若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是。
难易程度：易答案：（1）相等或互补（2）相等或互补3．两条直线被第三条直线所截，如果有一组同位角相等，那么其他三组同位角也一定。
难易程度：易答案：分别相等4．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，则这两个角。
难易程度：易答案：相等或互补5．若两条平行线被第三条直线所截，则同旁内角的平分线相交所成的角的度数是。
难易程度：易答案：90°6．两条直线平行，相等，相等，互补。
难易程度：易答案：同位角，内错角，同旁内角二、根据图形求角的度数1．如图，a∥b，c是截线，∠1=49°53’，则∠2= ，∠2的补角= 。
难易程度：易答案：49°53’130°7’2．如果AB∥CD，∠ABE=120°，∠DCE=35°，则∠BEC= 。
难易程度：易答案：95°3．已知l1∥l2∥l3，AB⊥l1，垂足为点A，∠ABC=120°，则α= 。
难易程度：易答案：30°4．一个人从点A出发向北偏东方向走了4 m，到点B再从点B向南偏西15°方向走了3 m 到点C，那么∠ABC= 。
难易程度：易答案：30°5．如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD= 。
难易程度：易答案：25°6．如图，已知∠1与∠2互余，∠3是∠2余角的补角，若∠3=132°，则∠4= 。
难易程度：易答案：138°7．如图所示，直线AB∥ED，∠B=70°，∠BCM=∠ECM，则∠DCM 。
难易程度：易答案：125°8．如图所示，AB∥CD，∠ABE=66°，∠CDE=54°，则∠E的度数为。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》知识点分类练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》知识点分类练习题（附答案）一．平行线的性质1．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°2．如图，AB∥CD，连接AC、BC、BD，且BD⊥BC，下列结论：①若∠A＝2∠BDC，则∠ABC＝∠ACB；②若∠BDC与∠A互补，则2∠ABC+∠ACB＝90°，则（）A．仅①正确B．仅②正确C．①②都正确D．①②都不正确3．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG和∠GHF的平分线交于点M．若∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（）A．31°B．36°C．41°D．51°4．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（）A．∠EDC﹣∠ABE＝90°B．∠ABE+∠EDC＝180°C．∠ABE＝∠EDC D．∠ABE+∠EDC＝90°5．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）A．140°B．150°C．130°D．160°6．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α随β增大而增大C．α，β的角度数之积为定值D．α随β增大而减小7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°8．如图，l1∥l2∥l3，∠1，∠2，∠3如图所示，则下列各式正确的是（）A．∠3＝∠1+∠2B．∠2+∠3﹣∠1＝90°C．∠1﹣∠2+∠3＝180°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°9．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④10．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°11．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（）A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°12．如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B＝140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行13．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，折痕为DE，∠ABE平分线所在直线与∠EDH 平分线所在直线相交于点F，若∠F＝∠BED，则∠1的度数为．14．如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B落在点E处，若AE∥BD，∠ADB＝28°，则∠AFC＝°．15．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．（1）若∠CFG＝76°，则∠BEG的度数是；（2）若EG∥A′D′，∠A+∠DFE＝125°，则∠CFE的度数是．16．如图1，在矩形纸片ABCD中，点P在AD上，点Q在BC上，将纸片沿PQ折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．PF交BQ于点G．设∠QPG＝α．继续折叠纸片，使GF 落在BC边上（如图2），折痕为GM．（1）若α＝60°，则∠MGF＝°．（2）沿GF继续折叠，若GM恰好是∠PGF的三等分线，则α＝°．17．如图，已知AM∥CN，D为AM，CN之间一点，∠EAD＝32°，∠DCN＝88°，∠EAD 与∠DCN的角平分线交于点B，连结BD交AM、CN与点E、F，若∠ABD：∠CBD＝4：1，则∠ADF：∠CDF的比值为．18．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．（1）若图中α＝70°，则β＝°（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的CD边与CB边重合（如图2），若继续沿CB边折叠，CE边恰好平分∠ACB，则此时β的度数为度．19．如图1，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点A′，B'，折叠后A′M与CN相交于点E．（1）若∠B′NC＝48°，求∠A′MD的度数．（2）设∠B′NC＝α，∠A′MN＝β．①请用含α的代数式表示β．②当MA′恰好平分∠DMN时，求∠A′MD的度数．20．如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．（1）当∠FDC+∠ABC＝180°时：①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．②若∠ABC＝130°，求∠DFB的度数．（2）当∠C＝α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．二．平行线的判定与性质21．小明和小亮在研究一道数学题，如图EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E，D，G在AC 上．小明说：“如果∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB”；小亮说：“连接FG，如果FG∥AB，则能得到∠GFC＝∠ADG”．则下列判断正确的是（）A．小明说法正确，小亮说法错误B．小明说法正确，小亮说法正确C．小明说法错误，小亮说法正确D．小明说法错误，小亮说法错误22．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．23．如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．24．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．25．如图，已知∠1+∠BDE＝180°，∠2+∠4＝180°．（1）证明：AD∥EF；（2）若∠3＝90°，∠4＝140°，求∠BAC的度数．参考答案一．平行线的性质1．解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．2．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∠A+∠ACD＝180°，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝90°﹣∠BDC，①∵∠A＝2∠BDC，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣2∠BDC，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝180°﹣2∠BDC﹣（90°﹣∠BDC）＝90°﹣∠BDC，∴∠ACB＝∠ABC，故①正确；②∵∠BDC与∠A互补，∴∠BDC＝180°﹣∠A，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝∠BDC，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝∠BDC﹣（90°﹣∠BDC）＝2∠BDC﹣90°，∴2∠ABC+∠ACB＝2（90°﹣∠BDC）+（2∠BDC﹣90°）＝90°，故②正确；故选：C．3．解：如图：过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，∵GN∥AB，∴∠AEG＝∠EGN，∵GN∥KH，∴∠NGH＝GHK，∵HK∥CD，∴∠HFD＝∠KHF，∵∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，∴∠AEG+∠GHF＝102°，∵EM和MH是角平分线，∴∠AEM+∠NHF＝51°，∵∠HFD＝∠KHF＝20°，∴∠AEM+∠MHK＝31°，∵MP∥AB∥HK，∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠NHK，∴∠EMP+∠PMH＝31°，即∠EMH＝31°．故选：A．4．解：过F点作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠BFG＝∠ABF，∠DFG+∠CDF＝180°，∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF，∴∠BFG+∠DFG+∠CDF＝∠ABF+180°，∴90°+∠CDE＝∠ABE+180°，即∠EDC﹣∠ABE＝90°．故选：A．5．解：过G作GM∥AB，∴∠2＝∠5，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠6＝∠4，∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，∵AB∥CD，∴∠ENB＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，∵∠1＝∠E+∠ENB，∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，∴3∠1＝210°，∴∠1＝70°，∴∠EFG＝2×70°＝140°．故选：A．6．解：过C点作MF∥AB，∵AB∥DE，∴MF∥DE，∴∠α＝∠BCM，∠β+∠DCM＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠DCM＝360°﹣∠BCD＝270°，∴∠α+（180°﹣∠β）＝270°，∴∠α﹣∠β＝90°，∴α随β增大而增大，故选：B．7．解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．8．解：∵l1∥l2∥l3，∴∠1＝∠2+∠4，∠4+∠3＝180°，∴∠1﹣∠2+∠3＝180°，故选：C．9．解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝180°＝90°，即α+β＝90°，又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．故选：D．10．解：A、如图1：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴AB与CD不平行；故本选项错误；B、如图2：∵∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠1＝∠2，∴AB与CD平行；故本选项正确；C、如图3：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴∠1≠∠2，∴AB不平行CD；故本选项错误；D、如图4：∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠3＝140°，∴∠1≠∠3，∴AB与CD不平行；故本选项错误．故选：B．11．解：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，由折叠可知，∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，∵PK∥MN，∴∠K＝∠Q＝90°，∴∠ENM＝∠Q，∴EN∥KH，∵∠EFC＝37°，∴∠AEF＝37°，∴∠AEN＝74°，∴∠AHQ＝74°，∵∠KHD＝∠AHQ，∴∠KHD＝74°；当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，∵MN∥KP，∴∠T＝∠HKP＝90°，∴∠ENM＝∠T＝90°，∴EN∥HK，∵∠EFC＝37°，∴∠AEF＝37°，∴∠AEN＝74°，∴∠AHK＝74°，∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝106°；综上所述：∠KHD＝74°或106°，故选：D．12．解：因为拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，所以根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠C＝140°，故选A．13．解：如图．令∠BED＝x，则∠F＝．由题意得：∠BED＝∠DEM＝x，AH∥EM．∴∠BDE＝∠DEH＝x，∠EDH＝180°﹣x．∴∠EBD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝180°﹣2x．∴∠ABE＝180°﹣∠EBD＝2x．又∵直线BN是∠ABE的角平分线．∴∠ABN＝．∴∠FBD＝∠ABN＝x．又∵直线DF是∠EDH的角平分线所在直线．∴∠FDE＝．∴∠BDF＝∠FDE﹣∠BDE＝（90°+）﹣x＝90°﹣．又∵∠BFD+∠FBD+∠FDB＝180°．∴．∴x＝72°．∴∠1＝∠EBD＝180°﹣2x＝36°．14．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+28°＝118°，∵矩形ABCD沿AF折叠，点B落在点E处，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠AFC＝∠BAF+∠ABF＝59°+90°＝149°．故答案为149．15．解：（1）由折叠可知∠DFE＝∠EFG，∵∠CFG＝76°，∴∠DFE＝52°，∵AB∥CD，∴∠FEB＝∠DFE＝52°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝26°，故答案为：26°；（2）设∠BEG＝α，则∠FEB＝2α，∴∠DFE＝∠FEB＝2α，由折叠可知，∠A＝∠A'，∵∠A+∠DFE＝125°，∴∠A'+2α＝125°，∵EG∥A′D′，∴∠A'+∠A'EB+α＝180°，∴∠A'EB＝55°+α，∵∠AEF+2α＝180°，∴∠A'EB+2α+2α＝180°，∴α＝25°，∴∠DFE＝50°，∴∠CFE＝130°，故答案为：130°．16．解：（1）如图：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠F′GF＝∠GPD，由折叠得：∠GPQ＝∠GPD，∠MGF＝∠F′GF，∴∠MGF＝∠GPQ＝α＝60°，故答案为：60；（2）如图：由折叠得：∠MGF＝∠M′GF＝α，∵BC∥AD，∴∠PGF＝180°﹣∠GPD＝180°﹣2α，∵GM是∠PGF的三等分线，∴分两种情况：当∠MGF＝∠PGF时，∴α＝（180°﹣2α），∴α＝，当∠MGF＝∠PGF时，∴α＝（180°﹣2α），∴α＝36°，综上所述，α＝或36°，故答案为：或36．17．解：设直线AD与CN交于点Q．∵AM∥CN，∠EAD＝32°，∴∠EAD＝∠DQC＝32°，∵AB为∠EAD的角平分线，CB为∠DCN的角平分线，∠DCN＝88°，∴∠DCB＝∠BCN＝44°，∠DAB＝∠EAB＝16°，∵∠BCN+∠DQC＝∠BAD+∠ABC，即44°+32°＝16°+∠ABC，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝60°，∵∠ABD：∠CBD＝4：1，∴∠ABD＝48°，∠CBD＝12°，∴∠ADF＝∠ABD+∠BAD＝64°，∠CDF＝∠CBD+∠BCD＝56°，∴∠ADF：∠CDF＝8：7．故答案为：8：7．18．解：（1）根据上下边互相平行可知，α＝∠OAD，∵α＝70°，∴∠OAD＝70°．又∠OAD+2β＝180°，∴β＝55°．故答案为：55．（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，∴∠ACB＝90°，即α＝90°，由（1）中可得，β＝（180°﹣90°）＝45°．故答案为：45．19．解：（1）∵NB′∥A′M，∴∠A′EC＝∠B′NC＝48°，∵CN∥MD，∴∠A′MD＝∠A′EC＝48°．（2）①由（1）得：∠A′MD＝∠B′NC＝α，又∵2∠A′MN+∠A′MD＝180°，∴β＝90°﹣．②∵MA′恰好平分∠DMN，∴∠A′MD＝180°÷3＝60°．20．解：（1）①AD∥BC，理由如下：∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠DAB，∵DA是∠CDE的角平分线，∴∠EDF＝∠ADC，∴∠DAB＝∠ADC，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，∴∠FBC＝65°，∵AD∥BC，∴∠DFB＝180°﹣∠FBC＝115°；（2）作CG∥AB，∵AB∥DE，∴CG∥AB∥DE，∴∠1＝180°﹣∠EDC，∠2＝180°﹣∠ABC，∴∠BCD＝∠1+∠2＝180°﹣∠EDC+180°﹣∠ABC＝180°﹣2∠EDA+180°﹣2∠ABF＝180°﹣2∠DAB+180°﹣2∠ABF＝360°﹣2（∠DAB+∠ABF）＝360°﹣2∠DFB＝α，∴∠DFB＝180°﹣α．二．平行线的判定与性质21．解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB，故小明说法正确；∵FG∥AB，∴∠B＝∠GFC，故得不到∠GFC＝∠ADG，故小亮说法错误，故选：A．22．证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，∴AB∥CD．解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，∵AB∥OF，∴∠B＝∠BOF，CD∥OF，∴∠FOD＝∠D，∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，∵AB∥PQ∥CD，∴∠QPC＝∠PCD＝α，∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，又∵EP平分∠OEB，∴∠COE＝2∠EPC+∠B．23．（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴EF∥BC；（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．24．（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GH是∠BGM的平分线，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，过点H作HT∥GN，则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．25．（1）证明：∵∠1+∠BDE＝180°，∴AC∥DE，∴∠2＝∠ADE，∵∠2+∠4＝180°．∴∠ADE+∠4＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵AD∥EF，∴∠BAD＝∠3＝90°，∵∠2+∠4＝180°，∠4＝140°，∴∠2＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°．。
【精心整理】平行线的性质知识点总结、例题解析
平行线的性质知识点总结、例题解析知识点1【平行线的性质】（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等．∵AB∥CD∴∠2=∠3（2）性质2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补．∵AB∥CD∴∠2+∠4=180°（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角相等。
∵AB∥CD∴∠1=∠2【例题1】如图，已知DE∥BC，∠B=80°，∠C=56°，求∠ADE和∠AEC的度数。
【答案】∠ADE=80°；∠AEC=124°【例题2】如图，平行线AB。
CD被直线AE所截，若∠1=110°，则∠2等于（）A、70B、80C、90D、110【答案】A【例题3】如图，已知AB∥CD，∠1=150°，∠2=______【答案】30°【例题4】在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°，则∠2的度数是_______【答案】35°【例题5】如图所示，已知∠AOB=50 °，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC=______ °，∠PDO=______°【答案】50 ，50 ；【例题6】如图所示，OP∥QB∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为________【答案】10°【例题7】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等）∵AE∥CF，∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DCA=∠DCF+∠FCA，∴∠BAE=∠DCF．【例题8】如图，已知AB∥CD，∠B=40°CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数。
数学：2.3《平行线的特征》同步测试(北师大七年级下)
2.3 平行线的特征一、填空题:（每题4分，共28分）1.如图1，AB ∥CD ，AF 分别交AB 、CD 于A 、C ，CE 平分∠D CF ，∠1＝100 °,则∠2＝_____.毛21FE DCB AG 1F EDCBAG21FEDCB A(1) (2) (3)2.如图2，AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠1＝∠F ＝45°，那么与∠F CD 相等的角有_________个，它们分别是___________________________。
3.如图3，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1＝72°，则∠2＝_________。
4.如图4，DH ∥EG ∥BC ，DC ∥EF ，图中与∠1相等的角有________________________。
K H G 1FED CBA DCBA ED C B A(4) (5) (6)5.如图5，AD ∥BC ，∠A 是∠ABC 的2倍。
（1）∠A ＝_______度。
（2）若BD 平分∠ABC ，则∠ADB ＝___________。
6.如图6，BA ∥DE ，∠B ＝150°，∠D ＝130°，则∠C 的度数是__________。
7.如图7，∠ACD ＝∠BCD ，DE ∥BC 交AC 于E ，若∠ACB ＝6 0°，∠B ＝74°，则∠EDC ＝___°，∠CDB ＝____°。
E D CBA FEDCB A30︒北西南东B AγβαDCBA(7) (8) (9) (10) 二、选择题:（每题4分，共28分）8.如图8，由AC ∥ED ，可知相等的角有（ ） A.6对 B.5对 C.4对 D.3对9.如图9，由A 到B 的方向是（ ）A.南偏东30°B.南偏东60°C.北偏西30°D.北偏西60°10.如图10，如果AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（ ） A. α+β+γ＝360° B. α-β+γ＝180° C. α+β-γ＝180° D. α+β+γ＝180°11.如图11，AB ∥CD ∥EF ，若∠ABC ＝50°，∠CEF ＝150°，则∠BCE ＝（ ） A.60° B.50° C.30° D.20°F EDCB AFEDCBA(11) (12) 12.下列说法中，为平行线特征的是（ ）①两条直线平行, 同旁内角互补; ②同位角相等, 两条直线平行;③内错角相等, 两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行. A.① B.②③ C.④ D.②和④13.如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（ ） A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.相等且互补14.如图12，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，∠EBC ＝∠BCF ，那么，∠ABE 与∠DCF 的位置与大小关系是 （ ） A.是同位角且相等; B.不是同位角但相等; C.是同位角但不等; D.不是同位角也不等 三、解答题:（共44分）15.已知，如图，MN ⊥AB ，垂足为G ，MN ⊥CD ，垂足为H ，直线EF 分别交AB 、CD 于G 、Q ，∠GQC ＝120°，求∠EGB 和∠HGQ 的度数。
第二节 平行线的性质和判定(含答案)...七年级数学 学而思
第二节 平行线的性质和判定1．平行线(1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a∥b； 注：必须强调在同一平面内，否则无法说明平行．(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，注：点必须在直线外，而不能在直线上； (3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行，即“平行于同一条直线的两直线平行”．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：(1)相交；(2)平行，注：判断同一平面内两条直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行． 3．两直线平行的判定方法 (1)平行线的定义； (2)平行公理的推论；(3)同位角相等，两直线平行； (4)内错角相等，两直线平行； (5)同旁内角互补，两直线平行． 4．平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补．1.平行的判定和证明：证明平行一般从寻找相等的同位角，内错角或互补的同旁内角 出发，而这些角关系的获得条件一般有： ①已知平行条件； ②三角形内角和； ③角平分线； ④垂直；⑤互余互补关系．例1．如图5-2-1所示，如果,//,//CD EF EF AB 请写出一个关于3,2,1∠∠∠的等量关系125-- 225-- 325--检测1．如图5-2-2所示，已知a ‖b,0701=∠,,402ο=∠则=∠3 例2．如图5-2-3所示，已知,9021ο=∠+∠,,//AG CD FC DE ⊥求证：.//FH AG检测2．如图5-2-4所示，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件能使b a //的是;61∠=∠①;62∠=∠②;31∠=∠③;75∠=∠④+∠2⑤;1807ο=∠.71∠=∠⑥例3．（江西兴国县期末）学习了平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m 外一点P 画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．525--观察图5-2-5所示，经两次折叠展开后折痕CD 所在的直线即为过点P 的已知直线m 的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有( )①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行． A.①② B．②③ C ．③④ D ．①④425--检测3．如图5-2-6所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在C D ,的位置，若,60ο=∠EFB 则=∠AED例4．已知，,100,//ο=∠=∠A B OA BC 试回答下列问题：725-- 825-- 925--(1)如图5-2-7所示，求证：;//AC OB(2)如图5-2-8所示，若点E ，F 在线段BC 上，且满足，AOC FOC ∠=∠并且OE 平分.BOF ∠则EOC ∠的度数等于 （在横线上填上答案即可）；(3)在(2)的条件下，若平行移动AC ，如图5-2-9，那么OFB OCB ∠∠:的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； (4)在(3)的条件下，如果平行移动AC 的过程中，若使,OCA OEB ∠=∠此时OCA ∠度数等于 （在横线上填上答案即可）．检测4．（广东澄海区期末）如图5 -2 -10所示，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补．(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由； (2)如图5-2 -11所示，BEF ∠与FFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ．点H 是MN 上一点，且GHlEG ，求证：;//GH PF(3)如图5-2 -12所示，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使=∠PHK ,HPK ∠作PQ 平分EPK ∠问HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由，625---122-5-5--1110225-第二节平行线的性质和判定（建议用时 35分钟）实战演练1．（浙江绍兴期末）如图5-2-1所示，,//,////DB EG DC EF AB 则图中与1∠相等的角(1∠除外）共有( )6.A 个 5.B 个 4.C 个 3.D 个2．（浙江金华中考）以下四种沿AB 折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线以，6互相平行的是( )125-- 225-- 325-- 425-- 525--A ．如图5-2-2所示，展开后测得21∠=∠B ．如图5-2-3所示，展开后测得4321∠=∠∠=∠且C ．如图5-2-4所示，测得21∠=∠D ．如图5-2-5所示，展开后再沿CD 折叠，两条折痕的交点为0，测得,OB OA =OD =OC3．如图5-2-6所示是五条胡同的路线图，),(F F D C B A →--→→→经过测量得到C B ∠=∠,70ο=,110ο=∠=∠E D 则图中互相平行的线有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对625-- 725-- 825-- 925--4．（山东聊城中考）如图5-2-7所示，,//CD AB ,68ο=∠B ,20ο=∠E 则D ∠的度数为（ ）ο28.A o B 38. ο48.C ο88.D5．如图5-2-8所示，HG EF BC AD ,,//交于点HI P ,平分,GHF ∠PM 平分EPH ∠HI 交PM 的反向延长线于Q ，//PN,HI 下列结论：,GEP EGP ∠=∠①若则;//AD PM 2=∠GEP ②;MPN ∠,2Q FPN ∠=∠③其中正确的是( )①②③.A ①③.B ②③.C ①②.D6，（山东聊城模拟）如图5-2-9所示，在四边形ABCD 中，=∠B ,120ο,50oD =∠将C ∠向内折出一个,PRC ∆恰好使,//AB CP //CR ,AD 则C ∠的度数是( )ο80.A ο85.B ο95.C o D 110.7．如图5 -2 - 10所示，已知,AB GF ⊥,21∠=∠,B AGH ∠=∠则下列结论：;//BC GH ①;HGM D ∠=∠②;//FG DE ③,AB HE ⊥④其中正确的是( )①②⋅A ③ ②③④⋅B ①③④⋅C ①②③④⋅D1125-- 1225--8．（广西玉州区期末）如图5 -2 - 11所示，已知BAD CD AB ∠,//和BCD ∠的平分线交于点E ．,1001ο=∠,m BAD =∠ο则EC A ∠的度数为9，如图5 -2 - 12所示，直线,//21l l 若,125ο=∠A ,85ο=∠B 则=∠+∠21 10．如图 5 -2 - 13所示，已知,180ο=∠+∠BCD B .D B ∠=∠求证：.DFE E ∠=∠证明：οΘ180=∠+∠BCD B （ ）CD AB //∴（ ）=∠∴B （两直线平行，同位角相等）， D B ∠=∠Θ（已知）， D DCE ∠=∠∴（等量代换）， BF AD //∴（ ）DFE E ∠=∠∴（ ）11．如图5 -2 - 14所示，直线AB ，CD 被EF 所截，,21∠=∠,BME CNF ∠=∠求证：AB ,//CD .//NQ MP12.（山东招远市期耒）如图5-2 -15所示，点D ，E 分别在ABC ∆的边AB ，AC 上，点F 在DC 上，且,18021ο=∠+∠.3B ∠=∠求证：.//BC DE1325--1425--1525--13.小明将一直角三角板(ο30=∠A )放在如图5 -2 - 16所示的位置，且.21C ∠=∠+∠ (1)证明：;//b a(2)经测量知,1A ∠=∠求;2∠(3)如图5-2 - 17所示，将三角板进行适当转动，直角顶点始终在两直线间，M 在线段CD 上，且CEH CEM ∠=∠给出下列结论：BDFMEG∠∠①的值不变：BDF MEG ∠-∠②的值不变，可以证明，其中只有一个是正确的，请你作出正确的选择并直接写出此值，1625-- 1725--14.如图5-2-18所示，.F D B E C A ∠+∠+∠=∠+∠+∠求证：.//CD AF15.问题情景：如图5-2 - 19所示，,//CD AB ,130oPAB =∠,120ο=∠PCD 求APC ∠的度数． (1)天天同学看过图形后立即口答出：,110oAPC =∠请你补全他的推理依据．如图5 -2 - 20所示，过点P 作,//AB PE,//CD AB ΘCD AB PE ////∴（ .180ο=∠+∠∴APE Aο180=∠+∠CPE C （ ）,120,130οΘ=∠=∠PCD PAB O.60.50ο=∠=∴⊥CPE APE o1825--ο110=∠+∠=∠∴CPE APE APC （ ）问题迁移：(2)如图5-2- 21所示，,//BC AD 当点P 在A ，B 两点之间运动时，,α∠=∠ADP ,β∠=∠BCP 求βα∠∠∠,与CPD 之间有何数量关系？请说明理由．(3)在(2)的条件下，如果点P 在A ，B 两点外侧运动时（点P 与点A ，B ，0三点不重合），请你直接写出CPD ∠与βα∠∠,之间的数量关系．1925-- 2025-- 2125--拓展创新16.（辽宁鞍山期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．(1)如图5 -2 - 22所示，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被6反射出的光线n 与光线m 平行，且,381ο=∠则=∠2 ;=∠3(2)在(1)中，若ο551=∠则=∠3 ;若,401ο=∠则=∠3(3)由(1)．(2)猜想：当两平面镜a ，b 的夹角=∠3 时，可以使任何射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a ，b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行．你能说明理由吗？拓展1．有一款灯，内有两面镜子AB ，BC ，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即图5 -2 - 23、图5-2 -24中的.43,21∠=∠∠=∠2225--2325-- 2425--(1)如图5 -2 - 23所示，当BC AB ⊥时，说明为什么进入灯内的光线EF 与离开灯的光线GH 互相平行； (2)如图5-2 - 24所示，若两面镜子的夹角为)900(οο<<αα时，进入灯内的光线与离开灯的光线的夹角为),900(οο<<ββ试探索α与β的数量关系；(3)若两面镜子的夹角为),18090(οο<<αα进入灯内的光线与离开灯的光线所在直线的夹角为).900(οο<<ββ直接写出α与β的数量关系．拓展2．（湖北武昌区期末）一个长方形台球桌面ABCD )90,//,//(ο=∠A BC AD DC AB 如图5 -2 - 25所示，已知台球在与台球桌边沿碰撞的过程中，撞击线路与桌边的夹角等于反射线路与桌边的夹角，即.21∠=∠(1)台球经过如图5 -2 - 26所示的两次反弹后，撞击线路EF ，第二次反弹线路GH ， 求证：;//GH EF(2)台球经过如图5 -2 - 27所示的两次反弹后，撞击线路EF 和第二次反弹线路GH 是否仍然平行，给出你的结论并说明理由．2525-- 2625-- 2725--极限挑战17．平面上有100条直线，其中有20条是互相平行的，问这100条直线最多能将平面分成部分，课堂答案培优答案。
平行线的判定与性质(含答案)-
22.平行线的判定与性质知识纵横在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线(parallel lines).角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、•数量关系角等角的知识。
当两条直线相交或分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，进一步丰富了角的知识，它们在角的计算与证明中有广泛的应用。
与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面：1.由角定角 已知角的关系−−−→判定两直线平行−−−→性质确定其他角的关系.2.由线定线 已知两直线平行−−−→性质角的关系−−−→判定确定其他两直线平行.例题求解【例1】如图,AB ∥CD,AC ⊥BC,图中与∠CAB 互余的角有_______个.(2003年安徽省中考题)思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识，借助互余的概念判断。
解：3个 提示:分别为∠BCD,∠ABC,∠EBF. 【例2】如图,平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交,图中的同旁内角共有( • ).A.4对B.8对C.12对D.16对 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手。
解：选D 提示:原图形可分解出如下8个基本图形.BFDG E C AB FHD GECA【例3】如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°,求证:AB∥EF思路点拨解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件，在图中添置“三线八角”或作出与AB或CD平行的直线。
解：过C点作CG∥AB,过点D作DH∥AB,可证得∠HDE=10°=∠DEF,故HD∥EF,•又HD∥AB,所以AB∥EF.【例4】如图,在△ABC中,CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,AC∥ED,CE是∠ACB的平分线.•求证:∠EDF=∠BDF.思路点拨综合运用角平分线、垂直(vertical)的定义、平行线的判定与性质等知识,因图形复杂,故需恰当分解图形.解:提示:由DF∥CE得,∠BDF=∠BCE,∠FDE=∠DEC,由AC∥DE得,∠DEC=∠ECA【例5】探究:(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明;(3)若将点E移至图b所示位置,此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何?(5)在图d中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中,若AB∥CD,又得到什么结论?B F DE CAB FDECAB (a)DE CA B (b)DEC A(c)B D EC A B (d)F DG E C A F 2E nE 2F n-1F 1B(e)DE 1CA思路点拨:已知AB ∥CD,连结AB 、CD 的折线内折或外折；或改变E 点位置、•或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间。
平行线的特征
想一想
能用符号语言模仿书写平行线的特征吗？
A
C
l 3 1
2
4
B
D
1.如果AB∥CD，那 么 ∠1＝∠2
2.如果AB∥CD，那 么 ∠2＝∠4 3.如果AB∥CD，那 么∠2＋∠3＝180°
牛刀小试
在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲、乙两 同时开工，若干天后公路准确接通，乙地所修公路的 走向是什么？
北
西
乙
东
30°
甲
南
答：西偏南30°
我来做一做
如图，已知D是AB上的 一点，E是AC上一点， ∠ADE＝60°，∠B＝ 60°，∠ADE＝40°
问：∠C是多少度？为什 么？
A
D
E
B
C
这节课我们学习了哪些知识？印象最深的是什么？
作业：课后练习题
生活中的平行线
空中的电线给我 们以平行线的形 象
生活中的平行线
铁路上的伸向远 方的铁轨也给我 们以平行线的形 象
平行线的概念
平行线：在同一平面内，不相 交的两条直线叫做平行线
a b
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平行线具有传递性。例如直线 a平行直线b,直线b平行直线c， 那么直线a也平行于直线c。
另外，垂直于同一条直线的两 条直线平行。
a b
表示为：a∥b
三线八角
4 6
3 52
1 c
两条平行直线被第三条直 a 线所截，形成了一些什么
角呢？
b
• 同位角、内错角、同旁内角
• 做一做 从实际问题中抽出模型，请大家画出一
条直线和两条平行直线相交图形，找出其中的同位角，
平行线的判定习题带答案
平行线的判定习题带答案平行线的判定习题带答案平行线是几何学中的重要概念，它们在我们的日常生活和数学应用中都有着广泛的应用。
判断两条直线是否平行是我们学习几何学时需要掌握的基本技能之一。
下面将介绍一些平行线的判定习题，并提供详细的解答过程。
习题一：已知直线l1过点A(2, 3)，斜率为2，直线l2过点B(4, 5)，斜率为-2，判断直线l1和l2是否平行。
解答：直线的斜率可以用斜率公式来计算。
斜率公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别为直线上的两个点。
对于直线l1，已知斜率为2，过点A(2, 3)，我们可以选择另一个点B(4, 7)在直线上，计算斜率：m1 = (7 - 3) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2对于直线l2，已知斜率为-2，过点B(4, 5)，我们可以选择另一个点C(6, 1)在直线上，计算斜率：m2 = (1 - 5) / (6 - 4) = -4 / 2 = -2根据计算结果可知，直线l1和l2的斜率相等，即m1 = m2 = 2，因此直线l1和l2是平行线。
习题二：已知直线l1过点A(1, 2)，直线l2过点B(3, 4)，直线l3过点C(5, 6)，判断直线l1、l2和l3是否共线。
解答：要判断三条直线是否共线，可以通过计算斜率来判断。
如果三条直线的斜率相等，则它们共线。
对于直线l1，已知过点A(1, 2)，选择另一个点D(2, 3)在直线上，计算斜率：m1 = (3 - 2) / (2 - 1) = 1对于直线l2，已知过点B(3, 4)，选择另一个点E(4, 5)在直线上，计算斜率：m2 = (5 - 4) / (4 - 3) = 1对于直线l3，已知过点C(5, 6)，选择另一个点F(6, 7)在直线上，计算斜率：m3 = (7 - 6) / (6 - 5) = 1根据计算结果可知，直线l1、l2和l3的斜率均为1，因此它们共线。
精品课件2.3平行线的特征1
探索直线平行的特征
如图,直线 a 与直线b平行 b
c a1
3
2
4 5 6 8 7
（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？ 图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？ （2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？ 为什么？ （3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？ 为什么？ 从中，你发现了什么规律吗？
1.如图所示,AB∥CD,AC∥BD. 分别找出与∠1相等或互补的角.
解： 与∠1相等的角有： ∠3，∠5，∠7，∠9，
9 12 13 11 B 14 A 15 4 C3 1 2 10 5 8 7D 6
∠11，∠13，∠15 与∠1互补的角有： ∠2，∠4，∠6，∠8， ∠10，∠12，∠14，∠16
如图,是举世闻名的三星堆考古中发掘出的 一个梯形残缺玉片,工作人员从玉片上已经量得 ∠A=115°,∠D=100°.已知梯形的两底AD//BC,请你 求出另外两个角的度数.
A
115° 110°
D
∠B=65°,∠C=70°
B
C
一个宽度相等的纸条,如图那样折叠,∠1等于多少?
1 120º
∠1=60º
本节课你有什么体会和收获？
两直线平行，同位角相等.
两直线平行,内错角相等.
两直线平行,同旁内角互补. 特征：平行关系 条件：角的关系 角的关系 平行关系
两条平行直线被第三条直线直线所截， 两类定理的比较
判定定理 性质定理
条件 同位角相等,
内错角相等, 同旁内角互补,
结论 两直线平行
两直线平行 两直线平行
条件 两直线平行，
两直线平行， 两直线平行，
结论 同位角相等
北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》(包含答案)
北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）2.3平行线的性质一、选择题1.如图，直线a // b，直线c分别于a，b相交，∠1＝50∘，∠2＝130∘，则∠3的度数为（）A.50∘B.80∘C.100∘D.130∘2.如图，下列判断正确的是( )A.若∠1=∠2，则AD // BCB.若∠1=∠2，则AB // CDC.若∠A=∠3，则AD // BCD.若∠3+∠DAB=180∘，则AB // CD3.如图，已知AC // DE，∠B＝24∘，∠D＝58∘，则∠C＝（）A.24∘B.34∘C.58∘D.82∘4.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62∘，则∠DFE 的度数为( )A.31∘B.28∘C.62∘D.56∘5.如图所示，将含有30∘角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35∘，则∠2的度数( )A.10∘B.25∘C.30∘D.35∘6.如图，直线l1 // l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70∘，则∠1的大小为（）A.20∘B.35∘C.40∘D.70∘二、填空题7.如图，直线a // b，直线c与a，b相交．若∠1=70∘，则∠2=________度.8.如图，AB // CD，∠1=40∘，∠C=50∘，则∠D=________，∠B=________．9.如图，已知l1平行l2，直线l与l1，l2相交于C，D两点，把一块含30∘角的三角尺按如图位置摆放．若∠1=130∘，则∠2=________．北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）10.如图，把含30∘角的三角板的一个顶点放在直尺的一边上，若∠1=40∘，则∠2的度数为________．11.如图，直线l1 // l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43∘，则∠2=________度．12.两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少20∘，则这两个角的度数分别是________．三、解答题13.如图所示，已知∠1=∠2，AC平分∠DAB，试说明DC // AB．14.如图，已知AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，BE // CF ，∠ABE =50∘，求∠FCD 的度数．15.如图所示，AB // CD ，∠1=∠2，∠3=∠4，那么EG // FH 吗？说明你的理由．16.如图，∠α和∠β的度数满足方程组{3∠α+∠β=260∘,∠β−∠α=100∘,且CD // EF ，AC ⊥AE ．(1)求证：AB // EF ；(2)求∠C 的度数．北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）17.如图，已知AM // BN，∠A＝60∘．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP 和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）当∠PBN＝70∘时，∠APB＝________；∠ADB＝________（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是________18.如图1，已知AB//CD，点P是平行线内一点，连接BP, DP.(1)求证：∠P=∠B+∠D；(2)如图2，在图1的基础上，在平行线内再取点Q（点P点Q在同一直线上），连接BQ, DQ，若∠QBP=14∠ABP，∠QDP=14∠CDP，求证：∠BQD=34∠BPD；(3)如图3，图1中AB//CD的条件不变，移动点P使得∠P=110∘，作∠ABP和∠CDP的平分线交于点H（点H与点P不在同一直线上），直接写出∠BHD的度数.2.3平行线的性质参考答案一、选择题1.B2.B3.B4.D5.B6.C二、7.708.40∘,130∘9.20∘10.80∘11.13312.10∘，10∘或130∘，50∘三、解答题13.【答案】证明：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠CAB，北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）∵∠1=∠2，∴∠2=∠CAB，∴CD // AB．14.【答案】解：∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴AB // CD，∴∠ABC=∠DCB，∵BE // CF，∴∠EBC=∠FCB，∴∠ABE=∠DCF，又∵∠ABE=50∘，∴∠FCD=50∘．15.【答案】解：EG // FH．理由：∵AB // CD，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∵∠5=180∘−∠1−∠2，∠6=180∘−∠3−∠4，∴∠5=∠6，∴EG // FH．16.【答案】(1)证明：由{3∠α+∠β=260∘,∠β−∠α=100∘,解得{α=40∘,β=140∘,∴α+β=180∘，∴AB // EF ．(2)解：∵CD // EF ，EF // AB ，∴AB // CD ，∴∠BAC +∠C =180∘，∵AC ⊥AE ，∴∠EAC =90∘，∵∠BAE =40∘，∴∠BAC =130∘∴∠C =50∘．17.【答案】70∘,35∘不变化，∠APB ＝2∠ADB ，证明：∵AM // BN ，∴∠APB ＝∠PBN ，∠ADB ＝∠DBN ，又∵BD 平分∠PBN ，∴∠PBN ＝2∠DBN ，∴∠APB ＝2∠ADB ；30∘18.【答案】北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）解：(1)如图，过点P作平行于AB，CD的直线EF，∵EF//CD，∴∠D=∠FPD.∵EF//AB，∴∠B=∠FPB，∴∠P=∠FPB+∠FPD，∴∠P=∠D+∠B.(2)如图，过点P作平行于AB, CD的直线EF，∵EF//AB，∴∠ABQ=∠BQF.∵EF//CD，∴∠CDQ=∠DQF.∠ABP，∵∠QBP=14∴∠BQF+∠QBP=∠BPF=∠ABP，∠ABP=∠BQF.∴34∵∠QDP=1∠CDP，4∴∠DQF+∠QDP=∠CDP，∴34∠CDP=∠DQF.∵∠ABP+∠CDP=∠BPD，34∠ABP+34∠CDP=∠BQD，∴∠BQD=34∠BPD.(3)如图，过点P作平行于AB, CD的直线EF，过点H作直线a平行于AB，CD，∵∠P=110∘，∴∠CDP+∠ABP=250∘.∵∠ABP和∠CDP的平分线相交于点H，又∠CDH+∠ABH=∠BHD，∴∠BHD=12(∠CDP+∠ABP)=12×250∘=125∘.。
平行线的性质
平行线的性质平行线是在同一个平面上，永远不会相交的直线。
在几何学中，平行线有一些独特的性质和规律。
本文将介绍平行线的性质，包括平行线的定义、判定方法以及与平行线相关的定理。
1. 平行线的定义平行线的定义是指在同一个平面上，两条直线不相交，且它们的距离始终相等。
如果两条线段的任意两点之间的距离相等，则可以称这两条线段是平行的。
符号“||”可以用来表示平行线。
2. 平行线的判定方法有多种方法可以判定两条直线是否平行。
2.1. 通过斜率判定两条直线的斜率相等时，可以判定它们是平行线。
假设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。
如果k1 = k2，则l1与l2是平行线。
2.2. 通过角度判定两条直线如果被一条横截线所截，且所截得的内角互补，则这两条直线是平行线。
例如，直线l1与l2被横截线m所截，其中直角1和直角2是互补的，则l1与l2是平行线。
2.3. 通过平行线定理判定平行线定理是指如果一条直线与两条平行线相交，那么它与另一条平行线也相交，并且两条交分线分割的邻补角相等。
通过这一定理，可以判断一条直线与已知平行线是否平行。
3. 3.1. 平行线的距离性质平行线之间的距离在任意两点之间始终相等。
这意味着，如果从一条平行线上的一点到另一条平行线的垂直距离是d，那么这两条平行线上任意两点之间的距离也都是d。
这一性质对于解决平面几何中的问题非常有用。
3.2. 平行线的夹角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的对应角、内角、外角等具有一定的关系性质。
3.2.1. 对应角性质对应角是指两条平行线被一条横截线所截得到的相应角。
如果两条平行线被同一横截线截得的对应角相等，则这两条平行线是相等的。
即如果∠A = ∠C，那么∠B = ∠D，其中直线l1与l2被横截线m截得的直角1和直角2是对应角。
3.2.2. 内角与外角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角与外角具有一定的关系。
内角互补，即当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角的补角相等。
平行线的性质知识点及练习题
平行线的性质知识点及练习题1、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补。
几何符号语言：∵AB ∥CD∴∠1＝∠2〔两直线平行，内错角相等〕∵AB ∥CD ∴∠3＝∠2〔两直线平行，同位角相等〕∵AB ∥CD ∴∠4＋∠2＝180°〔两直线平行，同旁内角互补〕2、两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，那么称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。
注意：直线AB ∥CD ，在直线AB 上任取一点G ，过点G 作CD 的垂线段GH ，那么垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离。
3、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两局部组成。
题设是事项；结论是由事项推出的事项。
命题常写成“如果……，那么……〞的形式。
具有这种形式的命题中，用“如果〞开场的局部是题设，用“那么〞开场的局部是结论。
有些命题，没有写成“如果……，那么……〞的形式，题设和结论不明显。
对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……〞的形式。
注意：命题的题设〔条件〕局部，有时也可用“……〞或者“假设……〞等形式表述；命题的结论局部，有时也可用“求证……〞或“那么……〞等形式表述。
4、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补。
其中，由角的相等或互补〔数量关系〕的条件，得到两条直线平行〔位置关系〕这是平行线的判定；由平行线〔位置关系〕得到有关角相等或互补〔数量关系〕的结论是平行线的性质。
典型例题：∠1＝∠B ，求证：∠2＝∠C证明：∵∠1＝∠B 〔〕∴DE ∥BC 〔同位角相等，两直线平行〕 ∴∠2＝∠C 〔两直线平行，同位角相等〕注意，在了DE ∥BC ，不需要再写一次了，得到了DE ∥BC ，这可以把它当作条件来用了典型例题：如图，AB ∥DF ，DE ∥BC ，∠1＝65°求∠2、∠3的度数A B C DEF 1 2 3 4 A EG B C FH D A D F BE C 1 2 3解答：∵DE ∥BC 〔〕∴∠2＝∠1＝65°〔两直线平行，内错角相等〕∵AB ∥DF 〔〕∴AB ∥DF 〔〕∴∠3＋∠2＝180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°平行线的性质练习题一、选择题:(每题3分,共12分)1、如图1所示,AB ∥CD,那么与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) D C B A 1ED C BA O F E D C BA (1) (2) (3) 〔4〕2、如图2所示,DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,•那么∠BDC 等于( )°°°°3、以下说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;•③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( )A.①B.②和③C.④D.①和④4、如图3所示,CD ∥AB,OE 平分∠AOD,OF ⊥OE,∠D=50°,那么∠BOF 为( )°°°°二、填空题:(每题3分,共12分)5、如图4所示，n m //，∠2=50°，那么∠1= °，∠3= °，∠4= °6、把命题“邻补角的平分线互相垂直〞改写成“如果……，那么……。
2.3平行线的性质(精讲)(学生版)
2.3平行线的性质平行线的性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简称为∶两直线平行，同位角相等.题型1：利用平行线的性质1求角度1如图，已知a∥b，∠2＝115°，则∠1的度数为（）A．65°B．125°C．115°D．25°【变式1-1】如图，∠1＝∠2，∠3＝112°，则∠4等于（）A．62°B．68°C．78°D．112°题型2：利用平行线的性质1推理说明2.请把以下说理过程补充完整：如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，说明BE与DF平行的理由．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，说明BE与DF平行的理由．解：理由是：因为AB⊥BC，所以∠ABC=即：∠3+∠4=因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，所以=()所以BE∥DF()平行线的性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简称为∶两直线平行，内错角相等.题型3：利用平行线的性质2求角度3.如图，∠1＝∠2，∠4＝120°，则∠3等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【变式3-2】如图，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=82°，∠B=48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．∠【变式4-2】如图所示，已知直线平行线的性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简称为∶两直线平行，同旁内角互补.题型5：利用平行线的性质3求角度5.把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上（如图所示），则下列关于∠1与∠2的等式中一定成立的是（）A．∠1+∠2＝180°B．2∠1＝∠2C．∠2﹣∠1＝45°D．∠2﹣∠1＝90°【变式5-1】如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝53°，则∠2的大小是（）A．53°B．50°C．37°D．23°已知：如图，∠等于多少度？上一点，将长方形沿于点题型8：添加辅助线探究平行线角度数量关系A。
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2.3 平行线的特征
一、填空题:（每题4分，共28分） 1.如图1，AB ∥CD ，AF 分别交AB 、CD 于A 、C ，CE 平分∠D CF ，∠1＝100 °,则∠2＝_____.
2
1
F
E D
C
B A
G 1
F E
C
B
A
G
2
1
E
D
C
B A
(1) (2) (3)
2.如图2，AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠1＝∠F ＝45°，那么与∠F CD 相等的角有_________个，它们分别是___________________________。
3.如图3，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1＝72°，则∠2＝_________。
4.如图4，DH ∥EG ∥BC ，DC ∥EF ，图中与∠1相等的角有________________________。
K H G 1
F
E
D C
B
A D
C
B
A E
D C B A
(4) (5) (6) 5.如图5，AD ∥BC ，∠A 是∠ABC 的2倍。
（1）∠A ＝_______度。
（2）若BD 平分∠ABC ，则∠ADB ＝___________。
6.如图6，BA ∥DE ，∠B ＝150°，∠D ＝130°，则∠C 的度数是__________。
7.如图7，∠ACD ＝∠BCD ，DE ∥BC 交AC 于E ，若∠ACB ＝6 0°，∠B ＝74°，则∠EDC ＝___°，∠CDB ＝____°。
E D C
B
A F
E
D
C
B A
30︒
北
西
南
东
B A
γ
β
αD
C
B
A
(7) (8) (9) (10)
二、选择题:（每题4分，共28分）
8.如图8，由AC ∥ED ，可知相等的角有（ ） A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 9.如图9，由A 到B 的方向是（ ）
A.南偏东30°
B.南偏东60°
C.北偏西30°
D.北偏西60°
10.如图10，如果AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（ ） A. α+β+γ＝360° B. α-β+γ＝180° C. α+β-γ＝180° D. α+β+γ＝180°
11.如图11，AB ∥CD ∥EF ，若∠ABC ＝50°，∠CEF ＝150°，则∠BCE ＝（ ） A.60° B.50° C.30° D.20°
F E
D
C
B A F
E
D
C
B
A
(11) (12) 12.下列说法中，为平行线特征的是（ ）
①两条直线平行, 同旁内角互补; ②同位角相等, 两条直线平行;③内错角相等, 两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行. A.① B.②③ C.④ D.②和④
13.如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（ ） A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.相等且互补
14.如图12，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，∠EBC ＝∠BCF ，那么，∠ABE 与∠DCF 的位置与大小关系是 （ ）
A.是同位角且相等;
B.不是同位角但相等;
C.是同位角但不等;
D.不是同位角也不等 三、解答题:（共44分）
15.已知，如图，MN ⊥AB ，垂足为G ，MN ⊥CD ，垂足为H ，直线EF 分别交AB 、CD 于G 、Q ，∠GQC ＝120°，求∠EGB 和∠HGQ 的度数。
（7分）
Q
H G
M N
F
E
D
C B
A
16.如图，∠CAB ＝100°，∠ABF ＝130°，AC ∥MD ，BF ∥ME ，求∠DME 的度数，（7分）
M F
E D C
B
A
17.如图，DE ∥CB ，试证明∠AED ＝∠A ＋∠B 。
（7分）
E
D C
B
A
18.如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，那么∠A ＝∠F ，为什么？（7）
1
4
32F
E
D C
B
A
19.如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠BDF 与 ∠EFC 相等吗？为什么？（8分）
1
2
F E D
C
B A
20.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ，试判断∠ AED 与∠C 的关系。
（8分）
1
54
32
F E
D
C
A
答案:
1. 50°
2. 4，∠F，∠1，∠FAB，∠ABG
3. 54°
4. ∠FEK，∠DCF，∠CKG，∠EKD，∠KDH
5.(1）120°（2）30°
6.80°
7.30°，76°
8.B 9.B 10.C 11.D 12.A 13.C 14.B
15. ∵MN⊥AB，MN⊥CD
∴∠MGB=∠MHD=90°
∴AB∥CD
∴∠EGB=∠EQH
∵∠EQH=180°-∠GQC=180°-120°
=60°
∴∠EGB=60°
∴∠EGM=90°-∠EGB=30°
∴∠EGB=60°，∠HGQ=30°
16. ∵AC∥MD，∠CAB=100°
∴∠CAB+∠AMD=180°，∠AMD=80°
理可得∠EMF=50°
∴∠DME=∠AMB-∠AMD-∠EMB
=180°-80°-50°=50°
17.作EF∥AB交OB于F
∵EF∥AB
∴∠2=∠A，∠3=∠B
∵DE∥CB
∴∠1=∠3
∴∠1=∠B
∴∠1+∠2=∠B+∠A
∴∠AED=∠A+∠B
18. ∵∠2=∠3，∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DB∥EC
∴∠4=∠C
∵∠C=∠D
∴∠D=∠4
∴DF∥AC
∴∠A=∠F
19. ∠BEF=∠EFC，理由如下：
连结BC
∵AB∥CD
∴∠ABC=∠DCB
∵∠1=∠2
∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2
即∠EBC=∠BCF
∴BE∥CF
∴∠BEF=∠EFC
20.∠AED=∠C
∵∠1+∠2=180°
∵∠1+∠4=180°
∴∠2=∠4
∴EF∥AB
∴∠3=∠5
∵∠3=∠B
∴∠5=∠B
∴DE∥BC
∴∠C=∠AED.
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