2021-2022年高三第三次月考数学(文)试题

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天津市耀华中学2022-2023学年高三上学期第三次月考语文试题

天津市耀华中学2023届高三年级第三次月考语文试卷本试卷考试时间150分钟，总分150分。

第I卷一、（9分）阅读下面一段文字，完成下面1-3题。

苏州的美是含蓄的。

要是不下一番寻索的（），你就别想领略它。

_______走到山腰，站在“迎笑亭”前，回头一看，原来这么美！眼下是一片松树的海，没有风，但是闭上眼睛，就能听到一种（）的声音，正如悠远的琴曲。

深吸一口气，就闻到松脂（）的清香。

再远一点，有整齐的农田，有蜿蜒的小河，有模糊的远山。

传说这条小河是为西施到对面象山而开凿的。

你怎能相信这条满怀青春的小河倒有两千岁！正如我跟前这座“迎笑亭”，一个四角方方的房子，你怎能相信这就是传说中苏东坡到过的地方。

可是如果周围的美景把你迷得（），你是什么都会相信的，仿佛自己已经置身仙山。

1.依次填入括号内的词语，最恰当的一组是A.功夫飒飒沁人心脾神魂颠倒B.工夫铮铮神清气爽如痴如醉C.功夫飒飒神清气爽如痴如醉D.工夫铮铮沁人心脾神魂颠倒2.下列填入文中横线处的句子，衔接最恰当的一项是A.站在灵岩山跟前，觉得它不过是一个有树的山丘，所以没有什么出奇的。

B.站在灵岩山跟前，并不觉得它有什么出奇的，不过是一个有树的山丘罢了。

C.灵岩山不过是一个有树的山丘罢了，站在它跟前，不觉得它有什么出奇的。

D.灵岩山并不让人觉得它有什么出奇的，不过是一个有树的山丘罢了。

3.对选文中涉及的文化常识解说正确的一项是A.古代的琴曲有很多，比如著名的《高山流水》，据《列子》记载，俞伯牙弹琴，钟子期能听出他是“志在高山”还是“志在流水”，遂成知音。

B.西施是古代著名的美女，后世《红楼梦》中，曹雪芹却用“病如西子胜三分”来形容贾宝玉，别有一番趣味。

C.苏轼的文化思想非常丰富，儒、道、释三家对其均有影响，我们从其作品中就可以感受到。

比如“人生如梦”一句，可以品出《庄子》的意味，“逝者如斯”，源自《诗经》，而“造物者之无尽藏”，则是佛家用语。

D.中国古代传说海外有三座仙山，分别是蓬莱、方丈和瀛洲。

四川省泸州市泸县部分高中2022-2023学年高三上学期12月第三次月考数学(文科)试题(解析版)

泸县2020级高三（上）第三次学月考试数学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x += A ．22B ．22-C ．5D ．5-3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A ．-6B ．-4C ．-2D ．27．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是A ．12 B ．1336 C ．49 D ．5128．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（）A B ． C ．12 D ．12-9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应a0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=A ．-2B ．2C ．-1D ．1 12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.14．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．17．（12分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；良好不良好合计男 48 女 16 合计()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828(2)求四面体F ACE -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列； (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x x =--- (1)若0a =，求()f x 的极小值 (2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=. (1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.2023届四川省泸县高三上学期第三学月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =（）A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义域可得2603x x x +->⇒<-或2x >，所以{|3A x x =<-或2}x >，所以{|25}A B x x ⋂=<≤，故选：C. 2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x +=（） A ．22 B ．22-C ．5D ．5-【答案】C【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.【详解】解：2i(2i)(1i)22i 1i (1i)(1i)22x x xx ----+==-++-，因为2i1ix -+是纯虚数，所以2x =，则22i 2i 215x +=+=+=.故选：C ．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．【解析】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【详解】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ．【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选：D.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a = A ．-6 B ．-4 C ．-2 D ．2【答案】A【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=- 解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-．故选A ．【解析】等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（） A ．12 B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示，则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =．故选：B8．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】1sin22=α11sin212sin co 2s ∴-=-=ααα，即221sin 2sin cos cos 2-+=αααα， ()21sin cos 2∴-=αα， π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，sin cos ∴<αα，即sin cos 0-<αα，则sin cos -=αα 故选：B9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数a 的值，如下表，现取其平均值作为参数a 的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min【答案】A【分析】根据给定条件，求出参数a 的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答. 【详解】依题意，0.90450.91220.91830.92270.9271(53)0.917a ++++==，而024.3C =，0100T =，则()24.3(10024.3)0.24.9170.917375.7t t f t =+⨯=+-⨯，当85t =时，24.375.70.98517t +⨯=，有8524.30.80275.70.917t-=≈，lg 0.8020.0953lg 0.917 1.9622t -==≈-，当60t =时，24.375.70.96017t +⨯=，有6024.30.47275.70.917t-=≈，lg 0.4720.3269lg 0.917 1.9622t -==≈-，所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min ，9min. 故选：A11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=（） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B【分析】根据tan 1C =进行化简整理即可求得(1tan )(1tan )A B --的值. 【详解】由题意得4C π=，则有tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++ ,整理得：()()tan 1tan 12A B --=，()()1tan 1tan 2A B --= 故选：B12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>【答案】D【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出z y >，再由4334log 33=，可比较出43与z 的大小即可得出,x z 的大小关系. 【详解】43log 51,log 41y z =>=>，(()2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5log 3log log 41log 422y z +⎛⎫⎛⎫∴==⋅≤==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即z y >，4334log 33=，而344333381464⎛⎫==>= ⎪⎝⎭， 43334log 3log 43∴=>，又514444333⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x z ∴>，综上，x z y >>，故选：D二、填空题13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________. 【答案】13【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩，则样本空间{},,,bb bg gb gg Ω= ，且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则{},,A bg gb gg =,{}B gg =.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为()|P B A .此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB .根据古典概型知识可知，()()()1|3n A P A B n A B ==. 故答案为：1314．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.【答案】2x （答案不唯一）【分析】由题意可知()g x 为常函数或为偶函数，然后分别令()1g x =或2()g x x =进行验证即可【详解】因为()3f x x x =-为奇函数，()()()h x g x f x =为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x =时，()3h x x x =-，则'2()31h x x =-，此时'(0)10h =-≠，所以 ()1g x =不合题意，当2()g x x =时，53()h x x x =-，因为5353()()()()()h x x x x x h x -=---=--=-，所以()h x 为奇函数，'42()53h x x x =-，由'()0h x >，得155x <-或155x >，由'()0h x <，得151555x -<<，所以()h x 的增区间为15,5⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和15,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为1515,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()h x 为先增后减再增，因为()00h '=，所以2()g x x =满足题意，故答案为：2x （答案不唯一）15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.【答案】32333π+ 【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果. 【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，如图故所求几何体的体积2211442333233ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯V 即32333π=+V . 故答案为：32333π+ 【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．【答案】1【分析】先根据图像求得()π2sin(26f x x =+），再解()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦求得最小正整数x ．【详解】解：由题意得函数f （x ）的最小正周期2ππ2π2π36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x =+．又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π2sin 226φ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin 13φ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2πZ 32k k φ+=+∈，，解得π2πZ 6k k φ=+∈，．由π||2φ<，得π6φ=，所以()π2sin(26f x x =+），所以π5π5π2sin 103612f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．由()π3f x f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5π012f x f ⎡⎤⎛⎫-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得()()10f x f x ⎡⎤->⎣⎦，则()0f x <或()1f x >，即πsin 206x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭或1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭． ① 由sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，可得()π2ππ22πZ 6n x n n -<+<∈，解得()7ππππZ 1212n x n n -<<-∈，此时正整数x 的最小值为2；② 由1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得()ππ5π222πZ 666k x k k π+<+<+∈，解得()πππZ 3k x k k <<+∈，此时正整数x 的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男48女16合计（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)73.8(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.018a =，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a ++++=，解得0.018a =．所以平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8⨯+⨯+⨯⨯+⨯=＋，故受奖励的分数线的估计值为73.8．（2）（ⅰ）列联表如下表所示．良好不良好合计男8 40 48 女16 36 52 合计24 76 100（ⅱ）由列联表得()2210083616406050 2.72 3.841247648522223K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．18．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB平面DCF ，BE 平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE 平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD .又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ， AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ，∴平面ABE 平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =，又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥，∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，（2）由体积的性质知：13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =，由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==， 132CEF SCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEF V V S h --∴==⨯=⨯⨯=19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2122+=-n n n T【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-，两式作差可得出()1121n n a a --=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得111122n n n a a +=+-，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，1122a a =-，则12a =；.当2n ≥时，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-.两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()1121n n a a -∴-=-.因为1110a -=≠，则212a -=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，数列{}1n a -构成首项为1，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）112n n a --=，故121n n a -=+，则1121111222n n n n n a a -++==+-. 所以，22111111111111222222222222n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=++⋯++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112121222212n n n n -+=+⋅=--. 20．已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）依题意22222411c aa b c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）圆222x y +=的圆心为()0,0，半径r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为xx =22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB的方程为yy =22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2221b k =+.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+-()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ====>另一方面，由于2214448k k ++≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立.所以3=，即3AB ≤.综上所述，AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.21．已知函数()()ln 1f x x a x x =---(1)若0a =，求()f x 的极小值(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.【答案】(1)2-(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的极小值.（2）先求得()f x '，然后通过构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论，从而求得函数()f x '的单调区间.（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）当0a =时，()ln 1f x x x x =--，()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 11ln f x x x '=+-=，所以在区间()()()0,1,0,f x f x '<递减；在区间()()()1,,0,f x f x '+∞>递增.所以当1x =时，()f x 取得极小值12f .（2）()()ln 1f x x a x x =---的定义域为()0,∞+，()ln 1ln x a a f x x x x x-'=+-=-. 令()()()221ln 0,a a x a h x x x h x x x x x +'=->=+=，当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在()0,∞+上递增.当a<0时，在区间()()()0,,0,a h x h x '-<即()f x '递减；在区间()()(),,0,a h x h x '-+∞>即()f x '递增.（3）当2a =时，()()2ln 1f x x x x =---，()2ln f x x x'=-，由（2）知，()f x '在()0,∞+上递增，()()22ln 210,3ln 303f f ''=-<=->，所以存在()02,3x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =. 在区间()()()00,,0,x f x f x '<递减；在区间()()()0,,0,x f x f x '+∞>递增.所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，由于0044x x +>=，所以()00f x <.11111122ln 12110e e e e e ee f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=----=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f =-⋅--=---=->，根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞各有1个零点，所以()f x 有2个零点.【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决. 22．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.【答案】（1）1C ： 4cos ρθ=，2C ：2cos ρθ=；（2）cos α=【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．【详解】解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MN PM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t t t t +=，整理得cos α=23．已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=.(1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+.【分析】（1）对2()a b c ++应用基本不等式可证；（2）由（1）只要解不等式1219x x -++≥，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++()222329a b c ≤+++=，所以3a b c ++≤，当且仅当a b c ==时等号成立（2）由（1）可知()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，等价于1219x x -++≥，令3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，当1x ≥时，393x x ≥⇒≥，当112x -<<时，297x x +≥⇒≥，舍去，当12x ≤-时，393x x -≥⇒≤-，即3x ≥或3x ≤-. 综上所述，x 取值范围为(][),33,∞∞--⋃+.。

河北省香河县第一中学2024届高三下学期第三次月考试卷(数学试题文)

河北省香河县第一中学2024届高三下学期第三次月考试卷（数学试题文）注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．82．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（） A ．2B ．0C ．2-D ．2±3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强4．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（） A 2B ．2C 10D ．105．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．126．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >7．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．1368．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，9．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（） A ．10 B ．3C ．5D ．210．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠12．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第一中学202届高三数学上学期第三次月考试题文

陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第三次月考试题文满分150分，考试时间120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．若复数（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( ）A 。

6-B.2-C. 4D.62．已知{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===,则()N M C U⋃=（）A. {}1,4 B 。

{}1,3,4 C 。

{}4 D 。

{}2 3．已知平面向量(1,2),(2,)a b m =-=，且b a ⊥，则32a b +=( )A.(7,2)B.(7,14)- C.(7,4)- D 。

(7,8)- 4．“2a =-"是“直线()12:30:2140l ax y lx a y -+=-++=与互相平行"的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C 。

充分必要条件 D 。

既不充分也不必要条件5．已知}{na 为等差数列，若π=++951a a a,则)cos(82a a+的值为( ）A.21 B.23C 。

21- D 。

23- 6．若定义在R 上的偶函数()y f x =是[)0,+∞上的递增函数，则不等式()()2log 1f x f <-的解集是（）A.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 。

()(),22,-∞-+∞C 。

RD 。

()2,2-7．已知实数x,y满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z ＝4x ＋y 的最大值为( ）A ．10B ．8C ．2D ．08．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（）A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-9．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ）A 。

3 B 。

33 C.332D.33410．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数)(x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（） A ．3 B ．21-C ．21D 311．直线l ：(2y k x =与曲线()2210xy x -=>相交于A 、B 两点，则直212221线l 倾斜角的取值范围是（）A 。

2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题(解析版)

2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（）A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+，则复数z 的虚部为1．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（）个A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-，即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣，所以其真子集个数为3217-=.故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：14π48π2⨯⨯=，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ．【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =,∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈．故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量,a b 满足||1a = ，a 与b 的夹角为3π，则||a b - 的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．[0,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论．【详解】22222||()2121cos 3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+ 21b b -+= 2134423b ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭- ，所以3||2a b -≥ ．1||2b = 时取得最小值．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点，,PA PB PB PC ⊥⊥，PC PA ⊥，则点O 为ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，可得BC ⊥PA ，由PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，PO ⊥BC ，可得BC ⊥AE ，同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．故O 是△ABC 的垂心．【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，∴BC ⊥PA ，∵PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，∴PO ⊥BC ，∴BC ⊥平面APE ，∵AE ⊂面APE ，∴BC ⊥AE ；同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．∴O 是△ABC 的垂心．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．7．设sin5a π=，b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可.【详解】解：由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c ab <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12，尤其在比较a 与c 的大小时，将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭，进而与12比较大小是重中之核心步骤.8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA BC ==，2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O P '⊥面ABC ，P 在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得||O P '，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知：AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心，若外接球球心为O ，半径为R ，三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O 在P ，O '之间，∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅= ，1||||32ABC S BA BC =⋅⋅= ，即||3O P '=，||||32AC O C '==，所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=，解得2R =，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（）A ．若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβB ．若,m n m α⊂⊥，则n α⊥C ．若,m n αα^Ì，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A ：,,//m n m n αβ⊂⊂，α、β不一定平行，错误.B ：,m n m α⊂⊥，n 不一定垂直于α，错误.C ：由线面垂直的性质：,m n αα^Ì，则必有m n ⊥，正确.D ：//,,m n αβαβ⊂⊂，m 、n 不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．212log y x =C ．121=+y x D ．2log sin y x=【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A ：1(2t y =为减函数，||t x =在(0,1)上为增函数，所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数；B ：12log y t =为减函数，2t x =在(0,1)上为增函数，所以212log y x =为减函数；C ：1y t =为减函数，21t x =+在(0,1)上为增函数，所以121=+y x 为减函数；D ：2log y t =为增函数，sin t x =在(0,1)上为增函数，所以2log sin y x =为增函数；故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论1、内外层函数同增或同减为增函数；2、内外层函数一增一减为减函数；11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴，即可判断A ；根据平移变换知识可判断B ；求出其单调增区间即可判断C ；利用配角法即可判断D.【详解】对于A ，令1262x k πππ+=+()k ∈Z ，解得22()3x k k Z ππ=+∈，当1k =时，得83x π=，故A 正确；对于B ，将函数()f x 的图像向右平移3π个单位，得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=，故B 错误；对于C ，令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，故C 错误；对于D ，若12sin()26x a π+=，则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+；C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <；D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<，1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=.2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三、填空题13．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则{12,k k λ==，所以12λ=．【解析】向量共线．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，所以第21行从左到右第4个数字为228．故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．四、双空题16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为______；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞4039【分析】根据已知求得1a 的表达式，由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立列不等式，化简求得m 的取值范围，从而求得最大正整数m .【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=，结合101a <<知2019101q <<，解得1q >，故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111m m a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--，将120191a q=代入整理得：40394039m q q m ≤⇒≤故最大正整数4039m =.故答案为：(1,)+∞；4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.五、解答题17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,DAB AB CD DD C M ∠=︒====（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14.【分析】（1）易得1111//,C D MA C D MA =，则四边形11AMC D 为平行四边形，得到11//C M D A ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由//CM DA ，将异面直线CM 与1DD 成的角，转化为 DA 与1DD 相交所成的角，然后在1ADD ，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC .又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.如图所示：连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD中，1C M =，所以111,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅，所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14.【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n *∈N ，都有1，1,n n a a +成等差数列.（1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由条件得121n n a a +=-，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得(21)2nn b n =+，选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知112n n a a ++=，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，且112a -=∴{}1n a -是以112a -=为首项，2q =为公比的等比数列，∴12nn a -=，∴()21nn a n N*=+∈（2）条件①：()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+，123325272(21)2nn S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:123413222222222(21)2nn n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅- 118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②：11(1)()12nn n n b n a +==+⋅-231111234(1)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ 利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅ 1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)(2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解;在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19．已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥ ，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）10x +-=，或10x -=.【分析】（1）由题干条件可得c 和b 的值，进而求出2a 的值，从而求出椭圆方程；（2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，又110F P FQ ⋅= ，向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++uuu r uuu r ，代入1212,x x x x +⋅，化简，即可求出k 的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：1c =，又122B B =，所以1b =，则22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ，∵110F P FQ ⋅= ，即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=，即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++化简得：2201172k k =+-解得217,77k k ==±.故直线l的方程为10x +-=，或10x --=.【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系；（2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积；（3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出k .20．已知()cossin 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求()f B 的取值范围；（2）当4a =，433b =，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积.【答案】（1）30,12⎛+ ⎝⎦；（2）833或433【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B 角的范围，求函数值域.（2）由（1）求出B 的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果.【详解】（1）2()cossin sin cos 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,12f B ⎛∈+ ⎝⎦（2）34()11,,23333f B B B ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，,326B B πππ∴+==，由正弦定理得：4343sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=()0,,3A A ππ∈∴=，或23A π=，若3A π=，则2C π=，183sin 23ABC S ab C ==若23π=A ，则6π=C，1sin 23==ABC S ab C 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱111ABC A B C -中，112,120,,AB AC AA BAC D D ==∠=分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交,AB AC 于点,M N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1；又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，∴MN ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥MN ，∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1，且AD∩AA 1=A ，∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴，又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）设AA 1=1，如图：过A 1作A 1E ∥BC ，建立以A 1为坐标原点，A 1E ，A 1D 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P 是AD 的中点，∴M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则131,,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A =，)NM = ，设平面AA 1M 的法向量为(),,m x y z=，则100m AM m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10220x y z z ++=⎨⎪=⎩,令1x =，则y =，则()1,m =，同理设平面A 1MN 的法向量为(),,n x y z=，则100n A M n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得310220x y z ++=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，则1z =-，则()0,2,1n =-，则()15cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，∵二面角A-A 1M-N 是锐二面角，∴二面角A-A 1M-N 的余弦值是155．【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．22．已知21()(1)2xf x e ax b x =---.其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>.【答案】（1）max ()1f x e =-；（2）（ⅰ）1b >；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得2()4(1)x f x e x x =---，()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，由[1,2]x ∈，可得()0f x ''>，即()'f x 在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即()0f x '<，可知()f x 在[1,2]上单减，求得max ()(1)1f x f e ==-.（2）（ⅰ）利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时，()'f x 单减；(ln ,)x a ∈+∞时，()'f x 单增，再由()f x 有两个极值点，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-恒成立，构造函数()ln g a a a a =-，利用导数求其最大值，可得实数b 的取值范围；（ⅱ）设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，求导可得()h x 在(,1)-∞单增，得到()(2)f x f x ''<-，可得()()112f x f x ''<-，()()122f x f x ''->，结合()'f x 在(1,)+∞上单增，可得()()122f x f x >-，得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-，构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >，再利用导数证明()2(1)M x M e >=，即可得到()()12f x f x e+>【详解】（1）由2,4a b ==得，2()4(1)x f x e x x =---，求导()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，[1,2]x ∈ ，2[,]x e e e ∴∈，20x e ∴->，即()0f x ''>()f x '∴在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即[1,2]x ∀∈，()0f x '<，()f x ∴在[1,2]上单减，max ()(1)1f x f e ∴==-.（2）（ⅰ）求导()x f x e ax b '=--，因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个根，求二阶导()x f x e a ''=-，令()0f x ''=，得ln x a=当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，由()0f x '=有两个根12,x x ，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，求导()ln g a a '=-，令()0g a '=，得1a =，当(0,1)x ∈时，()0g a '>，()g a 单增；当(1,)x ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单减，max (()1)1g g a =∴=，1b ∴>又0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭Q ，所以实数b 的取值范围是：1b >.（ⅱ）当a e =时，()x f x e ex b '=--，()x f x e e ''=-，令()0f x ''=，得1x =当(,1)x ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，又12,x x 是()0f x '=的两根，且12x x <，121,1x x <∴>，121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，即22(2)2()2,(1)xxx xe ex b ee x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦，则2()2220x x h x e e e e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增，()(1)0h x h ∴<=，即()(2)f x f x ''<-又11,x <，()()112f x f x ''∴<-，()()122f x f x ''∴->又()f x ' 在(1,)+∞上单增，122x x ∴->，即1222x x x <-<，又()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e-∴+>-+=+-+-令22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >则2()22x x M x e e ex e -'=--+，2()20x x M x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增，且(1)0M '=，()0M x '∴>，故()M x 在(1,)+∞单增又21x > ，()2(1)M x M e ∴>=，即()()12f x f x e+>【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明()()f x g x <，(,)x a b ∈，可以构造函数()()()F x f x g x =－，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.。

天津市南开区南大奥宇学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(含答案解析)

天津市南开区南大奥宇学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集为R ，集合{13}A x x =∈-<≤Z∣，集合{}1,2B =，则集合A B ⋂=R ð（）A ．{}0,3B ．()(]1,12,3-⋃C ．()()(]0,11,22,3⋃⋃D ．{}1,0-2．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+3．设x ∈R ，则“2x x >”是“11x<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．若等差数列{}n a 满足8926a a -=，则它的前13项和为（）A ．110B ．78C ．55D ．455．已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B 两点，且AB =则k ＝（）A ．15B ．43C ．12D ．5126．若函数()()22x xf x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<7．设F 是抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点，点A 是抛物线1C 与双曲线222221(0,0x y C a b a b-=>>：）的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（）AB C D ．28．若函数()||0)f x x a =>没有零点，则a 的取值范围是（）A ．)+∞B ．()2,+∞C ．())0,1+∞ D ．()()0,12,⋃+∞9．函数()()()sin ,0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图像交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，有如下说法：①函数()f x 的最小正周期是π②函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减③函数()f x 的图像向左平移π12个单位后关于直线π2x =对称④若圆C 的半径为5π12，则函数()f x 的解析式为()πsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则其中正确的说法是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②④二、填空题10．若复数6i3ia +-（,i a ∈R 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为______.11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x +'=，则(1)f '=___．12．己知10,lg 2b a a b =+=，则ab =______.13．设a ＞0，b ＞0，a ≤2b ≤2a ＋b ，则2222aba b +的取值范围为_______．三、双空题14．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 DE 、 AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠= ，则该圆台的高为______；表面积为______.15．如图在ABC 中，90ABC ∠= ，8BC =，12AB =，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若3CE =，则EA EB ⋅= ______；若()01CE CF λλ=≤≤ ，则EA EB ⋅的最小值为______.四、解答题16．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,2b c A B ===.(1)求a 的值；(2)求πcos 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，且1222,,AA AB BC E M ===分别是1CC ，1AB 的中点.(1)证明：EM 平面ABC ；(2)求直线1A E 与平面1AEB 所成角的正弦值；(3)求平面BEM 与平面1B EM 夹角的余弦值.18．已知数列{}n a 的前n 项和()2n S n n λλ=+∈R ，且36a =，正项等比数列{}n b 满足：11b a =，2324.b b a a +=+(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若2022n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)证明：()2131nii i b b =<-∑.19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为2F ，上顶点为H ，O 为坐标原点，230OHF ∠=︒，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点2F 且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点()2,0P -，()2,0Q ．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记MPQ ，NPQ △的面积分别为MPQ S ，NPQ S △，求MPQ NPQS S △△的值．20．已知函数()e xf x =，直线:,l y mx m =∈R .(1)若直线l 为曲线()y f x =的切线，求m 的值；(2)若不等式()()0x k f x x k -++≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值；(3)若直线l 与曲线()y f x =有两个交点()()1122,,,A x y B x y .求证：212ln x x m <.参考答案：1．A【分析】先求出集合A ，进而求出A B ⋂R ð.【详解】{}{}130,1,2,3A x x =∈-<≤=Z∣.因为{}1,2B =，所以A B ⋂=R ð{}0,3.故选：A 2．A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A.3．C【分析】先求出2x x >与11x<的关系，然后根据充分条件，必要条件的判定即可得出结论.【详解】由2x x >，可得1x >或0x <，则可以推出11x<；由11x<，可得：1x >或0x <，则可以推出2x x >，所以“2x x >”是“11x<”的充分必要条件，故选：C .4．B【分析】根据等差数列的通项公式及前n 项和公式即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则因为8926a a -=，所以()()112786a d a d +-+=，即166a d +=.所以()()13111313113136136782S a d a d ⨯-=+=+=⨯=.5．B【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =而1d ==，所以1d =，解方程即可求出答案.【详解】圆()()22:214C x y -+-=的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d，则d =，而1d ==，所以1d =，解得：43k =.故选：B.6．A【分析】先判定函数()f x 的奇偶性及单调性，比较,,a b c 三者之间的大小关系，带入函数求解.【详解】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数；又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)fc f =；又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg 51lg 3log 3lg 5lg 3lg 5lg 3lg 42⎛⎫⋅==≥=>⎪⋅+⎛⎫⎭⎪⎝⎭，故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<.故选：A.7．B【分析】联立方程求出点A 的坐标，结合抛物线的定义可得a ，b 的关系，由此可求双曲线【详解】由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,准线为2P x =-,设双曲线的一条渐近线为b y x a =,则点,22p pb A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由抛物线的定义得AF 等于点A 到准线的距离,即222pb p p a =+，所以12ba=，所以c e a a a====故选：B.8．D【分析】根据函数()f x 没有零点，等价为函数y =与||y x =的图象没有交点，在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出a 的取值范围．【详解】解：令||0x =||x =，令y =22x y a +=||y x =，表示以(为端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象如图，根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆心到折线的距离小于1，a ∴的取值范围为()()0,12,⋃+∞.故选：D ．9．C【分析】由M ，N 关于点C 对称，求出π3C x =，判断出最小正周期为πT =.即可判断①；先求出()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.判断出()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上不单调.即可判断②；求出对称轴直接判断③；利用圆C 的半径为5π12，求出A .【详解】因为圆C 与()f x 的图像交于M ，N 两点，所以M ，N 关于点C 对称.因为2π0,3M N x x ==所以π3C x =.由图像可得：()f x 的半个周期为πππ362⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以最小正周期为πT =.故①正确；因为最小正周期为πT =，所以2ππω=，由0ω>，解得：2ω=.因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以由“五点法”可得：π206ϕ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，解得：π3ϕ=.所以()πsin 23f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当7ππ,123x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π5ππ2,363x ⎛⎫+∈-- ⎝⎭.因为sin y t =在5ππ,62⎛⎫-- ⎝⎭上单减，在ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单增，所以函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎝⎭上不单调.故②错误；函数()f x 的图像向左平移π12个单位后得到函数()ππππsin 2sin 2cos 212326g x f x A x A x A x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以()g x 的对称轴为2π,Z x k k =∈，即π,Z 2kx k =∈.所以函数()f x 的图像向左平移12π个单位后关于直线π2x =对称.故③正确；若圆C 的半径为5π12=解得：A所以函数解析式为：()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故④正确.综上所述：①③④正确.故选：C 10．2【分析】由6ii 3ia m +=-，（,,0,i a m m ∈∈≠R R 为虚数单位），利用复数相等列方程即可求解.【详解】因为复数6i3ia +-（,i a ∈R 为虚数单位）是纯虚数，所以6ii 3ia m +=-，（,,0,i a m m ∈∈≠R R 为虚数单位）.所以6i 3i a m m +=+，所以,36a m m ==，解得：2,2a m ==.故答案为：2.11．1-【分析】对给定等式两边求导，令1x =，解方程作答.【详解】依题意，对()()21ln f x xf x '=+两边求导得：()()121f x f x''=+，当1x =时，()()1211f f ''=+，解得()11f '=-，所以()11f '=-.故答案为：－112．10【分析】对等式10b a =两边取对数可得lg 1b a =，又lg 2a b +=，所以,lg b a 为方程2210x x -+=的解，即可求得,a b ，即可得解.【详解】由10b a =可得lg 1b a =，又lg 2a b +=，所以,lg b a 为方程2210x x -+=的解，所以1,lg 1b a ==，10a =，所以10ab =，故答案为：1013．4,92⎡⎢⎣⎦；【分析】首先根据不等式的性质，得到122ab≤≤，之后将所求的式子化为关于a b 的关系式，之后借助于对勾函数以及不等式的性质，求得目标式的取值范围.【详解】根据a ＞0，b ＞0，由222a b b a b≤⎧⎨≤+⎩求得122ab ≤≤，222222ab a b a b b a=++，令1[,2]2a t b =∈，则29]2t t +∈，所以24[29t t∈+，故答案是4[]92.【点睛】该题考查的是有关代数式的取值范围的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对勾函数的性质，在求解的过程中，注意对式子的正确转化.14．34π【分析】计算出圆台上、下底面的直径，取圆台的轴截面，利用等腰梯形的几何性质可求得该圆台的高；利用圆台的表面积公式可求得该圆台的表面积.【详解】由题意可知，圆台的母线长为936-=，上底面圆的直径为123π32πd ⨯==，下底面圆的直径为229π36πd ⨯==，取该圆台的轴截面MNGH ，如下图所示：易知四边形MNGH 为等腰梯形，分别过点M 、N 分别作MP GH ⊥、NQ GH ⊥，垂足分别为点P 、Q ，由已知，2MN =，6GH MH NG ===，因为MH NG =，MHP NGQ ∠=∠，90MPH NQG ∠=∠= ，所以，Rt Rt MPH NQG △≌△，所以，PH QG =，MP NQ =，因为MP GH ⊥、NQ GH ⊥，则//MP NQ ，则四边形MNQP 为矩形，所以，2PQ MN ==，22GH MN PH QG -===，MP ∴==，该圆台的表面积为()221π1π32π6π634π2S =⨯+⨯++⨯=.故答案为：34π.15．1336-【分析】求得22EA EB EF FB ⋅=- ，计算出CF 、BF 的长，当3CE =时，可求得EA EB ⋅ 的值；计算得出()1EF CF λ=- ，利用平面向量数量积的运算性质以及二次函数的基本性质可求得EA EB ⋅ 的最小值.【详解】因为90ABC ∠= ，162BF AB ==，8BC =，则10CF ==，当3CE =时，7EF =，此时()()()()22227613EA EB EF FA EF FB EF FB EF FB EF FB ⋅=+⋅+=-⋅+=-=-= ；()1EF CF CE CF λ=-=- ，则()222213636EA EB EF FB CF λ⋅=-=--≥- ，当且仅当1λ=时，等号成立，故EA EB ⋅ 的最小值为36-.故答案为：13；36-.16．(1)【分析】(1)由A =2B 得sin A =sin2B ，再利用正弦定理和余弦定理角化边即可求解；(2)利用余弦定理可求cos A ，从而可求sin A 及cos2A 、sin2A ，结合两角和差的余弦公式进行求解即可﹒【详解】（1）由2A B =，知sin sin 22sin cos A B B B ==，由正、余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅．∵3b =，1c =，∴212a =，则a =；（2）由余弦定理得22291121cos 263b c a A bc +-+-===-，∵0πA <<，∴sin 3A ===，故sin 22sin cos 9A A A ==-，27cos 22cos 19A A =-=-，πππcos(2)cos 2cos sin 2sin 666A A A +=-=17．(1)证明见解析3(3)23【分析】(1)根据直三棱柱的特征可得：AB ⊥平面11BCC B ，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，利用空间向量的方法证明；(2)分别求出直线1A E 的一个方向向量和平面1AEB 的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解；(3)求出平面BEM 的法向量，结合（2）中平面1B EM 的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，又因为AB BC ⊥，1BC BB B = ，且1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B .以点B 为原点，BC ，1BB ，BA 分别为x 轴､y 轴､z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,2,0,0,0,1,1,2,0,0,2,1B C B A C A .（1）因为,E M 分别是11,CC AB 的中点，所以()111,1,0,0,1,,1,0,22E M EM ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .易知平面ABC 的法向量为()0,2,0m = ，因为0EM m ⋅= ，所以EM m ⊥ .又因为EM ⊄平面ABC ，所以EM 平面ABC .（2）()()()1110,2,1,1,1,0,1,1,1AB EB EA =-=-=- .设()1111,,n x y z = 为面1AEB 的法向量，则11110n AB n EB == ，即111120,0,y z x y -=⎧⎨-+=⎩取11y =，则111,2x z ==，从而()11,1,2n = ，设直线1A E 与平面1AEB 所成角为θ，则111111sin cos<,3EA n EA n EA n θ⋅=>==⋅ ，即直线1A E 与平面1AEB所成角的正弦值为3.（3）()11,1,0,0,1,2BE BM ⎛⎫== ⎪⎝⎭ .设()2222,,n x y z = 为平面BEM 的法向量，则220n BE n BM ⋅=⋅= ，即22220,10,2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取22z =，则221,1x y ==-，从而()21,1,2n =- ，由（2）知：平面1B EM 的一个法向量()11,1,2n = ，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅<>==⋅ ，所以平面BEM 与平面1B EM 夹角的余弦值为23.18．(1)2n a n =，2n n b =(2)1112220222,10,22022404422,11.n n n n n T n n ++⎧-++≤=⎨-+-≥⎩(3)证明见解析【分析】（1）利用1n n n a S S -=-求出{}n a 和{}n b 的通项公式；利用公式法求出{}n b 的通项公式；（2）由20222,10,202222022,11,n n n n n c b n ⎧-≤=-=⎨-≥⎩对n 分类讨论：10n ≤和11n ≥分别求和，即可求出n T ；（3）利用裂项相消法求和，即可证明.【详解】（1）当2n ≥时，()221(1)1n n n a S S n n n n λλ-⎡⎤=-=+--+-⎣⎦21,n λ=-+由36a =，得1λ=，即2n S n n =+，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，2n a n =，所以2n a n =.设正项等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，则()21123242,212b a b b a a q q ==+=+=+=，所以260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍），所以2n n b =.（2）20222,10,202222022,11,n n n n n c b n ⎧-≤=-=⎨-≥⎩所以当10n ≤时，()122022222n n T n =-+++ ()12122022202222,12nn n n +⨯-=-=-+-当11n ≥时，()1102022222n n T n T +=--++1122022224044024n n +=-+-+-+11222022404422n n +=-+-即1112220222,10,22022404422,11.n n n n n T n n ++⎧-++≤=⎨-+-≥⎩（3）当1n =时，()1221223(21)1b b ==<--；当2n ≥时，()()()()22222122121nn nn n n n b b =<----()()111211,21212121n n n n n ---==-----所以()22123141111111122121212121211n i n n i i b b ---=<+-+-++--------∑ 13321n =-<-.19．(1)22143x y +=(2)13【分析】（1）由230OHF ∠=︒，得b =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程中，结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆方程，（2）设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程消去x ，整理后利用根与系数的关系，可得()121232my y y y =+，表示出直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-，而121212MPQ NPQ PQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△，代入化简即可【详解】（1）由230OHF ∠=︒，得b =（c 为半焦距），∵点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，则221914a b +=．又222a b c =+，解得2a =，b =，1c =．∴椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）由（1）知()21,0F ．设直线:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()2234690m y my ++-=．显然()214410m ∆=+>．则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+．∴()121232my y y y =+．由()2,0P -，()2,0Q ，得直线AP 的斜率1112y k x =+，直线BQ 的斜率2222y k x =-．又1OMk OP=，2ON k OQ =，2OP OQ ==，∴12OM k ON k =．∴121212MPQNPQPQ OM S OM k S ON k PQ ON ⋅===⋅△△．∵()()()()121211212121212221233y x y my k my y y k x y my y my y y ---==+++()()1211212212313122233933222y y y y y y y y y y +-+===+++．∴13MPQNPQ S S =△△．20．(1)em =(2)2(3)证明见解析【分析】(1)利用导数的几何意义得出切线方程为()000e e x x y x x -=-，然后再根据已知的切线方程即可求解；(2)根据题意，将条件等价转化为()00g '≥，二次求导进而求出k 的最小值即可；(3)利用导数先求出直线l 与曲线()y f x =有两个交点时e m >，然后再根据两个零点的大小关系构造函数()2e 22ln e xx m F x mx m m =--+，利用导数求出其单调性进而得到证明.【详解】（1）因为()e x f x =，所以()e x f x '=，设切点为()00,x y ，则切线斜率0e x k m ==，切线方程为：()000e e x x y x x -=-，因为直线l 过坐标原点(0,0)，则有()000e e x x x -=-，解得01x =，所以e m =.（2）设()()()()e x g x x k f x x k x k x k =-++=-++，因为()00g =，所以()0g x ≥的一个必要条件是()00g '≥，又()()1e 1x g x x k -'=++，所以()0110g k =-+≥'，则2k ≤，当2k =时，()()2e 2x g x x x =-++，则()()1e 1x g x x '=-+，又因为()e 0x g x x ='≥'，所以()g x '单调递增，而()00g '=，则()0g x '≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00g x g ≥=，符合题意，所以实数k 的最大值为2.（3）依题意，方程e 0x mx -=有两个不同的实根12,x x .令()e x h x mx =-，则有()e x h x m'=-①若0m ≤，则()0h x '>在R 上恒成立，所以()h x 在R 单调递增，此时()h x 不可能有两个不同的零点，故舍去；②若0m >，当ln x m <时，()0h x '<；当ln x m >时，()0h x '>，所以()h x 在(),ln m -∞上单调递减，在()ln ,m +∞上单调递增，从而()min ()ln ln 0h x h m m m m ==-<，解得e m >.又()010h =>，故()h x 在(),ln m -∞有一个零点.设正数()20ln 2x m =，则()()()()2202ln 222ln ln22ln20h x m m m m m m m =-=-->->.由于()2ln 2ln m m >，因此()h x 在()ln ,m +∞有一个零点.综上所述，e m >.不妨设12x x <，则120ln ,ln 1x m x m <<>>，令()()()22ln e 22ln e xx m F x h x h m x mx m m =--=--+，则()2e 20e xx m F x m '=+-≥，所以函数()F x 在R 上单调递增，由2ln x m >，可得()()2ln 0F x F m >=，即()()222ln h x h m x >-，又12,x x 是函数()h x 的两个零点，即()()12h x h x =，所以()()122ln h x h m x >-，因为2ln x m >，所以22ln ln m x m -<，又1ln x m <，函数()h x 在(),ln m -∞上单调递减，所以122ln x m x <-，即122ln x x m +<，又12x x +>，所以2ln m <，因此212ln .x x m <【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

高三数学第三次月考试题

高三数学第3次月考试卷 2012.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}||3|4M x x =-<,{}2|20,N x x x x Z =+-<∈,则M∩N＝（） A ．{0} B ．{2} C ．{}|11x x -≤≤ D ．{}|27x x ≤≤2. 已知c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，则下列选项中不一定．．．能成立的是（） A ．c b a a<B ．>-ca b C ．cacb22>D ．<-acc a3. 下列命题的说法正确的是（）A.命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21,x =则1x ≠”;B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；C.命题“,x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”;D.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题。

4. 已知在等比数列{}n a 中,1346510,4a a a a +=+=,则该数列的公比等于（）A.12B.23C. 2D. 12-5. 已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）6. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A ．cos 2y x =B ．22sin y x =C ．)42sin(1π++=x y D ．22cos y x =7. 设x 、y 满足条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2x －y ≥1.则z ＝2y －x 的最大值为 ( )A ．－1B ．1C ．3D ．4 8. 曲线31433y x =+在点（2, 4）处的切线方程是（）A ．440x y +-= B. 440x y --= C ．440x y +-= D ．440x y --= 9.数列{a n}的前n 项和为S n，若a n＝1n (n ＋1)，则S 5等于 ( )A ．1 B.56C.16D.13010. 已知1x >，1y >，且1ln 4x ，14，ln y 成等比数列，则xy （）A ．有最大值eB ．有最大值．有最小值e D ．11. 在锐角A B C △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，，若sin 3A =，2a =，ABC S =△b 的值为（）A.3B.2C ．D ．12. 已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x +=;②对于任意的[],0,2a b ∈，且a b <，都有()()f a f b <；③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是（）A.(4.5)(7)(6.5)f f <<B.(7)(4.5)(6.5)f f f <<C.(7)(6.5)(4.5)f f f <<D.(4.5)(6.5)(7)f f f <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 若||2,||4==a b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是．14. 若“2,210x R ax ax ∀∈++>”为真命题，则实数a 的取值范围是。

湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(三)数学试题

18.在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，D为边BC上一点，若．
（1）证明：
①AD平分∠BAC，
② ；
（2）若，求的最大值．
19.汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
销量万辆
10
12
17
20
26
（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．
14.已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．
15.已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．
湖南师大附中2023届高三月考试卷（三）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则实数的取值范围为（）

四川省资阳市乐至县吴仲良中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析

四川省资阳市乐至县吴仲良中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题“，有成立”，则为A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立参考答案：C略2. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21参考答案：B【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．3. 若函数y＝log2(x2－2x－3)的定义域、值域分别是M、N，则（）A．[－1, 3] B．(－1, 3) C．(0, 3] D．[3, ＋∞)参考答案：A略4. 下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.参考答案：C5. 的值是A. B.C. D.参考答案：C6. 若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为( )A．B．C．D．2参考答案：C【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】化简复数为a+bi的形式，然后求解复数的模．【解答】解：复数z=2i+=2i+=2i+1﹣i=1+i．|z|=．故选：C．【点评】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，考查计算能力．7. 不等式的解集是（）A． B．C．（1，2） D．参考答案：答案：B8. 已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（） A ．当时，， B ．当时，，C ．当时，，D ．当时，，参考答案：B略9. 刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A ．2B ．2+C ．3+D ．3+参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算其表面积为 S=S 正方形ABCD +S △PAB +S △PBC +S △PCD +S △PAD =12+×1×1+×1×+×1×+×1×1=2+．故选：B ．10. 已知命题p ：?x∈R，x 2﹣3x+2=0，则?p 为（） A ．?x ?R ，x 2﹣3x+2=0 B ．?x∈R，x 2﹣3x+2≠0 C ．?x∈R，x 2﹣3x+2=0 D ．?x∈R，x 2﹣3x+2≠0参考答案：D【考点】四种命题；命题的否定．【分析】根据命题p ：“?x∈R，x 2﹣3x+2=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“=“改为“≠”即可得答案．【解答】解：∵命题p ：“?x∈R，x 2﹣3x+2=0”是特称命题 ∴?p：?x∈R，x 2﹣3x+2≠0故选D ．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，且的夹角为锐角，则的取值范围是______。

甘肃省会宁县第一中学2021届高三上学期第三次月考数学(文)试题 Word版含答案

3、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）
13. 14.0 15. 16.②③④
4、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17
18 解析：
19..
的最小正周期．
（2）∵ 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．
17、（本小题满分12分）．已知α，β∈(0，π)，tanα＝－，tan(α＋β)＝1.
(1)求tanβ及cosβ的值； (2)求的值.
18、（本小题满分12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
19、（本小题满分12分）已知函数
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1、，，则Hale Waihona Puke ( )A. B. C. D.
2、函数的图象为( )
3、下列命题中正确的是( )
A.命题“ ， ”的否定是“ ”
B.命题“ 为真”是命题“ 为真”的必要不充分条件
C.若“ ，则 ”的否命题为真
D.若实数，则满足的概率为 .
4、若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )
A．5 B．2 C．3 D．4
5．设A，B是△ABC的内角，且cosA＝，sinB＝，则sin(A＋B)的值为()

江苏省徐州高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题

江苏省徐州高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．2017-2021年，普通本专科招生人数逐年增加．普通本专科招生人数在2017-2018年增长最多．2017-2021年，普通高中招生人数在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数中所占比例逐年下降．2017-2021年，中等职业教育平均招生人数大约为608万10．一般地，如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为mn，则以下结论正确的是（）．三棱锥的直度的最大值为1．直度为34的三棱锥只有一种．四棱锥的直度的最大值为1(2)若()0EF DB l l =>uuu r uuu r ，求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值的取值范围.20．随着5G 网络信号的不断完善，5G 手机已经成为手机销售市场的明星.某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G 手机的价格数据进行分析得到如图所示的频率分布直方图：(1)某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500元以下的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层抽样的方式提供了14部手机让其从中购买，假定选择每部手机是等可能的，求这两人至少选择一部价位在3500~4500元的手机的概率；(2)该商场在春节期间推出为期三天的“中奖打折”活动，活动规则如下：在一个不透明的容器中装有一白一黄两个除颜色外完全相同的乒乓球，顾客每次限抽一球，抽完后放回容器中摇晃均匀后再抽取下一次.若抽中白球得2分，抽中黄球得1分，得分为9分或10分时停止抽取，其中得9分为中奖，享受标价打n 折（*N n Î）优惠，得10分则未中奖按标价购买.设得i 分的概率为i P （1i =，2，…，10），其中01P =.（i ）证明{}1ii P P--（10i <，且*N i Î）是等比数列；（ii ）假定厂家在出售手机时的标价为进价的2倍，则厂家至少打几折才不致亏损?21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，直线l ：=1x -，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，分别以PQ ，PF 为直径作圆1C 和圆2C ，且圆1C 和圆2C 交于P ，R 两点，且PQR PFR Ð=Ð.。

2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高三(上)第三次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高三（上）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.定义差集M−N ={x|x ∈M 且x ∉N}.已知集合A ={2,3,5}，B ={3,5,8}，则A−(A ∩B)=( )A. ⌀B. {2}C. {8}D. {3,5}2.已知复数z 满足z =−1+i1+i ，则复数z 的共轭复数的模|−z |=( )A.102B.22C.24D. 123.已知sinα+cosβ=22，cosα−sinβ=−12，则cos (2α−2β)=( )A. 732B. −732C.5 3932D. −539324.已知点M 在抛物线C ：y 2=4x 上，抛物线C 的准线与x 轴交于点K ，线段MK 的中点N 也在抛物线C 上，抛物线C 的焦点为F ，则线段MF 的长为( )A. 1B. 2C. 3D. 45.已知a =sin0.5，b =30.5，c =log 0.30.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a6.折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为( )A. 5023π B. 9π C. 7πD. 1423π7.已知△ABC 中，AB =2，AC =1，AB ⋅AC =1，O 为△ABC 所在平面内一点，且满足OA +2OB +3OC =0，则AO ⋅BC 的值为( )A. −4B. −1C. 1D. 48.已知可导函数f (x )的定义域为R ，f (x2−1)为奇函数，设g (x )是f (x )的导函数，若g (2x +1)为奇函数，且g (0)=12，则∑10k =1kg (2k )=( )A. 132B. −132C. 112D. −112二、多选题：本题共3小题，共18分。

2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高三上学期第三次月考语文试题 PDF版

长郡中学2023届高三月考试卷（三）语文本试卷共四道大题，23道小题。

时量150分钟，满分150分。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一随着我国经济的腾飞和“中国文化热”的持续升温，汉字设计迎来了一个崭新的时代，形成了多元的设计体系，也呈现出多维度的发展格局。

文化维度，汉字的意象表意性，体现了汉字以意赋形、以形写意的造字规律，使其蕴含丰富的文化信息。

设计师们巧妙利用汉字形义相生的特质，挖掘其深厚的文化内涵，通过汉字整体结构与基本笔画的意象表达，传递中国精神，彰显中国智慧。

由设计师邵柏林设计的故宫博物院院徽标识，是彰显汉字意象之美的典型代表。

该标识以“官”字为基础，设计者将“宫”字上一点巧妙转化为海水江崖纹和玉璧的组合形象，取“珍如拱璧”之意。

“宫”字方正的结构象征紫禁城的建筑格局，下不封口的设计则寓意现今的开放与包容。

标志整体“天圆地方”，既生动表现了故宫之“形”，又充分传递出其文化精髓，充满设计巧思与艺术趣味。

价值维度，字体的繁盛中国汉字经历岁月洗礼，薪火相传，如今已发展出成熟而多样的字体系统。

当计算机字体中常见的宋体字、黑体字已经不能满足信息传播的需求，多样化的字库字设计便如雨后春笋般蓬勃生长。

许多极富中国传统美学价值的书法字体陆续被设计师们整合并转化为字库字，如深受大众喜爱的康熙字典体、颜体、柳体等。

此外，一批字体设计师通过创新的设计方法激活了古老汉字的文化魅力。

由清华大学美术学院陈楠教授设计的“汉仪陈体甲骨文”字库，是首例将甲骨文转换为计算机字库字的设计作品。

设计师通过探索甲骨文蕴含的数学几何之美，提出“格律设计”的方法论，为古老的汉字穿上“新衣”。

空间维度，形式的探索与传统汉字的演变多是围绕笔画的写法展开不同，在文化交融互渗的大数据时代，现代汉字的设计则是从字形、结构、笔画、字义等全方位介入的。

字体设计师们或是以剪切手段分割文字，形成局部或整体的位移与重叠，使其产生错位感；或是将汉字局部进行主观缩放，构建新的视觉焦点，从而改变文字的语义指向；抑或是择取不同民族的语言文字并以巧妙的手段融入汉字的构造，创作出多种文化意象叠加的艺术符号……比如，在考察了众多传统样式的相关设计后，蒙古族设计师李岩松决定以全新的角度和设计方法设计“福禄寿喜”。

天津市第一中学2022届高三上学期第三次月考语文试题 Word版含答案

考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺当!第Ⅰ卷（36分）一、（12分，每小题3分）1．下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是A．吐．（tǔ）槽社会不公，埋怨怀才不遇，因而踟．（c hí）蹰不前，这不过是找一个堂皇的借口而已。

当你拂去往日心灵的积弊与尘垢，用婴儿水晶般的瞳孔端详世界的时候，你会发觉即使是在严冬季节，周遭仍旧暗涌着奇迹抽芽带来的层层新绿。

B．中华文明硕果累累（lěi），仰韶的彩陶、良渚（z hǔ）的玉器、唐之金银、宋之陶瓷，元明清不胜枚举，这些手艺不经意间将生活艺术化，让后人仰而视之，诚惶诚恐。

C．雄心期决胜，壮志在必克。

我们要多些一往无前的进取意识、乘．（chénɡ）势而上的机遇意识、敢于担当的责任意识，汇聚全体国民的磅礴力气，再接再厉，砥砺攻艰，铿（kēng）锵前行，争取更大的成功。

D．站在兵马俑（yǒng）坑前，我们观察的秦朝文物几近全部。

细心倾听，甚至可以听见金戈铁马的嘶杀声。

这令人震惊的兵马俑，不过是秦文明中的沧海一粟（sù）。

2．依次填入下面横线上的词语最恰当的一项是（1）为了搞清事故的缘由，公安部门打算立案。

（2）我们必需学会如何在纷繁简单的干扰中剥离出“演绎”的成分，去伪存真，真相，呈现出万事万物的真实状态。

（3）为了弄清这句话的出处，推断对方说法的真伪，老先生跑了很多图书馆，了大量的文献资料。

A．侦查厘清披阅B．侦查理清批阅C．侦察理清披阅D．侦察厘清批阅3．下列各句中，没有语病的一句是A．蓟县滑雪场九成以上受伤者为初学滑雪者，大部分在未接受专业指导或训练的情况下直接进入中高级滑道，从而导致自己受伤或撞伤他人概率更大。

广东省江门市陈经纶中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析

广东省江门市陈经纶中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：D略2. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且，则（）A. 20B. 25C. 30D. 35参考答案：D【分析】先由得到数列是等差数列，再根据，即可求出结果.【详解】因为是数列的前项和，且，所以，因此数列是公差为的等差数列，又，所以，因此.故选D【点睛】本题主要考查等差数列的性质、以及等差数列的前项和，熟记等差数列的性质以及前项和公式即可，属于常考题型.3. 从4名男生和3名女生中选出4人参加市中学生知识竞赛活动，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有（A）140种（B）120种（C）35种（D）34种参考答案：D 略4. 如右图，某几何体的三视图均为边长为l的正方形，则该几何体的体积是（）A． B． C．1 D．参考答案：A5. 设全集.已知四棱锥的三视图如右图所示，则四棱锥的四个侧面中的最大面积是A．B．C． D.参考答案：A四棱锥如图所示：，，所以四棱锥的四个侧面中的最大面积是6.6. 已知是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则的值为A．0 B． C．TD．参考答案：A解析：因为的周期为T，所以，又是奇函数，所以，所以则7. 已知，现有下列命题：其中的所有正确命题的序号是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C 8. 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义.若，，且|A-B|=1，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C(S)等于( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A略9. 在等比数列{}中，若是方程则=（）A. B .- C. D. 3参考答案：C略10.已知等比数列{a n}的前n项为S n，S3 = 3，S6 = 27，则此等比数列的公比q等于（）A．2 B．－2 C． D．－参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量=（2，1），=（x，﹣6），若⊥，则|+|= ．参考答案：5【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，可得x=3，再由向量模的公式，计算即可得到所求．【解答】解：向量=（2，1），=（x，﹣6），若⊥，则?=2x﹣6=0，解得x=3，即有+=（5，﹣5），则|+|==5，故答案为：5．【点评】本题考查向量的垂直的条件：数量积为0，考查向量的模的计算，属于基础题．12. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，那么，不等式的解集是．参考答案：13. 、若函数的最小值为3，则实数=参考答案：或略14. 已知则的最大值是_____________.；参考答案：略15. 方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是____________ 参考答案：16. 若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 .参考答案：317. 在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，sinA= ．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】利用余弦定理可得c，cosA，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：c2=12+22﹣=4，解得c=2．∴cosA===，又A∈（0，π），∴sinA===．故答案为：．【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

四川省成都市四川音乐学院附属中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析

四川省成都市四川音乐学院附属中学2021-2022学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合，且，则集合可能是（）A． B． C． D．参考答案：考点：1.集合的包含关系；2.集合的基本运算.2. 已知圆b及抛物线，过圆心P作直线，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线的斜率为A. B. C. D．参考答案：A略3. 已知为常数，函数有两个极值点，则（）A． B．C． D．参考答案：C 4. 已知双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C. D．参考答案：A5. （坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（）A. B. C.D.参考答案：A所以选A。

3.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.【答案】【解析】6. “”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：D略7. 函数的最小正周期是（）参考答案：B8. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么A． B． C．D．参考答案：A9. 若函数存在极值，且这些极值的和不小于，则的取值范围为（）A． B． C.D．参考答案：C10. 巳知角a的终边与单位圆交于点，则sin2a的值为( )A. B.－ C. － D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为．参考答案：48π【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】判断几何体的特征，正方体中的三棱锥，利用正方体的体对角线得出外接球的半径求解即可．【解答】解：三棱锥补成正方体，棱长为4，三棱锥与正方体的外接球是同一球，半径为R==2，∴该球的表面积为4π×12=48π，故答案为：48π．【点评】本题综合考查了空间思维能力，三视图的理解，构造几何体解决问题，属于中档题．12. 过点（-1,2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为__________。

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2021年高三第三次月考数学（文）试题
一、选择题（每题5分，共50分）
1．定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为（）A．9 B． 14 C．18 D． 21
2．设函数，则满足的的取值范围是（）
A. B. C. D.
3．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量＝(sinA，sinB)，＝(cosB，cosA)，若＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
A. B. C. D.
4．已知奇函数定义在(-1, 1)上，且对任意的，都有
成立，若，则的取值范围是（）
A．(,1) B. (0 , 2) C. (0 , 1) D. (0 ,)
5．已知△的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）
A. B. C. D.
6．设函数是定义在R上的函数，其中的导函数为，满足
对于恒成立，则（）
7．函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低点，且，则该函数图象的一条对称轴为（）
A. B. C. D.
8．设实数满足，则的取值范围是（）
A．B． C．D．
9.已知函数在点处的切线与直线平行，若数列的前n项和为，则的值为（）
A. B. C. D.
10．设函数的定义域为，若对于任意且，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究并利用函数的对称中心，可
得12402240232012201220122012f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
( ) A ．4023 B ．-4023 C ．8046 D ．-8046
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 函数的值域为 .
12.若不等式对一切非零实数恒成立，则实数的取值范围是 13.已知数列中，=1，当，时，=，则数列的通项公式__________
14.各项均为正数的等比数列满足，若函数的导数为，则= .
15.是圆上的三点，，的延长线与线段交于点，若，则的取值范围是
三、解答题（共75分）
16.(本小题满分12分)已知命题命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，
若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
17.(本小题满分12分)在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，
且，．
（Ⅰ）求与；（Ⅱ）。

18.(本小题满分12分)已知函数()x x x x x f 2
2sin cos sin 32cos -+=．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，、、分别为三边、、所对的角，若，，求的最大值．
19．（本小题满分12分）已知函数
（1）当x ∈[2,4]时.求该函数的值域；（2）若恒成立，求m 的取值范围。

20.（本题满分12分）如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．
(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求多面体A—CDEF的体积．
21. (本小题满分14分) 已知函数：R.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；
南昌十九中高三年级第三次月考数学试卷（文科）答题卡
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡对应题号后的横线上）
11.------------------ 12.------------------
13. ------------------ 14..------------------
15.------------------
三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．
17.
18.
19.
20.
21.
参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．D 5.C 6.C 7.D 8.B 9.D 10.D 二、填空题 11. 12．
15．
三、解答题 16. m ≥9
17.解（Ⅰ），．（Ⅱ）
18.（1）()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=+=-+=62sin 22cos 2sin 3sin cos sin 32cos 22πx x x x x x x x f （2分）
最小正周期为，由(k Z )可得(k Z )
即函数的单调递增区间为(k Z )（5分）
（2）由可得,即，又0＜＜，所以．由余弦定理可得,即（11分），即．又,所以故故当且仅当,即时,取得最大值（14分）
19题（本题12分）
20. (1)证明由多面体ABFEDC的三视图知，三棱柱AED—BFC中，底面DAE 是等腰直角三角形，DA＝AE＝2，DA⊥平面ABFE，面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．(3分)
连接EB，则M是EB的中点，
在△EBC中，MN∥EC，
且EC⊂平面CDEF，
MN⊄平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF.(6分)
(2)解∵DA⊥平面ABFE，
EF⊂平面ABFE，
∴EF⊥AD.又EF⊥AE，AE∩AD＝A，∴EF⊥平面ADE.
又DE⊂平面ADE，∴EF⊥DE，(8分)
∴四边形CDEF是矩形，且平面CDEF⊥平面DAE.
取DE的中点H，连接AH，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2，
∴AH＝2，且AH⊥平面CDEF.(12分)
∴多面体A—CDEF的体积V＝1
3S CDEF·AH
＝1
3
DE·EF·AH＝
8
3
.(14分)
21.（1）,（1分）当时，的单调增区间为，减区间为；当时，的单调增区间为，减区间为；当时，不是单调函数.（4分）
（2）得，（5分）∴，∴∵在区间上总不是单调函数，且∴（8分）由题意知：对于任意的，恒成立，所以，，∴（10分）。