数学物理方法复习资料及参考答案(一)

数学物理方法复习资料及参考答案（一）

一、填空题： 1. 复数

i

i

-+11用三角式可表示为 （主辐角[)π2,0）。 2. 已知幂级数

∑∞

=0

k k

k z

a 和

∑∞

=0

k k

k z

b 的收敛半径分别是1R 和2R ，则幂级数

()∑∞

=±0

k k k k

z b a

的收敛半径

为： 。

3. 勒让德多项式()l P x 的模l N = ()0,1,2,

l =。

4. 在00=z 的邻域上，z

e z

f 1)(=展开的洛朗级数为： 。

5. 函数2

)2)(1()(--=z z z z f 的留数)1(resf ＝ 。

6. 求解无限长弦的自由振动，设弦的初始位移为)(x ϕ，初始速度为)(/

x a ϕ-，

=),(t x u 。

7. 在00=z 的邻域上，z z f sin )(=的泰勒级数为： 。 8. 幂级数

()

∑∞

=-1

1

k k

i z k 的收敛圆： 。

9. 数理方程中的定解条件包括三大类 初始条件 、 和 衔接条件 。

10. 在本征值问题()()

()'''12012--+=-1<<±1⎧⎨

⎩

x y xy y x y λ有限中，方程

()'''1202--+=x y xy y λ称为__

_ _ __微分方程，该本征值问题的本征值

λn =___ _ ，相应本征函数是y x n ()=__________，其中n

=___ _ ____，

该本征函数称为______ __ _，写出它的表达式(至少一种)：___________ _____。

二、简答题：

1、孤立奇点分为几类？如何判别？

2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。 三、基础题：

1、计算实变函数定积分()()

22

2

2

94x dx

I x

x ∞

=

++⎰

2、已知解析函数()f z 的实部2

33),(xy x y x u -=，0)0(=f ，求虚部和这个解析函数。 3、设)0()(>=-ββt

e

t f ，证明t

e d t ββ

πωωβω-∞

=+⎰2cos 0

2

2 4、试证递推公式

()()()()()21111n xP x nP x n P x n n n +-=+-+

四、综合题： 1、求解定解问题

u a u x l t u t u l t u x u x x l x

l tt xx x t =<<>====+⎧⎨

⎪⎪⎩

⎪⎪200000

000232(,)

(,),(,)(,)(,)sin sin

ππ

2、求解定解问题

u u u a u a A ρρρϕϕρρρϕϕ

++=>=⎧

⎨

⎪⎩

⎪110

2()

(,)sin

3、求解定解问题

u r u r

u u r u rr r +++

=<=⎧

⎨⎪⎩

⎪2101122(cos sin )()

(,)cos θθθθθθθ

参考答案

一、填空题：（每空2分，共30分） 1.2

sin

2

cos

π

π

i + 2.},m in{21R R

3.122+l

4.∑∞

=0)1(!1k k

z

k

5.1

6.)(at x -ϕ

7. +-+-

!

7!5!3!17

53z z z z 8.1=-i z 9.边界条件 10.勒让德、 )1(+n n 、 )(x P n 、 ,2,1,0=n 、 勒让德多项式、

n

n

n

n n x dx d n x P )1(!21)(2-=或∑=-----=]2

[02)!

2()!(!2)!22()1()(n k n k n k n k n k n k x k n x P

二、简答题（每题5分，共10分） 1. 可去奇点、极点、本性奇点。

(→→→⎧⎪

⎪

∞⎨⎪

⎪⎩

00

00z z z z z z 可去奇点：　l imf(z)=a 有限值） 或无负幂项

极点：　l imf(z)=或有有限个负幂项本性奇点：　l imf(z)=不存在 或有无限多个负幂项

2. ①有无穷多个本征值： ≤≤≤321λλλ

相应地有无穷多个本征函数： ),(),(),(321x y x y x y ②所有的本征值都大于或等于零：0≥n λ

③相应于不同本征值m λ和n λ的本征函数)(x y m 和)(x y n ，在区间[]b a ,上带权重)(x ρ正交，即：

⎰

=b

a

n m dx x x y x y 0)()()(ρ

④本征函数族 ),(),(),(321x y x y x y 是完备的。 三、基础题（每题6分，共24分） 1. 解：

因为被积函数是偶函数，所以()()

22221294x dx

I x x ∞-∞=++⎰ 本题中，()()

()()()()

2

2

2

2

2

2

2

223349)(i z i z i z i z z z z

z z f -+-+=

++=

它在上半平面的奇点有两个：一阶极点i z 3=，二阶极点i z 2=， ……（2分）

()

()()

50

3493lim )3(Re 2

22

2

3i

z z

z i z i sf i

z =

++-=→ ()()()()20013492!121lim )2(Re 22222

2i z z z i z dz d i sf i z -=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++--=→ ……（2分） 所以，20020013503221ππ=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⋅=i i i I ……（2分） 2. 解：

xy y

u

y x x

u

6,

3322-=∂∂-=∂∂ ……（2分） 由R C -条件，得：

2233y x x

u y v -=∂∂=∂∂， 则：)(3)33(3

2

2

2

x y y x dy y x v ϕ+-=-=⎰

得：

)6()(6/xy y

u x xy x v --=∂∂-=+=∂∂ϕ， C x x ==⇒)(,0)(/ϕϕ

得：C y y x v +-=3

2

3，（C 为常数） ……（2分）

iC z iC iy x C y y x i xy x iv u z f +=++=+-+-=+=333223)()3(3)(