河北省邯郸市重点中学高三数学规范性课时作业(十三)(教师版)

课时作业(十三)

一、选择题

1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( C )

A ．1

B ．－1

C ．－e －1

D ．－e

解析：f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，∴f ′(e)＝－1

e ＝－e －1，选C.

2．曲线y ＝x

x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( A )

A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝2x －1

C ．y ＝－2x －3

D ．y ＝－2x －2

解析：∵y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2

(x ＋2)2

，

∴在点(－1，－1)处的切线方程的斜率为2

(－1＋2)2＝2.

∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.

3．曲线y ＝e

－2x

＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y

＝x 围成的三角形的面积为( A )

A.13

B.1

2 C.2

3 D ．1

解析：y ′＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y －2＝－2x ，即2x ＋y －2

＝0

由⎩⎨⎧

y ＝x 2x ＋y －2＝0

得⎩⎨⎧

x ＝23，

y ＝2

3，

A ⎝⎛⎭

⎫23，23，S △ABO ＝12·23＝13.

4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数

a 等于( A )

A ．－1 B.1

2 C ．－2 D ．2

解析：∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x

sin 2x ， ∴y ′|

x ＝π2

＝－1.

由条件知1

a ＝－1，∴a ＝－1.

5．过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的切线方程为( A )

A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0

B ．x －y －2＝0

C ．x －y ＋2＝0

D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0

解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0)处的切线斜率为y ′＝3x 2

－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x －y －2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1＝x 20＋x －1＝3x 2

0－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1＝0，所以A 正确．

6．点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )图象上一个定点，过点P 0的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( A )

A ．2

B ．－2

C ．－1

D ．－4

解析：y ′＝3x ＋1，则3

x 0

＋1＝4得x 0＝1，y 0＝3，代入y ＝3ln x ＋x ＋k 得k ＝2.

二、填空题 7．曲线y ＝

4

e x ＋1

在点(0,2)处的切线方程为________． 解析：依题意，y ′＝－4e x (e x ＋1)2，故曲线y ＝4

e x ＋1在点(0,2)处的切线的斜率是－4e 0(e 0＋1)2

＝

－1，所求的切线方程是y ＝2－x ，即x ＋y －2＝0.

答案：x ＋y －2 ＝0

8．函数f (x )＝x 2＋3xf ′(1)，在点(2，f (2))处的切线方程为________．

解析：f ′(x )＝2x ＋3f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋3f ′(1)，∴f ′(1)＝－1，f ′(2)＝4－3＝1，f (x )＝x 2－3x ，∴f (2)＝－2，函数f (x )在点(2，－2)处的切线斜率为1，其方程为x －y －4＝0.

答案：x －y －4＝0

9．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________.

解析：f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5) ＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′

∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案：－120

10．将函数y ＝－x 2＋x (x ∈[0,1])的图象绕点M (1,0)顺时针旋转θ角

⎝ ⎛

⎭⎪⎫0<θ<π2得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图象，则角θ的最大值为________．

解析：设y ＝－x 2＋x 在点(1,0)处的切线为l ，则由y ′＝－2x ＋1，y ′|x ＝1＝－1.即直线l 的倾斜角为135°，当其转到与x 轴垂直时适合题意，故角θ的最大值为45°.

答案：45°

三、解答题

11．求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－4

3x 3＋3x 2＋2； (2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝sin 22x ； (4)y ＝ln 1＋x 2.

解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′－⎝⎛⎭

⎫43x 3

′＋(3x 2)′＋(2)′

＝x 4－4x 2＋6x .

(2)∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ， ∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.

(3)y ′＝(2sin 2x )(cos 2x )×2＝2sin 4x ； (4)y ′＝

11＋x 2·121＋x 2

·2x ＝x

1＋x 2.

12．(1)已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫

23x 2－x ，求函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝

⎛⎭⎪⎫23处的切线方程．