数值分析试题A卷10.1

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期

研究生期末考试试题A (闭卷考试)

课程名称：数值分析

注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分）

1、 已知x =是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差

界为_______________。 2、数值微分公式()()

'()i i i f x h f x f x h

+-≈

的截断误差为 。

3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。 H = 。

4、利用三点高斯求积公式

1

1

()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x dx f f f -≈-++⎰

导出求积分

4

0()f x dx

⎰的三点高斯求积公式 。

5、4

2

()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-=

若则

6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则

(0)(1)__________.n

k

k k l

x =+=∑

7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的

截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________.

8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3

2

()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。

10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的________________________.

function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000 x=cos (x0);

if abs(x-x0)<, break end x0=x; end

二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b ，其中11120,1211A b ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，

（1）用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。 （2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。 三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式

1

(1)

(1)

()1

+1

/,

121,,i n

k k k i

i ij j

ij

j ii j j i x b a x

a

x a i n n -++===--

=-∑∑（），，

（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；

（2）若11a A a ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。 四、（15分）（1）证明对任何初值0x R ∈，由迭代公式11

1sin ,0,1,2, (2)

k k x x k +=+

=

所产生的序列{}0k k x ∞

=都收敛于方程1

1sin 2

x x =+

的根。 （2）迭代公式11

21sin ,0,1,2, (2)

k k k x x x k +=--

=是否收敛。

五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据

-2-112

30.81 3.4

i i

x y ⎧⎨⎩

并求平方误差22

δ

。

六、（15分）（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange 插值多项式2()P x ； （2）以0，1，2为求积节点，建立求积分3

()I f x dx =⎰

的一个插值型求积公式，

并推导此求积公式的截断误差。

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)

课程名称：数值分析

一、（30分） 1、61102-⨯； 2、()O h ； 3、1121H ⎡-=⎢

⎢⎥⎣⎦

； 4、

4

() 1.1112(0.4508) 1.7778(2) 1.1112(3.5492)f x dx f f f ≈++⎰；

5、 5；

6、1；

7、1

12

； 8、10021035013L ⎛⎫

⎪

⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

；

9、 3

2

152

(7)26(7)

k k k k k x x x x x +-=-- 10、用简单迭代法1cos()k k x x +=求方程cos()x x =的根。 二、（15分）（1）

1211122211212211212

(1,2,2),(1,0,1)1

(1,2,2),(1,2,2)3

11

(,)(2,-2,1),=(2,-2,1)33

31131200121T T

T T T T

u u v u v u u u v u u A QR εεεεεεεε=====

=-=-===⎧⎨

=+⎩⎡⎤

⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，

（10分）

5/341(2),,1/393T

T

Rx Q b x ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（5分）

三、（10分） (1) 1

(1)

()

(+1)1

+1

,,1,,2,1i n

k k k ii i

i ij j

ij j

j j i a x b a x

a

x i n n -+===--

=-∑∑L

(1)(1)()(1)()(1)1()1)()()()k k k k k k k Dx b Lx Ux D L x Ux b

x D L Ux D L b

++++--=++-=+=-+-

(1)()1111222111

1211,()()000,00000k k nn n nn n n n x Bx g

B D L U

g D L b

a a a D L a a a a a U a +----=+=-=-⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪==-

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

L L M O M O M L L

M O M M L L 迭代矩阵右端向量其迭代法的矩阵形式中 (6分)

1

121

00

(2)()10

010001000a B D L U a

a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

迭代矩阵