数值分析试题A卷10.1

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分）1、 已知x =是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差界为_______________。

2、数值微分公式()()'()i i i f x h f x f x h+-≈的截断误差为 。

3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。

H = 。

4、利用三点高斯求积公式11()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746)f x dx f f f -≈-++⎰导出求积分40()f x dx⎰的三点高斯求积公式 。

5、42()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-=若则6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则(0)(1)__________.nkk k lx =+=∑7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________.8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。

L =_________. 9、设32()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。

10、下面M 文件是用来求解什么数学问题的________________________.function [x,k]=dd （x0） for k=1:1000 x=cos (x0);if abs(x-x0)<, break end x0=x; end二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b ，其中11120,1211A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，（1）用施密特正交化方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。

（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。

三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b 的分量迭代格式1(1)(1)()1+1/,121,,i nk k k ii ij jijj ii j j i x b a xax a i n n -++===--=-∑∑（），，（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）若11a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭，推导上述迭代格式收敛的充分必要条件。

四、（15分）（1）证明对任何初值0x R ∈，由迭代公式111sin ,0,1,2, (2)k k x x k +=+=所产生的序列{}0k k x ∞=都收敛于方程11sin 2x x =+的根。

（2）迭代公式1121sin ,0,1,2, (2)k k k x x x k +=--=是否收敛。

五、（15分）用最小二乘法确定一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合下列数据-2-11230.81 3.4i ix y ⎧⎨⎩并求平方误差22δ。

六、（15分）（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange 插值多项式2()P x ； （2）以0，1，2为求积节点，建立求积分3()I f x dx =⎰的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称：数值分析一、（30分） 1、61102-⨯； 2、()O h ； 3、1121H ⎡-=⎢⎢⎥⎣⎦； 4、4() 1.1112(0.4508) 1.7778(2) 1.1112(3.5492)f x dx f f f ≈++⎰；5、 5；6、1；7、112； 8、10021035013L ⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；9、 32152(7)26(7)k k k k k x x x x x +-=-- 10、用简单迭代法1cos()k k x x +=求方程cos()x x =的根。

二、（15分）（1）1211122211212211212(1,2,2),(1,0,1)1(1,2,2),(1,2,2)311(,)(2,-2,1),=(2,-2,1)3331131200121T TT T T Tu u v u v u u u v u u A QR εεεεεεεε======-=-===⎧⎨=+⎩⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，（10分）5/341(2),,1/393TTRx Q b x ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5分）三、（10分） (1) 1(1)()(+1)1+1,,1,,2,1i nk k k ii ii ij jij jj j i a x b a xax i n n -+===--=-∑∑L(1)(1)()(1)()(1)1()1)()()()k k k k k k k Dx b Lx Ux D L x Ux bx D L Ux D L b++++--=++-=+=-+-(1)()11112221111211,()()000,00000k k nn n nn n n n x Bx gB D L Ug D L ba a a D L a a a a a U a +----=+=-=-⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭L L M O M O M L LM O M M L L 迭代矩阵右端向量其迭代法的矩阵形式中 (6分)112100(2)()10010001000a B D L U aa a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭迭代矩阵22(),()1,101B a B a a ρρ=<<→<<迭代格式收敛的充分必要条件是即 (4分)四、（15分）（1）记1()1sin 2x x ϕ=+，则1'()cos 2x x ϕ=。

先考虑区间[，]，当[0.5,1.5]x ∈时，1()1sin [0.5,1.5]2x x ϕ=+∈ ，11'()cos 122x x ϕ=≤< 。

故对任意初值[0.5,1.5]x ∈，由迭代公式111sin ,0,1,2,...2k k x x k +=+=产生的序列{}0k k x ∞= 都收敛于方程11sin 2x x=+的根。

(9分)对任意初值0x R ∈，有1011sin [0.5,1.5]2x x =+∈，将此1x 看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式111sin ,0,1,2, (2)k k x x k +=+=产生的序列{}0k k x ∞= 都收敛于方程11sin 2x x =+的根。

(3分) （2）记1()21sin 2x x x ϕ=--，则1'()2cos 2x x ϕ=-，对任意x R ∈，有'() 1.5x ϕ≥ 所以迭代公式1121sin ,0,1,2, (2)k k k x x x k +=--=不收敛。

(3分)五、（15分）212122(),()-243-110.8,,,11124 3.40.110010.1,=27.403427.40.805934()0.1+0.8059x x x x Y a a b b s x x x ϕϕ==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Φ=Φ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦= （10分）2212(,)(,)(,)22.20.10.805927.40.01882Y Y a Y b Y δ=-Φ-Φ=-+⨯= （5分）六、（15分） （1）2(1)(2)(0)(2)(1)(0)()(0)(1)(2)(01)(02)(10)(12)(21)(20)x x x x x x P x f f f ------=++------ （ 5分）（2）3321039()()(0)(2)=44I f x dx P x dx f f I =≈=+⎰⎰ （5分）34319()=32442.f x x =⨯≠⨯=取，代入求积公式，左边右边代数精度为 构造一个二次插值多项式p 2(x)满足下列条件222(0)(0),(2)(2),'(2)'(2)p f p f p f ===(3)2(3)2()23!333()23!0()()(2),()()(2)f f f x p x x x a b f x dx p x dx x x dxξξξ-=-≤≤-=-⎰⎰⎰因为p 2(x)为二次多项式，所以322203939()(0)(2)(0)(2)4444p x dx p p f f =+=+⎰(3)3210(3)(3)32(3)0()(2)3!()()93(2)()3!3!48f I I x x dxf f x x dx f ξξξη-=-=-==⎰⎰ （5分）。