函数的定义域+基本初等函数

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函数的概念与基本初等函数Ⅰ复习

函数的概念与基本初等函数Ⅰ复习

函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示突破点(一) 函数的定义域1.函数与映射的概念 函数映射两集合A ,B设A ,B 是两个非空的数集 设A ,B 是两个非空的集合 对应关系f :A →B如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x ),x ∈A对应f :A →B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.求给定解析式的函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y =x 0的定义域是{x |x ≠0}.(5)y =a x (a >0且a ≠1),y =sin x ,y =cos x 的定义域均为R.(6)y =log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0,+∞).(7)y =tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π+π2,k ∈Z .[例1] y =x -12x-log 2(4-x 2)的定义域是( ) A .(-2,0)∪(1,2) B .(-2,0]∪(1,2) C .(-2,0)∪[1,2) D .[-2,0]∪[1,2] [答案] C求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出;(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]上的值域.[例2] 若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (2x )x -1的定义域为________.[答案] [0,1)已知函数定义域求参数[例3] (2017·杭州模拟)若函数f (x )=mx 2+mx +1的定义域为一切实数,则实数m 的取值范围是( )A .[0,4)B .(0,4)C .[4,+∞)D .[0,4][答案] D1.[考点一]函数y =x ln(2-x )的定义域为( ) A .(0,2) B .[0,2) C .(0,1] D .[0,2] 解析:选B2.[考点一](2017·青岛模拟)函数y =1-x 22x 2-3x -2的定义域为( )A .(-∞,1]B .[-1,1]C .[1,2)∪(2,+∞) D.⎣⎡⎭⎫-1,-12∪⎝⎛⎦⎤-12,1 解析:选D 3.[考点一]函数f (x )=1-|x -1|a x -1(a >0且a ≠1)的定义域为________.答案:(0,2]4.[考点二]已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[-3, 3 ],则函数y =f (x )的定义域为________.答案:[-1,2]5.[考点三]若函数f (x )=ax 2+abx +b 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为________. 答案:-92突破点(二) 函数的表示方法1.函数的表示方法函数的表示方法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.同一个函数可以用不同的方法表示.2.应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法:一般情况下,必须注明函数的定义域;(2)列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;(3)图象法:注意定义域对图象的影响.与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点. 3.函数的三种表示方法的优缺点求函数的解析式求函数解析式的四种方法[典例](1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),则当-1≤x ≤0时,f (x )=________.(2)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0},满足3f (x )+5f ⎝⎛⎭⎫1x =3x +1,则函数f (x )的解析式为________.[解析] (1)∵-1≤x ≤0,∴0≤x +1≤1,∴f (x )=12f (x +1)=12(x +1)[1-(x +1)]=-12x (x+1).故当-1≤x ≤0时,f (x )=-12x (x +1).(2) f (x )=1516x -916x +18(x ≠0).1.已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2f ⎝⎛⎭⎫1x x -1,则f (x )=________. 答案:23x +13(x >0) 2.函数f (x )满足2f (x )+f (-x )=2x ,则f (x )=________. 答案:2x3.已知f (x +1)=x +2x ,求f (x )的解析式. f (x )=x 2-1,x ≥1.4.已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,求f (x )的解析式.f (x )=12x 2+12x ,x ∈R.5.已知f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2,求f (x )的解析式. f (x )的解析式是f (x )=x 2-2,x ≥2或x ≤-2.突破点(三) 分段函数1.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.2.分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.分段函数求值[例1] (1)设f (x )=⎩⎨⎧1-x ,x ≥0,2x ,x <0,则f (f (-2))=( )A .-1 B.14 C.12 D.32(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ,x ≥4,f (x +1),x <4,则f (1+log 25)的值为( )A.14B.⎝⎛⎭⎫12 21log 5+C.12D.120 [答案] (1)C (2)D求参数或自变量的值或范围[例2] (1)(2017·西安模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,x 2,x ≤0,若f (4)=2f (a ),则实数a 的值为( )A .-1或2B .2C .-1D .-2(2)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.[答案] (1)A (2)(-∞,8]1.[考点一]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-2x ,x ≤0,x 2,x >0,则f (f (-1))=( )A .2B .1 C.14 D.12解析:选C2.[考点一]已知f (x )=⎩⎨⎧3sin πx ,x ≤0,f (x -1)+1,x >0,则f ⎝⎛⎭⎫23的值为( ) A.12 B .-12 C .1 D .-1 解析:选B3.[考点一]已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x +b ,x ≤0,且f (0)=2,f (-1)=3,则f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3 解析:选B4.[考点二]设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -1,x <1,2x , x ≥1,则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23,1 B .[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23,+∞ D .[1,+∞) 解析:选C5.[考点二]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≥0,3x 2,x <0,且f (x 0)=3,则实数x 0的值为________.答案:-1或16.[考点二]已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x +1,x ≤0,-(x -1)2,x >0,使f (x )≥-1成立的x 的取值范围是________.答案:[-4,2][全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国甲卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是( )A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y =1x解析:选D2.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A .3B .6C .9D .12解析:选C3.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( )A .-74B .-54C .-34D .-14解析:选A4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x ,x ≤0,ln (x +1),x >0.若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( )A .(-∞,0]B .(-∞,1)C .[-2,1]D .[-2,0]解析:选D1.下列图象可以表示以M ={x |0≤x ≤1}为定义域,以N ={y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析:选C2.若函数f (x +1)的定义域为[0,1],则f (2x -2)的定义域为( ) A .[0,1] B .[log 23,2] C .[1,log 23] D .[1,2] 解析:选B3.若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( ) A .g (x )=2x 2-3x B .g (x )=3x 2-2x C .g (x )=3x 2+2x D .g (x )=-3x 2-2x 解析:选B 4.若函数f (x )= 2x 2+2ax -a -1的定义域为R ,则a 的取值范围为________.答案:[-1,0]5.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -b ,x <1,2x ,x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56=4,则b =________.答案:12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1.函数f (x )=10+9x -x 2lg (x -1)的定义域为( )A .[1,10]B .[1,2)∪(2,10]C .(1,10]D .(1,2)∪(2,10] 解析:选D2.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-cos πx ,x >0,f (x +1)+1,x ≤0,则f ⎝⎛⎭⎫43+f ⎝⎛⎭⎫-43的值等于( ) A .1 B .2 C .3 D .-2 解析:选C3.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (1)=( ) A .2 B .0 C .1 D .-1解析:选A4.(2017·贵阳检测)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎨⎧cx,x <a ,ca ,x ≥a ,(a ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a 件产品用时15分钟,那么c 和a 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,16 解析:选D5.设x ∈R ,定义符号函数sgn x =⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则( )A .|x |=x |sgn x |B .|x |=x sgn|x |C .|x |=|x |sgn xD .|x |=x sgn x 解析:选D6.已知具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y =x -1x ;②y =x +1x ;③y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①解析:选B二、填空题7.已知函数f (x )对任意的x ∈R ,f (x +1 001)=2f (x )+1,已知f (15)=1,则f (2 017)=________.答案:18.(2017· 绵阳诊断)已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +a ,x <1,-x -2a ,x ≥1.若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为________.解析:答案:-349.已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12+x +f ⎝⎛⎭⎫12-x =2成立,则f ⎝⎛⎭⎫18+f ⎝⎛⎭⎫28+…+f ⎝⎛⎭⎫78=________.解析:答案:710.定义函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则不等式(x +1)f (x )>2的解集是________.答案:{x |x <-3或x >1} 三、解答题11.已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=-2f (x +1),且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )=x 2.(1)求f (-1),f (1.5);(2)写出f (x )在区间[-2,2]上的解析式.解:(1) f (-1)=0,f (1.5)=-18.(2) f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4(x +2)2,x ∈[-2,-1),-2(x +1)2,x ∈[-1,0),x 2,x ∈[0,1],-12(x -1)2,x ∈(1,2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系:y =x 2200+mx+n (m ,n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图.(1)求出y 关于x 的函数解析式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度.解:(1) y =x 2200+x100(x ≥0).(2)-72≤x ≤70.0≤x ≤70.行驶的最大速度是70千米/时.第二节 函数的单调性与最值突破点(一) 函数的单调性1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.判断函数的单调性1.复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数.即“同增异减”.2.函数单调性的性质(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数,更进一步,即增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减;(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;(3)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≠0)与y=-f(x),y=1f(x)单调性相反;(4)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≥0)与y=f(x)单调性相同;(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.[例1](1)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=-1x+1D.f(x)=-|x|(2)已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为() A.(-∞,1] B.[3,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞) [答案](1)C(2)B函数单调性的应用应用(一) [例2] 已知函数f (x )的图象关于直线x =1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (e),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >b D .b >a >c[答案] D应用(二) 解函数不等式[例3] f (x )是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,当f (x )+f (x -8)≤2时,x 的取值范围是( )A .(8,+∞)B .(8,9]C .[8,9]D .(0,8)[答案] B用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(2)有时,在不等式一边没有符号“f ”时,需转化为含符号“f ”的形式.如若已知f (a )=0,f (x -b )<0,则f (x -b )<f (a ).应用(三) 求参数的取值范围[例4] (1)如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-14,+∞B.⎣⎡⎭⎫-14,+∞C.⎣⎡⎭⎫-14,0D.⎣⎡⎦⎤-14,0 (2)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+4x ,x ≤4,log 2x ,x >4.若函数y =f (x )在区间(a ,a +1)上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1]B .[1,4]C .[4,+∞)D .(-∞,1]∪[4,+∞) [答案] (1)D (2)D1.[考点一]函数f (x )=|x -2|x 的单调减区间是( ) A .[1,2] B .[-1,0] C .[0,2] D .[2,+∞)解析:选A2.[考点二·应用(一)]已知函数y =f (x )是R 上的偶函数,当x 1,x 2∈(0,+∞),x 1≠x 2时,都有(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0.设a =ln 1π,b =(ln π)2,c =ln π,则( )A .f (a )>f (b )>f (c )B .f (b )>f (a )>f (c )C .f (c )>f (a )>f (b )D .f (c )>f (b )>f (a ) 解析:选C3.[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R 上的奇函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增,且f ⎝⎛⎭⎫12=0,则满足f log 19x >0的x 的集合为________.<x <3.答案:⎝⎛⎭⎫0,13∪(1,3) 4.[考点二·应用(三)]已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(2-a )x +1,x <1,a x,x ≥1,满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.答案:⎣⎡⎭⎫32,25.[考点一]用定义法讨论函数f (x )=x +ax (a >0)的单调性.突破点(二) 函数的最值1.函数的最值 前提设函数f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足条件对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ;对于任意x ∈I ,都有f (x )≥M ; 存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M结论 M 为最大值M 为最小值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.求函数的最值(值域)1.(1)判断或证明函数的单调性;(2)计算端点处的函数值;(3)确定最大值和最小值. 2.分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式,因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值,然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值,各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.[典例] (1)函数y =x +x -1的最小值为________.(2)函数y =2x 2-2x +3x 2-x +1的值域为________.(3)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为________.[答案] (1)1 (2)⎝⎛⎦⎤2,103 (3)21.已知a >0,设函数f (x )=2 018x +1+2 0162 018x +1 (x ∈[-a ,a ])的最大值为M ,最小值为N ,那么M +N =( )A .2 016B .2 018C .4 032D .4 034 解析:选D2.(2017·贵阳检测)定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -2⊕x ,x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12 解析:选C3.函数f (x )=⎝⎛⎭⎫13x -log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 答案:34.(2017·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38,49,则函数g (x )=f (x )+1-2f (x )的值域为________.答案:⎣⎡⎦⎤79,785.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是________.答案:1[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )=ln(1+|x |)-11+x 2,则使得f (x )>f (2x -1)成立的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13,1B.⎝⎛⎭⎫-∞,13∪(1,+∞)C.⎝⎛⎭⎫-13,13D.⎝⎛⎭⎫-∞,-13∪⎝⎛⎭⎫13,+∞ 解析:选A2.(2013·新课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )=(1-x 2)(x 2+ax +b )的图象关于直线x =-2对称,则f (x )的最大值为________.答案:161.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =ln(x +2) B .y =-x +1 C .y =⎝⎛⎭⎫12x D .y =x +1x 解析:选A2.如果二次函数f (x )=3x 2+2(a -1)x +b 在区间(-∞,1)上是减函数,则( ) A .a =-2 B .a =2 C .a ≤-2 D .a ≥2 解析:选C3.函数y =|x |(1-x )在区间A 上是增函数,那么区间A 是( ) A .(-∞,0) B.⎣⎡⎦⎤0,12 C .[0,+∞) D.⎝⎛⎭⎫12,+∞ 解析:选B 4.函数f (x )=2x -1在[-6,-2]上的最大值是________;最小值是________. 答案:-27 -235.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(1-2a )x +3a ,x <1,ln x ,x ≥1的值域为R ,那么a 的取值范围是________.答案:⎣⎡⎭⎫-1,12 [练常考题点——检验高考能力]一、选择题1.给定函数①y =x 12,②y =log 12(x +1),③y =|x -1|,④y =2x +1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A .①②B .②③C .③④D .①④ 解析:选B2.定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x =2对称,且f (x )在(-∞,2)上是增函数,则( )A .f (-1)<f (3)B .f (0)>f (3)C .f (-1)=f (3)D .f (0)=f (3) 解析:选A3.函数y =⎝⎛⎭⎫132x 2-3x +1的单调递增区间为( ) A .(1,+∞) B.⎝⎛⎦⎤-∞,34 C.⎝⎛⎭⎫12,+∞ D.⎣⎡⎭⎫34,+∞ 解析:选B4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3a -1)x +4a ,x <1,log a x ,x ≥1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( )A .(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0,13 C.⎣⎡⎭⎫17,13 D.⎣⎡⎭⎫17,1 解析:选C5.(2017·九江模拟)已知函数f (x )=log 2x +11-x ,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),则( )A .f (x 1)<0,f (x 2)<0B .f (x 1)<0,f (x 2)>0C .f (x 1)>0,f (x 2)<0D .f (x 1)>0,f (x 2)>0解析:选B6.(2017·日照模拟)若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=ax +1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1] 解析:选D 二、填空题7.已知函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,若f (a 2-a )>f (a +3),则实数a 的取值范围为________.答案:(-3,-1)∪(3,+∞) 8.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的单调递减区间是________.答案:[0,1)9.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2x -3,x ≥1,lg (x 2+1),x <1,则f (x )的最小值是________.答案:22-310.(2017·豫南名校联考)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3,x ≤0,-x 2-2x +3,x >0,不等式f (x +a )>f (2a -x )在[a ,a +1]上恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案:(-∞,-2) 三、解答题 11.已知f (x )=xx -a(x ≠a ). (1)若a =-2,试证明f (x )在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围. 答案:a 的取值范围是(0,1].12.已知函数f (x )=ax +1a (1-x )(a >0),且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a ),求g (a )的最大值.解: g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧a ,0<a <1,1a ,a ≥1,∴g (a )在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,又a =1时,有a =1a =1,∴当a =1时,g (a )取最大值1. 第三节 函数的奇偶性及周期性突破点(一) 函数的奇偶性1.函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (-x )=-f (x ),那么函数f (x )就叫做奇函数都有f (-x )=f (x ),那么函数f (x )就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y 轴对称2.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.函数奇偶性的判断[例1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=x lg(x +x 2+1);(2)f (x )=(1-x )1+x1-x; (3)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +1 (x >0),x 2+2x -1 (x <0);(4)f (x )=4-x 2|x +3|-3.[解] (1)偶函数.(2)非奇非偶函数.(3)奇函数.(4)函数f (x )是奇函数.函数奇偶性的应用[例2] (1)已知函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R),若f (a )=2,则f (-a )的值为( ) A .3 B .0 C .-1 D .-2(2)若函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,定义域为[a -1,2a ],则a =________,b =________.[答案] (1)B (2)131.[考点一]下列函数为偶函数的是()A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=x2+cos x 答案:D2.[考点一]下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.f(x)=1+x2B.f(x)=x+1x C.f(x)=2x+12x D.f(x)=x+ex解析:选D3.[考点二]设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-2)=()A.-12 B.12C.2 D.-2解析:选B4.[考点二]设函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则a=________.答案:-15.[考点二]已知f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-1,则当x<0时,f(x)=________.答案:x2+x-1突破点(二)函数的周期性1.周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x +T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.利用函数的周期性求值或范围周期函数y(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;(3)若f(x+a)=-1f(x),则函数的周期为2a;(4)若f(x+a)=1f(x),则函数的周期为2a;(5)若函数f(x)关于直线x=a与x=b对称,那么函数f(x)的周期为2|b-a|;(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是2|b-a|;(7)若函数f (x )关于直线x =a 对称,又关于点(b,0)对称,则函数f (x )的周期是4|b -a |; (8)若函数f (x )是偶函数,其图象关于直线x =a 对称,则其周期为2a ; (9)若函数f (x )是奇函数,其图象关于直线x =a 对称,则其周期为4a .[典例] (1)(2017·郑州模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2(1-x ),0≤x ≤1,x -1,1<x ≤2,如果对任意的n ∈N *,定义f n (x )=,那么f 2 016(2)的值为( )A .0B .1C .2D .3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=2x -x 2,则f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2 018)=________.[解析] (1)∵f 1(2)=f (2)=1,f 2(2)=f (1)=0,f 3(2)=f (0)=2,∴f n (2)的值具有周期性,且周期为3,∴f 2 016(2)=f 3×672(2)=f 3(2)=2,故选C.(2) f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2 018)=1 009.1.设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-2,-2≤x ≤0,x ,0<x <1,则f ⎝⎛⎭⎫52=( )A .0B .1 C.12D .-1解析:选D2.(2017·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x +1)=-f (x ),且当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1-x ),则f ⎝⎛⎭⎫52的值为( )A.12B.14 C .-14 D .-12解析:选A3.(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +a ,-1≤x <0,⎪⎪⎪⎪25-x ,0≤x <1,其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫-52=f ⎝⎛⎭⎫92,则f (5a )的值是________. 解析:a =35.所以f (5a )=f (3)=f (4-1)=f (-1)=-1+35=-25.4.若对任意x ∈R ,函数f (x )满足f (x +2 017)=-f (x +2 018),且f (2 018)=-2 017,则f (-1)=________.答案:2 0175.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ),当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2;当-1≤x <3时,f (x )=x .求f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)的值.f (1)+f (2)+…+f (2 018)=336+3=339.突破点(三) 函数性质的综合问题1.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,其中奇偶性多与单调性结合,而周期性多与抽象函数结合,并结合奇偶性求函数值.2.函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.奇偶性与单调性的综合问题偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.[例1] 已知奇函数f (x )的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足f (1-m )+f (1-m 2)<0的实数m 的取值范围.实数m 的取值范围是[-1,1).奇偶性与周期性的综合问题[例2] 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=3x -1,则f ⎝⎛⎭⎫2 0192=( )A.3+1B.3-1 C .-3-1 D .-3+1[答案] D奇偶性、周期性、单调性的综合问题[例3] 则( )A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)[答案] D1.[考点一](2017·太原模拟)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是( ) A .y =x -1 B .y =ln x 2 C .y =cos xx D .y =-x 2 解析:选D2.[考点二](2017·广州联考)已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (7)=( )A .2B .-2C .-98D .98 解析:选B3.[考点一]已知定义在R 上的奇函数f (x )在x >0时满足f (x )=x 4,且f (x +t )≤4f (x )在x∈[1,16]时恒成立,则实数t的最大值是()A.2-1 B.16(2-1) C.2+1 D.16(2+1)解析:选A4.[考点三]已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=1f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[2,3]上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析:选A5.[考点二]已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=2a-3 a+1,则实数a的取值范围为________.答案:(-1,4)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析:选C2.(2015·新课标全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x ln(x+a+x2)为偶函数,则a=________.答案:13.(2014·新课标全国卷Ⅱ)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________.答案:34.(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.答案:(-1,3)5.(2012·新课标全国卷)设函数f(x)=(x+1)2+sin xx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.答案:21.(2016·肇庆三模)在函数y=x cos x,y=e x+x2,y=lg x2-2,y=x sin x中,偶函数的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0解析:选B2.下列函数为奇函数的是()A .f (x )=xB .f (x )=e xC .f (x )=cos xD .f (x )=e x -e -x 解析:选D3.(2017·江南十校联考)设f (x )=x +sin x (x ∈R),则下列说法错误的是( ) A .f (x )是奇函数 B .f (x )在R 上单调递增 C .f (x )的值域为R D .f (x )是周期函数 解析:选D4.奇函数f (x )的周期为4,且x ∈[0,2],f (x )=2x -x 2,则f (2 018)+f (2 019)+f (2 020)的值为________.答案:-15.函数f (x )在R 上为奇函数,且x >0时,f (x )=x +1,则当x <0时,f (x )=________. 答案:--x -1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1.(2017·石家庄质量检测)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A .y =1x B .y =|x |-1 C .y =lg x D .y =⎝⎛⎭⎫12ln |x | 解析:选B2.(2017·泰安模拟)奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为( )A .2B .1C .-1D .-2 解析:选A3.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时,f (x )=0,则f ⎝⎛⎭⎫23π6=( ) A.12 B.32 C .0 D .-12 解析:选A4.(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-2),则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-∞,12B.⎝⎛⎭⎫-∞,12∪⎝⎛⎭⎫32,+∞C.⎝⎛⎭⎫12,32D.⎝⎛⎭⎫32,+∞ 解析:选C5.(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x );当x >12时,f ⎝⎛⎭⎫x +12=f ⎝⎛⎭⎫x -12,则f (6)=( ) A .-2 B .-1 C .0 D .2 解析:选D6.已知函数f (x )对任意x ∈R ,都有f (x +6)+f (x )=0,y =f (x -1)的图象关于点(1,0)对称,且f (2)=4,则f (2 014)=( )A .0B .-4C .-8D .-16 解析:选B 二、填空题7.(2017·揭阳模拟)已知函数f (x )是周期为2的奇函数,当x ∈[0,1)时,f (x )=lg(x +1),则f ⎝⎛⎭⎫2 0165+lg 18=________.答案:18.函数f (x )=e x +x (x ∈R)可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和,则g (0)=________. 答案:19.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2+2x ,若f (2-a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是________.解析:答案:(-2,1)10.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件:①f (x )+f (-x )=0;②f (x )=f (x +2);③当0≤x ≤1时,f (x )=2x -1.则f ⎝⎛⎭⎫12+f (1)+f ⎝⎛⎭⎫32+f (2)+f ⎝⎛⎭⎫52=________. 答案: 2 三、解答题11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x ,x >0,0,x =0,x 2+mx ,x <0是奇函数.(1)求实数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,求实数a 的取值范围. 解:(1) m =2.(2)实数a 的取值范围是(1,3].12.函数f (x )的定义域为D ={x |x ≠0},且满足对任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2).(1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f (4)=1,f (x -1)<2, 且f (x )在(0,+∞)上是增函数,求x 的取值范围.解:(1) f (1)=0.(2)f (x )为偶函数. (3) x 的取值范围是(-15,1)∪(1,17). 第四节 二次函数与幂函数突破点(一) 幂函数1.幂函数的定义形如y =x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数.对于幂函数,只讨论α=1,2,3,12,-1时的情形.2.五种幂函数的图象3.五种幂函数的性质 函数性质y =xy =x 2 y =x 3 y =x 12y =x -1 定义域 RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域 R [0,+∞)R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性 增 x ∈[0,+∞)时,增;x ∈(-∞,0]时,减增增x ∈(0,+∞)时,减;x ∈(-∞,0)时,减幂函数的图象[例1] 幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y =f (x )的图象是( )[答案] C幂函数的性质(1)幂函数在(0;(3)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;(4)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减;(5)当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.[例2] (1)设a =⎝⎛⎭⎫3525,b =⎝⎛⎭⎫2535,c =⎝⎛⎭⎫2525,则a ,b ,c 的大小关系是________. (2)若(a +1)13-<(3-2a )13-,则实数a 的取值范围是________.[答案] (1)a >c >b (2)(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎫23,321.[考点二]已知函数f (x )=(m 2-m -1)x23+-m m 是幂函数,且x ∈(0,+∞)时,f (x )是增函数,则m 的值为( )A .-1 B .2 C .-1或2 D .3解析:选B2.[考点一]图中C 1,C 2,C 3为三个幂函数y =x k 在第一象限内的图象,则解析式中指数k 的值依次可以是( )A .-1,12,3B .-1,3,12 C.12,-1,3 D.12,3,-1解析:选A3.[考点一、二](2017·昆明模拟)已知幂函数f (x )=(n 2+2n -2)xn 2-3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n 的值为( )A .-3B .1C .2D .1或2解析:选B n 2+2n -2=1,解得n =1或n =-3,经检验只有n =1符合题意. 4.[考点二]若a =⎝⎛⎭⎫1223,b =⎝⎛⎭⎫1523,c =⎝⎛⎭⎫1213,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <c B .c <a <b C .b <c <a D .b <a <c解析:选D 5.[考点二]若(a +1)12<(3-2a )12,则实数a 的取值范围是________.答案:⎣⎡⎭⎫-1,23 突破点(二) 二次函数1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),图象的对称轴是x =-b2a,顶点坐标是⎝⎛⎭⎫-b 2a,4ac -b 24a ;(2)顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0),图象的对称轴是x =m ,顶点坐标是(m ,n );(3)零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0),其中x 1,x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根,图象的对称轴是x =x 1+x 22. 2.二次函数的图象和性质 f (x )=ax 2+bx +ca >0a <0图象定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝⎛⎦⎤-∞,4ac -b 24a奇偶性b =0时为偶函数,b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤-∞,-b2a 上单调递减,在⎣⎡⎭⎫-b 2a ,+∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤-∞,-b2a 上单调递增,在⎣⎡⎭⎫-b 2a ,+∞上单调递减最值 当x =-b2a 时,y min =4ac -b 24a当x =-b2a 时,y max =4ac -b 24a求二次函数的解析式[例1] 已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.f (x )=-4x 2+4x +7.二次函数的图象确定二次函数的图象,主要有以下三个要点:从这三方面入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图象中得到如上信息.二次函数的图象与性质的应用考法(一) 二次函数的单调性[例2] 已知函数f (x )=x 2+2ax +3,x ∈[-4,6].(1)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-4,6]上是单调函数; (2)当a =1时,求f (|x |)的单调区间.[解] (1)实数a 的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞). (2) f (|x |)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].考法(二)二次函数的最值二次函数的最值问题主要有三种类型:“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”.解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系,要结合函数图象,依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.设f(x)=ax2+bx+c(a>0),则二次函数f(x)在闭区间[m,n]上的最大值、最小值有如下的分布情况:对称轴与区间的关系m<n<-b2a,即-b2a∈(n,+∞)m<-b2a<n,即-b2a∈(m,n)-b2a<m<n,即-b2a∈(-∞,m)图象最值f(x)max=f(m),f(x)min=f(n)f(x)max=max{f(n),f(m)},f(x)min=f⎝⎛⎭⎫-b2af(x)max=f(n),f(x)min=f(m)[例3]已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时有最大值2,求a的值.[a=-1或a=2.考法(三)二次函数中的恒成立问题[例4]已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.实数a的取值范围是[2,3].1.[考点二]已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是()解析:选D2.[考点三·考法(一)]函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x ∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为()A.-3 B.13 C.7 D.5解析:选B3.[考点一]二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为________________.答案:f (x )=12x 2-2x +14.[考点三·考法(二)]设函数y =x 2-2x ,x ∈[-2,a ],若函数的最小值为g (a ),求g (a ).g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2a ,-2<a ≤1,-1,a >1.5.[考点三·考法(三)]已知a 是实数,函数f (x )=2ax 2+2x -3在x ∈[-1,1]上恒小于零,求实数a 的取值范围.实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-∞,12. 近五年全国卷对本节内容未直接考查1.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2,-1,-12,12,1,2,则使f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减的α的值的个数是( )A .1B .2C .3D .4 解析:选A2.设a =⎝⎛⎭⎫2313,b =⎝⎛⎭⎫1323,c =⎝⎛⎭⎫1313,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a >c >b B .a >b >c C .c >a >b D .b >c >a解析:选A3.已知函数f (x )=ax 2-x -c ,且f (x )>0的解集为(-2,1),则函数y =f (-x )的图象为( )解析:选D4.二次函数的图象与x 轴只有一个交点,对称轴为x =3,与y 轴交于点(0,3).则它的解析式为________.答案:y =13x 2-2x +35.若关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,则m 的取值范围为________. 答案:(-∞,-3][练常考题点——检验高考能力]一、选择题1.若幂函数y =(m 2-3m +3)·xm 2-m -2的图象不过原点,则m 的取值是( ) A .-1≤m ≤2 B .m =1或m =2 C .m =2 D .m =1解析:选B2.若函数f (x )=(1-x 2)(x 2+ax -5)的图象关于直线x =0对称,则f (x )的最大值是( ) A .-4 B .4 C .4或-4 D .不存在解析:选B 3.已知函数f (x )=x 2-m是定义在区间[-3-m ,m 2-m ]上的奇函数,则下列成立的是( )A .f (m )<f (0)B .f (m )=f (0)C .f (m )>f (0)D .f (m )与f (0)大小不确定解析:选A4.已知函数f (x )=x 2+2|x |,若f (-a )+f (a )≤2f (2),则实数a 的取值范围是( ) A .[-2,2]B .(-2,2]C .[-4,2]D .[-4,4]解析:选A 5.设函数f (x )=x 2-23x +60,g (x )=f (x )+|f (x )|,则g (1)+g (2)+…+g (20)=( )A .56B .112C .0D .38 解析:选B6.已知二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),且f (x )在[0,2]上是增函数,若f (a )≥f (0),则实数a 的取值范围是( )A .[0,+∞)B .(-∞,0]C .[0,4]D .(-∞,0]∪[4,+∞) 解析:选C 二、填空题7.已知幂函数f (x )=x -12,若f (a +1)<f (10-2a ),则a 的取值范围是________.答案:(3,5)8.已知点P 1(x 1,2 018)和P 2(x 2,2 018)在二次函数f (x )=ax 2+bx +9的图象上,则f (x 1+x 2)的值为________.答案:99.方程x 2+ax -2=0在区间[1,5]上有根,则实数a 的取值范围为________. 答案:⎣⎡⎦⎤-235,1 10.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若函数y =f (x )-g (x )在x ∈[a ,b ]上有两个不同的零点,则称f (x )和g (x )在[a ,b ]上是“关联函数”,区间[a ,b ]称为“关联区间”.若f (x )=x 2-3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围为________.答案:⎝⎛⎦⎤-94,-2 三、解答题11.(2017·杭州模拟)已知函数h (x )=(m 2-5m +1)x m+1为幂函数,且为奇函数.(1)求m 的值;(2)求函数g (x )=h (x )+1-2h (x ),x ∈⎣⎡⎦⎤0,12的值域. 解:(1) m =0.(2)值域为⎣⎡⎦⎤12,1. 12.已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0,b ∈R ,c ∈R).(1)若函数f (x )的最小值是f (-1)=0,且c =1,F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),x >0,-f (x ),x <0,求F (2)+F (-2)的值;(2)若a =1,c =0,且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围.解:(1)由已知c =1,a -b +c =0,且-b2a=-1,解得a =1,b =2.∴f (x )=(x +1)2.∴F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)2,x >0,-(x +1)2,x <0.∴F (2)+F (-2)=(2+1)2-(-2+1)2=8.(2)由题可知,f (x )=x 2+bx ,原命题等价于-1≤x 2+bx ≤1在(0,1]上恒成立,即b ≤1x -x 且b ≥-1x -x 在(0,1]上恒成立.又1x -x 的最小值为0,-1x -x 的最大值为-2,∴-2≤b ≤0.故b 的取值范围是[-2,0].第五节 指数与指数函数突破点(一) 指数幂的运算1.根式(1)根式的概念若x n =a ,则x 叫做a 的n 次方根,其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.(2)a 的n 次方根的表示x n=a ⇒⎩⎨⎧x =n a (当n 为奇数且n >1时),x =±n a (当n 为偶数且n >1时).2.有理数指数幂。

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数) y =C (其中C 为常数);二、幂函数 αy =1.幂函数的图像:2.幂函数的性质;3y1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称;2)当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数nm时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1);4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ,n 均为奇数时,跟原点对称;5)当α为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ,1≠a ),定义域是R ;[无界函数]1.指数函数的图象:2.指数函数的性质;1(1)当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减; 2)不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方; 3)当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3.(选,补充)指数函数值的大小比较*N ∈a ;a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(,xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

.当1>a 时,a 值越大,x a y =的图像越靠近y 轴;.当10<<a 时,a 值越大,xa y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则(公式);a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥;(1) n m n m a a a +=⋅(2)n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==xf x xxx g ⎪⎫⎛=1)((4)()n n n b a ab =b.根式的性质; (1)()a a nn= ; (2)当n 为奇数时,a a nn =当n 为偶数时,⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂;(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a ),定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念:如果a(a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,就是 N a b=,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子N a log 叫做对数式。

基本初等函数知识总结

基本初等函数知识总结

基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数(y=C)(1)定义域: D(f)=(-∞,+∞)(2)值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0,C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像:(5)周期性:常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T,f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义:形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质:在(0,+∞)内总有意义①当α>0时函数图像过点(0,0)和(1,1),在(0,+∞)内单调增加且无界②当α<0时函数图像过点(1,1),在(0,+∞)内单调减少且无界(3)图像:3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域:x∈R(2)值域:(0,+∞)(3)性质:①单调性:1.当0<a<1时,在(-∞,+∞)内单调减少 2.当a >1时,在(-∞,+∞)内单调增加②奇偶性:非奇非偶函数③周期性:非周期函数④有界性:无界函数(4)图像:①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。

②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。

③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低” 如图:(5)运算法则:①②③④4.对数函数y=logax(a>0 且a≠1)(1)定义:如果a^x=N(a>0,且a ≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数一般地,函数y=logax(a>0,且a ≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数(2)定义域:(0,+∞),即x>0(3)值域:R(4)性质:①单调性:1.当0<a<1时,在(0,+∞)内单调减少 2.当a >1时,在(0,+∞)内单调增加②奇偶性:非奇非偶函数③周期性:非周期函数④有界性:无界函数(5)图像:【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式:5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义:对边与斜边的比(2)定义域:R(3)值域:【-1,1】(4)最值:1.当X=2Kπ(K∈Z)时,Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时,Y取最小值-1(5)性质:①周期性:最小正周期都是2πT=2π②奇偶性:奇函数③对称性:对称中心是(Kπ,0),K ∈Z;对称轴是直线x=Kπ+π/2,K ∈Z④单调性:在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增;在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减⑤有界性:有界函数(6)图像:(2)余弦函数y=cos x(1)定义:邻边与斜边之比(2)定义域:R(3)值域:【-1,1】(4)最值:1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时,Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时,Y取最小值-1(5)性质:①周期性:最小正周期都是2πT=2π②奇偶性:偶函数③对称性:对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z;对称轴是直线x=Kπ,K∈Z④单调性:在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减;在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增⑤有界性:有界函数(6)图像:(3)正切函数y=tan x(1)定义:对边与邻边之比(2)定义域:{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域:R(4)最值:无最大值和最小值(5)性质:①周期性:最小正周期都是πT=π②奇偶性:奇函数③对称性:对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z④单调性:在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增⑤有界性:无界函数(6)图像:(4)余切函数y=cot x(1)定义:在直角三角形中,某锐角的相邻直角边和相对直角边的比,叫做该锐角的余切。

六大基本初等函数图像及性质

六大基本初等函数图像及性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数) y =C (其中C 为常数);二、幂函数 αy =1.幂函数的图像:2.幂函数的性质;3y1)当α为正整数时,函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ,他们的图形都经过原点,并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时,图形关于原点对称;α为偶数时图形关于y 轴对称;2)当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数; 3)当α为正有理数nm时,n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞),n 为奇数时函数的定义域为(-∞,+∞),函数的图形均经过原点和(1 ,1);4)如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m ,n 均为奇数时,跟原点对称;5)当α为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ,1≠a ),定义域是R ;[无界函数]1.指数函数的图象:1(2.指数函数的性质;1)当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减; 2)不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方; 3)当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

3.(选,补充)指数函数值的大小比较*N ∈a ;a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(,xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

.当1>a 时,a 值越大,x a y =的图像越靠近y 轴;xf x.当10<<a 时,a 值越大,xa y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则(公式);a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥;(1) n m n m a a a +=⋅ (2)n m n m a a a -=÷(3) ()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质;(1)()a a nn= ; (2)当n 为奇数时,a a nn =当n 为偶数时,⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂;(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a ),定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念:如果a(a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,就是 N a b=,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子N a log 叫做对数式。

函数的定义域和值域

函数的定义域和值域

1 函数的定义域和值域要点梳理1.常见基本初等函数的定义域(1)函数y =a x (a >0且a ≠1)、y =sin x 、y =cos x 的定义域是R(2) y =log a x 的定义域是{x |x >0}或(0,+∞),y =tan x 的定义域是{x |x ≠kπ+π2,k ∈Z }. 求定义域方法:①分式中的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y =x 0要求x ≠0;④对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1.2.基本初等函数的值域(1)y =kx +b (k ≠0)的值域是R .(2)y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域是:当a >0时,值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac -b 24a ;当a <0时,值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac -b 24a .(3)y =k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.(4)y =a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}.(5)y =log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .(6)y =sin x ,y =cos x 的值域是[-1,1].(7)y =tan x 的值域是R .求值域方法:(1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域.(2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域.(3)换元法:形如y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数,且a ≠0)的函数常用换元法求值域,形如y =ax +a -bx 2的函数用三角函数代换求值域.(4)分离常数法:形如y =cx +d ax +b(a ≠0)的函数可用此法求值域.(5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.(6)数形结合法,(7)导数法,(8)利用基本不等式典型例题求函数的定义域例1、函数f (x )=1-2x +1x +3的定义域为________. 例2、函数f (x )=x 22-x-lg(x -1)的定义域是________. 例3、函数f (x )=2x +12x 2-x -1的定义域是________. 求函数的值域例4、求下列函数的值域.(1)y =x 2+2x (x ∈[0,3]); (2)y =1-x 21+x 2; (3)y =x +4x(x <0);(4)f (x )=x -1-2x (5)y =log 3x +log x 3-1(x >1).例5、若函数f (x )= 2x 2+2ax -a -1的定义域为R ,则a 的取值范围。

函数知识及基本初等函数知识总结

函数知识及基本初等函数知识总结

函数1. 映射定义:设A ,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则f ,对集合A 中任一元素x ,在集合B 中有唯一元素y 与之对应,则称f 是从集合A 到集合B 的映射。

这时,称y 是x 在映射f 的作用下的象记作f (x )。

x 称作y 的原象。

2.函数定义:函数就是定义在非空数集A ,B 上的映射,此时称数集A 为定义域,象集C={f(x)|x ∈A}为值域。

定义域,对应法则,值域构成了函数的三要素3.求函数的定义域常涉及到的依据为 ①分母不为0;11+=x y②偶次根式中被开方数不小于0;x x y --=21③实际问题要考虑实际意义 ④零指数幂的底数不等于零;⑤对数的真数大于0,底数大于零且不等于1; ⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响4.函数值域: ①xy 23= ②xx y -+=535、函数图像变换知识①平移变换:形如:y=f(x+a):把函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左或向右平移|a |个单位,就得到y=f(x+a)的图象。

形如:y=f(x)+a :把函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上或向下平移|a |个单位,就得到y=f(x)+a 的图象②.对称变换 y=f(x)→ y=f(-x),关于y轴对称 y=f(x)→ y=-f(x) ,关于x轴对称 ③.翻折变换y=f(x)→y=f|x|, (左折变换)把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|(上折变换)把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称在第一象限内,底数越大,图像(逆时针方向)越靠近y 轴。

6函数的表示方法①列表法:通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法②图像法:如果图形F是函数)fy=的图像,则图像上的任意点的坐标满足(x函数的关系式,反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.③如果在函数)x∈中,)(xf是用代数式来表达的,这种方法叫做(Ay=)(xf解析法7.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数。

六种基本初等函数

六种基本初等函数

六种基本初等函数(elementary function)
一、常数函数(constant function)
常数函数(也称常值函数)是指值不发生改变(即是常数)的函数。

例如,函数f(x)=4,因为f映射任意的值到4,因此函数f(x)是一个常数。

二、幂函数(power function)
形如y=x^a(a为)的函数。

如,y = x^ 1/2,y = x,y= x^ 2,y= x^3 等。

三、指数函数(exponential function)
形如y=a^x的函数,式中a为不等于1的正常数。

四、(logarithmic function)
指数函数的反函数,记作y=loga x式中a为不等于1的正常数,定义域是X 〉0。

对数函数图形对数函数与指数函数互为反函数
五、三角函数(trigonometric function)
即正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx ,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx ,正割函数y=secx,余割函数y=cscx。

六、反三角函数(inverse trigonometic function)
y = arcsin x,为y=sin x的反函数y = arccos x,为y=cos x 的反函数
y = arctan x,为y=tan x 的反函数y = arccot x ,为y=cot x的反函数
y = arcsec x ,为y=sec x的反函数y = arccsc x ,为y=csc x的反函数
七、定义域,值域和单调性。

专题二:函数与基本初等函数(知识点梳理)

专题二:函数与基本初等函数(知识点梳理)
(2)偶函数: 一般地,如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ,都有
f x f x,那么就称函数 f (x) 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
(3) 奇、偶函数的性质: ① 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称. ② 如果 f (x) 为奇函数,且在原点有定义,则 f (0) 0. ③ 如果 f (x) 为偶函数,则 f (x) f (x) f ( x ). ④奇函数的图像关于原点对称,图像关于原点对称的函数是奇函数;偶函数
步骤:取值—作差—变形—定号—判断
格式:解:设 x1, x2 a,b 且 x1 x2 ,则: f x1 f x2 =…
2、奇偶性
(1)奇函数: 一般地,如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ,都有
f x f x,那么就称函数 f (x) 为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称.
高考数学必记知识点归纳总结 第三章 函数
一、函数的概念: 1、函数的定义:在某一个变化过程中有两个变量 x 和 y,设变量 x 的取值 范围为数集 D,如果对于 D 内的每一个 x 值,按照某个对应法则 f,y 都有 唯一确定的值与之对应,那么,把 x 叫做自变量,把 y 叫做 x 的函数.记为:
y f(x)
的图像关于 y 轴对称,图像关于 y 轴对称的函数是偶函数.
⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性相反. ⑥在公共定义域内:两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; 两个偶函数的和与积都是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
注意:判断函数的奇偶性时,首先判断定义域是否关于原点对称,若定义域
⑴当 a 1时,
f (x) 0 loga f (x) loga g(x) g(x) 0

《函数的定义域和值域》中职数学拓展模块5.1ppt课件2【语文版】

《函数的定义域和值域》中职数学拓展模块5.1ppt课件2【语文版】

温馨提醒:函数表达式有意义的准则一般有:①分式中 的 分
母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0要求x≠0;
④对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1. 2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R____. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:
4ac-b2
【解析】(1)函数有意义需满足2x- -x1> >00, , 即 1<x<2,所以,函数的定义域为(1,2).
0≤x2≤2
(2)由x+1>0
,得
1+lg(x+1)≠0
- 2≤x≤ x>-1 x≠-190
2 ,∴-1<x<-190或
-190<x≤ 2.故函数 g(x)的定义域为(-1,-190)∪(-190, 2].
【解析】由 22xx- --+xx11>≠≠≥1000,, ,,得xxx≥≠<- 12,,1,
则- x≠11≤,x<2,所以定义域是{x|-1≤x<1 或 1<x<2}.
2.(2014·山东济南模拟)若函数 y=ax2+ax2+ax1+3的定义域为
R,则实数 a 的取值范围是__[0_,__3_)__.

低着头,心情就放松了,但那种放松对学习一点好处也没有,之所以会放松,就是因为觉得即便是自己开小差,老师也不知道。如果你往前看,不时地和老师眼神交会一下,注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中,并充
【解析】因为函数 y=ax2+ax2+ax1+3的定义域为 R, 所以 ax2+2ax+3=0 无实数解, 即函数 y=ax2+2ax+3 的图象与 x 轴无交点. 当 a=0 时,函数 y=3 的图象与 x 轴无交点; 当 a≠0 时,则 Δ=(2a)2-4·3a<0,解得 0<a<3. 综上所述,a 的取值范围是[0,3).

基本初等函数

基本初等函数
g(x)= x2-1(x2-1≥0),
g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1}.
∴两函数的定义域不同.故选 A.
1 1 2 跟踪训练 2 (1)已知 f(x+x)=x + 2,求 f(x)的解析式. x
1 1 12 2 解 (1)∵f(x+x )=x +x2=(x+x ) -2, 1 1 且 x+x ≥2 或 x+x≤-2,
图象 描述 自左向右看图象是
上升的
自左向右看图象是
下降的
2.单调性与单调区间 如 果一 个函 数在某 个区 间 M 上是 增函数 或 是 减函数 ,就说这个函数在这个区间 M 上具有 单调性,区间 M 称为
单调区间 .
1.函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)”的是 1 A.f(x)=x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex
a(x-m)2+n(a≠0) a(x-x1)(x-x2) (a≠0) k≠0
).
. . .
2.一次函数与二次函数的定义及性质
函数名称 解析式
一次函数 y=kx+b (k≠0) k>0 k<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) a>0 ab>0 b<0,c>0 R b > 0, c < 0
1 3 所以函数 g(x)的定义域是[2,2].
x+1>0 (2)由 2 -x -3x+4>0
,得-1<x<1.
函数的单调性
1.函数单调性的定义 增函数 减函数 设函数 f(x)的定义域为 A:区间 M⊆A,如果取区间 M 中任意两个值 x1,x2,改变量 Δx=x2-x1>0,则当 定义 Δy=f(x2)-f(x1)>0 Δy=f(x2)-f(x1)<0 时, 就称函数 时,就称函数 y=f(x) y=f(x)在区间 M 上是减函数 在区间 M 上是增函数

六大基本初等函数图像及性质

六大基本初等函数图像及性质

WORD 格式整理版六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数(也称常数函数)y =C (其中 C 为常数);常数函数( y C )C 0yy Cy 0xO平行于 x 轴的直线定义域 R二、幂函数 y x ,x是自变量,是常数;y 11. 幂函数的图像:y x2y x2y x1O2.幂函数的性质;性质y x y x2y x3函数定义域R R R值域R[0,+ ∞ )R奇偶性奇偶奇单调性增[0,+ ∞) 增增(-∞ ,0]减公共点( 1,1)C 0yOy轴本身定义域 Ry xy x3x1y x2[0,+ ∞ )[0,+ ∞ )非奇非偶增xy x 1{x|x ≠ 0}{y|y ≠ 0}奇(0,+∞) 减(-∞ ,0) 减WORD 格式整理版1)当 α 为正整数时,函数的定义域为区间为x ( ,),他们的图形都经过原点,并当α >1 时在原点处与 x 轴相切。

且 α为奇数时,图形关于原点对称;α 为偶数时图形关于 y 轴对称;2)当 α 为负整数时。

函数的定义域为除去 x=0 的所有实数;3)当 α 为正有理数m时, n 为偶数时函数的定义域为(0, +∞), n 为奇数时函数的定义域为( -n∞ ,+∞),函数的图形均经过原点和( 1 ,1);4)如果 m>n 图形于 x 轴相切,如果m<n,图形于 y 轴相切,且 m 为偶数时,还跟y 轴对称; m , n均为奇数时,跟原点对称;5)当 α 为负有理数时, n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除 x=0 以外的一切实数。

三、指数函数 ya x ( x 是自变量 , a 是常数且 a0 , a 1) ,定义域是 R ;[ 无界函数 ]1. 指数函数的图象 :ya xyyya x(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指数函数的性质 ;性质y a x(a 1)y a x(0 a 1)函数定义域 R值域(0,+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0,1),即 x0 时, y 1单调性 在( ,)是增函数在(, )是减函数1 ) 当 a 1时 函 数 为 单 调 增 , 当 0 a 1时函数为单调减;2 ) 不 论 x 为 何 值 , y 总 是 正 的 , 图 形 在 x 轴 上 方 ;3 ) 当 x0 时 , y1,所以它的图形通过(0,1) 点。

基本初等函数与初等函数

基本初等函数与初等函数

2、反双曲函数
反双曲正弦
y arshx ln( x x2 1)
D : (,)
奇函数,
在 (,)内单调增加.
y arshx
反双曲余弦 y archx
y archx ln( x x2 1).
y archx
D :[1,) 在 [1,) 内单调增加.

记作U
(a,
).
2.函数概念 定义
设数集X、Y为两个非空实数集合,对任意X中的元 素x,按照某一对应规则f ,Y中都有唯一的一个数y与之 对应,则称规则f : X Y为定义在X上的函数, 通常简记 为 yf(x),
其中x称为自变量, y称为因变量, X称为定义域, 记作 Df, 即DfX.
(a 1)
y log 1 x
a
4)三角函数 与反三角函数
正弦函数 y sin x
定义域:R,值域:[-1,1]
求y sin x , x [ , ]的反函数:
22
x arcsin y y arcsin x
反正弦函数
余弦函数 y cos x
定义域x [1,1], 值域 y
2
2
求y cos x , x [0, ]的反函数:
y arccos x 反余弦函数
定义域x [1,1], 值域0 y
正切函数 y tan x
定义域:x k,值域:R
2
求y tan x , x ( , )的反函数:
22
y arctan x 反正切函数
1. y 1 ln 1 x . 2 1 x
2.y ln(x x2 1)
ex ex 3. y

函数基本知识

函数基本知识

七、作业
1(2)(4);2(2)(3); 第6页 1(2)(4);2(2)(3);5
y M y=f(x) o -M x X M y
x0
o -M X
x
有界
无界
(4)函数的周期性: 函数的周期性:
f D 设函数 ( x)的定义域为 , 如果存在一个不为零的
且 x 数l, 使得对于任一 ∈ D, ( x ± l ) ∈ D. f ( x + l ) = f ( x)
f , f . 恒成立. 则称 (x)为周期函数 l称为 ( x)的周期
1 0≤ x ≤1 例1 设f ( x) = , 求函数 f ( x + 3)的定义域 . − 2 1 < x ≤ 2

1 0≤ x ≤1 Q f ( x) = − 2 1 < x ≤ 2
1 0≤ x + 3≤1 ∴ f ( x + 3) = − 2 1 < x + 3 ≤ 2 1 − 3 ≤ x ≤ −2 = − 2 − 2 < x ≤ −1

Df : [−3,−1]
(3)隐函数与显函数 (3)隐函数与显函数
隐函数: 隐函数:函数的对应法则是由方程 给出, 的隐函数。 给出,称 y为 的隐函数。
x
F(x, y) = 0
显函数: 显函数:由
确定的函数, y = f (x) 确定的函数,如 2 y = lg x, y = x − 2x + 3等。
u = ϕ(x)的值域为 Zϕ , 若 Df ∩ Zϕ ≠ ∅, 则称
复合函数. 函数 y = f [ϕ( x)]为 x的复合函数
, , x ←自变量 u ←中间变量 y ←因变量 ,

第二章 函数的概念与基本初等函数1-3节有答案

第二章 函数的概念与基本初等函数1-3节有答案

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义,或从实际出发.(2)如果函数y=f(x)是用表格给出,则表格中x的集合即为定义域.(3)如果函数y=f(x)是用图象给出,则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时,两函数不一定相同.(4)函数的表示法:表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一个函数.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.(3)各段函数的定义域不可以相交.考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y =ln (1-x )x +1+1x 的定义域是( )A .[-1,0)∪(0,1)B .[-1,0)∪(0,1]C .(-1,0)∪(0,1]D .(-1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A .(-1,1) B.⎝⎛⎭⎫-1,-12 C .(-1,0)D.⎝⎛⎭⎫12,1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,x +1>0,x ≠0,解得-1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).(2)令u =2x +1,由f (x )的定义域为(-1,0),可知-1<u <0,即-1<2x +1<0, 得-1<x <-12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1.使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)y =x 0要求x ≠0;(4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1; (5)正切函数y =tan x ,x ≠k π+π2(k ∈Z);(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求. 2.抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出;(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]上的值域.[题组训练]1.函数f (x )=1ln (x +1)+4-x 2的定义域为( )A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]解析:选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,ln (x +1)≠0,4-x 2≥0,得-1<x ≤2,且x ≠0.2.若函数y =f (x )的定义域是[1,2 019],则函数g (x )=f (x +1)x -1的定义域是________________.解析:因为y =f (x )的定义域是[1,2 019],所以若g (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x +1≤2 019,x -1≠0,所以0≤x ≤2 018,且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}. 答案:{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ); (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ). [解] (1)法一:待定系数法因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c .因为f (2x +1)=4x 2-6x +5, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a =4,4a +2b =-6,a +b +c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-5,c =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法二:换元法令2x +1=t (t ∈R),则x =t -12,所以f (t )=4⎝⎛⎭⎫t -122-6·t -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法三:配凑法因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)解方程组法由f (-x )+2f (x )=2x , ①得f (x )+2f (-x )=2-x ,②①×2-②,得3f (x )=2x +1-2-x .即f (x )=2x +1-2-x3.故f (x )的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数.(2)换元法对于形如y =f (g (x ))的函数解析式,令t =g (x ),从中求出x =φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),再将t 换成x ,得到f (x )的解析式,要注意新元的取值范围.(3)配凑法由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).[提醒] 由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域.[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=________________.解析:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx . 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).答案:12x 2+12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,则f (x )=________________.解析:令2x +1=t ,得x =2t -1,则f (t )=lg 2t -1,又x >0,所以t >1,故f (x )的解析式是f (x )=lg2x -1(x >1). 答案:lg2x -1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,则f (x )=________. 解析:∵2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,①把①中的x 换成1x ,得2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x,解此方程组可得f (x )=2x -1x(x ≠0).答案:2x -1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x +b ,x ≤0(0<a <1),且f (-2)=5,f (-1)=3,则f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3[解析] 由题意得,f (-2)=a -2+b =5,① f (-1)=a -1+b =3,②联立①②,结合0<a <1,得a =12,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,⎝⎛⎭⎫12x +1,x ≤0,则f (-3)=⎝⎛⎭⎫12-3+1=9,f (f (-3))=f (9)=log 39=2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值;(2)当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点.考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)[解析] 法一:分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x ≤0,即x ≤-1时,f (x +1)<f (2x ),即为2-(x +1)<2-2x,即-(x +1)<-2x ,解得x <1. 因此不等式的解集为(-∞,-1].②当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x >0时,不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x ≤0,即-1<x ≤0时,f (x +1)<f (2x ),即为1<2-2x,解得x <0.因此不等式的解集为(-1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x >0,即x >0时,f (x +1)=1,f (2x )=1,不合题意.综上,不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,0). 法二:数形结合法∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,∴函数f (x )的图象如图所示. 结合图象知,要使f (x +1)<f (2x ), 则需⎩⎪⎨⎪⎧x +1<0,2x <0,2x <x +1或⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,2x <0, ∴x <0,故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,最后将各段的结果合起来(求并集)即可;(2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解.[题组训练]1.设f (x )=⎩⎨⎧x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则f ⎝⎛⎭⎫1a =( ) A .2 B .4 C .6D .8解析:选C 当0<a <1时,a +1>1,f (a )=a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴a =2a , 解得a =14或a =0(舍去).∴f ⎝⎛⎭⎫1a =f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1≥2,f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴2(a -1)=2a ,无解. 综上,f ⎝⎛⎭⎫1a =6.2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤1,f (x -1),x >1,则f (f (3))=________.解析:由题意,得f (3)=f (2)=f (1)=21=2,∴f (f (3))=f (2)=2. 答案:23.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.①当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,故-14<x ≤0.②当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立.③当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立.综上可知,所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x -7,x <0,x ,x ≥0,若f (a )<1,则实数a 的取值范围是____________.解析:若a <0,则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a -7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8,解得a >-3,故-3<a <0; 若a ≥0,则f (a )<1⇔a <1,解得a <1,故0≤a <1. 综上可得-3<a <1. 答案:(-3,1)[课时跟踪检测]1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B ①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象;②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象.故选B.2.函数f (x )=2x -1+1x -2的定义域为( ) A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,x -2≠0,解得x ≥0,且x ≠2.3.已知f ⎝⎛⎭⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( ) A.74 B .-74C.43D .-43解析:选A 令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,则4a -1=6,解得a =74.4.(2019·贵阳检测)下列函数中,同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A .y =x -1 B .y =ln x C .y =13x -1D .y =x +1x -1解析:选D 对于A ,定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),不满足题意;对于B ,定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足题意;对于C ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(0,+∞),不满足题意;对于D ,y =x +1x -1=1+2x -1,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),值域也是(-∞,1)∪(1,+∞).5.(2018·福建期末)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x +a ,x >0,4x -2-1,x ≤0.若f (a )=3,则f (a -2)=( )A .-1516B .3C .-6364或3D .-1516或3解析:选A 当a >0时,若f (a )=3,则log 2a +a =3,解得a =2(满足a >0);当a ≤0时,若f (a )=3,则4a -2-1=3,解得a =3,不满足a ≤0,所以舍去.于是,可得a =2.故f (a -2)=f (0)=4-2-1=-1516.6.已知函数y =f (2x -1)的定义域是[0,1],则函数f (2x +1)log 2(x +1)的定义域是( )A .[1,2]B .(-1,1] C.⎣⎡⎦⎤-12,0 D .(-1,0)解析:选D 由f (2x -1)的定义域是[0,1], 得0≤x ≤1,故-1≤2x -1≤1, ∴f (x )的定义域是[-1,1], ∴要使函数f (2x +1)log 2(x +1)有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧-1≤2x +1≤1,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x <0.7.下列函数中,不满足f (2 018x )=2 018f (x )的是( ) A .f (x )=|x | B .f (x )=x -|x | C .f (x )=x +2D .f (x )=-2x解析:选C 若f (x )=|x |,则f (2 018x )=|2 018x |=2 018|x |=2 018f (x );若f (x )=x -|x |,则f (2 018x )=2 018x -|2 018x |=2 018(x -|x |)=2 018f (x );若f (x )=x +2,则f (2 018x )=2 018x +2,而2 018f (x )=2 018x +2 018×2,故f (x )=x +2不满足f (2 018x )=2 018f (x );若f (x )=-2x ,则f (2 018x )=-2×2 018x =2 018×(-2x )=2 018f (x ).故选C.8.已知具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: ①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A .①② B .①③ C .②③D .①解析:选B 对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x-x =-f (x ),满足题意;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足题意;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.9.(2019·青岛模拟)函数y =ln ⎝⎛⎭⎫1+1x +1-x 2的定义域为________. 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧1+1x >0,1-x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <-1或x >0,-1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]. 答案:(0,1]10.(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,则f (f (-9))=________.解析:∵函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,∴f (-9)=lg 10=1,∴f (f (-9))=f (1)=-2.答案:-211.(2018·张掖一诊)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于________.解析:∵f (1)=2,且f (1)+f (a )=0,∴f (a )=-2<0,故a ≤0. 依题知a +1=-2,解得a =-3. 答案:-312.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x +1,x ≤0,-(x -1)2,x >0,使f (x )≥-1成立的x 的取值范围是________.解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,12x +1≥-1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-(x -1)2≥-1, 解得-4≤x ≤0或0<x ≤2, 故所求x 的取值范围是[-4,2]. 答案:[-4,2]13.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示.第二节函数的单调性与最值一、基础知识1.增函数、减函数定义:设函数f(x)的定义域为I:(1)增函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)减函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.(2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接.3.函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.二、常用结论在公共定义域内:(1)函数f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)+g(x)是增函数;(2)函数f (x )单调递减,g (x )单调递减,则f (x )+g (x )是减函数; (3)函数f (x )单调递增,g (x )单调递减,则f (x )-g (x )是增函数; (4)函数f (x )单调递减,g (x )单调递增,则f (x )-g (x )是减函数;(5)若k >0,则kf (x )与f (x )单调性相同;若k <0,则kf (x )与f (x )单调性相反; (6)函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1f (x )的单调性相反;(7)复合函数y =f [g (x )]的单调性与y =f (u )和u =g (x )的单调性有关.简记:“同增异减”.考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )=-x 2+2|x |+1的单调区间. (2)试讨论函数f (x )=ax x -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.[解] (1)易知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+2,x ≥0,-(x +1)2+2,x <0. 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).(2)法一:定义法 设-1<x 1<x 2<1, f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝⎛⎭⎫1+1x -1,则f (x 1)-f (x 2)=a ⎝⎛⎭⎫1+1x 1-1-a ⎝⎛⎭⎫1+1x 2-1=a (x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1).由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递减;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递增. 法二:导数法f ′(x )=(ax )′(x -1)-ax (x -1)′(x -1)2=a (x -1)-ax (x -1)2=-a(x -1)2. 当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递增.[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法:一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论.(2)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性及区间.(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断;复合函数单调性,可用同增异减来确定.[题组训练]1.下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是( ) A .f (x )=2x B .f (x )=|x -1| C .f (x )=1x-xD .f (x )=ln(x +1)解析:选C 由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A 、D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x 与y =-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.2.函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)解析:选D 令t =x 2-4,则y =log 12t .因为y =log 12t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t =x 2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).3.判断函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,+∞)上的单调性.解:设x 1,x 2是任意两个正数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.综上可知,函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数.考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________.(2)若函数f (x )=-ax+b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域为⎣⎡⎦⎤12,2,则a =________,b =________. (3)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-4x ,x ≤0,sin x ,x >0的最大值为________.[解析] (1)图象法函数y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1,x ≤-1,3,-1<x <2,2x -1,x ≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞). (2)单调性法∵f (x )=-ax +b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f (x )min =f ⎝⎛⎭⎫12=12,f (x )max =f (2)=2.即⎩⎨⎧-2a +b =12,-a2+b =2,解得a =1,b =52.(3)当x ≤0时,f (x )=-x 2-4x =-(x +2)2+4,而-2∈(-∞,0],此时f (x )在x =-2处取得最大值,且f (-2)=4;当x >0时,f (x )=sin x ,此时f (x )在区间(0,+∞)上的最大值为1.综上所述,函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3,+∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.[题组训练]1.函数f (x )=x 2+4x 的值域为________.解析:当x >0时,f (x )=x +4x ≥4,当且仅当x =2时取等号; 当x <0时,-x +⎝⎛⎭⎫-4x ≥4, 即f (x )=x +4x ≤-4,当且仅当x =-2取等号,所以函数f (x )的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). 答案:(-∞,-4]∪[4,+∞)2.若x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3,则函数y =4sin 2x -12sin x -1的最大值为________,最小值为________.解析:令t =sin x ,因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3, 所以t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1,y =f (t )=4t 2-12t -1, 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t =32,所以当t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1时,函数f (t )单调递减,所以当t =-12时,y max =6;当t =1时,y min =-9. 答案:6 -93.已知f (x )=x 2+2x +ax ,x ∈[1,+∞),且a ≤1.若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析:对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立等价于x 2+2x +a >0在x ∈[1,+∞)上恒成立,即a >-x 2-2x 在x ∈[1,+∞)上恒成立.又函数y =-x 2-2x 在[1,+∞)上单调递减, ∴(-x 2-2x )max =-3,故a >-3,又∵a ≤1,∴-3<a ≤1. 答案:(-3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是( )A .f (π)>f (-3)>f (-2)B .f (π)>f (-2)>f (-3)C .f (π)<f (-3)<f (-2)D .f (π)<f (-2)<f (-3)[解析] 因为f (x )是偶函数,所以f (-3)=f (3),f (-2)=f (2). 又因为函数f (x )在[0,+∞)上是增函数. 所以f (π)>f (3)>f (2),即f (π)>f (-3)>f (-2). [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x <2,x 2,x ≥2.若f (a +1)≥f (2a -1),则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1]B .(-∞,2]C .[2,6]D .[2,+∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(-∞,+∞)上是增函数,∵f (a +1)≥f (2a -1), ∴a +1≥2a -1,解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(-∞,2]. [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式,再根据函数的单调性去掉“f ”,得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x )).考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )=x -a x +a2在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.[解析] 设1<x 1<x 2,∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1,+∞)上是增函数, ∴f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1+a2-⎝⎛⎭⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫1+a x 1x 2<0.∵x 1-x 2<0,∴1+ax 1x 2>0,即a >-x 1x 2.∵1<x 1<x 2,x 1x 2>1,∴-x 1x 2<-1,∴a ≥-1. ∴a 的取值范围是[-1,+∞). [答案] [-1,+∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.[题组训练]1.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >bD .b >a >c解析:选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称,故函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称,所以a =f ⎝⎛⎭⎫-12=f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,等价于函数f (x )在(1,+∞)上单调递减,所以b >a >c .2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax 2-x -14,x ≤1,log a x -1,x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14,12 B.⎣⎡⎦⎤14,12 C.⎝⎛⎦⎤0,12 D.⎣⎡⎭⎫12,1解析:选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调,而二次函数y =ax 2-x -14的图象开口向上,所以函数f (x )在R 上单调递减,故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,12a≥1,a ×12-1-14≥log a1-1,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,0<a ≤12,a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14,12.[课时跟踪检测]A 级1.下列四个函数中,在x ∈(0,+∞)上为增函数的是( ) A .f (x )=3-x B .f (x )=x 2-3x C .f (x )=-1x +1D .f (x )=-|x |解析:选C 当x >0时,f (x )=3-x 为减函数;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,32时,f (x )=x 2-3x 为减函数,当x ∈⎝⎛⎭⎫32,+∞时,f (x )=x 2-3x 为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-1x +1为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-|x |为减函数.2.若函数f (x )=ax +1在R 上单调递减,则函数g (x )=a (x 2-4x +3)的单调递增区间是( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .(4,+∞)D .(-∞,4)解析:选B 因为f (x )=ax +1在R 上单调递减,所以a <0. 而g (x )=a (x 2-4x +3)=a (x -2)2-a .因为a <0,所以g (x )在(-∞,2)上单调递增.3.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13,23 B.⎣⎡⎭⎫13,23 C.⎝⎛⎭⎫12,23D.⎣⎡⎭⎫12,23解析:选D 因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.4.(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C 由题意知当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2,当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,又f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在相应的定义域内都为增函数,且f (1)=-1,f (2)=6,∴f (x )的最大值为6.5.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(全集为R)( )A .(-1,2)B .(1,4)C .(-∞,-1)∪[4,+∞)D .(-∞,-1]∪[2,+∞)解析:选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f (x +1)<1即为f (0)<f (x +1)<f (3),所以0<x +1<3,所以-1<x <2,故不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞).6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-ax -5,x ≤1,a x ,x >1是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( )A .[-3,0)B .(-∞,-2]C .[-3,-2]D .(-∞,0)解析:选C 若f (x )是R 上的增函数,则应满足⎩⎪⎨⎪⎧-a2≥1,a <0,-12-a ×1-5≤a 1,解得-3≤a ≤-2.7.已知函数f (x )=x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为________.解析:设t =x 2-2x -3,由t ≥0,即x 2-2x -3≥0,解得x ≤-1或x ≥3,所以函数f (x )的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t =x 2-2x -3的图象的对称轴为x =1,所以函数t =x 2-2x -3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f (x )的单调递增区间为[3,+∞).答案:[3,+∞)8.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为________.解析:当x ≥1时,函数f (x )=1x 为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.答案:29.若函数f (x )=1x 在区间[2,a ]上的最大值与最小值的和为34,则a =________.解析:由f (x )=1x 的图象知,f (x )=1x 在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a ]⊆(0,+∞),∴f (x )=1x 在[2,a ]上也是减函数,∴f (x )max =f (2)=12,f (x )min =f (a )=1a ,∴12+1a =34,∴a =4. 答案:410.(2019·甘肃会宁联考)若f (x )=x +a -1x +2在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.解析:f (x )=x +a -1x +2=x +2+a -3x +2=1+a -3x +2,要使函数在区间(-2,+∞)上是增函数,需使a -3<0,解得a <3.答案:(-∞,3)11.已知函数f (x )=1a -1x (a >0,x >0).(1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,求a 的值. 解:(1)证明:任取x 1>x 2>0, 则f (x 1)-f (x 2)=1a -1x 1-1a +1x 2=x 1-x 2x 1x 2,∵x 1>x 2>0,∴x 1-x 2>0,x 1x 2>0, ∴f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)由(1)可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=1a -2=12,f (2)=1a -12=2, 解得a =25.12.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:当a =-2时,f (x )=xx +2.任取x 1,x 2∈(-∞,-2),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). 因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). 因为a >0,x 2-x 1>0,又由题意知f (x 1)-f (x 2)>0, 所以(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1. 所以0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1].B 级1.若f (x )=-x 2+4mx 与g (x )=2mx +1在区间[2,4]上都是减函数,则m 的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(0,1]B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,+∞)D .(0,1]解析:选D 函数f (x )=-x 2+4mx 的图象开口向下,且以直线x =2m 为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m ≤2,解得m ≤1;g (x )=2m x +1的图象由y =2mx 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m >0,解得m >0.综上可得,m 的取值范围是(0,1].2.已知函数f (x )=ln x +x ,若f (a 2-a )>f (a +3),则正数a 的取值范围是________. 解析:因为f (x )=ln x +x 在(0,+∞)上是增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a >a +3,a 2-a >0,a +3>0,解得-3<a <-1或a >3.又a >0,所以a >3. 答案:(3,+∞)3.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x +y )=f (x )+f (y )+1,②当x >0时,f (x )>-1. (1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 解:(1)令x =y =0,得f (0)=-1.在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1-x 2)>-1. 又f (x 1)=f [(x 1-x 2)+x 2]=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2), 所以函数f (x )在R 上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4得f (x 2+x +1)>f (3), 又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x +1>3, 解得x <-2或x >1,故原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1.函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.若f (x )≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下:(1)f (-x )=f (x )⇔f (-x )-f (x )=0⇔f (-x )f (x )=1⇔f (x )为偶函数;(2)f (-x )=-f (x )⇔f (-x )+f (x )=0⇔f (-x )f (x )=-1⇔f (x )为奇函数.2.函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.周期函数定义的实质存在一个非零常数T ,使f (x +T )=f (x )为恒等式,即自变量x 每增加一个T 后,函数值就会重复出现一次.(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.二、常用结论1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则一定有f (0)=0;如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a (a >0). (2)若f (x +a )=1f (x ),则T =2a (a >0). (3)若f (x +a )=-1f (x ),则T =2a (a >0).3.函数图象的对称性(1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=36-x 2|x +3|-3;(2)f (x )=1-x 2+x 2-1; (3)f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2;(4)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0.[解] (1)由f (x )=36-x 2|x +3|-3,可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36-x 2≥0,|x +3|-3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧-6≤x ≤6,x ≠0且x ≠-6,故函数f (x )的定义域为(-6,0)∪(0,6],定义域不关于原点对称,故f (x )为非奇非偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,x 2-1≥0⇒x 2=1⇒x =±1,故函数f (x )的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f (x )=0,所以f (-x )=f (x )=-f (x ),所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x -2|-2≠0⇒-1<x <0或0<x <1,定义域关于原点对称.此时f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2=log 2(1-x 2)2-x -2=-log 2(1-x 2)x ,故有f (-x )=-log 2[1-(-x )2]-x =log 2(1-x 2)x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数. (4)法一:图象法画出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0的图象如图所示,图象关于y 轴对称,故f (x )为偶函数.法二:定义法易知函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,-x >0,故f (-x )=x 2+x =f (x );当x <0时,f (x )=x 2+x ,则当x >0时,-x <0,故f (-x )=x 2-x =f (x ),故原函数是偶函数.法三:f (x )还可以写成f (x )=x 2-|x |(x ≠0),故f (x )为偶函数.[题组训练]1.(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A .y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4 B .y =x 2+e |x | C .y =x cos xD .y =ln|x |-sin x解析:选B 对于选项A ,易知y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4为非奇非偶函数;对于选项B ,设f (x )=x 2+e |x |,则f (-x )=(-x )2+e |-x |=x 2+e |x |=f (x ),所以y =x 2+e |x |为偶函数;对于选项C ,设f (x )=x cos x ,则f (-x )=-x cos(-x )=-x cos x =-f (x ),所以y =x cos x 为奇函数;对于选项D ,设f (x )=ln|x |-sin x ,则f (2)=ln 2-sin 2,f (-2)=ln 2-sin(-2)=ln 2+sin 2≠f (2),所以y =ln|x |-sin x 为非奇非偶函数,故选B.2.设函数f (x )=e x -e -x2,则下列结论错误的是( )A .|f (x )|是偶函数B .-f (x )是奇函数C .f (x )|f (x )|是奇函数D .f (|x |)f (x )是偶函数解析:选D ∵f (x )=e x -e -x2,则f (-x )=e -x -e x2=-f (x ).∴f (x )是奇函数. ∵f (|-x |)=f (|x |),∴f (|x |)是偶函数,∴f (|x |)f (x )是奇函数.考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y =f (x )是R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=2x ,则当x >0时,f (x )=( )A .-2xB .2-xC .-2-xD .2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )=a -2e x +1(a ∈R)是奇函数,则函数f (x )的值域为( )A .(-1,1)B .(-2,2)C .(-3,3)D .(-4,4)[解析] (1)当x >0时,-x <0,∵x <0时,f (x )=2x ,∴当x >0时,f (-x )=2-x .∵f (x )是R 上的奇函数,∴当x >0时,f (x )=-f (-x )=-2-x .(2)法一:由f (x )是奇函数知f (-x )=-f (x ),所以a -2e -x+1=-a +2e x +1,得2a =2e x+1+2e -x +1,所以a =1e x +1+e x e x +1=1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).法二:函数f (x )的定义域为R ,且函数f (x )是奇函数,所以f (0)=a -1=0,即a =1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f (x )±f (-x )=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.[题组训练]1.(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=log 2(x +2)-1,则f (-6)=( )A .2B .4C .-2D .-4解析:选C 根据题意得f (-6)=-f (6)=1-log 2(6+2)=1-3=-2.2.已知函数f (x )为奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,函数f (x )的最大值为________.解析:法一:当x <0时,-x >0,所以f (-x )=x 2+x .又因为函数f (x )为奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-x 2-x =-⎝⎛⎭⎫x +122+14,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14. 法二:当x >0时,f (x )=x 2-x =⎝⎛⎭⎫x -122-14,最小值为-14,因为函数f (x )为奇函数,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14.答案:143.(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,则a =________. 解析:∵f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,∴f (-x )=f (x ),即-x ln(a +x 2-x )=x ln(x +a +x 2),从而ln[(a +x 2)2-x 2]=0,即ln a =0,故a =1.答案:1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=-f (x +2),当x ∈(0,2]时,f (x )=2x +log 2x ,则f (2 019)=( )A .5 B.12C .2D .-2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R),且在区间(-2,2]上,f (x )=⎩⎨⎧cos πx2,0<x ≤2,⎪⎪⎪⎪x +12,-2<x ≤0,则f (f (15))的值为________.[解析] (1)由f (x )=-f (x +2),得f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )是周期为4的周期函数,所以f (2 019)=f (504×4+3)=f (3)=f (1+2)=-f (1)=-(2+0)=-2.(2)由函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R), 可知函数f (x )的周期是4, 所以f (15)=f (-1)=⎪⎪⎪⎪-1+12=12, 所以f (f (15))=f ⎝⎛⎭⎫12=cos π4=22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1.(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数,且满足f (x +2)=-1f (x ),当2≤x ≤3时,f (x )=x ,则f ⎝⎛⎭⎫-112=________. 解析:∵f (x +2)=-1f (x ),∴f (x +4)=f (x ), ∴f ⎝⎛⎭⎫-112=f ⎝⎛⎭⎫52,又2≤x ≤3时,f (x )=x , ∴f ⎝⎛⎭⎫52=52,∴f ⎝⎛⎭⎫-112=52. 答案:522.(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-2,-2≤x ≤0,x ,0<x <1,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214=________. 解析:由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214=f ⎝⎛⎭⎫6-34=f ⎝⎛⎭⎫-34=4×⎝⎛⎭⎫-342-2=14,f ⎝⎛⎭⎫14=14.答案:14[课时跟踪检测]A 级1.下列函数为奇函数的是( ) A .f (x )=x 3+1 B .f (x )=ln 1-x1+xC .f (x )=e xD .f (x )=x sin x解析:选B 对于A ,f (-x )=-x 3+1≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于B ,f (-x )=ln 1+x 1-x=-ln1-x 1+x=-f (x ),所以其是奇函数;对于C ,f (-x )=e -x ≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于D ,f (-x )=-x sin(-x )=x sin x =f (x ),所以其不是奇函数.故选B.2.(2019·南昌联考)函数f (x )=9x +13x 的图象( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于坐标原点对称D .关于直线y =x 对称解析:选B 因为f (x )=9x +13x =3x +3-x ,易知f (x )为偶函数,所以函数f (x )的图象关于y轴对称.3.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,则f (-7)=( )A .3B .-3C .2D .-2解析:选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,所以f (-7)=-f (7)=-log 2(7+1)=-3.4.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x ,则g (x )=( ) A .e x -e -xB.12(e x +e -x )C.12(e -x -e x ) D.12(e x -e -x )解析:选D 因为f (x )+g (x )=e x ,所以f (-x )+g (-x )=f (x )-g (x )=e -x ,。

高考数学考点与题型知识点2函数的概念与基本初等函数

高考数学考点与题型知识点2函数的概念与基本初等函数

函数的概念与基本初等函数函数的概念与基本初等函数Ⅰ (3)第一节函数及其表示 (3)考点一函数的定义域 (3)考点二求函数的解析式 (5)考点三分段函数 (7)第二节函数的单调性与最值 (15)考点一确定函数的单调性(区间)) (16)考点二求函数的值域(最值)) (18)考点三函数单调性的应用 (20)第三节函数的奇偶性与周期性 (27)考点一函数奇偶性的判断 (28)考点二函数奇偶性的应用 (30)考点三函数的周期性 (31)第四节函数性质的综合问题 (38)考点一函数的单调性与奇偶性 (38)考点二函数的周期性与奇偶性 (39)考点三函数性质的综合应用 (40)第五节函数的图象 (48)考点一作函数的图象 (49)考点二函数图象的识辨 (51)考点三函数图象的应用 (53)第六节二次函数 (61)考点一求二次函数的解析式 (62)考点二二次函数的图象与性质 (64)第七节幂函数 (72)考点一幂函数的图象与性质 (73)考点二比较幂值大小 (74)第八节指数式、对数式的运算 (79)考点一指数幂的化简与求值 (80)考点二对数式的化简与求值 (82)第九节指数函数 (86)考点一指数函数的图象及应用 (87)考点二指数函数的性质及应用 (88)第十节对数函数 (95)考点一对数函数的图象及应用 (96)考点二对数函数的性质及应用 (97)第十一节函数与方程 (103)考点一函数零点个数、所在区间 (104)考点二函数零点的应用 (106)第十二节函数模型及其应用 (111)考点一二次函数、分段函数模型 (111)考点二指数函数、对数函数模型 (113)第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示一、基础知识1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义,或从实际出发.(2)如果函数y =f (x )是用表格给出,则表格中x 的集合即为定义域.(3)如果函数y =f (x )是用图象给出,则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时,两函数不一定相同.(4)函数的表示法:表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一个函数.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.(3)各段函数的定义域不可以相交.考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y =ln (1-x )x +1+1x的定义域是( )A .[-1,0)∪(0,1)B .[-1,0)∪(0,1]C .(-1,0)∪(0,1]D .(-1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( )A .(-1,1)B.⎝⎛⎭⎫-1,-12 C .(-1,0)D.⎝⎛⎭⎫12,1 [解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1-x >0,x +1>0,x ≠0,解得-1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).(2)令u =2x +1,由f (x )的定义域为(-1,0),可知-1<u <0,即-1<2x +1<0,得-1<x <-12. [答案] (1)D (2)B[解题技法]1.使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0;(2)偶次根式的被开方数非负;(3)y =x 0要求x ≠0;(4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1;(5)正切函数y =tan x ,x ≠k π+π2(k ∈Z); (6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求.2.抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出;(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]上的值域.[题组训练]1.函数f (x )=1ln (x +1)+4-x 2的定义域为( ) A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]解析:选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x +1>0,ln (x +1)≠0,4-x 2≥0,得-1<x ≤2,且x ≠0.2.若函数y =f (x )的定义域是[1,2 019],则函数g (x )=f (x +1)x -1的定义域是________________.解析:因为y =f (x )的定义域是[1,2 019],所以若g (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x +1≤2 019,x -1≠0, 所以0≤x ≤2 018,且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}.答案:{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x );(2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ).[解] (1)法一:待定系数法因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c .因为f (2x +1)=4x 2-6x +5,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a =4,4a +2b =-6,a +b +c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =-5,c =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).法二:换元法令2x +1=t (t ∈R),则x =t -12, 所以f (t )=4⎝⎛⎭⎫t -122-6·t -12+5=t 2-5t +9(t ∈R), 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).法三:配凑法因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)解方程组法由f (-x )+2f (x )=2x , ①得f (x )+2f (-x )=2-x ,②①×2-②,得3f (x )=2x +1-2-x .即f (x )=2x +1-2-x 3. 故f (x )的解析式是f (x )=2x +1-2-x 3(x ∈R). [解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数.(2)换元法对于形如y =f (g (x ))的函数解析式,令t =g (x ),从中求出x =φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),再将t 换成x ,得到f (x )的解析式,要注意新元的取值范围.(3)配凑法由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).[提醒] 由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域.[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=________________.解析:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx .又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1,即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R). 答案:12x 2+12x (x ∈R) 2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,则f (x )=________________.解析:令2x +1=t ,得x =2t -1,则f (t )=lg 2t -1,又x >0,所以t >1,故f (x )的解析式是f (x )=lg 2x -1(x >1). 答案:lg 2x -1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,则f (x )=________.解析:∵2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,①把①中的x 换成1x ,得2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x, 解此方程组可得f (x )=2x -1x(x ≠0). 答案:2x -1x(x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值 [典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x +b ,x ≤0(0<a <1),且f (-2)=5,f (-1)=3,则f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3 [解析] 由题意得,f (-2)=a -2+b =5,①f (-1)=a -1+b =3,②联立①②,结合0<a <1,得a =12,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ,x >0,⎝⎛⎭⎫12x +1,x ≤0,则f (-3)=⎝⎛⎭⎫12-3+1=9,f (f (-3))=f (9)=log 39=2.[答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值;(2)当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点.考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0) [解析] 法一:分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x ≤0,即x ≤-1时, f (x +1)<f (2x ),即为2-(x +1)<2-2x ,即-(x +1)<-2x ,解得x <1.因此不等式的解集为(-∞,-1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x +1≤0,2x >0时,不等式组无解. ③当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x ≤0,即-1<x ≤0时, f (x +1)<f (2x ),即为1<2-2x ,解得x <0.因此不等式的解集为(-1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x >0,即x >0时,f (x +1)=1,f (2x )=1,不合题意.综上,不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,0).法二:数形结合法∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0, ∴函数f (x )的图象如图所示.结合图象知,要使f (x +1)<f (2x ),则需⎩⎪⎨⎪⎧ x +1<0,2x <0,2x <x +1或⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,2x <0, ∴x <0,故选D.[答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,最后将各段的结果合起来(求并集)即可;(2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解.[题组训练]1.设f (x )=⎩⎨⎧ x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则f ⎝⎛⎭⎫1a =( ) A .2B .4C .6D .8 解析:选C 当0<a <1时,a +1>1,f (a )=a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴a =2a ,解得a =14或a =0(舍去). ∴f ⎝⎛⎭⎫1a =f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1≥2,f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a ,∵f (a )=f (a +1),∴2(a -1)=2a ,无解.综上,f ⎝⎛⎭⎫1a =6.2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤1,f (x -1),x >1,则f (f (3))=________. 解析:由题意,得f (3)=f (2)=f (1)=21=2,∴f (f (3))=f (2)=2.答案:23.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论. ①当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14, 故-14<x ≤0. ②当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立. ③当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立. 综上可知,所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x -7,x <0,x ,x ≥0,若f (a )<1,则实数a 的取值范围是____________. 解析:若a <0,则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a -7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8,解得a >-3,故-3<a <0; 若a ≥0,则f (a )<1⇔a <1,解得a <1,故0≤a <1. 综上可得-3<a <1.答案:(-3,1) [课时跟踪检测]1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B ①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象;②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象.故选B.2.函数f (x )=2x -1+1x -2的定义域为( ) A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,x -2≠0,解得x ≥0,且x ≠2.3.已知f ⎝⎛⎭⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( ) A.74 B .-74C.43D .-43解析:选A 令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,则4a -1=6,解得a =74.4.(2019·贵阳检测)下列函数中,同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A .y =x -1 B .y =ln x C .y =13x -1D .y =x +1x -1解析:选D 对于A ,定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),不满足题意;对于B ,定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足题意;对于C ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(0,+∞),不满足题意;对于D ,y =x +1x -1=1+2x -1,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),值域也是(-∞,1)∪(1,+∞).5.(2018·福建期末)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x +a ,x >0,4x -2-1,x ≤0.若f (a )=3,则f (a -2)=( )A .-1516B .3C .-6364或3D .-1516或3解析:选A 当a >0时,若f (a )=3,则log 2a +a =3,解得a =2(满足a >0);当a ≤0时,若f (a )=3,则4a -2-1=3,解得a =3,不满足a ≤0,所以舍去.于是,可得a =2.故f (a -2)=f (0)=4-2-1=-1516.6.已知函数y =f (2x -1)的定义域是[0,1],则函数f (2x +1)log 2(x +1)的定义域是( )A .[1,2]B .(-1,1] C.⎣⎡⎦⎤-12,0 D .(-1,0)解析:选D 由f (2x -1)的定义域是[0,1], 得0≤x ≤1,故-1≤2x -1≤1, ∴f (x )的定义域是[-1,1], ∴要使函数f (2x +1)log 2(x +1)有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧-1≤2x +1≤1,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x <0.7.下列函数中,不满足f (2 018x )=2 018f (x )的是( ) A .f (x )=|x | B .f (x )=x -|x | C .f (x )=x +2D .f (x )=-2x解析:选C 若f (x )=|x |,则f (2 018x )=|2 018x |=2 018|x |=2 018f (x );若f (x )=x -|x |,则f (2 018x )=2 018x -|2 018x |=2 018(x -|x |)=2 018f (x );若f (x )=x +2,则f (2 018x )=2 018x +2,而2 018f (x )=2 018x +2 018×2,故f (x )=x +2不满足f (2 018x )=2 018f (x );若f (x )=-2x ,则f (2 018x )=-2×2 018x =2 018×(-2x )=2 018f (x ).故选C.8.已知具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: ①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A .①② B .①③ C .②③D .①解析:选B 对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x-x =-f (x ),满足题意;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足题意;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.9.(2019·青岛模拟)函数y =ln ⎝⎛⎭⎫1+1x +1-x 2的定义域为________. 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧1+1x >0,1-x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <-1或x >0,-1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]. 答案:(0,1]10.(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,则f (f (-9))=________.解析:∵函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,∴f (-9)=lg 10=1,∴f (f (-9))=f (1)=-2.答案:-211.(2018·张掖一诊)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于________.解析:∵f (1)=2,且f (1)+f (a )=0,∴f (a )=-2<0,故a ≤0. 依题知a +1=-2,解得a =-3. 答案:-312.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x +1,x ≤0,-(x -1)2,x >0,使f (x )≥-1成立的x 的取值范围是________.解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,12x +1≥-1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-(x -1)2≥-1, 解得-4≤x ≤0或0<x ≤2, 故所求x 的取值范围是[-4,2]. 答案:[-4,2]13.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示.第二节函数的单调性与最值一、基础知识1.增函数、减函数定义:设函数f(x)的定义域为I:(1)增函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)减函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.(2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接.3.函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.二、常用结论在公共定义域内:(1)函数f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)+g(x)是增函数;(2)函数f (x )单调递减,g (x )单调递减,则f (x )+g (x )是减函数; (3)函数f (x )单调递增,g (x )单调递减,则f (x )-g (x )是增函数; (4)函数f (x )单调递减,g (x )单调递增,则f (x )-g (x )是减函数;(5)若k >0,则kf (x )与f (x )单调性相同;若k <0,则kf (x )与f (x )单调性相反; (6)函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1f (x )的单调性相反;(7)复合函数y =f [g (x )]的单调性与y =f (u )和u =g (x )的单调性有关.简记:“同增异减”.考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )=-x 2+2|x |+1的单调区间. (2)试讨论函数f (x )=ax x -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.[解] (1)易知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+2,x ≥0,-(x +1)2+2,x <0. 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).(2)法一:定义法 设-1<x 1<x 2<1, f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝⎛⎭⎫1+1x -1,则f (x 1)-f (x 2)=a ⎝⎛⎭⎫1+1x 1-1-a ⎝⎛⎭⎫1+1x 2-1=a (x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1).由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递减;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递增. 法二:导数法f ′(x )=(ax )′(x -1)-ax (x -1)′(x -1)2=a (x -1)-ax (x -1)2=-a(x -1)2. 当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递增.[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法:一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论.(2)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性及区间.(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断;复合函数单调性,可用同增异减来确定.[题组训练]1.下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是( ) A .f (x )=2x B .f (x )=|x -1| C .f (x )=1x-xD .f (x )=ln(x +1)解析:选C 由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A 、D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x 与y=-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.2.函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)解析:选D 令t =x 2-4,则y =log 12t .因为y =log 12t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t =x 2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).3.判断函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,+∞)上的单调性.解:设x 1,x 2是任意两个正数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.综上可知,函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数.考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________.(2)若函数f (x )=-ax+b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域为⎣⎡⎦⎤12,2,则a =________,b =________. (3)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-4x ,x ≤0,sin x ,x >0的最大值为________.[解析] (1)图象法函数y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1,x ≤-1,3,-1<x <2,2x -1,x ≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞). (2)单调性法∵f (x )=-ax +b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f (x )min =f ⎝⎛⎭⎫12=12,f (x )max =f (2)=2.即⎩⎨⎧-2a +b =12,-a2+b =2,解得a =1,b =52.(3)当x ≤0时,f (x )=-x 2-4x =-(x +2)2+4,而-2∈(-∞,0],此时f (x )在x =-2处取得最大值,且f (-2)=4;当x >0时,f (x )=sin x ,此时f (x )在区间(0,+∞)上的最大值为1.综上所述,函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3,+∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.[题组训练]1.函数f (x )=x 2+4x 的值域为________.解析:当x >0时,f (x )=x +4x ≥4,当且仅当x =2时取等号; 当x <0时,-x +⎝⎛⎭⎫-4x ≥4, 即f (x )=x +4x ≤-4,当且仅当x =-2取等号,所以函数f (x )的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). 答案:(-∞,-4]∪[4,+∞)2.若x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3,则函数y =4sin 2x -12sin x -1的最大值为________,最小值为________.解析:令t =sin x ,因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3, 所以t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1,y =f (t )=4t 2-12t -1, 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t =32,所以当t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1时,函数f (t )单调递减,所以当t =-12时,y max =6;当t =1时,y min =-9. 答案:6 -93.已知f (x )=x 2+2x +ax ,x ∈[1,+∞),且a ≤1.若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析:对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立等价于x 2+2x +a >0在x ∈[1,+∞)上恒成立,即a >-x 2-2x 在x ∈[1,+∞)上恒成立.又函数y =-x 2-2x 在[1,+∞)上单调递减, ∴(-x 2-2x )max =-3,故a >-3,又∵a ≤1,∴-3<a ≤1. 答案:(-3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是( )A .f (π)>f (-3)>f (-2)B .f (π)>f (-2)>f (-3)C .f (π)<f (-3)<f (-2)D .f (π)<f (-2)<f (-3)[解析] 因为f (x )是偶函数,所以f (-3)=f (3),f (-2)=f (2). 又因为函数f (x )在[0,+∞)上是增函数. 所以f (π)>f (3)>f (2),即f (π)>f (-3)>f (-2). [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x <2,x 2,x ≥2.若f (a +1)≥f (2a -1),则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1]B .(-∞,2]C .[2,6]D .[2,+∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(-∞,+∞)上是增函数,∵f (a +1)≥f (2a -1), ∴a +1≥2a -1,解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(-∞,2]. [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式,再根据函数的单调性去掉“f ”,得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x )).考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )=x -a x +a2在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.[解析] 设1<x 1<x 2,∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1,+∞)上是增函数, ∴f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1+a2-⎝⎛⎭⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫1+a x 1x 2<0.∵x 1-x 2<0,∴1+ax 1x 2>0,即a >-x 1x 2.∵1<x 1<x 2,x 1x 2>1,∴-x 1x 2<-1,∴a ≥-1. ∴a 的取值范围是[-1,+∞). [答案] [-1,+∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.[题组训练]1.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >bD .b >a >c解析:选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称,故函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称,所以a =f ⎝⎛⎭⎫-12=f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,等价于函数f (x )在(1,+∞)上单调递减,所以b >a >c .2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax 2-x -14,x ≤1,log a x -1,x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14,12 B.⎣⎡⎦⎤14,12 C.⎝⎛⎦⎤0,12 D.⎣⎡⎭⎫12,1解析:选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调,而二次函数y =ax 2-x -14的图象开口向上,所以函数f (x )在R 上单调递减,故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,12a≥1,a ×12-1-14≥log a1-1,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,0<a ≤12,a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14,12.[课时跟踪检测]A 级1.下列四个函数中,在x ∈(0,+∞)上为增函数的是( ) A .f (x )=3-x B .f (x )=x 2-3x C .f (x )=-1x +1D .f (x )=-|x |解析:选C 当x >0时,f (x )=3-x 为减函数;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,32时,f (x )=x 2-3x 为减函数,当x ∈⎝⎛⎭⎫32,+∞时,f (x )=x 2-3x 为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-1x +1为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-|x |为减函数.2.若函数f (x )=ax +1在R 上单调递减,则函数g (x )=a (x 2-4x +3)的单调递增区间是( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .(4,+∞)D .(-∞,4)解析:选B 因为f (x )=ax +1在R 上单调递减,所以a <0. 而g (x )=a (x 2-4x +3)=a (x -2)2-a .因为a <0,所以g (x )在(-∞,2)上单调递增.3.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13,23 B.⎣⎡⎭⎫13,23 C.⎝⎛⎭⎫12,23D.⎣⎡⎭⎫12,23解析:选D 因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.4.(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C 由题意知当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2,当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,又f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在相应的定义域内都为增函数,且f (1)=-1,f (2)=6,∴f (x )的最大值为6.5.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(全集为R)( )A .(-1,2)B .(1,4)C .(-∞,-1)∪[4,+∞)D .(-∞,-1]∪[2,+∞)解析:选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f (x +1)<1即为f (0)<f (x +1)<f (3),所以0<x +1<3,所以-1<x <2,故不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞).6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-ax -5,x ≤1,a x ,x >1是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( )A .[-3,0)B .(-∞,-2]C .[-3,-2]D .(-∞,0)解析:选C 若f (x )是R 上的增函数,则应满足⎩⎪⎨⎪⎧-a2≥1,a <0,-12-a ×1-5≤a 1,解得-3≤a ≤-2.7.已知函数f (x )=x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为________.解析:设t =x 2-2x -3,由t ≥0,即x 2-2x -3≥0,解得x ≤-1或x ≥3,所以函数f (x )的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t =x 2-2x -3的图象的对称轴为x =1,所以函数t =x 2-2x -3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f (x )的单调递增区间为[3,+∞).答案:[3,+∞)8.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为________.解析:当x ≥1时,函数f (x )=1x 为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.答案:29.若函数f (x )=1x 在区间[2,a ]上的最大值与最小值的和为34,则a =________.解析:由f (x )=1x 的图象知,f (x )=1x 在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a ]⊆(0,+∞),∴f (x )=1x 在[2,a ]上也是减函数,∴f (x )max =f (2)=12,f (x )min =f (a )=1a ,∴12+1a =34,∴a =4. 答案:410.(2019·甘肃会宁联考)若f (x )=x +a -1x +2在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.解析:f (x )=x +a -1x +2=x +2+a -3x +2=1+a -3x +2,要使函数在区间(-2,+∞)上是增函数,需使a -3<0,解得a <3.答案:(-∞,3)11.已知函数f (x )=1a -1x (a >0,x >0).(1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,求a 的值. 解:(1)证明:任取x 1>x 2>0, 则f (x 1)-f (x 2)=1a -1x 1-1a +1x 2=x 1-x 2x 1x 2,∵x 1>x 2>0,∴x 1-x 2>0,x 1x 2>0, ∴f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)由(1)可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=1a -2=12,f (2)=1a -12=2, 解得a =25.12.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:当a =-2时,f (x )=xx +2.任取x 1,x 2∈(-∞,-2),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). 因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). 因为a >0,x 2-x 1>0,又由题意知f (x 1)-f (x 2)>0, 所以(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1. 所以0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1].B 级1.若f (x )=-x 2+4mx 与g (x )=2mx +1在区间[2,4]上都是减函数,则m 的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(0,1]B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,+∞)D .(0,1]解析:选D 函数f (x )=-x 2+4mx 的图象开口向下,且以直线x =2m 为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m ≤2,解得m ≤1;g (x )=2m x +1的图象由y =2mx 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m >0,解得m >0.综上可得,m 的取值范围是(0,1].2.已知函数f (x )=ln x +x ,若f (a 2-a )>f (a +3),则正数a 的取值范围是________. 解析:因为f (x )=ln x +x 在(0,+∞)上是增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a >a +3,a 2-a >0,a +3>0,解得-3<a <-1或a >3.又a >0,所以a >3. 答案:(3,+∞)3.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x +y )=f (x )+f (y )+1,②当x >0时,f (x )>-1. (1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 解:(1)令x =y =0,得f (0)=-1.在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1-x 2)>-1. 又f (x 1)=f [(x 1-x 2)+x 2]=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2), 所以函数f (x )在R 上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4得f (x 2+x +1)>f (3), 又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x +1>3, 解得x <-2或x >1,故原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1.函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.若f (x )≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下:(1)f (-x )=f (x )⇔f (-x )-f (x )=0⇔f (-x )f (x )=1⇔f (x )为偶函数;(2)f (-x )=-f (x )⇔f (-x )+f (x )=0⇔f (-x )f (x )=-1⇔f (x )为奇函数.2.函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.周期函数定义的实质存在一个非零常数T ,使f (x +T )=f (x )为恒等式,即自变量x 每增加一个T 后,函数值就会重复出现一次.(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.二、常用结论1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则一定有f (0)=0;如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a (a >0). (2)若f (x +a )=1f (x ),则T =2a (a >0). (3)若f (x +a )=-1f (x ),则T =2a (a >0).3.函数图象的对称性(1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=36-x 2|x +3|-3;(2)f (x )=1-x 2+x 2-1; (3)f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2;(4)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0.[解] (1)由f (x )=36-x 2|x +3|-3,可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36-x 2≥0,|x +3|-3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧-6≤x ≤6,x ≠0且x ≠-6,故函数f (x )的定义域为(-6,0)∪(0,6],定义域不关于原点对称,故f (x )为非奇非偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,x 2-1≥0⇒x 2=1⇒x =±1,故函数f (x )的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f (x )=0,所以f (-x )=f (x )=-f (x ),所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x -2|-2≠0⇒-1<x <0或0<x <1,定义域关于原点对称.此时f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2=log 2(1-x 2)2-x -2=-log 2(1-x 2)x ,故有f (-x )=-log 2[1-(-x )2]-x =log 2(1-x 2)x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数. (4)法一:图象法画出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0的图象如图所示,图象关于y 轴对称,故f (x )为偶函数.法二:定义法易知函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,-x >0,故f (-x )=x 2+x =f (x );当x <0时,f (x )=x 2+x ,则当x >0时,-x <0,故f (-x )=x 2-x =f (x ),故原函数是偶函数.法三:f (x )还可以写成f (x )=x 2-|x |(x ≠0),故f (x )为偶函数.[题组训练]1.(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A .y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4 B .y =x 2+e |x | C .y =x cos xD .y =ln|x |-sin x解析:选B 对于选项A ,易知y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4为非奇非偶函数;对于选项B ,设f (x )=x 2+e |x |,则f (-x )=(-x )2+e |-x |=x 2+e |x |=f (x ),所以y =x 2+e |x |为偶函数;对于选项C ,设f (x )=x cos x ,则f (-x )=-x cos(-x )=-x cos x =-f (x ),所以y =x cos x 为奇函数;对于选项D ,设f (x )=ln|x |-sin x ,则f (2)=ln 2-sin 2,f (-2)=ln 2-sin(-2)=ln 2+sin 2≠f (2),所以y =ln|x |-sin x 为非奇非偶函数,故选B.2.设函数f (x )=e x -e -x2,则下列结论错误的是( )A .|f (x )|是偶函数B .-f (x )是奇函数C .f (x )|f (x )|是奇函数D .f (|x |)f (x )是偶函数解析:选D ∵f (x )=e x -e -x2,则f (-x )=e -x -e x2=-f (x ).∴f (x )是奇函数. ∵f (|-x |)=f (|x |),∴f (|x |)是偶函数,∴f (|x |)f (x )是奇函数.考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y =f (x )是R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=2x ,则当x >0时,f (x )=( )A .-2xB .2-x C .-2-xD .2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )=a -2e x +1(a ∈R)是奇函数,则函数f (x )的值域为( )A .(-1,1)B .(-2,2)C .(-3,3)D .(-4,4)[解析] (1)当x >0时,-x <0,∵x <0时,f (x )=2x ,∴当x >0时,f (-x )=2-x .∵f (x )是R 上的奇函数,∴当x >0时,f (x )=-f (-x )=-2-x .(2)法一:由f (x )是奇函数知f (-x )=-f (x ),所以a -2e -x+1=-a +2e x +1,得2a =2e x+1+2e -x +1,所以a =1e x +1+e x e x +1=1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).法二:函数f (x )的定义域为R ,且函数f (x )是奇函数,所以f (0)=a -1=0,即a =1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f (x )±f (-x )=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.[题组训练]1.(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=log 2(x +2)-1,则f (-6)=( )A .2B .4C .-2D .-4解析:选C 根据题意得f (-6)=-f (6)=1-log 2(6+2)=1-3=-2.2.已知函数f (x )为奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,函数f (x )的最大值为________.解析:法一:当x <0时,-x >0,所以f (-x )=x 2+x .又因为函数f (x )为奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-x 2-x =-⎝⎛⎭⎫x +122+14,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14. 法二:当x >0时,f (x )=x 2-x =⎝⎛⎭⎫x -122-14,最小值为-14,因为函数f (x )为奇函数,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14.答案:143.(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,则a =________. 解析:∵f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,∴f (-x )=f (x ),即-x ln(a +x 2-x )=x ln(x +a +x 2),从而ln[(a +x 2)2-x 2]=0,即ln a =0,故a =1.答案:1考点三 函数的周期性。

函数的定义域和值域

函数的定义域和值域
1 1 由于t≥0,所以y≤2,故函数的值域是 -∞,2.
法二:(单调性法)容易判断f(x)为增函数,而其定义域应满足1
1 1 1 1 -2x≥0,即x≤2,所以y≤f2=2,即函数的值域是-∞,2.
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[精析考题]
[例3] (2011· 湖南高考)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2 ( ) +4x-3.若有f(a)=g(b),则b的取值范围为 A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)
意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.
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二、函数的值域
1.在函数概念的三要素中,值域是由 定义域 和 对应关系 所
确定的,因此,在研究函数值域时,既要重视对应关系的 作用,又要特别注意定义域对值域的制约作用. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为 2 2 4 ac - b 4ac-b {y|y≥ 4a } ;当a<0时,值域为 {y|y<= 4a } .
1 即x>-2且x≠0.
[答案]
C
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[精析考题] [例2] 求下列函数的值域,并指出函数有无最值.
1-x2 (1)y= ; 1+x2 4 (2)y=x+x(x<0); (3)f(x)=x- 1-2x.
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[自主解答] ∴0<
1-x2 2 2 (1)y= = - 1 ,∵ 1 + x ≥ 1, 1+x2 1+x2
D.[-3,5]
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解析:由题意可得:
-3≤x+1≤5, -3≤x-2≤5.
解不等式组可得:-1≤x≤4.
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A. f (bx ) f (c x )
B. f (bx ) f (c x )
C. f (b x ) f (c x )
D.大小关系随x的不同区间而改变.
指数函数与对数函数
61. .函数f (x) x2 bx c满足f (1 x) f (1 x)
A 且f (0) 3,则f (bx )与f (cx )的大小关系是( ).
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
61. .函数f (x) x2 bx c满足f (1 x) f (1 x) 且f (0) 3,则f (bx )与f (cx )的大小关系是( ).
函数基础与基本初等函数
函数的概念
函数的概念
函数的概念
• 函数的三要素:定义域、值域、对应法则。 • • 函数的表示方法:解析法、列表法、图像法。 • • 有些函数在其定义域中对于自变量x的同的取值范围对应的关系不同,
这样的函数通常称为分段函数. 分段函数虽由几个部分构成,但它表 示的是一个函数。
解 : 函数的定义域为R.
1 2x x2 (x 1)2 2 2
而y 0.5u 在R上是减函数.
y 0.512xx2 0.52 1 4
值域为
1 4
,

.
指数函数与对数函数
92..求函数y (1)x2 3x2的增区间. 3
指数函数与对数函数
92..求函数y (1)x2 3x2的增区间.
解:
令u

x2
3
3x

2, u

(x

1)2 3

1 4
, u对x的减区间 ,
3 2
又函数y (1)u 在定义域内是减函数.
3
函数的增区间为


,
3 2

指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
a 0



4(4

3a

a2
)

0
指数函数与对数函数
a 0 4(4 3a a2 ) 0
3 4
二次函数
二次函数
二次函数
二次函数
| x1 x2 |
(x1 x2 ) 2
4x1 x2

|a|
二次函数
考点一、二次函数的解析式
考点一、二次函数的解析式
幂函数
幂函数
幂函数
幂函数
幂函数
• 给下列函数图象标上对应的解析式:
2
1
1
1 y x5;2 y x2;3 y x4;4 y x1;5 y x5
幂函数
• 给下列函数图象标上对应的解析式:
2
1
1
1 y x5;2 y x2;3 y x4;4 y x1;5 y x5
【解析】依题意知函数 f x的图象是抛物线,且开口向下,
故a 0,且x=-2和x=6是 f x=0的两个根,则设函数
f x=a(x+2)(x-6)=ax- 2 4ax-12a,
比较得a2 2b Nhomakorabea4a a3
,解得 12a
a b

4 8
.
所以 f x=-4x2+16x+48.




(1)


(2)


(3)

(4)

(5)
幂函数
• 给下列函数图象标上对应的解析式:
6 y
3
x2;7 y
4
x3
8 y
1
x2
;9
y

5
x3
.
幂函数
• 给下列函数图象标上对应的解析式:
6 y
3
x2;7 y
4
x3
8 y
1
x2
;9
y

5
A. f (bx ) f (c x )
B. f (bx ) f (c x )
C. f (b x ) f (c x )
D.大小关系随x的不同区间而改变.
指数函数与对数函数
73..如图是指数函数(1) y ax , (2) y bx , (3) y cx ,
(4) y d x的图象,则a, b, c, d与1的大小关系是( ).
名称 一般形式
定义域 值域 过定点
指数函数
对数函数
图象
单调性
指数函数与对数函数
• 记住下列特殊值为底数的函数图象有利于记忆和应用:
指数函数与对数函数
• 记住下列特殊值为底数的函数图象有利于记忆和应用:
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
指数函数与对数函数
x3
.




(6)

(7)

(8)


(9)
指数幂的运算性质
a r a s a rs a 0, r, s Q
ar s ars a 0, r, s Q
abr a rbr a 0,b 0, r Q
指数函数
对数函数
对数函数
指数函数与对数函数
函数的定义域
• 通常考虑定义域有以下几个要素: • 1、分母不为零; • 2、根号内式子范围; • 3、对数的底数和真数范围。
函数的定义域
基本初等函数
• 基本初等函数主要包括以下几类: • 1、幂、指、对函数; • 2、一次、二次及反比例函数; • 3、三角函数。 • 除此之外,需要掌握的常见函数类型还有耐克函数。
考点一、二次函数的解析式
考点一、二次函数的解析式
于是设f
x=a(x-2)2+c.
A.a b 1 c d
B.b a 1 d c
C.1 a b d
D.a b 1 d c.
(1) (2) (3) (4)
O
指数函数与对数函数
84..求函数y 0.512xx2的定义域和值域.
指数函数与对数函数
84..求函数y 0.512xx2的定义域和值域.
A.a b 1 c d
B.b a 1 d c
C.1 a b d
D.a b 1 d c.
(1) (2) (3) (4)
O
指数函数与对数函数
73..如图是指数函数(1) y ax , (2) y bx , (3) y cx ,
B (4) y d x的图象,则a, b, c, d与1的大小关系是( ).
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