比较几种判定正项级数收敛性的方法
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
级数收敛的概念和判别法则
级数收敛的概念和判别法则级数是数学中重要的概念之一，它是由无穷多个数相加而成的一种数列。
级数的收敛性与数列的求和有着密切的关系，它在分析学、数学物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍级数收敛的概念及其判别法则。
一、级数收敛的概念级数是指由无穷多个数按照一定次序相加而成的表达式。
设a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……是一个数列，则级数可以表示为S = a₁ +a₂ + a₃ + …… + aₙ + ……当数列{Sₙ}存在有限的极限值S时，称级数S收敛，记作∑aₙ = S。
反之，若数列{Sₙ}不存在有限的极限值，则称级数S发散。
二、级数收敛的判别法则为了判断一个级数是否收敛，数学家们提出了多种判别法则，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 初等判别法初等判别法适用于一些简单级数的判断。
对于级数∑aₙ，如果当n趋于无穷大时，aₙ趋于零，即lim(aₙ) = 0，那么级数必收敛。
2. 比较判别法比较判别法适用于正项级数的判定。
设有两个级数∑aₙ和∑bₙ，且对于所有n，都有0 ≤ aₙ ≤ bₙ成立。
若级数∑bₙ收敛，则级数∑aₙ也收敛；若级数∑aₙ发散，则级数∑bₙ也发散。
3. 极限判别法极限判别法适用于形式为aₙ = f(n)的级数。
若存在正整数N和常数p，使得当n > N时，有aₙ ≤ (n^p)成立，那么根据级数∑(n^p)的收敛性来判断∑aₙ的收敛性。
4. 比值判别法比值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数q，使得当n足够大时，有(aₙ₊₁/aₙ) ≤ q成立，那么如果q < 1，级数∑aₙ收敛，如果q > 1，级数∑aₙ发散，若q = 1，则该方法不适用。
5. 根值判别法根值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数r，使得当n足够大时，有(n√aₙ) ≤ r成立，那么如果r < 1，级数∑aₙ收敛，如果r > 1，级数∑aₙ发散，若r = 1，则该方法不适用。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。
求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。
以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。
1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。
例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。
但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。
2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。
若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。
其中，$a_n$和$b_n$都是正数。
3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。
该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。
此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。
将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。
若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法有以下几种：
1. 比较判别法：如果对于正项级数∑a_n和正项级数∑b_n，有
a_n≤b_n对于所有的n成立，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也发散。
2. 极限判别法：如果对于正项级数∑a_n，有
lim(n→∞)a_n/a_(n+1)=L，其中L为有限值，则当L<1时，级数∑a_n收敛；当L>1时，级数∑a_n发散；当L=1时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。
3. 比值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)a_(n+1)/a_n=q，则级数∑a_n收敛；如果
lim(n→∞)a_(n+1)/a_n＞1，则级数∑a_n发散。
4. 根值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)√(a_n)=q，则级数∑a_n收敛；如果lim(n→∞)√(a_n)＞1，则级数∑a_n发散。
需要注意的是，这些判别法只对正项级数有效，即级数中的每一项都是非负的。
对于一般的级数，可以考虑正项级数的收敛性质来推导一般级数的收敛性。
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
数学分析中的级数收敛的判定方法
级数是数学分析中一个重要的概念，它由无穷多个数的和组成。
在研究级数时，我们常常希望知道该级数是否收敛。
本文将介绍数学分析中的一些级数收敛的判定方法。
首先我们来介绍级数的收敛和发散的定义。
对于给定的级数∑an，它的部分和序列是指Sn=∑an的前n项和。
如果该序列有极限L，即limn→∞Sn=L，那么我们称级数∑an收敛，并且极限L是该级数的和。
如果该序列没有极限，或者极限为无穷大，那么我们称级数∑an发散。
接下来我们将介绍一些级数收敛的判定方法。
1.比较判别法比较判别法是级数判定方法中最基本的方法之一。
其思想是将待判定的级数与一个已知的级数进行比较。
设∑an和∑bn是两个级数，如果对于所有的n，我们有0≤an≤bn，那么有以下结论：•如果∑bn收敛，那么∑an也收敛；•如果∑bn发散，那么∑an也发散。
通过比较判别法，我们可以快速判断某些级数的收敛性。
2.比值判别法比值判别法是另一种常用的级数收敛判定方法。
它通过计算级数的相邻两项的比值来判断级数的收敛性。
设∑an是一个级数，定义rn=|an+1/an|，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。
比值判别法在实际运用中非常有用，特别是对于一些指数函数形式的级数。
3.根值判别法根值判别法是一种级数收敛的判定方法，它利用级数的项求极限的方法进行判定。
设∑an是一个级数，定义rn=|an|^(1/n)，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。
根值判别法是一种常用的方法，特别适用于指数函数形式的级数。
4.正项级数判别法正项级数判别法是一种判定正项级数（即级数的每一项都是非负数）收敛性的方法。
它通过判断级数的部分和序列是否有上界来进行判定。
正项级数收敛的必要条件
正项级数收敛的必要条件摘要：一、正项级数收敛的定义二、正项级数收敛的必要条件1.项数趋于无穷2.级数绝对值趋于零3.级数符号不变正文：在数学领域，正项级数收敛性是一个重要概念。
所谓正项级数，是指由一系列正数构成的数列，按照一定的规则进行求和。
当我们讨论正项级数收敛时，我们需要了解其必要条件。
首先，我们来了解一下正项级数收敛的定义。
一个正项级数收敛，当且仅当其各项绝对值趋于零，且级数符号不变。
换句话说，当级数中的每一项的绝对值都越来越小，且级数的正负性始终保持不变时，这个级数就是收敛的。
接下来，我们详细探讨正项级数收敛的必要条件。
1.项数趋于无穷：一个级数要想收敛，就必须拥有无穷多的项。
这是因为，如果项数有限，那么无论级数和是多少，都不可能趋于一个确定的值。
因此，项数趋于无穷是正项级数收敛的必要条件之一。
2.级数绝对值趋于零：正项级数收敛的另一个必要条件是，各项的绝对值趋于零。
这是因为，如果级数中的某一项或几项的绝对值过大，那么这些项会对级数的和产生显著的影响，使级数和无法稳定在一个确定的值上。
因此，级数绝对值趋于零是正项级数收敛的必要条件之一。
3.级数符号不变：正项级数收敛的最后一个必要条件是，级数的正负性始终保持不变。
这是因为，如果级数的正负性发生变化，那么级数的和也将发生变化，级数就不可能收敛。
因此，级数符号不变是正项级数收敛的必要条件之一。
综上所述，正项级数收敛的必要条件包括：项数趋于无穷、级数绝对值趋于零、级数符号不变。
掌握了这些必要条件，我们就能够判断一个正项级数是否收敛，从而为后续的数学分析奠定基础。
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。
正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。
在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。
这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。
我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。
对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。
本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。
希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。
1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。
正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。
正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。
通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。
深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。
1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。
关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。
在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。
目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。
这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。
第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性
用比较判别法及其极限形式判别正项数列的收敛性∑n=1到无穷1/1+a的n次方当a>1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a<1，所以级数和收敛。
当0<=a<=1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和是不收敛的。
当-1<a<0时，|a^n|=|a|^n < 1，所以-1< a^n < 1，级数和∑ 1/(1+a^n)中每一项bn=1/(1+a^n) >= 1/(1+1) = 1/2，当然级数和还是不收敛的。
当a=-1时，级数和∑ 1/(1+a^n)中的奇数项分母为零，没有意义。
当a<-1时，级数和∑ 1/(1+a^n) 中b(n+1)/bn = (1+a^n)/(1+a^(n+1))=((1/a)^n+1+1/a)/((1/a)^(n+1)+1)趋于1/a，绝对值<1，所以级数和也是收敛，并且是绝对收敛的。
阿贝尔（Abel）判别法是分析学中一条十分重要的判定法则，与狄利克雷（Dirichlet）判别法合称为A-D判别法。
主要用于判定任意项数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及含参变量反常积分的一致收敛等。
编辑本段级数应用数项级数若数列{an} 单调有界，级数Σ(n=1,∞) bn 收敛，则任意项数项级数Σ(n=1,∞) (an×bn) 收敛函数项级数若函数列 {an(x)} 对于每一个固定的x↔D关于n单调，且函数列{an(x)} 在D上一致有界，即存在M>0，使得│an(x)│≤M (x↔D，n↔N)；同时，函数项级数Σ(n=1,∞) bn(x) 在D上一致收敛，则函数项级数Σ(n=1,∞) [an(x)×bn(x)] (x↔D) 在D上一致收敛编辑本段积分应用反常积分无穷限反常积分：若∫(a,+∞) f(x)dx收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则反常积分∫(a,+∞) f(x)g(x)dx收敛无界函数反常积分：若∫(a,b) f(x)dx收敛，g(x)在[a,b)上单调有界，则反常积分∫(a,b) f(x)g(x)dx收敛含参变量积分若(1)、∫(a,+∞) f(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛；(2)、g(x,y)关于x单调，即对于每一个固定的y↔[c,d]，g(x,y)是x的单调函数；(3)、g(x,y)一致有界，即存在M>0，使得│g(x,y)│≤M (a≤x<+∞，y↔[c,d])。
数项级数收敛性的判别
数项级数收敛性的判别一、基本概念数项级数是由一列实数构成的无限级数，形式化表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$$其中$a_n$为级数中第$n$个数。
对于数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，我们关心的问题是其收敛性或发散性。
设数列$\{S_n\}$表示数项级数的前$n$项和，则有：二、基本判别法1.正项级数判别法正项级数指所有项都是非负数的级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，若存在正整数$p$，使得对于任意$n\ge p$，都有$a_n\ge a_{n+1}$，则数项级数收敛。
该判别法常被称为级数单调有界准则，或称作单调有界原理，其思路为：单调有界必收敛。
当级数中第$p$项后，级数的每一项都小于等于$a_p$，同时又因为级数的每一项都为非负数，所以$\{S_n\}$必单调不降；又由于$a_n$单调减少，$\{S_n\}$最终必定收敛。
2.比较判别法（1）当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。
比较判别法常被称为比较原理，其思路为：级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的上界为级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的上界，则当$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$必定收敛；反之，当$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$必定发散。
设极限$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在，则：若$L=1$，则比值判别法无法断定级数的收敛性。
在比值判别法中，我们通常都称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$为原级数的比值级数。
关于正项级数收敛性的判别法
关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。
正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。
正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。
关键词：级数；正项级数；收敛；发散。
AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。
几种常用的正项级数审敛法的比较
几种常用的正项级数审敛法的比较作者：石会萍来源：《中国科技纵横》2015年第22期【摘要】无穷级数是高等数学的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，判别正项级数的敛散性更是数项级数的核心内容。
正项级数的判敛方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧。
本文归纳总结了几种常用的正项级数判敛法，比较了这些方法的不同点，总结了几种方法各自的特点与适用范围，便于学习者节约时间，提高效率。
【关键词】正项级数收敛发散无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
而数项级数又是无穷级数的一个重要组成部分，正项级数又是其中很重要的一类。
因为许多数项级数都是通过将其化成正项级数而知其敛散性的，因此，正项级数的审敛就显得尤为重要。
正项级数有几种审敛法，但一些学生学习中却有些茫然，看到一个级数不知选择哪种方法审敛，针对这种情况，现将几种常用的正项级数的审敛法比较如下：方法一：收敛的必要条件：若级数收敛，则。
判断级数敛散性时常用的是它的逆否命题，即：若，则必发散。
所以当需判断数项级数的收敛性时，可先看一般项的极限是否为零，如为零不一定收敛，但如不为零，一定发散。
如，因，故此级数发散。
方法二：收敛准则：正项级数收敛它的部分和数列有上界。
此方法适用于前项和可求出的正项级数，但多数级数的前项和不易求，所以此方法不是很实用，不过利用此收敛准则却可得到下面比较实用的方法。
方法三：比较审敛法：设和都是正项级数，且存在正整数，当时有成立，则当收敛时，收敛；当发散时，也发散。
用八个字简单的记就是“大收小收，小发大发”。
用这个方法判断级数的敛散性时，需对该级数有个直观地敛散性的认识，当直观判断它可能收敛（或发散）时，需要将该级数的各项适当地放大（或缩小），使放大（或缩小）后的级数是已知的收敛（或发散）的级数，从而验证我们的判断是正确的。
须注意放大（或缩小）的“度”要把握好，不然得不到想要的结论。
正项级数的收敛性问题研究
正项级数的收敛性问题研究【摘要】正项级数是数学中一个重要的概念，研究其收敛性问题对于深入理解数学理论具有重要意义。
本文首先介绍了正项级数的收敛性定义及判定方法，包括收敛性判定定理、比较判别法、比值判别法和根值判别法。
通过对这些方法的讨论可以帮助我们更好地理解正项级数的收敛性质。
在我们对正项级数的收敛性问题进行了总结，指出了未来研究方向，并探讨了这一理论在实践中的意义和应用。
希望本文能为相关领域的研究提供一定的参考和启示。
【关键词】正项级数、收敛性、研究背景、研究意义、研究目的、收敛性定义与判定、收敛性判定定理、比较判别法、比值判别法、根值判别法、总结、展望未来研究方向、实践意义和应用1. 引言1.1 研究背景正项级数是数学中一种重要的数列和序列的概念，它在数学分析和实际问题中有着广泛的应用。
研究正项级数的收敛性问题，是数学分析领域的一个重要研究方向。
正项级数的收敛性问题涉及到数列的性质和序列的收敛性，对于理解数学分析的基本概念和方法具有重要意义。
在现实生活和科学研究中，经常会遇到一些与正项级数相关的问题，比如电路分析、信号处理、概率论等。
正项级数的收敛性问题在这些领域中有着重要的应用，对于分析问题的性质和求解方法起着关键作用。
1.2 研究意义正项级数的收敛性问题是数学分析中一个重要的研究领域。
研究正项级数的收敛性有着重要的理论意义和实际应用价值。
在数学理论研究方面，正项级数的收敛性不仅在级数理论中有着重要地位，而且在其他数学分支领域中也有广泛的应用。
研究正项级数的收敛性，可以帮助我们更好地理解数学分析中的一些重要概念和定理，推动数学理论的发展。
在实际应用方面，正项级数的收敛性理论在工程技术、物理学、经济学等领域中都具有重要意义。
在工程技术中，正项级数的收敛性理论可以帮助我们分析和解决一些复杂的技术问题，提高工程设计的准确性和效率。
在物理学和经济学中，正项级数的收敛性理论也有着重要的应用，可以帮助我们更好地理解和描述现实世界中的现象和规律。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。
在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。
关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。
此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。
如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。
本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。
一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。
而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。
1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。
为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。
定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。
为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。
同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。
级数判断收敛
级数判断收敛
要判断一个级数是否收敛，可以进行以下方法之一：
1. 分析级数的一般项。
观察级数的通项，看是否存在一个显式的规律或者表达式。
如果存在，
则可以使用数列极限的知识来判断级数的收敛性。
例如，如果级数的通项是一个简单的表达式，可以使用比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法来判断级数的收敛性。
2. 对级数进行变形。
有时候，对级数进行一些变形可以使判断更简单或者更明显。
例如，可以
进行级数的部分和分解、换序、分组等操作。
通过变形后的级数进行判断，如果变形后的级数
收敛，则原级数也收敛；如果变形后的级数发散，则原级数也发散。
3. 利用级数的收敛定理。
根据级数的不同性质，可以运用相应的收敛定理来判断级数的收敛性。
例如，绝对收敛级数的任意重排都收敛，正项级数的部分和有界则收敛等。
4. 使用数值计算方法。
当级数的通项无法明显地找到规律或者难以分析时，可以使用数值计算
方法来估计级数的和，以确定级数的收敛性。
例如，可以使用计算机编程来模拟级数的求和，
并逐渐增加求和的项数，观察求和结果的趋势。
如果求和结果逐渐趋近于一个固定的值或者震
荡在某个范围内，则可以认为级数收敛；如果求和结果不断增大或者跳动，趋于无穷大或者无
穷小，则可以认为级数发散。
需要注意的是，判断级数的收敛性是一个相对复杂的问题，有时候需要运用多种方法综合分析。
高数发散和收敛的判断方法
高数发散和收敛的判断方法高数中的发散与收敛是一个非常重要的概念，它们与数列、函数及级数的性质密切相关。
在本文中，我们将介绍一些判断数列、函数及级数发散与收敛的方法。
一、数列的发散与收敛判断对于数列{an}来说，发散与收敛是判断其性质的基本问题。
数列的收敛性可以通过极限的存在与唯一性来判断。
如果数列{an}存在唯一的有限极限，则{an}是收敛的；如果数列{an}不存在有限极限，或者存在无穷极限，则{an}是发散的。
判断数列发散与收敛的方法有很多种，其中常用的有以下几种：1. 利用定义判断：根据数列极限的定义，当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an - a| < ε，其中a为数列的极限。
如果找不到这样的正整数N，就可以认为数列发散。
2. 利用数列的单调性：如果数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则根据实数完备性原理可知该数列存在极限。
3. 利用夹逼定理：如果存在两个数列{bn}和{cn}，使得对于所有的n，有bn ≤ an ≤ cn，并且这两个数列都是收敛的，即lim(n→∞)bn = lim(n→∞)cn = a，则根据夹逼定理可知数列{an}收敛于a。
4. 利用数列的递推关系：对于递推定义的数列，可以通过找到其递推关系式，从而判断其收敛性。
例如斐波那契数列就是通过递推关系来判断其发散与收敛的。
二、函数的发散与收敛判断对于函数来说，收敛性的判断与数列类似，也是通过极限的存在与唯一性来判断。
如果函数在某一点存在有限极限，则该函数在该点收敛；如果函数在某一点的极限不存在或为无穷大，则该函数在该点发散。
判断函数发散与收敛的方法也有多种，其中常用的有以下几种：1. 利用定义判断：根据函数极限的定义，当对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得对于所有的x，只要0 < |x - a| < δ，就有|f(x) - L| < ε，其中L为函数的极限。
如果找不到这样的δ，就可以认为函数发散。
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比较几种判定正项级数收敛性的方法【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析，找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径.【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题一：比较判别法. 1:定义若从某一项起11n n n nn na b a kb a b ++≤≤（或者）（k >0）,则由1n n b ∞=∑的收敛性可推出1n n a ∞=∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n na b a b ++≥或者（k >0）,则由1n n b ∞=∑发散可推出1n n a ∞=∑发散.2：比较判别法的极限形势 设limn n na b →∞=λ（+λ∞为有限数或）则：（i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同.（ii ）：11=0b n n n n a λ∞∞==∑∑时，由收敛可推出收敛.（iii ）：11b n n n n a λ∞∞===+∞∑∑时,由发散课推出发散.3:例题(1):证明：若级数1n n a ∞=∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级数1n n A ∞=∑其中11n npn i i p A a -+==∑（11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举出例子.证 设级数1n n A ∞=∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则1111n p n ni i i l Aa -+∞====∑∑级数由于1n n a ∞=∑收敛，故其余部分和序列{}n S 趋于定值S ，因此，11lim lim n n pn n l S S -+→∞→∞==即级数1n n A ∞=∑是收敛的，且与级数n na ∞∑有相同的和.反之不真。
例如，级数1111-+-+…1(1)n -+-+… 是发散的，但是按下述方法组成的级数(11)(11)-+-+…(11)+-+… 却是收敛的. (2):判断级数：2211135+++…21(21)n -….解 由于22110(21)n n<≤-，且级数211n n∞=∑收敛，故级数211(21)n n ∞=-∑也收敛.4：小结由上可知，比较判别法一般是由通过一个级数作为标杆，根据这个级数的收敛或者发散，判断两一个级数的敛散性，一般这种方法通过极限形势更容易判断，而且这两个级数一般都可以进行相互联系性的化简，要特别注意的是被判断级数放在分子的位置，标杆级数放在分母的位置.二：根植判别法 1：定义111,n n n n q a a ∞∞==≤<∑∑则收敛；若从某一项起11n n a ∞=≥∑，则发散.2：根植判别法极限形势设n lim(+)q q →∞=∞为有限或者：（i ）则11n n q a ∞=<∑时，收敛.（ii ）11.n n q a ∞=>∑时，发散（iii ）11n n q a ∞==∑时，的收敛性不定.3：例题（1）研究下列级数的收敛性：1n ∞=-∑…2解 由于21limlim 1n n n n na a +→∞→∞==1<故级数1n ∞=∑…2收敛.（2）2211(2)n n n∞=+∑解 由于limlimn n →∞→∞=1lim122+n n→∞==<故级数2211(2)n n n∞=+∑收敛（3）判断111()n nn nn n+∞=+∑的敛散性解 由于1111(1)0,1(1)()n nn nnnn n n nn n+-⋅≥=+>++对于级数11+nnn n n-∞=⋅∑（1）其通项趋于10e≠，故它是发散的.因此，原级数也是发散的.（3）1113(1)2n n n +∞+=+-∑解由于1limlim2n n →∞→∞==. 但是111,3(1)42[3(1)]1n n nnn a a n ++⎧+-⎪==⎨+-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时4：小结这种、方法一般通过通项求出极限，根据极限的范围判断级数是否收敛，这种方法一般是看级数是否开n 次方，是否容易求出极限，极限是否为有限数.一般的级数都可以用此种方法判断.三：达朗伯耳判别法 1：定义 若从某一项起11111,1n n n n n n nna a q a a a a ∞∞++++≤<≥∑∑则收敛，若从某一项起，则发散2：达朗伯耳判别法的极限形势 设1lim(+)n n na q q a +→∞=∞为有限或则11n n q a ∞=<∑时，收敛；11n n q a ∞=>∑时，发散;11n n q a ∞==∑时，的收敛性不定 3:例题(1)分析21n ∞=∑.的敛散性解 由于21limlim 1n n n n na a +→∞→∞==-1<故级数1n ∞=∑…2收敛.（2.的敛散性解 注意到2s2sin,44co ππ=2sin8π==2sin16π===利用数学归纳法能，可以证得通项公式为12sin.2n n a π+=由于2112sin 12limlim122sin2n n n n nn a a ππ++→∞→∞+==<级数收敛.（2）证明：若111lim(0),(),nn n n n n a q a a o q q q a +→∞=>=>则其中.证 由于1lim.limn n n na q q a +→∞→∞==故.令1001()0,2q q n n n ε=->≥则由上式知存在，使得时，有q ε<，从而有1q q ελ<+= 0()n n ≥.其中1111.(1),()nnnnn nq q o a q o q a λλλ+=<===利用证得.（3）证明：若1lim1(0),n n n n a q a a +→∞=<>则级数1n n a ∞=∑收敛.相反结论不真，研究例子2233111111232323++++++….证 取01q ε<<-，由于1lim1(0),n n n na q a a +→∞=<>故存在00,n n n ≥使得时.有11n na q l a ε+<+=<.从而，0000().n n n n a a ln n -<≤≥由于级数0n n n n l∞-=∑收敛，故0n n n a ∞=∑收敛.从而，级数1n n a ∞=∑收敛.反之不真，例如，级数2233111111232323+++++…显然是收敛的.但是，112(),21312(),223m n m nn m a a n m ++⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当当. 通过上述证明 故有 1l i mn n na a +→∞=+∞. 即本题证毕.4：小结具体一个级数，用后一项比上前一项通常可以进行化简，化简之后求其极限，若是得出一个具体数或者近似具体数通常可以直接判断是否收敛了，这种方法非常便捷，但不适用于带有非常难开的根号形式的级数. 四：例题方法：求出通项n a 减小的阶，从而研究级数1n n a ∞=∑的收敛性.1：判断1sin.n pa nnπ=的敛散性解 由于0n a ≥且11sin lim 1pn p nn nππ→∞+= 或 11()n p a o n+=*，故 仅当110,p p +>>即时级数收敛.2：证明：设正项级数1n n a ∞=∑的项单调减小，则级数1n n a ∞=∑与级数212n n n a ∞=∑同时收敛或同时发散.证 设122nS a a =++ (2)a ，则因12a a >> (22)1nna a +>>>…0>，故得12320()nS a a a <<+++…+1221(++)nn a a +-…122a a <++…22n na + （2） 且有12342()nS a a a a =++++ (1)21(n a -+++…+2)n a 124122a a a >+++ (1)22n n a -+=221221222a a a +++（…22nna +）0>. （3）由（2）得知：若212nnn a ∞=∑发散，则1n n a ∞=∑也发散.由此本题获证.五：总结由以上通过对各个判别法的分类讨论及例题的解题过程，浅谈了对于不同级数使用不同判别法的方法，针对有根号的判别法可以使用根植判别法；对于与典型级数有一定相似方面，可以使用其为敛散性的判别标杆的使用比较判别法（要注意具体探讨比较判别法时注意事项）；对于达朗伯耳判别法，一般都是级数的后一项和前一项的比值可以进行相当程度的化简，化简后的极限是有限数，根据极限判断其级数的敛散性.还有很多级数用以上三种判别法不能够简便的判断，因为我只讨论了一部分判定法，还有很多判别法对很多类型级数十分适用.【参考文献】1 费定辉，周学圣. 数学分析习题集精选精解【M】. 山东科学级数出版社. 2007年12月第一版. 238页—248页.2 宋国柱. 分析中的基本定理和典型方法【M】. 科学出版社. 2006年1月第二次印刷. 71页—80页.3 刘玉莲. 数学分析（下）【M】. 高等教育出版社 2007年.。