不等式及其解法

一元二次不等式及其解法 （文科学案）

编者：赵学磊 审核：刘丽娟

【教学目标】

1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法；

2．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神。 【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教学过程】

1.一元二次不等式的概念

形如ax 2＋bx ＋c >0(≥0)或ax 2＋bx ＋c <0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式，用文字语言表述为： ，叫做一元二次不等式．

2、画出y=x 2-3x+2的图像，根据图像分别写出x 2-3x+2>0, x 2-3x+2<0的解集

（1）、将原不等式化为一般式. ax 2＋bx ＋c ≥0与ax 2＋bx ＋c ≤0（a>0）（2）判断∆的符号. （3）求方程的根.（4）根据图象写不等式的解集.

规律：①设不等式)0(02

>>++a c bx ax

，

对应方程02

=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： （两根之外）；

②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02

=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： （两根之内）

三、典型讲解：

题型一、解一元二次不等式 例1、求下列不等式的解集.

（1）2230x x -+-> （2）2

4410x x -+>

（3）x 2+28≥11x; （4）x 2

变式1 ：解下列不等式

(1)－x 2＋5x －6>0； (2)3x 2＋5x －2>0；

(3) x 2－4x ＋5>0.； (4)9x 2－6x ＋1>0；

题型二、含有参数一元二次不等式的解法 例2解关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x

变式2：（１）解关于x 的不等式x

2

－(a+a 2)x+a 3>0 （2）01)1(2

<++-x a ax

题型三 一元二次不等式与一元二次方程的关系

例3 已知一元二次方程ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－2

变式训练2、 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3

的解集．

题型四、一元二次不等式的简单应用

例3 已知y ＝log 3(mx 2－mx －1)的定义域为全体实数，求m 的范围．

变式训练3、 （1）已知y ＝mx 2＋2mx ＋8的定义域为全体实数，求m 的范围．

（2）若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围；

（3）若不等式0122<-+-m x mx 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．

四、小结：

五、当堂检测：

1. 已知方程20a x b x c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式2

0ax bx c ++<的解为（ ）.

A ．R

B ．12x x x <<

C ．1x x <或2x x >

D ．无解 2. 关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（ ）. A ．14

c <

B ．14

c ≤

C ．14

c >

D ．14

c ≥

3. 在下列不等式中，解集是∅的是（ ）.

A ．22320x x -+>

B ．2440x x ++≤

C ．2

440

x x --< D ．2

2320

x x -+->

4. 方程0)12(2=+++m x m mx 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A. 4

1-

>m B. 4

1-

1≥

m D. 4

1-

>m 且0≠m

5．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x | －7

6．不等式(2―a )x 2―2(a ―2)x ＋4>0对于一切实数x 都成立，则（ ）。 （A ）{a | －22} 7．二次函数)(2R x c bx ax y ∈++=部分对应值如下表：

0 则不等式02>++c bx ax 的解集是____________________________

8．不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于（ ）。 （A ）－3 （B ）1 （C ）－1 （D ）3

9．若不等式2x 2＋px ＋q <0的解集为－2

⎝

⎛

∈21,0x 成立，求a 的取值范围．

12．k 取何值时，不等式(k ＋1)x 2―2(k ―1)x ＋3(k －1)≥0对于任何x ∈R 都成立？