考研试题601-数学理

2016年硕士研究生招生考试试题

考试科目: 数学（理） 满分：150分 考试时间：180分钟

一、单项选择题（每小题4分，共32分）

1. 点1x =是函数31,1,()1,

1,3,1x x f x x x x -<⎧⎪

==⎨⎪->⎩

的 ( ) A ． 连续点； B ． 可去间断点；

C ． 跳跃间断点；

D ． 第二类间断点.

2. 设sin(2)3y x π

=-，则3

d x y π== ( )

A ． 1

d 2

x ； B ． 12；

C ． d x ；

D ． 1.

3. 积分

2sin d x x x π

π

-

=⎰ ( )

A ． 1-；

B ． 0；

C ． 1

2

-； D . 12.

4. 若函数(),z f x y =在点P 处的两个偏导数存在，则它在P 处 ( )

A ．连续；

B ．可微；

C ．不一定连续；

D ．一定不连续.

5.已知线性方程组12312312

30

00

ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩有非零解，则=a ( )

A. 2；

B. 0；

C. 1；

D. 1-.

注意：所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效.

6.

=++++4

32

1d c b a ( )

A. 4321b a d c +；

B. 4321+

d c b a ； C. 4132c b d a +； D. 4

32131+++

++c a d c b a . 7. 在假设检验中，当样本容量确定时，若减小了犯第一类错误的概率，则犯第二类错误的概率会 （ ）

A.不变；

B.不确定；

C.变小；

D.变大. 8. 设321,,X X X 4X 来自总体),(2σμN 的样本，则μ的最有效估计量是 （ ）

A.)(31321X X X ++ ；

B.)(41

4321X X X X +++； C.)(2143X X + ； D.)(5

1

4321X X X X +++. 二、填空题（每小题4分，共32分）

1. 设函数f (x )=2

(1), 0cos , 0

x x x a x x ⎧⎪

+>⎨⎪≤⎩在点0x =处连续，则

a = .

2．曲线ln y x x =在点(1,0)处的切线方程为 .

3．设2

1()d 1f x x C x =

++⎰，则(ln )

d f x x x =⎰ . 4．设区域22:4D x y +≤，则22sin()d d D

x y x y +=⎰⎰ .

5. 系数矩阵为m n A ⨯的齐次线性方程组0=AX ，若有非零解，则

()R A <________.

6. 设三阶矩阵A 的三个特征值为-1、3、4， 则其伴随矩阵*A 的三个特征值为 、 、 .

7. 已知连续型随机变量X 的概率密度2

)1(1)(--=x e x f π

，则E(X-2)= ，

D(2X-3)= .

8. 设2~(,)X N μσ， 12,n X X X （，，）是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值与样本方差，则21(

)n

i i X X

σ

=-∑服从 分布

（写出分布和自由度）.

三、解答题（共9题，86分）

1.（10分）求极限 11lim(

)1ln x x x x

→--.

2．（10分）求微分方程1arctan y y x x '+=满足条件14

x y π

==的特解.

3．（10分）求二元函数333()z xy x y =-+的极值.

4.（10分）计算二重积分D

e d d x y x y ⎰⎰，其中D 是由直线30x y -+=，30

x y +-=和1y =围成的区域.

5.（10分）证明方程 4

01

31dt 01x

x t --=+⎰

在区间(0,1)内有唯一实根．

6．（10分）当λ取什么值时，方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=++=++1

322432321

321321x x x x x x x x x λλ 有无穷多解？并求

出取该值时方程组的通解．

7.（8分）已知矩阵

112

21021512031311241A ⎛⎫ ⎪-

⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭

求矩阵A 的列向量组的一个极大线性无关组，并将不属于该极大线性无关组中的向量用此极大线性无关组线性表出．

8.（8分） 袋中有8个球，其中5个红球3个白球，从中任取3球，设X 为所取3球中的红球数，求(1) X 的分布律，(2) X 的数学期望和方差，(3)在已知至少1个红球条件下，计算实际3个全是红球的概率。

9.（10分）设总体X 的概率密度函数为⎪⎩

⎪

⎨⎧<<=-其他01

0),(1x x x f θθθ,

其中θ>0未知，（),,,21n X X X 是来自该总体的一个样本，),,,(21n x x x 为其

样本观测值，

（1）求X 的数学期望()E X ； （2）求参数θ的矩估计；

（3）求参数θ最大似然估计值。