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2016年上海市松江区中考数学一模试卷含答案解析

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2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2． 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ． 所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10． 在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152． 如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-． 所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -． 定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=． 如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2． 所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5． 所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -． 由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ． 所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ． 由43x BE =，得BE ＝34x ． 由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--． 当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45． 在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3． 综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值； （2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=． （2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5． 定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)． 在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-． 由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-． 由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ． 所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13． （3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ． 又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CAx PD CP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝ 如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5． （2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值； （2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上． 所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ． 因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ， 所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5． （3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。

2016年上海各区数学一模18题汇编(含解析)(1)

2016年上海各区数学一模18题汇编(含解析)(1)

2016年上海各区县一模数学第18题汇编（含分析）例2016年上海市崇明县中考一模第18题如图I.等边•二角形中,。

是8r边上的一点，E BD : DC= 1 :3.把AdBr折都使点d落在6C边上的点D处,那么_ 的佗为如图2,因为/A/Z>C=/B+/l=6(r +/1, NA/DC=/A/PN+/2=6(r +/2, 所以Nl = /2.又因为NE = NC=6(r ,所以△MBD S ADCN.由3 DM 413/向周长TB + BD所以 --- = -------------- = ----------ND △ZXW的周长JC+DC如图3,设等边三角形ABC的边长为4, "1BD ：。

「=1 ：3时,—=—AM ND 4 + 3 7图图例 2016年上海市奉贤区中考一模第18题如图1.已知平行四边形,45。

［）中，.48:2/,,3=6.8由='.将边绕点」旋*）转，使得点B 落在平行四边形ABCD 的边上,其对应点为F （点£不与点S 瓯合），那么 sin ZC-fB r = .如图2.在Rtzk/HE 中,由T5=2，7, covB- 1 .可得2E=3 .正=4.在RlA/fCE 中,由.dE=4. CE=BC-BE=6-2-4.可得/C= 4应.乙4CE75 .①如图3,当点用在灰:,边上时,B 任=BE=2.在等腰直角—.用形中,B fC=2.所以8H=CH=J 三. 管1△ABH R'H= JI, AH=AC-CH = 372 .所以-虫?'=26.此时向“用=型=£=巫. AB' 2V5 10②如图4.当点？在HD 边上时，ZCJ5r=45 .此时sin/CH3=^. ?图12016年上海市虹口区中考一模第18题如图1,在矩形JBCD中，.48=6,初=10,点E是SC的中点,联结HE.若将&4的沿HE翻折，点8落在点广处，联结FC.贝iJco$NECF= __________ .B E图I如图2.由EB=EC=EF.可知N3尸C=90 .又因为.在戊直平分BF.所以NRO£=90° .所以如O/JE所以NECF=N8E4.在R【ZLd%？I。

2016上海市各区县初三一模数学试题及答案

2016上海市各区县初三一模数学试题及答案

2016上海长宁区初三数学一模试题一、 （满分150分） 选择题。

（本题共6个小题，每题4分，共24分）1、如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）. :2 ：4 ：2 ：12、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）. A.AD:AB=2:3 :AC=2:5 :DB=2:3 :AE=3:23、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB 的值是（ ）. A.22 B.23 C.21 4、在△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 5、已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O O 21为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.A.相交B.内含C.内切D.外切6二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 二、填空题。

（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7、已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是（ ).8、已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，则实数b 的值为（ ） 9、已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是（ ）.10、已知二次函数2)3(-=x y 图像上的两点A （3，a ）和B （x ，b ），则a 和b 的大小关系是a （ ）b.11、圆是轴对称图形，它的对称轴是（ ）.12、已知⊙O 的弦AB=8cm ，弦心距OC=3cm ，那么该圆的半径是（ ）cm.13、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC=1，BC=22,那么sin ∠ACD 的值是（ ）.14、王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处（ ）m.15、已知△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设m AD =，那么用m 表示AG =（ ）. 16、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=（ ）.17、如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为215-的矩形称作黄金矩形。

2016上海各区初三数学一模18题解析

2016上海各区初三数学一模18题解析

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第二部分第18题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第18题/ 12016年上海市奉贤区中考数学一模第18题/ 22016年上海市虹口区中考数学一模第18题/ 32016年上海市黄浦区中考数学一模第18题/ 42016年上海市嘉定区中考数学一模第18题/ 52016年上海市静安区青浦区中考数学一模第18题/ 62016年上海市闵行区中考数学一模第18题/ 72016年上海市浦东新区中考数学一模第17、18题/ 82016年上海市普陀区中考数学一模第18题/ 102016年上海市松江区中考数学一模第18题/ 112016年上海市徐汇区中考数学一模第18题/ 122016年上海市杨浦区中考数学一模第18题/ 132016年上海市闸北区中考数学一模第18题/ 142016年上海市长宁区金山区中考数学一模第18题/ 152016年上海市宝山区中考数学一模第18题/ 16例 2016年上海市崇明县中考一模第18题如图1，等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，且BD∶DC＝1∶3，把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，那么AMAN的值为__________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模18”，拖动点D在BC边上运动，可以体验到，△MBD与△DCN保持相似．答案57．思路如下：如图2，因为∠MDC＝∠B＋∠1＝60°＋∠1，∠MDC＝∠MDN＋∠2＝60°＋∠2，所以∠1＝∠2．又因为∠B＝∠C＝60°，所以△MBD∽△DCN．所以DM MBD AB BD ND DCN AC DC+==+△的周长△的周长．如图3，设等边三角形ABC的边长为4，当BD∶DC＝1∶3时，415437 AM DMAN ND+===+．图2 图3例 2016年上海市奉贤区中考一模第18题如图1，已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝6，cot B ＝12，将边AB 绕点A 旋转，使得点B 落在平行四边形ABCD 的边上，其对应点为B ′（点B ′不与点B 重合），那么sin ∠CAB ′＝________________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模18”，可以体验到，点B 旋转以后得到的点B ′可以落在BC 边上，也可以落在AD 边上．．思路如下：如图2，在Rt △ABE 中，由AB ＝cot B ＝12，可得BE ＝2，AE ＝4．在Rt △ACE 中，由AE ＝4，CE ＝BC －BE ＝6－2＝4，可得AC ＝ACE ＝45°． ①如图3，当点B ′在BC 边上时，B ′E ＝BE ＝2．在等腰直角三角形B ′CH 中，B ′C ＝2，所以B ′H ＝CH在Rt △A B ′H ，B ′H ＝AH ＝AC －CH ＝AB ′＝此时sin ∠CAB ′＝''B HAB ==②如图4，当点B ′在AD 边上时，∠CAB ′＝45°．此时sin ∠CAB ′＝2．图2 图3 图4例 2016年上海市虹口区中考一模第18题如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，点E 是BC 的中点，联结AE ，若将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，联结FC ，则cos ∠ECF ＝__________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模18”，可以体验到，FC //AE ．如图2，由EB ＝EC ＝EF ，可知∠BFC ＝90°． 又因为AE 垂直平分BF ，所以∠BOE ＝90°． 所以FC //AE ．所以∠ECF ＝∠BEA ．在Rt △ABE 中，AB ＝6，BE ＝4，所以AE ＝cos ∠ECF ＝BE AE图2例 2016年上海市黄浦区中考一模第18题如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝45°，点E是AB的中点，DE＝DC，∠EDC ＝90°，若AB＝2，则AD的长是___________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模18”，拖动点D可以改变梯形ABCD和直角三角形CDE的形状，可以体验到，△EMD∽△DNC．当DE＝DC时，△EMD≌△DNC．．思路如下：在Rt△AEM中，AE＝1，∠EAM＝45°，所以EM＝AM＝．．由△EMD≌△DNC，得MD＝NC＝2EM＝AD＝2图2例 2016年上海市嘉定区区中考一模第18题如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝CB，tan∠C＝43．点E在CD边上运动，联结BE．如果EC＝EB，那么DECD的值是_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模18”，拖动点E在CD上运动，可以体验到，点H 是BC的四等分点，当EC＝EB时，EG垂直平分BC．答案13．思路如下：如图2，由AB＝CB，tan∠C＝43，可得DHCH＝ABCH＝CBCH．所以34CD CF=．如图3，当EC＝EB时，EG垂直平分BC，所以E是CF的中点．所以14DE CF=．所以DECD＝13．图2 图3例 2016年上海市静安区青浦区中考一模第18题如图1，将平行四边形ABCD 绕点A 旋转后，点D 落在边AB 上的点D ′，点C 落到C ′，且点C ′、B 、C 在一直线上，如果AB ＝13，AD ＝3，那么∠A 的余弦值为．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模18”，拖动点D 绕着点A 旋转，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠保持不变（如图2）．当点C ′、B 、C 在一直线上时，△C ′D ′B 是等腰三角形（如图3）．答案135．思路如下： 如图3，在等腰三角形C ′D ′B 中，C ′D ′＝CD ＝13，BD ′＝13－3＝10． 在Rt △C ′D ′E 中，ED ′＝5，C ′D ′＝13，所以cos ∠1＝135．例 2016年上海市闵行区中考一模第18题将一副三角尺如图1摆放，其中在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°．在Rt △EDF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°．点D 为边AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ．将△EDF 绕点D 顺时针旋转角α（0°＜α＜60°），后得到△E ′DF ′，DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，那么PMCN的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模18”，拖动点F ′绕着点D 旋转，可以体验到，△PDM 与△CDN 保持相似，对应边的比等于30°角的直角三角形PDC 的直角边的比．．思路如下：如图2，在Rt △PCD 中，∠PCD ＝∠A ＝30°，所以3PD CD =如图3，由△PDM ∽△CDN ，得PM PD CN CD ==图2 图3例 2016年上海市浦东新区中考一模第17题若抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A(m, 0)、B(n, 0)两点，与y轴交于点C(0, c)，则称△ABC 为“抛物三角形”．特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为“倒抛物三角形”．那么当△ABC为“倒抛物三角形”时，a、c应分别满足条件_________．动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模17”，拖动点C在y轴上运动，可以体验到，当点C在y轴负半轴时，△ABC为“倒抛物三角形”．答案a＞0，c＜0．思路如下：因为A(m, 0)、B(n, 0)两点关于y轴对称，所以mn＜0．当mnc＜0时，c＞0，这时抛物线开口向下，所以a＜0（如图1所示）．当mnc＞0时，c＜0，这时抛物线开口向上，所以a＞0（如图2所示）．图1 正抛物三角形图2 倒抛物三角形例 2016年上海市浦东新区中考一模第18题在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，BC ＝3．D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的一点（D 、E 均与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE ＝_________．动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模18”，拖动点E 在AC 上运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在4种情况，其中有一种情况点E 与点A 重合．答案2，3625或258．思路如下：如图1，当E 为直角顶点，∠DCE ＝∠A 时，DA ＝DC ，因此E 是AC 的中点．此时CE ＝2． 如图2，当E 为直角顶点，∠DCE ＝∠B 时，CD ⊥AB ．此时CE ＝3625．图1 图2如图3，当D 为直角顶点，∠DCE ＝∠A 时，DA ＝DC ，因此点D 在AC 的垂直平分线上， CD 是直角三角形ABC 斜边上的中线．此时CE ＝258． 如图4，当D 为直角顶点，∠DCE ＝∠B 时，点E 与点A 重合．图3 图4已知点A (3, 2)是平面直角坐标系中的一点，点B 是x 轴负半轴上一动点，联结AB ，并以AB 为边在x 轴上方作矩形ABCD ，且满足BC ∶AB ＝1∶2，设点C 的横坐标为a ，如果用含a 的代数式表示点D 的坐标，那么点D 的坐标是__________．动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模18”，可以体验到，△AFD ≌△CHB ∽△BGA ．答案1(2,3)2a -．思路如下：如图1，构造矩形ABCD 的外接矩形EFGH ，那么△AFD ≌△CHB ∽△BGA ． 设C (a , y )，B (b , 0)，根据12CH BH CB BG AG BA ===，得1322y b a b -==-． 解得b ＝a ＋1，112y a =-．因此DF ＝BH ＝b －a ＝1，AF ＝CH ＝y ＝112a -． 于是x D ＝3－1＝2，y D ＝FG ＝AG ＋AF ＝2＋112a -＝132a -．图1例 2016年上海市松江区中考一模第18题已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD＝_________．动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模18”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，当点A′落在直线AB上时，CD⊥AB．答案4．思路如下：5如图1，△ACD与△A′CD关于直线DC对称．如图2，当点A′落在直线AB上时，CD⊥AB．此时∠A′CD＝∠ACD＝∠ABC．图1 图2如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，cos B＝35，将△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模18”，拖动点E绕着点A旋转，可以体验到，等腰三角形ABD与等腰三角形ACE保持相似（如图2），当点D落在BC上时，△ABD的三边比是5∶5∶6（如图3）．答案245．思路如下：在Rt△ABC中，AB＝3，cos B＝35，所以BC＝4，AC＝4．如图3，在△ACE中，56ACCE=，所以62455CE AC==．例 2016年上海市杨浦区中考一模第18题如图1，已知△ABC 沿角平分线BE 所在直线翻折，点A 恰好落在BC 边的中点M 处，且AM ＝BE ，那么∠EBC 的正切值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模18”，拖动点A 运动，可以体验到，AB ＝AD ，点E 是BD 的三等分点，点G 是BD 的中点．答案23．思路如下：如图2，由∠1＝∠2＝∠3，可得AB ＝AD ．又因为AB ＝MB ，M 是BC 的中点，所以AD ＝MB ＝MC ．所以1BG MB DG AD ==，2BE BCDE AD==（如图3）． 所以23BE BD =，12BG BD =．所以43BE BG =．当AM ＝BE 时，12MG BE =．此时tan ∠EBC ＝1223MG BE BG BG =⨯=．图2 图3如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着过点A的折痕翻折，使点B落在AD边上的点F，折痕交BC于点E，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A的折痕翻折，点E恰好与点D重合，此时折痕交DC于点G，则CG∶GD的值为________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模18”，拖动点D可以改变矩形ABCD的形状，可以体验到，△ABE是等腰直角三角形保持不变，EG与E′G保持相等，当点E′与点D重合时，△CEG是等腰直角三角形．答案1如图4，当点E′与点D重合时，△CEG是等腰直角三角形，CG∶EG＝1例 2016年上海市长宁区金山区中考一模第18题如图1，四边形ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，如果tan∠AEN＝13，DC＋CE＝10，那么△ANE的面积为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“16长宁金山一模18”，可以体验到，根据对称性，∠AEN＝∠EAN，AN＝EN．答案103．思路如下：如图2，根据对称性，∠AEN＝∠EAN，当tan∠AEN＝tan∠EAN＝13，设BE＝m，那么正方形的边长为3m．当DC＋CE＝10时，2m＋3m＝10．解得m＝2．设AN＝EN＝n，在Rt△BEN中，由勾股定理，得n2＝(6－n)2＋22．解得n＝103．所以S△ANE＝12AN BE＝103．图2如图1，抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，M是抛物线的顶点．现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为_____________（面积单位）．图1动感体验请打开几何画板文件名“16宝山一模18”，拖动点M ′上下运动，可以体验到，夹在两条抛物线之间的竖直线段的长与MM′保持相等，因此曲线CMB在平移过程中扫过的面积等于平行四边形CMM ′C′和平行四边形BMM ′B′的和．答案9．思路如下：由y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)，B(3, 0)，C(0,－3)．如图3，当CC′＝3时，S平行四边形CMM ′C′＋S平行四边形BMM ′B′＝MM ′×OB＝9．。

2016年上海市松江区中考数学一模试卷含答案解析

2016年上海市松江区中考数学一模试卷含答案解析

2016年上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：22．以下函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1 B．y=〔x﹣1〕2﹣x2C．y=2x2﹣7 D．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则以下结论正确的选项是( ) A．B．C．D．4．假设四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的选项是( ) A．B．C．D．5．如果二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜06．P是△ABC一边上的一点〔P不与A、B、C重合〕，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( ) A．1条B．2条C．3条D．4条二.填空题7．假设a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=__________．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为__________cm．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为__________．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=__________．11．一位运发动投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y〔米〕关于水平距离x〔米〕的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为__________米．12．如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是__________．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=__________．14．假设点A〔﹣3，y1〕、B〔0，y2〕是二次函数y=﹣2〔x﹣1〕2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是__________〔填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2〕．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是__________．16．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，假设BC=6cm，那么DE等于__________cm．17．已知二次函数的图象经过〔0，3〕、〔4，3〕两点，则该二次函数的图象对称轴为直线__________．18．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=__________．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A〔﹣1，8〕，顶点为M；〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．20．〔16分〕如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；〔1〕求向量〔用向量、表示〕；〔2〕在图中求作向量在、方向上的分向量；〔不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量〕21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；〔结果保留两位小数〕〔参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60〕22．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB 的值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；〔1〕求证：∠BDE=∠C；〔2〕求证：AD2=AE•AB．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是〔3，0〕，tan∠OAC=3；〔1〕求该抛物线的函数表达式；〔2〕点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；〔3〕点D是y轴上一动点，假设以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．25．〔18分〕已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P 是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；〔1〕如图1，当点E、D重合时，求AP的长；〔1〕如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；〔3〕当线段DG=时，求AE的值．2016年上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：3，故选：D．【点评】此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．以下函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1 B．y=〔x﹣1〕2﹣x2C．y=2x2﹣7 D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2s是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则以下结论正确的选项是( ) A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【解答】解：在直角△ABC中，AC===．则sinA==，故A错误；cosA==，故B正确；tanA===，故C错误；cotA===，故D错误．故选B．【点评】此题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．假设四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的选项是( ) A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后由，可得AB∥CD，AB=2DC即可证得△OAB∽△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OA：OC=OB：OD=AB：CD=2：1，继而求得答案．【解答】解：A、∵，∴AB∥CD，AB=2DC，∴△OAB∽△OCD，∴OA：OC=AB：DC=2：1，∴OA=2OC，∴=2；故正确；B、||不一定等于||；故错误；C、≠，故错误；D、=；故错误．故选A．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证得△AOB∽△COD是解此题的关键．5．如果二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0．故选A．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时〔即ab ＞0〕，对称轴在y轴左；当a与b异号时〔即ab＜0〕，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于〔0，c〕；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．P是△ABC一边上的一点〔P不与A、B、C重合〕，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( ) A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】相似三角形的判定．【专题】新定义．【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．【解答】解：如下图：当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当PE∥AC时，△BPE∽△BAC；当PF⊥AB时，△APD∽△ABC故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．二.填空题7．假设a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=8．【考点】比例的性质．【分析】设a=k，则b=3k，c=2k，根据a+b+c=24即可代入求得k，然后代入求得所求代数式的值．【解答】解：∵a：b：c=1：3：2，∴设a=k，则b=3k，c=2k，又∵a+b+c=24，∴k+3k+2k=24，∴k=4，∴a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．故答案是：8．【点评】此题考查了比例的性质，根据a：b：c=1：3：2正确设出未知数是解决此题的关键．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为4cm．【考点】比例线段．【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4〔线段是正数，负值舍去〕．故答案为4．【点评】考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为〔0，3〕．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把x=0代入即可求得．【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，所以二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为〔0，3〕，故答案为〔0，3〕．【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=6．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：∵sinB=，∴AB===6．故答案是：6．【点评】此题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．11．一位运发动投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y〔米〕关于水平距离x〔米〕的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．【考点】二次函数的应用．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y=﹣=﹣〔x2﹣8x〕+=﹣〔x﹣4〕2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．12．如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是4．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，，∴=，即，解得：EF=4故答案为：4．【点评】此题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=1：2．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】推理填空题．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答此题．【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+12=52，解得，〔舍去〕，故该斜坡坡度i=1：2．故答案为：1：2．【点评】此题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度．14．假设点A〔﹣3，y1〕、B〔0，y2〕是二次函数y=﹣2〔x﹣1〕2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2〔填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2〕．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=﹣3时，y1=﹣2〔x﹣1〕2+3=﹣29；当x=0时，y2=﹣2〔x﹣1〕2+3=1；∵﹣29＜1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=〔x﹣2〕2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向右平移2个单位，所得函数解析式为：y=〔x﹣2〕2．故答案为：y=〔x﹣2〕2．【点评】此题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．16．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，假设BC=6cm，那么DE等于4cm．【考点】三角形的重心．【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，进而求出答案．【解答】解：连接AG并延长到BC上一点N，∵△ABC的重心G，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN=CN，DG=GE，∴==，∴=，解得：DG=2，∴DE=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键．17．已知二次函数的图象经过〔0，3〕、〔4，3〕两点，则该二次函数的图象对称轴为直线x=2．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过〔0，3〕、〔4，3〕两点，可以得到该二次函数的图象对称轴，从而可以解答此题．【解答】解：∵二次函数的图象经过〔0，3〕、〔4，3〕两点，∴该二次函数的图象对称轴为直线：x=，故答案为：x=2．【点评】此题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对称．18．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=．【考点】翻折变换〔折叠问题〕．【分析】点A落在直线AB上的点A′处，则CD⊥AB，D就是垂足，根据三角形的面积公式求得CD的长，然后在直角△ACD中利用勾股定理求得AD，再根据sin∠A′CD=sin∠ACD 求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D．在直角△ABC中，AB===5，∵S△ABC=AB•CD=BC•AC，∴CD===，在直角△ACD中，AD==，∴sin∠A′CD=sin∠ACD===．故答案是：．【点评】此题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，正确理解∠ACD=∠A′CD是关键．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A〔﹣1，8〕，顶点为M；〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【分析】〔1〕把点A的坐标代入函数解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值即可；〔2〕由〔1〕中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=x2+bx+3经过点A〔﹣1，8〕，∴8=〔﹣1〕2﹣b+3，解得b=﹣4，∴所求抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3；〔2〕作AH⊥BM于点H，∵由抛物线y=x2﹣4x+3解析式可得，点M的坐标为〔2，﹣1〕，点B的坐标为〔2，0〕，∴BM=1，∵对称轴为直线x=2，∴AH=3，∴△ABM的面积=．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解题的关键是正确求出抛物线的解析式．20．〔16分〕如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；〔1〕求向量〔用向量、表示〕；〔2〕在图中求作向量在、方向上的分向量；〔不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量〕【考点】*平面向量．【分析】〔1〕由四边形ABCD是平行四边形，可得，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量；〔2〕首先平移向量，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【解答】解：〔1〕方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∵，，∴，，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴，，∴．方法二：∵，，∴，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴；〔2〕作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量．【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；〔结果保留两位小数〕〔参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60〕【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点M的水平线交直线AB于点H，设MH=x，则AH=x，结合等腰直角三角形的性质和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，由此求得MH的长度，则MN=AB+BH．【解答】解：过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，解得x=8.75，则旗杆高度MN=x+1=9.75〔米〕答：旗杆MN的高度度约为9.75米．【点评】此题考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB 的值．【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】作辅助线DH⊥BC，根据，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，可知△BDH∽△BAC，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到cot∠DCB的值．【解答】解：过D点作DH⊥BC于点H，如以下图所示：∵∠ACB=90°，∴DH∥AC，∴△BDH∽△BAC，∴∠BDH=∠A，∵AD：DB=3：1，∴BH：BC=BD：BA=1：4，设BH=x，则BC=4x，CH=3x，∵∠C=90°，，∠BDH=∠A，∴DH=2x，∵DH⊥BC，∴cot∠DCB=，即cot∠DCB=．【点评】此题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所求角的三角函数值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；〔1〕求证：∠BDE=∠C；〔2〕求证：AD2=AE•AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】〔1〕根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，由BD2=BE•BC，得到，推出△EBD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；〔2〕由∠BDE=∠C，推出∠DBC=∠ADE，等量代换得到∠ABD=∠ADE，证得△ADE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：〔1〕∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BD2=BE•BC，∴，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE=∠C；〔2〕∵∠BDE=∠C，∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE，∴∠DBC=∠ADE，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADE，∴△ADE∽△ABD，∴，即AD2=AE•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是〔3，0〕，tan∠OAC=3；〔1〕求该抛物线的函数表达式；〔2〕点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；〔3〕点D是y轴上一动点，假设以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；〔2〕根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；〔3〕根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解〔1〕∵抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点C，∴点C的坐标为〔0，﹣3〕，∴OC=3，∵tan∠OAC=3，∴OA=1，即点A的坐标为〔﹣1，0〕，又点B〔3，0〕，∴，解得，∴抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；〔2〕∵∠PAB=∠CAB，∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，∵点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3〔x+1〕，∴3〔x+1〕=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1〔舍去〕或x=6，当x=6时，y=21，∴点P的坐标为〔6，21〕；〔3〕如图，设点D的坐标为〔0，y〕，易得△ABC为∠ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，∴点D在点C的上方，∴∠DCB=45°，∴∠ABC=∠DCB，∵AB=4，BC=，DC=y+3，①如果=，则=，∴y=1，即点D〔0，1〕，②如果=则=，∴y=，即点D1〔0，〕．【点评】此题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．〔18分〕已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P 是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；〔1〕如图1，当点E、D重合时，求AP的长；〔1〕如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；〔3〕当线段DG=时，求AE的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】〔1〕作AH垂直于BC，垂足为H，如图1所示，由∠B=∠BCD=45°，得到三角形ABH为等腰直角三角形，由等腰梯形的两底之差的一半求出BH的长，即为AH的长，由BC﹣BH求出HC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的长即可；〔2〕由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例列出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；〔3〕分两种情况考虑：当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，同理求出AM的长，进而求出MC的长，由CD﹣DG求出GC的长，根据GP与MD平行，由平行得比例求出PM的长，由DM与EP平行，根据平行得比例，求出DE的长，根据AD+DE 求出AE的长；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同理求出DE的长，由AD﹣DE求出AE的长即可．【解答】解：〔1〕作AH⊥BC于点H，如图1所示：∵∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，∴BH=AH=〔BC﹣AD〕=×〔9﹣3〕=3，∴BH=AH=3，根据勾股定理得：AB==3，CH=BC﹣BH=9﹣3=6，∴AC==3，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，又∠APE=∠B，∴△ADP∽△CAB，∴=，即=，∴AP=；〔2〕如图2所示，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，∵∠APE=∠B，∴△APE∽△CBA，∴=，即=，∴y=x﹣3〔＜x≤3〕；〔3〕分两种情况考虑：①当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，由〔1〕，同理可得AM=，∴CM=，∵DG=，CD=AB=3，∴CG=2，∵GP∥DM，∴=，即=，∴MP=，∵DM∥EP，∴=，即=，解得：DE=，∴AE=AD+DE=3+=；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同①可得DE=，∴AE=AD﹣DE=3﹣=．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行线等分线段成比例，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．。

上海市2016年中考数学试卷及答案解析

上海市2016年中考数学试卷及答案解析

上海市2016年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【考点】倒数．【解析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：由a与3互为倒数，得a是，故选：D．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab【考点】同类项．【解析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．故选A．【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同的概念．3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【解析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5次【考点】加权平均数．【解析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．【解答】解：（2×2+3×2+4×10+5×6）÷20=（4+6+40+30）÷2080÷20=4（次）．答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求2，3，4，5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．5．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=， =，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣【考点】*平面向量．【解析】由△ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD=DC，可求得的值，然后利用三角形法则，求得答案．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴BD=DC，∵=，∴=，∵=，∴=+=+．故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应用是解题关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．【解析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2，由点B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到结论．【解答】解：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．计算：a3÷a= a2．【考点】同底数幂的除法．【专题】计算题．【解析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2．故答案为：a2．【点评】本题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．8．函数y=的定义域是x≠2 ．【考点】函数自变量的取值范围．【解析】直接利用分式有意义的条件得出答案．【解答】解：函数y=的定义域是：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握相关性质是解题关键．9．方程=2的解是x=5 ．【考点】无理方程．【解析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．【解答】解：方程两边平方得，x﹣1=4，解得，x=5，把x=5代入方程，左边=2，右边=2，左边=右边，则x=5是原方程的解，故答案为：x=5．【点评】本题考查的是无理方程的解法，正确利用两边平方的方法解出方程，并正确进行验根是解题的关键．10．如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为﹣2 ．【考点】代数式求值．【专题】计算题；实数．【解析】把a与b的值代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当a=，b=﹣3时，2a+b=1﹣3=﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．不等式组的解集是x＜1 ．【考点】解一元一次不等式组．【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＜，解②得x＜1，则不等式组的解集是x＜1．故答案是：x＜1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【考点】根的判别式；解一元一次方程．【解析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．13．已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x 的值增大而减小，那么k的取值范围是k＞0 ．【考点】反比例函数的性质．【解析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．【考点】概率公式．【专题】计算题．【解析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率==．故答案为．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【考点】三角形中位线定理．【解析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=（）2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是6000 ．【考点】条形统计图；扇形统计图．【解析】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．【解答】解：由题意，得4800÷40%=12000，公交12000×50%=6000，故答案为：6000．【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．17．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【解析】分别利用锐角三角函数关系得出BD ，DC 的长，进而求出该建筑物的高度．【解答】解：由题意可得：tan30°===，解得：BD=30， tan60°===，解得：DC=90，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m ），故答案为：208．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．18．如图，矩形ABCD 中，BC=2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、C 分别落在点A ′、C ′处．如果点A ′、C ′、B 在同一条直线上，那么tan ∠ABA ′的值为．【考点】旋转的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．【解析】设AB=x ，根据平行线的性质列出比例式求出x 的值，根据正切的定义求出tan ∠BA ′C ，根据∠ABA ′=∠BA ′C 解答即可． 【解答】解：设AB=x ，则CD=x ，A ′C=x+2， ∵AD ∥BC ， ∴=，即=，解得，x 1=﹣1，x 2=﹣﹣1（舍去），∵AB ∥CD ，∴∠ABA ′=∠BA ′C ， tan ∠BA ′C===，∴tan∠ABA′=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．计算：|﹣1|﹣﹣+．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【解析】利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解．【解答】解：原式=﹣1﹣2﹣2+9=6﹣【点评】本题考查了实数的运算及负整数指数幂的知识，解题的关键是了解相关的运算性质及运算法则，难度不大．20．解方程：﹣=1．【考点】解分式方程．【解析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x=﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．【考点】解直角三角形；勾股定理．【解析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB==即可．【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD•cos45°=2×=，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB==，即∠ECB的余切值为．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．22．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求yB关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？【考点】一次函数的应用．【解析】（1）设设yB 关于x的函数解析式为yB=kx+b（k≠0），将点（1，0）、（3，180）代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；（2）设yA 关于x的解析式为yA=k1x．将（3，180）代入可求得yA关于x的解析式，然后将x=6，x=5代入一次函数和正比例函数的解析式求得yA ，yB的值，最后求得yA与yB的差即可．【解答】解：（1）设yB 关于x的函数解析式为yB=kx+b（k≠0）．将点（1，0）、（3，180）代入得：，解得：k=90，b=﹣90．所以yB 关于x的函数解析式为yB=90x﹣90（1≤x≤6）．（2）设yA 关于x的解析式为yA=k1x．根据题意得：3k1=180．解得：k1=60．所以yA=60x．当x=5时，yA=60×5=300（千克）；x=6时，yB=90×6﹣90=450（千克）．450﹣300=150（千克）．答：若果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数的解析式是解题的关键．23．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．【考点】三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．【解析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．【解答】证明：（1）在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．【考点】二次函数综合题．【解析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B在x轴的负半轴上，∴B（﹣1，0）．∵抛物线经过点A（4，﹣5）和点B（﹣1，0），∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5．（2）由y=x 2﹣4x ﹣5，得顶点D 的坐标为（2，﹣9）． 连接AC ，∵点A 的坐标是（4，﹣5），点C 的坐标是（0，﹣5）， 又S △ABC =×4×5=10，S △ACD =×4×4=8， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18．（3）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ． ∵S △ABC =×AB ×CH=10，AB=5，∴CH=2，在RT △BCH 中，∠BHC=90°，BC=，BH==3，∴tan ∠CBH==．∵在RT △BOE 中，∠BOE=90°，tan ∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC ， ∴，得EO=，∴点E 的坐标为（0，）．【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．25．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且∠AGE=∠DAB ．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【考点】四边形综合题．【专题】综合题．【解析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15，综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（﹣）：，∴y=（9＜x＜）．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．上海市2016年中考数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2C．ab2D．3ab3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）A．3次 B．3.5次 C．4次 D．4.5次5．已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=， =，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．计算：a3÷a= ．8．函数y=的定义域是．9．方程=2的解是．10．如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为．11．不等式组的解集是．12．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．13．已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x 的值增大而减小，那么k的取值范围是．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．15．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是．17．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）18．如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．计算：|﹣1|﹣﹣+．20．解方程：﹣=1．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．22．某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，段OG表示A种机器人的搬运量yA解答下列问题：关于x的函数解析式；（1）求yB（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？23．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆， =，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．24．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．25．如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．。

上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第2425题

上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第2425题

2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16(1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得122m=±．此时P(122,0)+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABH∽△ECM；（2）设BE＝x，EHEM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E在BC上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC的余角，所以∠1＝∠2．又因为∠BAH和∠CEM都是∠AEB的余角，所以∠BAH＝∠CEM．所以△ABH∽△ECM．图2 图3（2）如图3，延长BG交AD于N．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10．在Rt△ABN中，AB＝6，所以AN＝AB tan∠1＝34AB＝92，BN＝152．如图2，由AD//BC，得92 AH ANEH BE x==．由△ABH∽△ECM，得68AH ABEM EC x==-．所以y＝EHEM＝AH AHEM EH÷＝6982x x÷-＝12729xx-．定义域是0＜x＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边AB上任意一点，联结DC，过点C作CE⊥CD，联结DE，使得∠EDC＝∠A，联结BE．（1）求证：AC·BE＝BC·AD；（2）设AD＝x，四边形BDCE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S△BDE＝14S△ABC时，求tan∠BCE的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC保持相似，△ACD与△BCE保持相似，△BDE是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt△BAC和Rt△EDC中，由tan∠A＝tan∠EDC，得BC EC AC DC=．如图3，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，所以∠1＝∠2．所以△ACD∽△BCE．所以AC BCAD BE=．因此AC·BE＝BC·AD．图2 图3（2）在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，所以AC＝4．所以S△ABC＝6．如图3，由于△ABC与△ADC是同高三角形，所以S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB＝x∶5．所以S△ADC＝65x．所以S△BDC＝665x-．由△ADC∽△BEC，得S△ADC∶S△BEC＝AC2∶BC2＝16∶9．所以S△BEC＝916S△ADC＝96165x⨯＝2740x．所以S＝S四边形BDCE＝S△BDC＋S△BEC＝6276540x x-+＝21640x-+．定义域是0＜x＜5．（3）如图3，由△ACD∽△BCE，得AC BCAD BE=，∠A＝∠CBE．由43x BE=，得BE＝34x．由∠A＝∠CBE，∠A与∠ABC互余，得∠ABE＝90°（如图4）．所以S△BDE＝1133(5)(5) 2248BD BE x x x x⋅=-⨯=--．当S△BDE＝14S△ABC＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x--=，得x＝1，或x＝4．图4 图5 图6 作DH⊥AC于H．①如图5，当x＝AD＝1时，在Rt△ADH中，DH＝35AD＝35，AH＝45AD＝45．在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝416455-=，所以tan∠HCD＝DHCH＝316．②如图6，当x＝AD＝4时，在Rt△ADH中，DH＝35AD＝125，AH＝45AD＝165．在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝164455-=，所以tan∠HCD＝DHCH＝3．综合①、②，当S△BDE＝14S△ABC时，tan∠BCE的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1 动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3．由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)． S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BO BF CO ==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H．设AD EF x AB AF ==． （1）当x＝1时，求AG ∶AB 的值；（2）设GDH EBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点．因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2． （2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EF x AG AF==． 所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ．因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ．因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ．所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON的面积为332，求AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN边上的高为3．当S△DON＝332时，DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝42，BC ＝25，AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ． 由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝42＝32． 因此sin ∠ACB ＝BH BC ＝3225＝310．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得341m ±=． 图2 所以点P 的横坐标m ＝341+．如图1，已知△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝1 2．点D在AC边的延长线上，且DB2＝DC·DA．（1）求DCCA的值；（2）如果点E在线段BC的延长线上，联结AE，过点B作AC的垂线，交AC于点F，交AE于点G．①如图2，当CE＝3BC时，求BFFG的值；②如图3，当CE＝BC时，求BCDBEGSS△△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E运动，可以体验到，当CE＝3BC 时，BD//AE，BG是直角三角形ABE斜边上的中线．当CE＝BC时，△ABF≌△BEH，AF ＝2EH＝4CF．满分解答（1）如图1，由DB2＝DC·DA，得DB DADC DB=．又因为∠D是公共角，所以△DBC∽△DAB．所以DB BC CDDA AB BD==．又因为tan∠BAC＝BCAB＝12，所以12CD BD=，12BD DA=．所以14CD DA=．所以13DCCA=．（2）①如图4，由△DBC∽△DAB，得∠1＝∠2．当BF⊥CA时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DCCA=，当CE＝3BC时，得DC BCCA CE=．所以BD//AE．所以13BDEA=，∠2＝∠E．所以∠3＝∠E．所以GB＝GE．于是可得G B是Rt△ABE斜边上的中线．所以23BDGA=．所以23BF BDFG GA==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x ≤555-． 定义域中x ＝555-的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE x GB HBx x===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3, 0)，与y轴交于点C(0,－3)，点P是直线BC下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C 为菱形，求点P的坐标；（3）如果点P在运动过程中，使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P在直线BC下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP′C为菱形时，PP′垂直平分OC．还可以体验到，当点P与抛物线的顶点重合时，或者点P落在以BC为直径的圆上时，△PCB是直角三角形．满分解答（1）将B(3, 0)、C(0,－3)分别代入y＝x2＋bx＋c，得930,3.b cc++=⎧⎨=-⎩．解得b＝－2，c＝－3．所以二次函数的解析式为y＝x2－2x－3．（2）如图2，如果四边形POP′C为菱形，那么PP′垂直平分OC，所以y P＝32 -．解方程23 232x x--=-，得2102x±=．所以点P的坐标为2103(,)22+-．图2 图3 图4 （3）由y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)＝(x－1)2－4，得A(－1, 0)，顶点M(1,－4)．在Rt△AOC中，OA∶OC＝1∶3．分两种情况讨论△PCB与△AOC相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB＝BC＝3，tan∠BDC＝12，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为F，交射线AC于点M，交射线DC于点H．（1）当点F是线段BH的中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE＝x，CM＝y，求y关于x 的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）联结GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E在射线BC上运动，可以体验到，点G是BD的一个三等分点，CH始终都有CE的一半．还可以体验到，GF可以与BC垂直，也可以与DC垂直．满分解答（1）在Rt△BCD中，BC＝3，tan∠BDC＝BCDC＝12，所以DC＝6，DB＝35．如图2，当点F是线段BH的中点时，DF垂直平分BH，所以DH＝DB＝35．此时CH＝DB－DC＝356．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH与∠CDE都是∠BHD的余角，所以∠CBH＝∠CDE．由tan∠CBH＝tan∠CDE，得CH CECB CD=，即336CH x-=．又因为CH//AB，所以CH MCAB MA=，即332CHy=+．因此3632xy-=+．整理，得32(3)3xyx-=+．x的取值范围是0＜x＜3．（3）如图4，不论点E在BC上，还是在BC的延长线上，都有12BG ABGD DC==，12CH CE=．①如图5，如果GF⊥BC于P，那么AB//GF//DH．所以13BP PF BGBC CH BD===．所以BP＝1，111(3)366PF CH CE x===-．由PF//DC，得PF PEDC CE=，即12(3)(3)363xxx---=-．整理，得242450x x-+=．解得21611x=±．此时21611BE=-．②如图6，如果GF⊥DC于Q，那么GF//BE．所以23QF DQ DGCE DC DB===．所以DQ＝4，2(3)3QF x=-．由QF//BC，得QF QHBC CH=，即21(3)2(3)3213(3)2x xx---=-．整理，得223450x x--=．解得3341x±=．此时3341BE+=．图4 图5 图6如图1，抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a＞0）与x轴交于A(－3,0)、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，抛物线的顶点为M．（1）求a、c的值；（2）求tan∠MAC的值；（3）若点P是线段AC上的一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P在线段AC上运动，可以体验到，△COP与△ABC相似存在两种情况．满分解答（1）将A(－3,0)、C(0,－3)分别代入y＝ax2＋2ax＋c，得960,3.a a cc-+=⎧⎨=-⎩解得a＝1，c＝－3．（2）由y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得顶点M的坐标为(－1,－4)．如图2，作MN⊥y轴于N．由A(－3,0)、C(0,－3)、M(－1,－4)，可得OA＝OC＝3，NC＝NM＝1．所以∠ACO＝∠MCN＝45°，AC＝32，MC＝2．所以∠ACM＝90°．因此tan∠MAC＝MCAC＝13．（3）由y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，得B(1, 0)．所以AB＝4．如图3，在△COP与△ABC中，∠OCP＝∠BAC＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC=时，332CP=．解得22CP=．此时点P的坐标为(－2,－1)．当CP ACCO AB=时，323CP=．解得924CP=．此时点P的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DE CG 的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形． 满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2．又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ． 因此2DE DB CG CB==．图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DB GB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）．所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE 236x +所以y ＝EG ＝22BE 22362x +2272x +． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGF EF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE＝2CG ，所以 x ＝AE ＝AD －DE ＝62CG -．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==． 所以113622442CG CA ==⨯=． 此时x ＝AE ＝62CG -＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =． 所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==． 所以2212622555CG CA ==⨯=． 此时x ＝AE ＝62CG -＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =． 所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ：如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面22GB CB EB DB ==，另一方面2cos 452HB GB =︒=，所以GB HB EB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形．如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ：在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝EN 2x ． 又因为CG 22)x -，所以GN ＝AC －AN －CG ＝32所以y ＝EG ＝22EN GN +＝222()(32)2x +＝2272x +． 如图10，第（2）题如果构造Rt △EGQ 和Rt △CGP ，也可以求斜边EG ＝y ：由于CG ＝2DE ＝2(6)x -，所以CP ＝GP ＝2CG ＝1(6)2x -＝132x -． 所以GQ ＝PD ＝16(3)2x --＝132x +，EQ ＝16(3)2x x ---＝132x -． 所以y ＝EG ＝22GQ EQ +＝2211(3)(3)22x x ++-＝2272x +．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值；（2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=． （2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)． 因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3． （3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CA x CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答 （1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CA x PD CP ===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CA x PD CP==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AH BH＝3，所以BH ＝x ． 设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m x x m -=-． 整理，得81x m x =-． 所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321x x x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC中，BA＝10x，cos∠ABC＝10，BC＝81xx-．①如图4，当BA＝BC时，解方程8101xxx=-，得41105x=+．②如图5，当AB＝AC时，BC＝2BH．解方程821xxx=-，得x＝5．③如图6，当CA＝CB时，由cos∠ABC＝10，得1102AB BC=．解方程11081021xxx⨯=⨯-，得135x=．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝32，∠ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)． 如图4，当CD BC CB BA =时，32432=．解得92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝∠BCD＝45°，AD＝3，BC＝9，点P是对角线AC上的一个动点，且∠APE＝∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G．（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（2）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG＝2时，求AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，DG＝2存在两种情况，对应的DE也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，那么MN＝AD＝3．在Rt△ABM中，BM＝3，∠B＝45°，所以AM＝3，AB＝32．在Rt△AMC中，AM＝3，MC＝6，所以CA＝35．如图4，由AD//BC，得∠1＝∠2．又因为∠APE＝∠B，当E、D重合时，△APD∽△CBA．所以AP CBAD CA=．因此335AP=．解得此时AP＝95．（2）如图5，设（1）中E、D重合时点P的对应点为F．因为∠AFD＝∠APE＝45°，所以FD//PE．所以AF ADAP AE=，即95353x y=+．因此53y x=-．定义域是95＜x≤35．图3 图4 图5（3）如图6，因为35CA =，95AF =，所以65FC =． 由DF //PE ，得21332FP DG FC DC ===．所以25FP =． 由DF //PE ，95259552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB ＝22，抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB ＝22B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO ＝2，BA ＝BC 10BD ＝32如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )101322x y==+-．图2 图3当点E在射线BA上时，∠EBO＝∠DBC．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD=时，102232=．解得2103BE=．此时1013222103x y==+-．解得x＝43-，y＝0．所以E4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC=时，322210=．解得6105BE=．此时1013622105x y==+-．解得x＝45-，y＝85-．所以E48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD中，∠C＝60°，AB＝AD＝5，CB＝CD＝8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ与BP交于点E，且∠BEQ＝90°－12∠BAD．设A、P两点间的距离为x．（1）求∠BEQ的正切值；（2）设AEPE＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P在AD边上运动，可以体验到，∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH，△ABF∽△BEF∽△BDP，△AEP∽△ADF．满分解答（1）如图2，联结BD、AC交于点H．因为AB＝AD，CB＝CD，所以A、C在BD的垂直平分线上．所以AC垂直平分BD．因此∠BAH＝12∠BAD．因为∠BEQ＝90°－12∠BAD，所以∠BEQ＝90°－∠BAH＝∠ABH．在Rt△ABH中，AB＝5，BH＝4，所以AH＝3．所以tan∠BEQ＝tan∠ABH＝34．图2（2）如图3，由于∠BEQ＝∠ABH，∠BEQ＝∠AEP，∠ABH＝∠ADH，所以∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A是公共角，所以△BEF∽△ABF．如图4，因为∠DBP是公共角，所以△BEF∽△BDP．所以△ABF∽△BDP．所以AB BDBF DP=．因此585BF x=-．所以5(5)8BF x=-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x=-=--=+．如图5，因为∠DAF是公共角，所以△AEP∽△ADF．所以5401539(539)8AE ADyPE FD xx====++．定义域是0≤x≤5．（3）分三种情况讨论等腰△AEP：①当EP＝EA时，由于△AEP∽△ADF，所以DF＝DA＝5（如图6）．此时BF＝3，HF＝1．作QM⊥BD于M．在Rt△BMQ中，∠QBM＝60°，设BQ＝m，那么12BM m=，3QM m=．在Rt△FMQ中，132FM m=-，tan∠MFQ＝tan∠HF A＝3，所以QM＝3FM．解方程313(3)2m m=-，得BQ＝m＝933-．②如图7，当AE＝AP时，E与B重合，P与D重合，此时Q与B重合，BQ＝0．③不存在PE＝P A的情况，因为∠P AE＞∠P AH＞∠AEP．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝42，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似： ①当CM AB CO AC =时，442CM =．解得32CM =．此时M (－3, 1)（如图3）． ②当CM AC CO AB =时，4246CM =．解得823CM =．此时M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ． 在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =． 解方程22442(1)333x x x -++=-，得5x =±．所以F 454(5,)-．图2 图3 图4。

中考数学一模试卷含答案试卷分析解

中考数学一模试卷含答案试卷分析解

上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么的值为（）A．B．C．D．2．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x﹣3 B．y=x2﹣（x+1）2C．y=x（x﹣1）﹣1 D．3．（4分）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（）A．B．5sinαC．D．5cosα4．（4分）已知非零向量，在下列条件中，不能判定的是（）A．B．C．D．5．（4分）在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC 上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．26．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE 等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．7．（4分）已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=．8．（4分）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是千米．9．（4分）如果抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是．10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角的度数是度．11．（4分）线段AB=10，点P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=（用根式表示）．12．（4分）已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=．13．（4分）已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=．14．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．（4分）已知抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，那么f（2）f （4）．（填“＞”或“＜”）16．（4分）把抛物线y=x2向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是．17．（4分）我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=．18．（4分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分80分）19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+ c的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．（1）求该二次函数的解析式；（2）求∠OBM的正切值．20．（10分）如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB，=2．（1）设=．试用表示；（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．21．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=，BC=4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．（1）求线段BF的长；（2）求AE：EC的值．22．（10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．23．（12分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，B D2=AD•BC．（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP 的长．上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=，∴设a=k，b=3k（k≠0），则==．故选：C．2．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x﹣3 B．y=x2﹣（x+1）2C．y=x（x﹣1）﹣1 D．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、整理后是二次函数，故本选项正确；D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．3．（4分）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（）A．B．5sinαC．D．5cosα【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在Rt△ABC中，∠BAC=α，BC=5，则AB==，故选：A．4．（4分）已知非零向量，在下列条件中，不能判定的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵∥，∥，∴，故本选项，不符合题意；B、∵=2，=3，∴，故本选项，不符合题意；C、∵=﹣5，∴，故本选项，不符合题意；D、∵||=2||，不能判断，故本选项，符合题意；故选：D．5．（4分）在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC 上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【解答】解：∵四边形EFMN是正方形，∴EH∥BC，EH=EF，∴△AEH∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴AD⊥BC，EH=EF=MD，∴=，设EH=x，则AM=3﹣x，∴=，解得：x=2.4，∴EH=2.4．答：这个正方形的边长为2.4．故选：C．6．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE 等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．【解答】解：∵DE∥BC，∴==2，∴CE：CA=1：3，==，∵AF：FC=1：2，∴AF：AC=1：3，∴AF=EF=EC，∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，∴DE=m，DG=m﹣m=m，∴DG：GE=m：m=1：3，故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=2．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2=4×1，c=±2，（线段是正数，负值舍去），故c=2；故答案为2．8．（4分）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是300千米．【解答】解：设这两地的实际距离是xcm，根据题意得：=，解得：=300km，∴这两地的实际距离是300km．故答案为：300．9．（4分）如果抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是a ＜﹣2．【解答】解：∵抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，∴a+2＜0，得a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角的度数是30度．【解答】解：∵tanα=1：=，∴坡角=30°．11．（4分）线段AB=10，点P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=（）（用根式表示）．【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB×，∵线段AB=10，∴AP=10×=5﹣5；故答案为：5﹣5．12．（4分）已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=．【解答】解：如图延长AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=3，∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=故答案为13．（4分）已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=7.5．【解答】解：∵a∥b∥c，∴=，即=，解得DF=4.5，∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，故答案为：7.5．14．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．【解答】解：如图作PA⊥x轴，垂足为A，OP=cos∠POA=，故答案为15．（4分）已知抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，那么f（2）＞f（4）．（填“＞”或“＜”）【解答】解：∵抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∴f（2）＞f（4）．故答案为：＞．16．（4分）把抛物线y=x2向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是y=x2﹣1．【解答】解：设所求的函数解析式为y=x2+k，∵点A（2，3）在抛物线上，∴3=22+k解得：k=﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1．17．（4分）我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=﹣2．【解答】解：∵由题意函数y=2x2+bx的交换函数为y=bx2+2x，∵函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，∴﹣=﹣，解得b=﹣2故答案为：﹣2．18．（4分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为．【解答】解：连接AA′交DE于点M，过点A′作A′N⊥AB于点N，如图所示．∵AC=BC=4，∠C=90°，A′为线段BC的中点，∴A′C=A′B=2，AA′==2，AB=4，∴AM=AA′=，A′N=BN=，∴AN=AB﹣BN=3．∵∠EAM=∠A′AC，∠AME=∠C，∴△AEM∽△AA′C，∴=，∴AE=．同理：△ADM∽△AA′N，∴=，∴AD=，∴=．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分80分）19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=的正切值．【解答】解：（1）把A（3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得，所以y===，即∠OBM的正切值为．20．（10分）如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB，=2．（1）设=．试用表示；（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．【解答】解：（1）∵EF∥AB，∴=，又∵=2，∴==2，∴==，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC，∴∠BDE=∠A，∴DE∥AC，则四边形ADEF是平行四边形，∵=，∴==，==，则=+=+；（2）由（1）知=、=，∵EF∥AB，DE∥AC，∴△CFE∽△CAB，△BDE∽△BAC，∴=（）2=，=（）2=，∵S△ABC=9，∴S△CFE=4、S△BDE=1，则四边形ADEF的面积=S△ABC ﹣S△CFE﹣S△BDE=4．（1）求线段BF的长；（2）求AE：EC的值．【解答】解：（1）作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC=，∴BH=CH=BC=2，在Rt△ABH中，AH==4，∵DF垂直平分AB，∴BD=，∠BDF=90°∵∠ABH=∠FBD，∴Rt△FBD∽Rt△ABH，∴==，即==，∴BF=5，DF=2；（2）作CG∥AB交DF于G，如图，∵BF=5，BC=4，∴CF=1，∵CG∥BD，∴==，∵CG∥AD，∴===5．22．（10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．【解答】解：如图，由题意知∠CAB=75°、∠CAP=45°、∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB﹣∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH===50，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°﹣∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD﹣∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=50+50，∵60千米/时=米/秒，∴时间t==3+3≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．23．（12分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC．（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．【解答】（1）证明：∵∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC，∴，∴△ADB∽△DBC，∴∠ADB=∠DBC，∴AD∥BC；（2）如右图所示，∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形ADEC是平行四边形，∠AEB=∠BCD，∴AE=DC，又∵∠BAD=∠BDC=90°，AD∥BC，∴∠BAD+∠ABE=180°，∴∠ABE=90°，∴∠ABE=∠BDC，∴△ABE∽△BDC，∴，∴AE•DC=BE•BC，∵AE=DC，∴CD2=BE•BC．24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．【解答】解：（1）∵AB=4，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴点A到对称轴的距离为2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴y=（x+1）（x﹣3）整理得：y=x2﹣2x﹣3；（2）如下图所示：过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：2，∴==．又∵AG=2，∴AF=6，∴F（5，0）．当，∴∠ADO=∠AEM．又∵四边形CDEM是等腰梯形，∴∠ADO=∠CME．∴∠ADO=∠CME．∵y=E=1．∴OA=OD=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．把y=x+1代入y=x2﹣2x﹣3得：x+1=x2﹣2x﹣3，解得：x=4或x=﹣1（舍去）∴点P的横坐标为4，即t=4．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP 的长．【解答】解：（1）如图1，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，∵DF平分∠ACB，∠ACB=90°，∴DE=DF，∵∠DEC=∠ACB=∠CFD=90°，∴四边形ECFD是正方形，设DF=x，则CF=x，BF=2﹣x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴，∴，∴x=，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=；（2）如图2，∵∠PAB=∠PCB=45°，∴C、B、P、A四点共圆，∴∠ACB+∠APB=180°，∵∠ACB=90°，∴∠APB=90°，∴△APB是等腰直角三角形，∴AP=BP，过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，连接PB，∵PM=PN，∴Rt△PMA≌Rt△PNB（HL），∴AM=BN，由（1）知：四边形MCNP是正方形，∴CM=CN，设AM==x+1，CN=2﹣x，∴x+1=2﹣x，x=，∴CM=，∴CP=；（3）若△CMP是等腰三角形，存在三种情况：①当PM=CM时，如图3，同理作出辅助线，∵∠PCN=45°，∴△PCM是等腰直角三角形，∴CN=PN，同（2）得：CP=；②Rt△ACB中，AC=1，BC=2，∴AB=，∵M是AB的中点，∴CM=CP=AB=；③作CM的中垂线交CD于P，则CP=PM，过M作MH⊥CD于H，由①知：CG（就是CP=）=，CH=，∵△CPN∽△CMH，∴，∴=，CP=，综上所述，CP的长是或或．。

上海松江区中考一模数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc

上海松江区中考一模数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc

上海松江区中考一模数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα【答案】D【解析】试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．考点：锐角三角函数的定义．【题文】下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【答案】C．【解析】试题分析：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；故选：C．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米 B．40米 C．90米 D．80米【答案】A．【解析】试题分析：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．考点：相似三角形的应用．【题文】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥∥ B． C． =－2 D． =2，=【答案】B．【解析】试题分析：A、∥∥则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；C、 =－2，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；D、 =2，=则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；故选：B．考点：平面向量．【题文】如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A． B． C．D．【答案】C．【解析】试题分析：∵AD∥BC∴，故A正确；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴，故D正确．∴C错误．故选C．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【题文】如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】B．【解析】试题分析：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．考点：相似三角形的判定与性质．【题文】已知，则的值为．【答案】．【解析】试题分析：用a表示出b，然后代入比例式进行计算．∵，∴b=a，∴==．故答案为：．考点：比例的性质．【题文】计算：（﹣3）﹣（+2）=．【答案】．【解析】试题分析：根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算．本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．考点：平面向量．【题文】已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．【答案】k＜1．【解析】试题分析：由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．考点：二次函数的性质．【题文】把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为．【答案】y=（x﹣4）2．【解析】试题分析：直接根据“左加右减”的原则进行解答即可，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣4）2．故答案为：y=（x﹣4）2．考点：二次函数图象与几何变换．【题文】已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是．【答案】8．【解析】试题分析：利用锐角三角函数定义求出所求即可，∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8．考点：解直角三角形．【题文】如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=．【答案】．【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，考点：平行线分线段成比例．【题文】已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【答案】＞【解析】试题分析：分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可，当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线．【答案】x=2．【解析】试题分析：根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案，∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x==2，考点：二次函数的性质．【题文】在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为．【答案】2．【解析】试题分析：先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长，∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2．考点：三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【题文】在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为米．（结果保留根号）【答案】5+5．【解析】试题分析：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．则AB=AF+BF=5+5米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．【答案】．【解析】试题分析：设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．考点：线段垂直平分线的性质．【题文】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为．【答案】4．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．考点：旋转的性质；解直角三角形．【题文】计算：．【答案】．【解析】试题分析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．试题解析：原式====．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【题文】如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】略【解析】试题分析：（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量在、方向上的分向量．试题解析：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如图，所以，向量、即为所求的分向量．【考点】*平面向量．【题文】如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）25．【解析】试题分析：（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE 段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】（1）6.3；（2）6.2【解析】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【题文】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．【答案】略【解析】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．试题解析：（1）∵AC2=CE•CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）；（3）（1，）或（1，﹣2）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴或，①，∵DM=4﹣m，，，∴，解得，，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．【考点】二次函数综合题．【题文】如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．【答案】（1）20；（2），定义域为0＜x≤24；（3）20或24或．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12∴；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16∴在Rt△CDE中，，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时∵BD=20，∴BE=20②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24；③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，即∴，解得：BE=；综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．【考点】四边形综合题．。

2016年上海松江区初三一模数学试卷答案

2016年上海松江区初三一模数学试卷答案

编辑
．（填y1 > y2，
．
答案 解析
y = (x − 2)
2
由“左加右减”的原则可知， 将抛物线y = x2 向右平移2个单位， 所得函数解析式为：y = (x − 2) 2 ， 故答案为：y = (x − 2) 2 ．
16. 如图，已知DE//BC ，且DE经过△ABC 的重心G，若BC
= 6cm
当P E//AB时，△C P E ∼ △BAC ； 当P E⊥AB时，△AP F
∼ △ABC
故过点P 的△ABC 的相似线最多有3条． ∵∠C P E不可能为60∘， ∴当∠C P E = 60∘ 时，相似的这种情形不存在． 理由：连接P B， ∵∠C P B = ∠A + ∠ABP ， ∴P B > P C ，P C ∴P B > P A ， ∴∠P BA < ∠A ， ∴∠C P B < 60∘ ， ∴∠C P E不可能为60∘， 故选：C．
a < 0
，b < 0 ，c < 0
答案 解析
A ∵抛物线开口向下， ∴a < 0 ， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴x = −
b 2a > 0
，
∴b > 0 ， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c >Leabharlann 0 ． 故选A．6.P
是△ABC 一边上的一点（P 不与A 、B、C 重合），过点P 的一条直线截△ABC ，如果截得的三角形与△ABC 相似，我们
，那么DE等于
cm
．
答案 解析
4
连接AG并延长到BC 上一点N ， ∵△ABC 的重心G，DE//BC ， ∴△ADG∽△ABN ，BN ∴

2016年上海市松江区中考数学一模试卷

2016年上海市松江区中考数学一模试卷

2016年上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．（3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：22．（3分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x+1B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7D．3．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜06．（3分）P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC 的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P 的△ABC的“相似线”最多有几条？（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．（4分）若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=．8．（4分）已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为cm．9．（4分）二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为．10．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=．11．（4分）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．12．（4分）如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是．13．（4分）在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=．14．（4分）若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．15．（4分）将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是．16．（4分）如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于cm．17．（4分）已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线．18．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=．19．（10分）已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（10分）如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）22．（10分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．23．（10分）已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB 上，且BD2=BE•BC；（1）求证：∠BDE=∠C；（2）求证：AD2=AE•AB．24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD 于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．2016年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题1．（3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．（3分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x+1B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7D．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．3．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【解答】解：在直角△ABC中，AC===．则sinA==，故A错误；cosA==，故B正确；tanA===，故C错误；cotA===，故D错误．故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．（3分）若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出图形，然后由，可得AB∥CD，AB=2DC即可证得△OAB∽△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OA：OC=OB：OD=AB：CD=2：1，继而求得答案．【解答】解：A、∵，∴AB∥CD，AB=2DC，∴△OAB∽△OCD，∴OA：OC=AB：DC=2：1，∴OA=2OC，∴=2；故正确；B、||不一定等于||；故错误；C、≠，故错误；D、=；故错误．故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证得△AOB∽△COD是解此题的关键．5．（3分）如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（）A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（3分）P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC 的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P 的△ABC的“相似线”最多有几条？（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．【解答】解：如图所示：当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当PE∥AB时，△CPE∽△BAC；当PF⊥AB时，△APF∽△ABC故过点P的△ABC的相似线最多有3条．∵∠CPE不可能为60°，∴当∠CPE=60°时，相似的这种情形不存在．理由：连接PB，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜∠A，∴∠CPB＜60°，∴∠CPE不可能为60°，故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．二.填空题7．（4分）若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=8．【分析】设a=k，则b=3k，c=2k，根据a+b+c=24即可代入求得k，然后代入求得所求代数式的值．【解答】解：∵a：b：c=1：3：2，∴设a=k，则b=3k，c=2k，又∵a+b+c=24，∴k+3k+2k=24，∴k=4，∴a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．故答案是：8．【点评】本题考查了比例的性质，根据a：b：c=1：3：2正确设出未知数是解决本题的关键．8．（4分）已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为4cm．【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去）．故答案为4．【点评】考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．9．（4分）二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把x=0代入即可求得．【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，所以二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3），故答案为（0，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．10．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=6．【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：∵sinB=，∴AB===6．故答案是：6．【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．11．（4分）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y=﹣=﹣（x2﹣8x）+=﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．12．（4分）如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，，∴=，即，解得：EF=4故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．（4分）在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=1：2．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+12=52，解得，（舍去），故该斜坡坡度i=1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度．14．（4分）若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=﹣3时，y1=﹣2（x﹣1）2+3=﹣29；当x=0时，y2=﹣2（x﹣1）2+3=1；∵﹣29＜1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．（4分）将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x﹣2）2．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向右平移2个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣2）2．故答案为：y=（x﹣2）2．【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．16．（4分）如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于4cm．【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，进而求出答案．【解答】解：连接AG并延长到BC上一点N，∵△ABC的重心G，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN=CN，DG=GE，∴==，∴=，解得：DG=2，∴DE=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键．17．（4分）已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线x=2．【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，可以得到该二次函数的图象对称轴，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，∴该二次函数的图象对称轴为直线：x=，故答案为：x=2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对称．18．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=．【分析】点A落在直线AB上的点A′处，则CD⊥AB，D就是垂足，根据三角形的面积公式求得CD的长，然后在直角△ACD中利用勾股定理求得AD，再根据sin∠A′CD=sin∠ACD求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D．在直角△ABC中，AB===5，=AB•CD=BC•AC，∵S△ABC∴CD===，在直角△ACD中，AD==，∴sin∠A′CD=sin∠ACD===．故答案是：．【点评】本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，正确理解∠ACD=∠A′CD 是关键．三.解答题19．（10分）已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值即可；（2）由（1）中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），∴8=（﹣1）2﹣b+3，解得b=﹣4，∴所求抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）作AH⊥BM于点H，∵由抛物线y=x2﹣4x+3解析式可得，点M的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（2，0），∴BM=1，∵对称轴为直线x=2，∴AH=3，∴△ABM的面积=．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解题的关键是正确求出抛物线的解析式．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【解答】解：（1）方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∵，，∴，，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴，，∴．方法二：∵，，∴，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴；（2）作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量．【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21．（10分）如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【分析】过点M的水平线交直线AB于点H，设MH=x，则AH=x，结合等腰直角三角形的性质和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，由此求得MH的长度，则MN=AB+BH．【解答】解：过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，解得x=8.75，则旗杆高度MN=x+1=9.75（米）答：旗杆MN的高度度约为9.75米．【点评】本题考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（10分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．【分析】作辅助线DH⊥BC，根据，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，可知△BDH∽△BAC，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到cot∠DCB的值．【解答】解：过D点作DH⊥BC于点H，如下图所示：∵∠ACB=90°，∴△BDH∽△BAC，∴∠BDH=∠A，∵AD：DB=3：1，∴BH：BC=BD：BA=1：4，设BH=x，则BC=4x，CH=3x，∵∠C=90°，，∠BDH=∠A，∴DH=2x，∵DH⊥BC，∴cot∠DCB=，即cot∠DCB=．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所求角的三角函数值．23．（10分）已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB 上，且BD2=BE•BC；（1）求证：∠BDE=∠C；（2）求证：AD2=AE•AB．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，由BD2=BE•BC，得到，推出△EBD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由∠BDE=∠C，推出∠DBC=∠ADE，等量代换得到∠ABD=∠ADE，证得△ADE ∽△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BD2=BE•BC，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE=∠C；（2）∵∠BDE=∠C，∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE，∴∠DBC=∠ADE，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADE，∴△ADE∽△ABD，∴，即AD2=AE•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC=3，∵tan∠OAC=3，∴OA=1，即点A的坐标为（﹣1，0），又点B（3，0），∴，解得，∴抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵∠PAB=∠CAB，∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，∵点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），∴3（x+1）=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1（舍去）或x=6，当x=6时，y=21，∴点P的坐标为（6，21）；（3）如图，设点D的坐标为（0，y），易得△ABC为∠ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，∴点D在点C的上方，∴∠DCB=45°，∴∠ABC=∠DCB，∵AB=4，BC=，DC=y+3，①如果=，则=，∴y=1，即点D（0，1），②如果=则=，∴y=，即点D1（0，）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD 于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．【分析】（1）作AH垂直于BC，垂足为H，如图1所示，由∠B=∠BCD=45°，得到三角形ABH为等腰直角三角形，由等腰梯形的两底之差的一半求出BH的长，即为AH的长，由BC﹣BH求出HC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的长即可；（2）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例列出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；（3）分两种情况考虑：当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，同理求出AM的长，进而求出MC的长，由CD﹣DG求出GC的长，根据GP与MD平行，由平行得比例求出PM的长，由DM与EP平行，根据平行得比例，求出DE的长，根据AD+DE求出AE的长；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同理求出DE的长，由AD﹣DE求出AE的长即可．【解答】解：（1）作AH⊥BC于点H，如图1所示：∵∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，∴BH=AH=（BC﹣AD）=×（9﹣3）=3，∴BH=AH=3，根据勾股定理得：AB==3，CH=BC﹣BH=9﹣3=6，∴AC==3，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，又∠APE=∠B，∴△ADP∽△CAB，∴=，即=，∴AP=；（2）如图2所示，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，∵∠APE=∠B，∴△APE∽△CBA，∴=，即=，∴y=x﹣3（＜x≤3）；（3）分两种情况考虑：①当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，由（1），同理可得AM=，∴CM=，∵DG=，CD=AB=3，∴CG=2，∵GP∥DM，∴=，即=，∴MP=，∵DM∥EP，∴=，即=，解得：DE=，∴AE=AD+DE=3+=；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同①可得DE=，∴AE=AD﹣DE=3﹣=．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行线等分线段成比例，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．。

九上期中松江2016.11

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初三数学 第1页 共4页松江区2016学年度第一学期期中抽测初三数学（满分150分，完卷时间100分钟） 2016.11考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么BCAC是∠A 的（ ） （A ）正弦；（B ）余弦；（C ）正切；（D ）余切．2﹒下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ） （A ）3，4，5，6； （B ）3，5，7，9； （C ）3，5，6，10；（D ）3，6，8，12．3﹒在平面直角坐标系xOy 中有一点P （5，12），那么OP 与x 轴正半轴的夹角的正弦值等于（ ） （A ）135； （B ）1312； （C ）125； （D ）512． 4﹒已知一个单位向量,设、是非零向量，则下列等式中正确的是（ ） （A =；（B =；（C =；（D =．5﹒如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 条件不能判断△ADE ∽△ABC 的是（ ） （A ）∠AED ＝∠B ； （B ）∠ADE ＝∠C ； （C ）BC DEAC AD =； （D ）ABACAE AD =． 6﹒如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，AE 相交于点O ．若S △BDE ︰S △CDE ＝1︰3，则S △DOE ︰S △AOC 的值为（（A ）31； （B ）41； （C ）91；（D ）161．初三数学 第2页 共4页二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果032=-y x ，且y ≠0，那么yx= ． 8．如果线段a =2cm ，b =8cm ，那么它们的比例中项是 cm ．9．已知两地的实际距离为400米，画在图上的距离(图距)为2厘米，在这样的地图上，图距为16厘米的两地间的实际距离为 米．10．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，如果AB =6cm ，那么AC = cm ． 11．计算：︒-︒60cos 230tan 3=__________.12．在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若sin A =45，AB =10，那么BC =_____. 13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若21=DB AD ，DE ＝4cm ，则BC =_____cm ．14．如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5 于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，如果AB =3，BC =4，DE =2，那么DF= ________. 15．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ， BC =23AD ，EF 是中位线，设=，那么=EF _____. 16．如果直角三角形的斜边长为12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为______． 17．如图，正方形EFGH 的边EF 在∆ABC 的边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 、AC 上．如果∆ABC 的边BC =20cm ，高AD =15cm ，那么正方形EFGH 的边长为_________cm ． 18﹒如图，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为2米，他继续往前走4米到达E 处（即CE ＝4米），测得自己影子EF 的长为3米，已知小明的身高为1.5米，那么路灯A 的高度AB =_________米.（第14题图）F CE BDA l 1 l 2l 3l 4l 5（第18题图）BEFH（第17题图）GCD A初三数学 第3页 共4页三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）已知543zy x == ，48=++z y x ，求x 、y 、z 的值 .20．（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：)42(21-2+． （不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．（本题满分10分）如图，在四边形ABCD 中，F 是BC 延长线上的一点，AF 与CD 相交于点E ，AB ∥CD ，21=CF BC ，DE =2，EC =4，AD =3．求CF 的长．22．（本题满分10分，每小题各5分）如图，在△ABC 中，AB ＝32，BC ＝7，∠B =45°． （1）求AC 的长；（2）点 D 是边BC 上的点，满足AB =AD ，求∠CAD 正切值．（第20题图）abCBA（第22题图）（第21题图）ABCD EF23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，AD=6，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°．（1）求AC的长；（2）如果点E为AB的中点，联结CE、DE，DE交AC于点F，求AF的长．24．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，且AD=AE，BA2＝BE·BC．（1）求证：△BAE∽△BCA；（2）求证：AD2＝DC·BE．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD中，AD // BC，∠B = 90°，AB = 4，AD = 3，BC = 5，（1）求Ccos的值；（2）点M在AD边上，AM=1，E是射线BA上任意一点，过点E作ME的垂线交射线CB于点F．设AE = x，四边形DMFC的面积为y．①当点E在边BA上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当MF=CD时，求出的x长．AB CD（第25题图）AB CD（备用图2）AB CD（备用图1）（第23题图）ADCEFEDBA（第24题图）初三数学第4页共4页。

2016学年松江区初三数学一模试卷

2016学年松江区初三数学一模试卷

松江区2016学年度第一学期初三质量调研数学试卷（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，如果BC =2，∠A =α ，则AC 的长为（ ） （A ）2sin α; （B ）2cos α; （C ）2tan α; （D ）2cot α. 2.下列抛物线中，过原点的抛物线是（ ）（A ）21y x =- ;； （B ）()21y x =+； （C ）2y x x =+； （D ）21y x x =-- .3.小明身高1.5米，在某一时刻的影长为2米，同时测得教学大楼的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ ）（A ）45米； （B ）40米； （C ）90米； （D ）80米.4.已知非零向量a ，b ，c ,下列条件中不能判定a ∥b的是（ ）（A ）a ∥c ，b ∥c ； （B ）2a b = ； （C ）a =2b - ； （D ）a= 2c ，b =c .5.如图，在 ABCD 中，点E 是边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，下列各式中错误的是（ ） （A ）AE FEAB FC=； （B ）AE AF AB DF = ； （C ）AE AF AB BC = ； （D ）AE AFBE BC= ； 6.如图，已知在△ABC 中，cos A =13，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，联结EF ，那么△AEF 和△ABC的周长比为（ ）（A ）1 : 2； （B ）1 : 3； （C ）1 : 4； （D ）1 : 9.第5题图 第6题图二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知34a b =，则2a a b +的值为____________. 8.计算：1+=2m n m n （-3）-（2）____________. 9.已知抛物线2(1)+3y k x x =-的开口向下，那么k 的取值范围是____________.10.把抛物线2x y=向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为____________. 11.已知在△ABC 中，90C ∠=︒，sin A =34，BC =6，则AB 的长为____________. 12.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ，如果AC : CE = 3:5， BF =9，那么DF =____________.13.已知点A （2，1y ）、B （5，2y ）在抛物线21y x =-+上，那么21_____y y .14.已知抛物线c bx ax y ++=2经过()1,1-和()5,1两点，那么该抛物线的对称轴是直线____________. 15.在△ABC 中，AB=AC =5，BC =8，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 是△ABC 的中线，AD 与BE 相交于点G ， 那么AG 的长为___________.16.在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高 度为___________米（结果保留根号）.17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则 CE 的长为___________.18.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =9，cos B =32，把△ABC 绕着点C 旋转，使点B 与AB 边上的点D 重合，点A 落在点E ，则点A 、E 之间的距离为__________.第12题图 第17题图 第18题图三、简答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：()sin 603tan 30cos 602cos 451cot 30+⋅-⋅20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知点D 是△ABC 的边BC 上一点，且12BD CD =，设AB a = ，BC b = .（1） 求向量AD （用向量a 、b表示）；（2） 求作向量AC 在a 、b方向上的分向量.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知//AB BD ，AB 和CD 相交于点E ，=6AC ，=4BD ，F 是BC 上一点， :2:3BEF EFC S S ∆∆=.（1） 求EF 的长；（2） 如果BEF ∆的面积为4，求ABC ∆的面积.22．（本题满分10分，每小题5分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC ，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD 平行），层高AD 为8米，o=20ACD ∠，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A B、之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A B 、之间的距离至少要多少米？（精确到DCBAFED CBA0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE 、EF 、FC 三组组成（如图虚线所示）．中间段为平台（即EF ∥DC ），AE 段和FC 段的坡度i ＝1∶2，求平台EF 的长度．（精确到0.1米） (参考数据：sin 20°取0.34，cos 20°取0.94，tan 20°取0.36）23．（本题满分12分，每小题6分）已知，Rt ABC ∆，90oACB ∠=，D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且2AC CE CB =⋅．（1）求证：AE CD ⊥；（2）连结BF ,如果点E 是BC 中点，求证：EBF EAB ∠=∠．FEDCBA24．（本题满分12分，每小题4分）如图，抛物线2y x bx c =-++过点(3)B ，0，(0,3)C ，D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）点C 关于抛物线2y x bx c =-++对称轴的对称点为E 点，联结BC 、BE ，求CBE ∠的正切值； （3）点M 是抛物线对称轴上一点，且DMB ∆与BCE ∆相似，求点M 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）（3）小题各5分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，3cot 4ADB ∠=，16AB =，点E 在射线BC 上，点F 在线段BD 上，且DEF ADB ∠=∠. （1）求线段BD 的长；（2）设BE x =，DEF ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当DEF ∆为等腰三角形时，求线段BE 的长.F EDC BA参考答案：1-6：D 、C 、A 、B 、C 、B7、67 8、142m n →→- 9、1k < 10、2(4)y x =- 11、8 12、45813、> 14、2x =15、2 16、 （5+） 17、7618、19120、（1）13a b →→+（2）略 21、（1）125（2）2522、（1）6.3米（2）6.2米 23、略24、（1）223y x x =-++、（1，4） （2）12（3）（1，23）、（1，-2） 25、（1）20（2）3224400(024)50x x xy x -+=<≤ （3）503或24或20。

2016上海市各区县初三一模数学精彩试题及问题详解

2016上海市各区县初三一模数学精彩试题及问题详解

2016上海长宁区初三数学一模试题（满分150分） 2016.1.6 一、选择题。

（本题共6个小题，每题4分，共24分）1、如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）. A.1:2 B.1：4 C.1：2 D.2：12、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）. A.AD:AB=2:3 B.AE:AC=2:5 C.AD:DB=2:3 D.CE:AE=3:23、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB 的值是（ ）.A.22 B.23 C.21 D.2 4、在△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则这个三角形一定是（ ）. A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 5、已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O O 21为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.A.相交B.内含C.内切D.外切6二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.A.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 二、填空题。

（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7、已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是（ ).8、已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，则实数b 的值为（ ）9、已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是（ ）.10、已知二次函数2)3(-=x y 图像上的两点A （3，a ）和B （x ，b ），则a 和b 的大小关系是a （ ）b.11、圆是轴对称图形，它的对称轴是（ ）.12、已知⊙O 的弦AB=8cm ，弦心距OC=3cm ，那么该圆的半径是（ ）cm.13、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC=1，BC=22,那么sin ∠ACD 的值是（ ）.14、王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处（ ）m.15、已知△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设m AD =，那么用m 表示AG =（ ）. 16、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=（ ）.17、如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为215-的矩形称作黄金矩形。

2016年上海市中考数学试卷(含答案解析)

2016年上海市中考数学试卷(含答案解析)

2016年上海市中考数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．（4分）如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．（4分）下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2 C．ab2D．3ab3．（4分）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．（4分）某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）次数2345人数22106A．3次 B．3.5次C．4次 D．4.5次5．（4分）已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+ D．﹣﹣6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．（4分）计算：a3÷a=．8．（4分）函数y=的定义域是．9．（4分）方程=2的解是．10．（4分）如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为．11．（4分）不等式组的解集是．12．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．13．（4分）已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是．14．（4分）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、 (6)点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．15．（4分）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．16．（4分）今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是．17．（4分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）18．（4分）如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．（10分）计算：|﹣1|﹣﹣+．20．（10分）解方程：﹣=1．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．22．（10分）某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量y B（千克）与时间x （时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求y B关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？23．（12分）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．24．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．25．（14分）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．2016年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分1．（4分）如果a与3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：由a与3互为倒数，得a是，故选：D．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．（4分）下列单项式中，与a2b是同类项的是（）A．2a2b B．a2b2 C．ab2D．3ab【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．故选A．【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同的概念．3．（4分）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．（4分）某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）次数2345人数22106A．3次 B．3.5次C．4次 D．4.5次【分析】加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，则（x1w1+x2w2+…+x n w n）÷（w1+w2+…+w n）叫做这n个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．【解答】解：（2×2+3×2+4×10+5×6）÷20=（4+6+40+30）÷20=80÷20=4（次）．答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求2，3，4，5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．5．（4分）已知在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为（）A．+B．﹣C．﹣+ D．﹣﹣【分析】由△ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD=DC，可求得的值，然后利用三角形法则，求得答案．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴BD=DC，∵=，∴=，∵=，∴=+=+．故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应用是解题关键．6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2，由点B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到结论．【解答】解：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选B．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．（4分）计算：a3÷a=a2．【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2．故答案为：a2．【点评】本题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．8．（4分）函数y=的定义域是x≠2．【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．【解答】解：函数y=的定义域是：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握相关性质是解题关键．9．（4分）方程=2的解是x=5．【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．【解答】解：方程两边平方得，x﹣1=4，解得，x=5，把x=5代入方程，左边=2，右边=2，左边=右边，则x=5是原方程的解，故答案为：x=5．【点评】本题考查的是无理方程的解法，正确利用两边平方的方法解出方程，并正确进行验根是解题的关键．10．（4分）如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为﹣2．【分析】把a与b的值代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当a=，b=﹣3时，2a+b=1﹣3=﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（4分）不等式组的解集是x＜1．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＜，解②得x＜1，则不等式组的解集是x＜1．故答案是：x＜1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．13．（4分）已知反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是k＞0．【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．14．（4分）有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、 (6)点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率==．故答案为．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15．（4分）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=（）2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．16．（4分）今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是6000．【分析】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．【解答】解：由题意，得4800÷40%=12000，公交12000×50%=6000，故答案为：6000．【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．17．（4分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．【解答】解：由题意可得：tan30°===，解得：BD=30，tan60°===，解得：DC=90，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m），故答案为：208．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．18．（4分）如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．【分析】设AB=x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′=∠BA′C解答即可．【解答】解：设AB=x，则CD=x，A′C=x+2，∵AD∥BC，∴=，即=，解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∵AB∥CD，∴∠ABA′=∠BA′C，tan∠BA′C===，∴tan∠ABA′=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．（10分）计算：|﹣1|﹣﹣+．【分析】利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解．【解答】解：原式=﹣1﹣2﹣2+9=6﹣【点评】本题考查了实数的运算及负整数指数幂的知识，解题的关键是了解相关的运算性质及运算法则，难度不大．20．（10分）解方程：﹣=1．【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x=﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB==即可．【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD•cos45°=2×=，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB==，即∠ECB的余切值为．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．22．（10分）某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量y B（千克）与时间x （时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求y B关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？【分析】（1）设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b（k≠0），将点（1，0）、（3，180）代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；（2）设y A关于x的解析式为y A=k1x．将（3，180）代入可求得y A关于x的解析式，然后将x=6，x=5代入一次函数和正比例函数的解析式求得y A，y B的值，最后求得y A与y B的差即可．【解答】解：（1）设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b（k≠0）．将点（1，0）、（3，180）代入得：，解得：k=90，b=﹣90．所以y B关于x的函数解析式为y B=90x﹣90（1≤x≤6）．（2）设y A关于x的解析式为y A=k1x．根据题意得：3k1=180．解得：k1=60．所以y A=60x．当x=5时，y A=60×5=300（千克）；x=6时，y B=90×6﹣90=450（千克）．450﹣300=150（千克）．答：如果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数的解析式是解题的关键．23．（12分）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．【解答】证明：（1）在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴AD=CE；（2）连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．24．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．【分析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan ∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx ﹣5与y 轴交于点C ，∴C （0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB ，∴OB=1，又点B 在x 轴的负半轴上，∴B （﹣1，0）．∵抛物线经过点A （4，﹣5）和点B （﹣1，0）， ∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x 2﹣4x ﹣5．（2）由y=x 2﹣4x ﹣5，得顶点D 的坐标为（2，﹣9）．连接AC ，∵点A 的坐标是（4，﹣5），点C 的坐标是（0，﹣5），又S △ABC =×4×5=10，S △ACD =×4×4=8，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18．（3）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵S △ABC =×AB ×CH=10，AB==5， ∴CH=2，在RT △BCH 中，∠BHC=90°，BC=，BH==3， ∴tan ∠CBH==．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴点E的坐标为（0，）．【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．25．（14分）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【分析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=|x﹣9|，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；（2）①EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；②GA=GE时，则∠GAE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15．综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=|x﹣9|，在Rt△HDE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（﹣）：，∴y=（0＜x＜）．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

松江中考一模数学试卷

松江中考一模数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $0.1010010001...$D. $\frac{1}{3}$2. 已知一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\neq 0$）的判别式 $\Delta=b^2-4ac$，若 $\Delta>0$，则方程有两个（）实数根。

A. 相等B. 相异C. 无D. 无法确定3. 在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且$\angle BAC=60^\circ$，则$\angleABC$的度数为（）A. $60^\circ$B. $30^\circ$C. $90^\circ$D. $120^\circ$4. 若函数 $f(x)=x^2-2x+1$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称，则函数 $g(x)=f(2x-1)$ 的图像关于直线（）对称。

A. $x=1$B. $x=2$C. $x=3$D. $x=4$5. 下列图形中，属于轴对称图形的是（）A. 矩形B. 正方形C. 等边三角形D. 圆6. 已知数列 $\{a_n\}$ 的前$n$项和为 $S_n$，若 $S_n=2^n-1$，则数列$\{a_n\}$ 的通项公式为（）A. $a_n=2^n$B. $a_n=2^n-1$C. $a_n=2^{n-1}$D. $a_n=2^{n-1}-1$7. 若点 $P(1,2)$ 在直线 $y=kx+b$ 上，则关于 $k$ 和 $b$ 的方程组（）一定成立。

A. $\begin{cases} k+b=2 \\ k-b=1 \end{cases}$B. $\begin{cases} k+b=1 \\ k-b=2 \end{cases}$C. $\begin{cases} k+b=3 \\ k-b=1 \end{cases}$D. $\begin{cases} k+b=4 \\ k-b=2 \end{cases}$8. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. $f(x)=x^2$B. $f(x)=2^x$C. $f(x)=\log_2x$D. $f(x)=\sqrt{x}$9. 若等差数列 $\{a_n\}$ 的前$n$项和为 $S_n$，且 $S_5=15$，$S_8=40$，则数列 $\{a_n\}$ 的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列命题中，正确的是（）A. 等腰三角形的底角相等B. 等边三角形的底角相等C. 等腰三角形的底边相等D. 等边三角形的底边相等二、填空题（每小题3分，共30分）11. 若 $a+b=5$，$ab=6$，则 $a^2+b^2=$ _______。

上海市松江区2016届高考数学一模试卷(文科) 含解析

上海市松江区2016届高考数学一模试卷(文科) 含解析

2016年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．已知全集U={1，2,3,4｝，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}=｛2｝，A∪{1,2，3｝=U，则集合A= ．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是．3．行列式的值是．4．若幂函数f(x)的图象过点，则f﹣1（2）= ．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= ．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= ．7．如图所示的程序框图，输出的结果是．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）,则所得的图象的函数解析式为．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．11．若（1﹣3x)7展开式的第4项为280，则= ．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M(1,0)且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O 上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6）,若将θ1,θ2，…,θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列,则该等差数列的第3项为．14．已知函数f（x），对任意的x∈［0，+∞），恒有f(x+2）=f（x)成立，且当x∈［0，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间［0，2n）（其中n∈N＊)上所有根的和为．二、选择题（本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分。

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17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线__________．
18．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=__________．
三.解答题
19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；
2．下列函数中，属于二次函数的是( )
A．y=2x+1B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7D．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；
B、整理后是一次函数，故本选项错误；
C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；
9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把x=0代入即可求得．
【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，
所以二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3），
故答案为（0，3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣ ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；
（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．
25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；
【考点】相似三角形的判定．
【专题】新定义．
【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．
【解答】解：如图所示：
当PD∥BC时，△APD∽△ACB；
当PE∥AC时，△BPE∽△BAC；
当PF⊥AB时，△APD∽△ABC
故过点P的△ABC的相似线最多有3条．
故选：C．
5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )
A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】数形结合．
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
A．1条B．2条C．3条D．4条
二.填空题
7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=__________．
8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为__________cm．
9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为__________．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB= ，那么AB=__________．
6．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．
20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设 = ， = ；
（1）求向量 （用向量 、 表示）；
（2）在图中求作向量 在 、 方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
∴设a=k，则b=3k，c=2k，
又∵a+b+c=24，
∴k+3k+2k=24，
∴k=4，
∴a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．
故答案是：8．
【点评】本题考查了比例的性质，根据a：b：c=1：3：2正确设出未知数是解决本题的关键．
8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为4cm．
A． B． C． D．
4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有 ，则以下结论正确的是( )
A． B． C． D．
5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )
A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0
6．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( )
D、y与x2s是反比例函数关系，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是__________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．
15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是__________．
16．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于__________cm．
【解答】解：A、∵ ，
∴AB∥CD，AB=2DC，
∴△OAB∽△OCD，
∴OA：OC=AB：DC=2：1，
∴OA=2OC，
∴ =2 ；故正确；
B、| |不一定等于| |；故错误；
C、 ≠ ，故错误；
D、 = ；故错误．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ故选A．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证得△AOB∽△COD是解此题的关键．
2016年上海市松江区中考数学一模试卷
一.选择题
1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )
A．1：16B．1：4C．1：6D．1：2
2．下列函数中，属于二次函数的是( )
A．y=2x+1B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7D．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( )
【考点】比例线段．
【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，
得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去）．
故答案为4．
【点评】考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．
【解答】解：在直角△ABC中，AC= = = ．
则sinA= = ，故A错误；
cosA= = ，故B正确；
tanA= = = ，故C错误；
cotA= = = ，故D错误．
故选B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
22．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA= ，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．
23．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；
（1）求证：∠BDE=∠C；
（2）求证：AD2=AE•AB．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB= ，那么AB=6．
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