平行线的判定(公开课)
《平行线的判定》 教案 (公开课获奖)2022浙教版 (4)
平行线的判定〔第2课时〕 教学内容分析本节的内容是学生学习了平行线的判定定理〔1〕后平行线知识的延续和补充，也是今后学习相似形相关知识的根底。
在教材体系中具有承上启下，举足轻重的作用。
教学目标 1、使学生掌握平行线的第二、三个判定方法． 2、能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推理和计算． 3、使学生初步理解；“从特殊到一般，又从一般到特殊〞是认识客观事物的根本方法． 重点 本节教学的重点是第二、三个判定方法的发现、说理和应用．难点问题的思考和推理过程是难点 教学准备板书设计 投影幕教学过程备注 一、从学生原有认知结构提出问题如图，问12l l 与平行的条件是什么? 在学生答复的根底上再问：三线八角分为三类角， 当同位角相等时，两直线平行，那么内错角或同旁内角具有什么关系时，也能判定两直线平行呢?这就是我们今天要学习的问题．(板书课题)学生会跃跃欲试，动脑思考．教师引导学生：将内错角或同旁内角设法转化为利用同位角相等．二、运用特殊和一般的关系，发现新的判定方法1．通过合作学习，提出猜测．①假设图中，直线AB 与CD 被直线EF 所截，假设∠２＝∠３，那么AB 与CD 平行吗？ 你可以从以下几个方面考虑：⑴我们已经有怎样的判定两直线平行的方法？ ⑵有∠２＝∠３，能得出有一对同位角相等吗？由此你又获得怎样的判定平行线的方法？ 要求学生板书说理过程，在此根底上．将“猜测〞更改成判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行．教师并强调几何语言的表述方法∵∠２＝∠３EF３ A B C D 1 ２ ４ EF4 A B C D 1 3 2∴AB∥CD〔内错角相等，两条直线平行〕然后，完成“做一做〞 ∠1=121°， ∠2＝120°，∠3＝120°。
说出其中的平行线，并说明理由 . ②假设图中，直线AB 与CD 被直线EF 所截，假设∠2+∠4=180°，那么AB 与CD 平行吗？你可以由类似的方法得到正确的结论吗？由此你又获得怎样的判定平行线的方法？要求学生板书说理过程，在此根底上．将“猜测〞更改成判定方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行．教师并强调几何语言的表述方法∵∠2+∠4=180°∴AB∥CD〔同旁内角互补，两条直线平行〕当学生都得到正确的结论后，引导学生猜测：同旁内角互补，两条直线平行．在学生初步掌握这两个判定后，进行反速反响，学生的积极性又一次被调动起来，通过6个问题串，让学生亲自上台寻找平行线，并问学生找到平行线的依据。
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日常生活中有哪些例子给 你以不相交形象？
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\
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在这个画法中，我们能够看到： 经过直线外一点，有且只有一条直线 与这条直线平行．这叫平行线基本性质.
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观察∠1和∠5两角:
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5 6
43 12
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观察∠1和∠5两角: 各有一边在同一直线上,
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本节课你收获是什么？ (1)什么是平行线； (2)平行线性质。 （3）同位角、内错角、同旁内角
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角名称同位角
位置特征
图形结构特征
在两条被截直线同旁， 形如字母“F”
在截线同侧
(或倒置)
内错角 在两条被截直线之内， 形如字母“Z”
在截线两侧(交织)
(或反置)
同旁内角
在两条被截直线同旁， 在截线同侧
形如字母“U”
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试一试：
请同学们分别用双手大拇指 ，食指各组成一个角，两食指相 对成一条线，保持在同一平面内 ，分别进行尝试，看能够组成哪 些角．
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观察∠3和∠5两角： 各有一边在同一直线上 另一边在截线两侧, 方向相反
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观察∠3和∠5两角：
一边都在截线上而且反 向，另一边在截线两侧 两个角
内错角
夹在两被截直线内, 分别在截线两侧(交织)
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图中内错角除∠3和∠5外，还有……
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B A′ C′
内错角相等，两直线平行．
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如图，已知AB//CD, ∠ABC＝∠ADC，问AD//BC吗？
解 因为AB//CD 所以∠1＝∠2 （两直线平行，内错角相等）
又因∠ABC＝∠ADC（已知） 所以 ∠ABC－∠1＝∠ADC－∠2
即 ∠3＝∠4
A
所以 AD//BC （内错角相等，两直线平行）
D 3
2
1 4
B
C 第6页
1.如图，点A在直线l上，假如∠B=75º, ∠C=43º,则
（1）当∠1＝___7_5_°___时，直线l//BC （2）当∠2＝___4_3_°____时，直线l//BC； （3）若l//BC，∠BAC＝__6_2_°____．
A
l
12
75° B
43° C
第7页
2. 如图，指出一个能推出AB//CD条件，并说明 理由．
可简单地写成
同位角相等，两直线平行． 内错角相等，两直线平行． 同旁内角或补，两直线平行．
第4页
用纸剪两个相同三角形ABC和A'B'C'，按照图所表示，拼 接成一个图形，试问：AC//A'C',BC//B'C'吗？为何？
C AC//A'C'
∠CAB=∠C'A'B'
A B′
内错角相等，两直线平行．
BC//B'C' ∠CBA=∠C'B'A'
两直线被第三条直线所截，假如有一对同位角相 等，那么这两条直线平行．
还有别判定两直线平行 方法吗？
内错角相等行吗？同旁内角 互补行吗？
第2页
两直线被第三条直线所截，假如有一对内错角相等或正一对同旁内角互 补，那么必有同位角相等，从而得出判定两直线平行另外两个方法：
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第1页
叙述平行线性质定理1-3，借助图形用数字语言表述。
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。(∠ 1=∠ 4)
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。(∠ 1=∠ 2)
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
E
(∠ 1+∠ 3=180°)
A
4
B
23
C
1
D
F 第2页
推理 格式
1= A （已知）
A
-B--C---//--A---D-
（ 同位角相等，两直线平行 ）
D
B 1
C
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火眼金睛，找出图中平行线
D B
A E C
假如∠ADE=∠ABC,则＿＿DE∥ ＿B＿C 假如∠ACD=∠F, 则＿＿CD∥ ＿B＿F
假如∠DEC=∠BCF,则＿＿DE∥ ＿B＿C
F
第9页
解 由于∠1=∠2(已知)， ∠2=∠3 (对顶角相等)，
因此∠1=∠3(等量代换)． 因此a∥b(同位角相等，两直线平行)． 因∠4=∠5(两直线平行，同位角相等).
第11页
如图，木工用角尺一边紧靠木料边沿，另一边画两条 直线a，b.这两条直线平行吗？为何？
答： a∥b，
由于有一对同位角都 b
例1 如图，直线AB，CD被直线EF所截， ∠1＋∠2=180°，AB与CD平行吗？ 为何？
解 由于∠1+∠2 =180°， (已知)． 而∠3 是∠1补角， (平角定义)．
即∠1+∠3=180°，
因此∠2=∠3． （同角补角相等） 因此AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．
第10页
例2 如图，直线a， b被直线c，d所截，∠1=∠2， 阐明为何∠4=∠5.
人教版七年级数学下册第五章《 平行线的判定》公开课课件
直线平行的条件
同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。
探索
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线， 那么这两条直线平行吗？为什么？
解：这两条直线平行。
b
c
∵ b⊥a c ⊥a ∴∠1=∠2 = 90 °
a
1
2
∴b ∥ c（同位角相等，两直线平行）
结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的 两条直线互相（平行 ）
例题1.
如图：
① ∵ ∠1 =___∠_2_ （已知）
C
∴ AB∥CE （内错角相等,两直线平行）
F 13
② ∵ ∠2 = ∠4 （已知） ∴ CD∥BF （同位角相等,两直线平行）
③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知）
A
∴ __A__B_∥___C_E_ （同旁内角互补,两直线平行）
E
2 54
（2）∵∠1=∠D（已知） ∴ AB ∥ DC （ 内错角相等，两直线平行）
（3）∵∠B+∠BAD=180°（已知） ∴ AD∥BC （ 同旁内角互补，两直线平行）
（4）∵∠3_ = ∠5_（已知） ∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行）
体验成功——达标检测
必做题：
E
C
1、如果∠A +∠B =180°，那么根据同旁内
3 2
那么a与b平行吗？ b 1
内错角相等，两直线平行。
∵ __∠_1_=__∠_2_（已知） ∴ __a_∥__b_（内错角相等，两直线平行）
大家来探索!
② 如图： 如果∠1+∠2=180o， 那么a与b平行吗？
l
a
2
பைடு நூலகம்
平行线的判定 公开课获奖教案 公开课获奖教案
7．3平行线的判定1．了解并掌握平行线的判定公理和定理；(重点)2．了解证明的一般步骤．(重点)一、情境导入我们知道，光线从空气中进入水中会发生折射现象，光线从水中进入空气中，同样也会发生折射现象．如图为光线从空气中进入水中，再从水中进入空气中的示意图．由于折射率相同，因此有∠1＝∠4，∠2＝∠3，那么你能说明光线c与d平行吗？二、合作探究探究点一：平行线的判定【类型一】平行线的判定公理如图，直线l1、l2、l3、l4两两相交，且∠1＝∠2＝∠3.求证：l1∥l2，l3∥l4.解析：∠1和∠2是直线l1、l2被直线l3所截得的同位角，∠2和∠3是直线l3、l4被直线l2所截得的同位角，所以由∠1＝∠2可以判定l1∥l2，由∠2＝∠3可以判定l3∥l4.证明：∵∠1＝∠2(已知)，∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)．∵∠2＝∠3(已知)，∴l3∥l4(同位角相等，两直线平行)．方法总结：利用平行线的判定公理进行推理证明的关键是分清同位角是哪两条直线被第三条直线所截构成的．【类型二】平行线的判定定理1如图，已知AB，CD与直线EF分别相交于点B，C，且∠ABE＝∠DCF.求证：AB∥CD.解析：由等角的补角相等可知∠ABC＝∠BCD.再由平行线的判定定理1即可得到结论．证明：因为∠ABC＋∠ABE＝∠DCB＋∠DCF＝180°(邻补角的定义)，∠ABE＝∠DCF(已知)，所以∠ABC＝∠DCB(等角的补角相等)，所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．方法总结：要证明两条直线平行，主要是指出图形中两条直线被第三条直线所截的角，观察是否有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补或由角的数量关系推得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．【类型三】 平行线的判定定理2如图，直线AE ，CD 相交于点O ，如果∠A＝110°，∠1＝70°，就可以说明AB∥CD，这是为什么？解析：由题意可知∠1＝∠AOD ＝70°，又因为∠A ＝110°，所以∠A ＋∠AOD ＝180°，故AB∥CD.解：因为∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°，所以∠AOD＝70°.又因为∠A＝110°，所以∠A ＋∠AOD＝180°(等式的性质)，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．方法总结：(1)本题运用数形结合思想，平行线的判定是由角之间的数量关系到“形”的判定．要判定两直线平行，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角，若同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行．(2)若题中的结论能用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补中的一个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、互补角等知识来说明．探究点二：平行线的判定公理、定理的综合应用如图，已知DE ，BF 分别平分∠ADC 和∠ABC，∠1＝∠2，∠ADC ＝∠ABC，因此可推出图中哪些线段平行？为什么？解析：结合图形以及已知条件，能证明DE∥BF ，DF ∥BE 和AD∥BC. 解：DE∥BF，DF ∥BE ，AD ∥BC.理由如下：(1)DE∥BF.∵∠1＝∠2(已知)，∴DE ∥BF(同位角相等，两直线平行)．(2)DF∥BE.∵DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC(已知)，∴∠3＝12∠ADC ，∠2＝12∠ABC(角平分线定义)．∵∠ADC＝∠ABC(已知)，∴∠2＝∠3(等量代换)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1＝∠3(等量代换)，∴DF ∥BE(内错角相等，两直线平行)．(3)AD∥BC.由(2)知∠3＝∠1，又∵DE 平分∠ADC(已知)，∴∠ADE ＝∠3(角平分线定义)，∠ADE ＝∠1(等量代换)．∴∠A＝180°－∠ADE－∠1＝180°－2∠ADE＝180°－∠ADC ＝180°－∠ABC(三角形内角和为180°及等量代换)，即∠A＋∠ABC＝180°，∴AD ∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．方法总结：解此类题应首先结合图形猜测结论，然后证明．证明两条直线平行，一般先找它们的截线，再求同位角相等(或内错角相等，同旁内角互补)来说明两直线平行．若没有公共截线，则需作出两直线的截线辅助证明．三、板书设计平行线,的判定)⎩⎪⎨⎪⎧判定公理：同位角相等，两直线平行判定定理⎩⎪⎨⎪⎧内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行本节课通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式．4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y ＝(m －4)m 2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m 2－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．2．2 平方根 第1课时 算术平方根1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3．了解算术平方根的性质．(难点)一、情境导入上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大正方形，那么有a 2＝2，a ＝________，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若x 2＝a ，则a 叫做x 的平方，反过来x 叫做a 的什么呢？二、合作探究探究点一：算术平方根的概念【类型一】 求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)214；(3)0.36；(4)412－402.解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32；(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；(4)∵412－402＝81，又92＝81，∴81＝9，而32＝9，∴412－402的算术平方根是3.方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．【类型二】 利用算术平方根的定义求值3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a 的值，再求a.解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．探究点二：算术平方根的性质【类型一】解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．【类型二】已知x 3(y －2)2＝0，求x －y 的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y 的值，进而求得答案．解：由题意可得x －1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a|≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.三、板书设计算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a 性质：双重非负性⎩⎨⎧a≥0，a ≥0让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．4．4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点)2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y＝(m－4)m2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．。
人教版《平行线的判定》数学公开课PPT1
一．查学诊断 判定两条直线平行的方法有两种：
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.
平行公理 如果两条直线同平行于一条直线， 的 推 论 那么两条直线平行.
同学们可以想一想？
除应用以上两种方法以外，是否还有其 它方法呢？
二．示标导入
如图，三根木条相交成 ∠1， ∠2，固定木条b、c，转
两条直线被第三条直线所截 ，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
同一条直线，那么这两条直线平行.
2 4
D
如果两条直线同平行于一条直线，那么两条直线平行.
31
A
B
F
一般地，判断两直线平行有下面的方法2:
两条直线被第三条直线所截 ，如果 ∴ ∠2=∠3（
）
两条直线被第三条直线所截 ，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
又∠3∵=∠∠41或= ∠∠31（=内∠4 错） 角相等，那么这两条直线平行.简单地
那么这两条直说线也互，相平内行. 错角相等，两直线平行.
(1)若
，则 与 平行吗?根据什么?
∴a ∥ b(同位角相等、两直线平行)
(3) ∵∠1= ∠___(已知）
如图，哪两个角相等 作业布置: 课本 p15 4 题 p16 7题 能判定直线AB∥CD? 简单地说，内错角相等，两直线平行.
(2)若（2）如图，，则已与知平∠行吗1?根=据∠什么4?，AB与CD平行吗？为什么？
3、如图，哪些直线平行，哪些直线不平行？
(1)若
，则 与 平行吗?根据什么?
E
两条直线被第三条直线所截 ，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
∴BC∥DE（
）
如果两条直线同平行于一条直线，那么两条直线平行.
平行线的判定公开课课件
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平行线的判定公开课 课件
目 录
• 平行线的定义及性质 • 平行线的判定方法 • 平行线的证明技巧 • 平行线在几何中的应用 • 平行线的判定在代数中的应用 • 复习与思考
PART 01
平行线的定义及性质
平行线的定义
同一平面内，不相交的两条直线 叫做平行线。
平行线的定义是几何学中最基本 的定义之一，它反映了直线之间
详细描述
如果一条直线a与另一条直线b平行，那么经过a的所有直线都与b平行。这个性质可以用来证明两条直 线a和c平行，只需要证明它们都与第三条直线b平行即可。
利用平行线的判定定理证明
总结词
平行线的判定定理是证明平行线的基础，通过不同的判定定理可以得出不同的证明方法。
详细描述
平行线的判定定理包括内错角相等、同位角相等、同旁内角互补等，根据不同的条件选择不同的定理进行证明。 比如，可以利用内错角相等定理证明AB//CD。
03
1. 同位角相等，两直线平行；
04
2. 内错角相等，两直线平行；
05
3. 同旁内角互补，两直线平行。
06
思考 题
利用平行线的性质解决实际问题时， 需要考虑实际情况和具体问题，选择 合适的方法进行求解。
例如：在建筑设计、机械制造、道路 交通等领域中，利用平行线的性质可 以解决许多实际问题，如确定物体位 置、计算长度、设计图形等。
举例
例如，在二次函数$y=ax^2+bx+c$中，如果两条直线$y=mx+n$和$y=px+q$平行， 则可以通过平移将这两条直线转化为$y=mx+n+k$和$y=px+q+k$的形式，从而轻松解 决与二次函数相关的问题。
关于平行线的判定公开课课件
关于平行线的判定 公开课
看下图，根据你的判断说出下
列每一组角之间的关系
A
F
B
E
C
D
∠ABE和∠ACD ∠A 和∠ACD
∠AFC和∠FCD
同位角 同旁内角
内错角
同学们回忆前面所学知识回答问题，在同一平面内，两
条直线之间有几种位置关系呢？
两条直线 位置关系
相交 一般相交 平行 特殊相交
判定两条直线平行的方法有两种：
明
你能说出理由并写出其过程吗？
A
E
31
B
C
2
D
F小丽的方法
⑵平行线的判定3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补 那么这两条直线平行。
简单地说成：同旁内角互补，两直线平行。 E
A
B
1
C
2D
∠1+∠2=180 ° （已知）
F
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行。）
判定两条直线平行的方法
文字叙述
B
若∠1=∠2，能判定AB∥CD吗？
2 D
CF
小明的方法
解：能判定AB∥CD，理由是：
∵∠1=∠2 （已知） ∠1=∠3 （对顶角相等）
∴∠2=∠3 （等量代换）
∵∠2=∠3 （已证） ∴AB∥C（D 同位角相等，两直线平行）
⑵平行线的判定2
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等， 那么这两条直线平行。
简单地说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠1=∠2（已知）
E
A
B
1
C2
D
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） F
小丽的方法
115°
《平行线的判定》PPT课件 (公开课)2022年北师大版 (2)
（2）如图乙所示
∵ AC ⊥ AB，BF ⊥ AB （已知 ） ∴ ∠ CAB = ∠ ABF=90 ° （垂直的性质 ）
∵ ∠ CAD= ∠ EBF=30 ° (已知 )
∴
= ∠EBA （ 等式的性质 ）
∴ ∠BAADD ∥ BE .
（ 内错角相等，两直线平行 ）
3.如图：直线AB,CD都和AE相交，
2.教学重点
平行线的判定方法的发现、说理和应用．
3.教学难点
问题的思考和推理过程是难点．
定理 : 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两
条直线平行.
已知: 如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c 截出的同旁内角,且∠1与∠2互补.
求证: a∥b.
c
a
1
证明: ∵ ∠1与∠2互补, ∴∠1+∠2=1800.
3 平行线的判定
公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这
两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行. A
如图，直线AB、CD被直线EF所截， 图中哪些角是同位角？哪些角是内 C
E
G
B
H
D
错角？哪些角是同旁内角？
F
1.知识目标
（1）使学生掌握平行线的判定方法． （2）能运用所学过的平行线的判定方法，进行简单的推 理和计算．
① 3x2 5x3
② (5a2b)(2a2)
③ (5an1b)(2a.) ④ (2x)3(2x2y)
⑤ (x2 yz3)2(x2y)3
收获感悟：
本节课你学到了什么？ 发现了什么？ 有什么收获？ 还存在什么没有解决的问题？
课后作业：
1. 习题 2. 拓展探究：
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例2 已知：如图，ABC、CDE都是直线，
且∠1=∠2，∠1=∠C，
求证：AC∥FD.
A
B1
F
证明：
∵ ∠1 = ∠2，
C
∠1 = ∠C （已知）
2
D
E
∴ ∠2=∠C （等量代换）
∴ AC∥FD （同位角相等，两直线平行）
理解与应用
★1.如图,哪两个角相等能判定直 线AB∥CD?
A
B
1
D C
理解与应用
条直线平行？你的依据是什么？
(2)从∠1=∠C，可以判断哪两条
直线平行？你的依据是什么？
★如图，已知∠1+∠2=180°，AB与CD平行吗？ 为什么？
∠1 +∠2=180°（已知）， C
∠2 +∠3=180°（邻补角互补），
ED
∠1 =∠3（同角的补角相等）. A
B
AB∥CD(内错角相等，两直线平行). F
一、课前预习，明确目标
温故知新
★1、在同一平面内，两条不重合的 直线有几种位置关系；
(相交、平行)
★2、两条直线相交构成的四个角， 从位置关系上看，可分成哪两类？
(邻补角、对顶角)
★3、两条直线被第三条直线所截， 共构成八个角，除对顶角、邻补角 外，还有哪三种位置关系的角？
(同位角、内错角、同旁内角)
b
．P
2
∠1与∠2具有什么样
的位置关系？
a
1
二、生成问题，自主探究
平行线的判定方法1
两条直线被第三条直线所截 ,如 果同位角相等ห้องสมุดไป่ตู้ 那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等,两直线平行.
符号 语言
∠1=∠2，
E
C1
D
AB∥CD.
A
(同位角相等，两直线平行)
2B F
c
书写格式：
1
∵∠1=∠2（已知） a 2 ∴（同a∥位b角相等，两直线平b 行）
★2.如果∠∠∠312===∠∠∠425 , 能判定 哪两条直线平行?
E
G
1A 3
2C
F
B 4
5D
H
★如图，已知∠1=∠2，AB与CD平
行吗？为什么？
E
C
D
由∠上1 =面∠的2（推已理知），，你可以得到判定两条直
线∠平2 =行∠的3（第对二顶角种相方等法），吗？A
B
∠1 =∠3.
F
AB∥CD (同位角相等，两直线平行).
五、运用拓展，达标测评
1、如图：
① ∵ ∠1 =___∠_2_ ∴ AB∥CE（
C
（已知）
内错角相等，两直线平行 ）
F 13
② ∵ ∠2 = ∠4 （已知） ∴ CD∥BF（ 同位角相等,两直线平行 ）
③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知）
A
∴ __A__B_∥___C_E_( 同旁内角互补,两直线平行 )
证明：
A 12
B
∵ ∠DAB被AC平分 （已知）
∴ ∠1=∠2 （角平分线定义） ∵ ∠1=∠3 （已知） ∴ ∠2=∠3 （等量代换） ∴ AB∥CD ( 内错角相等，两直线平行 )
理解与应用
★如图，∠1=∠2 ，∠1=∠3， D
C
AB和CD平行吗？为什么？
3
12
★已知：∠1=∠A=∠C,
A
B
(1)从∠1=∠A，可以判断哪两
∴∠1=∠2=90°(垂直定义)
∴ ∠1+∠2=180°
∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行)
结
论
b
c
1
2
a
在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线 垂直，那么这两条直线平行。简单地说，就 是在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 直线平行。
判定两条直线平行的方法
同位角
内错角
同旁内角相等，
两直线平行
我们曾经学习过用直尺和三角尺画平行线的方法，下面 我们再来回顾一下这种方法，并思考在这一过程中，三 角尺起着什么作用？
P
一、放 A
●
二、靠
B
三、移
四、画
观察与思考
我们能得到一个判刚定才的画法中，三角 两直线平行的方法吗？板起着什么作用?
两条直线被第三条直线所截 ,如果同 位角相等, 那么这两条直线平行.
bc
∴∠1=90° (垂直的定义)
∵ c ⊥a
a
12
∴∠2=90°(垂直的定义)
∴∠1=∠2
∴b∥c. (同位角相等，两直线平行)
方法2:
bc
理由：如图，
1
a
2
∵ b⊥a,c⊥a(已知)
∴∠1=∠2=90°(垂直定义)
∴b∥c(内错角相等，两直线平行)
方法3:
理由：如图，
b
c
a
12
∵ b⊥a,c⊥a(已知)
答：AB//CD，AD//BC，理由如下：
A
∵ B=45°（已知）
C=135°（已知）
B
B+ C=180°
AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
同理：AD//BC
D C
判定两直线平行有哪些方法？
在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线，
那么这两条直线平行吗？为什么？
平行
理由：∵ b⊥a
三、展示提升，相互释疑
平行线的判定方法2
两条直线被第三条直线所截 ,如 果内错角相等, 那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等,两直线平行.
符号 语言
∠1=∠2，
AB∥CD.
E
C
D
2
1
A
B
(内错角相等，两直线平行) F
例4 已知：如图，∠DAB被AC平分，
且∠1=∠3，
D
C
3
求证：AB∥CD.
四、质疑再探，总结点评
平行线的判定方法3
两条直线被第三条直线所截 ,如 果同旁内角互补, 那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补,两直线平行.
符语
号言
E
∠1+∠2=180°，
AB∥CD.
C
(同旁内角互补，两直线平A行)
D
2 1
B
理解与应用
★如图：B= D=45°， C=135°，
问图中有哪些直线平行？并说明理由。
E
2 54
D
B
2.如图，
∵∠B= ∠1（已知）
∴__A_D_∥__B_C__( 同位角相等，两直线平行 )
∵∠D= ∠1（已知） ∴_A_B__∥_D__C__( 内错角相等，两直线平行 )
1
A
D
B
C
3.如图，
A
① ∵∠B= ∠C（已知）
B
∴__A_B___∥__C_D___
∠1=∠2 ∠3=∠2 ∠2+∠4=180°
c
1a
34 2
b
判定两条直线是否平行的方法有：
1.同位角相等, 两直线平行. 2.内错角相等, 两直线平行. 3.同旁内角互补, 两直线平行. 4.如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行. 5.如果两条直线都与第三条直线垂直，
那么这两条直线也互相平行. 6.平行线的定义.
平行线的判定
• 学习目标
1、理解平行线的三种判定方法，会结合图 形用符号语言表示“平行线的判定”的书 写格式；
2、经历由“平行线的判定方法一”推导出 “平行线的判定方法二、三”的过程，初 步体验“简单推理”过程，体会数学中的 转化思想；
3、会运用“平行线的判定方法”来判定两 条直线是否平行，学会简单的说理。