工程流体力学第三章.
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基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过 程中的各物理量及其变化规律。
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志
质点物理量：
x x(a，b，c，t)
流体质点的位置坐标： y y(a，b，c，t)
速度：
x y
x y
(a，b，c，t)＝ (a，b，c，t)
流体在直管道内的流动为缓变流，在管道截面积变化剧烈、流动方向 发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变 流。 4. 有效截面 流量 平均流速 有效截面——在流束或者总流中，
与所有流线都垂直的截面。
流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
体积流量（m3）/ s： qv v dA v cos(v, n)dA vndA
流场的非均匀性引起
输运公式的具体含义：
任一瞬时系统内物理量N （如质量、动量和能量等）随时间的变化率等
于该瞬时其控制体内物理量的变化率与通过控制体表面的净通量之和。
对于定常流动：
dN
dt
n dA
CS
或者
dN dt
v dA
CS
第五节 连续性方程
输运公式为
dN dt
t
d2 d1
管束
D
4( S1 S 2
d 2 ) 4
wenku.baidu.com
4S1 S 2
d
d
d
第四节 系统 控制体 输运公式
1. 系系体统统积边（V界(st面y)。sSt(et)m在）流—体SysControlControl的—运由动确过定程的中流不体断质发点生组变成化的。流体团或流体 S F(t) 2V.。控是制为体了研(co究n问tr题ol方vtemVolume便Surfaceol而um取e定)—的—。相边对界于面坐S 称标为系控固制定不面变。的空间体积
起始时刻
t
t
时质点的坐标
0
a, b, c ，积分得该质
点的迹线方程。
流线 —— 速度场的矢量线。
任一时刻t，曲线上每一点处的切向dr量 dxi dyj dzk 都
与该点的速度向量 vx, y, z, t 相切。
流线微分方程：
dr v 0
dx
dy
dz
vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
ay
ay (a，b，c，t)
y (a，b，c，t) t
2 y(a，b，c，t)
t 2
ay
ay (a，b，c，t)
z (a，b，c，t) t
2 z(a，b，c，t)
t 2
优缺点：√ 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程
x
y
z
x
z
ay
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
dx dt
x,
dy dt
y,
dz dt
z
质点加速度：a dv v (v )v
按照流动空间区分： 内部流动和外部流动； 一维流动、二维流动和三维流动；
1.定常流动、非定常流动（steady and unsteady flow)
定常流动： B Bx, y, z
0 t
非定常流动： B Bx, y, z;t
0 t
流动是否定常与所选取的参考坐标系有关。
1. 迹线和流线 迹线 —— 流体质点的运动轨迹线。属拉格朗 日法的研究内容。
r xa,b,c,ti ya,b,c,tj za,b,c,tk
给定速度场 vx, y, z, t，流体质点经过时间dt移动
了距离 dr，该质点的迹线微分方程为
dr vdt
dx
dy
dz
vx x, y, z,t vy x, y, z,t vz x, y, z,t dt
dt t
当地加速
迁移加速
度
度
质点全导数：
d (v ) 迁
dt t 全
移
导
当导
数
地数
导
数
0 ——定常流动； t
压强的质点导数
密度的质点导数
(v ) 0 ——均匀流动
dp p v p
dt t
d v
dt t
3.1.2 Lagrange法（拉格朗日法）
dN d
( dV )tt ( dV )t
dV lim V '
V
dt dt V
t 0
t
V ：系统在t时刻的体积；
V VII VI II
V’ ：系统在t＋δt时刻的体积。 V VIIIII
即
dN
流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等等；
流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。
总流——截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中
的气流都是总流。
3. 缓变流和急变流 缓变流——流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行 直线的流动。否则即为急变流。
应用于定常管流时： 11ndA 22ndA A1，A2为管道上的任意两
A1
A2
个截面
截面A1上的质量流量
截面A2上的质量流量
1 和 分2 别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：
11 A1 22 A2
一维定常流动积分形式的连续性方程
方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流体的质量流量等于常数。
lim Ⅱ'
Ⅱ'
dV
t0
t
t CV
(dV )tt
lim Ⅲ
t 0
t
cosdA v dA ndA
CS 2
CS 2
CS 2
（dV）t
lim Ⅰ
t 0
t
cosdA v dA －ndA
dN dt
t
dV
CV
n dA
CS
＝, N dV η表示单位质量流体具有的动量;
V
N 为系统内的流体具有的动量。
d dt
dV
V
t
dV
CV
n dA
CS
对上式应用质点系的动量定理：作用于流体系统上的所有外力之和等
A
A
A
质量流量（ kg / s）：qm v dA v cos(v, n)dA vndA
A
A
A
平均流速——体积流量与有效截面积之比值。一般地不加
下标a，直接用 v 表示。
5.湿周 水力半径 当量直径
a
qv A
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。 R
A x
圆形截面管道的几何直径
非圆形截面管道的当量直径
d d 2 4 A 4R d x
D 4A 4R x
矩形管道
D 4bh 2bh 2(h b) b h
4(
d
2 2
d12 )
环形截面管道 D
44 d1 d 2
对于不可压缩流体：
1 A1 2 A2
方程表明：对于不可压缩流体的定常一维流动，在任意有效截面上体积流 量等于常数。
在同一总流上，流通截面积大的截面上流速小，在流通截面积小 截面上流速大。
3.6 动量方程和动量矩方程
——用于工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩
1. 动量方程 输运公式为
× 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用
第二节 流动的类型
按照流体性质划分： 可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动； 理想流体的流动和粘性流体的流动； 牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动； 磁性流体的流动和非磁性流体的流动；
按照流动特征区分： 有旋流动和无旋流动；层流流动和紊流流动； 定常流动和非定常流动； 超声速流动和亚声速流动；
工程流体力学
第三章 流体动力学基础 (Fundamental of Fluid Dynamics)
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 流体运动的描述方法
3.1.1 Euler法（欧拉法）
基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。
lim
(
Ⅱ'
dV )tt
(
Ⅱ'
dV )t
lim
(
Ⅲ
dV )tt
(
Ⅰ
dV )t
dt t0
t
t 0
t
t 0 时，有 II II, III 0 。
如果用CV表示控制体的体积，则有 II V (t) CV
( dV )tt ( dV )t
dV
CV
n dA
CS
＝1，N dV m 由质量守恒定律： dN dm 0
V
dt dt
积分形式的连续性方程：
t
CV
dV
CS
n dA
0
方程含义：单位时间内控制体内流体质量的增量，等于通过控制 体表面的质量的净通量。
定常流动的积分形式的连续性方程： ndA 0 CS
3. 输运公式 系统：边界用虚线表示；
控制体：边界用实线表示。
左边(a)图对应着t时刻； 右边(b)图对应t＋δt时刻。
N dV
系统和控制体
V
N为系统在t时刻所具有的某种物理量（如质量、动量和能量等）的总量;
η表示单位质量流体所具有的该种物理量。
t时刻流体系统所具有的某种物理量N对时间的变化率为
流线的几个性质：
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。 在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是 在不停地变化的。 流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。 流线密集的地方流体流动的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。
迹线和流线的差别：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应； 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。
于系统内流体动量的变化率。
积分形式的动量方程：
d dt
dV＝
V
CV
f
dV
CS
pn dA
质量力
表面力
定常流动时： ndA＝ f dV pndA
CS
CV
CS
应用于定常管流时，可以对方程进行简化。
F ndA－ ndA
A2
A1
F 为作用于控制体上的质量力和表面力之和。
方程表明：在定常管流中，作用于管流控制体上的所有外力之和等于单位 时间内管子流出断面上流出的动量和流入断面上流入的动量之差。
2.一维流动、二维流动和三维流动
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数；
二维流动： 流动参数是两个坐标的函数；
三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
对于工程实际问题，在满足精度要求的情 况下，将三维流动简化为二维、甚至一维 流动，可以使得求解过程尽可能简化。
二维流动→一维流 动
三维流动→二维流动
第三节 流体动力学的基本概念
CS1
CS1
CS1
CS2为控制体表面上的出流面积； CS1为流入控制体表面的入流面积。 整个控制体的面积 CS CS1 CS2
输运公式
dN dt
t
dV
CV
n dA
CS
或者
dN dt
t
dV
CV
v dA
CS
当地导数项
迁移导数项
流场的非稳定性引起
2. 流管和流束
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线
组成的管状表面。 流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。 定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。
流束——充满流管的一束流体。
微元流束——截面积无穷小的流束。
微元流束的极限是流线。
微元流束和流线的差别：
x(a，b，c，t) t
y(a，b，c，t) t
z
z (a，b，c，t)
z(a，b，c，t) t
z z(a，b，c，t)
流体质点的加速度：ax
a
x
(a，b，c，t
)＝
x
(a，b，c，t t
)
2 x(a，b，c，t) t 2
所谓空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。
流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
独立变量：空间点坐标 (x, y, z)
v v(x，, y, z,t) ， p p(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
流体质点运动的加速度：
ax
x
t
x
x
x
y
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志
质点物理量：
x x(a，b，c，t)
流体质点的位置坐标： y y(a，b，c，t)
速度：
x y
x y
(a，b，c，t)＝ (a，b，c，t)
流体在直管道内的流动为缓变流，在管道截面积变化剧烈、流动方向 发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变 流。 4. 有效截面 流量 平均流速 有效截面——在流束或者总流中，
与所有流线都垂直的截面。
流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
体积流量（m3）/ s： qv v dA v cos(v, n)dA vndA
流场的非均匀性引起
输运公式的具体含义：
任一瞬时系统内物理量N （如质量、动量和能量等）随时间的变化率等
于该瞬时其控制体内物理量的变化率与通过控制体表面的净通量之和。
对于定常流动：
dN
dt
n dA
CS
或者
dN dt
v dA
CS
第五节 连续性方程
输运公式为
dN dt
t
d2 d1
管束
D
4( S1 S 2
d 2 ) 4
wenku.baidu.com
4S1 S 2
d
d
d
第四节 系统 控制体 输运公式
1. 系系体统统积边（V界(st面y)。sSt(et)m在）流—体SysControlControl的—运由动确过定程的中流不体断质发点生组变成化的。流体团或流体 S F(t) 2V.。控是制为体了研(co究n问tr题ol方vtemVolume便Surfaceol而um取e定)—的—。相边对界于面坐S 称标为系控固制定不面变。的空间体积
起始时刻
t
t
时质点的坐标
0
a, b, c ，积分得该质
点的迹线方程。
流线 —— 速度场的矢量线。
任一时刻t，曲线上每一点处的切向dr量 dxi dyj dzk 都
与该点的速度向量 vx, y, z, t 相切。
流线微分方程：
dr v 0
dx
dy
dz
vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
ay
ay (a，b，c，t)
y (a，b，c，t) t
2 y(a，b，c，t)
t 2
ay
ay (a，b，c，t)
z (a，b，c，t) t
2 z(a，b，c，t)
t 2
优缺点：√ 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程
x
y
z
x
z
ay
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
dx dt
x,
dy dt
y,
dz dt
z
质点加速度：a dv v (v )v
按照流动空间区分： 内部流动和外部流动； 一维流动、二维流动和三维流动；
1.定常流动、非定常流动（steady and unsteady flow)
定常流动： B Bx, y, z
0 t
非定常流动： B Bx, y, z;t
0 t
流动是否定常与所选取的参考坐标系有关。
1. 迹线和流线 迹线 —— 流体质点的运动轨迹线。属拉格朗 日法的研究内容。
r xa,b,c,ti ya,b,c,tj za,b,c,tk
给定速度场 vx, y, z, t，流体质点经过时间dt移动
了距离 dr，该质点的迹线微分方程为
dr vdt
dx
dy
dz
vx x, y, z,t vy x, y, z,t vz x, y, z,t dt
dt t
当地加速
迁移加速
度
度
质点全导数：
d (v ) 迁
dt t 全
移
导
当导
数
地数
导
数
0 ——定常流动； t
压强的质点导数
密度的质点导数
(v ) 0 ——均匀流动
dp p v p
dt t
d v
dt t
3.1.2 Lagrange法（拉格朗日法）
dN d
( dV )tt ( dV )t
dV lim V '
V
dt dt V
t 0
t
V ：系统在t时刻的体积；
V VII VI II
V’ ：系统在t＋δt时刻的体积。 V VIIIII
即
dN
流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、流量等等；
流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。
总流——截面积有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及风管中
的气流都是总流。
3. 缓变流和急变流 缓变流——流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行 直线的流动。否则即为急变流。
应用于定常管流时： 11ndA 22ndA A1，A2为管道上的任意两
A1
A2
个截面
截面A1上的质量流量
截面A2上的质量流量
1 和 分2 别表示两个截面上的平均流速，并将截面取为有效截面：
11 A1 22 A2
一维定常流动积分形式的连续性方程
方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流体的质量流量等于常数。
lim Ⅱ'
Ⅱ'
dV
t0
t
t CV
(dV )tt
lim Ⅲ
t 0
t
cosdA v dA ndA
CS 2
CS 2
CS 2
（dV）t
lim Ⅰ
t 0
t
cosdA v dA －ndA
dN dt
t
dV
CV
n dA
CS
＝, N dV η表示单位质量流体具有的动量;
V
N 为系统内的流体具有的动量。
d dt
dV
V
t
dV
CV
n dA
CS
对上式应用质点系的动量定理：作用于流体系统上的所有外力之和等
A
A
A
质量流量（ kg / s）：qm v dA v cos(v, n)dA vndA
A
A
A
平均流速——体积流量与有效截面积之比值。一般地不加
下标a，直接用 v 表示。
5.湿周 水力半径 当量直径
a
qv A
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。 R
A x
圆形截面管道的几何直径
非圆形截面管道的当量直径
d d 2 4 A 4R d x
D 4A 4R x
矩形管道
D 4bh 2bh 2(h b) b h
4(
d
2 2
d12 )
环形截面管道 D
44 d1 d 2
对于不可压缩流体：
1 A1 2 A2
方程表明：对于不可压缩流体的定常一维流动，在任意有效截面上体积流 量等于常数。
在同一总流上，流通截面积大的截面上流速小，在流通截面积小 截面上流速大。
3.6 动量方程和动量矩方程
——用于工程实际中求解流体与固体之间的作用力和力矩
1. 动量方程 输运公式为
× 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用
第二节 流动的类型
按照流体性质划分： 可压缩流体的流动和不可压缩流体的流动； 理想流体的流动和粘性流体的流动； 牛顿流体的流动和非牛顿流体的流动； 磁性流体的流动和非磁性流体的流动；
按照流动特征区分： 有旋流动和无旋流动；层流流动和紊流流动； 定常流动和非定常流动； 超声速流动和亚声速流动；
工程流体力学
第三章 流体动力学基础 (Fundamental of Fluid Dynamics)
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 流体运动的描述方法
3.1.1 Euler法（欧拉法）
基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。
lim
(
Ⅱ'
dV )tt
(
Ⅱ'
dV )t
lim
(
Ⅲ
dV )tt
(
Ⅰ
dV )t
dt t0
t
t 0
t
t 0 时，有 II II, III 0 。
如果用CV表示控制体的体积，则有 II V (t) CV
( dV )tt ( dV )t
dV
CV
n dA
CS
＝1，N dV m 由质量守恒定律： dN dm 0
V
dt dt
积分形式的连续性方程：
t
CV
dV
CS
n dA
0
方程含义：单位时间内控制体内流体质量的增量，等于通过控制 体表面的质量的净通量。
定常流动的积分形式的连续性方程： ndA 0 CS
3. 输运公式 系统：边界用虚线表示；
控制体：边界用实线表示。
左边(a)图对应着t时刻； 右边(b)图对应t＋δt时刻。
N dV
系统和控制体
V
N为系统在t时刻所具有的某种物理量（如质量、动量和能量等）的总量;
η表示单位质量流体所具有的该种物理量。
t时刻流体系统所具有的某种物理量N对时间的变化率为
流线的几个性质：
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹线重合。 在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化，流线的形状和位置是 在不停地变化的。 流线不能彼此相交和折转，只能平滑过渡。 流线密集的地方流体流动的速度大，流线稀疏的地方流动速度小。
迹线和流线的差别：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange观点对应； 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与Euler观点对应。
于系统内流体动量的变化率。
积分形式的动量方程：
d dt
dV＝
V
CV
f
dV
CS
pn dA
质量力
表面力
定常流动时： ndA＝ f dV pndA
CS
CV
CS
应用于定常管流时，可以对方程进行简化。
F ndA－ ndA
A2
A1
F 为作用于控制体上的质量力和表面力之和。
方程表明：在定常管流中，作用于管流控制体上的所有外力之和等于单位 时间内管子流出断面上流出的动量和流入断面上流入的动量之差。
2.一维流动、二维流动和三维流动
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数；
二维流动： 流动参数是两个坐标的函数；
三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
对于工程实际问题，在满足精度要求的情 况下，将三维流动简化为二维、甚至一维 流动，可以使得求解过程尽可能简化。
二维流动→一维流 动
三维流动→二维流动
第三节 流体动力学的基本概念
CS1
CS1
CS1
CS2为控制体表面上的出流面积； CS1为流入控制体表面的入流面积。 整个控制体的面积 CS CS1 CS2
输运公式
dN dt
t
dV
CV
n dA
CS
或者
dN dt
t
dV
CV
v dA
CS
当地导数项
迁移导数项
流场的非稳定性引起
2. 流管和流束
流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上的所有流线
组成的管状表面。 流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。 定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生变化。
流束——充满流管的一束流体。
微元流束——截面积无穷小的流束。
微元流束的极限是流线。
微元流束和流线的差别：
x(a，b，c，t) t
y(a，b，c，t) t
z
z (a，b，c，t)
z(a，b，c，t) t
z z(a，b，c，t)
流体质点的加速度：ax
a
x
(a，b，c，t
)＝
x
(a，b，c，t t
)
2 x(a，b，c，t) t 2
所谓空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。
流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
独立变量：空间点坐标 (x, y, z)
v v(x，, y, z,t) ， p p(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
流体质点运动的加速度：
ax
x
t
x
x
x
y