常微分方程讲义和作业

第四章 常微分方程与数学模型

微积分最主要的应用可能就是微分方程了，在物理学、力学、工程技术、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用。

一、什么是微分方程

例1：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，例如

()dy

u x dx

=，其中()y f x =为未知函数，()u x 为已知函数。满足上述方程的函数()y f x =称为微分方程的

解。求下列微分方程满足所给条件的解： （1）

2(2)dy

x dx

=-，20x y ==； （2）2232d x dt t

=，

11t dx

dt ==，11t x ==。 二、分离变量法

※例2：求微分方程y xy '=的通解。

解： 变形为：

dy xy dx

=， 分离变量：1

dy xdx y =（此时漏掉解0y =），

两边同时积分：

1

dy xdx y =⎰⎰， 得：211ln 2

y x C =+， 2

2111122

x C x C y e

e e

+==，

从而221

112

2

2x x C y e e

C e =±=，其中12C

C e =±，为任意非零常数，

但0y =亦是方程的解，统一起来，方程的通解为：

212

x y Ce

=，C 为任意常数。

上述求解过程比较繁琐，由于经常出现，为方便计，从分离变量后开始将求解过程简写为：

两边同时积分：

1

dy xdx y =⎰⎰， 得：21ln ln 2

y x C =+， 从而 2

211ln 2

2

x x C

y e e

Ce

==

这个过程严格说是有问题的，但比较简洁，又能得到正确的结果，所以常被采用。

例3：(1)牛顿冷却定律指出：如果物体和周围环境之间的温度相差不是很大的话，物体冷

却速度与温差成正比（同样可用于加热的情况）。命()T t 表示在时刻t 物体的温度，c T 表示周围环境的温度（假定是常数），建立微分方程并求解，得出()T t 的变化规律。

(2)清晨，警察局接到报案，街头发现一具死尸，6:30时测量体温为18℃，7:30时再测一次为16℃，室外温度为10℃（假定不变），人正常体温为37℃，请估计被害人何时死亡？（死亡时刻记为0t ，则0()37T t =，时刻6:30计算时看成6.5）

例4：人口预测

记时刻t 的人口为()P t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()P t 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将()P t 视为连续、可微函数．记初始时刻(0)t =的人口为0P ，假设人口增长的速度（即增长率）与t 时刻的人口数量()P t 成正比，利用下表中数据为20世纪世界人口建模，增长率是多少，建立的模型与数据相符合吗？

解：设比例系数为μ（即增长率），则()P t 满足的微分方程为：

0,(0)dP

P P P dt

μ==. 解出 0()t

P t P e μ= ，

表明人口将按指数规律随时间无限增长(0μ>)．上式称为人口指数增长模型，也称为马尔

萨斯人口模型．

以1900年为初始时刻，0(0)=1650P P =，得()1650t

P t e μ=，

以1910年数据估计μ，即10(10)16501750P e

μ

==，解11750

ln 0.005884101650

μ=

≈， 即增长率约为0.6%，增长模型为0.005884()1650t

P t e

=

若以1950年为初始时刻，为20世纪后50年建模，则0=2560P ，得()2560t

P t e μ=， 以1960年数据估计μ，即10(10)25603040P e

μ

==，解13040

ln 0.017185102560

μ=

≈， 即增长率约为1.7%，增长模型为0.017185()2560t

P t e

=

但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小．看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设．

2．人口阻滞增长模型（Logistic 模型）

分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大．所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的．

阻滞作用体现在对人口增长率μ的影响上，使得μ随着人口数量P 的增加而下降。若将μ表示为P 的函数()P μ，对()P μ的一个最简单的假设是

()(1)P P K

μμ=-

K 为承载能力（指自然资源和环境长期能支持的最大种群数量）

，当P 较小时，()P μμ≈，即人口近似按指数增长，当P 增大时，增长率()P μ开始减小，当P K >时开

始负增长。

相应的微分方程为：

0(1),(0)dP P

P P P dt K

μ=-=. 称为人口阻滞增长模型，也称为Logistic 模型.

可用分离变量法解方程得