二次函数与幂函数

二次函数与幂函数

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)

值域

⎣

⎡

⎭

⎫

4ac－b2

4a，＋∞⎝

⎛

⎦

⎤

－∞，

4ac－b2

4a 单调性

在x∈⎝

⎛

⎦

⎤

－∞，－

b

2a上单调递减；

在x∈⎣

⎡

⎭

⎫

－

b

2a，＋∞上单调递增

在x∈⎝

⎛

⎦

⎤

－∞，－

b

2a上单调递增；

在x∈⎣

⎡

⎭

⎫

－

b

2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－

b

2a对称

2.

(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)幂函数的图象比较

(3)幂函数的性质比较

函数

特征

性质

y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

单调性增

x∈[0，＋∞)时，增；

x∈(－∞，0]时，减

增增

x∈(0，＋∞) 时，减；

x∈(－∞，0)时，减判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是

4ac－b2

4a.(×)

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)

(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)

(4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)

(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±

2

2.(×)

(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)

1．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为()

C．1 D．－1

答案D

解析因为b>0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1，故选D.

2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为

________．

答案[1,2]

解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1. 当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数． ∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2. ∴m ＝1与m <1矛盾，舍去．

当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2，y max ＝f (0)＝3. 当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3， ∴m ＝0或m ＝2，与m >2矛盾，舍去． 综上所述，1≤m ≤2. 3．若幂函数

y ＝(m 2

－3m ＋3)x

22m m －－的图象不经过原点，则实数m 的值为________．

答案 1或2

解析 由⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2－3m ＋3＝1

m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.

经检验m ＝1或2都适合．

4．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－2

2，0)

解析 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有

f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪

⎧

f (m )<0，f (m ＋1)<0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－2

2

题型一 二次函数的图象和性质

例1 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．

解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，

∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.

(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应