第四章第一节微分方程的基本概念

第四章第一节微分方程的基本概念

基本内容

1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数

)

(x

y

y=称为微分方程的解。如果微分方

程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。

习题选解

1.试指出下列各微分方程的阶数

（1）

220 x dy y dx

-=

解：一阶

（2）

4

3()0 y y y y

''''''

-=

解：二阶

（3）

2

2

0 d Q dQ Q

L R

dt C

dt

++=

解：二阶。

（4）(76)()0 x y dx x y dy

-++=

解：一阶

（5）

2

sin d

d

ρ

ρθθ

+=

解：一阶

（6）

(5)20 y y y y

''''

-++=

解：5阶

2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解

（1）30dy x

y dx +=，

3

C y x = 解：因为34

3()dy C C

dx

x x '==-，代入微分方程，得： 左边=333330dy C C x

y dx x x +=-+==右边，所以

3

C y x =是微分方程的解。 （2）22

2220d y dy

x x y dx dx -+=， 223y x x =-

解：因为2

(23)26dy x x x dx '=-=-，22

(26)6d y x dx '=-=-代入微分方程，得： 左边22

22

2

2262(26)2(23)0d y dy x x y x x x x x dx dx =-+=---+-==右边，所以

223y x x =-是微分方程的解。

（3）022

2=+dt dS dt S d ω，t C t C S ωωsin cos 21+=

解：因为1212(cos sin )sin cos dS

C t C t C t C t dt ωωωωωω'=+=-+，

22212122

(sin cos )cos sin d S

C t C t C t C t dt ωωωωωωωω'=-+=--，代入微分方程，得： 左边22222212122cos sin (sin cos )

d S dS

C t C t C t C t dt dt ωωωωωωωωω=+=--+-+ 22112[()cos ()sin ]0C C t C C t ωωω=--+≠=右边，所以t C t C S ωωsin cos 21+=不是

微分方程的解。

（4）0)(=++xdy dx y x ，

x x C y 22

-=

解：由x x C y 22-=，得：22x C xy -=，两边微分，得：2

)(2dx xy d -=，即

xdx xdy ydx 2)(2-=+。从而得0)(=++xdy dx y x ，所以x x C y 22

-=

是微分方程的解。

（5）02=-'xy y ，⎰-+=x

t x x dt

e

e

e y 0

2

2

2

解：因为

22

222

22222

2

()22221

x

x

x

x x

t x x

t x x x x

t y e e e dt xe xe e dt e e xe xe e dt ----''=+=++=++⎰

⎰

⎰

，

代入方程，得到 左边22

222

2

22212()10x

x

x x

t x x t y xy xe xe e dt x e e

e dt --'=-=++-+=≠=

⎰

⎰

右边，

所以

⎰

-+=x

t x

x dt

e e e y 0

2

2

2不是方程的解。

（6）y x y y x -='-2)2(，C y xy x =+-2

2

解：方程

C y xy x =+-22两边对x 求导，得：022='+'--y y y x y x ，解得x y x

y y --=

'22，

代入微分方程，得：左边=y x -2=右边，所以

C y xy x =+-22是方程的解。 3.在下列各题中，确定函数关系中的常数，使函数满足所给的初始条件

（1）

,1)1(2

2=--x C y 2

-==x y

解：将2,0-==y x 代入方程，得：14=-C ，所以3=C 。函数为

22

3(1)1y x --=。 （2）x e x C C y 221)(-+=，

==x y ，

1

0='=x y

解：由x

e

x C C y 221)(-+=，得：x

e C y 22-='x e x C C 221)(2-+-，将0,0==y x 代入原微

分方程，1,0='=y x ；代入x e C y 22-='x

e x C C 221)(2-+-，得：

⎩⎨

⎧-==1

21

210C C C ，所以

1,021==C C 。函数为x xe y 2-=。

（3）)sin(21C x C y -=，

1

==π

x y

，

='=πx y ；

解：将1,==y x π代入原方程，得：=1)sin(21C C -π，所以01≠C ，又='y )c o s (21C x C -

将0,='=y x π代入，得：=0)cos(

21C C -π，从而0)cos (2=-C π，22π

π=

-C ，

22π

=

C ，代入=1)sin(21C C -π，得：11=C 。函数为)

2sin(π

-=x y ，即x y cos -=。