3.1.1垂径定理

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三线合一和垂径定理_解释说明以及概述

三线合一和垂径定理解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文主要讨论了数学几何中的两个重要概念：三线合一和垂径定理。

这两个概念在解决几何问题中起到了关键作用，并且具有广泛的应用价值。

通过深入理解和掌握这两个概念，我们可以提高解决实际问题的能力，并且对于进一步研究更复杂的几何问题也具有指导意义。

1.2 文章结构本文分为五个部分进行阐述。

首先是引言部分，主要介绍文章的背景、目的和结构。

第二部分详细介绍三线合一的定义、原理和应用，在此过程中会给出一些例题进行演练。

第三部分深入探讨垂径定理的理论说明和几何证明方法，并举例说明其实际应用案例。

在第四部分，我们将通过综合实例分析来展示如何运用三线合一和垂径定理来解决实际问题，同时比较两者在实例中的应用效果并进行总结与讨论。

最后，在结论与展望部分对本文所做工作进行总结，并提出存在问题以及未来研究方向建议。

1.3 目的本文旨在深入理解和探讨三线合一和垂径定理的概念，进而提高读者对于几何问题的解决能力。

通过详细阐述这两个概念的定义、原理和应用，并结合实际案例进行分析与讨论，本文希望读者能够全面理解这两个几何学中重要的定理，并且能够熟练运用于实践中。

同时，本文也致力于展示三线合一和垂径定理在实际问题中的应用价值，鼓励读者进一步探索数学几何领域并开展更多研究工作。

2. 三线合一:2.1 定义和解释:三线合一是指在平面几何中，三角形的三条特殊直线：高线、中位线和垂心连线的交点共线。

这个交点被称为三角形的重心。

高线是从三角形的一个顶点引出并与对边垂直相交的直线。

每个顶点都可作出一条高线。

中位线是连接三角形任意两个顶点中点的直线，也可以视为任意两条边上两个相邻顶点的连线。

垂心连线是从三角形的一个顶点引出并与对边所在直径相交于垂足，每个顶点都可作出一条垂心连线。

当三角形的高线、中位线和垂心连线共同相交于一个点时，即这些特殊直线经过了同一个交点，我们称之为"三线合一"。

垂径定理怎么证

垂径定理的证明一、引言垂径定理是解析几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的直径与其上的垂径之间的关系。

本文将详细探讨垂径定理的证明过程。

二、垂径定理的表述垂径定理可以表述如下：在一个圆中，如果一条直径与另一条线段相交，并且相交点到直径的两个端点的距离相等，那么这条线段垂直于直径。

三、垂径定理的证明3.1 构造图形我们首先构造一个圆，并在其上选择一条直径AB。

然后，我们再选择一条线段CD，使其与直径AB相交于点E，并且满足AE=BE=CE=DE。

3.2 证明过程我们假设线段CD不垂直于直径AB，即线段CD与直径AB不是垂直相交的。

那么我们可以通过构造线段EF，使其与直径AB垂直相交于点F（图中未标出）。

根据垂直的性质，我们知道EF与CD是垂直的，且EF与直径AB垂直相交于点F，所以EF是圆的直径。

但是根据题设条件，直径AB是圆的直径，所以EF与AB是同一条直径。

由于EF与CD相交于点E，根据直线的交点定理，我们可以得到EF与CD平行。

但是根据题设条件，AE=BE=CE=DE，所以四边形ABCD是一个平行四边形。

根据平行四边形的性质，我们知道对角线互相等长，所以AE=CE，与题设条件矛盾。

所以假设不成立，即线段CD必须垂直于直径AB。

四、垂径定理的应用垂径定理在解析几何中有着广泛的应用，下面我们列举几个常见的应用场景： 1. 证明一个圆的垂径相交于圆心。

2. 证明一个圆的直径平分其上的弧。

3. 证明一个圆内的垂径互相垂直。

五、总结垂径定理是解析几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的直径与其上的垂径之间的关系。

本文通过构造图形和严格的证明过程，证明了垂径定理的正确性。

同时，我们也介绍了垂径定理的一些应用场景。

垂径定理在解析几何中有着广泛的应用，对于理解和解决相关问题具有重要的意义。

参考文献•《高中数学》•《解析几何与线性代数》。

垂径定理讲解

垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。

1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。

平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。

平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。

3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。

以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。

连接OA和OB。

由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。

△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。

由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。

垂径定理_精品文档

垂径定理垂径定理是数学几何中的一个重要定理，它解决了直径垂直于弦的问题。

在几何形体中，直径和弦是常见的概念。

定义在一个圆中，如果某条直径与一条弦垂直相交，那么这条直径被称为垂径。

理论证明假设我们有一个圆，直径为AB，弦为CD，且垂直相交于E点。

我们需要证明AE与BE相等。

首先，连接AC和BD，并延长直线AC和BD，分别交于F和G点。

根据垂直与切线的性质，可以得出四个直角三角形：AEC、EDB、AFB和EGC。

我们需要利用这四个直角三角形的性质来推导出AE与BE相等。

首先考虑直角三角形AEC和EDB，这两个三角形共有一边AE，因此我们可以利用直角三角形的边长关系依次得到以下两个等式：AE^2 + CE^2 = AC^2 (1)BE^2 + DE^2 = BD^2 (2)接下来考虑直角三角形AFB和EGC，这两个三角形也共有一边AE，而它们还有两边分别是FA、AG和GE、EB。

由于直角三角形的边长关系，我们可以得到以下两个等式：FA^2 + AE^2 = AF^2 (3)AG^2 + AE^2 = AG^2 (4)根据圆的性质，直径的两个端点到圆心的距离相等，即AC = BD。

由于AC = BD，我们可以将等式(1)和(2)进行简化：AE^2 + CE^2 = BD^2 (5)BE^2 + DE^2 = BD^2 (6)由于等式(5)和(6)左侧都包含AE，我们将它们相减，可以得到：AE^2 + CE^2 - (BE^2 + DE^2) = 0再根据等式(3)和(4)可以得到：FA^2 + AE^2 - (AG^2 + AE^2) = 0整理等式得到：FA^2 - AG^2 + CE^2 - DE^2 = 0化简得到：(FA^2 - AG^2) + (CE^2 - DE^2) = 0根据差的平方公式，我们可以进一步得到：(FA + AG)(FA - AG) + (CE + DE)(CE - DE) = 0将FA + AG替换为FG，CE + DE替换为CD，可以得到：FG * CD + FG * CD = 0进一步整理得到：2 * FG * CD = 0由于FG和CD都是正值，所以只能有FG = 0。

证明垂径定理和垂径定理的推论

证明垂径定理和垂径定理的推论1. 什么是垂径定理？嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在几何界特别重要的概念——垂径定理。

说到这，很多同学可能会想：“这是什么鬼东西？”别急，听我慢慢给你捋一捋。

简单来说，垂径定理就是在一个圆里，如果你从圆心往外画一条垂直于圆周的直线，这条线与圆的交点就是我们所说的“垂径”。

这听起来简单吧？但其实这背后蕴藏着很多神奇的数学秘密。

1.1 定理的具体内容那么，垂径定理的具体内容是什么呢？在一个圆中，假设我们有一个点P，假如我们从这个点出发，往圆心画一条直线，直到它碰到圆周，我们叫这个点为A。

接下来，点P到点A的直线垂直于点A到圆心的直线。

那么根据垂径定理，我们就知道这条线段就是一个垂径！是不是觉得这个定理挺神奇的？我觉得它就像一把打开几何大门的钥匙，让我们看到了一个崭新的世界。

1.2 实际应用好啦，别光听我唠叨，咱们说说这玩意儿有什么用。

你可能会问：“我这辈子也不会用到几何啊！”可是，谁能说得准呢？比如说你要设计一个游乐场，想把过山车的轨道设计得又稳又安全，垂径定理可是可以帮你确保轨道的结构强度哦！所以，别小看这些数学定理，它们就像是我们生活中的隐形助手，时时刻刻在为我们服务。

2. 垂径定理的证明说完了定理，接下来就是那个让人头疼的——证明！别担心，我会把它说得简单易懂。

首先，我们可以画一个圆，标记出圆心O，以及任意的点A和P。

然后，从点P出发，画一条垂直于OA的直线，设它与圆交于点B。

根据几何的性质，我们知道，点B 到点O的距离等于点A到点O的距离，这样一来，我们就能证明这两条线段的关系。

2.1 证明的细节我们接下来用一些三角形的性质来帮忙。

设O是圆心，OA是半径，PB是我们所说的垂径。

根据三角形的性质，三角形OAP和三角形OBP是相似的，因为它们有一个公共角OAP和一个直角。

这就意味着它们的对应边成比例，从而可以得出PB的长度与OA是相等的。

啊哈，证明完成了！是不是觉得其实也没那么难？2.2 证明的意义证明完毕之后，咱们再来思考一下这个定理的意义。

垂径定理及其推论

圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。

过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ；直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

垂径定理计算公式

垂径定理计算公式
「垂径定理」是几何中的基础定理，它表明了从垂足A到点P的垂径和从垂足A到点Q的垂径的乘积，等于对应的点P和Q的连线的平方。

下面我就来讲述一下垂径定理的计算公式。

首先，我们必须了解垂径定理的基本概念，即AB为一直线，A
为垂足，P为直线上点，Q为垂线上点，以及AP和BQ两条垂线。

垂径定理的计算公式为：AP*BQ=PB^2
其中，AP为从垂足A投影到点P的垂线，BQ为从垂足B投影到
点Q的垂线，而PB为从点P到点Q的直线，^2表示平方运算。

计算垂径定理的公式时，首先应计算相应的垂线的长度，例如
AP的长度为a，BQ的长度为b。

然后，可以用公式a*b=PB^2计算出PB的长度，即从点P到点Q的距离。

在一般的教学和习题中，可以有以下几种应用方法。

首先，可以利用垂径定理来计算平行四边形中任意两条边的长度，其中一边知道，另一边未知。

例如，若已知直线AB，以及M为其中
一点，则可以求出MN的长度。

另一种应用，是利用垂径定理求解三角形的内角。

有时候，我们需要求解的三角形的内角未知，仅知道三条边的长度时，则可以利用垂径定理来计算。

最后，垂径定理也可以用于求解椭圆的参数和椭圆上的点。

由于椭圆是以双曲线形式出现的，双曲线一端的点都是到椭圆中心的距离相等，则可以用垂径定理来计算双曲线上点的坐标，从而得到椭圆参
数。

以上就是关于垂径定理计算公式的全部内容，希望能够对读者有所帮助。

垂径定理在几何中有许多有趣的应用，如本文所提到的，通过深入的学习，可以更好地理解垂径定理。

垂径定理

D B D C A第１题授课日期年月日第周星期总号3.1.1 圆的对称性（2）：垂径定理主备人胡北春审核人谢超__【学习目标】1、进一步探索和掌握垂径定理及应用2、在利用垂径定理解决数学问题的过程中，注意运用迁移和数形结合等数学思想与方法。

【学习重、难点】重点：探索垂径定理的推论与垂径定理的应用。

难点：垂径定理的应用教与学过程一、以旧迎新1．圆的两种定义：①在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做_____．固定的端点O 叫做______，线段OA 叫做______．②圆是平面内到一个______的距离等于_______的所有点组成的图形，定点叫做______，定长叫做_______。

2．圆的对称性：圆既是________图形，又是________图形；圆的对称轴有______条，任何一条______所在直线都是它的对称轴，圆的对称中心是_____，圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合,这个性质称为圆的_____________。

3．垂径定理: 垂直于弦的直径_________。

如图：AB 是⊙O 的弦，直径CD ⊥AB 于E ，则有______________。

若8=AB ，10=CD则=OE _____，=DE ______。

二、自主学习我们知道圆中有无数条直径，它们都经过圆心，圆心是任意一条直径的中点，所以圆中任意两条直径互相平分，但是任意两条直径不一定垂直。

探究：如图：AB 是⊙O 的直径、CD 是⊙O 的弦（非直径）， AB 与CD 相交于点Ｍ，满足DM CM = 请判断ＡＢ与ＣＤ的位置关系，说明理由。

垂径定理的推论：平分弦（）的直径垂直于弦。

问题：下列命题是真命题的是（）Ａ．圆是轴对称图形，圆的任意一条直径都是圆的对称轴Ｂ．平分弦的直径垂直于弦Ｃ．直径是弦，弦是直径Ｄ．圆上各点到定点的距离等于定长例１．如下图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB =24米，拱的半径为13米，则拱高CD 的长．例２．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，求此输水管道的直径.三、合作学习１．如图１，已知⊙O 的直径AB ⊥弦CD 于点E ．下列结论中一．定．正确的是（） A ．AE ＝OE B ．CE ＝DE C ．OE ＝12CE D ．∠AOC ＝60°２.如图２，梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB cm =，4CD cm =．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且AOD ∠=︒90，则圆心O 到弦AD 的距离是（）．3．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6， ∠DEB=30°，求弦CD 长．四、拓展提升问题1：如图，AB 是两个以O 为圆心的同心圆中大圆的直径，AB 交小圆交于C 、D 两点，求证：AC=BD ．问题2：把圆中直径AB 向下平移，变成非直径的弦AB ，如图，是否仍有AC=BD 呢？问题3：在题2中连结OC ，OD ，将小圆隐去，设OC=OD ，求证：AC=BD ．问题4：在图2中，连结OA 、OB ，将大圆隐去，得图5，设AO=BO ，求证：AC=BD ．第２题B A CO D五、自我小结。

垂径定理及推论证明方法

垂径定理及推论证明方法一、垂径定理的内容。

1.1 垂径定理简单来说就是在圆中，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

这就像是一个圆里的“公平分配原则”，直径就像一个公正的裁判，只要它垂直于弦，就会把弦和对应的弧都平均分成两份。

1.2 例如，我们有一个圆，画一条弦AB，再画一条直径CD，让CD垂直于AB于点E。

那么根据垂径定理，AE就等于BE，弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。

这就好像把一块圆形的蛋糕（圆），用一把垂直于蛋糕中间一条线（弦）的长刀（直径）切开，两边的蛋糕（弧）和中间的线（弦）都被平均分开了。

二、垂径定理的证明方法。

2.1 我们可以利用等腰三角形的性质来证明。

连接圆心O与弦AB的两个端点A和B，这样就形成了两个等腰三角形，即△OAB。

因为OA = OB（圆的半径都相等，这是圆的基本性质，就像一个家族里的兄弟姐妹都有相同的地位一样），直径CD垂直于AB，根据等腰三角形三线合一的性质（这可是三角形里的一个“法宝”性质），就可以得出AE = BE，从而证明了垂径定理平分弦这一部分。

2.2 对于平分弧的证明，我们可以利用圆的对称性。

圆是一个非常对称的图形，就像一个完美的圆形镜子，任何一条直径都是它的对称轴。

因为直径CD垂直于弦AB，那么沿着直径CD对折这个圆，弧AC和弧BC会完全重合，弧AD和弧BD也会完全重合，这就证明了直径平分弦所对的两条弧。

这就好比把一张圆形的纸沿着直径对折，两边的图案（弧）会严丝合缝地重合在一起，这就是圆的对称性在起作用。

2.3 从全等三角形的角度也能证明。

在前面连接OA、OB后，在Rt△OAE和Rt△OBE中，OA = OB（半径），OE是公共边，根据HL（斜边直角边）定理，可以得出这两个直角三角形全等。

全等三角形对应边相等，所以AE = BE。

而且全等三角形对应角相等，那么对应的圆心角相等，圆心角相等所对的弧就相等，也就证明了弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。

垂径定理ppt

3
在实际生活中，垂径定理也广泛应用于工程、建筑、天文、航海等领域
02
证明垂径定理
准备知识：圆和直径的定义
圆定义总结
圆是一种几何图形，由点到点的距离等于定长的点的集合构成。
直径定义总结
直径是圆上任意两点处于圆心的一条直线，或者说是圆的一侧到另一侧的直线距离。
证明过程概述
证明思路
通过证明圆弧的中垂线与直径的交点为直径的中点来证明垂径定理。
定理的历史背景
最早的文字记载可以追溯到古希腊数学家欧几里得
之后的数学家如欧拉、高斯等也对垂径定理进行了深入的研究和应用
在中国，东汉时期的数学家赵爽也有记载
定理的重要性和应用场景
1
定理是圆几何中的基本定理之一，也是几何学中最基本的定理之一
2
垂径定理是圆相关问题中最常用的工具之一，也是解决许多几何问题的关键
证明步骤
根据定义和性质，将圆等分，然后证明等分点与直径的关系，最后得出结论。
证明过程详细步骤
证明步骤一
首先将圆分成两个半圆，然后分别在半圆上任取一点，分别连接该点与直径的两个端点，得到两条弧。
证明步骤二
证明两条弧相等。因为它们所对的圆心角相等，所以根据圆的定义可知它们的弧长相等。
证明步骤三
应用场景
垂径定理在几何、建筑、工程等领域都有广泛的应用。例如，在桥梁设计和建造中，需要应用垂径定理来保证桥梁的形状和稳定性；在几何中，垂径定理可以用于证明各种线段相等、圆周角相等等问题。
反思定理在现代数学中的地位和作用
地位
垂径定理是平面几何中的重要定理之一，也是初中数学竞赛中的热点和难点之一。
作用
垂径定理在数学、工程、建筑等领域都有着广泛的应用，同时也是培养数学思维和解决问题能力的重要载体。

垂径定理九年级知识点

垂径定理九年级知识点垂径定理，也称为垂径长定理，是几何中一个重要的定理，用来描述圆内任意两条互相垂直的直径和其所对应的弦的关系。

下面将详细介绍有关垂径定理的九年级知识点。

1. 垂径定理的表述垂径定理指出，一个圆的直径与其所对应的弦垂直相交，具体表述为："在一个圆内，如果一条弦垂直于直径，那么这条弦将被切成两段，而且这两段的乘积等于每个一段的长度与直径的乘积，即 d1×d2=2×r×a"。

其中，d1和d2分别代表切割弦的两段，r代表圆的半径，a代表这两段与直径的距离。

2. 垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过数学推理和几何推导来完成。

首先，假设圆的直径AB与弦CD互相垂直相交于点O，以及切割弦CD的两段为CE和ED。

根据垂径定理的表述，我们可以得出以下几个等式：AE×EB = CE×ED （1）AO×OB = CO×OD （2）由于AO = CO, OB = OD，将式（2）代入式（1），我们可以得到：AE×EB = AO×OB = r×r = r²因此，垂径定理得证。

3. 垂径定理的应用垂径定理在几何证明和问题求解中经常被应用。

下面介绍几个常见的应用场景：a. 证明两条直线垂直相交当需要证明两条直线垂直相交时，可以利用垂径定理。

首先，通过画圆和连接弦的方式将直线和圆相交，然后利用垂径定理得出圆内两条互相垂直的直径和它们对应的弦的关系，进而推断出直线的垂直关系。

b. 求解弦长已知圆的半径和一个垂直切线与弦的交点坐标，可以利用垂径定理求解弦的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的半径和切线坐标计算出弦的长度，从而得到所需的结果。

c. 求解直径长已知圆的半径和两条互相垂直的弦的长度，可以利用垂径定理求解直径的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的弦长和半径计算出直径的长度，进而得到所需的结果。

垂径定理_精品文档

垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。

垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。

垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。

本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。

首先，我们来了解一下垂径定理的定义。

垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。

换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。

这是垂径定理的基本内容。

接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。

首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。

这是一个坐标证明的图。

为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。

因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。

我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。

我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。

我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。

根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。

根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。

因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。

接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。

例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。

我们需要证明这两条弦互相垂直。

根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。

因此，OA 等于OC，OB等于OD。

根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。

进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。

同理，OB和OD重合。

因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。

例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。

垂径定理九年级数学知识点

垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。

在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。

一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。

根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。

2. 直径的两个垂径互相垂直。

3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。

了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。

二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。

换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。

三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。

下面我们通过具体的例子来进行证明。

假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。

我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。

首先，连接OA和OB。

根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。

同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。

由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。

根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。

因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。

根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。

所以弧度CA等于角CBA的度数。

同理，弧度CB等于角CAB的度数。

既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。

所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。

四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。

例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。

通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。

此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。

垂径定理的结论

垂径定理的那些事儿嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊数学中一个特别实用、也特别有趣的定理——垂径定理。

如果你正在学习平面几何，特别是和圆有关的部分，那么这个定理肯定是你的好朋友。

它不仅能帮你解决很多头疼的问题，还能让你的解题思路更加清晰明了。

一、什么是垂径定理？首先，咱们得知道垂径定理长啥样。

简单来说，垂径定理就是：垂直于弦的直径会平分这条弦，并且还会平分这条弦所对的两条弧。

听起来有点绕，不过别急，咱们慢慢分解。

想象一下，你手里有一个圆规画出来的圆，然后你在圆上随便找一条弦（就是圆上两点之间的线段），再画一条经过圆心、并且垂直于这条弦的直径。

根据垂径定理，这条直径会把弦分成两段相等的部分，同时还会把弦所对的两条弧（不管是优弧还是劣弧）也分成相等的两部分。

数学表达就是：如果直径DC垂直于弦AB于点E，那么AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧和劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。

二、垂径定理的推论垂径定理可不是个“独行侠”，它还有几个特别实用的推论，咱们一一来看。

推论一：如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必定垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧。

这个推论就像是垂径定理的“小跟班”，它告诉我们，如果直径和弦有了“平分”的关系，那么它们之间就一定有“垂直”的关系。

推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

这个推论就像是弦的“守护者”，它告诉我们，弦的垂直平分线一定会经过圆心，就像守护圆心一样，同时还会平分弦所对的弧。

推论三：如果一条直径平分了一条弦所对的一条弧，那么这条直径必定垂直平分这条弦，并且也平分弦所对的另一条弧。

这个推论就像是垂径定理的“双胞胎兄弟”，它们之间有很多相似之处，只是条件和结论稍微变了个位置。

推论四：在同一个圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

这个推论就像是平行线的“好伙伴”，它告诉我们，在同一个圆或者等圆中，如果两条弦平行，那么它们所夹的弧（无论是优弧还是劣弧）都是相等的。

垂径定理—知识讲解

垂径定理—知识讲解〔提高〕【学习目标】1．明白得圆的对称性；2．把握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)那个地址的直径也能够是半径，也能够是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展依照圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦〔该弦不是直径〕的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，明白任意两个，就能够推出其他三个结论.〔注意：“过圆心、平分弦〞作为题设时，平分的弦不能是直径〕【典型例题】类型一、应用垂径定理进展计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD相互垂直，垂足为E，且AB=CD，CE=1，ED=3，那么⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=222+1=5.【点评】关于垂径定理的利用，一样多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 触类旁通：【变式1】如以下图，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如以下图，过点O别离作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，那么四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，2255 2OB BM OM=+=．【高清ID号：356965 关联的位置名称〔播放点名称〕：例2-例3】【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，假设AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.【高清ID号：356965 关联的位置名称〔播放点名称〕：例2-例3】2.：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离确实是它们的公垂线段的长度，假设别离作弦AB、CD的弦心距，那么可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.别离连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这种问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，万万别丢解.触类旁通：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，那么MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采纳间接的测量方式．若是用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如以下图)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d确实是⊙O中的弦AB．依照垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O 作MN ⊥AB ，交⊙O 于M 、N ，垂足为C ，那么1105mm 2OA =⨯=，OC ＝MC －OM ＝8－5＝3mm ．在Rt △ACO 中，AC ＝22534mm -=，∴ AB ＝2AC ＝2×4＝8mm ．答：此小孔的直径d 为8mm ．【点评】应用垂径定明白得题，一样转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 只是圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ．(1)在下面三个圆中别离画出知足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观看(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(再也不标注其他字母，找结论的进程中所连辅助线不能出此刻结论中，不写推理进程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如以下图，在图①中AB 、CD 延长线交于⊙O 外一点；在图②中AB 、CD 交于⊙O 内一点；在图③中AB ∥CD ．。

垂径定理—知识讲解

垂径定理一知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.理解圆的对称性：2.掌握垂径定理及其推论：3.学会运用垂径泄理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：（1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即直径 | ［平分弦垂直于弦平分弦所对的弧（2）这里的直径也町以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径泄理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：任垂径宦理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知逍任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明C1.如图，00的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E,且AB=CD、已知C民1, ED=3,贝900的半径是________________ ・【答案】迈・【解析】作0M丄AB于M、ON丄CD于N,连结OA,VAB=CD, CE=\. ED=3,AOM=EN=h AM=2,AOA=V22+12二頁.【点评】对于垂径左理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算（配合勾股泄理）问题.举一反三:【变式1】如图所示，00两5玄AB、CD垂直相交于H, AH = 4, BH = 6,【答案】如图所示，过点0分别作0H丄AB于M, ON丄CD于N,则四边形MONH为矩形.连结0B,••• MO = HN = CN-CH =、CD-CH2= l(CH + DH)-CH=l(3 + 8)-3 = 2.5.2 2BM =-AB = -(BH +AH) = -(4 + 6) = 5,2 2 2•在RtABOM 中，OB = y)BM2+OM2 =-yf5 ・2ID 356965 关联的位汽名称（播放点名称）：例2-例3]【变式21（2015春•安岳县月考）如图，OO直径AB和弦CD相交于点E, AE=2, EB=6, z DEB=30% 求弦CD 长.【答案与解析】解：过O作OF丄CD,交CD于点F,连接OD,・・・F为CD的中点，即CF=DF,T AE=2, EB=6,AB=AE+EB=2+6=8»・•・OA=4,/. OE=OA ■ AE=4 ■ 2=2,在RtA OEF 中，z DEB=30\・・・OF=1OE=1,2在R^ODF 中，OF=L OD=4, 根拯勾股左理得：DF=^2T^j2=V15.则CD=2DF=2A/15・【高淸ID号:356965 关联的位置名称(播放点名称)：例2-例3】Wr 2.已知：00 的半径为10cm,弦AB〃CD, AB二12cm, CD二16cm,求AB、CD 间的距离. 【思路点拨】在O0中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距, 则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1,当＜90的圆心0位于AB、CD之间时，作0M丄AB于点M, 并延长H0,交CD于N点•分别连结AO、C0.VAB/7CD•••ON丄CD,即ON为弦CD的弦心距.TAB二12cm, CD二16cm, AO—OC— 1 Ocm* :.AM二丄AB=6cm,ChT=l CD=8cm2 2 _____________________________MN=MO+NO=7102 -62 + J1L-F二8+6 =14 (cm)B U /厂q、D/\~T M \图1 图2⑵如图2所示，当00的圆心0不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心0的同侧）时,同理可得：MN二0H-0N二8-6二2 （cm）•••00中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm・【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在。

3.1.1垂径定理

选做题：
1、已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦 CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
2、已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是 ⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点． (1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短； (2)若CD=4cm，求AP＋PB的最小值．
我思考、我快乐： 1、已知：如图，试用尺规将它四等分．
2、如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为 7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m(竹排与水面持平)．问：该货箱能否顺利通过该桥?
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（

）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 . （）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
一展身手:
1. 已知：以O为圆心的两个同心圆,大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD ．
O
A
C
E
D
B
变式. 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、 D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
知识归纳: 垂径定理 C
O A
AE BE CD 过圆心 CD 是直径 CD AB
E D
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
学习目标
1．理解圆是轴对称图形． 2．掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论，并能运用定理解决相关问题．
自学指导
1、认真阅读教材P60页例题1垂径定理的推理证明过程从而掌握垂径定理，看P60下面部分，知道圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是他的对称轴。 2、看书P63，掌握垂径定理的推论及其运用。6分钟之后完成自学检测。

3.1.1垂径定理

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题。
练习
1、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB上一个动点，求OP的取值范围.
O A P B
3≤OP≤5
2、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图 ⌒ 的圆心)，其中CD=600m,E ⌒ ，点o是 CD 中 CD ⌒ 上一点，且OE⊥CD ，垂足为F，为 CD EF=90m,求这段弯路的半径。
D
A
B E A
O
O
C
E
O
A
A
E C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
E D
B
A
E C
B
思考：平分弦（不
是直径）的直径有什么性质？
垂径定理的推论

AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.

过点M作直径CD.

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?

C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
3.1圆的对称性

圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的?
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧