材料力学 第2章 拉伸与压缩

说明：
（1）变形量
l 的符号与轴力相一致；
（2）构件的工作应力必须在线弹性范围内，胡克定律才成立； （3）公式适用于轴力与杆的横截面积都为常量的情况，即等直杆两端受轴 力作用。
若1.等截面直杆，轴力沿轴线方向变化时：
N i li N1l1 N 2l2 l EA EA EA
轴向拉压杆内的最大正应力:
max
N max [ ] 强度条件： max A u u ──材料的极限应力 [ ] n n──大于1的安全系数
式中： max 称为最大工作应力；
N max A
[ ] 称为材料的许用应力。
对于脆性材料

u b
[ ]
叠加原理 几个(组)外力共同作用下在弹性体中所引起的效应,等于每 组外力分别单独作用下引起的效应的代数和或几何合。 叠加原理应用的条件： 小变形, 线弹性, 载荷与所引起的效应成线性关系。
若2.当截面尺寸沿轴线变化缓慢, 且外力作用线与轴线 重合时, 我们在杆件中取出 dx 微段, 由于 dx 非常微小, 故在 dx 内, FN (x ) 和 A(x) 可近似看成常量，则 dx 微段 内杆的变形为： FN x dx d l Ax E 整个杆件的变形
CL3TU6
卸载定律：材料在卸载时应力与应变成直线关系

c
f
d
冷作硬化
p

e
冷作硬化现象经 CL3TU7 过退火后可消除

二、其它材料的拉伸实验 对于在拉伸过程 0.2
中没有明显屈服阶段 的材料，通常规定以
产生0.2％的塑性应变
所对应的应力作为屈
服极限，并称为名义
屈服极限，用σ0.2来表
BC BC
F F N NBC BC


由教材型刚表P208可查 8号型钢的横截面积为 1024 mm2 3 3 F FN 75 75 10 10 2 2 NBD BD BD 73 73 . . 2 2 MN MN / / m m [ [ ] ] BD 6 6 A A 1024 1024 10 10 2 2 (2). 求 B 点的位移 △LCB B
3m
C B B3
F
B1
5 FNBD cos F FN BD F / cos F ４ 3
Fy 0
4m

D (a)

FN BD
B2
故
FN BC FN BD sin FN BD 5
FN BC
(b)
ì 3 5 3 3 F = ? 60 45KN （拉） ï FN BC = ? F F ï 5 ４ 4 4 Þ í 5 5 ï （压） ï FN BD = F = ? 60 75KN î ４ ４
x
FN ( x)
dx
FN ( x)
FN x dx l l A x E
dx
例1：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2
段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的
圆杆。已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，
E=210GPa，求整个杆的伸长△l
CL2TU10
①
②
例3: 图示为一简单托架, BC 杆为圆钢, 横截面直径 d=20mm , BD 杆为 8号 槽钢。若： F=60KN
2 2 160 MN / m , E 200 GN / m MN / m , E 200GN / m
2 2
试校核托架的强度, 并求 B 点的位移。 解: (1). 校核强度 Fx 0 对 B 点作受力分析, 如图 (b)。 由
解: P 2 A2 30 252 18.75 kN
FN 1l1 FN 2l2 FN 3l3 D l= + + EA1 EA2 EA3 18750 0.2 0.4 0.2 9 2 2 2 210 10 0.02 0.025 0.012 4 4
B2
B2
△B
由胡克定律求 BC、BD 杆的变形：
D LBC
D LBD
FN BC ×LBC = EA1
FN BD ×LBD = EA2
3 F ×LBC 3 45 创 10 3 -3 =4 = = 2.15 ? 10 m 9 -6 EA1 200创 10 314? 10 5 F ×LBD 3 75 创 10 5 -3 4 = = = 1.83 ? 10 m 9 -6 EA2 200创 10 1024? 10
max
2
90
0
§2-4 材料拉伸时的力学性质
一、低碳钢的拉伸实验
标准试件 标距 l，通常取 l
5d
或l
10 d
CL3TU1
液压式万能试验机
活塞
油管
活动试台
底座
CL3TU5
P
P A
l
l l

a
b
d
c
e
O

1. 弹性阶段 oab

b
d
弹性变形： 外力卸去后能够恢复的变形 外力卸去后不能恢 c 塑性变形（永久变形）： a e 复的变形
O

这一阶段可分为：斜直线Oa和微弯曲线ab。

e p b
d
弹性极限
e
ห้องสมุดไป่ตู้
c e
比例极限 p
a
O

2. 屈服阶段 bc

a
b
上屈服极限
下屈服极限
d
s
c
e
屈服极限
s
O

3. 强化阶段 cd 强化阶段的变形绝大部分是塑性变形。
示。
O 0.2%

CL3TU3
灰口铸铁的拉伸实验
没有屈服现 象和颈缩现象,只 能测出其拉伸强 度极限 b 。
b
O
CL3TU4
§2-5 材料压缩时的力学性质
一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状。
h 15 . ～ 3.0 d
CL3TU8
低碳钢压缩时的σ-ε曲线
压缩

拉伸
CL3TU9
解：
N 1 10 kN N 2 5 kN N 3 20 kN
CL2TU3
N 1 10 kN N 2 5 kN N 3 20 kN
二、轴向拉伸或压缩杆件的应力
1、横截面上的应力
NP
CL2TU2
平面假设：变形前为平面的横截面变形后 仍为平面。
N A
圣维南(Saint Venant)原理：
b
nb

对于塑性材料

u s
[ ]
s
ns

根据上述强度条件，可以进行三种类型 的强度计算： 一、校核杆的强度 已知Nmax、A、[σ]，验算构件是否满足 强度条件。
二、设计截面 已知Nmax、[σ],根据强度条件，求A。 三、确定许可载荷
已知A、[σ]，根据强度条件,求Nmax。
l
l l
纵向线应变
b
l l
b 横向线应变 b
关于横向变形： 从图中可看出，横向线应变为： ⅱ ? c a a a c D b b b D a a a D c c cc ¢ = e = = = = = b a a b a a cc cc 实验表明：当应力不超过比例极限时， 横向应变 ′与轴向应变 之比的绝对值为一常数, 即： a a′
B △LDB △LCB B1 B4
再由几何关系即可求得 B 点的水平和垂直位移及总位移
D BH = D LCB B 骣 D LDB D BV = 琪 +D LCB ?tga 琪 sin a 桫 D B=
3

( DB ) +( DB )
H V
2
2
(c )

B2
练习：图示结构中三杆的刚度均为EA, AB 为刚体，P、l、EA皆为已知。求C 点的垂直和水平位移。
比例常数Ｅ称为弹性模量。
弹性模量和泊松比都是材料本身固有的弹性常数， m P16表2-1。 几种常用材料的E和 见教材
对等截面直杆两端受轴力作用：
FN s = A l l
FN FN l D l =E 轉 l= A l EA 胡克定律计算变形的表达式
FN 和 A 是所计算杆件或杆中某一段的内力和面 积，且都是常量, 即上式适用于等截面, 常内力的情 况。 对于长度相同，受力相等的杆件，EA值越大，变 形越小，它代表了杆件抵抗拉伸或压缩变形的能 力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
例1一直径d=14mm的圆杆，许用应力
[σ]=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作 用，试校核此杆是否满足强度条件。
解：
max
N max 2.5 10 162 MPa < [ ] A 14 2 10 6 4
3
满足强度条件。
§2-8 轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定律 b b
作用于物体某一局部区域内的外力系，可以 用一个与之静力等效的力系来代替。而两力系所 产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的 影响，在离开力系作用区域较远处，应力分布几 乎相同
2、斜截面上的应力
P
P P
CL2TU2
p
P p A
P P cos cos A A cos

铸铁压缩时的σ-ε曲线

b b拉

b压 b
拉伸
压缩
O

O
CL3TU4
蠕变及松弛现象
固体材料在保持应力不变的情况下，应 变随时间缓慢增长的现象称为蠕变。
粘弹性材料在总应变不变的条件下,变
形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现 象称为应力松弛。
§2-7 轴向拉伸或压缩时的强度计算

a
b
b
d
c
e
强度极限
b
O

表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看 见与轴线大致成45°倾角的条纹。这是由于材 料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移 线。因为在45°的斜截面上剪应力最大。
在试件内所有晶格都发生滑移之后，沿 晶格错动面产生了新的阻力，屈服现象终 止。要使试件继续变形，必须增大拉力， 这种现象称为材料的强化。 强化阶段的变形绝大部分是塑性变形， 这个阶段试件的横向尺寸明显缩小。e点 所对应的应力是材料所能承受的最大应力， b 称为强度极限或抗拉强度，用 表示。
CL2TU13
P 解: N 1 N 3 , N 2 0 2 Pl l1 l3 , l2 0 2 EA
4. 颈缩阶段 de

d
a
b
c
e
O

CL3TU6

d
b
a
b
p
s c
e
O
比例极限 屈服极限 s 强度极限 b
p

其中 s 和 b 是衡量材料强度的重要指标
l1 l 延伸率: 100% l
CL3TU6
A A1 100% 截面收缩率 : A
3m C B B3 4m F B1 (c ) △LDB B B1 B3 B4 B3
4 4
d d
2 2

4 4
45 45 10 1033 20 20 10 10

2 3 32

143 143MN MN //m m22 [[ ]]
B1 B4

D (a)
(c) B2
0.272 mm ( 缩短）
例2：求图示结构结点A的垂直位移。
①
②
CL2TU11
解:
FN 1 = FN 2 P = 2 cos a
①
②
FN 1l Pl D l1 = D l2 = = EA 2 EA cos a
切线代圆弧
D l1 Pl ¢ AA = = cos a 2 EA cos 2 a
A¢
第二章 拉伸与压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵 向力，力的作用线与杆轴线重合
CL2TU1
变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横
截面沿轴线平行移动。
§2-2
轴向拉伸与压缩时横截面 上的内力和应力
应用截面法
一、内力 轴力图
NP
N P
CL2TU2
例：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴 力
p
p cos cos
2

p sin sin cos

2
sin CL2TU2 2
cos2 sin 2 2
0
45
max
2
0
b
b′ c
c′

'


— 称为横向变形系数或泊松 (Poisson)比，是一个无量纲的量。
轴向拉压杆胡克定律
大量各种不同工程材料的拉伸与压缩实验结果表明：
在弹性范围内，当应力不超过材料的比例极限 时，应力与应变成正比。称为胡克定律 （Hooke’s law ）。
E