两角和与差的三角函数练习题及答案

两角和与差的三角函数练习题及答案

一、选择题

1． sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为

( C ) A ．－

3

2

B ．－12

C.12

D.

32

2．已知sin(45°＋α)＝5

5，则sin 2α等于

( B ) A ．－4

5

B ．－35

C.35

D.45

3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝3

3，则sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值是 ( A ) A.2＋3

3

B ．－2＋33 C.2－3

3

D.－2＋3

3

4．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝

⎛⎭⎫α＋4π3等于 ( B ) A ．－

3

4

B ．－14

C.34

D.14

5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝1

3，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是

( A )

A ．－7

9

B ．－13

C.13

D.79

6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝2

33，则tan A tan B 的值为( B )

A.14

B.1

3

C.12

D.53

二、填空题

7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.43

8． 3－sin 70°

2－cos 210°

＝________. 2

9．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. －5665 三、解答题 10．化简：

(1)2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π

4－x ； (2)2cos 2α－1

2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭

⎫π4＋α.

解 (1)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32

·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣

⎡⎦⎤sin π6sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋cos π

6cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π6－π4＋x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫x －π12.

(2)原式＝

cos 2α

1－tan α

1＋tan α⎣

⎡⎦⎤

1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝

cos 2α

cos 2α

1＋sin 2α

(1＋sin 2α)

＝1.

11．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫

π4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间；

(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭

⎫π

2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

3＋1， 周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2，

解得单调递增区间为⎣

⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π

12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π

3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．

而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．

12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫

α2＋π3的值．

解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0. 而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解之，得tan α＝－43，或tan α＝1

2. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0， 故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－4

3

.

(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α

2

＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－25

5

，

cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π

3 ＝－255×12－55×32＝－25＋1510

.