几何与代数教学大纲

线性代数(B)教学大纲

（课程编号学分：2；上课32；习题课0，实验0；课外上机：0）

东南大学数学系

一．课程的性质与目的

本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是工科非电类专业学生本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。

二．课程内容的教学要求

1．行列式

（1）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；

（2）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；

（3）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；

（4）掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；

（5）掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；

（6）理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。

2．矩阵

（1）理解矩阵的概念；

（2）理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；

（3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；

（4）理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；

（5）了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；

（6）了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。

3．矩阵的初等变换与Gauss消元法

（1）理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系；

（2）理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；

（3）了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；

（4）了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；

（5）理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；

（6）熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。

4．向量组的线性相关性

（1）理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；

（2）理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；

（3）理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；

（4）理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；

（5）理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；

（6）理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式

的求法；

（7）知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解

空间的基及它们的维数；

（8）知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。

5．相似矩阵和二次型

（1）理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质；

（2）理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握Schimidt正交化方法；

（3）理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质；

（4）理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质；

（5）理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；

（6）熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；

（7）熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法；

（8）理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法；

（9）理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念；

（10）理解矩阵间的合同关系的概念；

（11）理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法；

（12）掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；

（13）理解惯性定理的结论，掌握判断实对称矩阵合同的方法；

（14）理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。三．上机实习要求

暂无上机要求

四．能力培养要求

1．逻辑思维能力的培养：主要根据线性代数理论特有的逻辑体系，尤其是通过向量组

的线性相关性、矩阵的邓加、相似、相合关系等内容的教学，培养学生的逻辑思维能力。

2．抽象思维能力的培养：在要求学生理解线性代数特有的思维方式的同时，让学生体会如何从具体的实际问题以及直观的几何问题抽象、概括、提炼出代数问题，进而寻求适用于解决更一般问题的代数方法。

3．叙述表达能力的培养：注重培养学生用代数的语言表达自己的思想、描述具体的数学问题的能力，并特别要注意表达方式的条理性、逻辑性和准确性。

4．自我学习能力的培养：利用相关内容的教学，让学生体会代数的思维特点，体会代数的思维方式，增强自我学习的能力。

5．实践创新能力的培养：培养学生用代数方法思考、解决实际问题的能力。

五．建议学时分配

六．考核方式

总评成绩=期末考试成绩*90%+平时成绩*10%