导数的概念、运算及几何意义

导数的概率、运算以及几何意义 １．函数的平均变化率：
一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，
则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x y
x x +∆-∆=
∆∆称作函数()y f x =在区间[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）上的平均变化率．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．
如果当x ∆趋近于0时，平均变化率
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆趋近于一个常数，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．
“当x ∆趋近于零时，00()()
f x x f x x
+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：
“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()
lim x f x x f x l x
∆→+∆-=∆”，符号“→”
读作“趋近于”．
函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作
“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()
lim ()x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆”．
考点1： 导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +∆，和[]33x +∆，上的平均变化率 ①()f x x = ②2()f x x =
【例1】 平均变化率与瞬时变化率
⑴ 求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．
① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1
()f x x
=
⑤
()f x ⑵ 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．
① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x =④1
()f x x
=⑤()f x 【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出
对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．
【总结】由例1⑵看出一次函数的增长速度不变，二次函数三次函数的增长速度越来越快，
提高班学案1
【拓1】 求函数3()2f x x x =-在[]11x +∆，上附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与
导数．
尖子班学案1
【拓2】已知()()40f x kx k =+≠，且()f x 在区间[]12-，上的平均变化率是4，则k =＿＿＿＿．
导数的运算
1.常用函数的推导过程如下：
()()00lim lim 0x x f x x f x C C
C x
x ∆→∆→+∆--'===∆∆；
()()()00lim lim 1x x f x x f x x x x
x x x
∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆；
()()()()()2
22
000lim lim lim 22x x x f x x f x x x x x x x x x x
∆→∆→∆→+∆-+∆-'===+∆=∆∆； ()()()2000111111lim lim lim x x x f x x f x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→'+∆--⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪∆∆+∆+∆⎝⎭⎝
⎭；
()(
)
lim
lim
lim x x x f x x f x x
∆→∆→∆→+∆-'
====
∆
2．基本初等函数的导数公式
⑴若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； ⑵若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；
⑶若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地， 若()e x f x =，则()e x f x '=；
⑷若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；特别地，若()ln f x x =，则()1
f x x
'=； ⑸若()sin f x x =，则()cos f x x '=； ⑹若()cos f x x =，则()sin f x x '=-
3．导数的四则运算法则：其中()()f x g x ，
都是可导函数，C 为常数： (()())()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；
[()]()Cf x Cf x ''=；2
()()()()()
()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥（()0g x ≠） 考点2： 导数的运算【例2】
导数的运算
⑴ 求下列函数的导数
①2012y x = ②2x y = ③e x y = ④ln y x = ⑵ 求下列函数的导数
①3cos y x x =+ ②()
231e x y x x =-+ ③e sin x y x =
④ln x
y x
=
⑤()tan f x x = ⑶ 求下列函数的导数
① ()2211f x x x x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
②
)
11y ⎫
=
-⎪
⎭
③()sin cos 22
x x
f x x =-
考点3： 导数的几何意义
【例3】 导数等于切线斜率
⑴ 如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)f '=．
⑵ 如图，曲线()y f x =在点(2(2))M f ，处的切线方程
是23y x =-，(2)(2)f f '+=．
⑶ 函数sin y x =
的图象上一点π3⎛ ⎝⎭处的切线的斜率为（ ）
A ．1 B
C
D ．1
2
⑷ 设()f x 是偶函数．若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为2，则该曲线在点
()()11f --，处的切线的斜率为．
考点突破，作业训练
1.1
ln 3sin )2();12)(43(22
2
+=+-=x x
x x y x x x y ）；（
2.已知曲线3
4313+=
x y （1）求曲线在点p(2,4)处的切线方程
（2）求曲线过点p(2,4)的切线方程 （3）求斜率为1的曲线的切线方程
3.已知函数），的图像在点（)1(11)(3
f x ax x f ++=处的切线过点（2,7），则=a
4.已知函数)1(,ln )1(2)(),()('
'
'
f x xf x f x f x f 则且满足的导函数为+=。