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中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题

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完整一线三等角型相似初三压轴题

完整一线三等角型相似初三压轴题

典型例题【例1】如图，等边△ ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，/ EDF=60° (1) 求证：△ BDE CFD (2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE【思路分析】 本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/ B= / C=Z EDF=60再用外角可证/ BED= / CDF ，可证△ BDE 与厶CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：(1)：公 ABC 是等边三角形，/ EDF=60 °•••/ B= / C=Z EDF =60 ° •••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC(2)v^ BDECFD• FC CD "BD BE •/ BD=1 , FC=3, CD=5 • BE=53点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ ABC 中，AB=AC , D 是BC 中点，/ EDF = / B ,求证：△ BDE DFE【思路分析】 比较例1来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以△ BDE 与 △ CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件可证得△ BDE 和厶DFE 相似 解:•/ AB=AC ,Z EDF = / B•••/ B= / C=Z EDF•••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC •••△ BDE CFDBE DE 又••• BD=CDCD DF BE DEBE BD•-即BD DF DE DF•••/ EDF = Z B中考热点5――三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变 式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

中考相似三角形压轴题+答案

中考相似三角形压轴题+答案

相似1-10一．解答题（共10小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．第1页（共20页）3．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．第2页（共20页）4．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．5．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．第3页（共20页）6．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．7．如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．第4页（共20页）8．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．9．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C 的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n 的代数式表示）第5页（共20页）分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．第6页（共20页）六六六六六六-相似1-10参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．【解答】解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，=×﹣=×（10+2）×8﹣×10×4﹣=24（cm2）；（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）=8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t，FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，S=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．即S=﹣8t+32（2＜t＜4）．（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，①若=，即=，解得t=．第7页（共20页）所以当t=时，△EBF∽△FCG，②若=即=，解得t=．所以当t=时，△EBF∽△GCF．综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴，∴BE=CE=a，∴BC=3a，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，第8页（共20页）在Rt△APQ中，PQ==a．3．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当D在AC上时，第9页（共20页）∵DE=DF，∴EC=CF=EF=5，∴t=5．（2）存在．∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，AQ=8﹣t，当0≤t＜5时，①AP=AQ，t=8﹣t，∴t=4；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，AH=HQ=AQ=4﹣t，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴=，∴=，∴t=；③AQ=PQ，作QI⊥AB于I，AI=PI=AP=t（等腰三角形的性质三线合一），∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AIQ∽△ACB，∴=，∴=，∴t=，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，同理可求出，FC=QC=10﹣t，BP=10﹣t，PH=（10﹣t）=8﹣t，第10页（共20页）BH=（10﹣t）=6﹣t，QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣（8﹣t）=2﹣，PG=HC=6﹣（6﹣t）=t，PQ=AQ=8﹣（10﹣t）=t﹣2，∴PQ 2=PG 2+QG 2，（t﹣2）2=（t）2+（2﹣）2，解得：t=秒，其它情况不符合要求，综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形．（3）由勾股定理：CE=CQ=t，∵sinA===，cosA===，∴PW=t，AW=t，∴QW=8﹣t﹣t=8﹣t，∴PQ2=PM2+QW2=（t）2+（8﹣t）2=t2﹣t+64，PE2=PH2+EH2=（t+8﹣t）2+（t﹣t）2=t2﹣t+64，①∠PQE=90°，在Rt△PEQ中PQ2+QE2=PE2，∴t1=0（舍去）t2=；②∠PEQ=90°，PE2+EQ2=PQ2t1=0（舍去）t2=20（舍去）∴此时不存在；③当∠EPQ=90°时PQ2+PE2=EQ2，t1=（舍去）t2=4，综合上述：当t=或t=4时，△PQE是直角三角形．第11页（共20页）4．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，∴∠ABA1=∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴，∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=；（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，第12页（共20页）在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7．5．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2t．则==，又∵AO=10，AB=20，∴==．∴=．又∵∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．第13页（共20页）（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，∴AM=．在△APQ中，∠AQP=90°，∴AQ=AP•cos30°=2t，∴QM=AC﹣2AQ=20﹣4t．由AQ+QM=AM得：2t+20﹣4t=，解得t=．∴当t=时，点P、M、N在一直线上．②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．设l交AC于H．如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．∴MH=2NH．得20﹣4t﹣=2×，解得t=2．如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．∴MH=2PH，同理可得t=．故当t=2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=8﹣2t，PD=t．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【解答】解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，第14页（共20页）∴QB=8﹣2t，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，∴∠APD=90°，∴tanA==，∴PD=t．故答案为：（1）8﹣2t，t．（2）不存在在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，即，∴AD=t，∴BD=AB﹣AD=10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t=，解得：t=．当t=时，PD==，BD=10﹣×=6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=当PD=BQ，t=时，即=8﹣，解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6．∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．第15页（共20页）7．如图，正三角形ABC的边长为3+．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．【解答】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=x．∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+x+x=3+，∴x=，即x=3﹣3，（x≈2.20也正确）（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则NE=，PE=n．∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．∴S=m2+n2=PN2，延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m﹣n）2．∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3．∴S=[32+（m﹣n）2]=+（m﹣n）2①当（m﹣n）2=0时，即m=n时，S最小．∴S最小=；②当（m﹣n）2最大时，S最大．即当m最大且n最小时，S最大．∵m+n=3，由（2）知，m最大=3﹣3．第16页（共20页）∴S最大=[9+（m最大﹣n最小）2]=[9+（3﹣3﹣6+3）2] =99﹣54…．（S最大≈5.47也正确）综上所述，S最大=99﹣54，S最小=．8．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．【解答】解：（1）PC与PD的数量关系是相等．证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N．∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度．∴∠1+∠CPN=90°，而∠2+∠CPN=90°，∴∠1=∠2．∵OM是∠AOB的平分线，∴PH=PN，又∵∠PHC=∠PND=90°，∴△PCH≌△PDN；∴PC=PD．第17页（共20页）（2）∵PC=PD，∠CPD=90°，∴∠3=45°，∵∠POD=45°，∴∠3=∠POD．又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG．∴．∵，∴．（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP=1；如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP=﹣1．9．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C 的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为180cm．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n第18页（共20页）的代数式表示）【解答】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，∴=，解得x=180．（4分）（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴=，解得y=12cm；（3分）（3）记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得（1分）（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣=1﹣x=（1分）．10．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F 分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF 于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．【解答】解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，第19页（共20页）∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．∵△BMA∽△CMG，∴．∴．∴CG=．∴在Rt△BGC中，BG==．第20页（共20页）。

中考数学专题复习一线三等角专题练习(含答案)

中考数学专题复习一线三等角专题练习(含答案)

—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。

5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

一线三等角相似、三垂直模型--2024年中考数学压轴题专题及参考答案

一线三等角相似、三垂直模型--2024年中考数学压轴题专题及参考答案

一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题一线三等角概念1“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。

类型一：三垂直模型1(雅礼)如图，点A是双曲线y=8xx<0上一动点，连接OA，作OB⊥OA，使OA=2OB，当点A在双曲线y=8xx<0上运动时，点B在双曲线y=kx上移动，则k的值为.2(青竹湖)如图，∠AOB=90°，反比例函数y=−4xx<0的图象过点A−1,a，反比例函数y=k xk>0,x>0的图象过点B，且AB⎳x轴，过点B作MN⎳OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y=kx于另一点，则ΔOBC的面积为.3(广益)如图，点A，B在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．4(长沙中考2020)在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把ΔADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC 边上的点F．(1)求证：ΔABF∼ΔFCE(2)若AB=23,AD=4，求EC的长；(3)若AE-DE=2EC，记∠BAF=α,∠FAE=β，求tanα+tanβ的值．5(广益)矩形ABCD中，AB=8，AD=12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；(2)如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图26(长郡)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点Q是射线OC上一点，OQ=182，点P是x轴正半轴上一点，tan∠POC=1，连接PQ，⊙A经过点O且与QP相切于点P，与边OC相交于另一点D．(1)若圆心A在x轴上，求⊙A的半径；(2)若圆心A在x轴的上方，且圆心A到x轴的距离为2，求⊙A的半径；(3)在(2)的条件下，若OP<10，点M是经过点O，D，P的抛物线上的一个动点，点F为x轴上的一个动点，若满足tan∠OFM=12的点M共有4个，求点F的横坐标的取值范围．7(麓山国际)有一边是另一边的2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为2，则该智慧三角形的面积为；(2)如图①，在△ABC中，∠C=105°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3，0)，点B，C在函数y=kx上(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为2．当△ABC是直角三角形时，求k的值．类型二：一线三锐角8(师大梅溪湖)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=22，AD=AE，∠DAE=90°，CE=5，则CD的长为.(提示，作辅助线构造一线三等角的相似)9(青竹湖)如图，在△ABC中，∠B=∠ACB=45°，AB=62，点D是BC上一点，作DE⊥AD交射线AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．(1)求证：AB•CF=BD•CD；(2)如图2，当∠AED=75°时，求CF的长；(3)若CD=3BD，求AFEF．10(广益)如图1，已知直线y=kx+2k(k为常数，k≠0)与x轴相交于点A，点B与点A关于y轴对称，点C在y轴的正半轴上，OC=3OA，连接AC，BC。

初三相似三角形压轴题

初三相似三角形压轴题

初三相似三角形压轴题示例文章篇一：哎呀，初三的相似三角形压轴题，那可真是个大难题！就像一只超级凶猛的大怪兽，每次看到它我都头疼得要命！记得有一次，数学老师在课堂上讲相似三角形压轴题，我眼睛瞪得大大的，耳朵竖得直直的，心里想着：“哼，我今天一定要把你拿下！”老师在黑板上画了一个复杂得要命的图形，边讲边写，我跟着老师的思路，不停地在本子上记呀算呀。

同桌小明凑过来，小声说：“这题也太难了吧，我感觉我脑袋都要炸啦！”我白了他一眼说：“怕啥，咱们一起努力，还能搞不定它？”老师讲完后，让我们自己做练习。

我咬着笔头，死死地盯着题目，感觉那些线条和角度都在嘲笑我：“哈哈，你解不出来吧！”我心里那个气呀，暗暗发誓：“我就不信了，我一定要把你们征服！”我又重新看了一遍题目，把条件一个一个地罗列出来，就像准备战斗的士兵整理自己的武器一样。

突然，我好像发现了一点线索，“这两个角难道是相等的？”我兴奋地自言自语。

我赶紧顺着这个思路往下算，可是算着算着又卡住了。

我着急得直跺脚，“哎呀，怎么又不行啦！”这时候，后桌的小红拍了拍我的肩膀说：“别着急，咱们再仔细想想。

”我们三个凑在一起，你一言我一语地讨论起来。

“咱们把这个边设为x 试试？”“不行不行，这样更复杂啦！”“那从这个相似比入手呢？”经过一番激烈的讨论，我们终于找到了方法，算出了答案。

那一刻，我高兴得差点跳起来，“哈哈，我们成功啦！”我觉得呀，相似三角形压轴题虽然难，但只要我们不害怕，多思考，多和同学们一起讨论，就一定能战胜它！这不就像我们爬山一样吗？山路崎岖陡峭，但只要我们一步一个脚印，坚持不懈，总能爬到山顶，看到美丽的风景！所以，面对相似三角形压轴题，咱们可不能退缩，要勇往直前，相信自己一定能行！示例文章篇二：哎呀呀，一听到“初三相似三角形压轴题”这几个字，我的脑袋都要大啦！这可真是个让人头疼的家伙！你知道吗？每次老师在课堂上讲到相似三角形压轴题的时候，我感觉就像是进入了一个神秘又复杂的迷宫。

中考数学专题复习练习 三等角型相似三角形题型压轴题

中考数学专题复习练习 三等角型相似三角形题型压轴题

三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BE CDBD FC ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE =35 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFDCA DB E FD∴DF DECD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBDDE BE = ∵∠EDF =∠B ∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题完整版

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题完整版

中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BECD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5∴BE =35点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DFBD DE BE = ∵∠EDF =∠BCA DB E F∴△BDE ∽△DFE点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ； （2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x（3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

一线三等角型相似初三压轴题

一线三等角型相似初三压轴题

中考热点5――三等角型相似三角形式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ ABC 中，边长为6, D 是BC 上动点，/ EDF=60° (1) 求证：△ BDE CFD (2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE【思路分析】 本题属于典型的三等角型相似，由题意可得/ B= / C=Z EDF=60再用外角可证/ BED= / CDF ，可证△ BDE 与厶CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：(1)：公 ABC 是等边三角形，/ EDF=60 °•••/ B= / C=Z EDF =60 ° •••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC(2)v^ BDECFD• FC CD "BD- BE•/ BD=1 , FC=3, CD=5BE=5点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ ABC 中，AB=AC , D 是BC 中点，/ EDF = / B ,求证：△ BDE DFE【思路分析】 比较例1来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以△ BDE 与 △ CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件可证得△ BDE 和厶DFE 相似 解:•/ AB=AC ,Z EDF = / B•••/ B= / C=Z EDF•••/ EDC=Z EDF + / FDC = / B+ / BED •••/ BED = Z FDC •••△ BDE CFD BE DE 又••• BD=CDCD DF BE DEBE BD•-即BD DF DE DF•••/ EDF = Z B三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角 相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变 A•••△BDE s\ DFE点评：三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D是底边中点则有三对相似三角形，△ BDE与厶CFD相似后若得_BD = 匹加上BD=CD可证得△ CFD与厶DFE相似CF DF【例3】如图，在△ ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，使/ APM = Z B;(1)求证：△ ABPPCM ;(2)设BP=x, CM=y .求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域.(3)当厶APM为等腰三角形时，求PB的长. 【思路分析】第(1) (2)小题都是用常规的三等角型相似的方法。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习(含答案解析)

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中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习（含答案解析）一．平行线分线段成比例（共1小题）1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE 交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为．【答案】5【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．二．相似三角形的性质和判定2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF ＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．【答案】①③④【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EF于点P．设正方形ABCD的边长为2a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∵AE＝EB＝a，BC＝2a，∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠ECB+∠DCF＝90°，∵∠DCF+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠ECB，∴tan∠CDF＝，故①正确，∵BE∥CD，∴＝＝＝，∵EC＝＝＝a，BD＝CB＝2a，∴EH＝EC＝a，BH＝BD＝a，DH＝BD＝a，在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝，CD＝2a，∴CF＝a，DF＝a，∴HF＝CE﹣EH﹣CF＝a﹣a﹣a＝a，∴S△DFH＝•FH•DF＝×a×a＝a2，∵S△BEH＝S△ECB＝××a×2a＝a2，∴S△EBH：S△DHF＝a2：a2＝5：8，故②错误．∵FM平分∠DFE，GQ⊥EF，GP⊥FE，∴GQ＝GP，∵＝＝，∴＝，∴BG＝DG，∵DM∥BN，∴＝＝1，∴GM＝GN，∵S△DFH＝S△FGH+S△FGD，∴×a×a＝××GP+×a×GQ，∴GP＝GQ＝a，∴FG＝a，过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，∴3m＝a，∴m＝a，∴FN＝m＝a，∴MG＝GN＝GF+FN＝a+a＝a，∴MG：GF：FN＝a：a：a＝5：3：2，故③正确，∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠HCD，∵＝＝，＝＝，∴＝，∴△BEF∽△HCD，故④正确．故答案为：①③④．3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，∴∠EDC＝∠HBC，∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDC＝135°，故①正确；∵△EDC旋转得到△HBC，∴EC＝HC，∠ECH＝90°，∴∠HEC＝45°，∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠ECD＝∠ECF，∴△EFC∽△DEC，∴，∴EC2＝CD•CF，故②正确；设正方形边长为a，∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，∵∠GBH＝∠EDC＝135°，∴△GBH∽△EDC，∴，即，∵△HEC是等腰直角三角形，∴，∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，∴△HBG∽△HDF，∴，即，解得：EF＝3，∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，∴∠EDM＝45°，∵ED＝HB＝2，∴，∵EF＝3，∴，∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠EFC，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D．4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，故①正确；当AM⊥BC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，∴MN的最小值是，故②正确；∵AM⊥BC时，MN的值最小，此时BM＝CM，∴CN＝BM＝CB＝CD，∴DN＝CN，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴＝＝＝，∴S△CMN＝S△CBD，∵S△CBD＝S菱形ABCD，∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，故③正确；∵CB＝CD，BM＝CN，∴CB﹣BM＝CD﹣CN，∴CM＝DN，∵OM⊥BC，∴∠CMO＝∠COB＝90°，∵∠OCM＝∠BCO，∴△OCM∽△BCO，∴＝，∴OC2＝CM•CB，∴OA2＝DN•AB，故④正确，故选：D．5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB ＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．【答案】A【解答】解：如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7；故选：A．6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE ＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④【答案】B【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正确；设AD＝2a，AB＝2b，则＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD，故②错误；在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，解得：x＝a，∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，在Rt△AGE中，GE＝＝a，∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；无法证明∠FCO＝∠GCE，∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；综上，正确的是①③④，故选：B．7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正确；取AC的中点K，如图：在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四点共圆，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四点共圆，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，故正确的有：①②④，故选：D．8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．∵＝，∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y﹣5k，∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C ＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4则A'B'＝2，故选：A．9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B 点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4【答案】B【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AE∥BC，AE＝BC，∴AE＝CH，∴四边形AHCE是平行四边形，∵∠AHC＝90°，∴四边形AHCE是矩形，∴EC⊥BF″，AH＝EC，∵BC＝2，S△ABC＝2，∴×2×AH＝2，∴AH＝EC＝2，∵∠BEF″＝∠ECB＝∠ECF″，∴∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，∴∠BEC＝∠F″，∴△ECB∽△F″CE，∴EC2＝CB•CF″，∴CF″＝＝6，∴M′M″＝3故选：B．10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（）A．3B．4C．5D．【答案】B【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四边形DHFE为平行四边形，∴HF＝DE，DH＝EF＝．∵点E是边CD的中点，∴DE＝CD，∴HF＝CD＝AB．∵BF：CE＝1：2，∴设BF＝x，则CE＝2x，∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，∴AF＝AB+BF＝5x．∴AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，∵DH2+AH2＝AD2，∴．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），∴x＝1．∴AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4，故选：B．11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F 是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE ＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（）A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤【答案】B【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．∴∠BOE+∠EOC＝90°，∵OE⊥OF，∴∠FOC+∠EOC＝90°．∴∠BOE＝∠COF．在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF．在△BAE和△CBF中，，∴△BAE≌△CBF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF．∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠ABP+∠BAE＝90°，∴∠APB＝90°．∴AE⊥BF．∴①的结论正确；②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，∴点A，B，P，O四点共圆，∴∠APO＝∠ABO＝45°，∴②的结论正确；③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，∵∠APO＝45°，OH⊥OP，∴OH＝OP＝HP，∴HP＝OP．∵OH⊥OP，∴∠POB+∠HOB＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOH+∠HOB＝90°．∴∠AOH＝∠BOP．∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，∴∠OAH＝∠OBP．在△AOH和△BOP中，，∴△AOH≌△BOP（ASA），∴AH＝BP．∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．∴③的结论正确；④∵BE：CE＝2：3，∴设BE＝2x，则CE＝3x，∴AB＝BC＝5x，∴AE＝＝x．过点E作EG⊥AC于点G，如图，∵∠ACB＝45°，∴EG＝GC＝EC＝x，∴AG＝＝x，在Rt△AEG中，∵tan∠CAE＝，∴tan∠CAE＝＝＝．∴④的结论不正确；⑤∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．∴．∴．由①知：△BOE≌△COF，∴S△OBE＝S△OFC，∴．即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．∴⑤的结论正确．综上，①②③⑤的结论正确．故选：B．12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为．【答案】【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E 作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），∵E为OD中点，∴E（﹣，），设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：，解得，∴直线CE解析式为y＝x+，在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，∴G（﹣1，），∴GE＝＝，∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，∵∠EMC＝∠CNF＝90°，∴△EMC≌△CNF（AAS），∴ME＝CN，CM＝NF，∵E（﹣，），C（1，1），∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，∴F（，﹣），∵H是EF中点，∴H（，0），∴OH＝，∴＝＝．故答案为：．13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．【答案】3或2【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，当∠APQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，∴△CAP∽△BAC，∴，即，∴AP＝3，当∠AQP＝90°时，如图2，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DPEC是矩形，∴CQ＝QP，∵∠AQP＝90°，∴AQ垂直平分CP，∴AP＝AC＝2，综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，故答案为：3或2．14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD ⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．【答案】或5【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假设BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四点共圆，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5和，∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，故答案为：5或．15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中点，∴EG＝BG＝EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴＝，∴＝，∴BF＝6，∴EF＝＝＝2（cm），∴BG＝EF＝（cm），故答案为：．16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF 恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．【答案】【解答】解：如图，连接DQ，∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，∴DE＝DF，∠FDE＝90°，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，∴DF＝DQ，∵AD＝AB，∠BAC＝∠＝45°，AQ＝AQ，∴△ABQ≌△ADQ（SAS），∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠FDC＝∠AQB，又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，∴△BAQ∽△PFD，∴，∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，∴3＝BQ•BQ，∴BQ＝，故答案为：．17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．【答案】【解答】解：如图，设AD交A′B′于点Q．设BN＝NB′＝x．∵＝，∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，∴（3k﹣x）2+k2＝x2，∴x＝k，∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，∴∠DB′Q＝∠CNB′，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DB′Q∽△CNB′，∴DQ：DB′：QB′＝CB′：：NB′＝3：4：5，∵DB′＝k，∴DQ＝k，∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，∴△DQB′∽△A′QM，∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，设AM＝MA′＝y，则MQ＝y，∵DQ+QM+AM＝3k，∴k+y+y＝3k，∴y＝k，∴＝＝＝，解法二：连接BB′，过点M作MH⊥BC于点H．设AB＝CD＝6m，CB＝9m，设BN＝NB′＝n，则n2＝（3m）2+（9m﹣n）2，∴n＝5m，CN＝4m，由△BB′C∽△MNH，可得＝2m，∴AM＝BH＝3m，∴＝＝＝，故答案为：．18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为．【答案】2+2【解答】解：如图，连接AP，由图2可得AB＝BC＝4cm，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴，∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），∴AP＝2﹣2＝BP，（负值舍去），∴t＝＝2+2，故答案为：2+2．19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为，DH的长为．【答案】90°，．【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．∵∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，∴＝，∴△DAF∽△BAE，∴∠ADF＝∠ABE，∵∠DOH＝∠AOB，∴∠DHO＝∠BAO＝90°，∴∠BHD＝90°，∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°，∴EF＝＝5，∵EF⊥AD，∴•AE•AF＝•EF•AJ，∴AJ＝，∴EJ＝＝＝，∵EJ∥AB，∴＝，∴＝，∴OJ＝，∴OA＝AJ+OJ＝+＝4，∴OB＝＝＝4，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2，∵cos∠ODH＝cos∠ABO，∴＝，∴DH＝．故答案为：90°，．20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．【答案】①②③【解答】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是．【答案】②③【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度数不确定，∴∠ADC与∠CAD不一定相等，∴AC与CD不一定相等，故①错误；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，∴AD2＝AF•BC，故②正确；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH•BH，而BH与AC不一定相等，故④不一定正确；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH•BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正确；本题正确的结论有：②③故答案为：②③．22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是．（请填写序号）【答案】①②【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正确；②由①知：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴，∴，∴AG＝3，∴AG＝，∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△DOG，∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，故②正确；③如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△CGF∽△ABF，∴，∴，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正确；④如图2，由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，则点P在⊙I上运动，点O、P、I共线时，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝＝3，∴PI＝IH＝，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝＝＝，∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，故④不正确，故答案为：①②．三．相似三角形的应用23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝km．（2）k＝．【答案】1.8；．【解答】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，∵点P，A，B，Q共线，∴∠MBQ＝∠ZBA，又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，∴△BMQ∽△BZA，∴＝k＝＝＝．故答案为：1.8；．24．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD ＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．【答案】10，（10+）【解答】解：解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN ⊥BD于N，则OB＝PN，∵AC∥BD，∴AC∥OP∥BD，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴OM＝×15＝10；∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，∵HC∥EG，∴∠HCM＝∠EGF，∵∠CMH＝∠EFG＝90°，∴△HMC∽△EFG，∴＝＝，即＝，∴HM＝，∵BD∥EG，∴∠BDC＝∠EGF，∴tan∠BDC＝tan∠EGF，设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，∴x＝13，∴x＝，∴AB＝CN＝2，∴OA＝OB＝AB＝，在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝＝，∴＝，∴OH＝，∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案为：10，（10+）．49。

初中数学《相似三角形》压轴30题含解析

初中数学《相似三角形》压轴30题含解析

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为　12n +1　．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是　2或23　．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是　34　．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。

中考数学相似三角形压轴题

中考数学相似三角形压轴题

中考数学中的相似三角形压轴题通常是考察学生综合应用相似三角形的判定和性质，以及相关的代数和几何知识来解决问题的能力。

以下是一个可能的中考数学相似三角形压轴题的例子：
题目：在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，点D是BC的中点，AF = BE，连结AD、DE、EF，试判断△DEF的形状，并说明理由。

解：
第一步，由题意知△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，所以
AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=45°=∠B（等腰三角形三线合一）。

第二步，根据题意AF=BE，结合第一步的结论，我们可以得到△BED≌△AFD （SAS）。

因此，ED=FD，∠ADF=∠BDE。

第三步，根据第二步的结论和角的性质，我们可以得到∠EDF=180°-∠ADF-
∠BDE=180°-∠BDE-∠BDE=∠ADB=90°。

第四步，综合第二步和第三步的结论，我们可以得到△DEF是等腰直角三角形。

注意：以上解答过程仅供参考，实际解题过程可能因题目条件和要求的不同而有所差异。

在解题时，应仔细审题并灵活运用所学的相似三角形的判定和性质来解决问题。

同时也要注意书写规范和步骤的完整性。

压轴题一线三等角三直角型相似三角形

压轴题一线三等角三直角型相似三角形

专题八《“一线三等角、三直角”相似三角形》姓名________学号________三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示。

及等角为直角时的特例。

如图：以上各图中在一条直线上的三个角如果相等，那么对应的三角形相似，请你证明. 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE ∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE 【例2】如图，在梯形ABCD 中，AD ABC ∆5==AC AB 8=BC P Q CB AC P C BABC APQ ∠=∠①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．． ABC备用图ADDC F AB CD MEFCB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.【例4】如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，5=AB ，43tan =B ，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F ．（1）求AC 和BC 的长； （2）联结EF ，当EF BE EF DEF ∆CFD ∆BE 图，在△ABC 8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2.在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQAB CDE A C FED B A C B （备用图） AC B（备用图）3. 已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H .（1）求证：CED ∆∽ADH ∆； （2）设,EC x BF y ==.①用含x 的代数式表示BH ；②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.4. 如图，在平面直角系中，直线AB ：()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时 (1)求证：ABO ∆∽BCD ∆； (2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是1316y x b =-+，求BC:AB 的值．5. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 H ABCDEF①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．。

中考数学压轴题因动点产生的相似三角形问题专项练习(含答案)

中考数学压轴题因动点产生的相似三角形问题专项练习(含答案)

中考数学压轴题因动点产生的相似三角形问题专项练习1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45° 后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q 为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB 时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB 于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长参考答案一．解答题（共36小题）【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠ PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得解得．，故直线AB的解析式为y=x+2；22（2）如图①，过点Q 作x 轴的垂线QC ，交AB 于点C ，再过点Q 作直线AB 的垂线，垂足为D ，根据条件可知△QDC 为等腰直角三角形，则QD=QC ．设Q （m ，m 2），则C （m ，m+2）．∴QC=m+2﹣m 2=﹣（m﹣ ）+ ，QD= QC= [﹣（m﹣ ）+ ]．故当m= 时，点Q 到直线AB的距离最大，最大值为；（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ 中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．①如图②，若∠PBQ=45°，过点B 作x 轴的平行线，与抛物线和y 轴分别交于点Q′、F ．此时满足∠PBQ′=45°．∵Q′（﹣2，4），F （0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT 也是等腰直角三角形．（i ）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii ）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F 为圆心，FB 为半径作圆，则P 、B 、Q′都在圆F 上，设圆F 与y 轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n ，n 2）（﹣2＜n ＜0），由FQ″=2，得n 2+（4﹣n 2）2=22，即n 4﹣7n 2+12=0．解得n 2=3或n 2=4，而﹣2＜n ＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET= AE= ，OE=1，所以OT=﹣1，解得t=1﹣；（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG= TG= a，AP=，∴ a+a= ，解得PT= a=﹣1，∴OT=OP﹣PT=3﹣，∴t=3﹣．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．2．【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO与△BHO中，，∴△ADO≌△BHO（AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；（2）解：连接AB、AF，如图1所示，∵AO是半径，AO⊥弦BF，∴∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，在Rt△ADB与Rt△BHA中，，∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB，又∵∠ABF=∠EBA，∴△BEA∽△BAF，∴= ，∴BA2=BE•BF，∵BE•BF=y，∴y=BA2，∵∠ADO=∠ADB=90°，∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，∵直径BC=8，BD=x，∴AB2=8x，则y=8x（0＜x＜4）；方法二：∵BE•BF=y，BF=2BH，∴BE•BH=y，∵△BED∽△BOH，∴= ，∴OB•BD=BE•BH，∴4x=y，∴y=8x（0＜x＜4）；（3）解：连接OF，如图2所示，∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，∵∠BHA=∠ADO=90°，∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠AEF=∠AOD，∴∠G=∠AOD，∴AG=AO=4，∵∴∠AOD=∠AOF，∴∠G=∠AOF，又∵∠GFO是公共角，∴△FAO∽△FOG，∴= ，∵AB 2=8x ，AB=AF ，∴，∴AF=2x，=解得：x=3±，∵3+＞4，舍去，∴BD=3﹣．3．【分析】（1）先通过解直角三角形求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB 的解析式；（2）作DE ∥OA ，根据题意得出= = ，求得DE ，即D 的横坐标，代入AB 的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k 1；（3）根据勾股定理求得AB 、OE ，进一步求得BE ，然后根据相似三角形的性质求得EF 的长，从而求得FM 的长，得出F 的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k 2．【解答】解：（1）∵A （3，0）、B （0，m ）（m ＞0），∴OA=3，OB=m ，∵tan ∠BAO==2，∴m=6，设直线AB 的解析式为y=kx+b ，代入A （3，0）、B （0，6）得：解得：b=6，k=﹣2∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6；（2）如图1，∵AD=2DB，∴= ，作DE∥OA，∴==，∴DE=OA=1，∴D的横坐标为1，代入y=﹣2x+6得，y=4，∴D（1，4），∴k1=1×4=4；（3）如图2，∵A（3，0），B（0，6），∴E（，3），AB==3，∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，∴OE= AB=，BE=，∵EM⊥x轴，∴F的横坐标为，∵△OEF∽△OBE，∴=，∴，∴EF=，∴FM=3﹣=．∴F（，），∴k2=×=．。

相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧

相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧

相似三角形（8大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 相似形压轴题型1．（20-21九年级上·重庆渝中·期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，2），B （－4，1），C （－1，－1）．以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A'B'C ．并把△ABC 的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )A ．（1，－6）B ．（1，－7）C ．（2，－6）D ．（2，－7）2．（23-24八年级下·山东淄博·(2)ABCD AD AB AD <<纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD 的相邻两边AD 与AB 的比值是 ．3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的12，画出缩小后的四边形111AB C D，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长；(2)在图2中，先在AB上画点F，使得CF BC=，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN 是平行四边形．4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为()1a a³，宽为1．一分为二（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a的值为______．（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a的值为______．一分为多（3）有同学说“无论a为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．一分为三（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的a 的值．5．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ¢¢¢¢，且62A Ð=°，75B Ð=°，140D Т=°，9AD =，11A B ¢¢=，6A D ¢¢=，8B C ¢¢=．(1)请直接写出：C Ð= 度；(2)求边AB 和BC 的长．6．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,1A ，()3,2B ，()2,3C （每个方格的边长均为1个单位长度），请按下列要求画图：(1)111A B C △与ABC V 关于原点O 成中心对称，画出111A B C △并写出点1A 的坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC V 放大，画出放大后的222A B C △并写出点2B 的坐标；(3)根据信息回答问题：已知ABC V 的面积为32，AB ，请直接写出222A B C △的面积和22A B 边上的高的值．压轴题型二 比例线段压轴题型1．（2020古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底0.618≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm2．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为 ．3．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果()0a c e k b d f b d f ===++¹，那么a c e k b d f++=++．理由如下：∵()0a c e k b d f b d f===++¹∴a bk =，c dk =，e fk =（第一步）∴()k b d f a c e bk dk fk k b d f b d f b d f++++++===++++++（第二步）(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，()k b d f k b d f ++=++应用了______的基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：①如果22567a b c ===，则218a b c ++=______；②已知0345x y z ==¹，求23x y z x y z -++-的值．4．（23-24九年级上··的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽1AB =．(1)黄金矩形ABCD 的长BC = ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．5．（22-23九年级上·浙江·周测）若实数a b c ，，满足a b c b c a a c b c a b +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+×+×+的值．6．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b =，求a b b +与a b a b -+的值；(2)如果(),a c a b c d b d =¹¹，求证a c b a d c =--；(3)如果a c a b d b +=+，求证a c b d=．压轴题型三 相似三角形的判定压轴题型1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ^F ，连接DF ，分析下列四个结论，①AEF CAB △∽△，②CF 2AF =；③DF DC =；④CD AC =．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角ABC V 中，4AB BC ==，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且45DAE =°∠，2AE AD =，则BD = ．3．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点C ，D 分别在边DC ，BC 上，AB AB ^，垂足为点G ．求证：ADE DCF ∽V V ．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H Ð=Ð．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E F 分别在边DC ，BC 上，10AE DF ==，7DE =，60AED Ð=°，求CF 的长．4．（2024·山西晋中·二模）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，连接EF ，点G 是线段EF 上的一个动点，连接AG ，将线段AG 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到AH ，连接HD ，GB ．猜想证明：（1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现GB HD =，请你证明这一结论；操作探究：（2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G 为线段EF 的中点时，连接FH ，试判断四边形AGFH 的形状，并说明理由；深入探究：（3）“创新小组”BG 与直线DH 交于点M ，当AHD V 为直角三角形时，请直接写出四边形AGMH 的面积．5．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形ABCD 中，120ABC Ð=°，60ADC Ð=°，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC AD =，BD 平分ABC Ð．(1)求证：DB AB CB =+；(2)如图2，过点D 作DE AB ∥，使DE BC =，连接AE ，取AE 中点 F ，连接DF ，求证：22AC DF OD =×．6．（23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD Ð=Ð=°，连接AC BD ，，过点A 作AE AC ^交CB 的延长线于点E ，求证：E ACD Ð=Ð．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，（1）中的其它条件不变，点M ，N 分别是BD EC ，的中点，连接AN AM ，，MN ．①求证：AE AC =﹔②求证：N ABE AM ∽△△．压轴题型四 相似三角形的性质压轴题型1．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知点D 在ABC V 的边BC 上，联结AD ，如果ABD △与ACD V 相似，那么下列四个说法：①BAD C Ð=Ð；②AD BC ^；③2AD BD CD =×；④22AB BD AC CD =．一定成立的是（ ）．A ．②④B ．①③C ．①②③D ．②③④2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在ABC V 中，3AC BC ==，90C Ð=°，点D 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），连接AD ，点E 在边AB 上，EDB ADC Ð=Ð．已知点H 在射线AC 上，连接EH 交线段AD 于点G ，当1CH =，且AEH BED Ð=Ð时，则BE AB = ．3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形ABCD ，点E ，点F 分别为AD ，BC 上的点，将矩形沿EF 折叠，使点B 的对应点B ¢落在CD 上，连接BB ¢．(1)如图2，当点B ¢与点D 重合时，连接BE ，试判断四边形BEB F ¢的形状，并说明理由；(2)若6AB =，8BC =，求折痕EF 的最大值．4．（23-24八年级下·山东东营·期末）综合与探究(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC CD ，上，且AE BF ^，则线段AE 与BF 的之间的数量关系为_____________；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD 中，35AB AD ==，，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且AE BF ^，请写出线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt ABC V 中，9046ABC AB BC Ð=°==，，，D 为BC 上一点，且2BD =，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点F ，交AC 于点E ，求BE 的长．5．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边ABC V ，以AC 为斜边向外作Rt ACD △，定义Rt ACD △为等边ABC V 的“关联直角三角形”，连接BD 交AC 于点E ，下面我们来研究与DE BE的值有关的问题．(1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，DE BE的值为______；(2)如图②，当“关联直角三角形”是含30°的直角三角形时，求DE BE的值；(3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若16,3DE AB BE ==，求BD 的值．6．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF Ð=°，求AC BD 的值．压轴题型五 相似三角形的应用压轴题型1．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD 为5尺，不知其深AD ．立5尺长的木CE 于井上，从木的末梢E 点观察井水水岸A 处，测得“入径CF ”为4寸，问井深AD 是多少？（其中1尺10=寸）”根据译文信息，则井深AD 为（ ）A ．500寸B ．525寸C ．550寸D ．575寸2．（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm （即17cm EF =）的词典放入高（AB ）为16cm 的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处8cm ，若此时将词典无滑动向右倒，书角H 的对应点H ¢恰为CD 中点．（1）收纳盒的长BC = ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．3．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF 的焦距为f ，主光轴l EF ^，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，2OB OD f ==，蜡烛PQ l ^（蜡烛可移动，且OQ f >），光线PG l ∥，其折射光线GC 与另一条经过光心的光线PP ¢相交于点P ¢（P Q l ¢¢^）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高()PQ 为h ，像高()P Q ¢¢为h ¢，物距()OQ ，像距()OQ ¢为v ．(1)若10cm f =，10cm h =，15cm u =，=v cm ．(2)求证111u v f+=．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象()u f >，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？4．（23-24九年级上·河北邢台·1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点在地面上，经测量得到136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．发现：连接AC ．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；探究：若32cm EF =，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?5．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，Rt ABC V 为一块铁板余料，90B Ð=°，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．6．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF //BC ，可以得到以下结论：AH EF AD BC=．拓展应用：(1)如图2，在△ABC 中，BC ＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM ，使其一边GM 在BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm 分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？压轴题型六 重心的性质压轴题型1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G 是ABC V 的重心，过点G 作MN BC ∥分别交AB AC ，于点M ，N ，过点N 作ND AB ∥交BC 于点D ，则四边形BDNM 与ABC V 的面积之比是（ ）A ．1:2B ．2:3C ．4:9D ．7:92．（2023·上海·一模）在Rt ABC △中，9030B BAC BC Ð=°Ð=°=，，1，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，设点E 、F 分别是ABC V 和ACD V 的重心，则两重心E 与F 之间的距离是 ．3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 各边的中点，连接AF CE 、交于点M ，连接AG 、CH 交于点N ，将四边形AMCN 称为平行四边形ABCD 的“中顶点四边形”．(1)求证：中顶点四边形AMCN 为平行四边形；(2)①如图2，连接AC BD 、交于点O ，可得M 、N 两点都在BD 上，当平行四边形ABCD 满足________时，中顶点四边形AMCN 是菱形；②如图3，已知矩形AMCN 为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）作图．(1)直尺作图：如图1，已知D 、E 分别为AB 、AC 中点，过点A 作AF 平分ABC V 面积；(2)直尺作图：如图2，已知AD BC ∥，在四边形ABCD 中作一点O ，使AOB COD S S =△△；(3)尺规作图：如图3，已知D 为AC 中点，点M 在BC ，在AC 上作点N 使MN 平分ABC V 面积．5．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考：三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．下面是小明证明性质的过程．如图，在ABC V 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，AD 、BE 相交于点G ，求证：13GE GD BE AD ==证明：连接ED ，∵D ，E 是边BC ，AC 的中点，∴DE AB ∥，12DE AB =（依据1）∴ABG DEGV V ∽∴12GE GD DE GB GA AB ===（依据2）∴13GE GD BE AD ==(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：依据1：______________________依据2：______________________(2)应用①如图，在ABC V 中，点G 是ABC V 中的重心，连接AG 并延长交BC 与点E ，若 3.5GE =，求AG 长．②在ABC V 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若ABC V 的面积等于30，求BOD V 的面积．6．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知ABC V 是等边三角形． P 是ABC V 的重心，连接BP CP ，并延长分别交边AC AB ，于点E ，D ．试判断：①BPD Ð的度数为 ；②线段PB PD PE ，，之间的数量关系：PB PD PE +；（填写“>”“<”或“=”）（2）如图2，若在等边ABC V 中，点E 是射线AC 上一动点（其中点E 不与点A 重合，且12CE AC <），连接BE ，作边BA 关于直线 BE 的对称线段 BD ，直线CD ，BE 相交于点 P ，试探究线段PB PC PD ，，的数量关系，并说明理由．压轴题型七 平面向量的线性运算压轴题型1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+r r r r ；B ．如果向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r r 或a b =-r r ；C ．如果a b =r r ，那么a b =r r ；D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =×¹r r ，那么a b r r P ．2．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，过点A 作AE DC ∥分别交BD 、BC 于点F 、E ，23BE BC =，设AD a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，那么向量FE uuu r 用向量a r 、b r 表示为 ．3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上．(1)填空：BA AB +uuu r uuu r ＝ ，BA AE ED DC +++uuu r uuu r uuu r uuu r ＝ ；(2)图中与AB uuu r 相等的向量是 ，与AD uuu r 相反的向量是 ；(3)求作：DC DE +uuu r uuu r （不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 是对角线AC 的中点，DO 的延长线与BC 相交于点E ，设AB a uuu r r =，AD b =uuu r r ，BE c =uuu r r ．(1)试用向量a r 、b r 、c r 表示向量：ED =uuu r ______；(2)写出图中所有与AD uuu r 互为相反向量的向量：______；(3)求作：AD OC +uuu r uuu r．（画出所求向量，并直接写出结论）5．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形ABCD 中，AB DC P ，点E 在AB 上，ED BC ∥．(1)填空：BE ED DC CB +++=uuu r uuu r uuu r uuu r ，(2)填空：BA AD DC EA ++-=uuu r uuu r uuu r uuu r ；(3)在图中直接作出AE ED AB +-uuu r uuu r uuu r ．（不写作法，写结论）6．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知点M 是△ABC 边BC 上一点，设AB uuu r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ．(1)当BM MC＝2时，AM uuuu r ＝______；（用a r 与b r 表示）(2)当AM uuuu r ＝4377a b +r r 时，BM MC ＝______；(3)在原图上作出AM uuuu r 在AB uuu r 、AC uuu r 上的分向量．压轴题型八 相似三角形的动点问题1．（2020·山西·一模）如图，在ABC V 中，8AB AC ==，6BC =，点P 从点B 出发以1个单位长度/秒的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，其中一点到达另一点即停．当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动时间为（ ）A ．2411秒B ．95秒C ．2411秒或95秒D ．以上均不对2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B A ®匀速运动；同时点Q 从点A 出发同样的速度沿A C B ®®匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为 时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．3．（2024·吉林长春·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，8AB =，6BC =，点D 为AC 中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°得线段DE ，连结PE ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)用含t 的代数式表示点P 到AC 的距离为________；(2)当点E 落在ABC V 内部（不包括边界）时，求t 的取值范围；(3)当PE 与ABC V 的一边平行时，求线段PE 的长度；(4)当经过点E 与ABC V 的一个顶点的直线平分ABC V 面积时，直接写出t 的值．4．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形ABCD 中，4AB ＝厘米，3BC ＝厘米，点E 从A 出发沿AB BC -匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F 从C 出发沿对角线CA 向A 匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE DF EF 、、，设运动时间为t 秒．请解答以下问题：(1)当0 2.5t ＜＜时①t 为何值时，EF AD ∥；②设DEF V 的面积为y ，求y 关于t 的函数；5．（2023·吉林松原·模拟预测）已知ABC V 中，90C Ð=°，3cm AC =，4cm CD =，BD AD =．点F 从点A 出发，沿AC CD -运动，速度为1cm/s ，同时点E 从点B 出发，沿BD DA -运动，运动速度为1cm/s ，一个点到达终点，另一点也停止运动．设AEF △ 的面积为S 2cm ，点E ，F 运动时间为t s ．(1)求BD 的长；(2)用含t 的代数式表示DE ；(3)求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．6．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点K 在CD 边上．且73CK =．点M N ，分别在,AB BC 边上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速运动，点E 在CD 边上随P 移动，且始终保持^PE AP ；点Q 从点D 出发沿DC 匀速运动，点P Q ，同时出发，点Q 的速度是点P 的一半，点P 到达点N 时停止，点Q 随之停止．设点P 移动的路程为x ．(1)当点Q 与点K 重合时，通过计算确定点P 的位置；(2)若点P 在BN 上，当BP CE =时，如图2，求x 的值；(3)在点P 沿折线MB BN -运动过程中，求点Q ，E 的距离（用含x 的式子表示）；(4)已知点P 从点M 到点B 再到点N 共用时20秒，请直接写出点K 在线段QE 上（包含端点）的总时长．。

北师大版九年级数学上册《相似三角形》压轴练习题(附答案)

北师大版九年级数学上册《相似三角形》压轴练习题(附答案)

北师大版九年级数学上册《相似三角形》压轴练习题（附答案）一综合题1．在如图的方格纸中△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(−2，−1)，B(−1，−3)△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．( 1 )在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为．( 2 )以原点O为位似中心在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2使它与△OAB的位似比为2：1；( 3 )△OAB的内部一点M的坐标为(a，b)直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为．2．（2022九上·济南期末）如图1 长宽均为3cm 高为8cm的长方体容器放置在水平桌面上里面盛有水水面高为6cm 绕底面一棱进行旋转倾斜后水面恰好触到容器口边缘图2是此时的示意图将这个情景转化成几何图形如图3所示．（1）利用图1 图2所示水的体积相等求DE的长；（2）求水面高度CF．3．（2022九上·济南期末）如图点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF=1：2，AE=√2①求AB的长；②求△EBC的面积．4．（2022九上·济南期末）如图直线y=k1x+b与双曲线y=k2x交于A B两点已知点A的横坐标为−3点B的纵坐标为−3直线AB与x轴交于点C 与y轴交于点D(0，−2)，tan∠AOC=13．（1）求双曲线和直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点△OCP的面积是△ODB的面积的3倍求点P的坐标．（3）若点E在x轴的负半轴上是否存在以点E C D为顶点构成的三角形与△ODB相似？若存在求出点E的坐标；若不存在请说明理由．5．如图AD、BE是ΔABC的高连接DE．（1）求证：ΔACD∽ΔBCE；（2）若点D是BC的中点CE=3，BE=4求AB的长．6．（2022九上·平阴期中）如图在直角三角形ABC中直角边AC=3cm，BC=4cm．设P Q分别为AB BC上的动点在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动它们移动的速度均为每秒1cm 当Q点到达C点时P点就停止移动．设P Q移动的时间t 秒．（1）当t为何值时△PBQ是以∠B为顶角的等腰三角形？（2）△PBQ能否与直角三角形ABC相似？若能求t的值；若不能说明理由．7．（2022九上·济南期中）（1）[问题背景]如图①已知△ABC∽△ADE求证：△ABD∽△ACE．（2）[尝试应用]如图②在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F 点D在BC边上ADBD=√3．①填空：AEBD=；②求DFCF的值．8．（2022九上·章丘期中）如图在正方形ABCD外取一点E 连接DE AE CE过点D作DE的垂线交AE于点P 交AB于点Q DE=DP=1，PC=2√5．（1）求证：①△APD≌△CED；②求∠AEC的大小；（2）求正方形ABCD的面积；（3）求线段PQ的长．9．如图Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=8cm．点P从点C出发以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动同时点Q从点B出发以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动设点P Q运动时间为t 当一个点到达终点时另一个点随之停止．（1）求经过几秒后△PCQ的面积等于16cm2？（2）经过几秒△PCQ与△ABC相似？（3）①是否存在t 使得△PCQ的面积等于20cm2？若存在请求出t的值若不存在请说明理由；②设四边形APQB的面积为S 请直接写出．．．．S的最大值或最小值．10．（2022九上·济南期中）小明和几位同学做手的影子游戏时发现对于同一物体影子的大小与光源到物体的距离有关．因此他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是他们做了以下尝试．（1）如图1 垂直于地面放置的正方形框架ABCD边长AB为30cm在其上方点P处有一灯泡在灯泡的照射下正方形框架的横向影子A′B D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度PM为多少．（2）不改变图1中灯泡的高度将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放请计算此时横向影子A′B D′C的长度和为多少？11．（2022九上·长清期中）如图一路灯AB与墙OP相距20米当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D 处时影长DG为1米．（1）求路灯B的高度；（2）若点P为路灯请画出小亮位于N处时在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）12．（2022九上·长清期中）如图△ABC的三边长分别为a b c（a>b>c）△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．已知△ABC∽△A1B1C1相似比为k(k>1)．（1）若c=a1=2a=5求c1的值．（2）若c=a1求证：a=kc；（3）若c=a1试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1使得a b c和a1、b1、c1都是正整数；（4）若b=a1，c=b1是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？并请说明理由．13．（2021九上·槐荫期中）在平面直角坐标系中∽ABC的顶点坐标分别为A（0 2）B（1 3）C （2 1）．（1）以点O为位似中心在给定的网格中画出∽A'B'C' 使∽A'B'C'与∽ABC位似且相似比为2；（2）求出∽A'B'C'的面积．14．（2021九上·槐荫期中）请阅读以下材料并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理如图1 在∽ABC中AD平分∽BAC 则ABAC=BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2 过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E．…（1）任务：请按照上面的证明思路写出该证明过程的剩余部分；（2）如图3 已知Rt∽ABC中AB＝3 BC＝4 ∽ABC＝90° AD平分∽BAC 求∽ABD的周长．15．已知点E在∽ABC内∠ABC=∠EBD=α∽ACB＝∽EDB＝60° ∽AEB＝150° ∽BEC＝90°．（1）当α=60°时（如图1）①判断∽ABC的形状并说明理由；②求证：AEBD=tan∠CED；（2）当α=90°时（如图2）②的结论还成立吗？若成立说明理由；若不成立求出AEBD的比值．16．（2021九上·商河期末）如图已知点C D在线段AB上且AC=4 BD=9 ∽PCD是边长为6的等边三角形．（1）求证：∽PAC∽∽BPD；（2）求∽APB的度数．17．在△ABC中AB=AC，∠BAC=90°点D E分别是AC，BC的中点点P是射线ED上一点连接AP将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PM连接AM，CM．（1）问题发现如图（1）当点P与点D重合时线段CM与PE的数量关系是∠ACM=．（2）探究证明当点P在射线ED上运动时（不与点E重合）（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．（3）问题解决若AC=√2+√6连接PC当△PCM是等边三角形时直接写出PE的长度．18．（2022九上·章丘期中）如图1四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A（1）如图2 若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形当正方形AMPN绕点A逆时针旋转α角（0°<α<180°）时BM和DN的数量关系是位置关系是；（2）如图3 若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形且ABAD=AMAN=1√3判断BM和DN的数量关系和位置关系并说明理由；（3）在（2）的条件下若AB=2AM=1矩形AMPN绕点A逆时针旋转α角（0°<α<180°）当MN∥AB时求线段DN的长．19．（2022九上·济南期中）如图在平面直角坐标系中C(8，0)B(0，6)是矩形ABOC的两个顶点点D是线段AB上的一个动点(不与A、B重合) 双曲线y=kx(k>0)经过点D 与矩形ABOC的边AC相交于点E．（1）如图①当点D为AB中点时k的值为点E的坐标为；（2）如图②当点D在线段AB上的任意位置时(不与A、B重合) 连接BC、DE求证：BC∥DE；（3）是否存在反比例函数上不同于点D的一点F 满足：△ODF为直角三角形∠ODF=90°且tan∠DOF=13若存在请直接写出满足以上条件时点D的横坐标若不存在请说明理由．20．（2022九上·济南期中）如图①已知在正方形ABCD中点E是边BC的中点以BE为斜边构造等腰直角△BEF将△BEF绕点B在平面内作逆时针旋转．（1）如图②当∠EBC=30°时若CG=√2则BG=；AG=；（2）如图③延长BE与AC、DC分别相交于点G、N延长BF与AC、AD分别相交于点H、M求证：△AMH∽△CGN；（3）如图④连接CE、DE请直接写出当√2DE+4CE取得最小值时∠ECB的正切值．21．如图RtΔABC中∠C=90°AB=10BC=6D是AB的中点动点P从点A出发沿线段AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动设点P的运动时间为t秒．（1）当t为多少秒时以点A D P为顶点的三角形与ΔABC相似？（2）若ΔAPD为钝角三角形请直接写出t的取值的范围．22．（2022九上·历城期中）如图：（1）【问题初探】如图1 ΔABC中∠BAC=90°AB=AC点D是BC上一点连接AD以AD为一边作ΔADE使∠DAE=90°AD=AE连接BE BE与CD的数量关系位置关系．（2）【类比再探】如图2 ΔABC中∠BAC=90°AB=AC点M是AB上一点点D是BC上一点连接MD以MD 为一边作ΔMDE使∠DME=90°MD=ME连接BE求∠EBD的度数．（3）【方法迁移】如图3 RtΔABC中∠BAC=90°∠ACB=30°BC=6点M是AB中点点D是BC上一点且BD=1连接MD以MD为一边作ΔMDE使∠DME=90°MD=√3ME连接BE求BE的长．23．在∽ABC中∽ACB＝90° ∽BAC＝60° 点D在斜边AB上且满足BD＝13AB 将线段DB绕点D逆时针旋转至DE 记旋转角为α 连接AE BE 以AE为斜边在其一侧作直角三角形AEF 且∽AFE＝90° ∽EAF＝60° 连接CF．（1）如图1 当α＝180°时请直接写出线段BE与线段CF的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时①如图2 （1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？诸说明理由；②如图3 当B E F三点共线时连接CE 判断∽CEF的形状并证明．24．如图（1）问题如图1 在四边形ABCD中点P为AB上一点当∠DPC=∠A=∠B=90°时求证：AD⋅BC= AP⋅BP．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2）其他条件不变上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3 在△ABC中AB=2√2∠B=45°以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上点E在AC上点F在BC上且∠EFD=45°若CE=√5求CD的长．25．如图（1）如图1 正方形ABCD与调研直角∽AEF有公共顶点A ∽EAF＝90° 连接BE DF 将∽AEF绕点A旋转在旋转过程中直线BE DF相交所成的角为β 则BEDF＝；β＝；（2）如图2 矩形ABCD与Rt∽AEF有公共顶点A ∽EAF＝90° 且AD＝2AB AF＝2AE 连接BE DF 将Rt∽AEF绕点A旋转在旋转过程中直线BE DF相交所成的角为β 请求出BEDF的值及β的度数并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与∽AEF有公共顶点A 且∽BAD＝∽EAF＝α(0°＜α＜180°) AD＝kAB AF＝kAE(k≠0) 将∽AEF绕点A旋转在旋转过程中直线BE DF相交所成的锐角的度数为β则：①BEDF＝；②请直接写出α和β之间的关系式．26．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中 已知OA ＝10cm OB ＝5cm 点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以2cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动．如果P Q 同时出发 用t （s ）表示移动的时间（0≤t≤5）（1）用含t 的代数式表示：线段PO ＝ cm ；OQ ＝ cm ．（2）当t 为何值时∽POQ 的面积为6cm 2？（3）当∽POQ 与∽AOB 相似时 求出t 的值．27．如图（1）感知：数学课上 老师给出了一个模型：如图1 ∠BAD =∠ACB =∠AED =90° 由∠1+∠2+∠BAD =180° ∠2+∠D +∠AED =180° 可得∠1=∠D ；又因为ACB =∠AED =90° 可得△ABC ∽△DAE 进而得到BC AC= ．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．（2）应用：实战组受此模型的启发 将三等角变为非直角 如图2 在△ABC 中 AB =AC =10 BC =12 点P 是BC 边上的一个动点（不与B C 重合） 点D 是AC 边上的一个动点 且∠APD =∠B ．①求证：△ABP ∽△PCD ；②当点P 为BC 中点时 求CD 的长；（3）拓展：在（2）的条件下如图2 当△APD 为等腰三角形时 请直接写出BP 的长．28．如图1 在Rt∽ABC 中 ∽BAC=90° ∽ACB=60° AC=2 点A 1 B 1为边AC BC 的中点 连接A 1B 1 将∽A 1B 1C 绕点C 逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．（1）如图1 当α=0°时BB1AA1=BB1AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为；（2）将∽A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时（1）中结论是否仍然成立？若成立请给出证明；若不成立请说明理由；（3）当∽A1B1C绕点C逆时针旋转过程中①请直接写出∽ABA1面积的最大值；②当A1B1B三点共线时请直接写出线段BB1的长．答案解析部分1．【答案】解：∽如图 点P 为所作；故答案为：(−5，−1)；∽如图 △OA 2B 2为所作；∽(2a ，2b)．2．【答案】（1）解：如图所示设DE=xcm 则AD=（8－x ）cm根据题意得：12（8－x+8）×3×3=3×3×6 解得：x=4 ∴DE=4（cm ）（2）解：∵∽E=90° DE=4 CE=3∴CD=5∵∽BCE=∽DCF=90°∴∽DCE+∽DCB=∽BCF+∽DCB∴∽DCE=∽BCF∵∽DEC=∽BFC=90°∴∽CDE∽∽CBF∴CE CF =CD CB 即3CF =58∴CF=245（cm ）答：CF 的高是245cm 3．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD 中 AB ∥CD∴AE ∥CD∴∠E =∠FCD ∠EAF =∠D∴△AEF ∽△DCF ．（2）解：①∵△AEF ∽△DCF∴AE DC =AF DF∵AF ：DF =1：2∴CD =2√2∵四边形ABCD 是平行四边形ABCD∴AB =CD =2√2．②∵四边形ABCD 是平行四边形ABCD∴AD ∥BC∴△EAF ∽△EBC∴S △EAF S △EBC =(EA EB )2=(√2√2+2√2)2=19 ∵S △AEF =23∴△EBC 的面积为6．4．【答案】（1）解：如图 过点A 作AF∽x 轴于点F∵tan∠AOC =13=AF OF 且点A 的横坐标为-3 ∴OF =3∴AF =1∴A(−3，1)∵双曲线y =k 2x过A 点 ∴1=k 2−3解得 k =−3 ∴双曲线的解析式为y =−3x将A(−3，1) D(0，−2)代入直线y =k 1x +b 得{1=−3k 1+b −2=b 解得{k 1=−1b =−2∴直线AB 的解析式为：y =−x −2（2）解：如图 连接OB PO PC当y =−x −2=0时∴C(−2，0)∴OC =2∵D(0，−2)∴OD =2∵点B 的纵坐标为−3∴−3=−x −2∴x =1∴B(1，−3)∵△OCP 的面积是△ODB 的面积的3倍∴12⋅OC ⋅y P =3⋅12⋅OD ⋅x B即12×2⋅y P=3×12×2×1解得yP=3即y=−3x=3∴x=−1∴P(−1，3)（3）解：由（2）得OC=OD∴∠OCD=∠ODC∴∠ECD=∠ODB∵D(0，−2)B(1，−3)BD=√12+(−3+2)2=√2∴ΔECD与△ODB相似有两种情况讨论如下：①△ODB∼△ECD∴OD CE=BDCD即2CE=√22√2∴CE=4∴E(−6，0)②△ODB∼△DCE∴OD CD=BDCE即22√2=√2CE∴CE=2∴E(−4，0)综上点E的坐标为(−6，0)或(−4，0)．5．【答案】（1）证明：∵AD BE是ΔABC的高∴∠ADC=∠BEC=90°∵∠C=∠C∴ΔACD∽ΔBCE；（2）解：∵点D是BC的中点AD⊥BC∴AB=AC在RtΔBEC中∵CE=3BE=4∴BC=√CE2+BE2=√32+42=5∴CD=12BC=52∵ΔACD ∽ΔBCE∴AD CD =BE EC∴AD =4×523103∴AC =√AD 2+CD 2=√（103）2+（52）2=256∴AB =AC =256． 6．【答案】（1）解：∵直角边AC =3cm BC =4cm∴由勾股定理可得 AB =√AC 2+BC 2=√32+42=5∴AP =t BP =5−t BQ =t∵△PBQ 是以∠B 为顶角的等腰三角形∴BP=BQ 即5-t=t 解得t =52秒 ∴当t =52秒 △PBQ 是以∠B 为顶角的等腰三角形； （2）解：能．理由：当∽PBQ∽∽ABC 时BQ BC =BP AB 即t 4=5−t 5 解得：t =209秒； 当∽PBQ∽∽CBA 时 BQ AB =BP BC 即t 5=5−t 4 解得：t =259秒 ∴当t =209或259秒时 △PBQ 与直角三角形ABC 相似． 7．【答案】（1）证明：∵△ABC ∽△ADE∴∠BAC =∠DAE AB AD =AC AE∴∠BAC −∠CAD =∠DAE −∠CAD即∠BAD =∠CAE∴△ABD ∽△ACE ；（2）解：①1②连接CE ∵∠BAC =∠DAE =90°，∠ABC =∠ADE ∴△BAC ∽△CAE ∴AB AD =AC AE ∴AB AC =AD AE∵∠BAD =∠CAE =90°−∠CAD ∴△BAD ∽△CAE ∴∠ABC =∠ACE ∴∠ADE =∠ACE ∵∠AFD =∠EFC ∴△AFD ∽△EFC ∴DF CF =AD CE由①得AD =√3AE ，AD =√3BD ∴BD CE =AD AE =√3 ∴BD =√3CE ∴AD =√3×√3CE =3CE ∴AD CE =3∴DFCF=ADCE=3．8．【答案】（1）解：①∵DP⊥DE∴∠PDE=∠PDC+∠CDE=90°∵在正方形ABCD中∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=90°AD=CD∴∠CDE=∠ADP在△APD和△CED中{AD=CD ∠ADP=∠CDE PD=DE∴△APD≌△CED；②∵△APD≌△CED∴∠APD=∠CED又∵∠APD=∠PDE+∠DEP∠CED=∠CEA+∠DEP∴∠AEC=90°（2）解：过点C作CF⊥DE交DE延长线于点F∵DE=DP=1∠PDE=90°∴PE=√DP2+DE2=√2∴∠DPE=∠DEP=45°∵∠CEA=90°∴∠CEF=45°∵∠EFC=90°∴∠FCE=45°∴∠CEF=∠FCE在Rt△PCE中CE=√PC2−PE2=√20−2=3√2∴CF=EF=√22CE=3∴在Rt △CDF 中 CD 2=CF 2+DF 2=32+(1+3)2=25 ∴正方形ABCD 的面积为：CD 2=25．（3）解：∵△APD ≌△CED∴∠ADQ =∠CDF∵∠DAQ =∠DFC∴△DAQ ∽△DFC∴DQ DC =DA DF∵DA =DC∴DQ =DC 2DF=DC 2DE +EF =251+3=254 ∴PQ =DQ −DP =254−1=214． 9．【答案】（1）解：由题意知 PC =2tcm BQ =tcm ∵AC =10cm BC =8cm∴CQ =(8−t)cm 0<t ≤5∵△PCQ 的面积等于16cm 2∴12PC ·CQ =16 ∴12×2t ·(8−t)=16 即(t −4)2=0 ∴t 1=t 2=4即经过4秒后 △PCQ 的面积等于16cm 2（2）解：∵∠ACB =∠PCQ =90°∴①当△PCQ ∽△ACB 时∴2t 10=8−t 8解得：t =4013； ②当△PCQ ∽△BCA 时∴2t 8=8−t 10 解得：t =167； 由①②可得：当经过4013秒或167秒△PCQ 与△ABC 相似． （3）①不存在 理由：假设存在t 使得△PCQ 的面积等于20cm 2∴12PC·CQ=20∴12×2t·(8−t)=20∴t2−8t+20=0而Δ=64−4×1×20=−16<0∴此方程无实数根∴不存在t 使得△PCQ的面积等于20cm2②S的最小值是24cm210．【答案】（1）解：∵AD∥A′D′∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．∴ADA′D′=PNPM∴3036=PM−30PM解得PM=180；∴灯泡离地面的高度PM为180cm；（2）解：设横向影子A′B D′C的长度和为xcm 同理可得△PAD∽△PA′D′．∴ADA′D′=PNPM即6060+x=150180解得：x=12cm∴横向影子A′B D′C的长度和为12cm．11．【答案】（1）解：∵AB⊥BO CD⊥BO ∴∠ABG=∠CDG∵∠CGD=∠AGB∴△ABG∽△CDG∴BGDG=ABCD∵OB=20米OD=17米DG=1米∴BD=OB−OD=20−17=3米BG=BD+DG=3+1=4米∴41=AB1.6解得：AB=6.4．∴路灯高6.4米．（2）解：如图所示：12．【答案】（1）解：∵△ABC∽△A1B1C1c=a1=2a=5∴aa1=cc1即：52=2c1解得：c1=45；（2）证明：∵△ABC∽△A1B1C1相似比为k(k>1)∴aa1=k∴a=ka1又∵c=a1∴a=kc．（3）解：取a=8，b=6，c=4同时取a1=4，b1=3，c1=2此时aa1=bb1=cc1=2∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1（4）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1理由如下：假设存在则a=2a1，b=2b1，c=2c1．又∵b=a1c=b1∴a=2a1=2b=4b1=4c∴b=2c∴b+c=2c+c<4c=a与三角形的三边关系b+c>a不符∴不存在△ABC和△A1B1C1使得k=2．13．【答案】（1）解：如图∽A'B'C'为所作；（2）解：∽A'B'C'的面积＝4×4﹣12×2×4﹣12×2×2﹣12×2×4＝6． 14．【答案】（1）证明：如图2 过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ∵CE ∥AD∴BD CD =BA EA∽2＝∽ACE ∽1＝∽E ∵∽1＝∽2∴∽ACE ＝∽E∴AE ＝AC∴AB AC =BD CD． （2）解：如图3 ∵AB ＝3 BC ＝4 ∽ABC ＝90°∴AC =√BC 2+AB 2=√42+32=5∵AD 平分∽BAC∴AC AB =CD BD 即53=CD BD∴BD =38BC =38×4=32∴AD =√BD 2+AB 2=√(32)2+32=32√5 ∴∽ABD 的周长=32+3+32√5=9+3√52． 15．【答案】（1）解：①判断：∽ABC 是等边三角形．理由如下： ∵∽ABC=∽ACB=60°∴∽BAC=180°-∽ABC-∽ACB=60°=∽ABC=∽ACB∴∽ABC 是等边三角形．②∽EBD 也是等边三角形 理由如下：如图1 连接DC则AB＝BC BE＝BD ∽ABE＝60°－∽EBC＝∽CBD ∴∽ABE∽∽CBD∴AE＝CD ∽AEB＝∽CDB＝150°∴∽EDC＝150°－∽BDE＝90°∴在Rt∽EDC中tan∠CED=CDED=AEBD．（2）解：如图2：连接DC∵∽ABC=∽EBD=90° ∽ACB=∽EDB=60°∴∽ABC∽∽EBD∴ABEB=BCBD即ABBC=EBBD又∵∽ABE=90°-∽EBC=∽CBD∴∽ABE∽∽CBD∴∽AEB=∽CDB=150°∴∽EDC=150°-∽BDE=90° ∽CED=∽BEC-∽BED=90°-（90°-∽BDE）=60°设BD=x在Rt∽EBD中DE=2x BE=√3x在Rt∽EDC中CD=DE×tan60°=2√3x∴AE=CD·BEBD=2√3x⋅√3xx=6x=6BD即BDAE=16．16．【答案】（1）证明：∵等边∽PCD的边长为6∴PC=PD=6 ∽PCD=∽PDC=60°又∵AC=4 BD=9∴PCBD=69=23=46=ACPD∵等边∽PCD中∽PCD=∽PDC=60°∴∽PCA=∽PDB=120°∴∽ACP∽∽PDB；（2）解：∵∽ACP∽∽PDB∴∽APC=∽PBD∵∽PDB=120°∴∽DPB+∽DBP=60°∴∽APC+∽BPD=60°∴∽APB=∽CPD+∽APC+∽BPD=120°．17．【答案】（1）(1)CM=√2PE；45（2）解：结论成立证明如下：如图（2）中连接AE．∵AB=AC，BE=EC∴AE平分∠BAC∴∠CAE=12∠BAC=45°∵DE∥AB∴∠ADE=180°−∠BAC=90°∵AD=DC∴AE=√2AD∵AM=√2AP∴ACAE=AMAP∵∠PAM=∠CAE=45°∴∠CAM=∠EAP∴△CAM∽△EAP∴CMPE=AMAP=√2∠ACM=∠AED=45°∴CM=√2PE．（3）解：√2或2√2+√618．【答案】（1）相等；垂直（2）解：数量关系：DN=√3BM位置关系：BM⊥DN．理由如下：如图：∵四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形∴∠BAD=∠MAN=90°∴∠BAD−∠MAD=∠MAN−∠MAD∴∠BAM=∠DAN∵ABAD=AMAN=1√3∴△ADN∽△ABM∴BMDN=ABAD=√3∴DN=√3BM．延长BM交AD于点O 交DN于点H∵△ADN∽△ABM∴∠ABM=∠AND又∵∠AOB=∠DOH∴∠OHD=∠OAB=90°即BM⊥DN．（3）解：∵AB=2AM=1ABAD=AMAN=1√3∴AN=√3分类讨论：连结MN．①如图：当MN位于AB上方时在Rt△MAN中由勾股定理得MN=√AN2+AM2=√(√3)2+12=2∴AB=MN又∵MN∥AB∴四边形ABMN是平行四边形∴BM=AN=√3∵DN=√3BM∴DN=3．②如图：当MN位于AB下方时连结BN同理可得四边形ABNM是平行四边形∴BN=AM=1BN∥AM∴∠ANB=∠MAN=90°又∠ANP=90°∴B N P在一条直线上∴∠BPM=90°∴BP=BN+NP=2MP=AN=√3∴在Rt△BPM中BM=√BP2+MP2=√7∵DN =√3BM∴DN =√21．综上所述 DN 的长为3或√21．19．【答案】（1）24；（8 3）（2）证明：设点D 的横坐标为m∴点D 的坐标为(m ，6)∴k =6m∴反比例函数的解析式为：y =6m x点E 的坐标为(8，3m 4)∴AD =8−m ，AE =AC −CE =6−3m 4=3(8−m)4∴AB AC =86=43，AD AE =43∴AB AC =AD AE即AD AB =AE AC∴BC ∥DE ；（3）存在 点D 的横坐标为√37+1或√37−120．【答案】（1）2；√6（2）证明：∵∠EBF =∠ACB =45°∴∠CGN =45°+∠CBN =∠MBC∵AD ∥BC∴∠AMH =∠MBC∴∠AMH =∠CGN∵∠MAH =∠GCN =45°∴△AMH ∽△CGN ；（3）1721．【答案】（1）解：在RtΔABC 中 ∠C =90° AB =10 BC =6∴AC =√AB 2−BC 2=√102−62=8∵ D 是AB 的中点∴AD =12AB =5∵动点P 从点A 出发 沿线段AC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动设点P 的运动时间为t 秒∴AP =2t 0≤t ≤4若以点A D P 为顶点的三角形与ΔABC 相似 而∠A =∠A 分两种情况：①当∠APD =∠C =90°时 ΔAPD ∽ΔACB 如图1∴AP AC =AD AB 即2t 8=510解得t =2；②当∠ADP =∠C =90°时 ΔADP ∽ΔACB 如图2∴AP AB =AD AC 即2t 10=58解得t =258；故当t 为2或258秒时 以点A D P 为顶点的三角形与ΔABC 相似 （2）解：由（1）知：当t =2时 ∠APD =90° 当t =258时 ∠ADP =90° 而∠A 是锐角∴当0<t <2时 ∠APD 为钝角 ΔAPD 为钝角三角形； 当258<t ≤4时 ∠ADP 为钝角 ΔAPD 为钝角三角形； 故若ΔAPD 为钝角三角形 则t 的取值的范围是0<t <2或258<t ≤4．22．【答案】（1）BE=CD ；BE∽CD（2）解：过点M 作MF ∥AC 交BC 于点F 如图2所示∴∠BMF =∠A =90° ∠MFB =∠C =45°∴MB=MF∵∠DME=∠BMF=90°∴∠BME=∠FMD又∵ME=MD，MB=MF∴ΔMBE≌ΔMFD(SAS)∴∠MBE=∠MFD=45°∴∠EBD=∠MBE+∠MBF=90°故∠EBD=90°（3）解：取BC中点G 连接MG如图3所示∵点M是AB中点∴MG为ΔABC的中位线∴MG∥AC∴BMG=90°，∠MGB=30°∴BM=12BG=14BC=32MG=32√3DG=3−1=2∴BM MG=√3又MD=√3ME∴ME MD=√3∴MEMD=BMMG又∵∠EMD=∠BMG=90°∴∠EMB=∠DMG∴ΔMEB∽ΔMDG∴BEDG=BMMG=√3∴BE =√33×2=2√33故BE 的长为2√33． 23．【答案】（1）解：BE ＝2CF 理由如下： ∵∽ACB ＝90° ∽BAC ＝60°∴∽ABC ＝30°∴AC ＝12AB ∵BD ＝13AB 将线段DB 绕点D 逆时针旋转至DE ∴BD ＝DE ＝13AB BE ＝23AB ∴AE ＝13AB ∵∽AFE ＝90° ∽EAF ＝60°∴∽AEF ＝30°∴AF ＝12AE ＝16AB ∴CF ＝AC ﹣AF ＝13AB ∴BE ＝2CF ；（2）解：①结论仍然成立 理由如下： ∵∽BAC ＝∽EAF ＝60°∴∽BAE ＝∽CAF又∵AC AB =12=AF AE∴∽ABE∽∽ACF∴CF BE =AF AE =12∴BE ＝2CF ；②∽CEF 是等边三角形 理由如下： ∵B E F 三点共线∴∽AEB+∽AEF ＝180°∴∽AEB ＝150°∵∽ABE∽∽ACF∴∽AEB ＝∽AFC ＝150°∴∽EFC ＝150°﹣90°＝60°如图3 过点D作DH∽BE于H∵BD＝DE DH∽BE∴BH＝HE∵BE＝2CF∴BH＝HE＝CF∵DH∽BE AF∽BE∴DH∥AF∴BHHF=BDAD=12∴HF＝2BH∴EF＝HE＝BH∴EF＝CF∴∽EFC是等边三角形．24．【答案】（1）证明：如题图1∵∽DPC=∽A=∽B=90°∴∽ADP＋∽APD=90° ∽BPC＋∽APD = 90°∴∽ADP = ∽BPC∴∽ADP∽∽BPC∴ADBP=APBC∴AD⋅BC = AP⋅BP（2）解：结论仍然成立理由如下∵∠BPD=∠DPC+∠BPC又∵∠BPD=∠A+∠ADP∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP∵∠DPC=∠A设∠DPC=∠A=α∴∠BPC=∠ADP∴△ADP∽△BPC∴ADBP=APBC∴AD⋅BC = AP⋅BP（3）解：∵∠EFD=45°∴∠B=∠ADE=45°∴∠BAD=∠EDF∴△ABD∽△DFE∴ABDF=ADDE∵△ADE是等腰直角三角形∴DE=√2AD∵AB=2√2∴DF=4∵∠EFD=45°，∠ADE=45°∴∠EFC=∠DEC=135°∴△EFC∽△DEC∴FCEC=ECCD∵EC=√5CD=DF+FC=4+FC∴EC2=FC⋅CD=FC⋅(4+FC)=5∴FC=1∴CD=5．25．【答案】（1）1；90°（2）解：如图2 延长DF交EB于点H∵AD=2AB AF=2AE∴ADAB=AFAE=2∵∽BAD=∽EAF=90°∴∽FAD=∽EAB∴∽FAD∽∽EAB∴DF BE =AF AE =2∴DF=2BE∵∽FAD∽∽EAB∴∽AFD=∽AEB∵∽AFD+∽AFH=180°∴∽AEH+∽AFH=180°∵∽EAF=90°∴∽EHF=180°-90°=90°∴DF∽BE∴BE DF =12 β=90°；（3）1k ；α+β=180°26．【答案】（1）2t ；（5﹣t ）（2）解：由（1）知 OP=2t cm OQ=（5-t ）cm ∵∽POQ 的面积为6cm 2∴6=12×2t×（5-t ）∴t=2或3∴当t=2或3时 三角形POQ 的面积为6cm 2； （3）解：∵∽POQ 与∽AOB 相似 ∽POQ=∽AOB=90° ∴∽POQ∽∽AOB 或∽POQ∽∽BOA∴OP OA =OQ OB 或OP OB =OQ OA当OP OA =OQ OB 则2t 10=5−t 5∴t=52；当OP OB =OQ OA 时 则2t 5=5−t 10∴t=1∴当t=52或1时 ∽POQ 与∽AOB 相似． 27．【答案】（1）AE DE（2）解：①∵∽APC=∽B+∽BAP ∽APC=∽APD+∽CPD ∽APD=∽B∴∽BAP=∽CPD∵AB=AC∴∽B=∽C∴∽ABP∽∽PCD ；②BC=12 点P 为BC 中点 ∴BP=PC=6·∵∽ABP∽∽PCD∴AB PC =BP CD 即106=6CD解得：CD=3.6；（3）解：BP 的长为2或113． 28．【答案】（1）2；60°（2）解：（1）中结论仍然成立 证明：延长AA 1 BB 1相交于点D 如图2由旋转知 ∽ACA 1=∽BCB 1 A 1C=1 B 1C=2∵AC=2 BC=4∴AC A 1C =2 BC B 1C =2 ∴AC A 1C =BC B 1C ∴∽ACA 1∽∽BCB 1∴BB 1AA 1=BC AC =2 ∽CAA 1=∽CBB 1 ∴∽ABD+∽BAD=∽ABC+∽CBB 1+∽BAC-∽CAA 1 =∽ABC+∽BAC=30°+90°=120°∴∽D=180°-（∽ABD+∽BAD ）=60°； （3）解：①∽ABA 1面积的最大值=12×2√3×3=3√3； ②线段BB 1的长为√15+√3或√15−√3．。

2024成都中考数学第一轮专题复习之一线三等角模型解决全等、相似问题 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之一线三等角模型解决全等、相似问题 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章微专题一线三等角模型解决全等、相似问题知识精练1.如图，△ABC 为等边三角形，D 是BC 上一点，连接AD ，点P ，Q 在AD 上，连接BP ，CQ ，且∠BPD ＝∠CQD ＝60°，若BP ＝3，CQ ＝5，则PQ 的长为________．第1题图2.如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝10，点E 是AB 的中点，连接DE ，CE ，若∠A ＝∠B ＝∠DEC ，则BE BC的值为________．第2题图3.(2023重庆A 卷)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，连接A D.过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F .若BE ＝4，CF ＝1，则EF 的长度为________．第3题图4.如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 是CB 延长线上一点，且AB ＝DB ，连接AD ，若AD ＝6，则△ACD 的面积为________．第4题图5.(2023荆州)如图①，点P 是线段AB 上与点A ，点B 不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A ，P ，B 为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB 和射线BA ，∠2的两边不在直线AB 上，我们规定这三个角互为等联角，点P 为等联点，线段AB 为等联线．(1)如图②，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．．．．的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图③，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD，将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM 交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF.①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP∶PB＝1∶2，BF＝2k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．图①图②图③第5题图参考答案与解析1.2【解析】∵∠BPD ＝∠CQD ＝60°，∴∠APB ＝∠CQA .∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.∵∠BPD ＝∠BAP ＋∠ABP ＝60°，∠BAC ＝∠BAP ＋∠CAQ ＝60°，∴∠ABP ＝∠CAQ .在△ABP 和△CAQ ABP ＝∠CAQ ，APB ＝∠CQA ，＝CA ，∴△ABP ≌△CAQ (AAS)，∴BP ＝AQ ＝3，AP ＝CQ ＝5.∵AP ＝AQ ＋PQ ＝BP ＋PQ ，∴PQ ＝AP －BP ＝5－3＝2.2.45【解析】∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ，∴△DAE ∽△EBC [钝角一线三等角(同侧)]，∴AD BE ＝AE BC .∵AD ＝4，AB ＝10，点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝5，∴BE BC ＝AD AE ＝45.3.3【解析】∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠CFA ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAE ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠CAF ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABE ＝∠CAF .又∵AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF ，∴AE ＝CF ＝1，AF ＝BE ＝4，∴EF ＝AF －AE ＝4－1＝3.4.9【解析】如解图，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，过点C 作CH ⊥AD 交DA 的延长线于点H ，CH 即为点C 到直线AD 的距离．∵BG ⊥AD ，AB ＝DB ，∴∠AGB ＝90°，AG ＝DG ＝12AD ＝3.∵△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠BAC ＝90°，∴∠GAB ＋∠HAC ＝90°.又∵CH ⊥AD ，∴∠AGB ＝∠CHA ＝90°，∴∠HCA ＋∠HAC ＝90°，∴∠GAB ＝∠HCA .在△ABG 和△CAH AGB ＝∠CHA ，GAB ＝∠HCA ，＝CA ，∴△ABG ≌△CAH (AAS)，∴AG ＝CH ＝3，∴S △ACD ＝12AD ·CH ＝12×6×3＝9.第4题解图5.解：(1)作图如解图①；(注：只需作出其中三种)方法2方法3方法4方法5方法6方法7方法8第5题解图①(2)①△PCF是等腰直角三角形．理由如下：如解图②，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于点N.由折叠的性质得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，∵∠A，∠CPD，∠PBD互为等联角，∴∠A＝∠CPD＝∠PBD＝90°.∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，∴四边形ABNC为正方形，∴CN＝AC＝CM.又∵CE＝CE，∴Rt△CME≌Rt△CNE(HL)，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∠CPF＝90°，∴∠PCF＝∠2＋∠3＝∠CFP＝45°，∴△PCF是等腰直角三角形．第5题解图②②如解图②，过点F作FQ⊥BE于点Q，作FR⊥PB交PB的延长线于点R，则∠R＝∠A ＝90°.∵∠1＋∠5＝∠5＋∠6＝90°，∴∠1＝∠6.由△PCF是等腰直角三角形，得PC＝PF，∴△APC≌△RFP(AAS)，∴AP＝FR，AC＝PR.∵AC＝AB，∴AP＝BR＝FR.∵在Rt △BRF 中，BR 2＋FR 2＝BF 2，BF ＝2k ，∴AP ＝BR ＝FR ＝k .∵AP ∶PB ＝1∶2，∴PB ＝2AP ＝2k ，∴AB ＝AP ＋PB ＝BN ＝3k .由BR ＝FR ，∠QBR ＝∠R ＝∠FQB ＝90°，得四边形BRFQ 为正方形，∴BQ ＝QF ＝k ，由FQ ⊥BN ，CN ⊥BN ，得FQ ∥CN ，∴QE NE ＝QF NC，而QE ＝BN －NE －BQ ＝3k －NE －k ＝2k －NE ，即2k －NE NE＝k 3k ＝13，解得NE ＝32k ，由①知PM ＝AP ＝k ，ME ＝NE ＝32k ，∴PE ＝PM ＋ME ＝k ＋32k ＝52k .。

2020中考数学一线三等角 专题练习(word版,有答案)

2020中考数学一线三等角 专题练习(word版,有答案)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。

--培根2020中考数学一线三等角一.一线三等角型相似三角形1.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠ED F =60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE2.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE 交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，当CE＝1时，写并写出函数的定义域；②出AP的长．3. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）设BP=x，CM=y．求y与x的函数解析式．（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．4.已知在等腰三角形A BC中，A B = BC = 4, A C = 6，D是A C的中点，E是BC上的动点（不与B、C重合），连结DE，过点D作射线DF ，使∠EDF = ∠A，射线DF 交射线EB于点F ，交射线A B于点H . （1）求证：∆CED∽A DH；（2）设EC = x, BF = y.①用含x的代数式表示BH ；②求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.∆5.如图，在梯形A BCD中，A D∥BC，A B = CD = BC = 6，A D = 3．点M 为边BC的中点，以M 为顶点作EMF B，射线ME交腰A B于点E，射线MF 交腰CD于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM；（2）若△BEM 是以BM为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF ⊥ CD，求BE的长．6.已知：如图，在△ABC 中，A B = A C = 5，BC = 6，点D 在边AB 上，DE ⊥ A B，点E在边BC上．又点F在边AC上，且∠DEF = ∠B．(1)求证：△FCE∽△EBD；(2)当点D在线段AB上运动时，是否有可能使S∆FCE = 4S∆EB D．如果有可能，那么求出BD的长．如果不可能请说明理由．∠ = ∠二.一线三垂角型相似三角形7.已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作PE ⊥ CP ，交边 AB 于点 E,设PD = x , A E = y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并 写出x 的取值范围。

中考数学相似三角形压轴题

中考数学相似三角形压轴题

中考数学相似三角形压轴题
题目：在△ABC中，∠B=90°，AD是边BC上的高，且E为线段BD的中点。

若AD=8cm，DE=4cm，则△ADE与△ABC 相似，求△ABC的斜边AC的长度。

分析：我们知道，两个三角形相似，那么对应角度相等，且对应边的比例相等。

根据题目中的条件，我们可以求出△ADE 的两条边AE和DE的长度。

然后利用相似三角形的性质，求出△ABC中对应的两条边AB和BC的长度，进而求出AC的长度。

解法：
根据题目中的条件，我们已知AD=8cm，DE=4cm，且AE是线段BD的中点。

由于DE=4cm，而AE又是BD的中点，所以AE=ED=2cm。

由此，我们可以计算出△ADE中对应的两条边的长度，即AD=8cm，AE=2cm。

然后利用相似三角形的性质，我们可以得出△ABC中对应的两条边的比例，即AB:AD=BC:AE。

代入已知的值，得到AB:8=BC:2，即AB=4BC。

又由于∠B=90°，根据勾股定理，我们可以得到
AB^2+BC^2=AC^2。

代入AB=4BC，得到
(4BC)^2+BC^2=AC^2，即17BC^2=AC^2。

将AC表达式化简，得到AC=BC√17。

由此得出AC和BC的长度比为√17:1。

由于题目没有给出BC的具体值，所以无法得出AC的具体长度。

但我们可以得出AC和BC的长度比为√17:1。

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三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。

此规律需通过认真做题，细细体会。

典型例题【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60°∴∠B =∠C =∠EDF =60°∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD∴BE CDBD FC =∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE =35 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。

【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ，求证：△BDE ∽△DFE【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B∴∠B =∠C =∠EDF∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD∴DFDECD BE=又∵BD =CD ∴DF DE BD BE=即DFBDDE BE =∵∠EDF =∠B∴△BDE ∽△DFECADB EFDAB点评：三等角型相似中若点D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得DFDECF BD =加上BD =CD 可证得△CFD 与△DFE 相似 【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长．【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。

对△APM 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP ∽△PCM 相关的结论 解：（1）∵AB =AC ，∠APM =∠B ∴∠APM =∠B =∠C∵∠APC =∠APM +∠MPC =∠B +∠BAP ∴∠BAP =∠MPC ∴△ABP ∽△PCM （2）∵BP =x ，CM =y ，CP =8-x∵MCBP PC AB = ∴yxx =-85 ∴x x y 58512+-=)80(<<x（3）当AP =PM 时∵ABPCPA PM =∴PC =AB =5 ∴BP =3 当AP =AM 时 ∵∠APM =∠B =∠C∴∠PAM =∠BAC 即点P 与点B 重合 ∴P 不与点B 、C 重合 ∴舍去 当MP =AM 时 ∴∠MAP =∠MPA ∴△MAP ∽△ABC∴85==BC AB AP MP ∴85==AB PC PA PM 即8558=-x ∴BP =839点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP 和△PCM 中简化运算。

【例4】（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P不BP CABCPMABCPMABCPQ与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图10），且6=BP ，求线段CQ 的长； ②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。

当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。

解：（1）∵BAP B CPQ APQ ∠+∠=∠+∠，ABC APQ ∠=∠，∴CQP BAP ∠=∠. 又∵AC AB =，∴C B ∠=∠.∴QCP ∆∽ABP ∆.∴ABCPBP CQ =. ∵5==AC AB ，8=BC ，6=BP ，268=-=CP ， ∴526=CQ ，512=CQ .（2）若点P 在线段CB 上，由（1）知ABCPBP CQ =. ∵x BP =，8=BC ， ∴x BP BC CP -=-=8，又∵y CQ =，5=AB ，∴ 58x x y -=，即x x y 58512+-=.故所求的函数关系式为x x y 58512+-=，)80(<<x .若点P 在线段CB 的延长线上，如图11.∵ CPQ APB APQ ∠+∠=∠， PAB APB ABC ∠+∠=∠，ABC APQ ∠=∠，∴ PAB CPQ ∠=∠.又∵ABC ABP ∠-︒=∠180，ACB PCQ ∠-︒=∠180，ACB ABC ∠=∠，ABC备用图A BCD图12ABC备用图PQ∴PCQ ABP ∠=∠.∴QCP ∆∽PBA ∆.∴PCABCQ BP =. ∵x BP =，x BP BC CP +=+=8，5=AB ，y CQ =，∴x y x +=85，即x x y 58512+= )0(>x . （2）当点P 在线段BC 上，255+=BP ，或255-=BP . 当点P 在线段BC 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，2535+=BP . 当点P 在线段CB 的延长线上，则点Q 在线段DC 的延长线上，2535+-=BP . 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。

动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。

强化训练：1.如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2.已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

4.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2yCPEABFCPEABDAB CDEABCDEF（1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。

5.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

6.已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点，E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H .（1）求证：CED ∆∽ADH ∆；（2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ； ②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.7.已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．8.已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ，8=AB ，12=AD ，34tan =C ，AM ∥DC ，E 、F 分别是线段AD 、AM 上的动点（点E 与A 、D 不重合）且AMB FEM ∠=∠，设x DE =，y MF =.（1）求证：DM AM =；（2）求y 与x 的函数关系式并写出定义域；（3）若点E 在边AD 上移动时， EFM ∆为等腰三角形，求x 的值；9.已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么CPEABFH ABCDE FCB A EFDBM C①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMFS S ∆∆=49时，求BP 的长．10.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =BC =4，AD =2M 为顶点作∠EMF =∠B ，射线ME 交边AB 于点E EF ． （1）指出图中所有与△BEM （2）设BE =x ，CF =y ，求y 关于x 答案：1. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠ADC =∠ADE +∠CDE =∠B +∠BAD ∴∠BAD =∠CDE ∴△ABD ∽△DCE （2）∵△ABD ∽△DCE ∴ABCDBD CE =∵x BD =，y AE =，x DC -=10∴y x x -=-8108∴845812+-=x x y )100(<<x（3）∵AC AB =，D 是BC 的中点∴AD ⊥BC ∴∠DAE+∠ADE=90°∵DE AE ≠∴△ADE 是直角三角形 2. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠BED +∠DEF =∠C +∠EFC =90°又∵B DEF ∠=∠∴∠BED =∠EFC ∴△FCE ∽△EBD （2）∵BD =x ，BE =x 35，x EC 356-= ∵△FCE ∽△EBD ∴2)(BDEC S S BED FEC =∆∆若EBD FCES S ∆∆=4∴4)356(2=-xx∴1118=x ∴31136356>=-x ∴BD 不存在 3. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠DPC =∠DPE +∠EPC =∠B +∠BDP ∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD ∽△DCE（2）∵∠DPE =∠B ≠90°若∠PDE=90°，在Rt△ABH 和Rt△PDE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠DPE =53==PE PD AB BH ∴53==PC BD PE PD ∵PC =4 ∴512=BD 若∠PED=90°在Rt△ABH 和Rt△PDE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠PED =53==PD PE AB BH ∴35==PC BD PE PD CP EABDH CPEABDHE DC B AP （第25题图）CM∵PC =4 ∴5320>=BD （舍去） 综上所述，BD 的长为512 4. 解：（1）52454)6(541+-=-=x x y 、x y 342= （2）∵∠FPE =∠B ≠90°若∠PFE =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴5312=y y ∴535245434=+-x x ∴1727=x 若∠PEF =90°，在Rt△ABH 和Rt△PFE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴3512=y y ∴355245434=+-x x ∴3=x 5. 解：（1）△PEB ∽△EPC（2）∵PC =x ∴x PF34=，)6(54x PE -=，)6(251654x EP EH -== ∴)6(7532)6(2516342121x x x x EH PF y -=-⋅⋅=⋅⋅=即x x y 256475322+-=)30(≤<x （3）当PE =PF 时，△EPC ≌△PEB ，PC =BE =x ，536=-x x ∴49=x 当PE =EF 时，x PF PH 3221==，cos ∠EPH =cos B ，53)6(5432=-x x∴43108=x当FE =PF 时，)6(5221x EP PM -==， cos ∠FPM =cos B ，5334)6(52=-x x ∴2=x 综上所述，PC 的长分别为49=x 、43108、26. 解：（1）∵AB BC =,∴A C ∠=∠∵CDE EDF A H ∠+∠=∠+∠又EDF A ∠=∠,∴CDE H ∠=∠CED ∴∆∽ADH ∆（2）①∵CED ∆∽ADH ∆，∴CE CDAD AH= CPEABFHCPEABFH CPEAB F G HM∵D 是AC 的中点，6AC =，∴3AD CD ==，又 ∵,4CE x AB ==∴当H 点在线段AB 的延长线上时，334x BH =+，∴94BH x =- 当H 点在线段AB 上时，334x BH =-，∴94BH x=-②过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G∴12DG CG CD AB BC AC ===，∴2,2DG BG == ∴当H 点在线段AB 的延长线上时，∴BH BF GD GF=，∴9422y x y -=-∴18890924x y x x -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭当H 点在线段AB 上时，∴BH BFGD GF=，∴9422yx y -=+ ∴81894924x y x x -⎛⎫=≤< ⎪-⎝⎭7. 解：（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -= 解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQAPPD AB = 即y x x +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．8. 证明：（1）过点M 作AD MG ⊥交AD 于G∵AM//DC ∴C AMB ∠=∠∵8AB ,90B =︒=∠ ∴BM AB C AMB ==∠tan tan ∴BM834=∴6B M = ∵AD//BC ，AB//MG ∴AG=BM=6∵AD=12 ∴AG=GD ∴AGM ∆≌DGM ∆∴AM=DMC DAB PE(2) ∵A MB FEM ∠=∠ A FE A MB ∠=∠∴EFM ∽∆∆AEM ∴FMEMEM AM =∵22226)-(8EM 1086AM x +==+=∴y x x 2222)6(8)6(810-+=-+∴1056101y 2+-=x x 定义域为：120<<x (3) ∵FEM AEF MAE EFM ∠>∠+∠=∠∴EM ≠FM∴若EFM ∆为等腰三角形，则EF =EM 或EF =FM ① 当EF =EM 时,12-x =10∴x =2 ②当EF =FM 时∵MA E F F ∠=∠=∠EMME ∴AE =EM ∴226)-(x 8x -12+=∴311x =9. 证明：（1）∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B =∠CBE =2,BP =2,CP =4,CD =4，∴CDBPCP EB =，∴△BEP ∽△CPD (2)①FPC EPF BEP B EPF ∠+∠=∠+∠=∠Θ又∠EPF =∠C=∠B ，∴FPC BEP ∠=∠ ∴△BEP ∽△CPF ，∴CF BPCP EB =∴462+=-y x x ∴43212-+-=x x y （42<<x ）②当点F 在线段CD 的延长线上时Θ∠FDM =∠C=∠B ， FMD FPC BEP ∠=∠=∠，∴△BEP ∽△DMF ΘBEP DMF S S ∆∆=49，∴xy BP DF ==23 又43212-+-=x x y ，∴0832=+-x x ，Δ＜0，∴此方程无实数根，故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点P 使BEP DMF S S ∆∆=49当点F 在线段CD 上时，同理△BEP ∽△DMFΘBEP DMF S S ∆∆=49，∴x y BP DF ==23，又∴△BEP ∽△CPF ∴CFBPCP EB =，∴y x x -=-462 ∴43212+-=x x y ，∴0892=+-x x ，解得 11=x ，82=x 由于82=x 不合题意舍去，∴1=x ，即BP =1 所以当BEP DMFS S ∆∆=49时，BP 的长为1． 10. 解：（1）△CMF ∽△BEM ，△MEF ∽△BEM ．证明如下：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴∠B =∠C ． 又∵∠EMF +∠FMC =∠B +∠BEM ，∠EMF =∠B ，∴∠FMC =∠BEM ．∴△CMF ∽△BEM ． ∴CM BEFM EM =． 又∵CM =BM ，∴BMBEFM EM =．∵∠EMF =∠B ，∴△MEF ∽△BEM ． （2）∵△CMF ∽△BEM ，∴CFCMBM BE =． ∵BM =CM =2，∴y x 22=．∴所求函数的解析式为xy 4=，（41≤≤x ）。

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