人教新课标版数学高二数学必修五练习2-5数列求和

习题课 数列求和

双基达标

(限时20分钟) 1．数列12·5，15·8，18·11，…，

1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为 ( )． A.

n 3n ＋2 B.n 6n ＋4 C.3n 6n ＋4 D.

n ＋1n ＋2 答案 B

2．数列{a n }的通项公式a n ＝

1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为 ( )． A ．11 B ．99

C ．120

D ．121 解析 ∵a n ＝1

n ＋n ＋1＝n ＋1－n ， ∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.

答案 C

3．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的

前n 项和S n ＝

( )． A.n 24＋7n 4

B.n 23＋5n 3

C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n

解析 由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，

a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝

0.∵d ≠0，

∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n .

答案 A

4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________.

解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50

＝(－1)×25＝－25

答案 －25

5．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为

3的等比数列，则数列的通项公式为________．

解析 a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)

＝a n ＝1×(1－3n )1－3

＝3n －12. 答案 a n ＝3n －12

6．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.

所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)

(2)S n ＝2(1－2n )1－2

＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2. 综合提高 (限时25分钟)

7．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3

＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为 ( )．

A ．1－14n

B ．1－12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n D.23⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12n 解析 a n ＝2n －1，设b n ＝

1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14

＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案 C

8．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 的前5项和为

( )． A.158或5

B.3116或5

C.3116

D.158

解析 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9(1－q 3)1－q ＝1－q 6

1－q

，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5

＝3116.

答案 C

9．数列1，11＋2，11＋2＋3

，…的前n 项和S n ＝________. 解析 由于数列的通项a n ＝11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1

. 答案 2n n ＋1

10．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________.

解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，

∴q 3＝a 4a 1

＝－8，∴q ＝－2， ∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，

∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |

＝12(1－2n )1－2

＝2n －12. 答案 2n －12

11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1

＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.

(1)求a n 与b n ；

(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n

. 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.

依题意有⎩⎨⎧ S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960，

解得⎩⎨⎧ d ＝2，q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－65，q ＝403.(舍去)

故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.

(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，

所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)

＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)

.